任意三角函数的定义(PPT课件)

x
cot x
y
3. 任意角的三角函数 : （1）确立任意角α在直角坐标系中的位置；
以坐标原点为角α的顶点，以OX轴的正 方向为角α的始边；
（2）在其终边上取点A，使OA=1，点A的坐 标为(l, m)，再任取一点P(x,y)，设点P到原点 的距离为r，OP =r（r≠0），根据三角形的相 似知识得：
(2) π； 解：（2）因为当α=π时，x=－r，y=0 .所以
sinπ=0，cosπ=－1，tanπ=0， Cscπ不存在，secπ=－1，cotπ不存在.
(3)
3
2
解：（3）因为当α=
3
2
时，x=0，y=－r
.所以
sin
3
2
=－1，cos
3
2
=0，tan
3
2
不存在，
3
csc 2
=－1，sec
x 叫做角α的余弦，记作cosα ,
r 即cosα=
x；
r
y
即sinrα叫= 做ry角；α的正弦，记作sinα，
y 叫做角α的正切，记作tanα，
x
即 tanα=
y
x
依照上述定义，对于每一个确定的角α， 都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对
应： 当α≠2kπ± (k∈Z)时，它有唯一的
2
正切值与之对应. 因此这三个对应法则都是 以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函 数、正弦函数和正切函数。
3.角α的其他三种函数：
角α的正割：
sec

1
cos

r x
角α的余割：
csc

1
sin

r y
角α的余切：
cot

1
tan

x y
4. 几点说明：
(1) 这里提到的角α是“任意角”，当 β=2kπ+α(k∈Z)时，β与α的同名三角函数值应 该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数 值都相等。
以坐标原点为角α的顶点，以OX轴的正方向
为角α的始边，则角α的终边落在直角坐标系的
第一象限内，若点P (x,y)是角α终边上的任意一
点，点P到原点O的距离是r
r x2 y,试2 将0
角α的三角函数用x、y、r的式子表示出来
y
P
r
y

x
O
x
Mtanα=
。y
3
2
不存在，cot
3
2
=0.
例3. 角α的终边过点P(－b，4)，且cosα=
3 5
则b的值是（ A ）
（A）3 （B）－3 （C）±3 （D）5
解：r= b2 16
cosα=
x r
b 3 b2 16 5
解得b=3.
例4. 在直角坐标系中，终边过点(1，3 )的所

有角的集合是 {α|α=2kπ+ ，3k∈Z} .
x2
cosα= cotα=
x 2 13 r 13 x 2 y3
cscα=
r 13 y3
例2. 求下列各角六个三角函数值： （1）0；（2）π；（3） 3
2
解：（1）因为当α=0时，x=r，y=0 .所以 sin0=0，cos0=1，tan0=0，
csc0不存在，sec0=1，cot0不存在.
y恒有意义，也
r
就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义
域是R；类似地可写出余弦函数的定义域是
R；
对于正切函数tanα=
y x
, 因为x=0时， y
x
无意义，又当且仅当α的终边落在y轴上时，才有
x=0，所以当α的终边落不在y轴上时，
y
x
恒有意义，即tanα= y 恒有意义，所以正切
x
函数的定义域是{α|α≠kπ+ （k∈Z）}
(2) 定义中只说怎样的比值叫做α的什么函 数，并没有说α的终边在什么位置（终边在坐 标轴上除外），即函数的定义与α的终边位置 无关。
实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义 同样适用。
(3) 三角函数是以“比值”为函数值的函数。
(4) 对于正弦函数sinα= y , 因为r>0，所以恒
r
有意义，即α取任意实数，
解：点(1， 3 )在第一象限，且x=1，y= 3
所以r=2，sinα= 3 ，cosα=
2
1 2
所以满足条件的角α=2kπ+
3
例5. 已知角α的终边上一点P(－ 3，y)(其中
y≠0)，且sinα= 2 ，y 求cosα和tanα.
4
解：sinα=
y r
y 3 y2
2y 4
解得y2=5，y= 5
1．2．1 三角函数的定义（一）
1.初中学过的锐角三角函数的定义:
在直角三角形ABC中，角C是直角，角 A为锐角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜 边AB之间的比值来定义角A的三角函数.
sin A BC AB
cos A AC AB
B
tan A BC AC
cot A AC BC
A
C
2.用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数：
2
从而三角函数的定义域是
y=sinα, α∈R
y=cosα, α∈R y=tanα ,α≠kπ+
（k2∈Z）
例1.已知角α的终边过点P（2，－3），求α的 六个三角函数值。
解：因为x=2，y=－3，所以 r 13
sinα=
y 3 13 r 13
tanα=
y 3 x2
secα= r 13
x l
r
y m
r
ym
xl
因为A、P在同一象限内，所以它们的坐标
符号相同，因此得
y
x l r
ym xl
y m r
P
r yA
m

x
xl O
不论点P在终边上的位置如何，它们都是 定值，它们只依赖于α的大小，与点P在α终 边上的位置无关。即当点P在α的终边上的位 置变化时，这三个比值始终等于定值。
当y=
5 时，cosα=

6 4
,tanα=
15 3
当y=－
5
时，cosα=

6
4 ,tanα=
15 3