第十章统计与概率101第一节随机抽样

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随机事件的概率(古典概型、简单的几何概型、抽样方法)

【答案】 C 【解析】由题意可作出维恩图如图所示：
所以该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与
该学校学生总数比值的估计值为：70 0.7．故选C． 100
7.(2018西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析,利用随机数表法抽取样本时,先将60个同学按01,02,03,…,60进行编号, 然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个个体是 ( )
(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),共4种,
故所求概率P 4 2. 10 5
3.(2018新课标Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为
0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支
第1节随机事件的概率（古典概型、简单的几何概型、抽样方法）
付的概率为 ( ) 第三组取的数为(10号)36,第四组取的数为(14号)43,
A .2 3
B .3 5
C .2 5
D .1 5
【答案】 B 【解析】由题意，通过列举可知从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为10，恰有2只测量过该指标的所有情况数为6．
所以P 6 3．故选B. 10 5
9.(2019新课标Ⅲ卷,文)两位男同学和两位女同学随机排成一列，
则两位女同学相邻的概率是
表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个个体是 ( )
4.取一根长度为5m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么所得两
段绳子的长度都不小于2m的概率是
()
A .1 5
B .1 3
C .1 4
D .1 2
【答案】 A 【解析】记两段绳子的长度都不小于 2m为事件 A, 则只能在中间 1m的绳子上剪断 ,所得两段绳子的长度才都不小于 2m,

课件1：随机抽样

2．(2014·广州调研)某市 A，B，C，D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：
中学 A B C D 人数 30 40 20 10
为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查，则A，B，C，D四所中学，抽取学生数分别是________．
错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图
中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
[练一练] 1．为了了解某校今年准备报考飞行员的
法进抽样．
[针对训练]
某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A， B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1 000 份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽取30份，则在D单位抽取的问卷是________份．解析：由题意依次设在 A，B，C，D，四个单位回收的问卷数分别为
[针对训练] 某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为 ________的学生．解析：组距为 5，(8－3)×5＋12＝37. 答案：37
[答案] 12
在本例条件下，若第三组抽得的号码为44，则在第八组中抽得号码为多少？解：在第八组中抽得的号码为(8－3)×20＋44＝144. [类题通法] 1．当总体容量较大，样本容量也较大时，可用系统抽样法． 2．在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，这时可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．

高考数学概率统计知识点总结(文理通用)

概率与统计知识点及专练（一）统计基础知识：1. 随机抽样：（1）．简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.（2）．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.（3）．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.2. 普通的众数、平均数、中位数及方差：（1）.众数：一组数据中，出现次数最多的数（2）.平均数：常规平均数：12nx x x x n ++⋅⋅⋅+=（3）.中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数（4）.方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-+⋅⋅⋅+-（5）.标准差：s3 .频率直方分布图中的频率：（1）.频率 =小长方形面积：f S y d ==⨯距；频率=频数/总数；频数=总数*频率（2）.频率之和等于1：121n f f f ++⋅⋅⋅+=；即面积之和为1： 121n S S S ++⋅⋅⋅+=4. 频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差：（1）.众数：最高小矩形底边的中点（2）.平均数：112233n n x x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+（3）.中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值（4）.方差：22221122()()()nn s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-5.线性回归直线方程：（1）.公式：ˆˆˆy bx a=+其中：1122211()()ˆ()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx====---∑∑==--∑∑（展开）ˆˆa y bx=-（2）.线性回归直线方程必过样本中心(,) x y（3）.ˆ0:b>正相关；ˆ0:b<负相关（4）.线性回归直线方程：ˆˆˆy bx a=+的斜率ˆb中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到6. 回归分析：（1）.残差：ˆˆi i ie y y=-（残差=真实值—预报值）分析：ˆie越小越好（2）.残差平方和：2 1ˆ() ni iiy y =-∑分析：①意义：越小越好；②计算：222211221ˆˆˆˆ()()()() ni i n niy y y y y y y y =-=-+-+⋅⋅⋅+-∑（3）.拟合度（相关指数）：2 2121ˆ()1()ni iiniiy y Ry y==-∑=--∑分析：①.(]20,1R∈的常数；②.越大拟合度越高（4）.相关系数：()()n ni i i ix x y y x y nx y r---⋅∑∑==分析：①.[1,1]r∈-的常数；②.0:r>正相关；0:r<负相关③.[0,0.25]r∈；相关性很弱；(0.25,0.75)r∈；相关性一般；[0.75,1]r∈；相关性很强7. 独立性检验：（1）.2×2列联表（卡方图）：（2）.独立性检验公式①．22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++②．上界P 对照表：（3）.独立性检验步骤：①．计算观察值k ：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++ ②．查找临界值0k ：由犯错误概率P ，根据上表查找临界值0k③．下结论：0k k ≥即认为有P 的没把握、有1-P 以上的有把握认为两个量相关；0k k <：即认为没有1-P 以上的把握认为两个量是相关关系。

