泛函分析知识点

泛函分析知识点知识体系概述(一)、度量空间与赋范线性空间第一节 度量空间的进一步例子1.距离空间的定义:设X 就是非空集合,若存在一个映射d:X ×X →R,使得∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立:（1）非负性:d(x,y)≥0,d(x,y)=0⇔x=y;（2）对称性:d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离,X 为以d 为距离的距离空间,记作(X,d)2、几类空间例1 离散的度量空间例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A)例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间 即连续函数空间例6 l 2第二节 度量空间中的极限,稠密集,可分空间1. 开球定义 设(X,d)为度量空间,d 就是距离,定义U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球,亦称为x 0的ε一领域、2. 极限定义 若{x n }⊂X, ∃x ∈X, s 、t 、 ()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 就是点列{x n }的极限、 3. 有界集定义 若()(),sup ,x y Ad A d x y ∀∈=<∞,则称A 有界4. 稠密集定义 设X 就是度量空间,E 与M 就是X 中两个子集,令M 表示M 的闭包,如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密,当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。

5. 可分空间定义 如果X 有一个可数的稠密子集,则称X 就是可分空间。

第三节 连续映射1、定义 设X=(X,d),Y=(Y , ~d )就是两个度量空间,T 就是X 到Y 中映射,x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε,存在正数0δ>,使对X 中一切满足()0,d x x δ< 的x,有()~0,d Tx Tx ε<,则称T 在0x 连续、2、定理1 设T 就是度量空间(X,d)到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的映射,那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时,必有()0n Tx Tx n →→∞3、定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 就是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -就是X 中的开集、第四节 柯西(cauchy)点列与完备度量空间1、定义 设X=(X,d)就是度量空间,{}n x 就是X 中点列,如果对任意给定的正数0ε>,存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时,必有(),n m d x x ε<,则称{}n x 就是X 中的柯西点列或基本点列。

如果度量空间(X,d)中每个柯西点列都在 (X,d)中收敛,那么称(X,d)就是完备的度量空间、【注意】(1)Q 不就是完备集(2)n R 完备(3)cauchy 列不一定收敛,但收敛列一定就是cauchy 列、(4)C[a,b]完备2、定理 完备度量空间X 的子空间M 就是完备空间的充要条件为M 就是X 中的闭子空间、第五节 度量空间的完备化1、定义 设(X,d),( ~X ,~d )就是两个度量空间,如果存在X 到~X 上的保距映射T,即()()~,,d Tx Ty d x y =,则称(X,d)与( ~X ,~d )等距同构,此时T 称为X 到~X 上等距同构映射。

2、定理1(度量空间的完备化定理) 设X=(X,d)就是度量空间,那么一定存在一完备度量空间~X =( ~X ,~d ),使X 与~X 的某个稠密子空间W 等距同构,并且~X 在等距同构意义下就是唯一的,即若( ^X ,^d )也就是一完备度量空间,且X 与~X 的某个稠密子空间等距同构,则( ~X ,~d )与( ^X ,^d )等距同构。

3、定理1’ 设X=(X,d)就是度量空间,那么存在唯一的完备度量空间~X =( ~X ,~d ),使X 为~X 的稠密子空间。

第六节 压缩映射原理及其应用1、定义 设X 就是度量空间,T 就是X 到X 中的映射,如果存在一个数α,0<α<1,使得对所有的,x y X ∈,()(),,d Tx Ty d x y α≤,则称T 就是压缩映射。

