五校联考数学试卷
江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷含解析
江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞2．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．33D ．233．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．24．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A 3236π+ B ．836πC 323163π D ．16833π5．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件6．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()x f x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-8．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．50010．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．5C ．52D ．511．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,212．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省五校2024-2025学年高二10月联考(一)数学试卷(解析版)
2024-2025学年第一学期珠海市实验中学、河源高级中学、中山市实验中学、惠州市博罗中学、珠海市鸿鹤中学联考（一）试卷高二数学满分：150分 考试时间：120分钟1.说明：注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．310y −−=的倾斜角为（） A. 30° B. 135°C. 60°D. 150° 【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为α， tan 180αα=°≤<°，所以30α=°， 故选：A2. 设()()(),,1,1,1,1,,,,4,2x y a b y z c x ∈===−R ，且,//a c b c ⊥，则2a b +=（ ） A. B. 0C. 3D. 【答案】D 【解析】【分析】由向量的共线与垂直条件求解,b c的坐标，再由向量坐标运算及求模公式可得.【详解】2,,,,,,,11114,a b y z c x ===−，由a c ⊥，则有420a c x ⋅=−+= ，解得2x =，则()2,4,2c =− .由//b c ，则有1242y z==−，解得2y =−，1z =， 所以()1,2,1b =−，故()23,0,3a b += ，则2a b + .故选：D.3. 下列命题中正确的是（ ）A. 点()3,2,1M 关于平面yOz 对称点的坐标是()3,2,1−−B. 若直线l 的方向向量为()1,1,2e=−，平面α的法向量为()6,4,1m =−，则l α⊥ C. 若直线l 方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ，则直线l 与平面α所成的角为30D. 已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =−+，则12m =−【答案】C 【解析】【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A ；由向量的数量积的性质可判断B ；由线面角的定义可判断C ；由共面向量定理可判断D.【详解】对于A ，点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1−，A 选项错误；对于B ，若直线l 的方向向量为()1,1,2e=−，平面α的法向量为()6,4,1m =−， ()()1614210e m ⋅=×+−×+×−=，有e m ⊥ ，则//l α或l α⊂，B 选项错误；对于C ，若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ， 则直线l 与平面α所成的角为()9018012030−−=，C 选项正确； 对于D ，已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =−+ ，则1112m −+=，解得12m =，D 选项错误. 故选：C.4. 如图，从光源P 发出的一束光，遇到平面镜（y 轴）上的点B 后，反射光线BC 交x轴于点)C，若光线PB 满足的函数关系式为：1y kx =+，则k 的值为（ ） 的的A.B.C. 1D. -1【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得(0,1)B 和点C 关于y 轴的对称点()C ′，求得BC k ′，结合,,P B C ′三点共线，即可求解.【详解】为光线PB 满足的函数关系式为1y kx =+， 令0x =，可得1y =，即点(0,1)B ，又因为)C，则点C 关于y 轴的对称点为()C ′，可得BC ′的斜率为BC k ′=，因为,,P B C ′三点共线，可得BC k k ′=，所以k =. 故选：A.5. 过点1,13作直线l ，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线l 的条数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】设直线l 的方程为()102x ay a a +=≠，将点1,13 代入直线l 的方程，然后由判别式判断即可. 【详解】设直线l 的方程为()102x ay a a +=≠， 将点1,13代入，可得()11032aa a +=≠， 即23620a a −+=，由于Δ36432120=−××=>， 所以方程23620a a −+=有两个根， 故满足题意的直线l 的条数为2． 故选：B.6. 如图，在三棱锥O ABC −中，点D 是棱AC 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c = ，则BD等于（ ）A 1122a b c −+B. a b c +−C. a b c −+D. 1122a b c −+−【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理结合线性运算的坐标表示求解． 【详解】点D 是棱AC 的中点，则有()()()11211122222BD BA BC OA OB OC OB a b c a b c =+=−+−=−+=−+.故选：A7. 已知长方体1111ABCD A B C D −，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）.A. 11AD B C ⋅B. 1BD AC ⋅C. 1AB AD ⋅D. 1BD BC ⋅【答案】D 【解析】【分析】当四边形ADD 1A 1为正方形时，可证AD 1⊥B 1C 可判断A ；当四边形ABCD 为正方形时，可证AC ⊥BD 1可判断B ；由长方体的性质可证AB ⊥AD 1，分别可得数量积为0，可判断C ；可推在△BCD 1中，∠BCD 1为直角，可判BC 与BD 1不可能垂直，可得结论可判断D.【详解】选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有110⋅=AD B C ，故正确；选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，可得AC ⊥BD ，1AC BB ⊥，1BD BB B ∩=， 1,BD BB ⊂平面BB 1D 1D ，可得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有10⋅=BD AC ，故正确；选项C ，由长方体的性质可得AB ⊥平面ADD 1A 1，1AD ⊂平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有1AB AD ⋅=0，故正确； 选项D ，由长方体的性质可得BC ⊥平面CDD 1C 1，1CD ⊂平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即10⋅≠BD BC ，故错误.故选：D.8. 如图已知矩形,1,ABCD AB BC==AC 将ABC 折起，当二面角B AC D −−的余弦值为13−时，则B 与D 之间距离为（ ）A. 1B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【详解】解：过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，在矩形,1,ABCD AB BC ==2AC ∴=， ABC ADC S S =△△，1122AB BC AC BE ∴⋅=⋅BE DF ∴==， 则12AECF ==，即211EF =−=， 平面ABC 与平面ACD 所成角的余弦值为13−，cos EB∴< ,13FD >=− ， BD BE EF FD =++ ，∴2222233()22212cos 44BD BE EF FD BE EF FD BE EF FD BE EF FD EB FD EB =++=+++⋅+⋅+⋅=++−⋅<，51512()32322FD >=−−=+= ，则||BD =即B 与D ， 故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知直线l 过点()2,3M −，且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 点，则（ ） A. 若直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为5y x =+B. 若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为1x y +=C. 若M 为AB 的中点，则l 的方程为32120x y −+=D. 直线l 的方程可能为3y = 【答案】AC 【解析】【分析】根据直线点斜式判断A ，由过原点直线满足题意判断B ，由中点求出A ,B 坐标得直线方程判断C ，由直线与坐标轴有交点判断D.【详解】对于A ，直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为32y x ，即5y x =+，故A 正确； 对于B ，当直线l 在两坐标轴上的截距都为0时，l 的方程为32y x =−，故B 错误； 对于C ，因为中点()2,3M −，且A ，B 在x 轴、y 轴上，所以()4,0A −，()0,6B ，故AB 的方程为146x y−+=，即32120x y −+=，故C 正确； 对于D ，直线3y =与x 轴无交点，与题意不符，故D 错误． 故选：AC ．10. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A. CC 1⊥BDB. 1136AA BD ⋅=C. 11B C AA与夹角是60°D. 直线AC 与直线11A C 的距离是【解析】【分析】设1,,AB a AD b AA c ===，依题得||||||6,18,a b c a b b c c a ===⋅=⋅=⋅= 运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B 两项；利用向量夹角的公式计算排除C 项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D 项.【详解】如图，设1,,AB a AD b AA c ===， 则||||||6,66cos 6018,a b c a b b c c a ===⋅=⋅=⋅=××=对于A ，因1,CC c BD b a ==−，则1()0CC BD c b a c b c a ⋅=⋅−=⋅−⋅=，故A 正确； 对于B ，因1AA c = ，1BD b a c =−+，则211()||18183636AA BD c b a c c b c a c ⋅=⋅−+=⋅−⋅+=−+= ，故B 正确； 对于C ，11,B C b c AA c =−= 211()||183618B C AA b c c b c c ⋅=−⋅=⋅−=−=− ，且11||6,||6,B C AA ==设11B C AA 与夹角为θ，则1111181cos 662||||B C AA B C AA θ⋅==−=−×⋅，因[0,π]θ∈，则2π3θ=，即C 错误；对于D,在平行六面体1111ABCD A B C D −中，易得111111////,AA BB CC AA BB CC ==, 则得11ACC A ,故11//AC A C ,故点1A 到直线AC 的距离d 即直线AC 与直线11A C 的距离.因,AC a b =+ 1()36AA AC c a b ⋅=⋅+=，且1||6,||AA AC==则d ===，故D 正确.11. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（ ）A. 三棱锥1C EFG −的体积为13B. 1A C ⊥平面EFGC. 1BC ∥平面EFGD. 二面角G EF C −−【答案】ABC 【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明1//BC 面EFG ，1A C ⊥平面EFG ，转换后求棱锥的体积，由空间向量法求二面角，从而判断各选项．【详解】如图，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(0,0,2)D ，(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，1(2,2,2)B ，1(2,0,2)A ，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，则(1,0,0)E ，(2,1,0)F ，(1,2,2)G ，(1,1,0),(0,2,2)EF EG ==，1(2,0,2)BC − ，易知12BC EG EF =−，所以1,,BC EF EG 共面， 又1BC ⊄平面EFG ，所以1//BC 面EFG ，C 正确；1111111123323C EFG B EFG G BEF BEF V V V S BB −−−===⋅=××××= ，A 正确； 1(2,2,2)A C =−− ，12200AC EF ⋅=−++= ，同理10A C EG ⋅=， 所以1AC是平面EFG 的一个法向量，即1A C ⊥平面EFG ，B 正确； 平面CEF 的一个法向量是(0,0,1)n =，111cos ,A C n A C n A C n ⋅===G EF C −−D 错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若直线1l ：10x ay +−=与直线2l ：420ax y ++=平行，则a =___________． 【答案】2 【解析】【分析】结合已知条件，利用直线间的平行关系求出参数a ，然后对参数a 进行检验即可求解.【详解】因为直线1l ：10x ay +−=与直线2l ：420ax y ++=平行， 所以2140a ×−=，解得，2a =±，当2a =时，直线1l ：210x y +−=，直线2l ：2420x y ++=，即210x y ++=，满足题意； 当2a =−时，直线1l ：210x y −−=，直线2l ：2420x y −++=，即210x y −−=， . 综上所述，2a =. 故答案为：2.13. 已知()()2312A B −，，，，若点(),P x y 在线段AAAA 上，则3yx −的取值范围是_______. 【答案】13,2−−【解析】【分析】设(3,0)Q ，利用斜率计算公式可得：QA k ，QB k ．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设(3,0)Q ，则30323AQ k −==−−，201132BQ k −==−−−， 点(,)P x y 是线段AB 上的任意一点， ∴3y x −的取值范围是[3−,1]2−，故答案为：[3−,1]−14. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C −，中，M 是11A C 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB = ，3MG GN =，若1AG xAA y AB z AC =++ ，则x y z ++=_________．【答案】118【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.【详解】设2AB =,如下图所示，建立空间直角坐标系， ()000A ，， ，()200B ，，，()001C ，，，()1010A ，，1012M ，，，1203N，，，则1121200123232MN=−=−，，，，，-， 所以13213110122432228AG AM MG++−，，，-，，， 又因为()131122,,228AG xAA y AB z AC y x z y x z ++⇒，， 所以131112488x y z ++=++= 故答案为：118四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC 的两顶点坐标为()1,1A −，()3,0C ，()10,1B 是边AB 的中点，AD 是BC 边上的高． （1）求BC 所在直线的方程； （2）求高AD 所在直线的方程.【答案】（1）3490x y +−=； （2）4370x y −−=. 【解析】【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求B 的坐标，利用点斜式求直线BC 方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线AD 的斜率，利用点斜式求直线AD 方程，再化为一般式即可. 【小问1详解】因为1()0,1B 是边AB 的中点，所以()1,3B −， 所以直线BC 的斜率34BC k =−， 所以BC 所在直线的方程为：()334y x =−−，即3490x y +−=， 【小问2详解】因为1()0,1B 是边AB 的中点，所以()1,3B −， 因为AD 是BC 边上的高，所以1BC AD k k ⋅=−，所以30113AD k −⋅=−−−， 所以43AD k =， 因此高AD 所在直线的方程为：41(1)3y x +=−，即4370x y −−=.16. 已知直线()()1231:−=−+a y a x l . （1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程. 【答案】（1）证明见解析 （2）1a ≤（3）240x y +−=【解析】【分析】（1）由方程变形可得()2310a x y x y −−++=，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解；（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】由()():1231l a y a x −=−+，即()2310a x y x y −−++=， 则20310x y x y −= −++=，解得12x y = = ，所以直线过定点()1,2； 【小问2详解】如图所示，结合图像可知，当1a =时，直线斜率不存在，方程为1x =，不经过第二象限，成立； 当1a ≠时，直线斜率存在，方程为11213ya a a x +−−−， 又直线不经过第二象限，则2301101a a a − > −≤ − ，解得1a <； 综上所述1a ≤； 【小问3详解】已知直线()():1231l a y a x −=−+，且由题意知1a ≠，令0x =，得101=>−y a ，得1a >， 令0y =，得1032>−xa ，得32a <，则22111112132410651444S a a a a a =××==−−−+−−−+， 所以当54a =时，S 取最小值， 此时直线l 的方程为55123144y x−=×−+，即240x y +−=. 17 已知()()()0,0,0,2,5,0,1,3,5A B C ．（1）求AC 在AB上的投影向量；（2）若四边形ABCD 是平行四边形，求顶点D 的坐标； （3）若点(0,3,0)P ，求点P 到平面ABC 的距离．【答案】（1）3485,,02929（2）()1,2,5−−（3【解析】【分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量；.（2）根据AD BC =可求D 的坐标；（3）根据点面距公式可求点P 到平面ABC 的距离． 【小问1详解】()1,3,5AC = ，()2,5,0AB = ，故AC 在AB上的投影向量为AC AB AB ABAB⋅， 而()21534852,5,0,,0292929AC AB AB AB AB⋅+ ==.【小问2详解】设(),,D x y z ，则AD BC =，故()(),,1,2,5x y z =−−， 故D 的坐标为()1,2,5−−. 【小问3详解】()0,3,0AP =，设平面ABC 的法向量为mm ��⃗=(xx ,yy ,zz )，则00m AB m AC ⋅= ⋅=即250350x y x y z += ++= ，取5x =−，则2y =，15z =−， 故15,2,5m=−−，故点P 到平面ABC18. 如图，在长方体1111ABCD A B G D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）求证：11D E A D ⊥.（2）当点E 为棱AB 的中点时，求CE 与平面1ACD 所成角的正弦值. （3）在棱AB 上是否存在点M ，使平面1D MC 与平面AMC 所成的角为π6？若存在，求出AM 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2（3）存在，2AM =. 【解析】【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0即可证得垂直； （2）先求得平面1ACD 的法向量，再利用空间向量法求线面角即可得解；（3）先求得平面1D MC 与平面AMC 法向量，再利用空间向量法求线面角即可得解. 【小问1详解】以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，02x <<，则()11,0,1A ，()10,0,1D ，()1,,0E x ，AA (1,0,0)，()0,2,0C ，所以()()111,0,11,,10DA D E x ⋅=⋅−=，则11DA D E ⊥， 所以11D E A D ⊥. 【小问2详解】因为E 为AB 的中点，所以()1,1,0E ，从而()1,1,0CE=−，()1,2,0AC =− ，()11,0,1AD =−，设平面1ACD 的法向量为(),,n a b c = ，则100n AC n AD ⋅=⋅= ， 即200a b a c −+=−+= ，得2a b a c= = ，令2a =，则()2,1,2n =， 设CE 与平面1ACD 所成角为π02θθ<<，的则sin cos ,CE θ=〈 所以CE 与平面1ACD. 【小问3详解】设这样的点M 存在，且AM x =，02x <<，平面1D MC 与平面AMC 所成的角为π6， 则()1,,0M x ，()10,0,1D ，()0,2,0C ，()1,2,0CM x =− ，()10,2,1CD =−，设平面1D MC 的法向量为(),,m a b c ′′=′ ，则()12020m CM a x b m CD b c ⋅=+−= ⋅′=−′+=′′， 取1b ′=，得()2,1,2mx =−， 易知平面AMC 的一个法向量()0,0,1p =，所以πcos 6m p m p⋅== ，由02x <<，解得2x =，所以满足题意的点M 存在，此时2AM =. 19. 已知111(,,)a x y z = ，222(,,)b x y z = ，333(,,)c x y z =，定义一种运算：123231312132213321()a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z ×⋅=++−−−，已知四棱锥P ABCD −中，底面ABCD是一个平行四边形，(2,1,4)AB =− ，(4,2,0)AD = ，(1,2,1)AP −（1）试计算()AB AD AP ×⋅的绝对值的值，并求证PA ⊥面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD −的体积，说明()AB AD AP ×⋅的绝对值的值与四棱锥P ABCD −体积的关系，并由此猜想向量这一运算()AB AD AP ×⋅的绝对值的几何意义.【答案】（1）48，证明见解析；（2）体积为16，()3P ABCD AB AD AP V −×⋅=，()AB AD AP ×⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积． 【解析】【分析】（1）根据新定义直接计算，由向量法证明线线垂直，得线面垂直；（2）计算出棱锥体积后，根据数据确定关系．【详解】（1）由题意()AB AD AP ×⋅221424(1)(1)0=××+××+−×−×202−××4(1)1−×−×(1)24−−××＝48．122(1)140AP AB ⋅=−×+×−+×= ，1422100AP AD ⋅=−×+×+×=，∴,AP AB AP AD ⊥⊥，即,AP AB AP AD ⊥⊥．,AB AD 是平面ABCD 内两相交直线，∴AP ⊥平面ABCD ．（2）由题意2221,20AB AD == ，24(1)2406AB AD ⋅=×+−×+×=，sin ABCDS AB AD BAD=∠==，AP =∴111633P ABCD ABCD V S PA −==×=． ∴()3P ABCD AB AD AP V −×⋅=， 猜想：()AB AD AP ×⋅的绝对值表示以,,AB AD AP 为邻边的平行六面体的体积．【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题时根据新定义的规则运算即可．考查学生的创新意识，同时考查学生的归纳推理能力．。
安徽省淮北市“五校联考”2024-2025学年七年级上学期11月期中数学试题