概率与统计中的抽样方法

概率与统计中的抽样方法概率与统计是一门应用广泛的学科，可以通过抽样方法对总体进行推断。

在此，将介绍几种常见的抽样方法，包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样以及多阶段抽样。

一、简单随机抽样简单随机抽样是最基本、最常用的抽样方法之一。

在简单随机抽样中，每个个体被抽中的概率相等且相互独立。

简单随机抽样方法的步骤如下：1. 定义总体：首先，我们需要明确研究的总体是什么。

2. 确定样本大小：确定需要抽取的样本大小，即从总体中选择多少个个体进行研究。

3. 编制抽样框架：建立一个包含总体中所有个体的名单或编号。

4. 使用随机数表或随机数生成器：通过随机数表或随机数生成器来随机选择个体作为样本。

5. 数据收集：对所选个体进行数据收集。

二、系统抽样系统抽样也是一种简单且常用的抽样方法。

系统抽样在简单随机抽样的基础上引入了一定的有序性。

系统抽样的步骤如下：1. 定义总体：明确研究的总体。

2. 确定样本大小：确定抽取的样本大小。

3. 编制抽样框架：建立总体中所有个体的名单或编号。

4. 确定抽样间隔：计算总体中个体之间的间隔大小，通常使用总体大小除以样本大小来得到抽样间隔。

5. 随机起点：随机选择一个起始个体。

6. 选取样本：从起始个体开始，每隔抽样间隔选取一个个体，直至得到所需的样本容量。

7. 数据收集：对所选个体进行数据收集。

三、分层抽样分层抽样适用于将总体按照某些特定因素划分为若干个层次的情况。

每个层次中的个体具有类似的特征，通过对每个层次进行独立抽样，可以更好地反映总体的特征。

分层抽样的步骤如下：1. 定义总体并确定层次划分的因素：明确要研究的总体，并确定将总体划分为哪些层次。

2. 确定每个层次的样本大小：确定在每个层次中需要抽取的个体数量。

3. 编制抽样框架：为每个层次建立相应的个体名单或编号。

4. 分层抽样：针对每个层次，按照简单随机抽样或其他抽样方法选取样本。

5. 数据收集：对所选个体进行数据收集。

四、多阶段抽样多阶段抽样是一种适用于复杂总体的抽样方法。

概率与统计

<1>众数：一组数据中出现次数最多的数。 <2>中位数：将数据从小到大排列，最中间的数是中位数。 <3>平均数：反映一组数据平均水平。 <4>标准差：反映一组数据离散程度。 <5>方差：标准差的平方。 <6>极差：一组数据中最大值和最小值的差。
平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同。
三.变量间的相关关系及回归分析
1.相关关系:
当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。与函数关系不同，相关关系是一种不确定关系。
2.散点图
3.回归分析：
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。
ˆx a <1>回归直线方程: y ˆ b
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。（抽签法，随机数表法）
3.系统抽样
当总体中的个体比较多时，首先把总体分成均衡的若干部分，然后按照事先确定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样。
(2)特点：
①无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； ②等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布。
构成事件A的区域长度（面积或体积） (3)计算公式： P( A) 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
7.条件概率 (1)定义：
对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示。

概率与统计中的随机抽样与抽样分布

概率与统计中的随机抽样与抽样分布概率与统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而随机抽样与抽样分布是其中关键的概念。

本文旨在探讨随机抽样和抽样分布在概率与统计中的作用和应用。

1. 随机抽样在概率与统计学中，随机抽样是一种方法，通过从总体中随机选择样本来推断总体的特征。

随机抽样的目的是保证样本具有代表性，从而使得样本能够准确地反映总体的特征。

在实践中，随机抽样通常通过随机数生成器来实现，确保每个个体都有相同的机会被选入样本。

2. 简单随机抽样简单随机抽样是随机抽样的一种基本方法。

在简单随机抽样中，每个个体被选入样本的概率是相等的，且个体的选择是相互独立的。

简单随机抽样可以有效减少个体的偏倚，使样本更具代表性。

3. 抽样分布抽样分布是指在随机抽样过程中，某一统计量的分布情况。

在概率与统计中，我们常常关注样本均值、样本方差等统计量的分布情况，从而推断总体的特征。

根据中心极限定理，当样本容量足够大时，抽样分布可以近似服从正态分布。

这一性质使得我们能够应用正态分布的性质进行统计推断。

4. 抽样分布的应用抽样分布在概率与统计中有广泛的应用。

通过对随机抽样得到的样本统计量进行分析，我们可以进行总体均值的估计、比较不同样本的差异、构建置信区间、进行假设检验等。

这些应用使得我们能够通过分析样本数据，推断总体的特征，做出科学决策。

总结：概率与统计中的随机抽样与抽样分布是统计学中的重要概念。

随机抽样保证样本具有代表性，而抽样分布则帮助我们推断总体的特征。

掌握随机抽样与抽样分布的原理和应用，对于数据分析和统计推断具有重要意义。

在实践中，我们需要注意样本的随机性和样本容量的大小，以保证抽样的准确性和结果的可靠性。

通过深入研究和应用随机抽样和抽样分布的理论，我们能够更好地理解和分析数据，为决策提供科学的依据。

随机抽样简单随机抽样ppt课件

访谈
与被调查者进行面对面交流，收集口头信息。
数据收集途径及注意事项
观察法
直接观察被调查者的行为、态度等，记录相关信息。
实验法
通过控制实验条件，收集实验数据。
数据收集途径及注意事项
注意事项
明确调查目的和对象，选择合适的数据收集方法。
设计合理的问卷或访谈提纲，避免引导性问题和歧义。
数据收集途径及注意事项
06
抽样方法：不同的抽样方法会导致不同的抽样误差。
置信区间构建方法与意义
确定置信水平
通常选择95%或99%的置信水平。
计算样本统计量
根据样本数据计算样本均值、样本比例等统计量。
置信区间构建方法与意义
确定抽样分布
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本统计量的分布近似于正态分布。
计算置信区间
04
4. 根据生成的随机数，从总体中选取对应编号的家庭作为调查对象。
03
抽样误差与置信区间
抽样误差来源及影响因素
抽样误差来源
01
04
影响因素
随机性：由于抽样是随机的，每次抽样结果可能会有所不同。
02
05
总体分布：总体分布越离散，抽样误差越大。
样本量：样本量的大小会影响抽样误差的大小。
03
独立性
一个样本的选取不影响其他样本的选取。
代表性
当样本量足够大时，样本能够很好地代表总体。
实现过程与步骤
1. 确定总体
明确要研究的对象范围，即总体。
3. 随机选择样本
采用随机数表、计算机程序等方法从总体中随机选择样本。
2. 确定样本量
根据研究目的、总体规模、误差要求等因素确定合适的样本量。

