空间解析几何基础知识总结

（3） 简单无理函数的积分
讨论类型: R( x , ax + b )
n
ax + b R( x , ) cx + e
n
解决方法: 作代换去掉根号．
令t = ax + b;
n
ax + b ; 令t = n cx + e
定积分
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
定积分 的性质
定积分
( 24) (19) ∫ csc xdx = ln | (csc x − cot x ) | + C
1 ∫ x 2 ± a 2 dx = ln | ( x + x 2 ± a 2 ) | + C
第一类换元法 常见类型:
1. f ( x n+1 ) x n dx;
f (ln x ) 3. dx; x
积分学
不定积分
原 函 数 不 定 积 分
直接 积分法
分部 积分法
积分法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
基 本 积 分 表
基本积分表
(1)
∫ kdx = kx + C
( k 是常数)
(7)
∫ sin xdx = − cos x + C
µ +1 x ( 2) ∫ x µ dx = +C µ +1
α
2.三角函数代换 如f ( x ) = a 2 − x 2 , 令x = a sin t .
3.双曲函数代换 2 2 如f ( x ) = a + x , 令x = a tan t .
4.倒置代换 1 令x = . t
分部积分法
∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx
∫ udv = uv − ∫ vdu
其中 m 、 n 都是非负整数； a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a0 ≠ 0，b0 ≠ 0 .
真分式化为部分分式ຫໍສະໝຸດ Baidu和的待定系数法
四种类型分式的不定积分
Adx A Adx = + C; = A ln x − a + C ; 2.∫ 1. ∫ n n −1 ( x − a) (1 − n)( x − a ) x−a Mx + N M dx = 3.∫ 2 ln x 2 + px + q x + px + q 2
( µ ≠ −1) (8)∫
1 (4) ∫ dx = arctan x + C 2 1+ x
dx ( 3) ∫ = ln | x | + C x
dx 2 = sec xdx = tan x + C 2 ∫ cos x dx (9)∫ 2 = ∫ csc 2 xdx = − cot x + C sin x
多项式 ⋅ 指数函数
被积函数
分部积分公式
多项式 ⋅ 正、余弦函数 多项式 ⋅ 反三角函数 多项式 ⋅ 对数函数
e
αx
画红线者拖到 d后面
⋅ sin β x 或 e
αx
⋅ cos β x
两者都可
几种特殊类型函数的积分 （1）有理函数的积分
定义 两个多项式的商表示的函数称有理函数.
P ( x ) a0 x n + a1 x n−1 + + an−1 x + an = Q( x ) b0 x m + b1 x m −1 + + bm −1 x + bm
连续，则积分上限的函数 Φ( x ) =
( 20)
(14) (15)
(16) (17 )
(18)
∫ shxdx = chx + C ∫ ch xdx = shx + C
∫ tan xdx = − ln | cos x | + C ∫ cot xdx = ln | sin x | + C
∫ sec xdx = ln | (sec x + tan x ) | + C
（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之．一般记为 R(sin x , cos x )
x 令 u = tan 2
x = 2 arctan u
2u sin x = 2 1+ u
1− u cos x = 1 + u2
2
2 dx = du 2 1+ u
2
2u 1 − u 2 ∫ R(sin x , cos x )dx = ∫ R 1 + u2 , 1 + u2 1 + u2 du
广义积分
定积分的 计算法
牛顿-莱布尼茨公式
∫
b
a
f ( x )dx = F ( b ) − F (a )
牛顿—莱布尼茨公式
定理
如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函数
x
Φ( x ) = ∫a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导数 d x 是 Φ ′( x ) = f ( t )dt = f ( x ) (a ≤ x ≤ b) ∫ a dx 定理（原函数存在定理） 如 果 f ( x ) 在 [a , b] 上
5. f (sin x ) cos xdx;
f ( x) 2. dx; x 1 f( ) x dx; 4. 2 x
6. f (a x )a x dx;
f (arctan x ) 8. dx; 2 1+ x
7. f (tan x ) sec xdx;
2
第二类换元法 常用代换:
1. x = (at + b ) , α ∈ R.
(10) (11)
∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x cot xdx =
x x e dx = e +C ∫
( 5)
( 6)
∫
1 dx = arcsin x + C 2 1− x
− csc x + C
∫ cos xdx = sin x + C
(12)
x a +C (13) ∫ a x dx = ln a
x 1 1 arctan dx = +C ∫ a2 + x 2 a a
( 21)
∫
x−a 1 1 dx = ln | | +C 2 2 x −a 2a x+a
( 22)
a+ x 1 1 dx = ln | ∫ a 2 − x 2 2a a − x | + C
( 23)
∫
1 x dx = arcsin + C 2 2 a a −x
+ N − Mp 2 q−
p2 4
arctan
x+ q−
p
2 4
p2
+ C;
Mx + N M ( 2 x + p )dx N − Mp 2 4.∫ 2 dx = +∫ 2 dx n 2 n n ∫ ( x + px + q ) 2 ( x + px + q ) ( x + px + q )
此两积分都可积,后者有递推公式