安徽省淮北市“五校联考”2024-2025学年七年级上学期11月期中数学试题一、单选题1．﹣3的相反数是（）A ．13-B ．13C ．3-D ．32．下列选项中，计算结果与其它三项不同的是（）A ．()58---B ．58-C ．85-+D ．()85---3．在新能源汽车领域，今年1月至8月，安徽省新能源汽车产量93.7万辆，居全国第2位，数据93.7万用科学记数法表示为（）A ．49.3710⨯B ．493.710⨯C ．59.3710⨯D ．593.710⨯4．下列运算中，正确的是（）A ．532a a -=B ．()a b a b --=-+C ．2322a a a +=D ．()33a b a b+=+5．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为25℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面h 千米处的温度t 为（）A ．256h t -=B ．256t h -=C ．256t h=-D ．256h t=-6．若A 是二次多项式，B 是三次多项式，则A B +的次数是（）A ．六B ．五C ．三D ．二7．一根1米长的木棒，第一次截去它的15，第二次截去剩下的15，第三次再截去剩下的15，如此截下去，第五次截去后剩下的木棒的长度是（）A ．5115⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦米B ．515⎛⎫⎪⎝⎭米C ．5415⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦米D ．545⎛⎫⎪⎝⎭米8．如图，表中给出的是某月的月历．任意选取“H ”型框中的7个数（如阴影部分所示），这7个数的和不可能是（）A ．42B ．70C ．98D ．1479．如图，已知圆环内直径为a 厘米，外直径为b 厘米，将2024个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（）A ．()2023a b +厘米B ．()2023b a +厘米C ．()2024a b -厘米D ．()2024b a -厘米10．在数轴上，有理数a ，b 的位置如图，将a 与b 的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，且0ab <，a b >．下列结论：①30a <；②140a a >；③33a a a a -=-；④()32b a a b -=+．其中所有正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．比较大小：49-23-．12．若代数式2m m -的值为3，则代数式2122m m +-的值为．13．如图，在直角三角形ABC 中，ACB ∠是直角，AC a =，BC b =，以直角边AC 为直径画半圆，12S S -=．（用含有a ，b 的代数式表示，结果保留π）14．将奇数1至2025按照顺序排成下表：1357911131517192123252729313335…记mn P 表示第m 行第n 个数，如2317P =表示第2行第3个数是17．（1）43P =；（2）mn P =（用含m ，n 的代数式表示）．三、解答题15．计算：(1)()2412435⎡⎤--⨯--⎣⎦；(2)()11324364⎛⎫--⨯- ⎪⎝⎭．16．先化简，再求值：()()222223222x xy y x xy y +--+-，其中1x =-，2y =-．17．某支股票上周末的收盘价格是20.00元，本周一到周五的收盘情况如下表：（“+”表示股票比前一天上涨，“-”表示股票比前一天下跌）上周末收盘价周一周二周三周四周五20.000.28+ 2.36- 1.80+0.35-0.08+(1)周一至周五这支股票每天的收盘价各是多少元？(2)本周末的收盘价比上周末收盘价是上涨了，还是下跌了多少？(3)这五天的收盘价中哪天的最高？哪天的最低？相差多少？18．某健身俱乐部有两种收费方式，甲种方式为：每次健身收费60元；乙种方式为：每月缴纳240元会员费后，每次收费20元(1)小王每月健身x 次，按甲、乙两种方式分别缴费多少元？(2)小王每月健身4次，采用哪种方式合算？7次呢？说明理由．19．已知有理数a 、b 、c 满足0a <、0b >、0c >，且||||||<<b a c (1)在数轴上将a 、b 、c 三个数填在相应的括号中．(2)化简：|2|||||a b b c c a -+---．20．某窗户的窗框如图所示，其上部是半圆形，下部是四个长为a 米，宽为b 米的小长方形．(1)求窗框（所有实线）的总长度（用含有a 、b 的代数式表示，保留π）；(2)该窗框全部用铝合金材料制作，铝合金的价格为100元/米，当1,0.6a b ==时，制作该窗框所需的费用是多少元？（π取3.14）21．对于有理数a 、b 定义一种新运算“▲”，规定：2a b a b a b +--=▲．例如：()12121212-+----==-▲．(1)填空：23=▲______，33=▲______，()()23--=▲______；(2)若a b >，则a b ▲的结果为______；(3)判断“▲”运算是否满足交换律并说明理由．22．某网约车的车费由里程费、时长费、远途费三部分构成．车费计价规则如下表：里程费时长费远途费单价1.8元/千米0.5元/分钟当里程不超过10千米，不收费用；当里程超过10千米，超过10千米的部分以0.4元/千米额外加收费用．(1)若行车里程为30千米，时长为40分钟，需付车费______元：(2)若行车里程为m 千米，时长为n 分钟，求应付的车费；（用含m 、n 的代数式表示）(3)乘坐该网约车去某地，导航显示两条路线．路线1：行车里程为()510x x <<千米，时长为()10y y >分钟；路线2：行车里程比路线1多5千米，时长比路线1少10分钟．请问选择哪一条路线所付车费较少？并说明理由．23．代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格：x …﹣2﹣1012…﹣x ﹣2…0﹣1﹣2﹣3a …2x ﹣2…﹣6﹣4b 02…2x +1…﹣3﹣1135…【初步感知】（1）根据表中信息可知：a ＝；b ＝；【归纳规律】（2）表中﹣x ﹣2的值随着x 的变化而变化的规律是：x 的值每增加1，﹣x ﹣2的值就减少1．类似地，2x +1的值随着x 的变化而变的规律是：；（3）观察表格，下列说法正确的有（填序号）；①当﹣x ﹣2＞2x +1时，x ＞﹣1②当﹣x ﹣2＜2x +1时，x ＞﹣1③当x ＞1时，﹣x ﹣2＜2x ﹣2④当x ＜1时，﹣x ﹣2＞2x ﹣2【应用迁移】（4）已知代数式ax +b 与mx +n （a ，b ，m ，n 为常数且a ≠0，m ≠0），若无论x 取何值，ax +b的值始终大于mx+n的值，试分别写出a与m，b与n的关系．。
湖北省恩施市五校2024-2025学年七年级上学期期中联考数学试卷
湖北省恩施市五校2024-2025学年七年级上学期期中联考数学试卷一、单选题1．下列数中，属于负数的是（）A ．2023B ．2023-C ．12023D ．02．我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（）A ．81.2910⨯B ．812.910⨯C ．91.2910⨯D ．712910⨯3．如图，根据某机器零件设计图纸上的信息判断，下列零件长度（L ）尺寸合格的是（）A ．9.68mmB ．9.97mmC ．10.1mmD ．10.01mm 4．下列说法正确的是（）A ．长3米和重10千克是具有相反意义的量B ．收入500元是具有相反意义的量C ．支出100元和向南走200米是具有相反意义的量D ．顺时针转3圈和逆时针转1圈是具有相反意义的量5．若()2320m n -++=，则2m n +的值为（）A ．－1B ．1C ．4D ．76．下列变形不正确的是（）A ．5×(-6）=(-6)×5B ．（14-12）×(-12)=（-12）×(14-12）C ．（-16+13）×(－4）=(-4）×（-16）+13×4D ．(-25)×(-16)×（-4）＝[（-25）×（-4）]×（-16）7．下列各式中，不是代数式的是（）A ．-3B ．22a a -C ．230x +=D ．2ab8．已知a ，b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则代数式2（a ＋b ）－3cd 的值为（）．A ．2B ．－1C ．－3D ．09．某学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共40台．甲、乙两种品牌电子白板的单价分别为2.5万元/台和1.5万元/台，若购买甲品牌电子白板费用为()2.520x +万元，则购买乙品牌电子白板费用为（）A ．()1.520x -万元B ．()1.540x -万元C ．()1.520x +万元D ．1.5x 万元10．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子中：①0a b +<；②0a b -<；③0ab <；④0a b <．成立的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．写出一个比5-小的数．12．比较大小：34-0.8-（填“>”“<”或“=”）．13．某商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m 袋，用式子表示在这个月内销售这种商品的收入为元．14．在如图所示的运算程序中，若开始输入x 的值为3，则输出y 的值为．15．如图是小明用火柴棒摆的“金鱼”图案，第1个图案用8根火柴棒，第2个图案用14根火柴棒，第3个图案用20根火柴棒……依此规律，第n 个图案用根火柴棒（用含n 的代数式表示）．三、解答题16．计算：(1)()()14122517--+--；(2)()()()2.611.5 4.4 1.3+--+--．17．计算：()1316428⎛⎫⎛⎫÷-⨯--+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭．18．计算：()221115522⎛⎫⎛⎫-⨯---÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．19．已知2(2)a =-，4(3)b =--，25c =-，求()a b c --的值．20．某检修小组从A 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下（单位：千米）：第1次：-4；第2次：+7；第3次：-9；第4次：+8；第5次：+6；第6次：-5；第7次：-2.（1）求收工时距A 地多远？（2）若每千米耗油0.1升，问共耗油多少升？21．甲、乙两地之间公路全长240km ，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为km/h v ．(1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？(2)如果汽车的行驶速度增加3km/h ，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？22．阅读材料：求值：23420122222++++++ ．解：设23420122222S =++++++ ，将等式两边同时乘2，得23420212222222S =++++++ ，将下式减去上式，得21221-=-S S ，即234202112222221S =++++++=- ．请你仿照此法计算：(1)2310012222++++⋯+；(2)23413333n +++++ (3)（其中n 为正整数）23．现定义新运算“※”，对任意有理数a 、b ，规定a b ab a b =+-※，例如：1212121=⨯+-=※．(1)求()35-※的值；(2)若()(){}()321---※※的值与b 互为相反数，求b 的值．24．已知数轴上两点M 、N 对应的数分别为8-、4，点P 为数轴上任意一点，其对应的数为x ．(1)MN 的长为．(2)当点P 到点M 、点N 的距离相等时，求x 的值；(3)数轴上是否存在点P ，使点P 到点M 、点N 的距离之和是20？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．。
2023-2024学年广东省广州市五校联考高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市五校联考高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=−i1−i（i是虚数单位），则共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列直线中，倾斜角最大的是（）A．√3x+y+1=0B．√3x−y+1=0C．x+y+1＝0D．x﹣y+1＝03．集合A＝{y|y＝3x}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}，则（∁R A）∩B＝（）A．(−23，+∞)B．（﹣∞，0]C．(−23，0)D．(−23，0]4．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是（）A．4B．5C．6D．9 5．函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是（）A．√5B．2√5C．2+√3D．46．将f(x)=sin2(x−π12)的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）的图像．已知g（x）在[0，π]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．(0，512]B．(0，12]C．(0，34]D．(0，56]7．广州塔昵称“小蛮腰”，位于广州城市新中轴线与珠江景观轴交汇处，是中国第一高塔、国家级旅游景区、广州的地标性景点．广州塔的塔身是由倾斜扭转的24根直钢柱包围而成的一个单叶双曲面（即由双曲线一支绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面）．如图，已知广州塔的主塔体（不含天线桅杆）高O1O2＝450米，塔身最细处（直钢柱PQ和中心轴线O1O2距离最近的位置）离地面高度OO1＝300米、直径为30米，每根直钢柱与地平面所成角的正切值为20√33，则塔底直径为（）A ．40米B ．50米C ．60米D ．70米8．已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|，点M 满足F 1M →=3MF 2→，且AM ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．√33 C ．23D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知事件A ，B 发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16，则（ ）A ．P(A)=23B ．13≤P(A +B)≤12C ．若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=49D ．一定有B ⊆A10．下列结论错误的是（ ）A ．若非零空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，则有a →∥c →B ．若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线C ．设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，则{a →+b →，b →+c →，c →+a →}也是空间的一组基底D ．若OP →=xOA →+yOB →+zOC →，则x +y +z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件11．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(3p2，0)，直线AM 交C 于另一点N ，若|AF |＝|AM |，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√2 B ．|F A |＝3|FB |C ．|OB |＝|OF |D ．直线BN 的斜率为定值12．如图，在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点P 在截面AB 1D 1内（含边界），且满足A 1P =3√2．下列说法正确的是（ ）A ．点P 的轨迹长度为6πB．A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√3 3C．存在点P使得CP⊥BC1D．C1P与平面AB1D1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．若f(x)=a−22x+1为奇函数，则f（1）＝．14．已知椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，则m的值为．15．已知直线l过点P（1，2）且与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）两点，O为坐标原点，则|OA|+2|OB|的最小值为．16．已知直线l：x+√3y−3=0与圆C1：x2+y2＝4、圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）相交于从左到右依次排列的四个不同点A，B，C，D，且满足|AB|＝|CD|，则线段AD的长为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=√32sin(2x+φ)+sin2x，其中0＜φ＜π．（1）若φ=π3，求f（x）的最小正周期和其图像的对称中心；（2）若f(π6)=−14，求cosφ的值．18．（12分）网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车．某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁．现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．19．（12分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且4asin2B2=2a+b−2c．（1）求角A的大小：（2）若b＝1，c＝3，D为BC中点，点E在AB上且满足DE⊥AB，求CE的长．20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P的射线l交抛物线C于另一点Q，交准线于点M，求|PQ||PM|的最大值．21．（12分）五面体ABCDEF的底面ABCD是一个边长为4的正方形，∠ADE＝90°，DE＝CF＝2，二面角E ﹣AD ﹣C 的大小为60°． （1）求证：DF ⊥CF ；（2）设点P 为棱AE 上一点，若平面BDP 与平面BCF 的夹角的余弦值为√64，求AP AE的值．22．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)．（1）求双曲线E 的方程；（2）设点A 为双曲线E 的右顶点，点B ，C 为双曲线E 上关于原点O 对称的两点，且点B 在第一象限，直线BC 与直线x =12交于点M ，直线AM 与双曲线E 交于点D ．设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1，k 2，请问k 1+k 2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2023-2024学年广东省广州市五校联考高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=−i1−i（i是虚数单位），则共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：z=−i1−i=−i(1+i)(1+i)(1−i)=12−12i，则z=12+12i，故共轭复数z在复平面内对应的点（12，12）位于第一象限．故选：A．2．下列直线中，倾斜角最大的是（）A．√3x+y+1=0B．√3x−y+1=0C．x+y+1＝0D．x﹣y+1＝0解：直线√3x+y+1=0的斜率为−√3，倾斜角为120°；直线√3x−y+1=0的斜率为√3，倾斜角为60°，直线x+y+1＝0的斜率为﹣1，倾斜角为135°；直线x﹣y+1＝0的斜率为1，倾斜角为45°，∴直线x+y+1＝0的倾斜角最大．故选：C．3．集合A＝{y|y＝3x}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}，则（∁R A）∩B＝（）A．(−23，+∞)B．（﹣∞，0]C．(−23，0)D．(−23，0]解：A＝{y|y＝3x}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝log2（3x+2）}＝{x|x＞−23}，故∁R A＝{y|y≤0}，所以（∁R A）∩B＝（−23，0]．故选：D．4．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是（）A．4B．5C．6D．9解：根据题意，数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，则极差为17﹣2＝15，故该组数据的中位数是15×35=9，数据共6个，故中位数为m+122=9，解得m＝6，6×40%＝2.4，故该组数据的40百分位数为从小到大第3个数，故该组数据的40百分位数是m＝6．故选：C．5．函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是（）A．√5B．2√5C．2+√3D．4解：由4﹣x2≥0，得﹣2≤x≤2，令x＝2sinθ（−π2≤x≤π2），则原函数化为y＝4sinθ+√4−4sin2θ=4sinθ+2cosθ=2√5sin（θ+φ），tanφ=1 2，∴当θ+φ=π2时，y取最大值为2√5，即函数f(x)=2x+√4−x2的最大值是2√5．故选：B．6．将f(x)=sin2(x−π12)的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）的图像．已知g（x）在[0，π]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．(0，512]B．(0，12]C．(0，34]D．(0，56]解：f(x)=sin2(x−π12)=1−cos(2x−π6)2的图像向左平移π6个单位后，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，得到函数g（x）=1−cos(2ωx+π6)2的图像，令2kπ≤2ωx+π6≤2kπ+π，k∈Z，解得，kπω−π12ω≤x≤kπω+5π12ω，k∈Z，因为g（x）在[0，π]上单调递增，所以5π12ω≥π且ω＞0，解得，0＜ω≤5π12．故选：A．7．广州塔昵称“小蛮腰”，位于广州城市新中轴线与珠江景观轴交汇处，是中国第一高塔、国家级旅游景区、广州的地标性景点．广州塔的塔身是由倾斜扭转的24根直钢柱包围而成的一个单叶双曲面（即由双曲线一支绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面）．如图，已知广州塔的主塔体（不含天线桅杆）高O1O2＝450米，塔身最细处（直钢柱PQ和中心轴线O1O2距离最近的位置）离地面高度OO1＝300米、直径为30米，每根直钢柱与地平面所成角的正切值为20√33，则塔底直径为（）A．40米B．50米C．60米D．70米解：由题意设直钢柱PQ中MQ在底面圆O1上的投影线段为NQ，连接O1N，OM，所以在Rt△MNQ中，tan∠PQN=20√33=|MN||NQ|=300|NQ|，得|NQ|=15√3，由题意可得四边形O1NOM为矩形，又因为点M是圆O的切点，所以O1N⊥NQ，且ON1＝15，设圆O 1的半径为r ，所以在Rt △O 1NQ 中，r 2=O 1N 2+NQ 2=152+(15√3)2=900，得r ＝30，所以圆O 1的直径为60． 故选：C ．8．已知椭圆C ：x 22+y 2b2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|，点M 满足F 1M →=3MF 2→，且AM ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B ．√33 C ．23D ．√63解：如图：因为过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|AF 2|， 所以|AF 1|+|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|=3a 2，|AF 2|=a 2， 又因为F 1M →=3MF 2→，所以|MF 1|＝3|MF 2|， 所以AM 是∠F 1AF 2的平分线，又因为AM ⊥F 1B ， 所以|AF 1|＝|AB |=3a2=|AF 2|+|BF 2|， 所以|BF 2|＝a ，|BF 2|：|AF 2|＝2．所以A （3c 2，b2），点A 在椭圆：x 22+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上，所以9c 28+14=1，解得c 2=23，e 2=c 2a 2=232=13，所以e =√33．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知事件A ，B 发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16，则（ ）A ．P(A)=23B ．13≤P(A +B)≤12C ．若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=49D ．一定有B ⊆A解：∵P （A ）=13，∴P （A ）=23，故A 正确；当A ，B 互斥时，P （AB ）＝0，当B ⊆A 时，P （AB ）=16，故13≤P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）≤12，故B 正确；当A ，B 互斥时，P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）=13+16=12，故C 错误； 不一定B ⊆A ，故D 错误． 故选：AB ．10．下列结论错误的是（ ）A ．若非零空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，则有a →∥c →B ．若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线C ．设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，则{a →+b →，b →+c →，c →+a →}也是空间的一组基底D ．若OP →=xOA →+yOB →+zOC →，则x +y +z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件解：对于A ：若非零平面向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，b →⊥c →，故a →∥c →，但在空间内不一定成立，故A 错误； 对于B ：若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线也可能平行，故B 错误；对于C ：设{a →，b →，c →}是空间中的一组基底，不存在实数λ和μ使a →+b →=λ(b →+c →)+μ(a →+c →)，故C 正确；对于D ：点P 、A 、B 、C 四点共面的充要条件是存在实数m ，n 使AP →=mAB →+nAC →，整理得OP →=(1−m −n)OA →+mOB →+nOC →=xOA →+yOB →+zOC →，所以x +y +z ＝1，故D 正确． 故选：AB ．11．已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(3p2，0)，直线AM 交C 于另一点N ，若|AF |＝|AM |，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√2 B ．|F A |＝3|FB |C ．|OB |＝|OF |D ．直线BN 的斜率为定值解：根据题意可得F （p 2，0），又点M(3p2，0)，且|AF |＝|AM |，∴A的横坐标为p2+3p22=p，将其代入y2＝2px中，可得A（p，√2p），∴直线AB的斜率为√2pp−p2=2√2，∴A选项正确；∴直线AB的方程为y=2√2（x−p2），联立{y=2√2(x−p2)y2=2px，解得x＝p或x=p4，∴B点横坐标为p4，将其代入y2＝2px中，可得B（p4，√2），∴|F A|=p2+x A=p2+p=3p2，|FB|=p2+x B=p2+p4=3p4，∴|F A|＝2|FB|，∴B选项错误；∴|OB|=√p216+p22=3p4，而|OF|=p2，∴|OB|≠|OF|，∴C选项错误；∵直线AB的斜率为2√2，|AF|＝|AM|，∴AM直线的斜率为−2√2，∴直线AM的方程为y=−2√2（x−3p2），联立{y=−2√2(x−3p2)y2=2px，解得x＝p或x=9p4，∴N点横坐标为9p4，将其代入y2＝2px中，可得N（9p4，√2），∴直线BN的斜率为√2−√29p 4−p4=√22，∴直线BN的斜率为定值，∴D选项正确．故选：AD．12．如图，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在截面AB1D1内（含边界），且满足A1P= 3√2．下列说法正确的是（）A．点P的轨迹长度为6πB．A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√3 3C．存在点P使得CP⊥BC1D．C1P与平面AB1D1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]解：对于A，取B1D1的中点O1，三棱锥A1﹣AB1D1为正三棱锥，过A1作A1G⊥面AB1D1于G，则G为正△AB1D1的中心，又AB1=6√2，AO1=√32AB1=√32×6√2=3√6，∴GO1=13AO1=√6，AG=23AO1=2√6，由V A1−AB1D1=V A−A1B1D1，得13S△AB1D1⋅A1G=13S△A1B1D1⋅AA1，∴13×√34×(6√2)2×A1G=13×12×6×6×6，∴A1G=2√3，由于A1P=3√2，∴GP=√A1P2−A1G2=√6，∴点P的轨迹是以G为圆心，√6为半径的圆，即正△AB1D1的内切圆，∴点P的轨迹长度为2π×√6=2√6π，故A错误；对于B，设A1P与平面AB1D1所成角为α，∵A1到平面AB1D1距离为A1G=2√3，∴sinα=A1GA1P=√332=√63，0≤α≤π2，∴cosα=√1−sin2α=√33，即A1P与平面AB1D1所成角的余弦值为√33．故B正确；对于C，当P为该内切圆与AD1的切点，即P为AD1与A1D的交点时，CP⊥BC1，证明如下：连接B1C，则BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1⊂平面CDA1B1，∴BC1⊥平面CDA1B1，∵CP⊂平面CDA1B1，∴CP⊥BC1，故C正确；对于D ，如图，该内切圆与AO 1的交点为E ，取BD 的中点O ，作EF ⊥AO 于F ，EF ∥OO 1， EF ⊥面ABCD ，∵AE ＝AO 1﹣2GO 1=√6=13AO 1，∴EF =13OO 1=2，AF =13AO =13×3√2=√2，CF ＝AC ﹣AF =5√2，C 1E =√CF 2+(CC 1−EF)2=√(5√2)2+(6−2)2=√66，C 1O 1=3√2， 当P 与E 重合时，C 1P 取最大值；当P 与O 1重合时，C 1P 取最小值．∴3√2≤C 1P ≤√66，∵O 1 为A 1C 1的中点，∴C 1到平面AB 1D 1距离d 与A 1到平面AB 1D 1距离相等， 即d =A 1G =2√3，设C 1P 与平面AB 1D 1 所成角为θ， 则tanθ=√C1P −d2=√3√C1P −12，∵3√2≤C 1P ≤√66，∴6≤C 1P 2−12≤54，√6≤√C 1P 2−12≤3√6， ∴√23≤√3√C 12≤√2，即√23≤tanθ≤√2，即C 1P 与平面AB 1D 1所成角的正切值的取值范围是[√23，√2]，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若f(x)=a −22x +1为奇函数，则f （1）＝ 13．