平面法向量的一种简单求法和在求角

平面法向量的一种简单求法和在求角、距离中的应用

云南李学元

一、法向量的定义：

与平面垂直的向量叫平面的法向量

（根据定义可知：平面的法向量有多个，方向有两种：向上或向下）二、向量的数量积

a·b=∣a︳︳b∣ｃｏｓ

ｃｏｓ=

若a=(x1,y1,z1)b=(x2,y2,z2),则a·b=

∣a︳=

三、向量积：a×b

a×b的结果仍然是一个向量（使两个向量的起点相同）

方向：右手手指指向a的方向，自然弯向b，则大拇指所指的方向就是向量a×b的方向（即：a×b垂直平面）

大小：等于a,b为邻边的平行四边形的面积。

如图所示：

a×b

b

α a

（由此我们可以通过求两个向量的向量积求平面的法向量）

a×b的坐标计算

设a=(x1, y1, z1)

b=(x2 , y2, z2)

则：a×b =（︳y1y z1z︱,-︱x1x z1z︱,︱x1x y1y︱）其中：二阶行列式︱a b c d︱=ad-bc

习惯上：作a×b时，把a写在上，把b写在下

作b×a时，把b写在上，把a写在下

练习：已知a=（2，1，0）

b =（-1，2，1）

（1）求a×b。（2）求b×a

解：a×b=

b×a=

注：根据上述分析要求一个平面的法向量，只要在平面内找出两个同起点的向量作向量积即可。

例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。求平面AEF的一个法向量

解：以D为坐标原点建立坐标系

∴A（）D1C1

E（）A1 B1

F（）E

∴AF=（）

AE=（） D F C

A B

∴平面AEF的法向量n=( )

四、法向量在求角中的应用。

1、用法向量求线面角。如图

n a a ΘΘ n

Θ=1

2

π- Θ=- 1

2

π

两种情况下都有：sinΘ=︱cos︱因为

2、用法向量求二面角

n1

Θ

（1）

n2

Θ

n1 (2)

n2

如果两个平面的法向量选取合适，则二面角就等于两个平面的法向量的夹角（如第一种情况）。因此可以用向量的数量积公式的变形直接求出二面角。

例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。求平面AEF和平面ABCD所成的二面角。

解：以D为坐标原点建立坐标系

∴A（）D1C1

E（）A1 B1

F（）E

∴AF=（）

AE=（） D F C

A B

∴平面AEF的法向量n1=( )

∴A（）

B（）

AB=（）

∴平面ABCD的法向量n2=（）

cos< n1,n2>=

平面AEF和平面ABCD所成的二面角是

五、法向量在求距离中的应用。

1、利用法向量求点到面的距离。

如图所示：

A

Θ

B C

设点A到平面α的距离为d=AC=

因为AC垂直于平面α，所以AC可以看作平面α的一个法向

量n，但需注意AC与n的方向相同或相反，

所以〈AB，n〉=Θ（或=π-Θ），故cosΘ= 所以d= = （其中B是平面内的任意一点，n是已知平面的法向量）

2、利用法向量求两异面直线之间的距离

如图所示：

A C a

Θ

b B O

α D

a,b是两条异面直线，AB是两异面直线的公垂线，过直线a 上任意一点C做平面α的垂线于点O，连接BO，所以BO平行于直线a，且AB=CO，在直线b上任意取一点D，连接OD。

设〈CD，CO〉=Θ，因为CO垂直于平面α，所以CO可以看作平面的一个法向量n。但需注意CO与n的方向相同或相反。

所以〈，n〉=Θ（或=π-Θ），故cosΘ= 所以两异面直线的距离d=AB=CO=

= = （其中C，D分别是两异面直线a,b上的任意一点，n是由直线a的平行线BO与直线b所确定的平面的法向量）

例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F 分别是DD1、DC的中点。

（1）点G是A1B1上的一点，且B1G =1

4A1B1。求点G到平

面AEF的距离。

（2）求异面直线A1D与AC的距离

D1C1

A1G B1

E

D F C

A B