2.1数列的概念与简单表示法好(优质课)

1,
4,
9,
16, ……
因为这些数能够表示成正方形，故称为正方 形数. 生活离不开数字，在特定背景下研究数字的 排列或变化规律，也就成为一个数学问题，我们 将对此作些了解和学习.
8
7
6
5
陛下，赏小 人一些麦粒就 请在第一个格 请在第三个格 请在第四个格 可以 。 子放 1 颗麦粒 子放 4 颗麦粒 请在第二个格 子放 8 颗麦粒 依次类推 ……
项
2 2，5，10，17，26, ( 37 ) , 50 , ... a n = n +1
序号 1
2
3
4
5
6
通 项 7 公... 式
n
对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个 数（项）an与之对应. 项数n 1 2 3 4 ……64 （自变量）
…… 263
项 an 1
2
2 2 23
（函数值）
an 2 (n N , n 64)
§2.1.1数 列的概念 与简单表 示法(一)
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙 滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子 来表示数字.
1,
3,
6,
10,
.…..
上图中各三角形表示的数排列有规律吗？ 由于这些数可以用三角形点阵表示，故称其 为三角形数.
下图中各正方形分别表示哪些数？这些数与相 应正方形的序号有什么关系？
通 项 公 式
n1

问题引领4

你能从中得到什么启示？
数列的项
殊的函数

an 是n的函数可以认为数列是一种特
通项公式的概念
如果数列{ an }中的第n项an与n之间的关系可以用一 个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式。
函数解析式 an
f (n)
就是数列的通项公式，
问题引领5 你能由数列的前几项写出数列的通项公式吗？ 例1：写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数：
球员
梅西
戈麦斯
C罗
本泽马
伊布
戈米
进球数
14
12
10
7
5
5
截止到3月24日欧冠半决赛结束， 以上球员的进球数能否构成数 列？
问题引领2 数列与集合有什么区别？
辨析数列的概念: (1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同 一 个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？ ——数列的有序性 (2) 数列中的数可以重复吗？ ——可重复 集合讲究：无序性、互异性、确定性， 数列讲究：有序性、可重复性、确定性.
1 1 1 （1） 1， ，， ； 2 3 4 （2） 2， 0， 2， 0；
根据数列的前若干项写 出的通项公式的形式唯 一吗？请举例说明。
注意：①一些数列的通项公式不是唯一的
②不是每一个数列都能写出它的通项公式
a n为 通 项 的 数 列 ， 即 {a n }表 示 ③ {a n }表 示 以 数 列a1，a 2，a 3， ，a n ； 而a n 表 示 这 个 数 列{a n }中 的 第 n项 ， 其 中 n表 示 项 的 位 置 序号。
（2）正方形数构成的数列 1，4，9，16，…，n2 ，…
2，4，
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

an 2n的图象

是些孤立点
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
8

an n 2
7
6
5
4

3 2 1
0 -1

1 2
3 4
问题引领8
由此你对数列有什么新的认识？
数列用图象表示时的特点——一群孤立的点 数列是定义域为正整数集或是它的有限子集 {1，2，3，……n }的函数
子放2颗麦粒
4
8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 3 什么样的 2 赏赐？ 1 3 2 1
OK
?
64个格子
8
7
6Hale Waihona Puke Baidu
5
4
3
2
1
8 7 6 5 4 3 2 1
你认为国王 有能力满足 上述要求吗
每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子
2 1
0
2 2 18,446,744,073,709,551,615
小结
一.本节课学习的主要内容有： 1、数列的有关概念 2、数列的通项公式；
3、数列的实质；
二.本节课的能力要求是：
1、会由通项公式 求数列的任一项； 2、会用观察法由数列的前几项求数列的 通项公 式。
检测反馈
1.根据数列的通项公式填表：
n
1
2
33
…
5
…
12
153
…
n
an
21
…
69
…
…
3(3+4n)
雏菊 （13）
上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：
1， 2， 2， 2， 2
2
3
63
三角形数：1，3，6，10，· · · 正方形数：1，4，9，16，· · · 斐波那契数：
1， 1， 2， 3, 5, 8,13
-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：
1， 1， 1， 1
问题引领3 (1)按项数分：
数列如何分类？
1 ， 2 ， 22， 23， 263 1
有穷数列 无穷数列
递增数列
2
项数有限的数列叫 有穷数列 项数无限的数列叫 无穷数列 (2)按项之间的大小关系 递增数列，
1 ， 1 ， 2 ， 3, 5, 8,13
递增数列
3
1 ， 2， 3， 4， 62
有穷数列 递增数列 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 无穷数列 常数列
无穷多个1排列成的一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1 ，
问题引领1
这些数有什么共同特点？
数列 数列的项 按照一定顺序排列着的一列数 数列中每一个数 排在第一位的数 排在第2位的数 排在第n位的数
首项
第2项 第n项
球队 胜场
公牛 50
热火 46
步行者 42
老鹰 40
凯尔特人 39
思考
2011---2012赛季，NBA东部球队前5名获胜场次 从高到低所构成的数列：50,46,42,40,39与 从低到高所构成的数列：39,40,42,46,50是否 表示同一个数列？
4
递减数列， 摆动数列， 常数列。
1 ， 1 ， 1 ， 1
无穷数列 摆动数列
5
数列的一般形式可以写成：
a1，a2，a3， ，an ，
简记为
an ,其中 an
叫做数列的第n 项。
CCTV-2 中央电视台开心辞典节目中 曾经出现过这样的一道题： 观察以下几个数的特点， 按照其中的规律写出括号里的数.
2
1
2
3
63 2 ?
一斤小麦约1万粒。
18446744073709551615粒小麦等于 1844674407370955.1615斤
2010年我国的粮食总产量约1万亿斤。
它相当于目前我国约1844.7年的粮食总产量
有人说，大自然是懂数学的。
海棠 （2）
剑兰（3）
黃禅 （5）
波斯菊 （8）
问题引领6
数列的通项公式可以帮助我们解决什么问题？
例2.根据下面数列{an}的通项公式，求a5,an-1： (1)an=
n n 1
(2)an=(-1)n·n.
问题引领7
数列有那些表示方法？ 1、通项公式法 2、图象法 数列的表示法： 3、列表法
｛
你能做出下列两个数列的图象吗？
（1）全体正偶数按从小到大顺序构成的数列 ： 6，8，……，2n，…
2.下面对数列的理解有四种：
①数列可以看成一个定义在 ②数列的项数是无限的；

*
上的函数；
③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是（ A．①②③ C．①③ B．②③④ D．①②③④
C
）
3.如图所示：
问：2015位于A、B、C、D的哪个位置？ c 2 1 3 4 6 5 7 8 10 … 9 A D B C