第10章第1节随机抽样-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)

[巩固演练] 1．下列抽样试验中，适合用抽签法的有( B ) A．从某厂生产的 5000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 D．从某厂生产的 5000 件产品中抽取 10 件进行质量检验
解析 (2)该地区中小学生总人数为 3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为 10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为 2 000×2%×50%＝20.
课时三省
课堂回眸
思维升华
误区防范
1.抽样方法有哪几种？
1.两种抽样方法的共同点都是等概率抽样，体现了这两种抽样方法的
►规律方法应用简单随机抽样应注意以下两点
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)应用随机数表法的两个关键点：一是确定以表中的哪个数(哪行哪列)为起点，以哪个方向为读数的方向；二是读数时注意结合编号特点进行读取，若编号为两位数字，则两位两位地读取，若编号为三位数字，则三位三位地读取．
(2)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01，02， 03，…，32，33 这 33 个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第 1 行第 9 列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为( C )
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75
[自主解答] 因为高一年级抽取学生的比例为 1224000＝15，所以k＋5k＋3＝15，解得 k＝2，故高三年级抽取的人数为 1 200×2＋35＋3＝360.

随机抽样及随机分组ppt课件

• 解步骤：1 进入试验设计模块
• 点击试验设计---设计方案---完全随机分组
• 试验样本总例数： 30， • 处理组数：2 • 1组例数：15 • 2组例数：15---确定 • 2 进入结果模块查看结果
• 点击结果
•精品课件
•29
• 完全随机设计编号分组结果（总例数=20，处理组数=5 ）
•精品课件
•11
㈠简单随机抽样 P10
• 简单随机抽样亦称单纯随机抽样要求每个观察对象有同等概率被选入样本。
• 从有N个观察单位中抽取m个观察单位方法:
• 先将N个观察单位编号,并且每个赋一个随机数。再将N个随机数排序，前m个随机数对应的观察单
位编号即为所抽取。
• 优缺点简单随机抽样是最基本的抽样方法，优点是均数(或率)及其标准误的计算简便,缺点是当总体例数较多时,实施抽样比较困难。适用于小型调查。
• 优缺点 ①抽样误差比较小；②先要将总体分层，层内个体差异越小越好，层间个体差异越大越好，便于对不同的层采用不同的抽样方法。
•精品课件
•21
CHISS的实现
• 例如,某校有3个不同专业的研究班,每班10个同学,现要从每班各随机抽取3名同学参加比赛,如何抽取?
• CHISS实现步骤: • 1 编号建数据库将30学生的学号及班级录入数据库
• 从同一总体中随机抽取一定数目的受试对象，将受试对象随机地分配到每一个组中, 各组分别接受不同的处理。这样的设计分组称为完全随机分组设计。
•精品课件
•27
• 例现有20个动物试验，分别采用完全随机分为5组。
•精品课件
•28
CHISS软件实现
•精品课件
•34

简单随机抽样ppt课件

探究1 简单随机抽样必须具备下列特点 (1)总体中的个体数N是有限的． (2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的． (3)简单随机抽样是一种等可能的抽样．如果3个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．
思考题1 (1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数是( B )
①盒子里共有80个零件ห้องสมุดไป่ตู้从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，
1
球被抽出的可能性为____2____，第三次抽取时每一小球被抽出的可能性为
1
____4 ____．
【解析】因为简单随机抽样每个个体被抽到的可能性为Nn ，所以第一个空
填
1 2
，而抽样是不放回的抽样，第一次抽取时每个小球被抽到的可能性为
1 6
，第
二次为15，第三次为14.
题型二抽签法
例2 某省环保局有各地市报送的空气质量材料15份，为了了解全省的空气质量，要从中抽取一个容量为5的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
1．对总体、个体、样本、样本量的认识．
答：总体：统计中所考察对象的全体叫总体．个体：总体中的每一个考察对象叫个体．样本：从总体中抽取的一部分个体叫样本．样本量：样本的个体的数目叫做样本量．
2．抽签法与随机数法的区别是什么？
答：抽签法适用于总体中个体数较少，样本量也较小的抽样，随机数法适用于总体中个体数较多，但样本量较小的抽样．
9.1 随机抽样 9.1.1 简单随机抽样
要点1 全面调查和抽样调查 (1)全面调查定义：对__每_一__个__调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查．相关概念：在一个调查中，把调查对象的_全__体__称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体．