解：根据题意，若f(x)=a−22x+1为奇函数，则f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，当a＝1时，f（x）＝1−22x+1，f（﹣x）＝1−22(−x)+1=1−2⋅2x2x+1=−（1−22x+1）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，符合题意，故f（x）＝1−22x+1，则f（1）＝1−23=13；故答案为：1 314．已知椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，则m的值为7．解：∵双曲线x2−y2m−6=1中a2＝1，b2＝m﹣6，可得焦点在x轴上，且c2＝1+m﹣6＝m﹣5，又椭圆x29+y2m=1和双曲线x2−y2m−6=1共焦点，∴9﹣m＝m﹣5，解得m＝7．故答案为：7．15．已知直线l过点P（1，2）且与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0）两点，O为坐标原点，则|OA|+2|OB|的最小值为9．解：根据题意，可得直线l方程为xa +yb=1（a＞0，b＞0），代入P点得1a+2b=1，因此，|OA|+2|OB|＝a+2b=(a+2b)(1a+2b)=5+2ba+2ab≥5+2√2ba⋅2ab=9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，故|OA|+2|OB|的最小值为9．故答案为：9．16．已知直线l：x+√3y−3=0与圆C1：x2+y2＝4、圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）相交于从左到右依次排列的四个不同点A，B，C，D，且满足|AB|＝|CD|，则线段AD的长为√3+√7．解：圆C1：x2+y2＝4的圆心C1（0，0），半径为2，圆C2：x2+y2﹣2ax+a＝0（a＞0）的圆心C2（a，0），半径为√a2−a，a＞1，由直线l与圆C2相交，可得|a−3|2＜√a2−a，解得a＞2√7−13，由|AB|＝|CD|，可得|AC|＝|BD|，即有2√4−(32)2=2√a2−a−(a−32)2，解得a ＝2，圆C 2的方程为x 2+y 2﹣4x +2＝0， 圆心C 1C 2的距离为2，弦长AC =√7， 则|AD |=√72+√22−(32−12)2+√72=√3+√7． 故答案为：√3+√7．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知函数f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x ，其中0＜φ＜π．（1）若φ=π3，求f （x ）的最小正周期和其图像的对称中心；（2）若f(π6)=−14，求cos φ的值．解：（1）φ=π3时，f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x=√32sin （2x +π3）+1−cos2x2 =√34sin2x +14cos2x +12=12sin （2x +π6）+12， 故T ＝π， 令2x +π6=k π，k ∈Z ，则x =kπ2−π12，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（kπ2−π12，12），k ∈Z ； （2）因为f(x)=√32sin(2x +φ)+sin 2x ，所以f （π6）=√32sin （π3+φ）+14=−14，即sin （π3+φ）=−√33，因为0＜φ＜π， 所以π3＜π3+φ＜4π3，所以cos （π3+φ）=−√63，所以cos φ＝cos （π3+φ−π3）=12cos （π3+φ）+√32sin （π3+φ）=12×(−√63)+√32×(−√33)=−3−√66．18．（12分）网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车．某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．（1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；（2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁．现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率．解：（1）从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人．∴样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为100﹣60﹣43+8＝5， 利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为5×3000100=150人． （2）样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁， 现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，基本事件总数n =C 52=10，这2名学生都坐过高铁包含的基本事件个数m =C 32=3，∴这2名学生都坐过高铁的概率P =m n =310． 19．（12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且4asin 2B2=2a +b −2c ． （1）求角A 的大小：（2）若b ＝1，c ＝3，D 为BC 中点，点E 在AB 上且满足DE ⊥AB ，求CE 的长． 解：（1）由4asin 2B2=2a +b −2c ， 可得2a （1﹣cos B ）＝2a +b ﹣2c ，由余弦定理，可得−2a ×a 2+c 2−b22ac=b −2c ，整理得b 2+c 2﹣a 2＝bc ，则cosA=b2+c2−a22bc=12，又A∈（0，π），所以A=π3；（2）法一：由b＝1，c＝3，A=π3及余弦定理，可得a2=1+9−2×1×3×12=7，故a＝BC=√7，又D为BC中点，故BD＝DC=√72，由正弦定理，可得sinB=b⋅sinAa=1√32√7=√2114，又DE⊥AB，所以DE=BD⋅sinB=√72×√2114=√34，由sinB=√2114，可得cos∠BDE=√2114，又∠BDE+∠CDE＝π，则cos∠CDE=−√2114，在△CDE中，由余弦定理，可得CE2=74+316−2×√72×√34×(−√2114)=3716，所以CE=√374；法二：由b＝1，c＝3，A=π3及余弦定理，可得a2=1+9−2×1×3×12=7，故a＝BC=√7，又D为BC中点，故BD＝DC=√72，由正弦定理，可得sinB=b⋅sinAa=1√327=√2114，故cosB=√1−sin2B=5√7 14，则BE=BD⋅cosB=√72×5√714=54，在△BCE中，由余弦定理，可得CE2=7+2516−2×√7×54×5√714=3716，所以CE=√374．20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P的射线l交抛物线C于另一点Q，交准线于点M，求|PQ||PM|的最大值．解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点P（4，4），可得16＝8p，解得p＝2，即抛物线的方程为x2＝4y；（2）设射线l的方程为y﹣4＝k（x﹣4），k＞0，由抛物线的准线方程为y＝﹣1，可得M（4−5k，﹣1），联立{x2=4yy=kx+4−4k，可得x2﹣4kx﹣16+16k＝0，Δ＝16k2﹣4（﹣16+16k）＞0，即有k≠2，由韦达定理可得4+x Q＝4k，即x Q＝4k﹣4，由4k﹣4＜4，可得0＜k＜2，则|PQ||PM|=√1+k2|4k−4−4|√1+k2|4−5k−4|=45|k2﹣2k|=45|（k﹣1）2﹣1|，由0＜k＜2，可得k＝1时，|PQ||PM|取得最大值45．21．（12分）五面体ABCDEF的底面ABCD是一个边长为4的正方形，∠ADE＝90°，DE＝CF＝2，二面角E﹣AD﹣C的大小为60°．（1）求证：DF⊥CF；（2）设点P为棱AE上一点，若平面BDP与平面BCF的夹角的余弦值为√64，求APAE的值．（1）证明：由底面ABCD 是正方形，可得AD ⊥DC ， 又∠ADE ＝90°，可得AD ⊥DE ，则∠EDC 即为二面角E ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠EDC ＝60°， 在正方形ABCD 中，AB ∥CD ，又AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ， 又AB ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面CDEF ＝EF ， 所以AB ∥EF ，即CD ∥EF ，故四边形CDEF 为梯形， 又DE ＝CF ＝2，所以四边形CDEF 为等腰梯形， 故∠DCF ＝60°，又CD ＝4，CF ＝4，由余弦定理，可得DF 2＝CD 2+CF 2﹣2CD •CF •cos60°＝16+4﹣2×4×2×12=12，所以DF =2√3， 故DF 2+CF 2＝CD 2，则有DF ⊥CF ； （2）解：由（1）知，AD ⊥DC ，AD ⊥DE ，又CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDEF ，故AD ⊥平面CDEF ， 又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF ， 过D 作Dz ⊥平面ABCD ，则Dz ⊂平面CDEF ， 故以D 为坐标原点，建立如图所示坐标系D ﹣xyz ，则有A （4，0，0），B （4，4，0），C （0，4，0）， D （0，0，0），E （0，1，√3），F （0，3，√3）， 设AP →=λAE →(0≤λ≤1)，则有AP →=λ(−4，1，√3)， 故P (4−4λ，λ，√3λ)，设平面BDP 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 由DB →=(4，4，0)，DP →=(4−4λ，λ，√3λ)， 可得{n →⋅DB →=4x +4y =0n →⋅DP →=(4−4λ)x +λy +√3λz =0，令x =√3，则y =−√3，z =5−4λ，可得n →=(√3，−√3，5−4λ)，设平面BCF 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)， 由BC →=(−4，0，0)，BF →=(−4，−1，√3)， 可得{m →⋅BC →=−4a =0m →⋅BF →=−4a −b +√3c =0，令c ＝1，则b =√3，a ＝0，可得m →=(0，√3，1)， 由平面BDP 与平面BCF 的夹角的余弦值为√64， 可得|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=|2−4λ|2×√6+(5−4λ)2=√64，整理得16λ2−88λ+85=0，令1λ=t ， 则有16t 2﹣88t +85＝0，解得t =174或t =54， 即λ=417或λ=45，即AP AE =417或45． 22．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)．（1）求双曲线E 的方程；（2）设点A 为双曲线E 的右顶点，点B ，C 为双曲线E 上关于原点O 对称的两点，且点B 在第一象限，直线BC 与直线x =12交于点M ，直线AM 与双曲线E 交于点D ．设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1，k 2，请问k 1+k 2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）由双曲线E 与圆x 2+y 2＝a 2+b 2的一个交点为(√72，32)， 可得{74a 2−94b 2=174+94=a 2+b 2，所以{7b 2−9a 2=4a 2b 2a 2+b 2=4， 所以7（4﹣a 2）﹣9a 2＝4a 2（4﹣a 2），所以a 4﹣8a 2+7＝0， 解得a 2＝7，b 2＝﹣3（舍去）或a 2＝1，b 2＝3， 所以双曲线E 的方程为x 2−y 23=1； （2）设B （m ，n ），m ＞1，n ＞0，则C （﹣m ，﹣n ）， 则l BC ：y =n m x ，令x =12，则y =n2m，即M(12，n2m)，则l AM：y=n2m−012−1(x−1)=−nm(x−1)，代入x2−y23=1，得x2−[−nm(x−1)]23=1，所以3m2−n2m2x2+2n2m2x−n2m2−3=0，所以x A+x D=−2n23m2−n2，即x D=−2n23m2−n2−1=−n2−3m23m2−n2，故y D=−nm(−n2−3m23m2−n2−1)=6mn3m2−n2，所以D(−n2−3m23m2−n2，6mn3m2−n2)，则k1=−n−0−m−1=nm+1，k2=6mn3m2−n2−n−n2−3m23m2−n2−m=6mn−3m2n+n3−n2−3m2−3m3+mn2，由B（m，n）在双曲线上，可得m2−n23=1，即n2＝3m2﹣3，所以k2=6mn−3m2n+n3−n2−3m2−3m3+mn2=n(6m−3m2+3m2−3)−3m2−3m3+(m−1)(3m2−3)=3n(2m−1)−3m2−3m3+3m3−3m2−3m+3=3n(2m−1)−3(2m2+m−1)=n(2m−1)−(2m−1)(m+1)=−nm+1，所以k1+k2=nm+1−nm+1=0，所以k1+k2为定值，且该定值为0．。
上海市五校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题(含答案)
五校联考高三期中数学试卷（奉贤中学/复兴高中/金山中学/行知中学/松江二中）2024.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则______2.已知向量，，则在方向上的数量投影为______3.曲线在点处的切线方程为______4.某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为______5.二项式的展开式中，常数项为______6.关于x的方程的解集为______7.已知，，，则的最小值为______8.《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为______平方尺9.意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______10.已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则内切圆{}2650A x x x =-+<{}0,1,2B =A B = ()1,2a =-()3,2b = b a e xy =()0,163x ⎛- ⎝100910152024x x x +++-=0x >0y >4x y xy +=x y +e e sh 2x xx --=12()y f x ={}n a 2025n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a 2024S =22:143x y Γ+=1F 2F 12PF F △半径的最大值为______11.在中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，若，则______12.若关于x 的方程在上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是______二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.设，则是的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既不充分也不必要14.在中，，M 为中点，，则（ ）A. B. C.9D.1615.已知定义在R 上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）①；②的图象关于对称；③；④.A.1个B.2个C.3个D.4个16.已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）A.当时，数列单调递减B.当时，数列单调递增C.当时，存在正整数，当时，D.当时，存在正整数，当时，三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：ABC △2222024a b c +=()2tan tan tan tan tan A BC A B =+()2e ln 20x x a x x a -⋅-+-=(]0,1z ∈C 1z z+∈R 1z =ABC △10BC =BC 4AM =AB AC ⋅=9-16-()y f x =()f x '()()g x f x '=()()4f x f x x --=()()20g x g x +-=()01g =()f x y x =()0,2()()20f x f x +-=()21n k g k n n ==-∑{}n a 1112ln n n n a a a ++=-101a <<{}n a 11a >{}n a 101a <<0n 0n n ≥012n n a <11a >0n 0n n ≥02n n a <[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.18.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，.（1）求函数的表达式；（2）求关于x 的不等式的解集.19.如图，在三棱锥中，平面平面，，，E ，F 分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线l .（1）求证：直线平面；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.已知点G 是圆T :上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长至Q ，使，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，求面积的最大值.21.已知函数的表达式为.（1）当时，求的单调增区间；（2）若当时，恒成立，求a 的取值范围；[]80,100()y f x =()1,1-0x >()cossin 223x x f x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭22x()y f x =()()21log 102f x f x f ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭P ABC -AC BC ⊥PAC ⊥ABC 2PA PC AC ===4BC =PC PB AEF ABC EF ⊥PAC AC PQ EF 4πPBQAEF ()22116x y ++=()1,0GH TG OM ON 1k 2k 1234k k =-MON △OP 3OQ OP =AQB △()y f x =()()()2ln f x x ax x a =-∈R 1a =()y f x =1x >()1f x >（3）证明：.5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯参考答案一.填空题1.3. 4.120 5. 6. 7.9 8. 9.404811.2023 12.二.选择题13.B 14.A 15.B 16.D三.解答题17.解：（1）成绩在区间的比例为：；成绩在区间的比例为：，因此65%分位数位于区间；因此入围分数为：，因此入围分数应设为75分；（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此，1，2，，则X 的概率分布为：；所以X 的数学期望为.18.解：（1）当时，时，；当时，，；因此；（2）当时，，因此有在上严格增；{}21y x =+18-{}041π311,e 3e ⎛⎤⎥⎝⎦[]80,100()0.0100.005100.150.35+⨯=<[]70,1000.150.04100.550.35+⨯=>[)70,800.40.27010750.4-+⨯=0X =()2426205C P X C ===()1124268115C C P X C ⋅===()22261215C P X C ===01228151515⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭[]8121215153E X =⨯+⨯=01x <<()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =()0f x =10x -<<0x ->()()1sin 23f x f x x π⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭()1sin 01230,01sin 1023x x f x x x x ππ⎧⎛⎫-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪+--<< ⎪⎪⎝⎭⎩()0,1x ∈13336x ππππ-<-<-<()y f x =()0,1而当时，因此有在上严格增；原不等式可化为：；而是定义在上的严格增函数，所以；因此不等式的解集为.19.解：（1）证明：，平面平面，平面平面平面；又E 、F 分别为、的中点，；平面；（2），以C 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，过C 垂直于平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，而，不在平面上，平面，平面，，设Q 点坐标为，，，即，则Q 点坐标为；设平面的法向量，即，即，取，可得；设平面法向量为，则，取，可得；与平面20.解：（1），则，0x =1sin 023x π⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭()y f x =()1,1-()21log 12f x f x ⎛⎫+<-⎪⎝⎭()y f x =()1,1-221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-<+<⎪⎪-<-<⎨⎪⎪+<-⎪⎩11,42⎛⎫⎪⎝⎭BC AC ⊥ PAC ⊥ABC PAC ABC AC =BC ∴⊥PAC PB PC //BC EF ∴EF ∴⊥PAC BC AC ⊥ ∴CA CB ABC ()2,0,0A ()0,4,0B (P 12E ⎛⎝1,2F ⎛ ⎝//EF BC BC AEF EF ⊂AEF //BC ∴AEF //l BC ∴()()2,,00y y ≥(1,PQ y = ()0,2,0EF = cos ,PQ EF ∴==2y =()2,2,0PBQ ()000,,n x y z =00n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩01x =(n = AEF ()111,,m x y z = 0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11x =(m = cos ,m ∴ PBQ AEF RH RG =42RT RH RT RG GT TH +=+==>=则曲线C 是以和为焦点，4为长轴的椭圆；设椭圆方程为，则，，，曲线；（2）设，，则，即；为定值；（3）设点，则点，代入椭圆方程得到曲线；当直线l 的斜率不存在时：设，代入E 中有，则当直线l 斜率存在时：设，，，代入E 的方程：，则，；；而l与椭圆C 有公共点，代入得：，由有，记，则综上，面积的最大值为21.解：（1）时，，则令，则，则在上严格减，上严格增，则，即在上严格增，因此函数的增区间为；()1,0-()1,022221x y a b +=2a =1c =2223b a c =-=22:143x y C +=()2cos M ϕϕ()2cos N θθ1234k k ==-()cos 0θϕ-=()12cos 2cos sin 2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△(),Q x y ,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭22:13627x y E +=[]():2,2l x n n =∈-223274y n =-2AQB AOB S S ==≤△△:l y kx m =+()11,A x y ()22,B x y ()22243841080k x mkx m +++-=122843kmx x k -+=+2122410843m x x k -=+122AQB AOB S S m x x ==-==△△()2224384120k x kmx m +++-=0∆≥2243k m +≥2243m t k =+AQB S =≤△AQB △1a =()()22ln 2ln f x x x x x x x =-=-()()2ln 1f x x x '=--()ln 1g x x x =--()11g x x'=-()g x ()0,1()1,+∞()()10g x g ≥=()f x ()0,+∞()y f x =()0,+∞（2），记，则，若，则，即时，在上严格增，，满足要求；若，则，时，则在上严格减，故当时，，不满足要求；若，则，在上严格减，则，不满足要求；综上，a 的取值范围是.（3）由（2）可知时，则，取，则，即；，即.()()()221ln 2ln 1f x ax x ax x '=-+=--()ln 1h x ax x =--()1h x a x'=-1a ≥11a≤1x >()0h x >()f x ∴()1,+∞()() 11f x f a >=>()0,1a ∈11a >11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x <()f x 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11f x f a <=<(],0a ∈-∞()0h x <()f x ()1,+∞()()11f x f a <=<[)1,+∞1a =()22ln 1f x x x x =->()12ln 1x x x x <->21n x n +=+()()221232ln11212n n n n n n n n n ++++<-=+++++()()2322ln 121n n n n n ++>+++20222022112323420242ln 2ln 2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++⎛⎫∴>=⨯⨯⨯= ⎪+++⎝⎭∑∑ 5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯。
浙江省衢州五校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含答案
