16二次函数的综合提高

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中考数学专题复习二次函数与图形综合培优

1坐标系中（函数图象上）动点产生三角形的问题我们主要讲解3类：①因动点产生的等腰三角形问题②因动点产生的直角三角形问题③因动点产生的相似三角形问题.一、方法与技巧：已知线段AB 和直线l ，在直线l 上找点P ，使ABP △为等腰三角形．l知识互联网思路导航二次函数与图形综合题型一：坐标系中（函数图象上）动点产生三角形问题234l 几何法：①分别以点A 、B 为圆心，AB 为半径作圆，找点1P ，2P ，3P ，4P ．（检验） ②作线段AB 的垂直平分线k ，找点5P ．（检验）代数法：设点P 的坐标为()m n ，，求出AB 、AP 、BP 的长度，分类讨论：①AB AP =；②AB BP =；③AP BP =．求出点P ()m n ，．（检验）二、方法与技巧：已知线段AB 和直线l ，在直线l 上找点P ，使ABP △为直角三角形．几何法：①分别过点A 、B 作线段AB 的垂线，找点1P ，2P ．（检验）②以线段AB 为直径作圆，利用直径所对的圆周角为90︒，找点3P ，4P ．（检验）代数法：设点P 的坐标为()m n ，，求出AB 、AP 、BP 的长度，分类讨论： ①222AB AP BP =+；②222AP AB BP =+；③222BP AB AP =+. 求出点P ()m n ，．（检验）三、方法与技巧：以点A 、B 、C 为顶点的三角形和OPQ △相似．根据“两组角对应相等，两三角形相似．”进行分类讨论： ①ABC OPQ △∽△，②ACB OPQ △∽△， ③BAC OPQ △∽△，④BCA OPQ △∽△，⑤CAB OPQ △∽△，⑥CBA OPQ △∽△.（检验）【例1】已知二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴的一个交点为()40A ，，与y 轴交于点B ． ⑴ 求此二次函数关系式和点B 的坐标；⑵ 在x 轴的正半轴上是否存在点P ．使得PAB △是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】⑴ 把点()40A ，代入二次函数有： 01643b =-++得：134b =所以二次函数的关系式为：21334y x x =-++．当0x =时，3y =∴点B 的坐标为()03，．⑵ 如图：典题精练3作AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，连接BP ，则：BP AP =设BP AP x ==，则4OP x =-，在直角OBP △中，222BP OB OP =+ 即：()22234x x =+- 解得：258x = ∴257488OP =-= 所以点P 的坐标为：708⎛⎫⎪⎝⎭，【点评】可以把“PAB △是以AB 为底边的等腰三角形”拓展为“PAB △是等腰三角形”.【例2】在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数()21y k x x =+-的图象交于点和点()k B --1，． ⑴当时，求反比例函数的解析式；⑵要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，求应满足的条件以及的取值范围；⑶设二次函数的图象的顶点为，当是以为斜边的直角三角形时，求的值．【解析】 ⑴当时，，∵在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：my x=，代入得：21m -=，解得：，∴反比例函数的解析式为：，⑵∵要使反比例函数和二次函数都是y 随着的增大而增大，∴0k <，∵二次函数，的对称轴为：直线，要使二次函数满足上述条件，在的情况，必须在对称轴左边，即时，才能使得随着的增大而增大，∴综上所述，0k <且；()1A k ，2k =-y x k x Q ABQ △AB k 2k=-()12A -，A ()12A -，2m =-2y x=-x ()2215124y k x x k x k ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭12x =-()21y k x x =+-0k <x 12x <-y x 12x <-4⑶由⑵可得：，∵是以为斜边的直角三角形，点与点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）∴原点平分，∴，作，，∴， ∵，解得：．【例3】如图，在矩形OABC 中，10AO =，8AB =，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处．分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点．⑴求AD 的长及抛物线的解析式；⑵一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与ADE △相似？【解析】 ⑴∵四边形ABCO 为矩形，∴90OAB AOC B ∠=∠=∠=︒， 8AB CO ==，10AO BC ==．由题意得，BDC EDC △≌△．∴90B DEC ∠=∠=︒，10EC BC ==，ED BD =．由勾股定理易得6EO =．∴1064AE =-=．设AD x =，则8BD DE x ==-，由勾股定理，得()22248x x +=-．解之得，3x =，∴3AD =．∵抛物线2y ax bx c =++过点()00O ，，∴0c =． ∵抛物线2y ax bx c =++过点()310D ，，()80C ，， ∴93106480a b a b +=⎧⎨+=⎩．解之得23163a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴抛物线的解析式为：221633y x x =-+．1524Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，ABQ △AB A B O AB OQ OA OB ==AD OC ⊥QC OC ⊥OQ ==OA =k =5⑵∵90DEA OEC ∠+∠=︒，90OCE OEC ∠+∠=︒， ∴DEA OCE ∠=∠．由⑴可得3AD =，4AE =，5DE =．而CQ t =，2EP t =，∴102PC t =-．当90PQC DAE ∠=∠=︒时，ADE QPC △∽△，∴CQ CP EA ED =，即10245t t -=，解得4013t =．当90QPC DAE ∠=∠=︒时，ADE PQC △∽△， ∴PC CQ AE ED =，即10245t t -=，解得257t =． ∴当4013t =或257时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与ADE △相似．坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题：主要讲解两类问题：⑴因动点产生的平行四边形问题 ⑵因动点产生的梯形问题.⑴因动点产生的平行四边形问题的方法与技巧：已知以点A 、点B 为顶点的四边形为平行四边形，寻找平行四边形的另外两个顶点． ①AB 为边：平移型，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形． ②AB 为对角线：旋转型，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形．⑵因动点产生的梯形问题的方法与技巧：如图，已知ABC △和直线l ，在直线l 上找点P ，使以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为梯形．①分别过点A 、B 、C 作BC 、AC 、AB 的平行线与直线l 相交． ②检验以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是否为平行四边形．ABClP 3P 2P 1lCBA思路导航题型二：坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题B BAA6【例4】在平面直角坐标系中，以点()30A ，为圆心、半径为5的圆与x 轴相交于点B 、C （点B 在点C 的左边），与y 轴相交于点D 、M （点D 在点M 的下方）． ⑴求以直线3x =为对称轴，且经过点D 、C 的抛物线的解析式；⑵若E 为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F ，使得以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点F 坐标；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴如图，∵圆以点()30A ，为圆心，半径为5，∴此圆与x 轴交于点()20B -，，()80C ，．连接OD 在Rt AOD △中，90AOD ∠=°，∵3OA =，5AD =，∴4OD =．∴点D 的坐标为(设抛物线的解析式为2y ax bx c =++， ∵抛物线经过点()04D -，，()80C ，，且对称轴为3x =，∴4320648c b a a b c=-⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=++⎩ 解得14a =，32b =-，4c =-． ∴抛物线的解析式为 213442y x x =--．⑵存在符合条件的点F ，使得以点B 、C 、E 、F 顶点的四边形是平行四边形．情况1：当BC 为平行四边形的一边时，∵10BC =， ∴10EF BC ==．设点()3E t ，，()17F t -，，()213F t ，，将点1F 、2F 分别代入抛物线的解析式，得17574F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，275134F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．情况2：当BC 为平行四边形的对角线时，AE AF =，又∵点F 在抛物线上， ∴点F 必为抛物线的顶点．∴32534F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．综上所述17574F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，275134F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，32534F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．【例5】抛物线2y x bx c =-++经过直线3y x =-+与坐标轴的两个交点A B 、，抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ． ⑴求此抛物线的解析式；典题精练F 3ECBAF 2F 1E CB7⑵试判断ABD △的形状，并证明你的结论；⑶在坐标轴上是否存在点P 使得以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是梯形．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴∵直线3y x =-+与坐标轴的两个交点坐标分别为()()0330A B ，，，，又抛物线2y x bx c =-++经过这两个点，则可得0933b c c =-++⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为223y x x =-++．⑵由⑴可知：C 点坐标为()10-，，顶点D 的坐标为()14，，过D 点作DE y ⊥轴于E ，可知11AE DE ==，，∴45DAE ∠=︒，∵390OA OB AOB ==∠=︒，，∴45OAB ∠=︒，∴18090DAB DAE OAB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴ABD △是直角三角形．⑶分以下三种情况讨论：①若BD 为底，则1AP BD ∥与x 轴交于1P 点，由()()3014B D ，，，易知，直线BD 的解析式为26y x =-+， ∴直线1AP 的解析式为23y x =-+，∴1302P ⎛⎫⎪⎝⎭，． ②若AD 为底，则2BP AD ∥与y 轴交于2P 点，由()()0314A D ，，，易知，直线AD 的解析式为3y x =+， ∴直线2BP 的解析式为3y x =-，∴()203P -，．③若AB 为底，则DP AB ∥与y 轴、x 轴分别交于34P P 、，已知直线AB 的解析式为3y x =-+，∴直线34P P 的解析式为5y x =-+，∴()()340550P P ，，，．综上所述，满足以P A B D 、、、为顶点的四边形是梯形的P 点坐标为1302P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()203P -，，()305P ，，()450P ，．8【例6】如图，已知抛物线1C ：()225y a x =+-的顶点为P ，与x 轴相交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．⑴求P 点坐标及a 的值；⑵如图⑴，抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为3C ，3C 的顶点为M，当点P M 、关于点B 成中心对称时，求3C 的解析式； ⑶如图⑵，点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线1C 绕点Q 旋转180︒后得到抛物线4C ．抛物线4C 的顶点为N ，与x轴相交于E F 、两点（点E 在点F 的左边），当以点P N F 、、为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．【解析】 ⑴由抛物线1C ：()225y a x =+-得顶点P 的坐标为()25--， ∵点()10B ，在抛物线1C 上，∴()20125a =+-，解得59a =．⑵连接PM ，作PH x ⊥轴于H ，作MG x ⊥轴于G ∵点P M 、关于点B 成中心对称， ∴PM 过点B ，且PB MB =∴PBH MBG △≌△，∴5MG PH ==，3BG BH == ∴顶点M 的坐标为()45，抛物线1C 关于x 轴对称得到2C ，再平移得到3C∴抛物线3C 的解析式为()25459y x =--+⑶∵抛物线4C 由1C 绕着x 轴上的点Q 旋转180︒得到 ∴顶点N P 、关于点Q 成中心对称由⑵得点N 的纵坐标为5，设点N 坐标为()5m ，作PH x ⊥轴于H ，作NG x ⊥轴于G ，作PK NG ⊥于K ∵旋转中心Q 在x 轴上，∴26EF AB BH ===，∴3FG =，点F 坐标为()30m +，，H 坐标为()20-，，K 坐标为()5m -，，根据勾股定理得22224104PN NK PK m m =+=++，22221050PF PH HF m m =+=++， 2225334NF =+=，①当90PNF ∠=︒时，222PN NF PF +=，解得443m =，∴Q 点坐标为1903⎛⎫⎪⎝⎭，②当90PFN ∠=︒时，222PF NF PN +=，解得103m =，∴Q 点坐标为203⎛⎫ ⎪⎝⎭， C③∵90NPF HPK∠<∠=︒，∴90NPF∠≠︒综上，当Q点坐标为193⎛⎫⎪⎝⎭，或23⎛⎫⎪⎝⎭，时，以点P N F、、为顶点的三角形是直角三角形．910x题型一坐标系中（函数图象上）动点产生三角形问题巩固练习【练习1】如图，抛物线()()31y a x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C ，点C 的坐标为()26-，．⑴求a 的值及直线AC 的函数关系式；⑵P 是线段AC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点交x 轴于点N ．①求线段PM 长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M ，使得CMP △与APN △果存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．【解析】 ⑴由题意得()()62321a =-+--，∴2a =-∴抛物线的函数解析式为()()231y x x =-+-，与x 轴交于()30B -，、()10A ，设直线AC 的解析式为y kx b =+，则有062k b k b =+⎧⎨=-+⎩，解得22k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为22y x =-+⑵ ①设P 的横坐标为()21a a -≤≤，则()22P a a -+，，()2246M a a a --+， ∴()2221924622224242PM a a a a a a a ⎛⎫=--+--+=--+=-+++ ⎪⎝⎭219222a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴当12a =-时，PM 的最大值为92．②()106M ，；215548M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，提示：1M 通过观察容易得到，2M 需要计算过C 点且与AC 垂直的直线与抛物线的交点，比较复杂；亦或过C 作MN 的垂线，垂足为H ，则CHM PNA △∽△，得到2CHMH=，设P 点的横坐标为m ，通过点坐标与线段的转化，利用比例关系求出m ，进一步求出M 点坐标．题型二坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题巩固练习【练习2】已知：如图所示，关于x 的抛物线()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点()20A -，、点()60B ，，与y 轴交于点C ．复习巩固⑴求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；⑵在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；⑶在⑵的条件下直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ，是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】 ⑴根据题意，得4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2134y x x =-++，顶点坐标是()24，．⑵()43D ，设直线AD 的解析式为()0y kx b k =+≠ ∵直线经过点()20A -，，点()43D ，∴2043k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴112y x =+．⑶存在．()120Q -，，()220Q --，，()360Q -，()460Q +．【练习3】在平面直角坐标系中，以点(30)A -，为圆心、半径为5的圆与x 轴相交于点B 、C（点B 在点C 的左边），与y 轴相交于点D 、M （点D 在点M 的下方）． ⑴求以直线3x =-为对称轴，且经过点C 、D 的抛物线的解析式； ⑵若点P 是该抛物线对称轴上的一个动点，求PC PD +的取值范围；⑶若E 为这个抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F ，使得以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴由A ⊙的圆心为()30-，，半径为5，及各点的位置可知()()()()80200404B C D M --，，，，，，，，∵抛物线的对称轴是3x =-，且经过点C ，∴该抛物线一定经过点B ，∴设抛物线解析式为()()82y a x x =+-，代入()04D -，，可得()482a -=⋅⋅-，解得14a =，∴抛物线解析式为()()2113824442y x x x x =+-=+-． ⑵由B C 、两点关于对称轴对称，则连结BD 与对称轴交于一点P ，此时PC PD +最小，又知BD =∴PC PD +的取值范围是PC PD +≥．⑶①若BC EF ∥，则F 点横坐标为13-或7，这两点关于对称轴对称，∴16939754424F y =--=，∴F 点的坐标为757513744⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，．②若BC EF 、互相平分，则F 点在对称轴上， ∴F 点坐标为2534⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．∴存在点F ，坐标为7575251373444⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，．　【练习4】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21410189y x x =--与y 轴的交点为点B ，与x 轴的交点为点A ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE OA ∥，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）⑴求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；⑵当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程；⑶当902t <<时，PQF △的面积是否总为定值?若是，求出此定值，若不是，请说明理由；⑷当t 为何值时，PQF △为等腰三角形?请写出解答过程.【解析】 ⑴∵()21818018y x x =--，令0y =，得281800x x --=，()()18100x x -+=，∴18x =或10x =-，∴()180A ，；在21410189y x x =--中，令0x =，得10y =-，即()010B -，；由于BC OA ∥，故点C 的纵坐标为10-，由2141010189x x -=--，得8x =或0x =即()810C -，，且易求出顶点坐标为9849⎛⎫- ⎪⎝⎭，，于是，()()()180010810A B C --，，，，，，顶点坐标为9849⎛⎫- ⎪⎝⎭，．⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC PA ∥．故只要QC PA =即可，而184PA t CQ t =-=，，故184t t -=，得185t =；⑶设点P 运动t 秒，则4OP t CQ t ==，，0 4.5t <<，说明P 在线段OA 上，且不与点O 、A 重合，由于QC OP ∥知QDC PDO △∽△，故144QD QC t DP OP t ===，∴4AF t OP ==，∴18PF PA AF PA OP =+=+=．又点Q 到直线PF 的距离10d =，∴1118109022PQF S PF d =⋅⋅=⨯⨯=△，于是PQF △的面积总为90．⑷由⑶知，()()()401840810P t F t Q t +--，，，，，．构造直角三角形后易得()()2222481058100PQ t t t =-++=-+，()()2222184810510100FQ t t t =+-++=++．①若FP FQ =，即()2218510100t =++，故()2252224t +=，∵22 6.5t +≤≤，∴2t +==，∴2t =． ②若QP QF =，即()()2258100510100t t -+=++，无0< 4.5t ≤的t 满足条件； ③若PQ PF =，即22(58)10018t -+=，得2(58)224t -=，∴ 4.5t =>或0t =<都不满足0< 4.5t ≤，故无0< 4.5t ≤的t 满足方程；综上所述：当2t =-时，PQR △是等腰三角形．【练习5】如图，抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ，它的顶点为A ，连接AB ，把AB所在的直线沿y 轴向上平移，使它经过原点O ，得到直线l ，设P 是直线l 上一动点.⑴求点A 的坐标；⑵以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标； ⑶设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S ，点P 的横坐标为x ，当46S ++≤时，求x 的取值范围.【解析】 ⑴由()22424y x x x =+=+-，知点A 的坐标为()24--，．⑵ ①如图2，菱形OABP 的顶点P 的坐标为()24-，． ②如图3，等腰梯形OBAP 的顶点P 的坐标为2455⎛⎫- ⎪⎝⎭，．③如图4，直角梯形OPBA 的顶点P 的坐标为4855⎛⎫- ⎪⎝⎭，，直角梯形OBAP '的顶点P '的坐标为61255⎛⎫- ⎪⎝⎭，．⑶ 直线l 的解析式为2y x =-，那么点P 的坐标可表示为()2x x -，．ABO △的面积8ABO S =△．① 当P 在x 轴上方时，184(2)842ABO PBO S S S x x =+=+⨯⨯-=-△△．解不等式组4846x +-+≤≤，得112x -≤．② 当P 在x 轴下方时，ABO △与ABP △是同底等高的三角形，面积相等．因此1842842ABP PBO ABO PBO S S S S S x x =+=+=+⨯⨯=+△△△△．解不等式组4846x +++≤≤112x --≤≤．综上所述，x 的取值范围.是112x --≤112x --≤≤【测试1】点A 在x 轴的负半轴上，4OA =，AB OB ==.将ABO △绕坐标原点O 顺时针旋转90︒，得到11A B O △，再继续旋转90︒，得到22A B O △.抛物线23y ax bx =++经过B 、1B 两点.⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 点2B 是否在此抛物线上，请说明理由；⑶ 在该抛物线上找一点P ，使得2PBB △是以2BB 为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标；⑷ 在该抛物线上，是否存在两点M 、N ，使得原点O 是线段MN 中点，若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】⑴ 过点B 作BE OA ⊥于点E ，∵AB OB =，∴OE =又OB =∴1BE =． ∴(2B -．∴(11B ，)21-．∵抛物线23y ax bx =++经过B 、1B 两点，∴423132a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3132b a ． ∴抛物线的解析式为331322+--=x x y ．⑵ ∵当2x =时，22112231333y =-⨯-⨯+=--≠，∴点()221B -，不在此抛物线上．⑶ 点P 应在线段2BB 的垂直平分线上，由题意可知，12OB BB ⊥且平分2BB ， ∴点P 在直线1OB 上．可求得1OB 所在直线的解析式为2y x =．又点P 是直线2y x =与抛物线221333y x x =--+的交点，由2221333y x y x x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，解得{1112x y ==，22929x y ⎧⎪=-⎨=-⎪⎩． ∴符合条件的点P 有两个，()112P ，即点1B 和2992P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． ⑷存在．⎛ ⎝和．课后测。

