江苏省苏州市2018届中考数学二轮复习第20课时《抛物线中的两个动点问题》

第20课时 抛物线中的两个动点问题

(60分)

1．(20分)[2019·凉山州]如图6－4－1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OB ＝8，OC ＝6.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点M 从A 点出发，在线段上AB 以每秒3个单位长度

的速度向点B 运动，同时，点N 从B 出发，在线段BC

上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN 存在时，求运动多少秒使△MBN 的面积最大，最大面积是多少？

(3)在(2)的条件下，△MBN 面积最大时，在BC 上方的抛物线上是否存在点P ，使△BPC 的面积是△MBN 面积的9倍，若存在，求点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

【解析】 (1)由线段的长度得出点A ，B ，C 的坐标，然后把A ，B ，C 三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，解方程组即可得抛物线的表达式；

(2)设运动时间为t s ，则MB ＝10－3t ，然后根据△BHN ∽△BOC ，求得NH ＝35t ，再利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式S △MBN ＝－910⎝ ⎛⎭

⎪⎫t －532＋52，利用二次函数的图象性质进行解答； (3)利用待定系数法求得直线BC 的表达式为y ＝－34x ＋6.由二次函数图象上点

的坐标特征可设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫m ，－38m 2＋94m ＋6.过点P 作PE ∥y 轴，交BC 于点E .结合已知条件和(2)中的结果求得S △PBC ＝452.则根据图形得到S △PBC ＝S △

CEP ＋S △BEP ＝12EP ·m ＋12·EP ·(8－m )，把相关线段的长度代入推知：－32

m 2＋12m ＝452.易求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，758或⎝ ⎛⎭

⎪⎫5，638. 图6－4－1

解：(1)∵OA ＝2，OB ＝8，OC ＝6，

∴A (－2，0)，B (8，0)，C (0，6)，

根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，64a ＋8b ＋c ＝0，c ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－38，b ＝94，c ＝6， ∴抛物线的表达式为y ＝－38x 2＋94x ＋6；

(2)设运动时间为t s ，则AM ＝3t ，BN ＝t .

∴MB ＝10－3t .

在Rt △BOC 中，BC ＝82＋62＝10. 如答图①，过点N 作NH ⊥AB 于点H ，∴NH ∥CO ，

∴△BHN ∽△BOC ，

∴HN OC ＝BN BC ，即HN 6＝t 10，

∴HN ＝35t .

∴S △MBN ＝12MB ·HN

＝12(10－3t )·35t ＝－910⎝ ⎛⎭⎪⎫t －532＋52，

∴当t ＝53时，S △MBN 最大＝52.

答：运动53 s 时，△MBN 的面积最大，最大面积是52；

(3)设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋c (k ≠0)．

把B (8，0)，C (0，6)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋c ＝0，c ＝6， 解得⎩⎨⎧k ＝－34，c ＝6，

∴直线BC 的表达式为y ＝－34x ＋6. 图第1题答图①

∵点P 在抛物线上，

∴设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫m ，－38m 2＋94m ＋6， 如答图②，过点P 作PE ∥y 轴，交BC 于点E ，则E

点的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫m ，－34m ＋6， ∴EP ＝－38m 2＋94m ＋6－⎝ ⎛⎭

⎪⎫－34m ＋6＝－38m 2＋3m ， 当△MBN 的面积最大时，S △PBC ＝9S △MBN ＝452，

∴S △PBC ＝S △CEP ＋S △BEP ＝12EP ·m ＋12EP ·(8－m )

＝12×8·EP ＝4×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－38m 2＋3m ＝－32m 2＋12m ， 即－32m 2＋12m ＝452，解得m 1＝3，m 2＝5，

∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，758或⎝ ⎛⎭⎪⎫5，638. 2．(20分)[2019·内江]如图6－4－2，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于A ，B 两点，点B 坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x ＝1.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位

长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在

线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，

其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设

△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t

的函数关系，并求S 的最大值；

(3)在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

【解析】 (1)由点B 的坐标与对称轴可求得点A 的坐标，把点A ，B ，C 的坐标分别代入抛物线的表达式，列出关于系数a ，b ，c 的方程组，求解即可；

(2)设运动时间为t s ，利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式，第1题答图②

图6－4－2

用配方法求得最大值；

(3)根据余弦函数，可得关于t 的方程，解方程，可得答案，注意分类讨论． 解：(1)∵点B 坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x ＝1，

∴A (－2，0)．把点A (－2，0)，B (4，0)，C (0，3)，分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，

得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝3. 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－38，b ＝34，c ＝3，

∴该抛物线的表达式为y ＝－38x 2＋34x ＋3.

'(2)设运动时间为t s ，则AM ＝3t ，BN ＝t ，∴MB ＝6－3t .

在Rt △BOC 中，BC ＝32＋42＝5.如答图①，过点N 作NH ⊥AB 于点H ， ∴NH ∥CO ，∴△BHN ∽△BOC ，

∴HN OC ＝BN BC ，即HN 3＝t 5，∴HN ＝35t .

∴S △MBN ＝12MB ·HN ＝12(6－3t )·35t ＝－910t 2＋95t ＝－910(t －1)2＋910.

当△MBN 存在时，0＜t ＜2，∴当t ＝1时，S 最大＝910.

∴S 与t 的函数关系为S ＝－910(t －1)2＋910，S 的最大值为910.

第2题答图

(3)如答图②，在Rt △OBC 中，cos B ＝

OB BC ＝45

，设运动时间为t s ，则AM ＝3t ，BN ＝t .

∴MB ＝6－3t .当∠MNB ＝90°时，cos B ＝BN BM ＝45，即

t 6－3t ＝45，解得t ＝2417. 当∠BM ′N ′＝90°时，cos B ＝6－3t t ＝45，解得t ＝3019.