统计与概率中的抽样问题

统计与概率中的抽样问题在统计学和概率论中，抽样是一种常用的数据采集方法，用于从总体中获取代表性的样本，从而得出关于总体特征的推论。

抽样问题在统计与概率分析中占据着重要地位，本文将从样本的选择、抽样方法和样本量的确定等方面对抽样问题进行探讨。

一、样本的选择在抽样问题中，样本的选择是至关重要的。

一个代表性样本可以准确地反映总体的特征，因此在选择样本时应该注意以下几个点。

1. 代表性样本的选择应该具有代表性，即样本应该包含总体中各个子群体的特征。

例如，当我们进行一项关于人口的统计调查时，样本应该包含各个年龄、性别、地区和职业等方面的代表者，才能够准确地表达总体的情况。

2. 随机性为了确保样本的代表性，我们需要使用随机抽样的方法来选择样本。

随机抽样可以有效避免主观性和偏见，确保样本的公正性。

常用的随机抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样等。

3. 样本容量样本容量是指样本中所包含的单位个体数量。

样本容量的确定应根据总体的规模和特征来进行。

一般而言，样本容量越大，样本的代表性越好，结果的精确度越高。

但也需要注意的是，样本容量过大可能会带来不必要的浪费和复杂性。

二、抽样方法抽样问题中，不同的问题需要采用不同的抽样方法。

以下列举了一些常用的抽样方法。

1. 简单随机抽样简单随机抽样是指从总体中随机选择样本，每个个体被选中的概率相等且独立。

简单随机抽样方法简单易行，且保证了样本的随机性，适用于总体规模较小或总体特征分布均匀的情况。

2. 分层抽样分层抽样是将总体分为若干层次，然后从每一层中随机选择样本。

这种抽样方法能够保证样本在总体的各个层次上的代表性，常用于总体具有明显子群体的情况。

3. 整群抽样整群抽样是指将总体按照一定的规则分成若干个群组，然后随机选择部分群组进行抽样。

整群抽样的优点是能够减少调查所需要的时间和资源，并且适用于总体分布在不同区域的情况。

三、样本量的确定样本量的确定是抽样问题中的一个重要环节。

中职数学基础模块知识点、典型题目系列---10.统计与概率(适合打印,经典)

第十章概率与统计初步第1节计数原理一、分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n 类方式。

第一类方式有1k 种方法，第2类方式有2k ，...第n 类方式有n k 种方法，那么完成这件事的方法共有n k k k N +⋅⋅⋅++=21（种）二、分步计数原理（乘法原理）完成一件事，有n 个步骤，完成第1步有1k 种方法，完成第2步方式有2k ，...完成第n 步方式有n k 种方法，那么完成这件事的方法共有n k k k N •⋅⋅⋅••=21（种）第2节随机事件三、事件随机事件:可能发生，可能不发生（表示：A,B,C ）必然事件：一定发生（表示：Ω）不可能事件：一定不发生（表示：Φ）举例说明生活中哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件。

事件的描述：加大括号 A=｛抛掷一枚硬币，出现正面向上｝任意抛掷一颗骰子，观察掷出的点数。

事件A=｛点数是1｝，B={点数是2}.C={点数不超过2}之间存在着什么联系呢？基本事件：不能再分的最简单事件复合事件：基本事件组成的事件二、概率回忆频率的概念，频数：出现的次数总数频数频率=举例：抛掷一枚硬币25次，出现13次正面向上，则正面向上的频率为2513；大量重复地抛一枚硬币，发现事件A 发生的频率稳定在21，事件A 发生的概率为21概率：在大量重复试验中，事件发生的频率的稳定值记为()A P 。

频率与概率的区别：1、频率是试验中的近似值，概率是理论上的准确值；2、概率是频率在大量试验中的稳定值。

三、事件的概率的性质1.对于任意事件A ，有()10≤≤A P2.必然事件的概率为1，()1=ΩP ;3.不可能事件的概率为0，();0=ΦP第3节古典概型一、古典概型满足（1）有限性：基本事件有有限个；（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性相等。

的试验称为古典概型。

举例：1.在圆内随机找一点，如果找出的每个点都是等可能的，这是古典概型吗？分析：满足等可能性不满足有限性2.在射击训练中，结果有“命中10环”，“命中9环”，“命中8环”，“命中7环”，“命中6环”，“命中5环”，“不中环”，你认为这是古典概型吗？分析：满足有限性不满足等可能性。

概率与统计中的随机抽样与抽样分布知识点

概率与统计中的随机抽样与抽样分布知识点概率与统计是数学中重要的分支之一，它研究了随机事件和随机现象的规律。

在概率与统计的领域中，随机抽样与抽样分布是基础而重要的概念。

在本文中，我们将深入探讨随机抽样与抽样分布的相关知识点，包括其定义、性质以及在实际应用中的重要性。

1. 随机抽样的定义与性质随机抽样是指从整体中以一定的概率选择出一部分样本的过程，以便对整体的某些特征进行推断。

随机抽样应具备以下几个基本性质：a. 独立性：每个样本在抽取过程中的选中与否应该是彼此独立的，不受前一个样本的影响。

b. 随机性：每个样本在被选中的概率应该是相等且随机的，确保对整体进行推断时具有普遍性。

c. 大样本量：所抽取的样本数量足够大，可以保证对整体的推断具有较高的精确度。

2. 抽样分布的定义与性质抽样分布是指针对不同样本规模的抽样所得到的某个统计量的分布。

常见的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布等。

a. 正态分布：当样本量趋于无穷大时，根据中心极限定理，样本均值的分布逼近于正态分布。

正态分布在统计分析中经常应用，具备对称性和稳定性等特点，受到广泛的关注和应用。

b. t分布：在样本量较小的情况下，当总体近似于正态分布时，使用t分布来进行推断更加准确。

t分布相较于正态分布而言，具有更宽的尾部，样本量较小时可提供更精确的结果。

c. F分布：F分布是一种比值分布，常用于方差分析以及回归分析等。

它是基于正态分布的样本方差比值构成的。

3. 随机抽样与抽样分布在实际应用中的重要性随机抽样与抽样分布在各个领域的实际应用中具有重要意义，例如：a. 市场调研：通过随机抽样方式，可以从总体中选取一部分样本进行调查和数据收集。