二次函数综合提高

题型1.代数型综合题函数型综合题主要是以二次函数为主线，几何与二次函数相结合的综合形式。

二次函数是初中数学的重点，也是难点，以二次函数为背景的代数型综合题能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此是各地中考的热点题型，是压轴题的主要来源之一．解题时重点把握：1.二次函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x 轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等；2.方程、分类讨论、数形结合始终是解题的主旋律，尤其是题中数量信息转化为方程；3.探索问题，动点问题联系转化来解决；4.计算能力的培养。

题型2 几何型综合题几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力． 1．几何型综合题，常用相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现． 2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧的长度的计算，角、角的三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等． 3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力． 4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）掌握常规的证题思路，尤其理解作辅助线的本质就是挖掘题中的隐含条件；（4）解题自信心的培养解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的。

例1.已知抛物线2(4)24y x m x m =-+-++与x 轴交于1(,0)A x 、2(,0)B x ，与y 轴交于点C ，且1x 、2x 满足条件1212,20x x x x <+= （1）求抛物线的解析式；（2）能否找到直线y kx b =+与抛物线交于P 、Q 两点，使y 轴恰好平分△CPQ的面积？若能，求出k 、b 所满足的条件．解析：（1）∵△＝22(4)4(24)320m m m -++=+>，∴对一切实数m ，抛物线与x 轴恒有两个交点，由根与系数的关系得124x x m +=- ①， 12(24)x x m =-+ ②．由已知有1220x x += ③．③－①得2124,228.x m x x m =-=-=-代入②得(28)(4)(24)m m m --=-+．化简得29140m m -+=．解得121122,7.2,4,2m m m x x ====-=当时，满足12x x <．当27m =时，126,3x x ==-，不满足12x x <，∴抛物线的解析式为228y x x =--+．（2）如图，设存在直线y kx b =+与抛物线交于点P 、Q ，使y 轴平分△CPQ 的面积，设点P 的横坐标为Q x ，直线与y 轴交于点E ． ∵1122PCE QCEP Q S S CE x CE x ∆∆==∙∙=∙∙， ∴P Q x x =，由y 轴平分△CPQ 的面积得点P 、Q 在y即P Q x x =-，∴0P Q x x +=，由228y kx by x x =+⎧⎨=--+⎩得2(2)80x k x b +++-=．又∵P x 、Q x 是方程2(2)80x k x b +++-=的两根，∴(2)0P Q x x k +=-+=，∴2k =-．又直线与抛物线有两个交点，∴当28k b =-<且时，直线y kx b =+与抛物线的交点P 、Q ，使y 轴能平分△CPQ 的面积．故2,8k b =-<．例2如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB△是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P解：（1）抛物线的对称轴5522axa-=-=（2）(30)A-，(54)B，(04)C，把点A坐标代入254y ax ax=-+中，解得16a=-215466y x x∴=-++（3）存在符合条件的点P共有3设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．过点B作BQ x⊥轴于Q，易得4BQ=，8AQ=， 5.5AN=，52BM=①以AB为腰且顶角为角A的PAB△有1个：1PAB△．222228480AB AQ BQ∴=+=+=在1Rt ANP△中，12PN==== 1522P⎛∴-⎝⎭，②以AB为腰且顶角为角B的PAB△有1个：2P AB△．在2Rt BMP△中，2MP===252P⎛∴⎝⎭③以AB为底，顶角为角P的PAB△有1个，即3P AB△．画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于3P，此时平分线必过等腰ABC△的顶点C．过点3P作3P K垂直y轴，垂足为K，显然3Rt RtPCK BAQ△∽△．312P K BQCK AQ∴==．32.5P K=5CK∴=于是1OK=3(2.51)P∴-，例3.如图，抛物线2(0)y x bx c b =++≤的图象与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(20)-，；直线1x =与抛物线交于点E ，与x 轴交于点F ，且4560FAE≤∠≤．（1）用b 表示点E 的坐标；（2）求实数b 的取值范围；（3）请问BCE △的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．解（1）抛物线2y x bx c =++过(20)A -，，24c b ∴=-点E 在抛物线上，112433y b c b b b ∴=++=+-+=-，∴点E 的坐标为(133)b -，．（2）由（1）得33EF b =-，4560FAE ≤∠≤，3AF =，10b ∴≤．（3）BCE △的面积有最大值，2y x bx c =++ 的对称轴为2bx =-，(20)A -，， ∴点B 的坐标为(20)b -，，由（1）得(024)C b -，，而BCE EFB OCB OCEF S S S S =+-△△△梯形111()222OC EF OF EF FB OB OC =++- []111(42)(33)1(33)(1)(2)(42)222b b b b b b =-+-⨯+----- 21(32)2b b =-+， 21(32)2y b b =-+ 的对称轴是32b =，10b ≤∴当1b =BCE S △取最大值，其最大值为21(13(122⎡⎤-+=⎣⎦例4.已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB ＜OC）是方程210160x x -+=的两个根，且抛物线的对称轴是直线2x =-（1）求此抛物线的表达式；（2）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程210160x x -+=得122,8x x ==∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8）又∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2x =- ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0） ∵点C （0，8）在抛物线2y ax bx c =++的图象上 ∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式，得2036683042883a a b a b b ⎧=-⎪=-+⎧⎪⇒⎨⎨=++⎩⎪=-⎪⎩∴所求抛物线的表达式为228833y x x =--+（2）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ，∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m 8 ∴EF ＝40－5m 4过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （3）存在．理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－12＜0，∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0）CE CB ∴= ∴△BCE 为等腰三角形．例5、如图5，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在y 轴上. （1）求m 的值及这个二次函数的表达式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB一点P ，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，标；若不存在，请说明理由. 解析： (1) ∵ 点A(3,4)在直线m x y +=上，∴4=3+m . ∴m 设所求二次函数的关系式为2(1)y a x =- ∵ 点A(3,4)在二次函数2(1)y a x =-的图象上，∴24(31)a =- ∴ 1a =∴ 所求二次函数的关系式为2(1)y x =-即221y x x =-+ (2) 设P 、E 两点的纵坐标分别为p y 和E y∴ 22(1)(21)3p E PE h y y x x x x x ==-=+--+=-+ 即h =23(03)x x x -+<<(3) 存在. 解：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有PE=DC.点D 在直线1y x =+上 ∴ 点D 的坐标为(1,2),图5∴ 232x x -+= 解之得122,1x x ==(不合题意，舍去) ∴ 当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形例6 如图6，已知抛物线2y ax bx c =++经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1）求这条抛物线的函数关系式.（2）两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式；② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 解析：（1）∵ 抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+03390416c b a b a 解得 0,334,33==-=c b a ∴ 所求抛物线的函数关系式为x x y 334332+-=.（2）① 过点B 作BE ⊥x 轴于E ，则BE=3，AE=1，由tan ∠BAE=3=AEBE ，得∠BAE =60°.（ⅰ）当点Q 在线段AB 上运动，即0＜t ≤2时，QA=t ，过点Q 作QF ⊥x 轴于F ，则QF=t 23，∴ S=21PA ·QF t t 23)4(21⋅-=t t 3432+-=22)t =-∵ 043<-，∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值S=3（ⅱ）当点Q 在线段BC 上运动，即2≤t ＜4时，Q 点的纵坐标为3，PA=4-t . 这时，S=3)4(21⋅-t 3223+-=t∵ 023<-， ∴ S 随着t 的增大而减小. ∴ 当t =2时，S 有最大值，最大值332223=+⋅-=S综合（ⅰ）（ⅱ），当t =2时，S 有最大值，最大值为3. △PQA 是等边三角形. ③ 存在. 当点Q 在线段AB 上运动时，要使得△PQA 是直角三角形，必须使得∠PQA =90°，这时PA=2QA ，即4-t =2t ，∴ 34=t .∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 1(34,0)，Q 1(310,332).当点Q 在线段BC 上运动时，Q 、P 两点的横坐标分别为(41)(2)5t t ---=-和t ，要使得△PQA 是直角三角形，则必须5-t =t ，∴ 25=t∴ P 、Q 两点的坐标分别为P 2(25,0)，Q 2(25,3).例7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有A （-1,0），B （3,0）C （0，-1）三点。

二次函数综合提高讲义

一、选择题1.在下列关系式中,y 是x 的二次函数的关系式是 ( )A.2xy+x 2=1B.y 2-ax+2=0C.y+x 2-2=0D.x 2-y 2+4=0 2.设等边三角形的边长为x(x>0），面积为y ，则y 与x 的函数关系式是( )A.212y x =B.214y x =C.2y x =D.2y x = 3.抛物线y=x 2-8x+c 的顶点在x 轴上，则c 等于( )A.-16B.-4C.8D.16 4.若直线y=ax ＋b (a≠0）在第二、四象限都无图像，则抛物线y=ax 2+bx+c ( )A.开口向上，对称轴是y 轴B.开口向下，对称轴平行于y 轴C.开口向上，对称轴平行于y 轴D.开口向下，对称轴是y 轴 5.一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系中的图像可能是（）6.已知抛物线y=-x 2+mx+n 的顶点坐标是（-1，- 3 )，则m 和n 的值分别是（）A.2,4B.-2,-4C.2,-4D.-2,0 7.对于函数y=-x 2+2x-2使得y 随x 的增大而增大的x 的取值范围是 ( )A.x>-1B.x≥0C.x≤0D.x<-1 8.抛物线y=x 2-(m+2)x+3(m-1)与x 轴（）A.一定有两个交点； B ．只有一个交点； C ．有两个或一个交点； D ．没有交点 9. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（）10.2 +(2-t) x + t 总经过一个固定的点，这个点是( )A . (1, 0) B.（-l, 0) C.（-1, 3) D. (l, 3) 二、填空题11.抛物线y=-2x+x 2＋7的开口向，对称轴是，顶点是 . 12.若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图像过原点，则m 的值是 .13.如果把抛物线y=2x 2-1向左平移l 个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是 . 14.对于二次函数y=ax 2, 已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 . 15.已知二次函数y=x 2-6x+n 的最小值为1，那么n 的值是 . 16.抛物线在y=x 2-2x-3在x 轴上截得的线段长度是 .17.设矩形窗户的周长为6m ，则窗户面积S(m 2）与窗户宽x (m)之间的函数关系式是，自变量x 的取值范围是 .18.设A 、B 、C 三点依次分别是抛物线y=x 2-2x-5与y 轴的交点以及与x 轴的两个交点，则△ABC 的面积是 . 19.抛物线上有三点(-2, 3）、（2,-8）、（1,3)，此抛物线的解析式为 .xxxxx20.已知一个二次函数与x 轴相交于A 、B, 与y 轴相交于C ，使得△ABC 为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是 . 三、解答题21、如图正方形CDEF 的边长为4，截去一角成五边形ABCDE ，已知AF=2，BF=1，在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积.22、函数2(0)y ax a =≠的图象与直线23y x =-交于点（1，b ）（1）求a 和b 的值；（2）求两函数图象另一个交点B 的坐标；（3）设坐标原点为O ，求OAB S ∆.23、如图1，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B=，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）． ⑴求AB 的长；⑵当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值．24、如图，等边ABC ∆中，AD 是BAC ∠的角平分线，E AD 为上一点，以BE 为一边且在BE 下方作等边BEF ∆，连接CF 。

重难题型六二次函数综合题——三阶综合提升练+++课件+2025年中考数学人教版一轮复习(广西)

S2＝12 PN•|xA－xB|＝－12 t2＋2，∴S＝S1＋S2＝4t＋8，当t＝2时，S的最大值为16.
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2．(2024•湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)，P(x1， y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点．
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∵DE⊥OB，∴DE∥AC，∴∠EDO＝∠ACO＝60°，
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(1)解：∵二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)， ∴5＝－4＋c，∴c＝9，∴y＝－x2＋9.
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(2)证明：易得B(3，0)，设直线AB的解析式为y＝kx＋b， ∴ －2k＋b＝5，∴ k＝－1，
3k＋b＝0， b＝3， ∴直线AB的解析式为y＝－x＋3，设P(x1，－x12＋9)，则Q[x1＋3，－(x1＋3)2＋9]，D(x1，－x1＋3)，
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(“一阶
重难题型六二次函数综合题 ——三阶综合提升练
方法技巧突破练”、“二阶考向多维设问练”见本书P65)
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类型一：二次函数中的线段问题 (2024T25，2018－2017T26)
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1．(2017•北部湾第26题10分)如图，已知抛物线y＝ax2－2 3ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交 BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N. (1)直接写出a的值，点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；

2020年中考数学一轮复习：二次函数综合提升训练解析版

2020年中考数学一轮复习：二次函数综合提升训练一．选择题（共12小题）1．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 2．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（3，4）3．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞24．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度5．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的6．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣257．将抛物线y＝x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣8）2+5B．y＝（x﹣4）2+5C．y＝（x﹣8）2+3D．y＝（x﹣4）2+38．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b＝0D．a﹣b+c＝09．若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（）A．5B．﹣1C．4D．1810．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x+2）2﹣1C．y＝（x﹣2）2+1D．y＝（x﹣2）2﹣1 11．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0；②a+b+c＞0；③2a﹣b＝0；④c﹣a＝3其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．412．函数y＝k（x﹣k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）13．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是．14．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是．15．已知二次函数y＝x2﹣8x+m的最小值为1，那么m的值等于．16．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为．17．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标为．18．将y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．20．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是．三．解答题（共6小题）21．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A 在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．23．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣．24．已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1．（1）求证：2a+b＝0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．25．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x＝﹣3，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式．（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣．26．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．一．选择题（共12小题）1．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5，∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1．故选：C．2．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（3，4）【分析】根据顶点式直接可得顶点坐标．【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣3）2﹣4是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为（3，﹣4）．∴则答案为C故选：C．3．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞2【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；所以2＞y1＞y2．故选：A．4．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．【解答】解：抛物线y＝x2顶点为（0，0），抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y＝x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的图象．故选：D．5．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的【分析】A、由a＝1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x＝，选项B不正确；C、代入x＝0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；D、由a＝1＞0及抛物线对称轴为直线x＝，利用二次函数的性质，可得出当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．综上即可得出结论．【解答】解：A、∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B、∵﹣＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝，选项B不正确；C、当x＝0时，y＝x2﹣x＝0，∴抛物线经过原点，选项C正确；D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．故选：C．6．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7D．y＝（x+4）2﹣25【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣25＝（x﹣4）2﹣25．故选：B．7．将抛物线y＝x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣8）2+5B．y＝（x﹣4）2+5C．y＝（x﹣8）2+3D．y＝（x﹣4）2+3【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．【解答】解：y＝x2﹣6x+21＝（x2﹣12x）+21＝[（x﹣6）2﹣36]+21＝（x﹣6）2+3，故y＝（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y＝（x﹣4）2+3．故选：D．8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b＝0D．a﹣b+c＝0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x＝1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，所以D选项正确；故选：D．9．若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（）A．5B．﹣1C．4D．18【分析】把（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c可得﹣2b+c＝7，再将所求的式子变形，整体代入即可求出答案【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），∴﹣（﹣2）2﹣2b+c＝3，整理得，﹣2b+c＝7，∴2c﹣4b﹣9＝2（c﹣2b）﹣9＝2×7﹣9＝5，故选：A．10．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x+2）2﹣1C．y＝（x﹣2）2+1D．y＝（x﹣2）2﹣1【分析】由抛物线平移不改变a的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y＝（x﹣2）2+1．故选：C．11．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0；②a+b+c＞0；③2a﹣b＝0；④c﹣a＝3其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；由于对称轴为x＝﹣1，∴x＝﹣3与x＝1关于x＝﹣1对称，∵x＝﹣3时，y＜0，∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，故②错误；∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴2a﹣b＝0，故③正确；∵顶点为B（﹣1，3），∴y＝a﹣b+c＝3，∴y＝a﹣2a+c＝3，即c﹣a＝3，故④正确；故选：B．12．函数y＝k（x﹣k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．【分析】将一次函数解析式展开，可得出该函数图象与y轴交于负半轴，分析四个选项可知，只有C选项符合，由此即可得出结论．【解答】解：一次函数y＝k（x﹣k）＝kx﹣k2，∵k≠0，∴﹣k2＜0，∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，A不正确；B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，B不正确；C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴，C可以；D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，D不正确．故选：C．二．填空题（共8小题）13．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是4．【分析】把抛物线化为顶点式可得出其顶点坐标，根据顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0可求得c．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4，∴其顶点坐标为（2，c﹣4），∵顶点在x轴上，∴c﹣4＝0，解得c＝4，故答案为：4．14．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是（0，3）．【分析】y轴上点的坐标特点为横坐标为0，纵坐标为y，把x＝0代入即可求得交点坐标为（0，3）．【解答】解：当x＝0时，y＝3，即交点坐标为（0，3）．15．已知二次函数y＝x2﹣8x+m的最小值为1，那么m的值等于17．【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．【解答】解：原式可化为：y＝（x﹣4）2﹣16+m，∵函数的最小值是1，∴﹣16+m＝1，解得m＝17．故答案为：17．16．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为y ＝（x+2）2﹣3．【分析】先得到抛物线y＝x2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y ＝（x+2）2﹣3．故答案为y＝（x+2）2﹣3．17．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标为（﹣1，﹣3）．．【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．【解答】解：顶点坐标是（﹣1，﹣3）．故答案为：（﹣1，﹣3）．18．将y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝（x﹣1）2+2．【分析】直接利用配方法把一般式配成顶点式即可．【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2．故答案为（x﹣1）2+2．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜5．【分析】先移项，整理为一元二次方程，让根的判别式大于0求值即可．【解答】解：由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，5），∴＝5，即b2﹣4ac＝﹣20a，∵ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，∴方程ax2+bx+c﹣k＝0的判别式△＞0，即b2﹣4a（c﹣k）＝b2﹣4ac+4ak＝﹣20a+4ak ＝﹣4a（5﹣k）＞0∵抛物线开口向下∴a＜0∴5﹣k＞0∴k＜5．故答案为：k＜5．20．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是①②④．【分析】根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴求出b＝2a，代入2a﹣b即可判断②；把x＝2代入二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可判断③；求出点（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标，根据对称轴判断y1和y2的大小，即可判断④．【解答】解：①∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵b＝2a，∴2a﹣b＝0，故②正确；③∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）．∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴当x＝2时y＞0，即4a+2b+c＞0，故③错误；④∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，3＞，∴y1＞y2，故④正确；故答案为：①②④．三．解答题（共6小题）21．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y ＝kx+b得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40（2）依题意，设利润为w元，得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400整理得w＝﹣（x﹣25）2+225∵﹣1＜0∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A 在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．【分析】（1）把y＝0代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便可得A、B两点的坐标，再根据函数图象不在x轴下方的x的取值范围得y≥0时x的取值范围；（2）根据题意写出B2，B3的坐标，再由对称轴方程列出n的方程，求得n，进而求得m 的值．【解答】解：（1）令y＝0，则﹣，解得，x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m），函数图象的对称轴为直线，∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴，∴n＝1，∴，∴m，n的值分别为，1．23．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣．【分析】（1）由于抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；（2）先得到点E（2，﹣3），根据勾股定理可求BE，再根据直角三角形的性质可求线段HF的长；【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴m＝4﹣4﹣3＝﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE＝＝，∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH＝BE＝×＝．24．已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1．（1）求证：2a+b＝0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．【分析】（1）直接利用对称轴公式代入求出即可；（2）根据（1）中所求，再将x＝4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可．【解答】（1）证明：∵对称轴是直线x＝1＝﹣，∴2a+b＝0；（2）解：∵ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，∴16a+4b﹣8＝0，∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∴16a﹣8a﹣8＝0，解得：a＝1，则b＝﹣2，∴ax2+bx﹣8＝0为：x2﹣2x﹣8＝0，则（x﹣4）（x+2）＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．25．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x＝﹣3，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式．（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣．【分析】（1）把点A（﹣4，﹣3）代入y＝x2+bx+c得16﹣4b+c＝﹣3，根据对称轴是x ＝﹣3，求出b＝6，即可得出答案，（2）根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x＝﹣3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD＝8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为（0，5），求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．【解答】解：（1）把点A（﹣4，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：16﹣4b+c＝﹣3，c﹣4b＝﹣19，∵对称轴是x＝﹣3，∴﹣＝﹣3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的解析式是y＝x2+6x+5；（2）∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝﹣3对称，∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为﹣7，∴点C的纵坐标为（﹣7）2+6×（﹣7）+5＝12，∵点B的坐标为（0，5），∴△BCD中CD边上的高为12﹣5＝7，∴△BCD的面积＝×8×7＝28．26．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，﹣3）代入二次函数y＝x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y＝x2+2x﹣3；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）∵当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；∴A（1，0），B（﹣3，0），∴AB＝4，设P（m，n），∵△ABP的面积为10，∴AB•|n|＝10，解得：n＝±5，当n＝5时，m2+2m﹣3＝5，解得：m＝﹣4或2，∴P（﹣4，5）（2，5）；当n＝﹣5时，m2+2m﹣3＝﹣5，方程无解，故P（﹣4，5）（2，5）；。

