双曲线的渐近线教案(精)
双曲线的简单几何性质(教案)(精)
双曲线的简单几何性质山丹一中周相年教学目标:(1 知识目标能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 .(2能力目标通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 .(3 情感目标通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 .教学难点:双曲线的渐近线 .教学方法:启发诱导、练讲结合教学用具 :多媒体教学过程:一、复习回顾,问题引入:问题 1:双曲线的定义及其标准方程?问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究?二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(12222>>=-b a by a x 研究它的几何性质 1. 范围:双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 .2. 对称性:双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称中心叫双曲线中心 .3.顶点:(1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0,它们叫做双曲线的顶点 .(2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 .(3实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,其方程为: 练一练:1. 若点 P (2, 4在双曲线上,下列是双曲线上的点有(1 P (-2, 4 (2 P (-4, 2 (3 P(-2, -4 (4 P (2, -42. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:0(22≠=-m m y x(1焦点在 x 轴上,实轴长是 10,虚轴长是 8,则方程是(2焦点在 y 轴上,焦距是 10,虚轴长是 8,则方程是 :4. 渐近线(1概念:双曲线 0, 0(12222>>=-b a by a x 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近!故把这两条直线叫做双曲线的渐近线!(2双曲线 12222=-by a x 的渐近线方程为:x a b y ±= ,即 0=±b y a x (3等轴双曲线的渐近线方程为:x y ±=.(4 利用双曲线的渐近线, 可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图 . 具体做法是:画出双曲线的渐近线, 先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 .5. 离心率:(1定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e=ac ,叫双曲线的离心率 .(2范围:由 c>a>0可得 e>1.思考:离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?(3含义 :离心率是表示双曲线开口大小的一个量 , 离心率越大开口越大 . 思考:你能到处双曲线 0, 0(12222>>=-b a b x a y 的性质吗? 三、学以致用,巩固双基:例 1 求双曲线 9y 2-16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 .练习 1 求双曲线 9y 2-16x 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 .思考 1:请你写出一个以为渐近线的双曲线方程 .思考 2:你能写出所有以为渐近线的双曲线方程吗 ?练习 2 求渐近线为 x y 34±=,且过点 4, 3(的双曲线的标准方程 .四、小结反思,总结提高:1. 双曲线 0, 0(12222>>=-b a b x a y 的简单几何性质:范围,对称性,顶点,离心率,渐进线2. 比较双曲线的几何性质与椭圆的几何性质的异同五、作业布置 :必做:作业案 1-10 选做:作业案 11-12x y 34±=x y 34±=六、教学反思渐近线是双曲线的特有性质,也是教学的难点,但课程标准要求相对较低,不要求严格证明,为了突破难点,通过问题引导学生从已有认知水平出发,来发现双曲线的渐近线,然后充分利用多媒体展示,帮助学生进一步直观理解渐近线“渐近”的含义。
双曲线的渐近线
双曲线的渐近线【教学目标】1.知识教学点：使学生理解并掌握双曲线的渐近线的导出和论证，以及双曲线的渐近线的作用•12.能力训练点：在与初中所学的y 的图象的类比中获得双曲线的渐近线的特点，从而x培养学生分析、归纳、推理等能力.3.学科渗透点：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质（渐近线）的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解.【教材分析】1.教学重、难点：双曲线的渐近线的导出和论证.1（解决办法：引导学生类比初中所学的y —的图象的特点，然后逐一证明）x2.教学疑点：双曲线的渐近线的发现和证明.（解决办法：通过类比以及几何画板猜测）【教学程序】1.新课引入课前播放“悲伤双曲线”的音乐。
我们前面已经学习了双曲线，你对双曲线有哪些了解呢？（标准方程、中心、顶点、对称轴、离心率、准线等）1那么你对这条双曲线：y —（的图像）又有哪些了解呢？x你能找出它的中心吗？顶点呢？（双曲线和对称轴的交点），从而引出对称轴。
我们发现这条双曲线的对称轴并不是x、y轴，但是x、y轴又和这条双曲线的关系很密切，你能说说它们的关系吗？（1）无交点；（2）逐渐接近一>无限接近。
（板书）从而引出课题“双曲线的渐近线”。
（板书）2.新课讲解【探索1】我们通常研究的双曲线的焦点都在坐标轴上（以焦点在x轴上的双曲线为例），1所以我们可以将y 的图像绕原点顺时针旋转45度，得到焦点在x轴上的双曲线。
x这说明焦点在x轴上的双曲线也有渐近线。
那么，一般的双曲线的渐近线在哪里呢？大家猜猜看。
（停顿）能否根据其特征（无交点、逐渐接近- > 无限接近）找到它呢？（按特征的顺序依次研究）—、、x2 y2【探索2】你能找到和双曲线— 2 1（a 0,b 0）的图象没有交点的直线吗？（y轴等a b过原点的部分直线）2 2【探索3】那么这么多和双曲线—占1（a 0, b 0）的图象没有交点的直线中，到底哪a b一条是和其逐渐接近并且无穷远处无限接近的呢？（通过几何画板进行猜测）先取a= 1,改变b的取值，比较直线的斜率和a, b的关系，再取a = 2,改变b 的取值，比较直线的斜率和 a , b 的关系。