2024学年第一学期衢州五校联盟期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}sin 2A y y x ==，{B x y ==，则A B = （）A.[]0,1 B.(]0,1 C.[)0,1 D.∅【答案】A 【解析】【分析】由正弦函数的值域得到集合A ，二次根式定义得到集合B ，再由集合交集的定义得到结果.【详解】∵[]sin 21,1x ∈-，∵y =，∴[)0,x ∈+∞∴[]0,1A B =I ，故选：A2.设复数z 满足(2i)i z +=，则z 的虚部为（）A.2 B.2- C.2iD.2i-【答案】B 【解析】【分析】运用除法运算进行复数化简，再根据虚部概念判断.【详解】复数z 满足()2i i z +=，则2i12i iz +==-.则z 的虚部为−2.故选：B.3.已知直线:2l y kx =-的一个方向向量为)，则直线l 的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】A 【解析】【分析】先根据方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角.【详解】已知直线l 的一个方向向量为，根据直线方向向量与斜率的关系，直线的斜率3k ==.因为直线的斜率tan k α==0πα≤<，所以π6α=.故选：A.4.“14a <”是方程“221341x y a a +=-表示双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程求出a 的取值范围使得方程表示双曲线，然后再判断14a <与这个取值范围的关系.【详解】要使方程221341x y a a +=-表示双曲线，则3(41)0a a -<.解不等式3(41)0a a -<，可得10a 4<<.当14a <时，不一定满足10a 4<<，例如当1a =-时，方程221341x y a a +=-不表示双曲线；而当方程221341x y a a +=-表示双曲线时，一定有10a 4<<，那么一定满足14a <.所以14a <是方程221341x y a a +=-表示双曲线的必要不充分条件.故选：B.5.已知cos 2cos(3π)2π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭αα，则21cos sin 22αα+=（）A.15-B.25C.35D.1【答案】C 【解析】【分析】首先利用诱导公式将已知条件化简，求出tan α的值，再将所求式子利用二倍角公式化简，最后将tan α的值代入化简后的式子进行计算.【详解】根据诱导公式πcos()sin 2αα+=-，cos(3π)cos αα+=-，则sin 2cos αα-=-，即sin tan 2cos ααα==.根据二倍角公式sin 22sin cos ααα=，则221cos sin 2cos sin cos 2ααααα+=+.将其分子分母同时除以2cos α得到222cos sin cos sin cos ααααα++，进一步化为21tan tan 1αα++.把tan 2α=代入上式，可得2123215+=+.故选：C.6.已知正四面体PABC 的棱长为1，动点M 在平面ABC 上运动，且满足PM PA PB mPC =--+，则PM AB ⋅的值为（）A.2- B.1- C.0D.2【答案】C 【解析】【分析】由,,,M A B C 四点共面推得3m =，再以,,PA PB PC为基底进行向量运算可得.【详解】动点M 在平面ABC 上运动，且,AB AC不共线，则存在实数,x y ，使AM xAB y AC =+.即()()PM PA x PB PA y PC PA -=-+-，所以(1)PM x y PA xPB yPC =--++ .又PM PA PB mPC =--+，,,PA PB PC 不共面，由空间向量基本定理可知111x y x y m --=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故21m -=，解得3m =.即3PM PA PB PC =--+.因为四面体PABC 正四面体，且棱长为1.所以12PA PB PB PC PB PA ⋅=⋅=⋅= ，2221PA PB PC === .所以()()3PM AB PA PB PC PB PA⋅=-+-⋅- ()33PA PB PB PB PC PB PA PA PB PA PC PA=-⋅+⋅-⋅-⋅-⋅+⋅ ()221313PA PB PB PA=---+⋅-+ 0=.故选：C.7.已知事件,A B 满足()0.6,()0.1P A P B ==，则（）A.若A 与B 相互独立，则(0.06P AB =B.若A 与B 互斥，()0.06P AB =C.若()()1P B P C +=，则C 与B 相互对立D.若B A ⊆，则()0.6P A B ⋃=【答案】D 【解析】【分析】A 项，相互独立事件同时发生概率乘法公式可得；B 项，由互斥定义可知两事件不可能同时发生即可判断；C 项，不能判断,B C 是否互斥与对立；D 项，由A B A = 可得.【详解】选项A ，若A 与B 相互独立，则A 与B 相互独立，所以()()()()0.610.10.540.06P AB P A P B =⋅=⨯-=≠，故A 错误；选项B ，若A 与B 互斥，则,A B 不可能同时发生，即()0P AB =，故B 错误；选项C ，若()()1P B P C +=，则由于不确定C 与B 是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件C =“出现奇数点”；事件B =“出现点数不大于3”，则1()(),()()12P B P C P B P C ==+=，但事件,B C 并不互斥，也不对立，故C 错误；选项D ，若B A ⊆，则A B A = ，则()()0.6P A B P A == ，故D 正确.故选：D.8.设2()(8)sin f x x x ω=-，若存在a ∈R ，使()f x a +为偶函数，则ω可能的值为（）A.π4B.π8C.π16D.π32【答案】C 【解析】【分析】直接利用函数2y x =的奇偶性与三角函数的对称性质，结合两个偶函数的积函数的性质，选出满足题意的选项即可.【详解】由函数()()()28sin f x x x ω=-⋅，x ∈R .则()()()28sin f x a x a x a ω⎡⎤+=+-⋅+⎣⎦是偶函数，因为()28y x a =+-不可能是奇函数，由两函数解析式可知，若()28y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数，满足题意.要使()()()2228288y x a x a x a =+-=+-+-为偶函数，则80a -=，即8a =，当8a =时，()()28sin 8f x x x ωω+=+，函数2y x =为偶函数，要使()()28sin 8f x x x ωω+=+为偶函数，只需()sin(8)g x x ωω=+为偶函数即可.由()()g x g x -=恒成立，即sin(8)sin(8)x x ωωωω-+=+对任意x R ∈恒成立，882πx x k ωωωω-+=++（不合题意，舍去），或882ππx x k ωωωω-+++=+，k ∈Z .可得π8π2k ω=+，k ∈Z ，即21π16k ω+=，取0k =可得π16ω=，故C 正确，其余选项不存在k ∈Z ，使其成立.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．9.已知圆221:2O x y +=与圆222:4230O x y x y +-++=交于,M N 两点，则（）A.两圆半径相同B.两圆有3条公切线C.直线MN 的方程是4250x y -+=D.线段MN【答案】AD 【解析】【分析】由圆的方程得到圆心和半径，由此判断A 选项正确；由圆心距和半径的关系得到圆与圆的位置关系知道公切线条数，判断B 选项错误；两个方程作差即可得到交点弦的方程，判断C 错误；由垂径定理求得线段长，判断D 选项正确.【详解】1r =，22r ==，所以A 选择正确；()10,0O ，()22,1O -，∴12O O =<，两个圆相交，所以有2条公切线，B 选项错误；两个方程相减得4250x y --=，C 选项错误；垂径定理可得221225322244MN O O r ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴MN =D 选项正确；故选：AD.10.已知样本数据是两两不同的四个自然数1234,,,x x x x ，且样本的平均数为4，方差为5，则该样本数据中（）A.众数为4B.上四分位数为6C.中位数为4D.最小值为1【答案】BCD 【解析】【分析】我们可以根据这两个公式列出关于1234,,,x x x x 的方程，再结合数据是自然数以及各个选项的特点进行分析判断.【详解】已知样本数据1234,,,x x x x 的平均数为4，根据平均数公式12344x x x x x +++=，可得123416x x x x +++=.又已知方差为5，根据方差公式2222212341[(4)(4)(4)(4)]54s x x x x =-+-+-+-=，则22221234(4)(4)(4)(4)20x x x x -+-+-+-=.展开结合123416x x x x +++=，则2222123484x x x x +++=，则222222412344844x x x x x x <+++=<即2244844x x <<，则242184x <<.开方则4459,N x x ≤≤∈.不妨设1234x x x x <<<，则123409x x x x ≤<<<≤，（1）当49x =时，1237x x x ++=，2221233x x x ++=，显然无解.（2）当48x =时，1238x x x ++=，2222231233203x x x x x <++=<，则2320203x <<，开方则3334,N x x ≤≤∈.再讨论：令33,x =222121215,311,x x x x x x ++=<<=，显然无满足题意自然数解.令34,x =221121224,4,4x x x x x x +=<+<=，显然无满足题意自然数解.（3）当47x =时，1239x x x ++=，2222231233353x x x x x <++=<，则2335353x <<，开方则3345,N x x ≤≤∈.再讨论：令34,x =222121215,419,x x x x x x ++=<<=，显然无满足题意自然数解.令35,x =222121214,410,x x x x x x ++=<<=，显然121,3x x ==满足题意自然数解.（4）当46x =时，12310x x x ++=，2222231233483x x x x x <++=<，则231648x <<，开方则3356,N x x ≤≤∈.又346x x <=，则35,x =222121215,523,x x x x x x ++=<<=，显然无满足题意自然数解.（5）当45x =时，12311x x x ++=，2222231233593x x x x x <++=<，则2359593x <<，开方则3357,N x x ≤≤∈.又345x x <=，则显然无满足题意自然数解.综上所得，满足题意得自然数解只有：12341,3,5,7x x x x ====.分析各个选项.众数：众数是一组数据中出现次数最多的数，这里数据两两不同，没有众数，所以A 选项错误.上四分位数：40.753⨯=，即7562+=，所以上四分位数为6，B 选项正确.中位数：将数据从小到大排序为1,3,5,7，中位数为3542+=.C 选项正确最小值：最小值为1，D 选项正确.故选：BCD.11.数学家伯努利仿照椭圆的定义，找到了一种新的曲线：伯努利双纽线．他是这样定义双纽线的：设两个定点12(,0),(,0)(0)F a F a a ->，动点P 到12,F F 的距离之积为的点的轨迹．则下列说法正确的是（）A.双纽线有对称中心和对称轴B.双纽线的方程是()()2222222x y a x y +=-C.12PF PF +的最大值为2aD.12PF F 面积的最大值为22a 【答案】ABD 【解析】【分析】运用对称性验证即可；求曲线方程，需要根据距离公式建立等式；求12||||PF PF +的最大值以及12PF F 面积的最大值则可以根据基本不等式和根据已有的条件和相关数学知识进行分析推导.【详解】对于A ，因为1(,0)F a -，2(,0)F a 关于原点对称，设点(,)P x y 是双纽线上的点，那么点P 关于原点对称点(,)P x y '--到1F ，2F 的距离之积与P 到1F ，2F 的距离之积相同.关于x 轴，设(,)P x y 在双纽线上，点P 关于x 轴对称的点(,)P x y ''-到1F ，2F 的距离之积与P 到1F ，2F 的距离之积相同，所以双纽线有对称中心和对称轴，A 选项正确.对于B ，设(,)P x y ，1||PF =2||PF =因为212||||PF PF a =，所以2a =.展开可得22224(())(())x a y x a y a ++-+=.进一步展开2222224(2)(2)x ax a y x ax a y a +++-++=.令222m x y a =++，则4(2)(2)m ax m ax a +-=，即22244m a x a -=.将222m x y a =++代回得2222224()4x y a a x a ++-=.展开2222224224()2()4x y a x y a a x a ++++-=.整理得222222()2()x y a x y +=-，B 选项正确.对于C ，由均值不等式12PF PF +≥.已知212||||PF PF a =，所以122PF PF a +≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号，12PF PF +的最小值为2a ，C 选项错误.对于D ，设12F PF θ∠=，根据三角形面积公式121||||sin 2S PF PF θ=.因为212||||PF PF a =，所以21sin 2S a θ=.因为sin θ最大值为1，所以S 的最大值为212a ，D 选项正确.故选；ACD.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知点F 为抛物线2y x =的焦点，则点F 坐标为______．【答案】1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据抛物线方程和焦点坐标公式计算.【详解】已知点F 为抛物线2y x =的焦点，则焦点在x 轴上，则124p =,由抛物线焦点坐标公式知道点F 坐标为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：1,04⎛⎫⎪⎝⎭.13.若关于x 的方程20x m +-=有解，则m 的取值范围是______．【答案】⎡-⎣【解析】【分析】利用三角换元转化为函数值域问题求解可得【详解】令2sin ,x θ=2,ππ2θ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则cos 0θ≥，2cos θ==，即2sin 2cos 2m θθ+=.方程20x m =有解，可转化为sin cos m θθ=+，即关于θ的方程π4m θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2,ππ2θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解.设π()4f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2,ππ2θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则,ππ3π444θ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，则当ππ42θ+=即π4θ=时，()f θ取最大值，max π()2f θ==；当π4π4θ+=-即π2θ=-时，()f θ取最小值，min π()14f θ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；则()f θ的值域为⎡-⎣，要使()m f θ=有解，则m 的取值范围是⎡-⎣.故答案为：⎡-⎣.14.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1A BD 内一点，且AP =，则1BP C P +的最小值为______．【答案】3+【解析】【分析】连接1AC 与平面1A BD 交于点O ，可得1AC ⊥平面1,3A BD AO =，从而可得点P 在圆上，结合圆的性质可得BP 的最小值，以及1C P 的值，即可得结果.【详解】如图，连接1AC 与平面1A BD 交于点O ，因为ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，又因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA BD ⊥，且1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则BD ⊥平面11ACC A ，由1AC ⊂平面11ACC A ，则1BD AC ⊥，同理可得：11A B AC ⊥，且1BD A B B = ，1,BD A B ⊂平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，因为11A A BD A ABD V V --=，且1A BD 为边长为即111122232322AO ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得3AO =，又因为AP =3OP ==，且1A BD 的内切圆半径63r =，外接圆半径263R =，即333<<，可知点P 在以O 为圆心，半径为3的圆上（且在1A BD 内），当且仅当点P 在线段OB 上时，BP 取到最小值333=-，又因为113C O AC AO =-=，可得1C P =，所以1BP C P +26153+.26153+.【点睛】关键点点睛：本题的关键是求得3OP =，分析可知点P 在以O 为圆心，半径为3的圆上（且在1A BD 内），结合圆的性质分析求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知直线:10l x y +-=．（1）若直线()()21:21232l m x m y m ++-=+与直线l 平行，求m 的值；（2）若圆22:4450C x y x y ++++=关于直线l 的对称图形为曲线Γ，直线2l 过点()2,2P ，求曲线Γ截直线2l 所得的弦长的最小值．【答案】（1）3m =（2）2【解析】【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数m 的等式与不等式，即可解得实数m 的值；（2）求出圆T 的标准方程，分析可知，当2TP l ⊥时，圆心T 到直线2l 的距离最大，此时，圆T 截直线2l 的弦长最短，利用勾股定理可求得弦长的最小值.【小问1详解】因为直线()()21:21232l m x m y m ++-=+与直线:10l x y +-=平行，则()232212111m m m -++-=≠-，解得3m =.【小问2详解】圆()()22:223C x y +++=关于直线l 的对称图形为曲线Γ是圆T ，圆C 的圆心为()2,2C --，半径为，设圆心(),T a b ，直线l 的斜率为1-，由题意可得()2112221022b a a b +⎧⋅-=-⎪⎪+⎨--⎪+-=⎪⎩，解得3a b ==，所以，圆T 的标准方程为()()22333x y -+-=，因为()()2223233-+-<，所以，点()2,2P 在圆T 内，当2TP l ⊥时，圆心T 到直线2l 的距离取最大值，且TP ==所以，圆T 截直线2l的弦长的最小值为2==.16.在平面四边形ABCD 中，120,2B AB ∠=︒=，点E 在BC 上且满足AB BE AC EC=，且3AE =（1）求BAE ∠；（2）若60ADC ∠=︒，求四边形ABCD 周长的最大值【答案】（1）π12；（2）226【解析】【分析】（1）在ABE 中，由正弦定理，sin sin AE AB B BEA =∠，求解得BEA ∠和BAE ∠.（2）由（1）结合已知求得2BC AB ==令AD m =，CD n =，由余弦定理及基本不等式可求出AD CD +的最大值，即可求出四边形ABCD 周长的最大值.【小问1详解】在ABE 中，由正弦定理得：sin 22sin 23AB B AEB AE ∠==，又AEB B ∠<∠，则45AEB ∠=︒，于是1801204515BAE ∠=︒-︒-︒=︒．【小问2详解】依题意，1sin sin 21sin sin 2ABE CBE AB AE BAE S AB BE AB BAE AC EC S AC CAE AC AE CAE ⋅∠∠====∠⋅∠ ，则sin sin BAE CAE ∠=∠，有15B CAE AE ∠=︒∠=，30,30BAC ACB ︒︒∠=∠=，则2BC AB ==，在ABC 中，221(2)(2)222()62AC =+-⋅⋅-，令,AD m CD n ==，在ACD 中，由余弦定理得22262cos 60()3m n mn m n mn =+-=+-︒，于是22()6363()2m n m n mn ++=+≤+，解得26m n +≤，当且仅当6m n ==时取等号，所以四边形ABCD 周长的最大值为2226+.17.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，4π//,AD BC BAD ∠=，224,.AD BC PB AP CD ===⊥（1）求证：CD ⊥平面APB ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为2，求二面角D PC B --的平面角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）33-【解析】【分析】（1）过点B 作//BH CD ，根据角度关系证明AB CD ⊥，结合AP CD ⊥可证明CD ⊥平面APB ；（2）方法一：根据四棱锥的体积先计算出四棱锥的高，然后建立空间直角坐标系分别求解出平面PCD 和平面PBC 的法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出二面角的平面角的余弦值；方法二：通过三垂线作法先找到二面角的平面角，然后结合线段长度求解出二面角的平面角的余弦值.【小问1详解】过点B 作//BH CD 交AD 于H 点，如下图所示，四边形ABCD 为等腰梯形，π4BAD ∠=，∴π4BHA ADC BAD ∠=∠=∠=，所以π2ABH ∠=，即AB BH ⊥，即AB CD ⊥，又,,,AP CD AP AB A AP AB ⊥=⊂∩平面PAB ，CD \^平面PAB .【小问2详解】方法一：设四棱锥的高为h ，12,3P ABCD ABCDV S h -=⋅=梯形//,//AD BC BH CD ，∴四边形BCDH 为平行四边形，2,AH AD BC ∴=-=222,AH AB BH BH AB =+=，AB BH ∴==()()πsin 2442322ABCD CB AD AB S +⨯+=== 梯形，2,h ∴=又2,PB PB =∴⊥平面ABCD ；如图，以B 为原点，以,,BH BA BP 方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系B xyz -，ππ2sin ,2sin ,044C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，)C ∴，BH CD =，()D ∴，且()()0,0,0,0,0,2,BP)())2,,PC DC BC ∴=-==- ，设平面PCD 的法向量为 =s s，则200PC m z DC m ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1z =-，则0,x y ==∴()1m =- ，设面PBC 法向量为 =s s，则200PC n c BC n ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1a =，则1,0b c ==，∴得()1,1,0n =，由题意，cos ,3m n m n m n ⋅=== ，设二面角D PC B --夹角为,θθ是钝角，则cos 3θ=-．方法二：设四棱锥的高为h ，123P ABCD ABCDV s h -=⋅=梯形，()()πsin 2442322ABCD CB AD AB S ++===梯形，2,h ∴=又2,PB PB =∴⊥平面ABCD ；又PB ⊂平面,PBC ∴平面PBC ⊥平面ABCD ，过D 作DF BC ⊥交BC 延长线于F ，平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，DF ⊂平面ABCD ，∴DF ⊥平面PBC ，PC ⊂ 平面PBC ，,DF PC ∴⊥过F 作PC 的垂线，垂足为E ，连DE ，由于,,,,EF PC DF PC EF DF F EF DF ⊥⊥=⊂ 平面DEF ，∴PC ⊥平面,DEF DE ⊂ 平面DEF ，PC DE ∴⊥，则DEF ∠为所求二面角的平面角的补角．//,//AD BC BH CD ，∴四边形BCDH 为平行四边形，π2sin 4BH CD AB ∴====，2,PB BC == ，π4BCP ∴∠=，AD //BC ，π4ADC DCF ∴∠=∠=，2sin 1,1,s ,πin 4π42DF CD CF DF EF CF ∴======DF ⊥Q 平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，DF EF ∴⊥，2DE ∴==，32cos ,362DEF D E E F ∴∠===设二面角D PC B --的平面角为,θ则cos cos 3DEF θ=-∠=-．18.椭圆22:143x y C +=，动直线l 与椭圆C 相切于点P ，且点P 在第一象限．（1）若直线l 的斜率为1-．求点P 的坐标；（2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，垂足为Q ，求OPQ △面积的最大值．【答案】（1）4737,77P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭（2）14【解析】【分析】（1）设直线l ：y x b =-+，与椭圆方程联立，根据直线与椭圆相切，所以方程组只有一解，可求b 的值，进而可得切点坐标.（2）设直线l ：y kx m =+，根据直线与椭圆相切，可得,k m 的关系；再根据直线l OQ ⊥，得到直线OQ 的方程，联立直线l 的方程，可得Q 点坐标，表示出OPQ △的面积，结合基本（均值）不等式求最大值.【小问1详解】设直线l ：y x b =-+，代入椭圆22:143x y C +=，得：22784120x bx b -+-=动直线l 与椭圆C 相切于点()2,Δ163210,P b b ∴=-+==．又因为点P在第一象限，b ∴=方程27160x -+=的解为477x =，得4737,.77P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【小问2详解】如图：设直线:(0,0)l y kx m k m =+<>交x 轴于,0,m A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为直线1l 与l 垂直，11:l y x k ∴=-．联立1l 与l ，得22,.11km m Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭将:(0,0)l y kx m k m =+<>代入椭圆22:143x y C +=得()2223484120,k x kmx m +++-=动直线l 与椭圆C 相切于点()()2222,Δ644344120,P k m k m ∴=-+-=得2243,k m +=3,P m m ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭即43,k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2211311,22142112OPQ Q P k m m S OA y y k k m k k k =⋅-=⨯⋅-==≤+⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ 当且仅当1||||k k =，即1k =-时取等号．OPQ △面积的最大值为14．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中有关最值的问题，通常解法有：（1）转化成二次函数的最值问题解决；（2）有时候要经过换元，转化成利用基本（均值）不等式求最值；（3）采用三角换元，利用三角函数的性质求值域；（4）少数题目利用求导，分析函数的单调性求最值.19.曼哈顿距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场景，例如无人驾驶出租车行驶、物流配送等．在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图像处理和路径规划等问题．曼哈顿距离用于标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系内有两个点()()1122,,,,A x y B x y 它们之间的曼哈顿距离1212(,).D A B x x y y =-+-（1）已知点(2,1),(3,3)A B -，求(,)D A B 的值；（2）已知平面直角坐标系内一定点(2,1)A ，动点P 满足(,)2D A P =，求动点P 围成的图形的面积：（3）已知空间直角坐标系内一定点(2,1,3)A ，动点P 满足(,)(0)D A P m m =>，若动点P 围成的几何体的体积是，求m 的值．【答案】（1）5（2）8（3）【解析】【分析】（1）根据定义计算即可；（2）设(,),(,)|2||1|2(04,13)P x y D A P x y x y ∴=-+-=≤≤-≤≤，分类讨论，去绝对值即可得到正方形，后求面积；（3）动点P 的正三角形，根据公式得到体积，求m ．【小问1详解】(,)|23||13|5D A B =-++=．【小问2详解】设(,),(,)|2||1|2(04,13)P x y D A P x y x y ∴=-+-=≤≤-≤≤，当24,13x y ≤≤≤≤时，5x y +=；当24,11x y ≤≤-≤<时，3x y -=；当02,13x y ≤≤≤≤时，1x y -=-；当02,11x y ≤≤-≤<时，1x y +=．所以动点P 围成的图形是正方形，边长为，面积为8．【小问3详解】动点P 的正三角形，其体积为3186V m m =⨯==．证明如下：不妨将A 平移到(0,0,0)A '，处，设(,,)P x y z ，若()(),0D A P m m '=>，则||||||x y z m ++=，当,,0x y z ≥时，即()0,,x y z m x y z m ++=≤≤，设123(,0,0),(0,,0),(0,0,)M m M m M m ，由112233OP OM OM OM λλλ=++ ，得1231λλλ++=所以123,,,P M M M 四点共面，所以当,,0x y z ≥时，P 的等边三角形123M M M 内部（含边界），同理可知等边三角形内部任意一点(),,Q x y z '''，均满足()0,,x y z m x y z m '''++=≤≤．所以满足方程()0,,x y z m x y z m ++=≤≤的点P ，的等边三角形内部（含边界）、由对称性可知，P 的等边三角形．故该几何体体积3186V m m =⨯==。
江苏镇江市“五校联考”2025届高三上学期10月数学试卷(解析版)