动点与二次函数综合提高题(含答案)[1]

72x =B(0,4)A(6,0)EFxyO 二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点 A （6，0）和 B （0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．A5-4- 3-2-1- 1 2 3 455 4 3 2 1 A EBC '1- O2l 1lx y练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，．（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．二．二次函数与四边形的面积例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P ：y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x … -3 -2 1 2 … y…-52-4-52…(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；(2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM=k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ，点N 的对应点为B ，点H 的对应点为C ）；（2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．练习3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在图10对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y ．（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D .(1) 求l 2的解析式；(2) 求证：点D 一定在l 2上；(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.三．二次函数与四边形的动态探究例 1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．B CPO D QA BPC ODQ Ay321O12 x例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．例3..(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积．（1） S 与S '相等吗？请说明理由．（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？（3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE ∆是等腰三角形．练习1.（07年河池市）如图12，四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）点（填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自图2OCA BxyDPE F 图1 FE PD y xBA C OxN MQ PHGFEDCBA图11QPN M HGFED CBA图10y QBCN变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．练习2..(江西省) 25．实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，，，；（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为（不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．答案：一．二次函数与四边形的形状例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1），x图1x图2x图3)x图4E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F - 练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式27(2y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725(326y x =--，顶点为725(,).26- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725(326y x =--，∴y<0，即－y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线， ∴2172264()2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的取值范围是1＜x ＜6． ①根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）．点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形；点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形． ② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E 使OEAF 为正方形．练习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，．设2l 又点(10)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上，2(13)40a ∴--=∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+（2）P 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行．5-4-3-2-1-12 3D554 32 1 ACEM BC '1-O 2l 1l xy设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+，4OD =，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得36m =±．当2652m m -+=-时，解得32m =±．∴当点P 运动到(362)-，或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时， P P OD ' ∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠=，30BAM ∠=（或30ABM ∠=），114222BM AB ∴==⨯=．过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=．112122EB BM ∴==⨯=，3EM =，4OE =． ∴点M 的坐标为(43)-，．但是，当4x =时，246451624533y =-⨯+=-+=-≠-．∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．练习3. [解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，．设抛物线2C 的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-．（2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2ADN S S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++．因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤．（3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）．所以74t =时，S 有最大值814．提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．所以22420t t +-=．解之得1222t t ==，（舍）．所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时2t =．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练含详细答案(1)

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（22﹣2）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）设BC 的解析式为y=kx+b ，将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣32）2+94，当n=32时，PM最大=94；②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，n2﹣2n﹣3=-3，P（2，-3）；当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+2（不符合题意，舍），n3=3-2，n2﹣2n﹣3=2-42，P（3-2，2-42）；综上所述：P（2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.2．如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ=34AB时，求tan∠CED的值；②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．（2）直线BC的函数表达式为y=x－3．（3）①23．①P1（122），P2（16，74）．【解析】【分析】已知C 点的坐标，即知道OC 的长，可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长，即可得出B 点的坐标．已知了△AOC 和△BOC 的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO 与OB 的比．由此可求出OA 的长，也就求出了A 点的坐标，然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴− 221b ba -⨯＝＝1 ∴b=-2∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3）， ∴c=-3，∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3；（2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，当y=0时，x 2-2x-3=0． ∴x 1=-1，x 2=3． ∵A 点在B 点左侧， ∴A （-1，0），B （3，0）设过点B （3，0）、C （0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m ，则033k m m ＝＝+⎧⎨-⎩，∴13k m ⎧⎨-⎩＝＝∴直线BC 的函数表达式为y=x-3；（3）①∵AB=4，PQ=34AB ， ∴PQ=3 ∵PQ ⊥y 轴 ∴PQ ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得PM=32， ∵对称轴是直线x=1， ∴P 到y 轴的距离是12， ∴点P 的横坐标为−12， ∴P （−12，−74）∴F（0，−74），∴FC=3-OF=3-74=54∵PQ垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE-CG=52-1=32．在Rt△EGD中，tan∠CED=23 GDEG＝．②P1（2，-2），P2（1-62-52）．设OE=a，则GE=2-a，当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），∴1=1×（2-a），∴a=1，∴CE=2，∴OF=OE+EF=2∴F、P的纵坐标为-2，把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：2或2∵点P在第三象限．∴P1（2-2），当CD为斜边时，DE⊥CE，∴OE=2，CE=1，∴OF=2.5，∴P和F的纵坐标为：-52，把y=-52，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-62，或1+62，∵点P在第三象限．∴P2（1-6，-52）．综上所述：满足条件为P1（1-2，-2），P2（1-62，-52）．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．3．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（2，﹣2）.【解析】【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．【详解】解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得30 4233 a ba b--=⎧⎨+-=-⎩解得12 ab=⎧⎨=-⎩∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入23k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴y ＝﹣x ﹣1 ∴D （0，﹣1）（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2） ∴P 点纵坐标为﹣2， ∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2解得：x ＝1±2，∵x ＞0∴x ＝1+2． ∴P （1+2，﹣2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．4．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x 2+bx+c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62bx a=-=时，10t y =≦ 答：21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0））当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过（3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得1266x x =+=-12x x -=答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用．5．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值. 【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得. 【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a=- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b ba a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=ba-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.6．如图，已知抛物线的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C （0，5）。

一元二次方程综合提高精选题含答案

一元二次方程综合提高题一、选择题1.若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1m4 >-；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C。

【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。

②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：1m4>-。

故结论②正确。

③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m。

∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m =x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。

令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。

∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。

综上所述，正确的结论有2个：②③。

故选C。

2.如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【】A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13【答案】B。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=a 。

∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3。

中考复习：二次函数综合能力提升——各种题型逐一突破

二次函数综合能力提升 ——各类题型逐一突破一、【二次函数的定义】二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）例1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－2x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ；⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =(4,x) ；⑧y=－∏x 。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为。

3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。

4、若函数y=(m －2)x m2 －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为。

5、k 为何值时，y=（k ＋2）x 622--k k 是关于x 的二次函数？训练题:1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2．当m 时，y=（m －2）x22-m 是二次函数．3．已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．4．在物理学内容中，如果某一物体质量为m ，它运动时的能量E 与它的运动速度v 之间的关系是E=21mv 2（m 为定值）．v 1 2 3 4 5 6 7 8E（2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E 扩大为原来的多少倍？ 5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限6．下列不是二次函数的是（）A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2C ．y=52-xD ．y=（x ＋1）（x －2）7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．9．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．10．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．（1）AE 用含y 的代数式表示为：AE= ；（2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．二、【二次函数y=ax 2+bx+c 的图象特征与a 、b 、c 的关系】* a 决定开口方向，a ＞ 0，开口向上；a ＜ 0，开口向下。

九年级数学上册《二次函数图象和性质》专项提高练习带答案

22.1 二次函数的图象和性质1．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 2．抛物线y=－4x 2－4的开口向，当x= 时，y 有最值，y = ． 3．当m= 时，y=（m －1）x－3m 是关于x 的二次函数．4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x ＋9开口向下，对称轴是．在对称轴左侧，y 随x 的增大而；在对称轴右侧，y 随x 的增大而． 5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（）A ．y=x 2B ．y=－x 2C ．y=－2x 2D ．y=－x 28．抛物线，y=4 x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（）A ．y=x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定9．对于抛物线y=x 2和y=－x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）A ．两条抛物线关于x 轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线关于y 轴对称D ．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（）11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（）A ．4 B ．2C ．D ．12．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）；（2）y=ax 2与y=x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=x ＋3交于点（2，m ）．13已知是二次函数，且当时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．mm +2mm +221214131312141212142)2(-++=k k xk y 0x <14、有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线 (1) 作出这条抛物线；(2) 利用图象，当水面与抛物线顶点的距离为4m 时，求水面的宽； (3）当水面宽为6m 时，水面与抛物线顶点的距离是多少？15．如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数 y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．16、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万. （1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）17、已知关于x 的一元二次方程 x 2+(m+3)x+m+1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且，求m 的值，并求出此时方程的两根．1．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 2．抛物线y=－4x 2－4的开口向，当x= 时，y 有最值，y = ． 3．当m= 时，y=（m －1）x－3m 是关于x 的二次函数．4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x ＋9开口向下，对称轴是．在对称轴左侧，y 随x 的增大而；在对称轴右侧，y 随x 的增大而．214y x =-1222x x -=mm +2mm +25．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（）A ．y=x 2B ．y=－x 2C ．y=－2x 2D ．y=－x 28．抛物线，y=4 x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（）A ．y=x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定9．对于抛物线y=x 2和y=－x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）A ．两条抛物线关于x 轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线关于y 轴对称D ．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（）11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（）A ．4 B ．2C ．D ．12．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）；（2）y=ax 2与y=x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=x ＋3交于点（2，m ）．13已知是二次函数，且当时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．14、有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线 (1) 作出这条抛物线；(2) 利用图象，当水面与抛物线顶点的距离为4m 时，求水面的宽； (3）当水面宽为6m 时，水面与抛物线顶点的距离是多少？21214131312141212142)2(-++=k k xk y 0x <214y x =-15．如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数 y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．16、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万. （1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）17、已知关于x 的一元二次方程 x 2+(m+3)x+m+1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且，求m 的值，并求出此时方程的两根．22.1 二次函数的图象与性质一、填空题:1.已知函数y=(k+2)是关于x 的二次函数,则k=________.2.已知正方形的周长是acm,面积为Scm 2,则S 与a 之间的函数关系式为_____.3.填表:c261 4 4.在边长为4m 的正方形中间挖去一个长为xm 的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y,则y 与x 间的函数关系式为_________5.用一根长为8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为________.二、选择题:1222x x -=24k k x +-2116s c =6.下列结论正确的是( )A.二次函数中两个变量的值是非零实数;B.二次函数中变量x 的值是所有实数;C.形如y=ax 2+bx+c 的函数叫二次函数;D.二次函数y=ax 2+bx+c 中a,b,c 的值均不能为零 7.下列函数中,不是二次函数的是( )A.y=1-x 2B.y=2(x-1)2+4;C.y=(x-1)(x+4)D.y=(x-2)2-x 28.在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为( )A.y=x 2-4B.y=(2-x)2;C.y=-(x 2+4)D.y=-x 2+169.若y=(2-m)是二次函数,则m 等于( )A.±2B.2C.-2D.不能确定三、解答题10.分别说出下列函数的名称：(1)y=2x-1 (2)y=-3x 2, (3)y= (4)y=3x-x 2 (5)y=x11、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)d=n 2-n , (2)y=1-x 2, (3)y=-x(x-3)12、二次函数y=ax 2+c 中，当x=3时，y=26 ;当x=2时，y=11 ;则当x=5时， y= ＿＿ .13、已知一个直角三角形的两条直角边的和为10cm 。