然后通过对样本数据的分析，可以推断总体市场的特征、趋势以及用户行为等。

b. 医学研究：在进行药物疗效试验时，需要通过随机抽样的方式从患者中选取一部分进行试验。

通过对试验结果的分析，可以推断药物的疗效以及副作用等情况。

高中数学教材——计数原理与随机分布篇

10 名观众，还剩 2 名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从 502 名观众中抽取 2 名观众，这 2 名观众不参加座谈；再将剩下的 500 名观众编号为 1,2,3，…， 500，并均匀分成 50 段，每段含55000＝10 个个体．所以需剔除 2 个个体，抽样间隔为 10.
③用抽签方法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验；
④某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
[解析] ①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；
②不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样；③明显为简单随机抽样；④不是简单随机抽样，
因为不是等可能抽样．
[答案] B
[解题技法] 应用简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅
匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的
数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的
则)抽取 40 名同学进行检查，将学生从 1～1 000 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为为( )
A．16
B．17
C．18
D．19
(2)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从 502 名现场观众中抽取 10%进
行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽
数字舍去．
[题组训练]
1．总体由编号为 01,02，…，19,20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个

高一数学《概率与统计》

考点1：抽样方法一．随机抽样随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方法：1．简单随机抽样：从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法．⑴抽出办法：①抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法．②随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表．表中每一位置出现各个数字的可能性相同．随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本的方法．⑵简单随机抽样必须具备下列特点：①简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N 是有限的． ②简单随机样本数n 小于等于样本总体的个数N ． ③简单随机样本是从总体中逐个抽取的． ④简单随机抽样是一种不放回的抽样．⑤简单随机抽样的每个个体被抽取的可能性均为nN．<教师备案>样本获取分为两种，一种是全面统计，一种是样本统计．全面统计的例子非常多，比如美国大选，每个州的选民都是通过投票选出每个州的负责人．也就是每个人都表达了自己的意见．再比如我们调查学生是海淀还是非海淀，我们也是给每个学生打了电话，访谈出结果，每个同学也都表达了自己的意见．再比如一些小事，像一群人中午的时候讨论去哪吃饭，每个人都可以说自己喜欢的地方．全面统计的好处在于无遗漏，数据准确无偏差，但是缺点也很明显，那就是非常的繁琐、麻烦．对于大数据的处理很无力，所以我们需要有样本统计．样本统计的意义就是从一个大数据中抽取数据样本分析，通过对样本的分析来估计原数据的性质．于是首要的问题就是如何抽样．一个合理的抽样方法的基本要求是“平等”，也就是每个个体被抽取的可能性是相同的．比如我们发现，老师选出的学生代表很可能不能真正代表全体同学的意见，因为老师选取的一定是自己比较熟悉的学生，这类学生平时一定非常活跃．而对于一些比较内向，“存在感”比较低的同学来说，老师可能就不会关注，被选中的可能性就会降低．由此可以推知，人为的抽样一般是不靠谱的．再比如，现在很多的新闻都有网上的调查，有的媒体通过网上调查的数据来分析广大人民对新闻的反馈．这样的调查也是不靠谱的，因为网上调查反映出来的大多是经常上网的人的意见，而对于平时不上网的人就没有调查，所以这样的抽样也是不合理的．最常见的合理抽样方式是“抓阄”，这可以保证每个个体都能“等可能”的被选中．当然抓阄的方式有很多，比如很多时候我们不需要每个人都去抓一次，我们可以把每个人编一个号，然后由一个人来抽号就可以了．比如我们常见的彩票大致就是这个原理．不过需要注意的是彩票里面的等可能是对彩票是等可能的，对人不一样，因为一个人可以买很多彩票．6.1随机抽样知识点睛第6讲概率默统计类<教师备案>老师在讲完简单随机抽样后可以让学生做例1的【铺垫】⑴，本小题主要是让学生理解什么是总体，什么是个体，什么是样本容量，因为简单随机抽样比较简单，而且在后边要讲的系统抽样和分层抽样中都要用到，所以这里就不再详细讲解了．2．系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样．⑴抽出办法：从元素个数为N的总体中抽取容量为n的样本，如果总体容量能被样本容量整除，设Nkn=，先对总体进行编号，号码从1到N，再从数字1到k中随机抽取一个数s作为2(1)s k s k s n k+++-，，，个数，这样就得到容量为n的样本．如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样方法进行抽样．⑵系统抽样时，当总体个数N恰好是样本容量n的整数倍时，取Nkn=；若Nn不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量n的机会相等，因而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然相等为nN．<教师备案>随着数量的增大，抓阄的方式效率会比较低．当然，随着现在计算机的发展，数据量很大的时候也是可以通过“选号”的方式进行随机抽样．课本上提到的系统抽样其实现在已经不怎么使用了．不过作为传统意义下的抽样方法，我们还是有必要介绍一下．系统抽样的核心是“选出代表”，每个代表会直接代表一个群体的意见．系统抽样的方式分为两种，一种是横向抽样，也就是我们教科书上的抽样方式，这种例子非常多，比如军训的时候，可能我们出现过“一到三”报数，这样就把我们分成了“一”“二”“三”三个组，然后就可以随机选一个数“一”，然后所有的“一”就被选中了．同样的道理，我们对1000人，选取一个100人的样本，那么我们就需要把总数分成100组，每组10个人，然后让第一组的人抓阄（为的是随机抽样），比如“4”抓到，那么每一组的“4”就被选中了．另一种系统抽样的方式是“纵向抽样”，它出现的原理是这样的：原始的系统抽样方法会造成直观上的不公平．比如我们1000人里面选100人去叙利亚旅游，大家肯定都不愿意去，第一组的人抓阄之后，由于第一组的4号被选中，那么每一组的4号就都被选中了，其他组的4号会认为被第一组的4号连累，因为他们是“被”选中的．虽然从可能性上说，这没有道理，不过直观上确实有点“躺枪”的意思．于是人们改变了方式，也就是纵向系统抽样．比如现在我们还是1000人里面选100人去叙利亚，我们把所有人分成10组，每组100人，然后每组自行推举一个代表上台抓阄，被选中的人所在的组，整组都被选中．这样我们每个组都有人去抓阄，也就实现了直观上的公平．但是在可能性的角度，横向和纵向抽样都是“等可能”的，没有本质区别．<教师备案>老师在讲完系统抽样后就可以让学生做例1的铺垫⑵，例1⑵以及尖子班拓展⑵，这几个题都是系统抽样，老师可以选择几个让学生做做，不一定都让学生做，老师自己选择．3．分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法，应用广泛．<教师备案>简单随机抽样（抓阄）和系统抽样都是绝对意义上的公平，但是分层抽样就是相对意义上的公平，因为我们人为的干扰了抽样的过程．不过现实意义之下我们统计数据必须进行分层，否则统计数据会闹出笑话．常见的一个就是我家房子10平米，后来搬过来一个邻居，房子面积是100平米，那么我家的生活状况有没有改变．实际上没有，但是统计数字可能告诉你，你们的平均面积增加了．现实生活中，很多的统计需要分层，比如统计收入水平的时候需要分不同的城市，统计生育问题的时候要分城市和农村，统计化妆品消费水平的时候要分性别等等．所以分层抽样就是为了保证每个层面上的公平性，我们按照每个层次占到总体的多少来分配选取的比例．这里老师可以开发更多的统计实例，一定要讲出现实意义来．<教师备案>老师在讲完分层抽样后可以让学生做例1的铺垫⑶，例1⑶以及目标班专用⑷，让学生熟练掌握分层抽样，因为在以后考试和北京高考中，三个抽样重点考察分层抽样．