2.定理1(压缩映射定理)(即Barnach 不动点定理) 设X 就是完备的度量空间,T 就是X 上的压缩映射,那么T 有且只有一个不动点(就就是说,方程Tx=x,有且只有一个解)、补充定义:若Tx=x,则称x 就是T 的不动点。

x 就是T 的不动点⇔x 就是方程Tx=x 的解。

3.定理2 设函数(),f x y 在带状域,a x b y ≤≤-∞<<∞中处处连续,且处处有关于y 的偏导数()',y f x y 、如果还存在常数m 与M 满足 ()'0,,y m f x y M m M <≤≤<, 则方程(),0f x y =在区间[],a b 上必有唯一的连续函数()y x ϕ=作为解:()()[],0,,f x x x a b ϕ≡∈ 第七节 线性空间1、定义1 设X 就是一非空集合,在X 中定义了元素的加法运算与实数(或复数)与X 中元素的乘法运算,满足下列条件:(1)关于加法成为交换群,即对任意x,y ∈X,存在u ∈X 与之相对应,记为u=x+y,称为x 与y 的与,满足1)x y y x +=+;2)()()(),,x y z x y z x y z X ++=++∈任何;3)在X 中存在唯一元素θ,使对任何x X ∈,成立x x θ+=,称θ为X 中零元素;4)对X 中每个元素x,存在唯一元素x X '∈,使x x θ'+=,称x '为x 的负元素,记为x -;(2)对于X 中每个元素x X ∈,及任意实数(或复数)a,存在元素u X ∈与之对应,记为u ax =,称为a 与x 的数积,满足1)1x x =;2)()()a bx ab x =对任意实数(或复数)a 与b 成立;3)()(),a b x ax bx a x y ax by +=++=+,则称X 按上述加法与数乘运算成为线性空间或向量空间,其中的元素称为向量。