二次函数章节分类综合提高练习2021—2022学年北师大版数学九年级下册

一．二次函数的图象（共1小题）1．函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．方程|ax2+bx|＝k有四个不等的实数根B．a+b＞1C．2a+b＞0D．5a+3b＜1二．二次函数的性质（共7小题）2．已知抛物线y＝x2﹣（1+m）x+m与直线y＝﹣x两个交点的横坐标是x1，x2，并且x12+mx2＝2，则m的值为（）A．﹣1B．1C．2D．﹣1或23．已知两点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣5B．x0＞﹣1C．x0＞﹣3D．﹣5＜x0＜﹣14．已知二次函数y＝x2﹣2bx+5（b为常数），当x≥﹣1时，y的最小值为1，则b的值为（）A．−52B．2或﹣2C．2或﹣2或−52D．2或−525．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴是直线x＝2，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（）A．若x1﹣x2＜0，则x1+x2﹣4＜0B．若x1﹣x2＜0，则x1+x2﹣4＞0C．若x1﹣x2＞0，则a（x1+x2﹣4）＞0D．若x1﹣x2＞0，则a（x1+x2﹣4）＜06．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣k）2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k，则k的值为．7．已知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．关于x的一次函数y＝kx+3k的图象与抛物线交点的横坐标分别为x1和x2，且x1＜x2＜1．则k的取值范围为．8．已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．（1）若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为（直接写出结果）；（2）若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为（直接写出结果）；（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．三．二次函数图象与系数的关系（共14小题）9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点（ac，bc）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则下列说法中正确的是（）A．抛物线开口向下B．对称轴可能为直线x＝3C．y1＞y4D．5a+b＞011．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：x﹣103y n33当n＜0时，下列结论中一定正确的有（）个．①abc＜0；②若点（﹣2，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③n＜4a；④对于任意实数t，总有4（at2+bt）≤9a+6b．A．1B．2C．3D．412．如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝1，过（﹣2，0），则下列结论：①ab2c3＞0；②b+2a＝0；③方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4；④9a+c＞3b，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为个．14．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（﹣1，n），且与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间．则下列结论：①a+b+c＜0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+（b+n2）x+c−n2=0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝2；④对于任意实数m，不等式a（m2﹣1）+（m+1）b≤0恒成立．则上述说法正确的是．（填序号）15．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c，下列结论中一定正确的是．（填序号即可）①若抛物线与x轴有两个不同交点，则方程cx2+bx+a＝0必有两个不等实数根；②若对任意实数t都有at2+bt≤a ﹣b（a＜0），则b＝2a；③若（am2+bm+c）（an2+bn+c）＜0（m＜n），则方程ax2+bx+c＝0有一个根α，且m＜α＜n；④若a2m2+bam+ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个实数根．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=12，且经过点（﹣1，0）．下列说法：①abc＞0；②﹣2b+c＝0；③点（t−32，y1），（t+32，y2）在抛物线上，则当t＞13时，y1＞y2；④14b+c≤m（am+b）+c（m为任意实数）．其中一定正确的是．17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0．下列四个结论：①若b＝﹣2a，则抛物线经过点（3，0）；②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝﹣1；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2，则5a+c≥0．其中正确的是．（填写序号）18．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①b＝﹣2a；②4a+2b+c＞0；③若n＞m＞0，则x＝1+m时的函数值小于x＝1﹣n时的函数值；④点（−c2a，0）一定在此抛物线上．其中正确的结论是．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点在点（﹣1，0），（0，0）之间，下列结论正确的是（填写序号）．①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③a+b≥m（am+b）（m是一个常数）；④若方程ax2+bx+c＝mx﹣2m（m是一个常数）的根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＜0．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）上有五点（﹣1，p）、（0，t）、（1，n）、（2，t）、（3，0），有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3；③p+2t＜0；④m（am+b）≤﹣4a ﹣c（m为任意实数）．其中正确的结论（填序号即可）．21．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1且小于0．其中正确的是．（只填序号）22．已知抛物线y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2与x轴分别交于（x1，0），（x2，0）两点．（1）求m 的取值范围．（2）若x 1，x 2满足（x 1+2）（x 2+2）＝5，求m 的值．（3）点（a ，y 1），（b ，y 2），（−12，y 3）均在抛物线上，若−13＜a ＜b ，请直接写出y 1，y 2，y 3的大小关系（用“＜”连接）．四．二次函数图象上点的坐标特征（共6小题）23．已知点（﹣4，y 1）、（﹣1，y 2）、（53，y 3）都在函数y ＝﹣x 2﹣4x +5的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 224．二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象经过A （﹣3，y 1），B （﹣1，y 2），C （2，y 3），D （4，y 4）四个点，下列说法一定正确的是（） A ．若y 1＞0，则y 2y 3＜0 B ．若y 2＞0，则y 1y 4＜0 C ．若y 3＜0，则y 1y 2＞0D ．若y 4＜0，则y 2y 3＞025．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），点B （3，0），交y 轴于点C ，给出下列结论：①a ：b ：c ＝﹣1：2：3；②若0＜x ＜4，则5a ＜y ＜﹣3a ；③对于任意实数m ，一定有am 2+bm +a ≤0；④一元二次方程cx 2+bx +a ＝0的两根为﹣1和13，其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①③C ．①③④D ．②③④26．若点A （﹣3，y 1），B （1，y 2），C （m ，y 3）在抛物线y ＝ax 2+4ax +c 上，且y 1＜y 3＜y 2，则m 的取值范围是（） A ．﹣3＜m ＜1 B ．﹣5＜m ＜﹣1或﹣3＜m ＜1C ．m ＜﹣3或m ＞1D ．﹣5＜m ＜﹣3或﹣1＜m ＜127．抛物线y ＝﹣x 2+2x +6在直线y ＝﹣9上截得的线段长度为（） A ．6B ．7C ．8D ．928．点P 1（﹣1，y 1），P 2（2，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y ＝﹣x 2+2x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是．五．二次函数图象与几何变换（共4小题）29．将二次函数y＝x2+1的图象绕点（1，﹣1）旋转180°，得到的图象的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣2）2﹣3B．y＝（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣（x﹣3）2﹣2D．y＝﹣（x+2）2﹣330．要将抛物线y＝2x2平移后得到抛物线y＝2x2+4x+5，下列平移方法正确的是（）A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位31．将抛物线y＝2x2平移到抛物线y＝2x2﹣4x﹣1，正确的平移方法是（）A．向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度B．向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度C．向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度D．向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度32．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x经变换后得到抛物线y＝x2﹣4x，则这个变换可以是（）A．向左平移4个单位B．向右平移4个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位六．二次函数的最值（共1小题）33．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．−74B．√3或−√3C．2或−√3D．2或√3或−74七．抛物线与x轴的交点（共11小题）34．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x 轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，…，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是（）A．y＝﹣x2+38x﹣360B．y＝﹣x2+34x﹣288C．y＝x2﹣36x+288D．y＝﹣x2+38x+36035．方程ax2+bx+c＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点一定在（）A．在x轴上方B．在x轴下方C．在y轴右侧D．在y轴左侧36．抛物线y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的方程x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．6＜t＜11B．t≥2C．2≤t＜11D．2≤t＜637．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p ＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1）．如果关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，则这两个整数根是（）A．x1＝0，x2＝﹣2B．x1＝2，x2＝0C．x1＝﹣2，x2＝4D．x1＝﹣3，x2＝538．已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝．39．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过（﹣1，0），对称轴在y轴的右侧．下列四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．其中正确的是．（填写序号）40．关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．其中正确结论的序号是．41．在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；x…﹣10123…y……（2）当x满足时，函数值大于0；（3）当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是．42．如图，利用函数y＝x2﹣4x+3的图象，直接回答：（1）方程x2﹣4x+3＝0的解是．（2）当x满足时，y随x的增大而增大．（3）当x满足时，函数值大于0．（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是．43．已知二次函数y＝x2﹣6x+5，请回答下列问题：（1）其图象与x轴的交点坐标为；（2）当x满足时，y＜0；（3）当﹣1≤x≤4时，函数y的取值范围是．44．在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3．（1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象：x…01234…y……（2）当x满足时，函数值大于0；（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是．八．二次函数与不等式（组）（共4小题）45．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1．给出以下结论：①abc＞0；②2a+b+c ≥ax2+bx+c；③若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则对于a的每一个值，对应的p值有2个．其中正确的有．（写出所有正确结论的序号）46．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝1，直线y ＝﹣x+c与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，现有下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c ＜0；③x（ax+b）＜a+b；④a＜﹣1．其中正确的结论是（只填写序号）．47．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c图象经过（﹣1，0）和（3，0）．（1）求出抛物线的解析式；（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小；（3）直接写出不等式﹣x2+bx+c＞0的解集；（4）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围．48．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，图象交x轴于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，交y轴于点C（0，3），根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）直接写出不等式ax2+bx+c＜3的解集．九．二次函数的应用（共12小题）49．从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t ﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的下降的高度为（）A．15m B．20m C．25m D．30m50．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（）A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m51．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为米．52．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根长度为3.2m水管AB，在水管的顶端A点处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离BC＝3m处达到最高，水柱落地处离池中心距离BD＝8m，则抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是m．53．把一个物体从地面以10m/s速度竖直上抛，那么物体经过x（s）时，离地面高度为h（m），h与x的函数关系为h＝10x﹣4.9x2，则物体回到地面的时间为s．54．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．55．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x2+23x+53．则他将铅球推出的距离是m．56．某超市销售一种成本为30元/千克的食品，设第x天的销售量为n千克，销售价格为y元/千克，现已知以下条件：①y与x满足一次函数关系，且当x＝10时，y＝50；当x＝20时，y＝45；②n与x的关系式为n＝6x+60．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设每天的销售利润为W元，在整个销售过程中，第几天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该超市把销售价格在当天的基础提高a元/千克（a为整数），那么在前30天（包含第30天）每天的销售利润随x的增大而增大，求a的最小值．57．某商场要求所有商家商品的利润率不得超过40%，一商家以每件16元的价格购进一批商品．该商品每件售价定为x元，每天可卖出（170﹣5x）件，每天销售该商品所获得的利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？（3）请直接写出这个商家每天销售该商品可获得的最大利润为元．58．某医疗器械商店经营销售A，B两种型号的医疗器械，该店5月从厂家购进A，B型号器械各10台，共用去1100万元；6月购进5台A型、8台B型器械，共用去700万元．根据器械的特点和使用要求，A，B两种型号器械需搭配销售，且每月A的销售数量与B的销售数量须满足1：2的关系．据统计，该商店每月A型器械的销量n A（台）与售价x（万元）有如下关系：n A＝﹣x+100；B型器械的销量n B（台）与售价y（万元）有如下关系：n B＝﹣2y+150．（1）试求A，B两种器械每台的进货价格；（2）若该店今年7月销售A，B两种型号器械的利润恰好相同（利润不为0），试求本月A型器械的销售数量；（3）在A，B两种器械货源充足的情况下，试计算该店每月销售这两种器械能获得的最大利润．59．农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：3035404550销售价格x元（元/千克）6004503001500日销售量p（千克）（1）请直接写出p与x之间的函数关系式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．60．某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表：第x天售价（元/件）日销售量（件）1≤x≤30x+60300﹣10x已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果．。

二次函数综合提高

10个题目（每小题4分，共40分时间20分钟）得分得分率 1、如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m是二次函数，那么m 的值为2、把二次函数y=－2x 2＋4x+3化成y=a （x+h ）2+k 的形式是。

3、二次函数y=－2x 2－x+3与y 轴交点的坐标是。

4、写出一个开口向上，且对称轴为直线2=x 的二次函数解析式。

5、已知二次函数m x x y +-=422的顶点在x 轴上，则m 的值是。

6、已知二次函数()()3131+-=x x y ，则它的对称轴是。

7、二次函数c bx x y ++=2的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（） A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。

8、二次函数21323y x x =-+-与2y ax =的形状相同，而开口方向相反，则a =（） A ．13- B ．3 C ．3- D ．139、若二次函数)2(2-++=m m x x y 的图像经过原点，则m 的值必为( ) A ． 0或2 B ．0 C ． 2 D ．无法确定10、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 0。

☆ 二、例题分析与巩固训练（一）、关于概念部分例1、下列各式中，y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．21xy =B ．12+=x yC ．22-+=x x yD ．x x y 322+= （二）关于解析式部分例2、二次函数122+--=m mx x y 的图像过原点，则m 为（）A ．0B ．1C ．－1D ．±1例3、把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（） A ．2)1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2++=x yD ．2)1(2-+=x y巩固练习：1、用配方法将二次三项式542+-a a 变形的结果是。

九上数学二次函数提高题常考题型抛物线压轴题(含解析)

二次函数常考题型与解析一．选择题（共12小题）1．若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=72．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y33．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．4．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣5．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤7．抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．108．已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或1 B．或1 C．或D．或9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（）A．c＜3 B．m≤C．n≤2 D．b＜110．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧11．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（）A．x=10，y=14 B．x=14，y=10 C．x=12，y=15 D．x=15，y=1212．如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜0二．填空题（共9小题）13．已知点P（m，n）在抛物线y=ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是．14．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b c（用“＞”或“＜”号填空）15．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是．16．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．17．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为．18．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为．19．直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB 时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为．20．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．21．抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．三．解答题（共12小题）22．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当y＜0时，求x的取值范围．23．已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．24．已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为．（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．25．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．26．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．28．如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．29．如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A （3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．30．已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点．（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．31．在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．②如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值．32．小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的实线所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系如图2所示，在加速过程中，s与t满足表达式s=at2（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a的值；（2）求图2中A点的纵坐标h，并说明它的实际意义；（3）爸爸在乙处等待7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的折线O﹣B﹣C所示，加速过程中行驶路程s（m）与时间t（s）的关系也满足s=at2，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．33．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？2017年03月20日初中数学3的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016•荆门）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可．【解答】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，∴﹣=3，解得m=﹣6，∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0，即（x+1）（x﹣7）=0，解得x1=﹣1，x2=7．故选D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．2．（2016•兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故选D．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．3．（2016•贺州）抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．【解答】解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=的图象在第二、四象限，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系，掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．4．（2016•临沂）二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c 中，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；B、﹣=﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2+5x+4=﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；D、﹣=﹣，抛物线的对称轴是x=﹣，D正确．故选D．【点评】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．5．（2016•宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；故选D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A （﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．7．（2016•绍兴）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根据抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，∴解得6≤c≤14，故选A．【点评】本题考查二次函数的性质、解不等式，解题关键是明确题意，列出相应的关系式．8．（2016•泸州）已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或1 B．或1 C．或D．或【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而确定答案．【解答】解：依题意知a＞0，＞0，a+b﹣2=0，故b＞0，且b=2﹣a，a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，于是0＜a＜2，∴﹣2＜2a﹣2＜2，又a﹣b为整数，∴2a﹣2=﹣1，0，1，故a=，1，，b=，1，，∴ab=或1，故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据图象经过的点确定a+b+c的值和a、b的符号，难度中等．9．（2016•株洲）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（）A．c＜3 B．m≤C．n≤2 D．b＜1【分析】根据已知条件得到，解方程组得到c=3﹣2a＜3，b=1﹣a＜1，求得二次函数的对称轴为x=﹣=﹣=﹣＜，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论．【解答】解：由已知可知：，消去b得：c=3﹣2a＜3，消去c得：b=1﹣a＜1，对称轴：m=x=﹣=﹣=﹣＜，∵A（﹣1，2），a＞0，那么顶点的纵坐标为函数的最小值，∴n≤2，故B错．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的性质是解题的关键．10．（2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧【分析】根据题意判定点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，从而得出﹣2＜＜0，即可判定抛物线对称轴的位置．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键．11．（2007•临沂）如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（）A．x=10，y=14 B．x=14，y=10 C．x=12，y=15 D．x=15，y=12【分析】由直角三角形相似得，得x=•（24﹣y），化简矩形面积S=xy 的解析式为S=﹣（y﹣12）2+180，再利用二次函数的性质求出S 的最大值，以及取得最大值时x、y的值．【解答】解：以直角梯形的下底直角边端点为原点，两直角边方向为x，y轴建立直角坐标系，过点D作DE⊥x轴于点E，∵NH∥DE，∴△CNH∽△CDE，∴=，∵CH=24﹣y，CE=24﹣8，DE=OA=20，NH=x，∴，得x=•（24﹣y），∴矩形面积S=xy=﹣（y﹣12）2+180，∴当y=12时，S有最大值，此时x=15．故选D．【点评】本题考查的是直角梯形以及矩形的性质的相关知识点．12．（2015•玉林）如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜0【分析】把（﹣，m）代入y=ax2+bx图象的顶点坐标公式得到顶点（﹣，﹣），再把（﹣，﹣）代入得到k=，由图象的特征即可得到结论．【解答】解：∵y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m），∴﹣=﹣，即b=a，∴m==﹣，∴顶点（﹣，﹣），把x=﹣，y=﹣代入反比例解析式得：k=，由图象知：抛物线的开口向下，∴a＜0，∴a＜k＜0，故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．二．填空题（共9小题）13．（2016•厦门）已知点P（m，n）在抛物线y=ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是﹣≤a＜0．【分析】依照题意画出图形，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围．【解答】解：根据已知条件，画出函数图象，如图所示．由已知得：，解得：﹣≤a＜0．故答案为：﹣≤a＜0【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是画出函数图象，依照数形结合得出关于a的不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质画出函数图象，利用数形结合解决问题是关键．14．（2016•镇江）a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b＜c（用“＞”或“＜”号填空）【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2ax+3的图象的对称轴为x=a，二次项系数1＞0，∴抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∵a+1＜a+2，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，∴b＜c，故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解更简便．15．（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是P＞Q．【分析】由函数图象可以得出a＜0，b＞0，c＞0，当x=1时，y=a+b+c＞0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，由对称轴得出2a+b=0，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q的值．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴2a﹣b＜0，∵﹣=1，∴b+2a=0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．∴﹣b﹣b+c＜0，∴3b﹣2c＞0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b+2c＞0，∴p=3b﹣2c，Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0∴P＞Q，故答案为：P＞Q．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．16．（2016•梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．【解答】解：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在y=﹣x2+2x+3中，令y=2，可得﹣x2+2x+3=2，解得x=1±，∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键．17．（2014•宁德）如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为6．【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：∵y=﹣x2+x+2，∴当y=0时，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，解得x=2或x=﹣1故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6．=6，．∴当x=1时，C最大值即：四边形OAPB周长的最大值为6．故答案是：6．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．18．（2016•泰州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为（1+，3）或（2，﹣3）．【分析】△ABC是等边三角形，且边长为2，所以该等边三角形的高为3，又点C在二次函数上，所以令y=±3代入解析式中，分别求出x的值．由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上，所以x＞0．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，∴AB边上的高为3，又∵点C在二次函数图象上，∴C的纵坐标为±3，令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，∴x=1或0或2∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，∴x=1+或x=2∴C（1+，3）或（2，﹣3）故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）【点评】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，分类讨论的思想等知识，题目比较综合，解决问题的关键是根据题意得出C的纵坐标为±3．19．（2016•大庆）直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为（0，4）．【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两根之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．【解答】解：∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，∴kx+b=，化简，得x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，又∵OA⊥OB，∴=，解得，b=4，即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k的乘积为﹣1．20．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为15．【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD根据二次函数的性质即可求得最大值．【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC==5，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC∥x轴，∴S=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，△BCD∵﹣＜0，∴S有最大值，最大值为15，△BCD故答案为15．【点评】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键．21．（2016•自贡）抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．【分析】（1）根据抛物线经过原点b=0，把a=、b=0代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再求出B、C坐标，即可求出BC长．（2）利用△PCB∽△APM，得=，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）经过原点O，∴b=0，∵a=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x，∵x=2时，y=8，∴点B坐标（2，8），∵对称轴x=3，B、C关于对称轴对称，∴点C坐标（4，8），∴BC=2．（2）∵AP⊥PC，∴∠APC=90°，∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°，∴∠CPB=∠PAM，∵∠PBC=∠PMA=90°，∴△PCB∽△APM，∴=，∴=，整理得a2﹣4a+2=0，解得a=2±，∵a＞1，∴a=2+．【点评】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．三．解答题（共12小题）22．（2016•黔南州）已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当y＜0时，求x的取值范围．【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式，然后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；（2）依据抛物线的解析式与平移的规划规律，写出平移后抛物线的解析式，然后求得抛物线与x轴的交点坐标，最后依据y＜0可求得x的取值范围．【解答】解：（1）∵把C（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C=﹣6，把A（﹣2，0）代入y=x2+bx﹣6得：b=﹣1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣6．∴y=（x﹣）2﹣．∴抛物线的顶点坐标D（，﹣）．（2）二次函数的图形沿x轴向左平移个单位长度得：y=（x+2）2﹣．令y=0得：（x+2）2﹣=0，解得：x1=，x2=﹣．∵a＞0，∴当y＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键．23．（2016•无锡）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B 且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．【分析】（1）由二次函数的解析式可求出对称轴为x=1，过点P作PE⊥x轴于点E，所以OE：EB=CP：PD；（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，构造直角三角形CDF，利用tan∠PDB=即可求出FD，由于△CPG∽△CDF，所以可求出PG的长度，进而求出a 的值，最后将A（或B）的坐标代入解析式即可求出c的值．【解答】解：（1）过点P作PE⊥x轴于点E，∵y=ax2﹣2ax+c，∴该二次函数的对称轴为：x=1，∴OE=1∵OC∥BD，∴CP：PD=OE：EB，∴OE：EB=2：3，∴EB=，∴OB=OE+EB=，∴B（，0）∵A与B关于直线x=1对称，∴A（﹣，0）；（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，令x=1代入y=ax2﹣2ax+c，∴y=c﹣a，令x=0代入y=ax2﹣2ax+c，∴y=c∴PG=a，∵CF=OB=，∴tan∠PDB=，∴FD=2，∵PG∥BD∴△CPG∽△CDF，∴==∴PG=，∴a=，∴y=x2﹣x+c，把A（﹣，0）代入y=x2﹣x+c，∴解得：c=﹣1，∴该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣1．【点评】本题考查二次函数，涉及待定系数法求出二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数等知识内容，解题的关键是利用作垂线构造直角三角形，再利用相似三角形的对应边的比相等即可得出答案．24．（2016•淄博）已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q 的纵坐标为．（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．【分析】（1）设Q（m，），F（0，），根据QO=QF列出方程即可解决问题．（2）设M（t，t2），Q（m，），根据K OM=K OQ，求出t、m的关系，根据QO=QM 列出方程即可解决问题．（3）设M（n，n2）（n＞0），则N（n，0），F（0，），利用勾股定理求出MF 即可解决问题．【解答】解：（1）∵圆心Q的纵坐标为，∴设Q（m，），F（0，），∵QO=QF，∴m2+（）2=m2+（﹣）2，∴a=1，∴抛物线为y=x2．（2）∵M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，），。