老师在讲完三个抽样后一定要让学生明白什么情况下用什么抽样，这个时候就可以让学生做例1⑴，尖子班拓展⑴．【铺垫】⑴为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有（）个①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；④样本容量为100；⑤每个运动员被抽到的概率相等A．1B．2C．3D．4⑵从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．510152025，，，，B．313233343，，，，C．12345，，，，D．2461632，，，，⑶某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A．4B．5C．6D．7【解析】⑴ B；④⑤正确，①②③错误⑵ B；⑶ C；20(1020)640103020+⨯=+++．【例1】三种抽样⑴现有以下两项调查：①某装订厂装订图书36000册，要求检验员从中抽取500册图书，检查其装订质量状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1:5:9．为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查．完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．简单随机抽样法，分层抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．分层抽样法，系统抽样法D．系统抽样法，分层抽样法⑵用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，…，153~160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是．⑶某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为235∶∶．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=．⑷（目标班专用）某校有500名学生，A型血的有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱有没有关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为人．【解析】⑴ D；①是系统抽样；②明显是分层抽样；⑵6；不妨设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是815126x⨯+=，∴6x=．⑶80；A种型号的产品占总体的比例是210，则样本容量1016802n=⨯=．⑷该学校O型血的人数为50012512550200---=，按照分层抽样的抽样比相等得：500:20200:x=，解得8x=，即O型血应抽取的人数为8人．经典精讲<教师备案>学习了抽样后，需要对收集的这些有代表性的样本数据进行研究，找出有用的信息，然后用这些样本来估计总体．这种估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．用来估计的图表和方法有很多种，本版块在初中的基础上来学习频率分布直方图、茎叶图和方差．考点2：频率分布直方图1．列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤： ①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；②决定组距与组数：取组距，用极差组距决定组数；③决定分点：决定起点，进行分组；④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小组的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以频率组距的值为纵坐标绘制直方图，知小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率．2．频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．3．总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线()y f x =来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．<教师备案>这里主要介绍的就是样本分析方法，直方图就是很重要的一种．其实直方图的形成过程就是把数据按大小排序，然后分段截取数据．实际生活中最常见的方法就是“画正字”，比如我们收到了一组数据是学生的跳绳次数，我们就可以把次数分成若干组，然后一个一个数据看落在了哪个组里，利用“画正字”的方式看出每组里有几个数，最后画出直方图．直方图的主要作用是看出数据的分布变化趋势，很容易表示大量数据，缺点是原始数据不能在图上表示出来．通过例2的学习，让学生可以由给出的频率分布直方图算出各组数据的频率和频数，理解横纵坐标代表的意义．频率分布折线图和总体密度曲线不需要深究，在频率分布直方图的基础上，简单介绍即可．【例2】频率分布直方图⑴某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[]540，中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，长度在[)3035，内的频率为______，有______根棉花纤维的长度小于20mm ．经典精讲知识点睛6.2用样本估计总体y 510152025303540长度(mm)0.010.020.030.040.050.06频率组距⑵（目标班专用）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（）秒频率/组距1918171615141300.360.340.180.060.040.02A ．0.9，35B ．0.9，45C ．0.1，35D ．0.1，45【解析】 ⑴ 0.1，30；由频率分布直方图可得，长度在[)3035，内的频率为0.0250.1⨯=．棉花纤维长度小于20mm 的频率为()0.010.010.0450.3++⨯=，则棉花纤维长度小于20mm 的频数为1000.330⨯=根．⑵ （目标班专用）A ．考点3：茎叶图<教师备案>当样本数据较少时，可以用样本分析的另一个常用图表方法――茎叶图，这个图主要作用是两组数据的对比．一左一右很容易估计出两组数据的对比状况，而且茎叶图是把所有的数据都列出来，精确性上比直方图要好一点，但是对于数据特征的分析不如直方图直观．可以结合铺垫讲解知识点，并简单复习一下初中学过的中位数、平均数的概念．1．制作茎叶图的步骤：①将数据分为“茎”、“叶”两部分；②将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线； ③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处按一定次序同行列出．<教师备案>“按一定次序”一般是按大小顺序，也可以按统计数据的顺序．2．平均数：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数：是指将统计总体当中的各个数据值按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于数列中间位置的数据值就称为中位数．当数列的项数为奇数时，处于最中间位置的数据值即为中位数；当项数为偶数时，中位数则为处于中间位置的两个数据值的平均数．知识点睛8964553819261846172852乙甲54535251【铺垫】某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512554528549536556534541522538 乙：515558521543532559536548527531①用茎叶图表示两学生的成绩；②分别求两学生成绩的中位数和平均分．【解析】 ①两学生成绩的茎叶图如图所示 ②将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲：512522528534536538541549554556，乙：515521527531532536543548558559．从以上排列可知甲学生成绩的中位数为5365385372+=，乙学生成绩的中位数为5325365342+=．甲学生成绩的平均数为1222283436384149545650053710++++++++++=，乙学生成绩的平均数为1521273132364348585950053710++++++++++=．【例3】茎叶图随机抽取某中学甲，乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，则下列关于甲，乙两班这10名同学身高的结论正确的是（） A ．甲班同学身高在175以上的人数较多 B ．甲班同学身高的中位数较大C ．甲班同学身高的平均值较小D ．甲、乙班同学身高的平均值一样大【解析】 C ；甲班同学身高175以上的有3人，乙班有4人，故而A 错误．