江苏省镇江市“五校联考”2025届高三10月数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{}1ln(1)2B x x =<+<，则A B = （ ）A. {}3B. {}1,2C. {}2,3D. {}1,2,3【答案】C 【解析】【分析】由对数函数的性质求出集合B ，再集合交集的概念求解可得答案.【详解】由题意得{}2e 1e 1Bx x =−<<−，又因为e 2.7≈，所以24e9<<，所以{}2,3A B ∩=， 故选：C.2. 将函数()sin f x x =图象先向左平移π4个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()y g x =的图象，则π2g=（ ）A. B. 1C.D. －1【答案】A 【解析】【分析】根据题意，先求出yy =gg (xx )的表达式，再求π2g的值. 【详解】函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位得到πsin()4y x =+， 将πsin()4y x =+图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()πsin(2)4g x x =+，所以ππππsin(2+)sin 2244g=×=−， 故选：A.的3. 已知函数()2121xf x =−+，则对任意实数x ，有（ ） A. ()()0f x f x −+=B. ()()0f x f x −−=C. ()()2f x f x −+=D. ()()2f x f x −−=【答案】A 【解析】【分析】计算()f x −后与()f x 比较可得．【详解】()22112121x x x f x −=−=++，则2112()()2112x xx x f x f x −−−−−===−++，即()()0f x f x ， 故选：A ．4. “11a −<<”是“函数()()2lg 21f x x ax =−+的值域为R ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】若函数()()2lg 21f x x ax =−+的值域为R ，则函数221=−+y x ax 与x 轴有交点，列出不等式求解出a 的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解．【详解】若函数()()2lg 21f x x ax =−+的值域为R ，则函数221=−+y x ax 与x 轴有交点，所以()2240a −≥，则1a ≤−或1a ≥，“11a −<<”是1a ≤−或1a ≥的既不充分也不必要条件， 故选：D ．5. 已知α，β都是锐角，1cos 7α=，()11cos 14αβ+=−，求cos β=（ ） A.12B.3998 C.5998D.7198【答案】A 【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系可求得sin α，()sin αβ+，再利用两角差的余弦公式可得结果.【详解】由1cos 7α=，()11cos 14αβ+=−以及α，β都是锐角可得sin α=，()sin αβ+；所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++111491147982=−×+==. 故选：A6. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）()3.14π≈A. 1895秒B. 1896秒C. 1985秒D. 2528秒【答案】C 【解析】【分析】由圆锥的体积公式计算细沙体积和沙堆体积，根据细沙体积不变即可求解． 【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为284=33×，高为163， 所以细沙体积为()2318161024cm 33381ππ ×××=所以该沙漏的一个沙时为10248119850.02π≈秒， 故选：C7. 在,,A B C 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（ ） A. 0.515B. 0.05C. 0.0495D. 0.0485【答案】D 【解析】【分析】考虑患流感的这个人可能来至于哪个地区，结合互斥事件的概率计算可得答案.【详解】由题意得，从这三个地区中任意选取一人，则这个人可能来至于三个地区中患流感的人当中，故这个人患流感概率为5786%5%4%0.0485578578578P =×+×+×=++++++，故选：D8. 已知()2cos f x x x =−−，若34e a f − =，4ln 5b f = ，14c f=− ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. c a b <<C. b c a <<D. a c b <<【答案】D 【解析】【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到5ln4b f=，14c f = ，通过指数函数单调性得31411e e e 4−−>=>，再根据幂函数性质证明出145e 4>，同取对数得到15ln 44>，则有3415e ln 44−>>，再利用()f x 单调性即可得到大小关系. 【详解】因为2()cos ,R f x x x x =−−∈，定义域关于原点对称，()22()()cos()cos f x x x x x f x −=−−−−=−−=，所以()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时,()2sin ,f x x x ′=−+，设()2sin g x x x =−+， 则()2cos g x x ′=−+，1cos 1x −≤≤ ，()0g x ′∴<， 所以()g x 即()f x ′在[0,)+∞上单调递减,所以()(0)0f x f ′′≤=, 所以()f x 在[0,)+∞上单调递减,又因为()f x 为偶函数, 所以()f x 在(,0]−∞上单调递增，的又因为41ln0,054<−<,445ln ln ln 554b f f f==−=, 1144c f f=−=又因为31411ee e 4−−>=>,因为141ln e 4=,41445e e, 2.4e 4 =≈<，所以145e 4>, 所以145ln e ln4>，即15ln 44>,所以3415eln 44−>>, 所以3441e 5ln 4f f f −<<,即a c b <<. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对,,a b c 进行一定的变形得5ln 4b f = ，14c f =,然后就是比较3415,,ln 44e −的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 一组数据：x 1，x 2，…，x 10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x 1，x 10后得到一组新数据，则（ ） A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同【答案】BC 【解析】【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断C ，由中位数的概念可判断B ，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断D ，根据极差及等差数列的通项公式可判断A ．【详解】对于C ，原数据的平均数为1210511()5(1010x x x x x =+++=×+ 6561)()2x x x =+， 去掉1x ，10x 后平均数为2395656111()4()()882x x x x x x x x x ′=+++=×+=+=，则C 正确； 对于B ，原数据的中位数为561()2x x +，去掉1x ，10x 后的中位数仍为561()2x x +，即中位数没变，则B 正确；对于A ，原数据的极差为110918x x d −=−=， 去掉1x ，10x 后的极差为29714x x d −=−=，即极差变小，则A 错误； 对于D ，设公差为d ，则原数据的方差为222215625610561111()()()10222s x x x x x x x x x=−++−+++−+2221975()()()10222[d d d =−+−+−222311()()()222d d d +−+−++22223579()()()()3322]22d d d d +++=， 去掉1x ，10x 后的方差为22222563569561111()()()8222s x x x x x x x x x′=−++−+++−+22222222175311357()()()()()()()()2182222222[]2d d d d d d d d =−+−+−+−++++=， 即方差变小．标准差也变小，则D 错误. 故选：BC10. 已知函数π()sin 33f x x=+，下列说法正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π3B. 点π,06为()f x 图象的一个对称中心 C. 若()(R)f x a a =∈在ππ,189x∈−1a ≤< D. 若()f x 的导函数为()f x ′，则函数()()y f x f x =+′【答案】ACD 【解析】的【分析】对于A ，直接由周期公式即可判断；对于B ，直接代入检验即可；对于C ，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D ，求得后结合辅助角公式即可得解. 【详解】由题意可得2π3T =，故A 正确； π5π1sin 0662f==≠ ，所以π,06不是()f x 图象的一个对称中心，故B 错误；令π33t x =+，由ππ189x −≤≤得π2π63t ≤≤， 根据题意可转化为直线y a =与曲线π()sin 33f x x=+，ππ,189x∈−有两个交点，1a ≤<，故C 正确； 设ff ′(xx )为()f x 的导函数，则()()πππsin 33cos 33333f x f x x x x ϕ+=+++=++≤′，其中tan 3ϕ=，当且仅当ππ32π,Z 32x k k ϕ++=+∈，即当且仅当π2π,Z 3183k x k ϕ=−++∈时等号成立，故D 正确， 故选：ACD ．11. 在正方体1111ABCD A B C D −中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λµ=+，其中[][]0,1,0,1λµ∈∈，则下列结论正确的是（ ）A. 当1//B P 平面1A BD 时，1B P 不可能垂直1CDB. 若1B P 与平面11CC D D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C. 当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为]D. 当λµ=时，1||||DP A P +【答案】BD 【解析】【分析】对A ，作出如图空间直角坐标系A xyz −，由向量法结合向量垂直判断即可；对B ，由几何关系得出1B P 与平面11CC D D 所成线面角11B PC ∠，可得11C P =，则点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆； 对C ，由1λ=得点P 在1D D 上，利用几何关系可得1PAC △的面积最值在端点及中点位置；对D ，将平面1CDD 与平面11A BCD 沿1CD 展成平面图形，线段1A D 即为1||||DP A P +的最小值，利用余弦定理即可求.【详解】对A ，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()1,1,0C ，()10,0,1A ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，所以()11,0,1CD =− ，11B PB C CP =+ 11B C CD CC λµ=++ (),1,1λµ=−−， 则()11,0,1BA − ，()1,1,0BD =−，设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =，所以100BA n x z BD n x y ⋅=−+= ⋅=−+= ，令1x =，则1y z ==，即平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n = ，若1//B P 平面1A BD ，则10n B P ⋅=，即λµ=，由1110B P CD λµ⋅=+−= ，则12λμ==，即P 为1CD 中点时，有1//B P 平面1A BD ，且11B P CD ⊥，A 错；对B ，因为11B C ⊥平面11CC D D ，连接1C P ，则11B PC ∠即为1B P 与平面11CC D D 所成角，若1B P 与平面11CC D D 所成角为π4，则11111tan 1B C B PC C P ∠==，所以1111C P B C ==， 即点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆，于是点P 的轨迹长度为π2，B 对； 对C ，因为1λ=，所以点P 一定在1D D 上，又因为当0µ=或1时，1PAC △的面积取最大值，此时截，设1D D 的中点为H ，由图形的变化可得当点P 在DH 和1D H 运动时，所得截面对称相同，于是当12µ=时，1PAC △，C 错； 对D ，如图，将平面1CDD 与平面11A BCD 沿1CD 展成平面图形，线段1A D 即为1||||DP A P +的最小值，利用余弦定理可知22211111113π2cos 24A D A D DD A D DD =+−⋅+所以1A D =，D 对.故选：BD【点睛】（1）容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题. 本题A 中，通过线面平行得线与该面的法向量垂直，即可得参数间的关系，即可进一步讨论线线垂直的问题；（2）B 中轨迹问题，关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角，即可得出所求轨迹为圆弧；（3）C 中截面问题，关键结合正方体的对称性，转化为三角形面积的和，再进一步转换成讨论高的范围问题；（4）D 中求不同表面线段和问题，一般展开成平面讨论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设,A B 是一个随机试验中的两个事件，若()()()312,,533P B P A B P A B === ∣，则()P A =______． 【答案】415【解析】【分析】运用条件概率和并事件的概率公式即可解决.【详解】()()1()3P AB P A B P B ==∣，将()35P B =代入可以求得1()5P AB =， ()()()()23P A B P A P B P AB ∪=+−=，将()35P B =，1()5P AB =代入，求得()415P A = 故答案为：415. 13. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：][2.13,3.13 −=−= ，若函数)2521x xf x +=+，则函数()y f x = 的值域为___________. 【答案】{}1,2,3,4 【解析】【分析】分离常数，求出函数()2521x x f x +=+的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案.【详解】解：()25411,20,121,01212121x x x x x x f x +==+>∴+><<+++ ，则411521x<+<+，即()15f x <<， 当()12f x <<时，()1f x =； 当()23f x ≤<时，()2f x = ；当()34f x ≤<时，()3f x = ； 当()45f x ≤<时，()4f x = ， 综上，函数()y f x = 的值域为{}1,2,3,4. 故答案为：{}1,2,3,4.14. 已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +−=，则12m n+的最小值是______ 【答案】8 【解析】【分析】由函数奇偶性的定义可知()f x 为奇函数，根据单调性可知21m n +=，然后结合基本不等式即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()()32f x x x f x −=−−=−， 所以()f x 为奇函数，又()2320f x x +′=>，所以函数单调递增， 又()00f =，所以()()210f m f n +−=， 所以210m n +−=，即21m n +=，所以()121242448n m m n m n m n m n +=++=++≥+= ， 当且仅当4n m m n=，即12n =，14m =，等号成立，所以12m n+的最小值为8.故答案为：8.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 设三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且()2sin 2AB C +． （1）求角A 的大小；（2）若3b =，BC ，求三角形ABC 的周长． 【答案】（1）π3A =（2）5+【解析】【分析】（1）利用内角和为180°化简()sin sin B C A +=，利用二倍角公式化简21cos sin 22A A −=，再利用辅助角公式化简即可求得π3A =； （2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可. 【小问1详解】因为A ，B ，C 为ABC 内角，所以()sin sin B C A +=， 因为21cos sin22A A−=，所以()2sin 2A B C +可化为：)sin 1cos A A =−，即sin A A +πsin 3A+， 因为ππ4π,333A +∈ ，解得：π2π+33A =，即π3A =．【小问2详解】 由三角形面积公式得11sin 22b c A ⋅=，3b =代入得：1π13sin 232c ×⋅=，所以a =，由余弦定理222272cos 4a b c bc A c =+−=得：24120c c −=+， 解得：2c =或6c =−舍去，即a =所以ABC的周长为516. 如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O 处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位.（1）求质点移动5次后移动到1的位置的概率；（2）设移动5次中向右移动的次数为X ，求X 的分布列和期望. 【答案】（1）516（2）分布列见解析；52【解析】【分析】（1）根据题意，质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的，要使得质点移动5次后移动的到1的位置，只需质点向右移动3次，向左移动2次，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量X 可能取值为0,1,2,3,4,5，结合独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】由题意，从原点O 处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位， 可得质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的， 要使得质点移动5次后移动到1的位置，则质点向右移动3次，向左移动2次，所以概率为332511105C ()()223216P ===. 【小问2详解】由题意知，质点向左或向右移动的概率均为12，且是等可能的， 移动5次中向右移动的次数为X ，可得随机变量X 可能取值为0,1,2,3,4,5，可得0055111(0)C ()()2232P X ===，()14151151C 2232P X === ， 22351110(2)C ()()2232P X ===，33251110(3)C ()()2232P X ===， 4415115(4)C ()()2232P X ===，5505111(5)C ()()2232P X ===， 所以变量X 的分布列为则期望为()1510105150123453232323232322E X =×+×+×+×+×+×=. 17. 设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈. （1）求函数22yf x π+的最小正周期；（2）求函数()4yf x f x π−在0,2π 上的最大值.【答案】（1）π；（2）1+. 【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x =−，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得sin 24y x π=−+，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π=++，则2223332sin 1cos 21sin 22442y f x x x x x ππππ=++=+=−+=−， 所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ=−=+=+22sin cos x x x x x x =⋅+1cos 2222sin 224x x x x x π−=+=−=−+， 由0,2x π∈可得32,444x πππ −∈− ，所以当242x ππ−=即38x π=时，函数取最大值118. 如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB BC ⊥，60DAB ∠=°，4AB AD ==，等腰直角三角形ADE 中，AE DE =，且平面ADE ⊥平面ABC ，平面ABE 与平面CDE 交于EF .（1）求证：CD EF ∥；（2）若CD EF =，求二面角A BC F −−的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由已知利用线面平行的判定定理得CD ∥平面ABFE ，进而由线面平行的性质定理即可证明结论；（2）取AD 中点O ，连接OE ，OB ，DB ，由等边三角形的性质得OB AD ⊥，又由面面垂直的性质定理可得OE ⊥平面ABCD ，可得,,OA OB OE 三线两两垂直，建立以O 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】因为AB CD ∥，AB ⊂平面ABFE ，CD ⊄平面ABFE ，所以CD ∥平面ABFE ， 又因为平面ABE 与平面CDE 交于EF ，CD ⊂平面CDE ，所以CD EF ∥； 【小问2详解】取AD 中点O ，连接OE ，OB ，DB ，因为60DAB ∠=°，4AB AD ==， 所以ABD △是等边三角形，由三线合一得：OB AD ⊥， 又因为ADE 是等腰直角三角形，所以OE AD ⊥， 因为平面ADE ⊥平面ABC ，平面ADE 平面ABCAD =，OE ⊂平面ADE ，所以OE ⊥平面ABCD ，又OB ⊂平面ABCD ，所以OE OB ⊥， 故,,OA OB OE 三线两两垂直，如图以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,0,,,2,0,0,0,0,2A B C D E −−， 因为CD EF =且由（1）知CD EF ∥，所以四边形CDEF为平行四边形，可得()2F −，所以()()3,,2,0,2BC CF =−= ，设平面BCF 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1130220n BC x n CF x z ⋅=−=⋅=+=，取1x =，则()11,1n =− ，又平面ABC 的一个法向量可取()20,0,1n =，所以121212cos ,n n n n n n ⋅===， 设二面角A BC F −−的大小为θ，由题意θ为锐角，所以12cos cos ,n n θ==所以二面角A BC F −−19. 已知函数()1ln f x x a x x=−−. （1）若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+− > +∑. 【答案】（1）(],2−∞ （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求导，结合导函数特征，分2a ≤与2a >两种情况，结合()10f =，得到实数a 的取值范围； （2）在第一问的基础上，取2a =，得到12ln 0x x x−−>在()0,x ∈+∞上恒成立，令2x n =≥，则2112ln n n n n n−<−=()()()2211111n n n n n n >=−−+−，再用裂项相消法求和，不等式得证.【小问1详解】()1ln f x x a x x=−−，()1,x ∈+∞，R a ∈，()10f =， ()22111a x ax f x x x x−+′=+−=， 2a ≤时，()22212110x ax x x x −+≥−+−≥，∴()0f x ′≥，函数()f x 在()1,x ∈+∞上单调递增，∴()()10f x f >=恒成立，满足条件. 2a >时，对于方程210x ax −+=，其240a ∆=−>，方程有两个不相等的实数根12,x x ， 122x x a +=> ，121x x =，120x x x ∴<<<，当()21,x x ∈时，()0f x ′<，此时函数()f x 单调递减，()21,x x ∀∈，则()()10f x f <=，不满足条件，舍去. 综上可得：实数a 取值范围是(],2−∞. 【小问2详解】证明：由（1）可知：取2a =时，函数()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增， ∴12ln 0x x x−−>在()0,x ∈+∞上恒成立， 令2x n =≥，则2112ln n n n n n−<−=，∴()()()221211ln 111n n n n n n n n >=−−+−， ∴()()()()()()2221111111111ln 26612112121ni n n i i n n n n n n n n =+− >−+−++−=−= −+++∑ ， ∴()()()22211ln 21ni n n i i n n =+− >+∑. 【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数n 的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.的。
广东省五校2024-2025学年高二10月联考(一)数学试卷
广东省五校2024-2025学年高二10月联考（一）数学试卷一、单选题1310y --=的倾斜角为（ ）A ．30︒B ．135︒C ．60︒D ．150︒2．设()()(),,1,1,1,1,,,,4,2x y a b y z c x ∈===-r r r R ，且,//a c b c ⊥r r r r ，则2a b +=r r （ ）A ．B ．0C ．3D ．3．下列命题中正确的是（ ）A ．点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1--B ．若直线l 的方向向量为()1,1,2e =-r ，平面α的法向量为()6,4,1m =-r ，则l α⊥C ．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120o ，则直线l 与平面α所成的角为30oD ．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r ，则12m =- 4．如图，从光源P 发出的一束光，遇到平面镜（y 轴）上的点B 后，反射光线BC 交x 轴于点)C ，若光线PB 满足的函数关系式为：1y kx =+，则k 的值为（ ）AB C ．1 D ．-1 5．过点1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l ，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线l 的条数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，则BDu u u r 等于（ ）A ．1122a b c -+r r r B ．a b c +-r r r C ．a b c -+r r r D ．1122a b c -+-r r r 7．已知长方体1111ABCD A B C D -，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）A ．11ADBC ⋅u u u u r u u u r B ．1BD AC ⋅u u u u r u u u r C ．1AB AD ⋅u u u r u u u u r D ．1BD BC ⋅u u u u r u u u r8．如图已知矩形,1,ABCD AB BC =沿对角线AC 将ABC V 折起，当二面角B AC D--的余弦值为13-时，则B 与D 之间距离为（ ）A ．1 BC D二、多选题9．已知直线l 过点()2,3M -，且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 点，则（ ）A ．若直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为5y x =+B ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为1x y +=C ．若M 为AB 的中点，则l 的方程为32120x y -+=D ．直线l 的方程可能为3y =10．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．CC 1⊥BDB ．1136AA BD ⋅=u u u r u u u u rC ．11B C AA u u u r u u u r 与夹角是60°D ．直线AC 与直线11AC 的距离是11．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（ ）A ．三棱锥1C EFG -的体积为13B ．1AC ⊥平面EFGC ．1BC ∥平面EFGD ．二面角G EF C --三、填空题12．若直线1l ：10x ay +-=与直线2l ：420ax y ++=平行，则a =．13．已知()()2312A B -，，，，若点(),P x y 在线段AB 上，则3y x -的取值范围是. 14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C -，中，M 是11AC 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB =uuu r uuu r ，3MG GN =u u u u r u u u r ，若1AG xAA yAB zAC =++uuu r uuu r uu u r uuu r ，则x y z ++=．四、解答题15．已知ABC V 的两顶点坐标为()1,1A -，()3,0C ，()10,1B 是边AB 的中点，AD 是BC 边上的高．(1)求BC 所在直线的方程；(2)求高AD 所在直线的方程.16．已知直线()()1231:-=-+a y a x l .(1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；(3)若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程. 17．已知()()()0,0,0,2,5,0,1,3,5A B C ．(1)求AC u u u r 在AB u u u r 上的投影向量；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，求顶点D 的坐标；(3)若点(0,3,0)P ，求点P 到平面ABC 的距离．18．如图，在长方体1111ABCD A B G D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)求证：11D E A D ⊥.(2)当点E 为棱AB 的中点时，求CE 与平面1ACD 所成角的正弦值.(3)在棱AB 上是否存在点M ，使平面1D MC 与平面AMC 所成的角为π6？若存在，求出AM 的值；若不存在，请说明理由.19．已知111(,,)a x y z =v ，222(,,)b x y z =v ，333(,,)c x y z =v ，定义一种运算：123231312132213321()a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⨯⋅=++---v v v ，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一个平行四边形，(2,1,4)AB =-u u u v ，(4,2,0)AD =u u u v ，(1,2,1)AP =-u u u v（1）试计算()AB AD AP ⨯⋅u u u v u u u v u u u v 的绝对值的值，并求证PA ⊥面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积，说明()AB AD AP ⨯⋅u u u v u u u v u u u v 的绝对值的值与四棱锥P ABCD -体积的关系，并由此猜想向量这一运算()AB AD AP ⨯⋅u u u v u u u v u u u v 的绝对值的几何意义.。