中考数学总复习《二次函数综合题》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《二次函数综合题》专项提升练习题(附答案)学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________类型一线段问题1. 如图，抛物线y ＝14 x 2＋bx ＋c 过点A (4，0)，B (－4，4)，与y 轴交于点C ，连接AB .(1)求抛物线的表达式；(2)若E 是线段AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，过点E 作y 轴的平行线，分别交抛物线，x 轴于F ，D 两点，若DE ＝2DF ，请求出点E 的坐标．第1题图2. 平面直角坐标系中已知抛物线y ＝ax 2＋83 x ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y轴交于点C (0，－4).(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上一动点(不与点A ，B ，C 重合)，作 PD ⊥x 轴，垂足为D ，连接PC . ①如图，若点P 在第三象限，且tan ∠CPD ＝2，求点P 的坐标；②直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 的对称点E ′落在y 轴上时，请直接写出四边形 PECE ′的周长．第2题图备用图类型二面积问题1. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0)交x 轴于A (－1，0)，B (5，0)两点，交y 轴于点C ，连接AC ，BC ，点G 为线段BC 上方的抛物线上一点，过点G 作GH ∥AC 交BC 于点H . (1)求抛物线的解析式；(2)连接AG ，AH ，BG ，设h ＝S △AGB －S △AHB ，点G 的横坐标为t ，求h 关于t 的函数解析式，并求出h 的最大值．第1题图2. 在平面直角坐标系中点O 是坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点A (3，3)，对称轴为直线x ＝2. (1)求a ，b 的值；(2)已知点B ，C 在抛物线上，点B 的横坐标为t ，点C 的横坐标为t ＋1.过点B 作x 轴的垂线交直线OA 于点D ，过点C 作x 轴的垂线交直线OA 于点E . (ⅰ)当0＜t ＜2时，求△OBD 与△ACE 的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B ，使得以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形的面积为32 ？若存在，请求出点B 的横坐标t 的值；若不存在，请说明理由．类型三存在性问题典例精析例如图，在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点．(1)若点M为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得△BCM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；例题图①【思路点拨】判断等腰三角形存在性问题，一般要进行分类讨论．①BC为腰时：分别以点B，C为圆心，BC长为半径画圆，与直线x＝1的交点即为所求作的点；②BC为底时：作线段BC的垂直平分线，与直线x＝1的交点即为所求作的点．(2)在抛物线上是否存在一点N，使得△BCN是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；例题图②【思路点拨】判断直角三角形存在性问题，一般要进行分类讨论．①BC 为直角边时：分别过点B ，C 作BC 的垂线，与抛物线的交点即为所求作的N 点； ②BC 为斜边，点N 为直角顶点时：以BC 的中点为圆心，12 BC 的长为半径作圆，所作的圆与抛物线的交点即为所求作的N 点．(3)若点Q 为第一象限内抛物线上一点，过点Q 作QG ⊥x 轴，垂足为G ，连接AC ，OQ .是否存在点Q ，使得△QGO ∽△AOC ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；【思路点拨】判断相似三角形存在性问题，通常利用相似三角形的性质，列出线段比例关系，求解即可．例题图③(4)若点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，是否存在点E ，使得以D ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；【思路点拨】判断平行四边形存在性问题，一般要进行分类讨论． ①当DE ，FC 是平行四边形对角线时； ②当DF ，EC 是平行四边形对角线时； ③当DC ，EF 是平行四边形对角线时．再利用平行四边形对角线的性质结合中点坐标公式求点坐标即可．例题图④(5)若点H是x轴上一点，点K是平面任意一点，是否存在点H，使得以点A，C，H，K为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；【思路点拨】判断矩形存在性问题，一般要进行分类讨论．①当AC为矩形的边时，∠ACH＝90°；②当AC为矩形的对角线时，∠AHC＝90°.再利用勾股定理求解即可．例题图⑤(6)若点S是第一象限抛物线上一点，过点S作ST⊥BC于点T，连接AC，CS，是否存在点S使得△CST中有一个角与∠CAO相等，若存在，求出S点坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】判断角度存在性问题，一般要进行分类讨论．①若∠SCT＝∠CAO；②若∠CST＝∠CAO.再构造直角三角形，利用三角函数求解即可．例题图⑥对接中考1. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－1，0)，点B(5，0)，交y轴于点C.(1)求b，c的值；(2)点P(x0，y0)(0＜x0＜5)是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图，将一块自制的直角三角板放置在平面直角坐标系中顶点为坐标原点，A(0，－3)，B(6，0)，将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O，抛物线L经过点A′，B′，B.(1)求抛物线L的解析式；(2)点Q为平面内一点，在直线AB上是否存在点P，使得以点A，B′，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图拓展类型二次函数性质综合题1. 在二次函数y＝x2－2tx＋3(t＞0)中(1)若它的图象过点(2，1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值；(3)如果A(m－2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3，求m的取值范围．2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a，b均为常数，且a≠0)的对称轴为直线x＝2.(1)求抛物线顶点M的坐标和b的值(用含a的代数式表示)；(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在此抛物线上，且x1＜2＜x2，x1＋x2＜4，若a＞0，试比较y1与y2的大小，并说明理由；(3)若自变量x的值满足－1≤x≤1，与其对应的函数的最大值为18，请直接写出b的值．3. 在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2－4ax＋c(a＜0)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C.(1)若OC＝2OB，求抛物线的解析式；(2)若抛物线的最大值为6，求a 的值；(3)若点P (x 0，m )，Q (52，n )在抛物线上，且m ＜n ，求x 0的取值范围．参考答案类型一线段问题1. 解：(1)∵抛物线y ＝14 x 2＋bx ＋c 过点A (4，0)，B (－4，4)∴将A (4，0)，B (－4，4)分别代入y ＝14x 2＋bx ＋c 中得⎩⎪⎨⎪⎧4＋4b ＋c ＝04－4b ＋c ＝4 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12c ＝－2∴抛物线的表达式为y ＝14 x 2－12x －2；(2)由点A (4，0)，B (－4，4)可得直线AB 的表达式为y ＝－12 x ＋2设点E (x ，－12 x ＋2)，其中－4<x <4，则F (x ，14 x 2－12 x －2)∴DE ＝2－12 x ，DF ＝|14 x 2－12 x －2|分两种情况讨论：①当点F 在x 轴上方时，即2－12 x ＝2×(14 x 2－12 x －2)解得x 1＝－3，x 2＝4(舍去) 将x ＝－3代入y ＝－12 x ＋2中得y ＝72∴E (－3，72)；②当点F 在x 轴下方时，即2－12 x ＝2×(－14 x 2＋12 x ＋2)解得x 1＝－1，x 2＝4(舍去)将x ＝－1代入y ＝－12 x ＋2得y ＝52 ，∴E (－1，52)；综上所述，当DE ＝2DF 时，点E 的坐标为(－3，72 )或(－1，52).2. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋83 x ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (1，0)，与y 轴交于点C (0，－4)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋83＋c ＝0c ＝－4 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43c ＝－4∴抛物线的函数解析式为y ＝43 x 2＋83x －4；(2)①如解图①，过点C 作CE ⊥PD 于点E第2题解图①则∠PEC ＝∠CED ＝90° ∵C (0，－4) ∴OC ＝4∵PD ⊥x 轴，垂足为D ∴∠PDO ＝90°，∠DOC ＝90° ∴四边形DOCE 是矩形 ∴DE ＝OC ＝4 设P (x ，43 x 2＋83 x －4)∴CE ＝－x∴PE ＝PD －DE ＝－(43 x 2＋83 x －4)－4＝－43 x 2－83 x∵tan ∠CPD ＝CEPE ＝2∴－x －43x 2－83x ＝2解得x 1＝－138 ，x 2＝0(不合题意，舍去)当x ＝－138 时，43 x 2＋83 x －4＝－7716∴P (－138 ，－7716)；②四边形PECE ′的周长为353 或853.【解法提示】设P (m ，43 m 2＋83 m －4)，对于y ＝43 x 2＋83 x －4，当y ＝0时，43 x 2＋83 x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴B (－3，0)，∴OB ＝3，在Rt △BOC 中由勾股定理得BC ＝OB 2＋OC 2 ＝5.当点P 在第三象限时，如解图②，过点E 作EF ⊥y 轴于点F第2题解图②则四边形DEFO 是矩形，∴EF ＝DO ＝－m ，∵点E 与点E ′关于PC 对称，∴∠ECP ＝∠E ′CP ，CE ＝CE ′，PE ＝PE ′，∵PE ∥y 轴，∴∠EPC ＝∠PCE ′，∴∠EPC ＝∠ECP ，∴PE ＝CE ，∴PE ＝CE ＝CE ′＝PE ′，∴四边形PECE ′是菱形，∵EF ∥OA ，∴△CEF ∽△CBO ，∴CE CB ＝EFBO，∴CE 5 ＝－m 3 ，∴CE ＝－53m ，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把B (－3，0)，C (0，－4)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－4 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43b ＝－4，∴直线BC 的解析式为y ＝－43 x －4，∴E (m ，－43 m －4)，∴PE ＝－43 m 2－4m ，∵PE ＝CE ，∴－43 m 2－4m ＝－53 m ，解得m 1＝－74 ，m 2＝0(舍去)，∴CE ＝－53 ×(－74 )＝3512 ，∴四边形PECE ′的周长为4CE ＝4×3512 ＝353；当点P 在第二象限时，如解图③第2题解图③同理可得43 m 2＋4m ＝－53 m ，解得m 1＝－174 ，m 2＝0(舍去)，∴CE ＝－53 ×(－174 )＝8512 ，∴四边形PECE ′的周长为4CE ＝4×8512 ＝853 ；综上所述，四边形PECE ′的周长为353 或853.类型二面积问题1. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0)交x 轴于A (－1，0)，B (5，0)两点∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋5＝025a ＋5b ＋5＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝4 ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)如解图，过点G 作GD ∥y 轴交BC 于点D ，连接CG ∵当x ＝0时，y ＝－x 2＋4x ＋5＝5 ∴C (0，5) ∵GH ∥AC ∴S △AGH ＝S △CGH∴h ＝S △AGB －S △AHB ＝S △AGH ＋S △BGH ＝S △CGH ＋S △BGH ＝S △BGC . 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0) 将B (5，0)，C (0，5)代入y ＝kx ＋b 1中∴⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b 1＝0b 1＝5 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b 1＝5 ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋5∵点G 的横坐标为t (0＜t ＜5)，∴G (t ，－t 2＋4t ＋5)，D (t ，－t ＋5) ∴GD ＝－t 2＋4t ＋5－(－t ＋5)＝－t 2＋5t ∴h ＝S △BGC ＝S △CGD ＋S △BGD ＝12 GD ·t ＋12 GD ·(5－t ) ＝－52 (t －52 )2＋1258∵－52＜0，0＜t ＜5∴当t ＝52 时，h 取最大值，最大值为1258.第1题解图2. 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝2，9a ＋3b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4；(2)(i)如解图①，延长BD 与x 轴交于点M ，延长CE 与x 轴交于点N ，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，连接OB ，AC第2题解图①由(1)知抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ，易知直线OA 的解析式为y ＝x ∵点B ，C 在抛物线上，点B 横坐标为t ，点C 的横坐标为t ＋1 ∴B (t ，－t 2＋4t )，C (t ＋1，－(t ＋1)2＋4(t ＋1))，D (t ，t )，E (t ＋1，t ＋1) ∴OM ＝t ，BD ＝－t 2＋3t ，CE ＝－(t ＋1)2＋3(t ＋1)，AF ＝－t ＋2 ∵0<t <2 ∴1<t ＋1<3∴S △OBD ＋S △ACE ＝12 OM ·BD ＋12 CE ·AF ＝12 t ·(－t 2＋3t )＋12 [－(t ＋1)2＋3(t ＋1)]·(－t ＋2)＝2；(ii)存在．如解图②，当点B 在点D 上方，即2<t <3时，过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ，连接BE ，CD第2题解图②∵BD ∥EC∴四边形DBEC 为梯形此时，BD ＝－t 2＋3t ，CE ＝－(t ＋1)2＋3(t ＋1) ∵DQ ＝1∴S 四边形DBEC ＝12 (BD ＋EC )·DQ ＝12 [－t 2＋3t －(t ＋1)2＋3(t ＋1)]·1＝t －1当S 四边形DBEC ＝32 时，可得t －1＝32 ，解得t ＝52；当点D 在点B 上方，即t >3时，如解图③，过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ，连接BC第2题解图③此时BD ＝t 2－3t ，CE ＝(t ＋1)2－3(t ＋1)∴S 四边形DBCE ＝12 (BD ＋EC )·DQ ＝12 [t 2－3t ＋(t ＋1)2－3(t －1)]·1＝t 2－2t －1令t 2－2t －1＝32 ，解得t 1＝142 ＋1<3，t 2＝－142 ＋1<3，均舍去；综上所述，t 的值为52.类型三存在性问题典例精析例解：(1)存在设点M (1，m )由题意得BC ＝32 ，BM ＝4＋m 2 ，CM ＝1＋（m －3）2①当BC 为腰时 a ．若BC ＝BM ，如解图①例题解图①即32＝4＋m2解得m＝±14则M1(1，14)，M2(1，－14)；b．若BC＝CM，如解图②即32＝1＋（m－3）2，解得m＝3±17，则M3(1，3＋17)，M4(1，3－17)；②当BC为底边时，则CM＝BM，如解图②，即1＋（m－3）2＝4＋m2解得m＝1，则M5(1，1)；∴综上所述，满足条件的点M的坐标为(1，14)或(1，－14)或(1，3＋17)或(1，3－17)或(1，1)；例题解图②(2)存在设点N(x，－x2＋2x＋3).①当点C为直角顶点时，如解图③，则∠N1CB＝90°，过点N1作N1H⊥y轴于点H∵△BOC是等腰直角三角形∴∠BCO＝45°∴∠N1CH＝180°－90°－45°＝45°∴△N1CH是等腰直角三角形∴N1H＝HC，即x＝－x2＋2x＋3－3解得x1＝0(舍去)，x2＝1∴N1(1，4)；例题解图③②当点B 为直角顶点时，如解图③，则∠CBN 2＝90°，过点N 2作N 2G ⊥y 轴，过点B 作BG ⊥x 轴交N 2G 于点G∴同理可得∠BN 2G ＝45°，△BN 2G 是等腰直角三角形 ∴N 2G ＝BG ，即3－x ＝－(－x 2＋2x ＋3) 解得x 1＝－2，x 2＝3(舍去) ∴N 2(－2，－5).综上所述，满足条件的点N 的坐标为 (1，4)或(－2，－5)； (3)存在∵点Q 在第一象限内抛物线上 ∴设Q (m ，－m 2＋2m ＋3)，0＜m ＜3 ∵QG ⊥x 轴∴G (m ，0)，OG ＝m ，QG ＝－m 2＋2m ＋3 ∵△AOC ∽△QGO ∴AO QG ＝CO OG ，即1－m 2＋2m ＋3 ＝3m解得m 1＝5＋1336 或m 2＝5－1336 (舍去)此时点Q 的坐标为(5＋1336 ，5＋13318 )；(4)存在设E (m ，－m 2＋2m ＋3)，F (n ，0)，易得抛物线顶点D 的坐标为(1，4)，点C 的坐标为(0，3)①如解图④，当DE ，FC 是平行四边形对角线时 ∵平行四边形对角线互相平分 ∴DE ，FC 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝n ＋04－m 2＋2m ＋3＝0＋3 解得m ＝1＋5 或m ＝1－5∴E 1(1＋5 ，－1)或E 2(1－5 ，－1)；例题解图④②如解图⑤，当DF ，EC 是平行四边形对角线时，同理DF ，EC 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＝m ＋04＋0＝－m 2＋2m ＋3＋3 解得m ＝1＋3 或m ＝1－3 ∴E 3(1＋3 ，1)或E 4(1－3 ，1)；例题解图⑤③当DC ，EF 是平行四边形对角线时，DC ，EF 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋0＝m ＋n 4＋3＝－m 2＋2m ＋3＋0方程组无实数解．综上所述，满足条件的点E 的坐标为(1＋5 ，－1)或(1－5 ，－1)或(1＋3 ，1)或(1－3 ，1)； (5)存在如解图⑥，由题意知，A (－1，0)，C (0，3)，设点H 的坐标为(p ，0) ∴AH 2＝(p ＋1)2，CH 2＝p 2＋32，AC 2＝12＋32＝10 当AC 为矩形的边时，∠ACH ＝90° ∴AH 2＝CH 2＋AC 2即(p ＋1)2＝p 2＋32＋10，解得p ＝9 ∴点H 的坐标为(9，0)；当AC 为矩形的对角线时，∠AHC ＝90° ∴此时点H 与原点重合，点H 的坐标为(0，0). 综上所述，满足条件的点H 的坐标为(9，0)或(0，0)；例题解图⑥(6)存在如解图⑦，过点S 作SZ ⊥x 轴于点Z ，交BC 于点X ∵A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)∴OA ＝1，OC ＝OB ＝3，易得直线BC 的函数解析式为y ＝－x ＋3 ∴∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∵SZ ⊥x 轴∴∠BXZ ＝∠SXT ＝45° ∵ST ⊥BC ∴XT ＝ST设S (m ，－m 2＋2m ＋3)，且0＜m ＜3，则X (m ，－m ＋3) ∴CX ＝m 2＋（－m ＋3－3）2 ＝2 m ，SX ＝－m 2＋3m ∴ST ＝TX ＝22 SX ＝－22 m 2＋322m ∴CT ＝CX －TX ＝2 m －(－22 m 2＋322 m )＝22 m 2－22m ①若∠SCT ＝∠CAO∴tan ∠SCT ＝tan ∠CAO ＝OCOA ＝3∵tan ∠SCT ＝STCT ＝3∴ST ＝3CT ∴－22 m 2＋322 m ＝3×(22 m 2－22m )解得m ＝32 或m ＝0(舍去)∴点S 的坐标为(32 ，154 )；②若∠CST ＝∠CAO 则tan ∠CST ＝tan ∠CAO ＝3 ∵tan ∠CST ＝CTST ＝3∴3ST ＝CT ∴3×(－22 m 2＋322 m )＝22 m 2－22m 解得m ＝52 或m ＝0(舍去)∴点S 的坐标为(52 ，74)；综上所述，存在点S ，使得△CST 中有一个角与∠CAO 相等，点S 的坐标为(32 ，154 )或(52 ，74).例题解图⑦对接中考1. 解：(1)由题意可知，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (－1，0)，点B (5，0)∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝025＋5b ＋c ＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝－5； (2)①如解图，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ∴S △PBC ＝S △CPD ＋S △PDB由(1)可知，c ＝－5，故点C 的坐标为(0，－5) 易知BC 的表达式为y ＝x －5∵点P 的坐标为(x 0，y 0)(0<x 0<5)，点P 在抛物线上 ∴y 0＝x 20 －4x 0－5设点D 的坐标为(x 0，x 0－5)∴|PD |＝x 0－5－x 20 ＋4x 0＋5＝－x 20 ＋5x 0∴S △PBC ＝12 ×|PD |×5＝12 ×(－x 20 ＋5x 0)×5 ＝－52 (x 0－52 )2＋1258∴当x 0＝52 时，△PBC 面积最大，最大值为1258；第1题解图②存在．由题意可知，∠EPF ＝90°，△PEF 为等腰直角三角形 ∴PE ＝PF∵PE ⊥x 轴，PF ∥x 轴，且点E 在线段BC 上，点F 在抛物线上由(2)可知PE ＝－x 20 ＋5x 0 易知PF ＝|4－2x 0|∴|PF |＝|PE |，即|4－2x 0|＝|－x 20 ＋5x 0|解得x 0＝4或x 0＝7－332 或x 0＝－1(舍去)或x 0＝7＋332 (舍去)当x 0＝4时，解得y ＝－5当x 0＝7－332 时，解得y 0＝3－3332∴综上所述，当△PEF 为等腰直角三角形时，点P 的坐标为(4，－5)或(7－332 ，3－332 ).2. 解：(1)由题意得A ′(－3，0)，B ′(0，－6)，B (6，0)已知抛物线L 经过点A ′，B ′，B ，设抛物线L 的解析式为y ＝a (x ＋3)(x －6)(a ≠0) 将点B ′(0，－6)代入抛物线解析式中得－6＝a (0＋3)(0－6)，解得a ＝13∴抛物线L 的解析式为y ＝13 (x ＋3)(x －6)＝13 x 2－x －6；(2)存在．∵A (0，－3)，B ′(0，－6) ∴AB ′＝3设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0) 将A (0，－3)，B (6，0)代入直线AB 的解析式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－36k ＋b ＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3k ＝12∴直线AB 的解析式为y ＝12 x －3∵点P 在直线AB 上∴设点P (m ，12m －3)，分情况讨论：①当以AB ′为边且AP 2＝AB ′2时，即m 2＋(12 m )2＝9解得m 1＝655 ，m 2＝－655∴点P 的坐标为(655 ，355 －3)或(－655 ，－355 －3)；②当以AB ′为边且B ′P 2＝AB ′2时，即m 2＋(12 m ＋3)2＝9解得m 1＝0(舍去)，m 2＝－125∴P (－125 ，－215 )；③当以AB ′为对角线时 ∵AB ′＝3∴AB ′的中点坐标为(0，－92 )由菱形的性质可得y P ＝－92即12 m －3＝－92 ，解得m ＝－3 ∴P (－3，－92)；综上所述，点P 的坐标为(655 ，355 －3)或(－655 ，－355 －3)或(－125 ，－215 )或(－3，－92). 拓展类型二次函数性质综合题1. 解：(1)把点(2，1)代入y ＝x 2－2tx ＋3中得4－4t ＋3＝1解得t ＝32； (2)∵抛物线对称轴为直线x ＝t①若0<t ≤3∵a ＝1>0∴当x ＝t 时，函数y 取得最小值∵y 的最小值为－2∴t 2－2t 2＋3＝－2解得t ＝±5 .∵0＜t ≤3∴t ＝5 ；②若t >3，∵a ＝1>0∴当0≤x ≤3时，y 随x 的增大而减小∴当x ＝3时，函数y 取得最小值∵y 的最小值为－2∴9－6t ＋3＝－2解得t ＝73(不符合题意，舍去). 综上所述，t 的值为5 ；(3)∵A (m －2，a )，C (m ，a )关于对称轴直线x ＝t 对称∴m －2＋m 2＝t ，即m －1＝t ，且点A 在对称轴左侧，点C 在对称轴右侧．在y ＝x 2－2tx ＋3中令x ＝0，则y ＝3∴抛物线与y 轴交点为(0，3)∴此交点关于对称轴直线x ＝t 的对称点为(2m －2，3).∵a <3，b <3且t >0∴4<2m －2，解得m >3.当点A ，B 都在对称轴左边时∵a <b∴4<m －2，解得m >6∴m >6；当点A ，B 分别在对称轴两侧时∴B 到对称轴的距离大于A 到对称轴的距离∴4－(m －1)>m －1－(m －2)，解得m <4∴3<m <4.综上所述，m 的取值范围为3<m <4或m >6.2. 解：(1)由题意得，－b 2a＝2 解得b ＝－4a∴4ac －b 24a ＝12a －（－4a ）24a＝3－4a ∴抛物线顶点M 的坐标为(2，3－4a )；(2)y 2＜y 1，理由如下：由题可知，抛物线的对称轴为直线x ＝2∴A (x 1，y 1)关于直线x ＝2的对称点为(4－x 1，y 1)∵x 1＜2＜x 2，x 1＋x 2＜4∴2＜x 2＜4－x 1∵a ＞0∴抛物线开口向上∴在对称轴右侧y 随x 的增大而增大∴y 2＜y 1；(3)b 的值为－12或20.【解法提示】由(1)知，b ＝－4a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2－4ax ＋3，当a ＞0时，抛物线开口向上，此时在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝－1时，函数值y 最大，最大值为a ＋4a ＋3，∴a ＋4a ＋3＝18，解得a ＝3，∴b ＝－4a ＝－12；当a ＜0时，抛物线开口向下，此时在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝1时，函数值y 最大，最大值为a －4a ＋3，∴a －4a ＋3＝18，解得a ＝－5，∴b ＝－4a ＝20.综上所述，b 的值为－12或20.3. 解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x ＝－－4a 2a＝2，抛物线与x 轴的交点为A (1，0)，B ∴B (3，0)∴OB ＝3.∵OC ＝2OB∴OC ＝6.∴抛物线开口向下∴C (0，－6).把A (1，0)，C (0，－6)代入y ＝ax 2－4ax ＋c 中得⎩⎪⎨⎪⎧a －4a ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，c ＝－6， ∴抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋8x －6；(2)由解析式可知抛物线的最大值为4ac －（－4a ）24a ＝4ac －16a 24a＝c －4a . ∵抛物线的最大值为6∴c －4a ＝6.∵抛物线过点A (1，0)∴a －4a ＋c ＝0，即c －4a ＝－a∴－a ＝6，即a ＝－6；(3)已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，a ＜0∴(52 ，n )与(32，n )关于对称轴对称当点P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得x 0＜32；当点P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而减小，由m ＜n ，得x 0＞52. 综上所述，x 0的取值范围为x 0＜32 或x 0＞52.。