甲班同学身高的中位数为169，乙班同学身高的中位数为171.5．故而B 错误．容易计算得知，=170x 甲，=171.1x 乙，故C 对．考点4：统计数据的数字特征<教师备案>分析样本数据时，我们已经学过了众数、中位数和平均数这些概念，它们都可以用来表示统计数据的特征信息，各有利弊．平均数是统计数据一个非常好的特征，它可以利用所有的样本数据，而且比较好算．也正因为平均数利用了所有的数据，所以它容易受到一些极端数据的影响．比如歌唱比赛时，去掉一个最高分和一个最低分，然后再平均，就是为了避免出现个别评委的极端喜恶，尽量体现评分的准确和公正性．再比如公布一个地区的家庭平均收入时，平均数也掩盖了一些极端情况的存在，而这些是不容忽视的．怎么样能反映这些极端情况呢，也就是数据的离散程度呢，从运算方便等各方面考虑，引入了方差或标准差来进行衡量．统计数据的数字特征1．用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差：经典精讲知识点睛乙班甲班98822388900191716159865311822．数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述：⑴极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；⑵样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，样本的标准差是方差的算术平方根．一般地，设样本的元素为12n x x x ，，，，样本的平均数为x ，定义样本方差为222212()()()n x x x x x x s n-+-++-=，样本标准差22212()()()n x x x x x x s n-+-++-=，简化公式：22222121()n s x x x nx n ⎡⎤=+++-⎣⎦．<教师备案>这部分其实没有真正的考察，现在最多也就是通过样本的特征直接套用在整体数据上．寒假班对方差只需要初步理解它存在的意义即可，对方差的直观理解放在春季同步班讲解．【例4】方差甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表1s ，2s ，3s 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）甲的成绩乙的成绩丙的成绩环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数5555频数6446频数4664A ．312s s s >>B ．213s s s >>C ．123s s s >>D ．231s s s >>【解析】 B ；根据题中数据计算()()12117585951058.57684941068.52020x x =⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=，，()317486961048.520x =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴123x x x ==；()()()()22221178.5588.5598.55108.55 1.2520s ⎡⎤=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦，同理得231.45 1.05s s ==， ∴213s s s >>．<教师备案>概率的定义是一个漫长的过程，最开始就是根据经验，对统计事实的认识．历史上对概率的理解可以分为三个阶段：第一阶段：大量统计中发生的几率有多大．比如很多数学家都玩过“扔硬币”这个游戏，而且还统计了结果，如图．大家发现，扔了很多很多次之后，结果都差不多是正反面各占一半，所以大家认为硬币出正面的概率是50%．可能有人觉得这个做法很无聊，但是这只是概率的现象，是一个经典精讲6.3随机事件概率结果层面的东西，并不是概率的本质．不过现在计算机在估计概率的时候也是用这样的方法进行多次的实验，最终估计出一个结果．第二阶段：人们开始想一些复杂的问题．这里面著名的问题有两个，一个是赌徒分金问题（注：两个赌徒玩掷硬币，规定正面则甲加一分，反面则乙加一分，谁先得到16分谁就可以赢得一袋金币，现在进行到甲:乙=15:12，警察来了，说不让赌了，那么这些金币该怎么分．（【解析】按照15:1的比例分；假设警察没有来，则乙赢的概率为：11111222216⨯⨯⨯=，甲赢的概率为：111111111115222222222216+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=，∴应该按照15:1的比例分金币），另一个问题是掷两个骰子，至少有一个6的概率（【解析】：1136）．这些问题基本上是很难通过实验来得出结论，毕竟情景比较复杂，这就促使人们要从概率的理论角度入手解决．费马在概率的定义方面做出了杰出的贡献，因为他引入了“等可能”这个概念．就是我们需要先认同一些基本的“等可能”的条件，然后再由此出发考虑复杂情况．第三阶段：古典概型有弊端，因为古典概型的必然要求是要把一个事件分解成若干等可能的基本事件，不过有些问题中这件事是做不到的．比如打靶问题．所以才有了几何概型这个概念．之后随着函数论的发展，我们用函数基础定义概率的时候我们就有了新的概率理论．后续的离散型随机变量说的就是这个阶段的问题．建议老师在一开始教学的时候强化概率的直观解释．比如：掷硬币模型，再比如：猜黑白（俗称手心手背）．其实这就是利用了概率均等的原理进行的．我们可以想一想，手心手背其实是很有效的一个等概率选取方式．另外，猜拳也是一个非常有效的等概率选取方式．这些概率其实挺难算的，不过我们可以让学生直观的理解概率的意义．同样的问题还有：【趣题】1．甲乙两个人去公园，公园有10个景点，在这10个景点中两个人各自独立的选取5个，假定甲和乙同时出发，游览每一个景点的时间都是相同的，那么他们在最后一个景点相遇的概率是多少？【解析】下面有三种方法，老师在给学生讲本讲的时候可以讲法一，法二和法三供老师参考：法一：从概率意义的直观理解，考虑甲最后在的一个景点，乙最后在任何一个景点的可能性相同，恰好在甲所在的景点的概率为110．法二：甲最后一个景点为i 号景点的概率都为110，乙最后一个景点为i 号景点的概率也为110()12310i =，，，，故他们最后一个景点为同一个景点的概率为11110101010⨯⨯=．法三：他们参观景点的所有顺序有551010A A 种，每种参观景点的顺序出现的可能性相同，故在最后一个景点相遇的情况有1441099C A A ，故所求概率为1441099551010C A A 1A A 10=． 2．华约的自招考题：4个人传球，每个人都等概率的传给其他人，由甲开始第一次传球，设n 为传球次数，n 次传球后球在甲手里的概率记为n p ，问当n 趋向于无穷的时候，n p 趋向于多少？【解析】下面有两种方法，老师在给学生讲本题的时候可以讲法一，法二供老师参考：法一：从概率意义的直观理解，因为每个人都等可能的传给其他人，所以球在甲手里的概率为14，传n 次球后球在甲手里的概率依然为14．法二：记n A 表示事件“经过n 次传球后，球在甲手中”，12n =⋅⋅⋅，，则有()10P A =，()()()111n n n n n P A P A A P A A +++=+()()1113n n n P A A p +==-．所以1n p +与n p 的关系式为()1113n n p p +=-，12n =⋅⋅⋅，，① 设11()3n n p p λλ++=-+，对比得14λ=-．于是①式可以变形为1111434n n p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，从而14n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13-的等比数列，其首项为11144p -=-．故有1111443n n p -⎛⎫⎛⎫-=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111143n n p -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，12n =⋅⋅⋅，， ② 由②可得1111lim lim 1434n n n n p -→∞→∞⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．另外还可以介绍一些概率不能直观解释的例子：比如生日悖论：世界上任取50个人，他们至少有两个人生日在同一天的概率是多少？请见下图（转自维基百科）由此可见，当取到23个人的时候，概率已经超过了50%，选取50人的时候，概率应该在95%左右．还有一个例子：乒乓球体育比赛中规定：如果双方得分是10:10，那么一方至少要得12分才能获胜，也就是至少比对方多两分．那么这种“延球”制相对于没有延球制度，到底是对强者更有利，还是帮助弱者有更大的机会翻身呢？（【解析】延球制度对强者更有利；假设强者很强，则再比赛一局有可能强者胜也有可能弱者胜，但是再比赛两局或者比赛无穷多局，肯定是强者赢的概率更大），这些其实都是通过直观解释概率比较复杂的问题．接下来我们可以定义事件：考点5：随机事件的概率一．事件1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．例子：判断以下现象是否为随机现象知识点睛。