辽宁省五校联考(省实验,育才中学2025届高三下学期联考数学试题含解析
辽宁省五校联考（省实验，育才中学2025届高三下学期联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，5)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ） A ．32B ．23C ．12D ．626．将函数2()322cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 7．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅8．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭9．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形10．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C ．1510D ．215512．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省宁德市福宁古五校教学联合体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷(含答案)
福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学试题（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min ，该物质的温度最接近（参考数据：）（ ）A ．54℃B ．52℃C ．50℃D ．48℃3．在中，已知是关于的方程的两个实根，则角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．4．对任意实数，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的大致图象是（ ）{}30,21x M x Q x x x ⎧⎫-=≤=∈≤⎨⎬+⎩⎭N M Q = {}0,1,2[]0,2(]2,2-{}1,21015lnw w T w w -=-T 0min,w 1w w e 2.72≈ABC △tan ,tan A B x 2670x x -+=C 3π42π3π3π4()2,x ∈+∞4a x x<+4a ≤221sin ln x y x x +=-⋅A ．B ．C ．D ．6．已知函数，若，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．7．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．的解集为10．已知函数，则（ ）A ．与的图象有相同的对称中心B ．与的图象关于轴对称()332e e 1x x f x x x -=-+-+()()2232f a f a -+≥a (],1-∞[]3,1-(][),13,-∞-+∞(][),31,-∞-+∞ 1215sin ,ln ,223a b c -===c b a <<a b c <<a c b <<b a c<<()2ln x f x xe x x a x =---0x >()1f x ≥a []4,4-[]3,3-[]2,2-[]1,1-()f x ()()()Δ01Δ1lim1Δx f x f f x→+-=-'()()23f f '<'0f=()0xf x '>()(),10,1-∞- ()()ππ2cos 2,2sin 236f x x g x x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()g x ()f x ()g x xC ．与的图象关于轴对称D ．的解集为11．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）A ．B ．关于中心对称C ．D ．函数有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分12．已知复数满足，则______．13．已知，则的最小值为______．14．已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数为上的奇函数．（1）求；（2）若函数，讨论的极值．16．（15分）在锐角中，内角的对边分别为，且．（1）求角A 的大小；（2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．17．（15分）在三棱锥中，底面，分别为的中点，为线段上一点．（1）求证：平面；()f x ()g x y()()f x g x ≥()5πππ,π1212k kk ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x R ()10f ≠()()()f x y f x f y xy +-=-()00f =()f x ()1,0-()x e f x >()y xf x =-z ()34i 5i z -=z =,,20,1a b a b a b ∈>>+=R 112a b b+-()()()eln e ,xxf x ax ag x x=-∈=R ()()y f g x a =-a ()11x f x a e =++R a ()()()212xg x e f x x =++()g x ABC △,,A B C ,,a b c tan tan A B +=BC =D BC AD P ABC -PM ⊥,,1ABC AB AC AB ⊥=,AC M N =,BC AC E AP BN ⊥APM（2）若平面底面且，求二面角的正弦值．18．（17分）已知函数，其中是实数．（1）若，求的单调区间；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若恒成立，求的最小值．19．（17分）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且函数图象过点．（1）若函数是偶函数，求的最小值；（2）令，记函数在上的零点从小到大依次为，求的值；（3）设函数，如果对于定义域D 内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的“级周期函数”，周期为T ．请探究是否存在非零实数，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，并证明你的结论．福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学参考答案一、单选题12345678ACDCCDBD8．解：，即，易知EBN ⊥ABC 12PM =A ENB --()()2311ex x f x a x b -=----,a b 1a =()f x ()f x a ()0f x ≤5a b +()()πsin ,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭π2()f x ⎛ ⎝()y f x m =+m ()()41g x f x =+()g x 17π31π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦12,,,n x x x 1231222n n x x x x x -+++++ (),y x x D ϕ=∈x P ()()x T P x ϕϕ+=⋅()x ϕP λ()1π26xh x f x λ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2ln 1,2ln 1x x f x e x x x a x +≥∴-++-≥ ()2ln 2ln 11x xe x x a x+-+--≤，又，当且仅当时，等号成立．．故选D ．二、多选题91011ACDABDBD11．解：令，则，又，故A 错误；令，则，又，，再令，的图象关于中心对称，故B 正确；由B 得，当时，，故C 错误；由B 得，在时取到最大值，故D 正确．三、填空题12．1； 13．14．14．解：设，则，，得，当单调递增，当单调递减，当时，函数取得最大值1，如图1，画出函数的图象，()2ln 1,2ln 10x x xe x ex x +≥+∴-+-≥()2ln 2ln 10,0x x e x x x x+-+->∴≥ 2ln 0x x +=()2ln min 2ln 10,10,11x x e x x a a x +⎛⎫-+-∴=∴-=∴-≤≤ ⎪⎝⎭0,1x y ==()()()1010f f f -⋅=()()10,01f f ≠∴=1,1x y ==-()()()()()0111,110f f f f f -⋅-=∴⋅-=()10f ≠()10f ∴-=()()()()1,11,1y f x f x f x f x x =---⋅-=∴-=()()1,f x x f x ∴=+∴()1,0-()1f x x =+0x =1xe x =+()()21,f x x y xf x x x =+=-=--12x =-4+1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x t =()f t a =()21ln e 0xg x x-'=⋅=e x =()()()0,e ,0,x g x g x >'∈()()()e,,0,x g x g x '∈+∞<e x =()g x ()t g x =由，即，则恒过点，如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点，则，得，即切点，所以切线方程为，如图2，则与有2个交点，，如图可知，若函数恰有三个零点，则，，则，所以，综上可知，．故答案为：四、解答题15．（1）因为函数为上的奇函数，由，此时，显然为奇函数．所以（2）由（1）得：定义域为，，()f t a =e tat a -=()()e 1,1t a t y a t =+=+()1,0-e t y =()1,0-e ty =()00,e tt 000e e 1t t t =+00t =()0,11y x =+()1y a t =+e ty =1a >()()y f g x a =+110t -<<201t <<()l e 11a >+e 2a <e 12a <<e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()11xf x a e =++R ()100,2f a =∴=-()()121xx e f x e -=+12a =-()()()()21221,xxg x e f x x x e g x =++=-+R ()2x g x e ∴=-'由得；由得，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，；无极小值16．（1）因为，由余弦定理得，由正弦定理得，又是锐角三角形，所以，所以，所以又，所以．（2）由余弦定理可得，又，所以，由正弦定理可得，所以，，所以，由题意得解得，则，所以，所以，()0g x '>ln2x <()0g x '<ln2x >()g x ∴(),ln2-∞()g x ()ln2,+∞()g x ln2x =()()ln22ln21f x f ==-极大值tan tan A B +=tan tan A B +===()sin sin sin sin sin cos sin cos sin tan tan sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B B A CA B A B A B A B A B A B+++==+===ABC △sin 0,cos 0C B >>sin A A =tan A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =222222cos 3a c b cb A c b cb =+-=+-=()12AD AB AC =+ ()()222222111()2444AD AB AC AB AC AB AC c b bc =+=++⋅=++ ()13132442bc bc =+=+2sin sin sin a b cA B C===2sin b B =2π12sin 2sin 2sin 32c C B B B ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎝⎭⎭2111cos2π4cos sin 42sin 212226B bc B B B B B ⎫⎫-⎛⎫=+=+⋅=-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎭π0,22ππ0,32B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62B <<ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(]2,3bc ∈所以，所以线段长的取值范围为17．（1）解法一：连接交与点0，则，，故，从而，从而，底面底面，又，故平面（1）解法二：连接，由分别为的中点，所以，，又因为，所以，故，从而，底面底面，又，故平面（2）因为，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，因为平面底面，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，279,44AD ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦AD 32⎤⎥⎦AM BN MAC MCA ∠=∠tan tan AB AN MCA ABN AC AB ∠==∠==ABN MCA MAC ∠=∠=∠90MAB ABN MAB MAC ∠+∠=∠+∠=︒AM BN ⊥PM ⊥ ,ABC BN ⊂,ABC PM BN ∴⊥AM PM M = BN ⊥APMAM ,M N ,BC AC 1122AM AB AC =+12BN AB AC =-+,1,AB AC AB AC ⊥==1110222AM BN AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AM BN ⊥AM BN ⊥PM ⊥ ,ABC BN ⊂,ABC PM BN ∴⊥AM PM M = BN ⊥APMAB AC ⊥A ,AB AC ,x y A ABC z ()()()110,0,0,,1,0,0,,22A C B P N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11,,22AC BN AP ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭EBN ⊥ABCEBN ()1n =PAC ()2,,n x y z =则，可得，令可得，设二面角为，则故二面角．18．（1）当时，，则，令，解得，令，解得，所以在单调递增，单调递减；（2）函数的图象是连续的，且在定义域上是单调函数，在定义域内恒成立，或，在定义域内恒成立．在为负，为正，所以在单调递减，单调递增，（1）若在定义域内恒成立，只需，即，（2）若在定义域内恒成立，时，，故该情况无解．综上：．（3）若恒成立，则，当时，，即，2200AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 110220x y z ⎧++=⎪⎨=1x =()21,0,1n =- A EN B --θ12cos cos ,n n θ=〉〈==A ENB --1a =()()231x x f x x e -=--()33xxf x e-'=-()0f x '>0x <()0f x '<0x >()f x (),0-∞()0,+∞ ()f x ()330x x f x a e -∴=-≥'()330xxf x a e -'-=≤()4x x f x e='-'(),4-∞()4,+∞()33xxf x a e -='-(),4-∞()4,+∞()330x xf x a e-'-=≥()min 41()430f x f a e ==--'≥'413a e≤-()330xxf x a e -'-=≤x →-∞ ()f x '→+∞a 413a e ≤-()0f x ≤()23110ex x a x b -----≤2x =510a b ---≤51a b +≥-下证成立，由得，恒成立，即，记，故，而，则，解得，只需证恒成立，，由（2）得在上单调递减，在上单调递增，又在上为正，在上为负，在上为负，在上单调递增，在上单调递减，，即恒成立，最小值为．19．解：（1）图象的相邻的两条对称轴间的距离为的最小正周期为，又的图象过点．因为函数是偶函数．的最小值．51a b +=-51a b +=-()23150e xx a x a ---+≤()2360ex x a x ---≤()()()23620e xx F x a x F -=--⇒=()20F '=()33e x x F x a -'=-2130e a -=213ea =()()221360e 3x x F x x e-=--≤()231e x x F x e'-=-()F x '(),4-∞()4,+∞()()20,F F x ='∴'(),2-∞()2,4()4,+∞()F x ∴(),2-∞()2,+∞()max ()20F x F ∴==()0F x ≤5a b ∴+1-()f x π2()f x ∴π2πT 2π0,22Tωω=⨯=>∴== ()()sin 2f x x ϕ∴=+()f x (),0sin f ϕ⎛∴== ⎝()πππ,,sin 2233f x x ϕϕ⎛⎫<∴==+ ⎪⎝⎭ ()πsin 223y f x m x m ⎛⎫=+=++⎪⎝⎭()()ππππ2π,32122k m k k m k ∴+=+∈∴=+∈Z Z m ∴π12（2）由可得设，由与图象可知在共有8个交点．，同理，．（3）假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，即，恒有，则，恒有成立，则，恒有成立，当时，，则，所以，，要使得恒成立，则有当时，则，即，令，其中，()()π414sin 2103g x f x x ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭π1sin 234x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭17π31ππ5π11π,,2,1212322x x ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦π23i i x t +=sin y t =14y =-5π11π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦182736453πt t t t t t t t +=+=+=+=1818ππ7π223π,336x x x x ∴+++=∴+=2345672222227πx x x x x x +++++=1234567849π2222226x x x x x x x x ∴+++++++=()()()π1π1sin 2,sin 23262x x f x x h x f x x λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∴=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ λ()1sin22xh x x λ⎛⎫= ⎪⎝⎭R T T x ∀∈R ()()h x T T h x +=⋅x ∀∈R ()11sin 22sin222x T xx T T x λλλ+⎛⎫⎛⎫+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∀∈R ()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅0λ≠x ∀∈R 2,22x x T λλλ∈+∈R R ()1sin21,1sin 221x x T λλλ-≤≤-≤+≤()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅21TT ⋅=±21T T ⋅=0T >12T T =()12x p x x=-0x >则，且函数在上的图象是连续的，由零点存在定理可知，函数在上有唯一的零点，此时，恒成立，则，即；当时，则，即，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的图象没有公共点，故方程无实数解．综上所述，存在满足题意，其中满足．()120,121102p p ⎛⎫=-<=-=> ⎪⎝⎭()p x ()0,+∞()p x ()0,+∞()sin 22sin2x T x λλλ+=()22T m m λπ=∈Z ()m m T πλ=∈Z 21T T ⋅=-0T <2T T --=y x =-2x y -=2x y x y -=-=、21T T ⋅=-()m m T πλ=∈Z T 21T T ⋅=。
广东省东莞市五校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷
广东省东莞市五校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷一、单选题1．已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135o ，那么1l 与2l A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直2．若向量()1,2,0a =r，()2,0,1b =-r ，则（ ） A ．cos ,120a b r r ︒〈〉= B ．a b⊥r r C ．//a b r rD ．a b =r r3．已知直线1l ：330x y -+=与2l ：30x y C -+=C =（ ） A ．13B ．13或−7C ．7D ．7或13-4．已知直线m 过点()0,0,0O ，其方向向量是()1,1,1a =r，则点()3,4,5Q 到直线m 的距离是（ ）A ．1BC D ．25．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，M ，N 分别是111,AC BB 的中点，G 是MN 的中点，若1322AG xAB yAA z AC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则x y z ++=（ ）A ．1B ．12C ．32D ．346．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，M 、N 分别是BB 1和B 1C 1的中点，则直线AM 与CN 所成角的余弦值等于（ ）A B C ．25D ．357．过点(2,0)P 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220--=l x y 与2:30l x y ++=之间的线段恰被点P 平分，则直线l 的方程为（ ） A ．480x y +-= B ．480x y -+=C ．480x y --=D ．480x y --=8．如图，已知正四面体1234A A A A ，点5A ，6A ，7A ，8A ，9A ，10A 分别是所在棱中点，点P满足4414243A P xA A yA A z A A =++u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r 且1x y z ++=，记44m in ||||AQ AP =u u u u r u u ur ，则当1i ≤，10j ≤且i j≠时，数量积4i j A Q A A ⋅u u u u r u u u u r的不同取值的个数是（ ）A ．3B ．5C ．9D ．21二、多选题9．已知直线l 的一个方向向量为(),1,3a m =r，平面α的一个法向量为()2,,1b n =-r ，则（ ） A ．若//l α，则23m n -= B ．若l α⊥，则23m n -= C ．若//l α，则20mn += D ．若l α⊥，则20mn +=10．下列说法中，正确的有（ ）A ．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3,2,1)M 关于平面yOz 对称的点的坐标是(3,2,1)-B ．在平面直角坐标系中，直线3450x y ++=与直线3450x y -+=关于y 轴对称.C ．在平面直角坐标系中，直线:40l x y +-=上的动点P 到坐标原点距离的最小值为D ．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则AB 与平面BCD 所成角为π311．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，M 为1CC 的中点，P 为侧面11BCC B 的动点，且满足//AM 平面1A BP ，则下列结论正确的是（ ）A ．1AMB M ⊥ B ．1//CD 平面1A BPC ．11A B BP ⊥D ．以M π+三、填空题12．直线0x By C ++=经过点(0,2)P ，且与直线40x y -+=平行，则B C +=.13．已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--r，点(,3,0)A x 在平面α内，若点(2,1,4)P -到平面α的距离d 为2，则x =.14．在平面直角坐标平面xOy 中，圆心在原点，半径为r 的圆可以用222x y r +=表示.已知两定点1(4,0)F -与2(4,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=（其中a ，b 不同时为0）的同侧，设集合{P l =∣点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于{}22(,)8,,Q x y x y x y =+≤∈R ∣，记{(,)(,),}S x y x y l l P =∉∈∣，{(,)(,)}T x y x y Q S =∈⋂∣，则由T 中的所有点所组成的图形的面积是.四、解答题15．已知点()()()1,33,11,0A B C -､､，求： (1)BC 边上的中线所在直线的方程； (2)BC 边上的高所在的直线的方程；(3)三角形ABC 的面积.16．已知空间三点()0,2,3A -、()2,1,6B --、()1,1,5C .(1)若向量m u r 与AB u u u r平行，且m =u r m u r 的坐标；(2)求以CB 、CA 为邻边的平行四边形的面积．17．如图，在底面ABCD 为菱形的平行六面体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别在棱11,AA CC 上，且11111,33A M AA CN CC ==，且1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒.(1)求证：1,,,D M B N 共面； (2)当1AA AB为何值时，1MN BB ⊥. 18．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记(0CM BN a a ==<<.(1)求证：BC BE ⊥；(2)a 为何值时，MN 的长最小?(3)当MN 的长最小时，求平面MNE 与平面MNB 夹角的余弦值.19．已知点P x 0,y 0 ，直线:0l Ax By C ++=（其中A ，B 不同时为0），且点P 不在直线l 上. (1)若点P x 0,y 0 关于直线30x y +-=的对称点为(,)Q x y ，求Q 点坐标；(2)求证：点P 到直线l 的距离d ；(3)当点P x 0,y 0 在函数()y f x =图象上时，（2）中的公式变为d =，请参考该公式，求33,R)x t x t +-∈的最小值.。