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练附详细答案

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练附详细答案一、二次函数1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）．作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1，∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43，当y=-1时，有-1312x+43=-1，解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）．（3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（14m2-m+1）+y02=2（14m2-m+1）+1，整理得：（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m为任意值，∴00220001110222220230yx yx y y⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴021xy⎧⎨⎩＝＝，∴定点F的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．2．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，11）或（﹣1，3﹣11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【解析】【分析】（1）先根据已知求点A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB 的解析式为：y=-2x+2，根据PD ⊥x 轴，设P （x ，-x 2-3x+4），则E （x ，-2x+2），根据PE=12DE ，列方程可得P 的坐标； ②先设点M 的坐标，根据两点距离公式可得AB ，AM ，BM 的长，分三种情况：△ABM 为直角三角形时，分别以A 、B 、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M 的坐标．【详解】解：（1）∵B （1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C （﹣2，0），Rt △ABC 中，tan ∠ABC=2，∴AC 2BC =， ∴AC 23=， ∴AC=6， ∴A （﹣2，6），把A （﹣2，6）和B （1，0）代入y=﹣x 2+bx+c 得：42610b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：34b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①∵A （﹣2，6），B （1，0），∴AB 的解析式为：y=﹣2x+2，设P （x ，﹣x 2﹣3x+4），则E （x ，﹣2x+2），∵PE=12DE ， ∴﹣x 2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2）， ∴x=-1或1（舍），∴P （﹣1，6）；②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），设M（﹣1，y），∵B（1，0），A（﹣2，6）∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=3，∴M（﹣1，）或（﹣1，3ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=132，∴M（﹣1，132）；综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．3．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172m.（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62b x a =-=时，10t y =≦ 答：21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0））当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过（3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得12623,623x x =+=-1243x x -=答：两排灯的水平距离最小是3考点：二次函数的实际应用．4．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2和y ＝a （x ﹣h ）2，抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ；点P 是抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2上一动点，且点P 在x 轴下方，过点P 作x 轴的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ，过点D 作PD 的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ′（不与点D 重合），连接PD ′，设点P 的横坐标为m ：（1）①直接写出a 的值；②直接写出抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点时，设△PDD ′与△OAB 重叠部分图形周长为L ： ①求PD DD '的值； ②直接写出L 与m 之间的函数关系式；（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ；（2）①1； ②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)m m m π⎧+<⎪⎨+++<<⎪⎩…；（3）h ＝±3 【解析】【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ；（2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值．【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中，得：0＝a （0﹣2）2﹣2，解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；．（2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭， 2222322m m 22,PG m 22m FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EG EG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG221224222m m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)2L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…；（3）如图3，∵OADD ′为菱形∴AD ＝AO ＝DD ′＝4，∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．5．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r ，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。

专题16二次函数与动点综合问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(学生版)

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题16二次函数与动点综合问题二次函数与动点问题的背景是特殊图形,考查问题也是二次函数的有个性质和特殊图形的性质，体现的数学思想方法主要是数形结合思想和分类讨论思想，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或三角函数、线段或面积的最值.解决“动点型问题”的关键是动中求静，灵活运用“动中求静”，找到并运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、几何知识解决问题. 根据题意灵活运用特殊三角形和四边形的相关性质、判定、定理知识确定二次函数关系式，通过二次函数解析式或函数图象判定“动点型问题”涉及的线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积，还有存在、最值等问题.【例1】（2022•本溪二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM 将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；（3）如图2，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A匀速运动，同时点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→O→B匀速运动，当点P到达点A时，P、Q同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，点G在坐标平面内，使以B、P、Q、G为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的t值．【例2】（2022•沈北新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P和动点Q同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022•三亚模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，3）两点，点P为抛物线的顶点，连接AB、BP．（1）求抛物线的解析式；（2）求∠PBA的度数；（3）如图2，点M从点O出发，沿着OA的方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时点N从点A 出发，沿着AB的方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，ME⊥x轴交AB于点E，NF⊥x轴交抛物线于点F，连接MN、EF．①当EF∥MN时，求点F的坐标；②在M、N运动的过程中，存在t使得△BNP与△BMN相似，请直接写出t的值．【例4】（2021•长沙模拟）在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”．（1）已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4，6，m﹣1，求m的值．（2）已知Rt△ABC是“调和三角形”，它的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．①求a：b：c的值；②若△ABC周长的数值与面积的数值相等，求a，b，c的值．（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发以每秒2个单位c长度的速度沿路线A→B→C运动，动点Q 从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，设y＝PQ2．①求y关于t的函数关系式；②求y的最小值．1．（2021•遵化市模拟）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．2．（2020•市中区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（4﹣4，0）．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得S△GCB＝S△GCA，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得∠GBE＝45°，求E点的坐标．3．（2020•项城市三模）如图，抛物线经过A（﹣3，0），C（5，0）两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作PM⊥BD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交AC于点E．①当t为何值时，点N落在抛物线上；②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由．4．（2018•泉山区三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2018•扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△P AQ相似时，求t的值；（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．6．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．7．（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．8．（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan ∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②在①的条件下，当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③在①的条件下，当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．9．（2019•西宁）如图①，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以A为顶点的抛物线经过点B，点P是抛物线上一点，连接OP，AP．（1）求抛物线的解析式；（2）若△AOP的面积是3，求P点坐标；（3）如图②，动点M，N同时从点O出发，点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动，点N以个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NE∥x轴交直线AB于点E．若设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使四边形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．10．（2019•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．11．（2019•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y 轴的正半轴上，连接AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中点．（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．12．（2021•高明区校级模拟）在平面直角坐标系中，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB∥x轴，如图1，C（1，0），且OC：OA＝AC：BC＝1：2．（1）A点坐标为，B点坐标为；（2）求过A、B、C三点的抛物线表达式；（3）如图2，抛物线对称轴与AB交于点D，现有一点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一点Q从点D与点P同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动．当点P到达B 点时，点P、Q同时停止运动，问点P、Q运动到何处时，△PQB面积最大，试求出最大面积．13．（2020•香洲区校级一模）如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若点M是（1）中的抛物线对称轴上的一点，点N是坐标平面内一点，是否存在M，N使以A，M，N，E为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线l⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S 与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）14．（2020•南充一模）如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为5．动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PN⊥x轴交BC于M，交抛物线于N．（1）求抛物线的解析式；（2）当M在线段BC上，MN最大时，求运动的时间；（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？15．（2020•潮南区模拟）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式．（2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．（3）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．16．（2020•潮州模拟）如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝2OA＝4．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，当直线OC平分∠ACP时，求点P的坐标；（3）如图2，点G是线段AC的中点，动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，若E、F两点同时出发，运动时间为t 秒．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的？17．（2021•饶平县校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．18．（2020•山西模拟）综合与实践如图，抛物线y＝与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒．（1）求点A，B，C的坐标；（2）求t为何值时，△BDE是等腰三角形；（3）在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．19．（2020•雁塔区校级模拟）将抛物线C1：y＝﹣x2+3沿x轴翻折，得抛物线C2．（1）请求出抛物线C2的表达式；（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．20．（2020•清江浦区模拟）如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若点M是（1）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使△AME为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线l⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S 与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）21．（2022•济宁三模）如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．（2022•望花区模拟）如图1，已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（﹣1，0）、点C的坐标为（0，3）．（1）请写出该抛物线的函数表达式和点B的坐标；（2）如图2，有两动点D、E在△COB的边上运动，运动速度均为每秒5个单位长度，它们分别从点C 和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t为何值时，△BDE的面积等于；②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．。

中考数学复习考点知识与题型专题讲义16--- 二次函数与不等式(组)(提高篇)