如果数积运算只对实数(复数)有意义,则称X 就是实(复)线性空间。

例1 R n ,对R n 中任意两点x=(ξ1,ξ2,…,ξn ),y=(η1,η2,…,ηn)与任何实(复)数a,定义x+y=(ξ1 +η1,ξ2 +η2,…,ξn +ηn ),ax=(a ξ1 ,aξ2,…,aξn )、容易验证R n 按上述加法与数乘运算成实(复)线性空间、2、定义2 设x 1 ,x 2,…,x n 就是线性空间X 中的向量,如果存在n 个不全为零的数α1,α2,…,αn ,使α1 x 1 +α2 x 2 +…+αn x n =0, (1)则称x 1,x 2 ,…,x n 线性相关,否则称为线性无关、不难瞧出,x 1,x 2,…,x n 线性无关的充要条件为,若10ni i i x α==∑,必有α1 =α2 =…=αn =0、3、定义3 设M 就是线性空间X 的一个子集,如果M 中任意有限个向量都线性无关,则称M 就是X 中线性无关子集、设M 与L 为X 中两个子集,若M 中任何向量与L 中任何向量都线性无关,则称M 与L 线性无关、4、定义4 设X 就是线性空间, M 就是X 中线性无关子集,如果·spanM= X,则称M 的基数为X 的维数,记为dim X, M 称为X 的一组基、如果M 的基数为有限数,则称X 就是有限维线性空间,否则称X 就是无限维线性空间、如果X 只含零元素,称X 为零维线性空间、第八节 赋范线性空间与巴拿赫(Banach)空间1、定义1 设X 就是实(或复)的线性空间,如果对每个向量x ∈X,有一个确定的实数,记为‖x ‖与之对应,并且满足:1°‖x ‖≥0,且‖x ‖=0等价于x=0;2°‖αx ‖=|α|‖x ‖其中α为任意实(复)数;3°‖x+y ‖≤‖x ‖+‖y ‖,x,y ∈X,则称‖x ‖为向量x 的范数,称X 按范数‖x ‖成为赋范线性空间、2、 引理1(H ӧlder 不等式) 设p>1,111p q+=,[][],,,p q f L a b g L a b ∈∈那么f(t)g(t)在[a,b]上L 可积,并且 ()()bp q a f t g t dt f g ≤⎰3引理2(Minkowski 不等式) 设p ≥1,f,g ∈L p [a,b],那么f+g ∈L p [a,b],并且成立不等式‖f+g ‖p ≤‖f ‖p +‖g ‖p4.定理1 当p ≥1时,L p [a,b]按(6)中范数‖f ‖p 成为赋范线性空间、5.定理2 L p [a,b](p ≥1)就是Banach 空间、6.定理3 设X 就是n 维赋范线性空间,{e1,e2,…,en}就是X 的一组基,则存在常数M 与M ′,使得对一切1nk k k x e ξ==∑成立1221n k k M x M x ξ=⎛⎫'≤≤ ⎪⎝⎭∑、 7.推论1 设在有限维线性空间上定义了两个范数‖x ‖与‖x ‖1 ,那么必存在常数M 与M ′,使得M ‖x ‖≤‖x ‖1 ≤M ′‖x ‖、8、 定义2 设(R 1,‖x ‖1 )与(R 2 ,‖x ‖2 )就是两个赋范线性空间、如果存在从R 1 到R 2 上的线性映射φ与正数c 1 ,c 2,使得对一切x ∈R 1,成立c 1 ‖φx ‖2 ≤‖x ‖1 ≤c 2 ‖φx ‖2则称(R 1 ,‖x ‖1)与(R 2,‖x ‖2 )这两个赋范空间就是拓扑同构的、8.推论2 任何有限维赋范空间都与同维数欧氏空间拓扑同构、相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构、(二)有界线性算子与连续线性泛函第一节 有界线性算子与连续线性泛函定义1 设X 与Y 就是两个同为实(或复)的线性空间,D 就是X 的线性子空间,T 为D 到Y 中的映射,如果对任何x,y ∈D,及数α,有T(x+y)= Tx+ Ty, (1)T(αx)=αTx, (2)则称T 为D 到Y 中的线性算子,其中D 称为T 的定义域,记为D(T),TD 称为T 的值域,记为R(T),当T 取值于实(或复)数域时,就称T 为实(或复)线性泛函、定义2 设X 与Y 就是两个赋范线性空间,T 就是X 的线性子空间D(T)到Y 中的线性算子,如果存在常数c,使对所有x ∈D(T),有‖Tx ‖≤c ‖x ‖, (3)则称T 就是D(T)到Y 中的有界线性算子,当D(T)= X 时,称T 为X 到Y 中的有界线性算子,简称为有界算子、对于不满足条件(3)的算子,称为无界算子、本书主要讨论有界算子、 定理1 设T 就是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子,则T 为有界算子的充要条件为T 就是X 上连续算子、定理2 设X 就是赋范线性空间,f 就是X 上线性泛函,那么f 就是X 上连续泛函的充要条件为f 的零空间N(f)就是X 中的闭子空间定义3 T 为赋范线性空间X 的子空间D(T)到赋范线性空间Y 中的线性算子,称()0supx x D T Tx T x≠∈= (4) 为算子T 在D(T)上的范数、引理1 设T 就是D(T)上有界线性算子,那么()()11sup sup x D T x D T x x T Tx Tx ∈∈=≤== (6)Ⅲ、 有界线性算子与连续线性泛函的例子例6 赋范线性空间X 上的相似算子Tx=αx 就是有界线性算子,且‖T ‖=|α|,特别‖I X ‖=1,‖O ‖=0、第二节 有界线性算子空间与共轭空间Ⅰ、 有界线性算子全体所成空间定理1 当Y 就是Banach 空间时,B(X →Y)也就是Banach 空间、Ⅱ、 共轭空间定义1 设X 就是赋范线性空间,令X ′表示X 上连续线性泛函全体所成的空间,称为X的共轭空间、定理2任何赋范线性空间的共轭空间就是Banach空间、定义2设X与Y就是两个赋范线性空间,T就是X到Y中的线性算子,并且对所有x∈X,有‖Tx‖=‖x‖,则称T就是X到Y中的保距算子,如果T又就是映射到Y上的,则称T就是同构映射,此时称X与Y同构、。