河南单招对口升学考试数学复习资料第十章概率与统计初步

（1）简单随机抽样：抽签法是最常用的简单随机抽样方法. （2）系统抽样又称等距抽样（或机械抽样），这种抽样方法是对研究的总体中的个体按一定规则编号，然后按相等距离或间隔抽取个体组成样本. （3）分层抽样又称类型抽样，这种抽样方法是在抽样之前将总体分成互不交叉的若干层（类），然后再从各层中独立抽取一定数量的个体组成样本.
典例精析
例
变式训练
变式训练1
下列语句中，表示随机事件的是（ ). A.52张扑克牌中任意抽取4张 B.掷两颗骰子出现点数之和等于1 C.型号完全相同的红、白球各2个，从中任取一个是白球 D.异性电荷互相吸引
典例精析
例
变式训练
变式训练2 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的
概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28.计算这个射手在一次射击中；
典例精析
例
变式训练
变式训练1
要考察某灯泡厂生产的灯泡的使用寿命，从该厂生产的灯泡中随机地抽取200个测试其使用寿命，则200是（）. A.总体 B.个体 C.样本 D.样本容量
典例精析
例
变式训练
变式训练2
某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每
隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验，则这种抽样方法是
(3)对于不可能事件∅，P(∅)=0.
知识清单知识点一随机事件和概率
5.古典概率模型
(1)基本事件：只含一个样本点的事件称为基本事件.
(2)复合事件：含有两个或两个以上样本点的事件称为复合事件.
(3)具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型：
①试验中的所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性).
则P（AB）=P（A）P（B）.