福建省厦门市、泉州市五校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题
福建省厦门市、泉州市五校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题1．已知(1,1,0),(1,1,2)a b ==- ，则a b ⋅=（）A ．1-B ．0C ．1D ．22．椭圆221259x y +=上一点P 到左焦点的距离为6，则P 到右焦点的距离为（）A ．5B ．6C ．4D ．123．“3a =”是“直线20x y +-=与圆C ：()()228x a y a -+-=相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件4．下列命题中，不正确的命题是（）A ．空间中任意两个向量一定共面B ．若a b ∥，则存在唯一的实数λ，使得a bλ= C ．对空间中任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若243OP OA OB OC =-+，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{},,a b c 是空间的一个基底，m a c =+ ，则{},,a b m 也是空间的一个基底5．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，13AA =，M 为11A C ，11B D 的交点，则线段BM 的长为（）AB C ．3D ．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：0mx y m +-=被圆M ：224210x y x y +--+=截得的最短弦的长度为（）AB ．2C ．D ．47．已知12,F F 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且122PF PF =，则椭圆E 的离心率为（）A ．102B ．104C ．3D 8．如图是一个棱数为24面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E 为线段BC 上的动点，则直线DE 与直线AF 所成角的余弦值的取值范围是（）A ．132⎡⎢⎣⎦，B ．13⎡⎢⎣⎦C ．122⎡⎢⎣⎦，D ．1，22⎡⎢⎢⎥⎣⎦二、多选题9．空间直角坐标系O xyz -中，已知()1,2,2A -，()0,1,1B ，下列结论正确的有（）A ．()1,1,3AB =--B ．点A 关于xOy 平面对称的点的坐标为()1,2,2-C ．若()2,1,1m = ，则⊥ m ABD ．若(),2,6n a =- ，n BA ∥，则2a =-10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱11A D ，1AA ，CD 的中点，则（）A ．直线BE 与CDB ．点F 到直线BE 的距离为1C ．1B G ⊥平面BEFD ．点1A 到平面BEF 的距离为4311．已知椭圆22:1259x y C +=，12,F F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A ．存在P 使得12π2F PF ∠=B ．椭圆C 的弦MN 被点()1,1平分，则925MN k =-C ．12PF PF ⊥，则12F PF 的面积为9D ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925三、填空题12．已知直线l 的一个方向向量为()1,5-，则直线l 的斜率为．13．已知F 为椭圆22:14x C y +=的一个焦点，点M 在C 上，O 为坐标原点，若||||OM OF =，则OMF 的面积为．14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆()()221:24C x y m -+-=()0m >，在圆上存在点P 满足2PA PB =，则实数m 的取值范围是．四、解答题15．已知ABC V 的顶点()4,3A ，AB 边上的高所在直线为30x y --=，D 为AC 中点，且BD 所在直线方程为370x y +-=.(1)求AB 边所在的直线方程；(2)求顶点B 的坐标.16．已知空间三点()2,0,1A ，()2,4,3B -，()1,1,1C ．(1)求向量AB与AC 夹角的余弦值；(2)求ABC V 的面积.17．已知圆C 的圆心M 在直线2y x =-上，并且经过点(0,1)P -，与直线10x y --=相切．(1)求圆C 的方程；(2)经过点(2,1)的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，若||2AB =，求直线l 的方程．18．已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为F10），点12M ⎫⎪⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P （1，0）的直线l 交椭圆C 于两个不同的点A 、B ，若△AOB （O 是坐标原点）的面积S =45，求直线AB 的方程.19．已知O 为坐标原点，圆O ：221x y +=，直线l ：y x m =+（01m ≤<），如图，直线l 与圆O 相交于A （A 在x 轴的上方），B 两点，圆O 与x 轴交于,M N 两点（M 在N 的左侧），将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面AMN ）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面BMN ）互相垂直，再以O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴，原x 轴正半轴，原y 轴正半轴所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．(1)若0m =．（ⅰ）求三棱锥A BMN -的体积；（ⅱ）求二面角A BN M --的余弦值．(2)是否存在m ，使得AB 折叠后的长度与折叠前的长度之比为306？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．。
河南省信阳市2024-2025学年九年级上学期数学五校联考测试卷
河南省信阳市2024-2025学年九年级上学期数学五校联考测试卷一、单选题1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（）A ．(3)(1)0x x ++=B ．22222(1)x x x -+=--C ．230x x+=D ．20ax bx c ++=2．方程240x -=的两根分别为（）A ．12x =-，22x =B ．122x x ==C ．122x x ==-D ．无实数根3．关于x 的二次函数22(1)22y a x ax a =+++-的图象过原点，则a 的值为（）A ．1-B ．1C ．1±D ．04．已知2x =-是方程20x bx c -+=的一个根，则2b c +的值是（）A ．6-B ．6C ．4D ．4-5．将抛物23y x =-向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A ．()2321y x =---B ．()2321y x =--+C ．()2321y x =-+-D ．()2321y x =-++6．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个数学问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问长阔各几何?译文：一个长方形的面积是864平方步，它的宽比长少12步，长宽各是多少步?设长为x 步，则可列出正确的方程是（）A ．()12864x x -=B ．()12864x x +=C ．()1128642x x +=D ．()1128642x x -=7．关于二次函数241y x x =-++的性质，下列说法正确的是（）A ．图象的开口向上B ．图象的对称轴为直线2x =-C ．顶点坐标为(2,5)-D ．当2x >时，y 随x 的增大而减小8．某学校组织一次篮球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛一场，计划组织x 支球队参加，安排21场比赛，则x 为（）A ．6B ．7C ．8D ．99．若关于x 的一元二次方程2210x x k --+=没有实数根，则二次函数2y kx k =-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．10．若二次函数2y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表x …0123…y…1-232…点()11,A x y 点()22,B x y 在该函数图象上，当12101,23,x x y <<<<与2y 的大小关系是（）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y ≥D ．12y y ≤二、填空题11．写出一个开口向上，对称轴为直线1x =的二次函数：．12．已知a ，b 是一元二次方程2680x x -+=的两个实数根，则a b ab ++的值为．13．老君山，原名景室山，位于古都洛阳栾川县城东南三千米处，距今已有两千多年人文历史．2023年元旦假期老君山共接纳游客约3.29万人次，预计2025年元旦假期接纳游客达5万人次，若从2023年至2025年元旦假期接纳游客人次的平均增长率相同，设平均增长率为x ，则根据题意，可列方程：．14．定义：由a ，b 构造的二次函数2()y ax a b x b =+--叫作一次函数y ax b =-的“滋生函数”，一次函数y ax b =-叫作二次函数2()y ax a b x b =+--的“本源函数”（a ，b 为常数，且0a ≠）．若一次函数y ax b =-的“滋生函数”是242y ax x a =-++，则二次函数242y ax x a =-++的“本源函数”是．15．在平面直角坐标系中，将抛物线26y x x =--向上（下）或向左（右）平移了m 个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为，最大值为．三、解答题16．选择适当的方法解下列方程：(1)3(1)22x x x -=-；(2)2580x x -+=．17．已知关于x 的方程2(1)210k x kx k +-+-=．(1)当k 满足什么条件时，该方程是一元二次方程？(2)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根．18．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表所示：x (1)-01234…y…83m1-03…(1)求m 的值；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）；(3)当03x <<时，直接写出y 的取值范围．19．《代数学》中记载，形如2833x x +=的方程，求正数解的几何方法如下：“先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形（如图1），得到大正方形的面积为331649+=，则该方程的正数解为743-=．”(1)这个方法运用的数学思想方法是（）A ．数形结合B ．分类讨论C ．类比推理D ．方程思想(2)小明按此方法解关于x 的方程21228x x +=时，构造出如图2所示的图形，请利用该图形求出方程的正数解．20．某网店销售台灯，成本为每盏30元，销售大数据分析表明：当每盏台灯的售价为40元时，平均每月售出600盏；当每盏台灯的售价每下降1元时，每月多售出50盏．(1)若每盏台灯售价为38元，则每月可卖出________盏台灯；(2)该网店决定降价促销，迎接“十一”国庆黄金周，当每盏台灯的售价定为多少元时，利润为4800元？21．在平面直角坐标系中，二次函数2221y x mx m =+-+的图象与y 轴交于点A ，将点A 向右平移4个单位长度得到点B ，点B 恰好也在该函数的图象上．(1)求出m 的值；(2)已知该函数图象经过点(1,1)M a --，求a 的值．22．请阅读下列材料：在求代数式223x x ++的最小值时，三位同学分别提出了下面的解决方法：甲同学：222222321113(1)2x x x x x ++=+⋅+-+=++．2(1)0x +≥ ，∴当1x =-时，223x x ++有最小值，最小值为2．乙同学：设223y x x =++，y ∴是关于x 的二次函数，对称轴是直线1x =-，当1x =-时，2(1)2(1)32y =-+⨯-+=．10a => ，223x x ∴++的最小值是2．丙同学：设223y x x =++，2230x x y ∴++-=．关于x 的一元二次方程2230x x y ++-=有实数根，2241(3)480y y ∴=-⨯⨯-=-≥△，解得2y ≥，223x x ∴++的掫小值是2．请根据上述材料，解答下列问题：(1)2241()x x x h k -+=-+（其中h ，k 是常数），则h =_______，k =________；(2)已知关于x 的多项式29x mx -++的最大值为10，求m 的值；(3)某商店经销一种双肩包，通过市场调查发现，这种双肩包每天的销售利润y （单位：元）与销售单价x （单位：元）有如下关系：2901800(3060)y x x x =-+-≤≤，当这种双肩包的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？23．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为(3,4)，抛物线2y x bx c =-++经过O ，A 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线与线段BC 的交点为D ，连接OD ，将OCD 沿直线OD 折叠，点C 的对应点为E ，连接AE ，求AE 的长度．(3)在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得14OPE OABCS S =△菱形，请直接写出点P 的坐标．。
江苏盐城五校联考2025届高三10月月考数学试题+答案
（总分150江苏盐城五校联考2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学试题分考试时间120分钟）注意事项：1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2340A x x x =--≤，{}20B x x =∈->N ，则A B = （）A.{3,4}B.{0,1}C.{}1,0,1- D.{2,3,4}2.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）A.1B.2C.4D.83.已知0x >，0y >，则（）A .ln ln ln ln 777x y x y+=+ B.()ln ln ln 777x y x y +=⋅C.ln ln ln ln 777x y x y⋅=+ D.()ln ln ln 777xy x y=⋅4.若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（）A.B.2C. D.25.已知()1sin 3αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（）A.16B.13C.12D.236.若函数f （x ）=()12,152,1a x x lgx x ⎧-+≤⎨-->⎩是在R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A.[)61-，B.()1-∞，C.()61-，D.()6-∞-，7.已知函数()()sin cos 06πf x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（）A ．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．811,33⎛⎤⎥⎝⎦C ．1013,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（）A.甲是乙的必要条件但不是充分条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列导数运算正确的是（）10.已知函数()tan πf x x =，将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列描述中正确的是（）．A.函数()g x 的图象关于点2,03⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 B.函数()g x 的最小正周期为2C.函数()g x 的单调增区间为51,33k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.函数()g x 的图象没有对称轴11.已知实数a ，b 是方程()230x k x k --+=的两个根，且1a >，1b >，则（）A.ab 的最小值为9B.22a b +的最小值为18C.3111a b +-- D.4a b +的最小值为12三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.命题“2024,lg x x ∀≥<”的否定为__________.13.若过点()0,0的直线是曲线()210y x x =+>和曲线ln 1ay x a x =-++的公切线，则a =________．14.已知函数()21y f x =+-为定义在R 上的奇函数，则()405112024i f i =-=∑______．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题13分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合．16.（本题15分）已知定义在R 上的奇函数()221x x af x -=+，其中0a >.(1)求函数()f x 的值域；(2)解不等式：()()2231f x f x +≤+17.（本题15分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角π2π023βαβ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．(1)求2πcos 22sin cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值；(2)若63cos 65AOC ∠=-，求cos β的值．18.（本题17分）已知函数()12ln f x x x=+，()g x ax =．（1）求()f x 的单调区间；（2）当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，求实数a 的取值范围；19.（本题17分）设集合A 为非空数集，定义{|,,},{|,,}A x x a b a b A A x x a b a b A +-==+∈==-∈.(1)若集合{}1,1A =-,直接写出集合A +及A -；(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，求证1423x x x x +=+；(3)若集合{|02024,N}A x x x ⊆≤≤∈且A A +-⋂=∅，求A 中元素个数的最大值.2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学参考答案及评分标准1-8BBDADAAB 9-11ACD,ABD,ABC12-142024,lg x x ∃≥≥,4,405115.（1）44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ，2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x =-+-，cos 2sin 2x x =-，)4x π=+，7分故()f x 的最小正周期T π=；8分（2）由[0,]2x π∈可得2[44x ππ+∈，5]4π，10分当得24x ππ+=即38x π=时，函数取得最小值．所以38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，时()min f x =13分16.（1）()f x 为定义在上的奇函数，()0020021af -∴==+，1a ∴=，2分当1a =时，()()21122121x xx x f x f x -----===-++，符合题意，()21212121x x xf x --∴==+++，20x > ，22021x-\-<<+，()11f x ∴-<<，∴的值域为−1,1；7分（2）由（1）有()10f x +>，8分∴原不等式可化为()()()21231f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅++≤+⎣⎦⎣⎦，令()f x t =，则2210t t --≤，112t ∴-≤≤，即1211221x --≤+≤+，12分123x ∴≥，21log 3x ∴≥，14分∴不等式的解集为21log ,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.15分17.（1）因为A 点的横坐标为35，且1OA =，A 点在第一象限，所以A 点纵坐标为45，所以3cos 5α=，4sin 5α=.2分所以2222πcos 2sin 22sin cos 2sin cos sin ααααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=++-2422sin cos 2sin 853cos cos 35ααααα⨯====.7分（2）因为63cos 65AOC ∠=-，由图可知：16sin 65AOC ∠=.9分而2,k AOC k βπα-+=-∠∈Z ，故2πAOC k αβ+=∠+（Z k ∈）⇒2πAOC k βα=∠-+（Z k ∈），12分所以()()cos cos 2πcos AOC k AOC βαα=∠-+=∠-cos cos sin sin AOC AOC αα=∠+∠633164565565513⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.15分18.（1）由题意可知：()f x 的定义域为0,+∞，且()222121x f x x x x='-=-，2分令'>0，解得12x >；令'<0，解得102x <<；所以()f x 的单调递增区间为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，单调递减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭．6分（2）设()()()12ln h x g x f x ax x x=-=--，当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，即()0h x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，取1x =，解得1a ≥；若1a ≥，则()112ln 2ln h x ax x x x x x=--≥--，设()12ln ,1m x x x x x =--≥，则()()22212110x m x x x x-='=-+≥，可知()m x 在[1,)+∞上单调递增，则()()10m x m ≥=，此时()0h x ≥，符合题意；综上所述：实数a 的取值范围为[1,)+∞．17分19.（1）由{}1,1A =-，112,110,112--=--+=+=，故{2,0,2}A +=-；|1(1)||11|0,|11||1(1)|2---=-=--=--=，故{0,2}A -=.3分（2）由于集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，所以A -中也只包含四个元素，即213141{0,,,}A x x x x x x -=---6分剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；7分（3）设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12,k a a a <<< 1121312312......2,k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<所以21,A k +≥-1121311...,k a a a a a a a a -<-<-<<-所以||A k -≥，因为,A A +-⋂=∅由容斥原理31,A A A A k +-+-⋃=+≥-A A +- 中最小的元素为0，最大的元素为2,k a 所以21,k A A a +-⋃≤+则()*31214049N ,k k a k -≤+≤∈所以1350k ≤，当{675,676,677,...,2024}A =时满足题意，证明如下：设{,1,2,...,2024}A m m m =++且N m ∈，则{2,21,22,...,4048}A m m m +=++，{0,1,2,...,2024}A m -=-，依题意有2024202423m m m -<⇒>，故m 的最小值为675，于是当675m =时A 中元素最多，即{675,676,677,...,2024}A =时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.17分。
湖南省衡阳县五校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题(创新实验班)(含答案)