中考数学复习考点知识与题型专题讲义16 二次函数与不等式（组）（提高篇）1．关于x的二次函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）和一次函数y2＝x+2．（1）求证：函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点．（2）已知函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，①试求此时k的值；②若y1＞y2，试求x的取值范围．【分析】（1）证明△＝b2﹣4ac≥0，便可得结论；（2）①函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，根据根与系数的关系列出k的方程，便可求解；②分k＝1和k=−15两种情况，依据y1＞y2列出关于x的不等式，解之可得．【解答】解：（1）∵△＝（2k﹣1）2+8k＝4k2﹣4k+1+8k＝4k2+4k+1＝（2k+1）2≥0，∴函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点；（2）①设kx2+（2k﹣1）x﹣2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2=−2k−1k，x1x2=−2k，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(2k+1)2k2，∵函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，∴|x1﹣x2|＝3，∴(2k+1)2k2=32，解得，k＝1或k=−1 5；②当k＝1时，y1＝（x+2）（x﹣1），y2＝x+2∵y1＞y2，∴（x+2）（x﹣1）＞x+2，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得：x＜﹣2或x＞2；当k=−15时，∵y1＞y2，∴−15（x+2）（x+5）＞x+2，即（x+2）（x+10）＜0，解得：﹣10＜x＜﹣2．【点评】本题主要考查二次函数与不等式组及二次函数与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2．已知二次函数y1=−12x2+bx+c（b，c是常数）与一次函数y2＝kx+c（k是常数，k≠0）．（1）若y1的图象与x轴只有一个交点（2，0），求b，c的值；（2）若y1的图象可由抛物线y＝ax2+2c（a是常数，a≠0）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出y1的函数关系式；（3）若k+b＝3，当x≥2时，y1＜y2恒成立，求k的取值范围．【分析】（1）抛物线的对称轴x=−b2a=b＝2，当x＝2时，y1＝0，即可求解；（2）由平移的性质即可求解；（3）两个函数交点的横坐标为2或2b﹣2k，当x≥2时，y1＜y2恒成立，即：2b﹣2k≥2，即可求解．【解答】解：（1）抛物线的对称轴x=−b2a=b＝2，当x＝2时，y1=−12x2+bx+c＝﹣2+4+c＝0，解得：c＝﹣2，故b＝2，c＝﹣2；（2）由题意得：a=−12，则y=−12（x+2）2+2c+1=−12x2﹣2x+2c﹣1=−12x2+bx+c，故2c﹣1＝c，解得：c＝1，故抛物线的表达式为：y=−12x2﹣2x+1；（3）联立两个函数的表达式并整理得：x2＝2b﹣2kx，解得：x＝0或2b﹣2k，又∵k+b＝3，故两个函数的交点的横坐标为0或6﹣4k，当6﹣4k≤0时，即k≥1.5时，恒有y1＜y2；当0＜k＜1.5时，6﹣4k≤2，即1≤k＜1.5；当k＜0时，6﹣4k≤2，解得k≥1，故无解；当k＝1时，b＝2，当x＝2时，有y1＝y2，综上，k＞1．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、解不等式等，有一定的综合性，难度适中．3．如图，抛物线y1＝ax2+c的顶点为M，且抛物线与直线y2＝kx+1相交于A、B两点，且点A在x 轴上，点B的坐标为（2，3），连结AM、BM．（1）a＝1，c＝﹣1，k＝1（直接写出结果）；（2）当y1＜y2时，则x的取值范围为﹣1＜x＜2（直接写出结果）；（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出△ABP 的最大面积及点P坐标．【分析】（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1求得k值；再令y2＝0，可求得点A的坐标；将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c，解方程组可求得a和c的值；（2）由A（﹣1，0）、B（2，3），结合函数图象可得答案；（3）如图，设平行于直线y2＝x+1的直线解析式为：y3＝x+b，则该直线与抛物线在第四象限相切时，△ABP的面积最大，由一元二次方程的根的判别式可求得b值，从而可得点P坐标及y3＝x+b 的解析式，从y3＝x+b与x轴的交点C向直线y2＝kx+1作垂线段CD，在等腰直角三角形△ACD 中，可求得CD的长；求得AB的长，利用三角形的面积公式，可得答案．【解答】解：（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1得：3＝2k+1解得：k＝1∴y2＝x+1令y2＝0得：0＝x+1解得：x＝﹣1∴A（﹣1，0）将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c得：{0=a+c3=4a+c解得：a＝1，c＝﹣1故答案为：1，﹣1，1；（2）∵A （﹣1，0）、B （2，3）∴结合图象可得：当y 1＜y 2时，则x 的取值范围为﹣1＜x ＜2故答案为：﹣1＜x ＜2；（3）在直线AB 下方的抛物线上存在一点P ，使得△ABP 的面积最大．如图，设平行于直线y 2＝x +1的直线解析式为：y 3＝x +b由{y 2=x 2−1y 3=x +b得：x 2﹣1＝x +b ∴x 2﹣x ﹣1﹣b ＝0令△＝0得：1﹣4（﹣1﹣b ）＝0解得：b =−54∴y 3＝x −54，∴x 2﹣x ﹣1+54=0解得：x 1＝x 2=12∴P （12，−34） ∴当点P 坐标为（12，−34）时，△ABP 的面积最大设y 3＝x −54与x 轴交于点C ，则点C 坐标为：（54，0），过点C 作CD ⊥AB 由平行线间的距离处处相等，可知线段CD 的长度即为△ABP 的高的长度∵y 2＝x +1与x 轴所成锐角为45°∴△ACD 为等腰直角三角形∵AC =54−（﹣1）=94∴CD =√2=94√2=9√28 ∵A （﹣1，0）、B （2，3）∴AB =√(2+1)2+32=3√2∴△ABP 的面积为：12×3√2×9√28=278∴在直线AB 下方的抛物线上存在一点P ，使得△ABP 的面积最大；△ABP 的最大面积为278；点P坐标为（12，−34）．【点评】本题考查了求一次函数、二次函数的解析式中的相关字母、构成的三角形的面积最大值的动点的存在性、二次函数与不等式的关系、抛物线与直线的交点个数与一元二次方程的实数根的关系等知识点，具有一定的综合性与难度．4．已知在同一平面直角坐标系中有函数y 1＝ax 2﹣2ax +b ，y 2＝﹣ax +b ，其中ab ≠0．（1）求证：函数y 2的图象经过函数y 1的图象的顶点；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点为M ，若点M 关于y 轴的对称点M '在函数y 1图象上，求a ，b 满足的关系式；（3）当﹣1＜x ＜1时，比较y 1与y 2的大小．【分析】（1）将函数y 1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y 2的解析式中，即可证得结论；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点M （m ，0），则点M 关于y 轴的对称点M '（﹣m ，0），根据图象上点的坐标特征得出{−am +b =0am 2+2am +b =0，解得b ＝﹣3a ；（3）两函数解析式做差，即可得出y 1﹣y 2＝ax （x ﹣1），根据x 的取值范围可得出x （x ﹣1）的符号，分a ＞0或a ＜0两种情况考虑，即可得出结论．【解答】解：（1）证明：∵y 1＝ax 2﹣2ax +b ＝a （x ﹣1）2﹣a +b ，∴函数y 1的顶点为（1，﹣a +b ），把x ＝1代入y 2＝﹣ax +b 得，y ＝﹣a +b ，∴函数y 2的图象经过函数y 1的图象的顶点；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点M （m ，0），则点M 关于y 轴的对称点M '（﹣m ，0），由题意可知{−am +b =0am 2+2am +b =0，解得b ＝﹣3a ；（3）∵y 1＝ax 2﹣2ax +b ，y 2＝﹣ax +b ，∴y 1﹣y 2＝ax （x ﹣1）．∵﹣1＜x ＜1，∴当﹣1＜x ＜0，x （x ﹣1）＞0．当0＜x ＜1，x （x ﹣1）＜0，当x ＝0，x （x ﹣1）＝0， ∴y 1＝y 2；当a ＞0且﹣1＜x ＜0时，ax （x ﹣1）＞0，y 1＞y 2；当a ＞0且0＜x ＜1时，ax （x ﹣1）＜0，y 1＜y 2；当a ＜0且﹣1＜x ＜0时，ax （x ﹣1）＜0，y 1＜y 2；当a ＜0且0＜x ＜1时，ax （x ﹣1）＞0，y 1＞y 2．【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．5．已知抛物线C ：y 1＝﹣x 2+bx +4．（1）如图，抛物线与x 轴相交于两点（1﹣m ，0）、（1+m ，0）．①求b 的值；②当n ≤x ≤n +1时，二次函数有最大值为3，求n 的值．（2）已知直线l ：y 2＝2x ﹣b +9，当x ≥0时，y 1≤y 2恒成立，求b 的取值范围．【分析】（1）﹣x2+bx+4＝0，x1+x2=b−1=1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）分n+1≤1即n≤0、n≤1≤n+1即0≤n≤1、iii：n≥1三种情况，分别求解即可；（3）①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0；②：△＞0，则b＞4或b＜﹣4，即可求解．【解答】解：（1）﹣x2+bx+4＝0x1+x2=b−1=1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小．i：n+1≤1即n≤0，当x＝n+1时，y有最大值，﹣（n+1）2+2（n+1）+4＝3，n=±√2，又∵n≤0，∴n=−√2，ii：n≤1≤n+1即0≤n≤1，当x＝1时y有最大值，﹣12+2＜1+4＝3不成立，iii：n≥1时，当x＝n时，y有最大值，﹣n2+2n+4＝3，解得n＝1±√2，又∵n≥1，∴n=1+√2，综上所述：n=−√2或n=1+√2；（3）y1≤y2，﹣x2+bx+4≤2x﹣b+9，x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0，①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0，﹣4≤b≤4；②：△＞0则b＞4或b＜﹣4，i：−2−b2＞0，不成立，ii：{−2−b2≤05−b≥0，b≤2，又∵b＞4或b＜﹣4，∴b＜﹣4，综上所述b≤4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．6．如图，已知直线y1＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物y2＝ax2+bx+c经过点B，C并与x轴交于点A（﹣1，0）．（1）求抛物线解析式，并求出抛物线的顶点D坐标（1，4）；（2）当y2＜0时、请直接写出x的取值范围x＜﹣1或x＞3；（3）当y1＜y2时、请直接写出x的取值范围0＜x＜3；（4）将抛物线y2向下平移，使得顶点D落到直线BC上，求平移后的抛物线解析式y＝x2+2x+1．【分析】（1）列方程得到C（0，3），B（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），列方程即可得到结论；（2）由图象即可得到结论；（3）由图象即可得到结论；（4）当根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：（1）对于y1＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝0时，x＝3，∴B（3，0），∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），抛物线过点C（0，3），∴3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x+2x+3，∴顶点D（1，4）；（2）由图象知，当y2＜0时、x的取值范围为：x＜﹣1或x＞3；（3）由图象知当y1＜y2时、x的取值范围为：0＜x＜3；（4）当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∵抛物线向下平移2个单位，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣2＝﹣x2+2x+1．故答案为：（1）（1，4）；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）0＜x＜3；（4）y＝﹣x2+2x+1．【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法取函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．7．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为x＜12．【分析】（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，即可求解；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2，联立①②并解得：x=12，即可求解．【解答】解：（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2+2…①；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2…②，联立①②并解得：x=1 2，从图象可以看出，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：x＜1 2；故答案为：x＜1 2．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．8．已知二次函数y＝﹣x2+4x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点P是二次函数对称轴上的一个动点，当PB+P A的值最小时，求P的坐标；（3）在（2）的条件下，根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点可知△＞0，从而得到关于m的不等式，然后求得不等式的解集即可；（2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+P A最小．根据抛物线解析式求出B（0，12），利用待定系数法求出直线AB的解析式，于是得到结论；（3）根据图象即可求得使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝42+4m＞0．解得：m＞﹣4．（2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+P A最小．把（6，0）代入y ＝﹣x 2+4x +m ，得﹣62+4×6+m ＝0．解得m ＝12．故该抛物线解析式是y ＝﹣x 2+4x +12当x ＝0时，y ＝12，则B （0，12）．设直线AB 的解析式为y ＝mx +n ，∵A （6，0），B （0，12），∴{6m +n =0n =12，解得∴{m =−2n =12， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +12，∵y ＝﹣x 2+4x +12＝﹣（x ﹣2）2+16，∴对称轴是直线x ＝2．把x ＝2代入y ＝﹣2x +12得，y ＝﹣4+12＝8，∴P （2，8）；（3）∵A （6，0），B （0，12），使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜0或x ＞6．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数与不等式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题等知识，利用数形结合是解题的关键．9．如图，一次函数y ＝﹣2x +6的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象经过A 、B 两点．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出当x 取何值时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0；（3）点P 是抛物线在第一象限上的一个动点，是否存在点P ，使△ABP 面积最大，若存在，求出此时点P 坐标以及△ABP 面积，若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出一次函数y ＝﹣2x +6与y 轴、x 轴交点A 、B 的坐标，再用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）观察图象直接得到答案；（3）过点P 作y 轴的平行线PQ 交AB 于点Q ，先利用图象上点的特征表示出P 、Q 两点的坐标，再求出PQ 的长，进而表示出△ABP 的面积，利用顶点坐标求最值．【解答】解：∵一次函数y ＝﹣2x +6的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，∴A （0，6），B （3，0），∵二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象经过A 、B 两点，∴{c =6−9+3b +c =0，解得：{b =1c =6， ∴二次函数的解析式的解析式为：y ＝﹣x 2+x +6；（2）当y ＝0时，﹣x 2+x +6＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝3，∴抛物线与x 轴交点坐标为（﹣2，0），（3，0），当﹣2＜x ＜0或x ＞3时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ，但只有当﹣2＜x ＜0时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0，当﹣2＜x ＜0时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0；（3）过点P 作y 轴的平行线PQ 交AB 于点Q ，由点P在y＝﹣x2+x+6的图象上，可设P（m，﹣m2+m+6）（0＜m＜3），则Q（m，﹣2m+6），则PQ＝﹣m2+m+6+2m﹣6＝﹣m2+3m，∴S△ABP=12OB×PQ=12×3×（﹣m2+3m）=−32（m−32）2+278，∵﹣2＜0，∴当m=32时，即P点坐标为（32，214）时，S△ABP取得最大值，最大值为278．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数与不等式组、二次函数的最值问题，观察图象、求出特殊点坐标是解题的关键．10．如图，二次函数y＝x2﹣4x+3与一次函数y＝x﹣1的图象交于点A及点B，与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）根据图象，直接写出满足x﹣1≥x2﹣4x+3的x的取值范围；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得P A+PC最小，求点P坐标及P A+PC的最小值．【分析】（1）根据题意解方程组即可得到结论；（2）根据函数图象点A以及点A右边的部分，点B以及点B左边的部分的自变量x的取值范围即为不等式的解集；（3）根据点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，于是得到直线AB 与对称轴的交点即为点P ，P A +PC 最小值＝AB ，根据勾股定理得到AB ，把x ＝2代入y ＝x ﹣1即可得到结论．【解答】解：（1）在y ＝x 2﹣4x +3中，令x ＝0，得y ＝3，∴C （0，3），解{y =x 2−4x +3y =x −1得，{x =1y =0，{x =4y =3， ∴A （1，0），B （4，3）；（2）由图象可知，满足kx +b ≥x 2﹣4x +m 的x 的取值范围为：1≤x ≤4；（3）存在，∵点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，∴直线AB 与对称轴的交点即为点P ，则P A +PC 最小值＝AB ，∴AB =√(4−1)2+(3)2=3√2，把x ＝2代入y ＝x ﹣1得，y ＝1，∴P （2，1），P A +PC 最小值＝3√2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，难点在于求出点B 的坐标．11．直线y 1＝x +m 与抛物线y 2＝ax 2+bx +c 交于P 、Q （2，3）两点，其中P 在x 轴上，Q （2，3）是抛物线y 2的顶点．（1）求y 1与y 2的函数解析式；（2）求函数值y 1＜y 2时x 的取值范围．【分析】（1）先求出Q 点的坐标，再求出直线的解析式，再把Q 、P 的坐标代入二次函数的解析式求出a 的值即可；（2）根据函数的性质和交点坐标得出即可．【解答】解：（1）把点Q（2，3）代入y＝x+m，∴3＝2+m，∴m＝1，∴y1＝x+1，∴令y＝0，x+1＝0，∴x＝﹣1，∴P（﹣1，0），∴顶点为（2，3），∴设抛物线y＝a（x﹣2）2+3，把P（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣2）2+3，解得：a=−1 3，∴y2=−13(x−3)2+3，即y=−13x2+43x+53；（2）∵直线y1＝x+1与抛物线y2=−13（x﹣3）2+3交于P（﹣1，0）、Q（2，3）两点，∴函数值y1＜y2时x的取值范围是﹣1＜x＜2．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，一次函数和二次函数的图象和性质，用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式等知识点，能求出两函数的解析式是解此题的关键．12．已知抛物线y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m，（−14＜m≤2）．直线l：y＝（k+1）x﹣3m+4．（1）若该抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣4，求该抛物线的顶点坐标．（2）证明：该抛物线与直线l必有两个交点．（3）若该抛物线经过点（t，﹣4），且对任意实数x，不等式x2+（1﹣3m）x﹣3m≥﹣4都成立；当k﹣2≤x≤k时，该二次函数的最小值为﹣2k+1．求直线l的解析式．【分析】（1）依题意可知﹣3m＝﹣4，即可求解；（2）将y＝（k+1）x﹣3m+4代入y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m，整理得：x2﹣（k+3m）x﹣4＝0，△＝[﹣（k+3m）]2﹣4×（﹣4）＝（k+3m）2+16＞0，即可求解；（3）分k＜1、1≤k≤3、k＞3三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）依题意可知﹣3m＝﹣4，解得：m=4 3，∴该抛物线对应的函数解析式为y=x2−3x−4=(x−32)2−254，∴该抛物线的顶点坐标为（32，−254）．（2）联立y＝（k+1）x﹣3m+4和y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m并整理得：x2﹣（k+3m）x﹣4＝0，∵△＝[﹣（k+3m）] 2﹣4×（﹣4）＝（k+3m）2+16＞0，∴该抛物线与直线l必有两个交点．（3）∵由抛物线经过点（t，﹣4），且对任意实数x，不等式x2+（1﹣3m）x﹣3m≥﹣4都成立，∴抛物线y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m的最小值为﹣4，∵y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m=(x+1−3m2)2−3m−(1−3m2)2=(x+1−3m2)2−9m2+6m+14，∴−9m2+6m+14=−4，整理得3m2+2m﹣5＝0，解得m＝1或m=−53（−53＜−14，舍去），∴当m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，①当k＜1时，函数值y随x的增大而减小，∴当x＝k时，y min＝k2﹣2k﹣3，∴k2﹣2k﹣3＝﹣2k+1，解得k＝﹣2或k＝2（舍去），∴直线l的解析式为y＝﹣x+1；②当k﹣2≤1≤k时，即1≤k≤3，当x＝1时，y min＝﹣4＝﹣2k+1，解得k=5 2，∴直线l的解析式为y=72x+1；③当k﹣2＞1时，函数值y随x的增大而增大，∴当x＝k﹣2时，y min＝（k﹣2）2﹣2（k﹣2）﹣3，∴（k﹣2）2﹣2（k﹣2）﹣3＝﹣2k+1，解得k1＝k2＝2（舍去），综上，直线l的解析式为y＝﹣x+1或y=72x+1．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组）和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解集．13．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出点B 的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；（2）根据函数图象点A 以及点A 右边的部分，点B 以及点B 左边的部分的自变量x 的取值范围即为不等式的解集．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝（x +2）2+m 经过点A （﹣1，0），∴0＝1+m ，∴m ＝﹣1，∴抛物线解析式为y ＝（x +2）2﹣1＝x 2+4x +3，∴点C 坐标（0，3），∵对称轴x ＝﹣2，B 、C 关于对称轴对称，∴点B 坐标（﹣4，3），∵y ＝kx +b 经过点A 、B ，∴{−k +b =0−4k +b =3，解得{k =−1b =−1， ∴一次函数解析式为y ＝﹣x ﹣1；（2）由图象可知，满足（x +2）2+m ≥kx +b 的x 的取值范围为x ≤﹣4或x ≥﹣1．【点评】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，难点在于求出点B 的坐标．14．如图，一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的二根x 1，x 2（x 1＜x 2）是抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）写出不等式ax 2+bx +c ≥0的解集；（3）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（4）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．【分析】（1）先求出一元二次方程的两个根，即可知与x轴的两个交点的坐标，进而即可求出二次函数的解析式；（2）根据B、C两点的坐标可求出二次函数的顶点坐标及对称轴，根据A、C两点坐标可求出直线AC的解析式，再联立两个方程即可求出Q点的坐标；（3）根据两点之间线段最短，当此三点在同一条直线上时MQ+MA取得最小值，作A点关于x轴的对称点进而求得M点的坐标．【解答】解：（1）一元二次方程x2+2x﹣3＝0的二根x1，x2（x1＜x2）为：x1＝﹣3，x2＝1．∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点的坐标为B（1，0），C（﹣3，0）．设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵抛物线过点A（3，6）．∴6＝a（3+3）（3﹣1），解得a=1 2．∴二次函数的解析式为y=12（x+3）（x﹣1）=12x2+x−32．（2）根据图象可知：不等式ax2+bx+c≥0的解集为：x≤﹣3或x≥1；（3）由y=12x2+x−32．∴抛物线的顶点坐标为P（﹣1，﹣2），对称轴方程为x＝﹣1．设直线AC解析式为y＝kx+b，将A（3，6），C（﹣3，0），代入解得：k＝1，b＝3，直线AC解析式为y＝x+3．将x＝﹣1代入，得y＝2．∴Q（﹣1，2）．（4）作点A关于x轴的对称点A′（3，﹣6），连接A′Q，A′Q与x轴交于点M即为所求的点．设直线A′Q的解析式为y＝kx+b，将A′（3，﹣6），Q（﹣1，2）代入解得：k＝﹣2，b＝0．∴直线A′C的解析式为y＝﹣2x．令x＝0，则y＝0．∴M（0，0）．【点评】本题考查了二次函数的综合知识，解决本题的关键是综合运用二次函数相关知识．15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△MCB的面积；（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【分析】（1）把A点、C点和D点坐标代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程求出a、b、c即可得到抛物线解析式；（2）连接OM，如图，先把（1）中解析式配成顶点式得到M（2，9），再利用对称性得到B（5，0），然后利用S△BCM＝S△OCM+S△BOM﹣S△OBC进行计算；（3）观察函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y＝ax2+bx+c上，∴{a−b+c=0c=5a+b+c=8解方程组得{a=−1b=4c=5，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）连接OM，如图，∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴M（2，9），∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴B（5，0），∴S△BCM＝S△OCM+S△BOM﹣S△OBC=12×5×2+12×5×9−12×5×5＝15；（3）x＜0或x＞2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了待定系数法求抛物线解析式．16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝﹣x2+c的图象相交于A（﹣1，2），B（2，n）两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；（3）设二次函数y＝﹣x2+c的图象与y轴相交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．【分析】（1）把A坐标代入二次函数解析式求出c的值，确定出二次函数解析式，把B坐标代入求出n 的值，把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出k 与b 的值即可；（2）根据函数图象，确定出所求x 的范围即可；（3）连接AC ，BC ，设直线AB 与y 轴交于点D ，三角形ABC 面积等于三角形ACD 面积+三角形BCD 面积，求出即可．【解答】解：（1）把A （﹣1，2）代入y ＝﹣x 2+c 得：﹣1+c ＝2，解得：c ＝3，∴y ＝﹣x 2+3，把B （2，n ）代入y ＝﹣x 2+3得：n ＝﹣1，∴B （2，﹣1），把A （﹣1，2）、B （2，﹣1）分别代入y ＝kx +b 得{−k +b =22k +b =−1，解得：{k =−1b =1， ∴y ＝﹣x +1；（2）根据图象得：使二次函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围是﹣1＜x ＜2；（3）连接AC 、BC ，设直线AB 交y 轴于点D ，把x ＝0代入y ＝﹣x 2+3得：y ＝3，∴C （0，3），把x ＝0代入y ＝﹣x +1得：y ＝1，∴D（0，1），∴CD＝3﹣1＝2，则S△ABC＝S△ACD+S△BCD=12×2×1+12×2×2＝1+2＝3．【点评】此题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．17．如图，抛物线y1＝ax2+2ax+1与x轴有且仅有一个公共点A，经过点A的直线y2＝kx+b交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求a的值；（2）求直线AB对应的函数解析式；（3）直接写出当y1≥y2时，x的取值范围．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝4a2﹣4a＝0，然后解方程和根据二次函数的定义可确定a 的值；（2）把抛物线的解析式配成顶点式得到A（﹣1，0），则把A点坐标代入y＝kx+b中得b＝k，所以一次函数解析式为可表示为y＝kx+k，则C（0，k），利用线段中点坐标公式得到B（1，2k），然后把B（1，2k）代入y＝x2+2x+1求出k即可得到直线AB的解析式；（3）利用函数图象，写出抛物线在直线AB上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）∵抛物线y1＝ax2+2ax+1与x轴有且仅有一个公共点A，∴△＝4a 2﹣4a ＝0，而a ≠0，∴a ＝1；（2）抛物线的解析式为y ＝x 2+2x +1＝（x +1）2，∴A （﹣1，0），把A （﹣1，0）代入y ＝kx +b 得﹣k +b ＝0，解得b ＝k ，∴一次函数解析式为y ＝kx +k ，当x ＝0时，y ＝kx +k ＝k ，则C （0，k ），∵点C 是线段AB 的中点，∴B （1，2k ），把B （1，2k ）代入y ＝x 2+2x +1得2k ＝1+2+1，解得k ＝2，∴直线AB 的解析式为y ＝2x +2；（3）当x ≤﹣1或x ≥1时，y 1≥y 2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x 轴的交点和二次函数的性质．18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C 1：y =32x 2+6x +2的顶点为M ，与y 轴相交于点N ，先将抛物线C 1沿x 轴翻折，再向右平移p 个单位长度后得到抛物线C 2：直线l ：y ＝kx +b 经过M ，N 两点．（1）结合图象，直接写出不等式32x 2+6x +2＜kx +b 的解集；（2）若抛物线C 2的顶点与点M 关于原点对称，求p 的值及抛物线C 2的解析式．【分析】（1）令抛物线C 1的解析式中x ＝0，求出y 值即可得出点N 的坐标，再利用配方法将抛物线C 1的解析式配方，即可得出顶点M 的坐标，结合函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集；（2）找出点M 关于x 轴对称的对称点的坐标，找出点M 关于原点对称的对称点的坐标，二者横坐标做差即可得出p 的值，根据抛物线的开口大小没变，开口方向改变，再结合平移后的抛物线的顶点坐标即可得出抛物线C 2的解析式；【解答】解：（1）令y =32x 2+6x +2中x ＝0，则y ＝2，∴N （0，2）；∵y =32x 2+6x +2=32（x +2）2﹣4，∴M （﹣2，﹣4）．观察函数图象，发现：当﹣2＜x ＜0时，抛物线C 1在直线l 的下方，∴不等式32x 2+6x +2＜kx +b 的解集为﹣2＜x ＜0．（2）∵y =32x 2+6x +2抛物线C 1：的顶点为M （﹣2，﹣4），沿x 轴翻折后的对称点坐标为（﹣2，4）．∵抛物线C 2的顶点与点M 关于原点对称，∴抛物线C 2的顶点坐标为（2，4），∴p ＝2﹣（﹣2）＝4．∵抛物线C 2与C 1开口大小相同，开口方向相反，∴抛物线C 2的解析式为y =−32（x ﹣2）2+4=−32x 2+6x ﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及根的判别式，解题的关键是：（1）求出M 、N 点的坐标；（2）根据点M 找出抛物线C 2的顶点坐标；19．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣2，0），且对一切实数x ，都有2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2成立．（1）当x ＝2时，求y 的值；（2）求此二次函数的表达式；（3）当x ＝t +m 时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的值为y 1，当x =t 2时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的值为y 2，若对一切﹣1≤t ≤1，都有y 1＜y 2，求实数m 的取值范围．【分析】（1）可令x ＝2，可得4≤4a +2b +c ≤4，即有4a +2b +c ＝4；（2）通过图象过一点点（﹣2，0）得到4a ﹣2b +c ＝0，由x ＝2得4a +2b +c ＝4，再将b 、c 都有a 表示．不等式2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2对一切实数x 都成立可转化成两个一元二次不等式即{ax 2−x +2−4a ⩾0(a −12)x 2+x −4a ⩽0恒成立，即可解得a =14；（3）当﹣1≤t ≤1时，y 1﹣y 2＜0，可得3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ＜0 恒成立．设W ＝3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ，则{3+(8+8m)+4m 2+16m ＜03−(8+8m)+4m 2+16m ＜0，由此求得t 的范围．【解答】解：（1）解：∵不等式2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2对一切实数x 都成立，∴当x ＝2时也成立，即4≤4a +2b +c ≤4，即有y ＝4；（2）根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣2，0），可得4a ﹣2b +c ＝0 ①，又f （2）＝4，即4a +2b +c ＝4 ②．由①②求得 b ＝1，4a +c ＝2，∴y ＝ax 2+x +2﹣4a ，∴2x ≤ax 2+x +2﹣4a ≤12x 2+2，即{ax 2−x +2−4a ⩾0(a −12)x 2+x −4a ⩽0恒成立， ∴{ a ＞0△1=1−4a(2−4a)⩽0a −12＜0△2=1−4(a −12)⋅(−4a)⩽0，解得：a =14，∴c ＝2﹣4a ＝1，二次函数的表达式为y =14x 2+x +1．（3）∵当﹣1≤t ≤1时，y 1＜y 2，即：y 1﹣y 2＜0，即[14(t +m)2+(t +m)+1]−[14（t 2）2+t 2+1]＜0．整理得：3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ＜0，∵当t ＝1或﹣1时均成立，∴{3+(8+8m)+4m 2+16m ＜03−(8+8m)+4m 2+16m ＜0，整理得：{4m 2+24m +11＜04m 2+8m −5＜0解得：{−112＜m ＜−12−52＜m ＜12，∴−52＜m＜−12【点评】本题考查了二次函数与不等式恒成立问题，以及二次函数的性质，赋值法（特殊值法）可以使问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法．20．二次函数y1＝ax2+2x过点A（﹣2，0）和点B，过点A，B作一次函数y2＝kx+b，若点B的横坐标为1．（1）求出二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围；（3）若P点在抛物线y1上，且横坐标为﹣1，求△ABP的面积．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出y2＞y1时，﹣2＜x＜1；（3）过P作PQ∥y轴，交AB于Q，依据S△ABP＝S△APQ+S△BPQ进行计算即可．【解答】解：（1）如图1，把A（﹣2，0）代入y1═ax2+2x中得：4a+2×（﹣2）＝0，a＝1，∴二次函数的解析式y1═x2+2x，当x＝1时，y1＝1+2＝3，∴B（1，3），把A（﹣2，0）、B（1，3）代入y2＝kx+b中得：{−2k +b =0k +b =3，解得：{k =1b =2， ∴一次函数的解析式：y 2＝x +2；（2）由图象得：当﹣2＜x ＜1时，y 2＞y 1；（3）过P 作PQ ∥y 轴，交AB 于Q ，y 1═x 2+2x ，令x ＝﹣1，则y ＝﹣1，即P （﹣1，﹣1），y 2＝x +2，令x ＝﹣1，则y ＝1，即Q （﹣1，1），∴PQ ＝2，∴S △ABP ＝S △APQ +S △BPQ =12×2×（1+2）＝3．【点评】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；采用数形结合的方式是解决第2小题的关键，第3问中需要运用割补法计算三角形的面积．。