2024年下期实验班联考数学试卷时量：100分钟满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、当时，（ ）A. aB. C. D.2、锐角满足， 则的取值范围为（ ）A. B.C. D.3、如图，在中，E 为上一点，连接、，且、交于点F ，， 则（ ）A. 2:5B. 2: 3C. 3:5D. 3:24、在平面直角坐标系中，对于点，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”.已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）A.B.若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C.若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D.若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于105、如图，在矩形中，，，点E 是的中点，连接，将沿折叠，点B 落在点F 处，连接，则（ ）A. B. C. D.6、己知，则关于自变量x 的一次函数的图象一定经过第（ ）象限.a a =-2a a -3a 3a -αsin α>tan α<α3045α︒<<︒4560α︒<<︒6090α︒<<︒3060α︒<<︒ABCD Y CD AE BD AE BD :4:25DEF ABF S S =△△:DE EC =xOy (),P x y yx0xy ≠()24,3P a a -+3a <-ABCD 8AB =12BC =BC AE ABE △AE FC tan ECF ∠=34433545a b c a b c a b c k c b a +--+-++===296n n ++=y kx mn =-A.一，二B.三，四C.二，三D.一，四7、如果关于x的分式方程有负数解，且关于y 的不等式组无解，则符合条件的所有整数a 中正数的概率为（ ）A. B. C. D.8、对于方程，如果方程实根的个数为3个，则m 的值等于（ ）A.lB.3D. 2.59、如图，在中，，，将绕点B 按逆时针方向旋转45°后得到，则阴影部分的面积为（ ）A. B. C.12 D.10、如图，在中，G 是它的重心，，如果，则的面积的最大值是（ ）A.3B.6C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）11、函数中，自变量x 的取值范围是______.12、方程的两根都是非零整数，且，则______.13、已知，当x 分别取1、2、3、…、2021时，所对应y 值的总和是______.14、某建筑工程队在工地一边靠墙处（墙长42米）用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.则______米.1311a x x x --=++()243412a y y y y -≤--⎧⎪⎨+<+⎪⎩13252737223x x m -+=ABC △6cm AB =45CAB ∠=︒ABC △A BC ''△ABC △AG CG ⊥24BG AG ⋅=AGC △()02y x =+-²0x px q ++=198p q +=p =5y x =+AB =15、如图，在中，，，，点N 是边上一点，点M 为边上的动点，点D 、E 分别为，的中点，则的最小值是______.16、衡阳某学校为了响应“双减”政策，大力推行课后服务课程，丰富学生的课后生活，开设了剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋5个特色传统文化课程每位同学至少选择一门特色课程，但是每位同学不能重复选择同一门课程.现对甲、乙、丙、丁、戊5位同学的选课情况进行统计发现，甲、乙、丙、丁、戊分别选了2、2、3、x 、5门课程，而在这5位同学中剪纸、戏曲、舞龙、武术、围棋分别被选了1、1、y 、2、4次，那么等于______.三、解答题（本大题共5小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17、（10分）“周末不忙，来趟衡阳!”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A 处先步行到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处.已知点A ，B ，D ，E ，F 在同一平面内，山坡的坡角为30°，缆车行驶路线与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）（1）求登山缆车上升的高度；（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：，，）18、（10解：，；由上述例题的方法化简：（1；Rt ABC △90C ∠=︒6AC =8BC =BC AB CN MN DE x y +1200m 600m AB BD DE 30m min 60m min sin 530.80︒≈cos530.60︒≈tan 53 1.33︒≈ 22257+=+==2227252+=++=++=+∴==（2；（3.19、（（12分）（1）已知关于x 的一元二次方程.若，是原方程的两根，且，求的值.（2）从1，2，3，4中任取一个数记为b ，再从余下的三个数中，任取一个数记为c ，求关于x 的方程有实数根的概率.20、（12分）（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接，交于点M .填空：①的值为_______；②的度数为_______.（2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点M .请判断的值及的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点O 在平面内旋转，，所在直线交于点M ，若，，请直接写出当点C 与点M 重合时的长.21、（12分）如图1所示的直角三角形中，是锐角，那么锐角A 的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数分别为，，，+()2310x m x m ++++=1x 2x ()2128x x -=m 20x bx c ++=OAB △OCD △OA OB =OC OD =40AOB COD =∠=︒∠AC BD AC BDAMB ∠OAB △OCD △90AOB COD ==︒∠∠30OAB OCD =∠=︒∠AC BD AC BD AMB ∠OCD △AC BD 1OD =OB =AC ABC A ∠sin A A ∠=的对边斜边cos A A ∠=的邻边斜边tan A A A ∠=∠的对边的邻边cot A A A ∠=∠的邻边的对边为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x 轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点P ，它的横坐标是x ，纵坐标是y ，点P 和原点的距离为（r 总是正的），然后把角的三角函数规定为：，，，我们知道，图1的四个比值的大小与角A 的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，而与点P 在角的终边位置无关.比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题，（1）若，则在角的三角函数值、、、中，它们的相反数取负值的是______；（2）若角的终边与直线重合，则______；（3）若角是钝角，其终边上一点，且，则______；（4）若，求的取值范围.αox α()0,0r =αsin y x α=cos x r α=tan y x α=cot x yα=αα90180α︒<<︒αsin αcos αtan αcot αα3y x =c s n os i αα+=α(P x cos x α=tan α=180270α︒≤≤︒sin cos αα+2024年下期实验班联考数学试卷参考答案一、1.【解答】解：，即，.故选：D.2.【解答】解：，.故选：B.3.【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，.，，.故选：B.4.【解答】解：点在第二象限，，解得：，故选项A 不正确，不符合题意；点为“整点”，a 为整数，又，，，0，1，当时，，，此时点；当时，，，此时点；a a =-0a ≤∴223a a a a a -=+=- sin α>tan α<∴4560α︒<<︒ ABCD ∴AB CD ∥∴EAB DEF ∠=∠AFB DFE =∠∠∴DEF BAF ∽△△ :4:25DEF ABF S S =△△∴:2:5DE AB = AB CD =∴:2:3DE EC = ()24,3P a a -+∴24030a a -<⎧⎨+>⎩32a -<< ()24,3P a a -+∴ 32a -<<∴2a =-1-2a =-248a -=-31a +=()8,1P -1a =-246a -=-32a +=()6,2P -当时，，，此时点；当时，，，此时点；“整点”P 的个数是4个，故选项Ｂ不正确，不符合题意；根据“超整点”的定义得：当时，点是“超整点”，点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个，故选项C 正确，符合题意；当点P 为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为：，故选项Ｄ不正确，不符合题意.故选：C.5.【解答】解：，点E 是的中点，，由翻折变换的性质可知，，，，，，，，故选：B.6.【解答】解：，当时，，当时，，则，，，，，解得，0a =244a -=-33a +=()4,3P -1a =242a -=-34a +=()2,4P -∴1a =()2,4P -∴246-+= 12BC =BC ∴6EC BE ==BE FE =BEA FEA∠=∠∴EF EC =∴EFC ECF ∠=∠ BEA FEA EFC ECF∠+∠=∠+∠∴BEA ECF ∠=∠ 4tan 3AB BEA BE ∠==∴4tan 3ECF ∠= a b c a b c a b c k c b a+--+-++===∴0a b c ++≠1a b c a b c a b c k c b a+-+-+-++==++0a b c ++=a b c +=-2c c k c --==- 296n n ++=∴()230n +-=∴50m -=30n -=5m =3n =当时，一次函数解析式为，图象经过第一、三、四象限，当时，一次函数解析式为，图象经过第二、三、四象限，一次函数的图象一定经过第三、四象限.故选：B.7.【解答】解：由关于y的不等式组，可整理得该不等式组解集无解，即又得而关于x的分式方程有负数解且且于是，且取的整数、、、0、1、3符合条件的所有整数a中正数的概率为.故选：A.8.【解答】解：原方程可化为，解得若，则方程有四个实数根方程必有一个根等于0，，，解得.故选：B.9.【解答】角解：如图所示，设与相交于D，绕点B按逆时针方向旋转45°后得到，，1k=15y x=-2k=-15y x=--∴y kx mn=-()243412a y yyy-≤--⎧⎪⎨+<+⎪⎩242y ay≥+⎧⎨<-⎩∴242a+≥-3a≥-1311a xx x--=++42ax-=1311a xx x--=++∴40a-<412a-≠-∴4a<2a≠34a-≤<2a≠∴3a=-2-1-2163=2230x x m-+-=1x=10>∴10>∴10=3m=AC BA'ABC△A BC''△∴45ABA'∠=︒6BA BA'==ABC A BC''≌△△为等腰直角三角形，，，阴影部分的面积.故选：B.10.【解答】解：延长交于点D，G是的重心，，D是的中点，，，即，，（负值舍去），，当时，的面积最大，最大值为.故选：B.二、11.【答案】且.【解答】解：由题意得，且，解得且.12.【答案】【解答】解：设方程的两非零整数根分别为，，，①，②，∴ABC A BCS S''=△△ABC A BC ABAAA C BS S S S S'''''=+=+阴影部分四边形△△△∴ABAS S'=阴影部分△45BAC∠=︒∴ADB△∴90ADB∠=︒AD==∴11622ABAS AD BA''=⋅=⨯=△∴2=BG ACABC△∴2BG GD=ACAG CG⊥∴12GD AC=2AC GD=∴BG AC=24BG AC⋅=∴BG AC==∴GD=GD AC⊥AGC△11622AC GD⋅=⨯= 1x≥2x≠10x-≥20x-≠1x≥2x≠202-20x px q++=1x2x12x x≥∴12x x p+=-12x x q=②-①得，，而，，，，，或，，而方程的两根都是非零整数，，，.13.【答案】2033【解答】解：，当时，，当时，，y 值的总和为：.14.【答案】11【解答】解：设仓库的宽为x 米（米），则仓库的长为米，根据题意得：（舍），故为11米.15.【答案】【解答】解：连接，当时，的值最小（垂线段最短），此时有最小值，理由是：，，，1212x x x x p q --=+198p q +=∴1212198x x x x --=∴12121199x x x x --+=∴()()1211199x x --=∴11199x -=211x -=111x -=-21199x -=-20x px q ++=∴1200x =22x =∴()12202p x x =-+=-45y x x =--+4x ≤()454529y x x x x x =---+=-+-+=-+4x >451y x x =--+=∴753111753120182033+++++⋯+=+++⨯=AB x =()844x -()844440x x -=∴110x =211x =AB 125CM CM AB ⊥CM DE 90C ︒∠= 6AC =8BC =，，，点D 、E 分别为，的中点，即的最小值是.16.【答案】6【解答】解：法1：依题意得：，即，又每位同学至少选择一门特色课程，且共统计了5位同学的选课情况，，，.法2：依题意得：，即，又每位同学至少选择一门特色课程，且共统计了5位同学的选课情况可用如下图分析得：1 1 y2 4剪纸 戏曲 舞龙 武术 围棋戊戊戊 戊 戊 （5门）丙丙丙 （3门）甲 甲 （2门）乙乙（2门）丁（每位同学至少选择一门），，.三、17.【解答】解：（1）如图，过点B 作于点M ，∴10AB ===∴1122AC BC AB CM ⋅=⋅∴11681022CM ⨯⨯=⨯⨯∴245CM = CN MN ∴1124122255DE CM ==⨯=DE 12522351124x y ++++=++++4y x -= ∴1x =5y =∴6x y +=22351124x y ++++=++++4y x -= ∴∴1x =5y =∴6x y +=BM AF ⊥由题意可知，，，，，在中，，，，答：登山缆车上升的高度为；（2）在中，，，需要的时间答：从山底A 处到达山顶D 处大约需要38.8分钟.18.解：（1）；（2（3则30A ∠=︒53DBE ∠=︒1200DF m =600AB m =Rt ABM △30A ∠=︒600AB m =∴13002BM AB m EF===∴()1200300900DE DF EF m =-=-=DE 900m Rt BDE △53DBE ∠=︒900DE m =∴()9001125m sin 0.8DE BD DBE =≈=∠∴()600112538.8min 3060t t t=+=+≈步行缆车222532-=-=-=∴=======x+=22x =44=+8=+8=+8=+82=+-，.19.【解答】解：（1），是原方程的两根，，.，，，，解得：，.（2）画树状图如下：共有12种等可能结果，其中能使关于x 的方程有实数根的有6种结果，关于x 的方程有实数根的概率为：.20.【解答】解：（1）问题发现①如图1，，，6=+∴1x ==1=+ 1x 2x ∴()123x x m +=-+121x x m ⋅=+ ()2128x x -=∴()2121248x x x x +-=∴()()23418m m -+-+=⎡⎤⎣⎦∴2230m m +-=13m =-21m =20x bx c ++=∴20x bx c ++=61122= 40AOB COD ∠=∠=︒∴COA DOB ∠=∠，，（SAS ），，，②，，在中，，（2）类比探究，如图2，，，理由是：中，，，同理得：，，，，，在中，；（3）拓展延伸OC OD =OA OB =∴COA DOB ≌△△∴AC BD =∴1ACBD= COA DOB ≌△△∴CAO DBO ∠=∠ 40AOB∠=︒∴140OAB ABO ∠+∠=︒AMB △()()180180AMB CAO OAB ABD DBO OAB ABD ∠=︒-∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠18014040=︒-︒=︒ACBD=90AMB ∠=︒Rt COD △30DCO ∠=︒90DOC ∠=︒∴tan 30OD OC =︒=tan 30OB OA =︒=∴OD OB OC OA= 90AOB COD ∠=∠=︒∴AOC BOD ∠=∠∴AOC BOD ∽△△∴AC OCBD OD==CAO DBO ∠=∠AMB △()()18018090AMB MAB ABM OAB ABM DBO ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒①点C 与点M 重合时，如图3，同理得：，，设，则，中，，，，，在中，，，在中，由勾股定理得：，即，，，，（舍）②点C 与点M 重合时，如图4，同理得：，设，则，在中，，，，，AOC BOD ∽△△∴90AMB ∠=︒ACBD=BD x =AC =Rt COD △30OCD ∠=︒1OD =∴2CD =2BC x =-Rt AOB △30OAB ∠=︒OB =∴2AB OB ==Rt AMB △222AC BC AB +=)()(2222x +-=2120x x --=()()430x x -+=14x =23x =-∴AC =AOC BOD∽△△∴90AMB ∠=︒ACBD=BD x =AC =Rt COD △30OCD ∠=︒1OD =∴2CD =2BC x =+在中，由勾股定理得：，即，，（舍），，；综上所述，的长为或21.【解答】解：（1），，，角的三角函数值、、、，其中取正值的是.取负值的是、、.故它们的相反数取负值的是.（2）角的终边与直线重合，，或，或.（3），则.（4）若，设，则，当时，，当时，根据三角形的两边之和大于第三边，则，因而，，Rt AMB △222AC BC AB +=)()(2222x ++=2120x x +-=()()430x x +-=14x =-23x =∴AC =AC 90180α︒<<︒∴0x <0y <∴αsin αcos αtan αcot αsin αcos αtan αcot αsin α α3y x =∴sin α=cos α=sin α=cos α=∴sin cos αα+=sin cos αα+=cos x x r α==r = y =∴x =∴tan y x α===090α︒≤≤︒1OP =sin cos x y αα+=+ 0α=︒1x y x OP +===0α≠︒1x y +>sin cos 1αα+≥ 221x y +=，当时，的值最大，当时，故其取值范围为：∴()221x y xy +-=∴()()222121x y xy x y +=+≤++ x y =()2x y +x y =x y ==∴()22x y +≤∴x y +≤1sin cos αα≤+≤。
浙江省衢州市五校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题
浙江省衢州市五校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．若集合{}0,1P =，则集合{}M A A P =⊆可用列举法表示为（）A ．{}0,1B ．{},0,1∅C ．{}{}{},0,1∅D ．{}{}{}{},0,1,0,1∅2．设R x ∈，则“1x <”是“21x <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知幂函数2()(33)f x m m =-+）A ．1m =B ．2m =C ．1m =或2m =D ．m 不存在4．函数y =的定义域是（）A ．[]22-,B ．()2,2-C ．[)(]2,00,2-U D ．[)(]4,00,4-⋃5．设函数()()12x x a f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,1上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)2,0-B ．(],0-∞C ．(]0,2D ．[)2,+∞6．若2x ≤，则函数()142152xx f x =++-的最小值为（）A ．215B ．32C ．53D ．127．我们知道，函数()y f x =的图象关于直线x a =成轴对称图形的充要条件是函数()y f x a =+为偶函数．已知函数()21f x x x =+-+，则下列函数中，关于2x =对称的是（）A ．()11f x --B ．()1f x -C ．()11f x +-D ．()21f x +-8．若,R a b ∈且11a b ->-，则下列不等式恒成立的是（）A ．a b >B ．a b <C ．20a b a b+->-D ．20a b a b+-<-二、多选题9．下列选项中正确的是（）A ． 2.43.11.91.9>B ．3423133⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．0.3 3.11.10.9>D ．3349510⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．若关于x 的不等式()225200x ax a a -+<<的解集为{}12x x x x <<，则（）A ．12120x x x x ++<的解集为502a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1212x x x x --的最小值为258-C ．1212ax x x x ++的最大值为D ．1212ax x x x ++11．定义：如果关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（）A ．方程220x x +-=是“和谐方程”B ．若关于x 的方程280x ax ++=是“和谐方程”，则6a =±C ．若关于x 的方程()2300ax ax c a -+=≠是“和谐方程”，则23y ax ax c =++的函数图象与x 轴交点的坐标是()1,0-和()2,0-D ．若点(),m n 在反比例函数4y x=的图象上，则关于x的方程20mx n ++=是“和谐方程”三、填空题12．命题“x ∀∈R ，lg20x +>”的否定是．13．()()2220log 3354e 32+--+=．14．已知函数()2241,032,0x x x x f x x -⎧--+≤=⎨-+>⎩，关于x 的方程()(()20f x m f x -++=恰有2个不同的解，则实数m 的取值范围是．四、解答题15．已知集合{}2120A x x x =+-≤，311B xx ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭．(1)B 中的元素，并说明理由；(2)若全集U =R ，求A B ⋂，()U A B ⋃ð．16．已知函数()223f x x ax =--．(1)若()()13f f -=-，求a 的值；(2)若对任意[]2,5x ∈，不等式()0f x <恒成立，求a 的取值范围．17．某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待x 万名游客需要投入的流动成本为()f x （单位：万元），当游客人数不超过14万人时，()2200104038503f x x x =-+；当游客人数超过14万人时，()40001701900f x x x=+-．(1)写出该市旅游净收入()g x （万元）关于游客人数x （万人）的函数解析式；（注：旅游净收入=旅游收入-固定成本-流动成本）；(2)当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？18．已知函数()1e 1ex xa f x -⋅=+为奇函数．(1)求a 的值；(2)判断并证明()1e 1e xxa f x -⋅=+的单调性；(3)若存在实数t ，使得()()22230f t t f t m -+->成立，求m 的取值范围．19．设x ∈R ，用表示不超过x 的最大整数，则=称为取整函数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质：①=的定义域为R ，值域为Z ；②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即=+0≤<1，其中为x 的整数部分，=−为x 的小数部分．(1)若[)1,4x ∈，求关于x 的方程[]{}132x x -=的解；(2)求关于x 的不等式[]{}722x x -<的解集；(3)若对于任意的[)1,3x ∈，不等式{}24240x a x a -+-≥恒成立，求a 的取值范围．。
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罗江县2014年春期九年级诊断性考试 数 学 试 卷
（满分120分，考试时间120分钟，命题人：魏刚）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在 答题纸的相应位置上．】 1. -2的相反数是
A. 2
B.12
- C. 2- D.21
2.某校七年级有5名同学参加射击比赛，成绩分别为7，8，9，10，8（单位：环）。
则这
5名同学成绩的众数是
A.7
B.8
C. 9
D. 10 3．下列各式计算正确的是
A.72
9
()a a = B.7214a a a ⋅= C.235
235a a a += D.3
33
()ab a b =
4不等式5215+>-x x 的解集在数轴上表示正确的是
5.第六次全国人口普查数据显示：泸州市常住人口大约有4220000人，这个数用科学记数法表示正确的是
A.5
4.2210⨯ B. 5
42.210⨯ C. 6
4.2210⨯ D. 7
4.2210⨯
6.四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是
A.AB//DC,AD//BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB//DC,AD=BC 7.函数1
x y -=
x 取值范围是 A.1x ≥且3x ≠ B.1x ≥ C.3x ≠ D. 1x >且3x ≠
8.若关于x 的一元二次方程2
210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是
O 第6题图
D
C
A.1k >-
B.1k <且0k ≠
C. 1k ≥-且0k ≠
D. 1k >-且0k ≠ 9.已知O e 的直径CD=10cm,AB 是o e 的弦，AB CD ⊥，垂足为M,且AB=8cm,则AC 的长为
A.cm
B. cm
C. cm
或cm
D. cm
或
cm
10.设12,x x 是方程2
330x x +-=的两个实数根，则
21
12
x x x x +的值为 A.5 B.-5 C.1 D.-1
11.如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，把ADE ∆沿AE 对折，点D 的对称点F 恰好
落在BC
一，已知折痕AE =cm ，且3
tan 4
EFC ∠=
，那么该矩形的周长为 A.72cm B. 36cm C. 20cm D. 16cm
12.如图，在等腰直角ABC ∆中，90ACB O
∠=，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直
角边AC 、BC 上，且90DOE O
∠=，DE 交OC 于点P.则下列结论： （1）图形中全等的三角形只有两对；
（2）ABC ∆的面积等于四边形CDOE 面积的2倍； （3
）CD CE +=
；
（4）2
2
2AD BE OP OC +=⋅.其中正确的结论有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13.分解因式：2
4x y y -= .
14.在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n 个。
这些球除颜色不同外，
其它无任何差别，搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为1
3
，则放入口袋中的黄球总数n= .
15.如图，从半径为9cm 的圆形纸片上剪去
1
3
圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 cm .
16. .已知210k k <<,则是函数11-=x k y 和x
k
y 2=的图象大致是（
三、解答题（共72分）
17． （1011
1()2
π--+ （4分） ．
（2）先化简：2
223(1)11
a a a a --÷---，再求值，其中a =（5分） 18． 解方程：
23112
x x x x -=-+-（5分）
第11题图
第12题图
19．某校开展以感恩教育为主题的艺术活动，举办了四个项目的比赛。
它们分别是演讲、唱歌、书法、绘画。
要求每位同学必须参加，且限报一项活动。
以以九年级（1）班为样本进行统计，并将统计结果绘成如下两幅统计图。
请你结合下图所给出的信息解答下列问题：
（1）求出参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比？
（2）求出扇形统计图中参加书法比赛的学生所在扇形圆心角的度数？
（3）若该校九年级学生有600人，请你估计这次艺术活动中，参加演讲和唱歌的学生各有多少人？（共6分）
20．如图， 在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90° （1）画出旋转之后的△''C AB （3分）
（2）求线段AC 旋转过程中扫过的扇形的面积（5分）
21如图，一次函数11y x =+的图像与反比例函数2k y x
=
（k 为常数，且0≠k ）的图像都经过点)2,(m A （共8分）
（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图像直接比较：当0>x 时，1y 和2y 的大小.
22如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长BP 交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ．
(1)求证：△APB ≌△APD ；（4分）
(2)已知DF ：FA ＝1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ．（6分） ①求y 与x 的函数关系式； ②当x ＝6时，求线段FG 的长．
G D C
P A E B
23.如图,AB 为⊙O 的直径,AC 、DC 为弦,∠ACD =60°,P 为AB 延长线上的点,∠APD =30°.
（共10分）
⑴求证:DP 是⊙O 的切线;
⑵若⊙O 的半径为3cm ,求图中阴影部分的面积.
24．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为2-（，0）
，点B 的坐标为13-（，），已知抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠经过三点A 、B 、O(O 为原点).
（1）求抛物线的解析式；（5分）
（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C ，使BOC ∆的周长最小。
若存在，求出点C
绘画书法演讲28%
唱歌40%第19题图
C
P
B
A
O
（第23题图）
D
的坐标。
若不存在，请说明理由；（5分）
∆是否有最大面积。
若有，（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么PAB
∆的最大面积；若没有，请说明理由。
（注意：本题中的结果求出此时P点的坐标及PAB
均保留根号）。
（6分）。