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年级初三学科数学编稿老师田一鹏课程标题二次函数的综合提高一校林卉二校黄楠审核孙永涛一、考点突破二次函数问题多次出现在各地中考的压轴题中，这是因为一方面二次函数的基本内容与近现代数学的发展有密切联系，是学习高中数学极为重要的知识点，另一方面围绕二次函数能全面考查对函数性态的分析，以二次函数为载体把数（计算、证明）与形（图象）融合起来，把方程、不等式、绝对值等知识融合起来，围绕着二次问题，勾通了一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程问题的内在联系，很好地体现了数学学科的内在联系和知识的综合运用，体现了在知识网络交汇点上设计试题的指导思想。

纵观历届中考对二次函数的考查，反复出现的内容可以归纳为以下几点：二次函数的定义式问题，解析式问题（求参数），图象问题，图象平移问题，二次函数与方程、不等式问题，含绝对值的二次函数问题，二次函数的最值问题，以及二次函数和直线相交问题，二次函数实际应用问题。

二、重难点提示重点：二次函数的概念及性质；用待定系数法求二次函数的解析式，用配方法和公式法求抛物线的顶点坐标和对称轴。

难点：能利用二次函数的关系式、图象、性质解决实际问题及比较复杂的问题。

能力提升类例 1 如图所示是二次函数2122y x =-+的图象在x 轴上方的一部分，对于这段图象与x 轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最．接近的值是（） A. 4 B.163C. 2πD. 8一点通：可以先求出二次函数与x 、y 轴的交点坐标，再根据阴影部分的面积大于交点所围成的三角形面积，并小于交点所围成的圆的面积，即可求解。

解：方法一：由题意，设这段图象与x 轴的交点为A （－2，0）、B （2，0），与y 轴的交点为C （0，2）。

显然，S 在面积与过A 、B 、C 三点的⊙O 的半圆面积之间。

∵＝4，π221=ΘO S ，∴4＜S ＜。

说明：关于半圆⊙O 的面积大于图示阴影部分面积的证明，如下：设P （x ，y ）在图示的抛物线上，则OP 2＝x 2＋y 2＝（4－2y ）＋y 2＝（y －1）2＋3。

∵0≤y ≤2， ∴3≤OP 2≤4。

∴点P 在半圆x 2＋y 2＝3、x 2＋y 2＝4所夹的圆环内， ∴半圆⊙O 的面积大于图示阴影部分的面积。

由于内半圆的面积为，∴＜S ＜。

方法二：由题意，设这段图象与x 轴的交点为A （－2，0）、B （2，0），与y 轴的交点为C （0，2）。

显然，这段图象在图示半径为、2的两个半圆所夹的圆环内，以及过内半圆上点P（，1）与半外圆上点A 、B 、C 。

∴S 在图示两个半圆面积之间。

即＜S ＜。

∴＜S ＜。

点评：不规则图形的面积，除转化为规则图形计算外，还可根据其特征，用上下界限的方法确定其近似值。

例2 已知二次函数图象的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求该二次函数的解析式。

一点通：由于给出了抛物线的顶点坐标，因此可用“顶点式”列出解析式，然后求解；还可以求出抛物线与x 轴两交点的坐标，然后利用一般式求解。

方法较多，可选择不同的方法。

解：方法一：∵抛物线的顶点坐标为（3，－2），∴可设二次函数的解析式为y a x =--()322， ∵抛物线与x 轴两交点间的距离为4，对称轴为x ＝3， ∴抛物线与x 轴的两个交点为（1，0），（5，0），将点（1，0）的坐标代入，得01322=--a()，∴4a ＝2，∴a =12， ∴二次函数的解析式为：y x x x x x =--=-+-=-+12321269212352222()()，即y x x =-+123522y0 1 25 3 4 x方法二：由以上分析，可知抛物线与x 轴交点为（1，0），（5，0） ∴可设二次函数的解析式为y a x x =--()()15将点（3，－2）的坐标代入，得-=--23135a()() ∴-=-42a ，∴=a 12，∴二次函数的解析式为：y x x x x x x =--=-+=-+121512651235222()()()，即y x x =-+123522；方法三：∵抛物线过（3，－2），（1，0），（5，0）三点， ∴设二次函数的解析式为y ax bx c =++2，将三点的坐标代入，得93202550a b c a b c a b c ++=-++=++=⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a b c ==-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12352 ∴二次函数的解析式为y x x =-+123522；方法四：设二次函数的解析式为y ax bx c a =++≠20（）由题意，得 -=-=-++=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪a ac b a a b c 23442026084002a b a b ac a b c +=-+=++=⎧⎨⎪⎩⎪ 将b a =-6代入，得 83640502a a ac a c -+=-+=⎧⎨⎩①将c ＝5a 代入①，得83620022a a a -+= 1680a a -= 202a a -=∴==a a 12012，∵a 10=不合所设，舍去∴a b c ==-=12352，，∴二次函数的解析式为y x x =-+123522点评：此题一题多解，考查了列函数解析式的能力及解方程组的能力。

综合运用类例3 已知反比例函数ky x=的图象经过点P （2，2）、Q （4，m ），直线y ＝ax ＋b 与直线y ＝－x 平行，并且经过点Q 。

（1）求直线y ＝ax ＋b 的解析式；（2）当x 为何值时，函数225k y ax bx k-=++取得最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值。

一点通：（1）由反比例函数xky =的图象经过点P （2，2）可以求出反比例函数解析式，从而得出Q （4，m ）的坐标，直线y ＝ax ＋b 与直线y ＝－x 平行，可得出a ＝－1，并且经过点Q ，从而求出解析式；（2）由（1）式中a ，b ，k 的值得出二次函数的解析式，可以借助配方法求出二次函数的最值。

解：（1）∵函数ky x=的图象经过点P （2，2）， 22k =∴k ＝4.∴反比例函数为4y x=。

又∵Q （4，m ）在反比例函数4y x=的图象上， ∴m ＝1.∴Q （4，1）.∵直线y ＝ax ＋b 与y ＝－x 平行， ∴a ＝－1.∴直线的解析式为y ＝－x ＋b. 又∵直线y ＝－x ＋b 过点Q ， ∴1＝－4＋b. b ＝5.∴直线的解析式为y ＝－x ＋5；（2）由a ＝－1，b ＝5，k ＝4，得函数225k y ax bx k -=++为22154y x x -=-++。

∴221(5)4y x x =---22525215()244x x ⎡⎤=--+--⎢⎥⎣⎦ 252521()244x =--+-25()12x =--+，∴当52x =时，所求函数的最大值为1。

点评：此题是一次函数、反比例函数和二次函数综合题目，综合性较强，两问中层层递进，在计算过程中一定要认真，避免出错。

例4 某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进行了调研，结果如下：每件商品的售价M （元）与时间t （月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1），每件商品的成本Q （元）与时间t （月）的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图2）。

（说明：图1，图2中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本。

）请你根据图象提供的信息回答：（1）每件商品在3月份出售时的利润（利润＝售价－成本）是多少元？（2）求图2中表示的每件商品的成本Q （元）与时间t （月）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W （元）与时间t （月）之间的函数关系式吗（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）？若该公司共有此种商品30000件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？图１图２一点通：由图象提供的信息可求出M 、Q 关于t 的函数表达式，进而可求出利润关于t 的函数表达式，再根据题目要求，运用函数的相关性质进行解答。

解：（1）每件商品在3月份出售时的利润为6－1＝5（元）；（2）∵抛物线的顶点坐标为（6，4） ∴设抛物线的解析式为Q ＝a （t －6）2＋4∵抛物线过（3，1）点 ∴1＝a （3－6）2＋4解得：13a =-，∴Q ＝13-（t －6）2＋4＝13-t 2＋4t －8 （3）设每件商品的售价M （元）与时间t （月）之间的函数关系式为M ＝kt ＋b ∵线段过（3，6）、（6，8）两点 ∴⎩⎨⎧=+=+8663b k b k解得：⎪⎩⎪⎨⎧==432b k∴M ＝23t ＋4，所以每件商品的利润W （元）与时间t （月）的函数关系式为W ＝M －Q ＝（23t ＋4）－（13-t 2＋4t －8）＝13t 2－103t ＋12 ∴W ＝13（t －5）2＋113，∴当t ＝5时，W 的最小值为113元，∴30000件商品一个月内售完，至少获利30000×113＝110000元。

答：30000件商品一个月内售完，至少获利110000元。

点评：此题难点在第（3）问：表示利润。

运用二次函数的性质求最值常用配方法或公式法。

思维拓展类例5 已知点)1,2(),1,2(),3,0(---C B A ，点),(2t t P 为抛物线2x y =上位于ABC ∆内部的一动点，BP 所在直线交AC 于点E ，CP 所在直线交AB 于点F 。

（1）将CE 表示为变量t 的函数；（2）求CEBF的变化范围。

一点通：本题是一道综合题，集几何、代数于一体，第（1）问在求解时要用到相似形的知识。

解：（1）设AB 所在直线的方程为b ax y +=，已知)1,2(),3,0(--B A 在直线上，即得⎩⎨⎧+-=-=b a b 213，解得⎩⎨⎧==,3,2b a 即AB 所在直线的方程为32+=x y 。

该直线与抛物线2x y =的交点的横坐标x 满足方程322+=x x ，解得3,121=-=x x 。

同理可求得AC 所在直线的方程为32+-=x y ，该直线与抛物线2x y =的交点的横坐标x 满足方程322+-=x x ，解得13=x ，34-=x 。

因),(2t t P 为抛物线2x y =上位于ABC ∆内部的一动点，所以1t 1-<<。

过点P 作BC 的平行线，分别交AB 、AC 于点M 、N ，由PNE ∆∽BCE ∆，可得EC NE BC NP =，从而有CE CNCE NE CE BC NP BC =-=-。

同理，由MPF ∆∽BCF ∆可得BFBMBF FM BF BC MP BC =-=-。

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