双曲线的渐近线
双曲线的渐近线各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢双曲线为什么有渐近线？作者：李建军中学数学教学参考xx年06期《普通高中数学课程标准》在介绍课程的基本理念时强调：倡导积极主动、勇于探索的学习方式。
学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。
这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
强调本质，注意适度形式化。
高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。
数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。
而概念作为数学的基础，其教与学的过程正是体现这些理念的最重要的课题之一。
那么在教学过程中如何去体现这些理念，本文就结合教学中的实例谈谈自己的体会。
在学习双曲线的几何性质之前，我安排学生预习，并要求类比椭圆的研究方法，尽量先独立探索，再和小组的其他同学讨论，关键是能够提出自己的问题、疑惑并尝试解决。
以下就是课堂上师生的部分发言。
教师：今天在上课之前请同学们将自己预习的成果共享一下。
学生1：当x=0时，方程学生2：我想这是为了和椭圆的短轴对立。
学生3：我觉得更多地是为了引进双曲线的渐近线这个概念。
在一阵短暂的讨论之后，多数同学基本认可了学生3的观点，又一个同学站了起来，面带着一点不好意思的笑容：可是我不明白，为什么双曲线就有渐近线，而椭圆就没有？在同学们的一阵笑声中，我却愣住了：这个问题以前没有学生问过，自己也没做过深入的思考，不过我马上肯定了这个同学的问题提得好并反问，将它还给了所有的同学，这一下，轮到同学们愣住了，随即传出一阵乱七八糟的说法：书上没说啊……我也是看书才知道有的，昨天为了弄清书上的证明还费了老大的劲儿……讨论是进行不下去了。
双曲线的渐近线教案(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】§2.3.3双曲线的渐近线学习目标知识与能力：掌握双曲线的渐近线方程并能熟练求解过程和方法：通过学习，培养学生的观察、归纳、分析能力情感态度与价值观：引导学生通过类比思想发现共渐近线的双曲线方程的特点重点、难点：双曲线的渐近线方程及对共渐近线双曲线系方程的求解教学方法：启发引导式教学安排：1课时教学过程：一、课前回顾双曲线几何性质回顾表格（学生填写）二、知识归纳8642-2-4-6-8-15-10-551015N2N1F1F2O M1M2 1、双曲线的渐近线方程（1）若双曲线方程为（a>0,b>0），则该双曲线的渐进线方程为。
（2）若双曲线方程为（a>0,b>0），则该双曲线的渐进线方程为。
2、等轴双曲线（1）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线（2）等轴双曲线的渐进线方程为y=±x，且两条直线互相垂直。
例1：若等轴双曲线的一个焦点是F（-6,0），则它的方程为。
（老师分析，学生求解）3、共渐近线的双曲线系方程（学生讨论）（1）与双曲线（a>0,b>0）共渐近线的双曲线系方程可设为（2）与双曲线（a>0,b>0）共渐近线的双曲线系方程可设为例2求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程.解：设所求双曲线方程为将点代入，得则所求双曲线方程为三、课堂练习1.双曲线的渐近线方程为（C ）A. B. C. D.2.已知，直线x是双曲线的一条渐近线，则3.已知双曲线的渐近线方程为x，求此双曲线的离心率。
四、拓展延伸（高考链接）已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（A ）A. B. C. D.五、作业课本习题2.3 A组3,6。
2 双曲线渐近线有关问题 讲义及练习
讲次2.双曲线渐近线有关问题-教师版一.综述在双曲线的几何性质中,渐近线是双曲线所特有的性质,因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线.画双曲线时,应先画出它的渐近线.理解“渐进”两字的含义,当双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的.掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法.最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.即:(1)已知双曲线方程求渐近线:(2)已知渐近线设双曲线标准方程在考题中,常结合双曲线方程和离心率进行考查,只要抓住渐近线斜率与离心率可以通过的关系进行相互转化即可.几何性质中我们除了要掌握对称性,还需要熟记焦点到渐近线的距离为. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知双曲线（）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( ) A . B .C .D . 分析:双曲线渐近线为过原点的两条相交直线,且斜率分别为.由已知条件根据直线与圆的位置关系可以求出其中一条渐近线的斜率然后再利用求出离心率. 解析: 由题意得圆方程即为，故圆心为（3,0），半径为2.双曲线的一条渐近线为，即，故圆心到渐近线的距离为。
∵渐近线被圆截得的弦长为2,∴，整理得. ∴选D. 答案：D .点评: 双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a 、b 、c 的方程或不等式，利用和转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的22221x y a b -=22220x y by x a b a-=⇒=±y mx =222m x y λ-=222a b c +=b 22221x y a b-=0,0a b >>22650x y x +-+=2ba±222a b c +=22(3)4x y -+=by x a=0bx ay -=d ==22212⎛⎫+=2212b a =c e a =====222a b c +=e=ca值或取值范围．规律总结:相关渐近线斜率k 与离心率e 的问题,由,可以得到进行相互转化.现学现用1: 已知焦点在x 轴上双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A .B .C .D . 解析: ∵双曲线的离心率为2∴，即∵∴，即∴双曲线的渐近线方程为故选D例2. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线与N ,若,则双曲线的渐近线方程为 .分析:题目中给出的向量表达式,从代数的角度讲就是给出向量坐标的比例关系,通过这个比例关系,列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而求出渐近线方程.从几何的角度讲,就是给出点M 分线段NF 的比例,再利用渐近线的对称性结合三角函数知识进而解决问题. 解析: (解法一)如下图所示:由对称性,令,渐近线的斜率为.易知, 故, 所以①; 由已知得:; 在和中,易得② 由①②得: 解得;所以渐近线方程为: 222a b c +=2221k e +=C 3y x =±y =2y x =±y =2222:1(0,0)x y Ca b a b -=>>2c a=224c a =222c a b =+223b a =ba=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>y =2222:1x y C a b-=73FM FN =73FM FN =2,MOF NOF MON αβ∠=∠=∠=1l tan k α=2αβπ+=()222tan 2tan tan 2tan 21tan 1kkαβπααα=-=-=-=---222tan 21tan 1kk k k βα--==--73FM FN =43MN MF=MOF Rt #MON Rt #tan 4tan 3MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭22413k -=-2k =±2y x =±(解法二) 由题意得双曲线的右焦点F (c ,0)，设一渐近线OM 的方程为，则另一渐近线ON 的方程为．设，∵，∴， ∴，解得．∴点M 的坐标为， 又，∴，整理得，∴双曲线的渐近线方程为答案:. 点评: 本题主要考查双曲线及渐近线,解法一利用对称性与三角函数列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而解出k .解法二代数法列方程求出坐标,再利用垂直关系,解出k规律总结:关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用渐近线的对称性结合三角方法来处理.现学现用2: 点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________． 答案: 解析:如图,是切点,是的中点,因为,所以,又,所以,,又,根据双曲线的定义,有,即，两边平方并化简得，所以， 因此.by x a=b y x a =-,,,bm bn M m N n a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73FM FN =7,3,bm bn m c n c a a ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()73 73m c n c bm bn a a -⎧=-=-⎪⎨⎪⎩27 23c m c n ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩22,77c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭OM FM ⊥27127OM FMbc b a k k c a c ⋅=⨯=--2252b a=b y x a =±=y x =P 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 1PF O a A 1PF 2F 43±A B 1PF OA a =22BF a =122F F c =12BF b =24PF b =2122PF F F c ==122PF PF a -=422b c a -=223250c ac a --=53c a=43b a ==例3: 已知双曲线过其左焦点 作斜率为的直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A 、 ，若 ，则双曲线的两条渐近线方程为 A .B .C .D .分析:答案:C解析:由题意设直线 的直线的方程为.与两条渐近线联立.，得 ;，得 若，则，解得 ，故双曲线的两条渐近线方程为故选C .点评:本题给出直线的斜率,较适宜列方程解出坐标.再利用转化为坐标的比例关系.规律总结: 关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用解析法求出交点坐标,利用坐标的关系解答问题.现学现用3: 已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A .B .C .D . 解析:设双曲线的标准方程为，由题意知c =3,a 2+b 2=9，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则有:, C ()3,0F C F l C A B AB ()12,15N --y x =y x =y =2y x =±()222210,0x y a b a b-=>>2211222222221 1x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨-=-=⎪⎪⎩两式作差得： ，又AB 的斜率是，所以将4b 2=5a 2代入a 2+b 2=9得：a 2=4,b 2=5.则双曲线的渐近线方程为. 本题选择A 选项.三.课堂练习 强化技巧1. 已知以原点为中心，实轴在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为（ ）A .B .C .D .答案:C解析:∵双曲线的一条渐近线方程是，∴∴c =10.∵c 2=a 2+b 2∴a 2=64 b 2=36∴双曲线方程为=1故答案为.2.已知双曲线， 为双曲线的左右顶点，若点在双曲线上，且满足为一个顶角为的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ） A . B .C .D . 答案:A解析:由题意，设，则，则，即双曲线的方程为，其渐近线方程为；故选A .22212122221212124155y y x x b b b x x a y y a a-+-=⨯=⨯=-+-1501123--=--2y x =±x 34y x =221169x y -=221916x y -=2216436x y -=2213664x y -=34y x =34b a =610c =⇒=226436x y -C 22221(00)x y a b a b-=>>，,A B M ABM ∆120︒=y x ±=y ±=2y x ±=y x ±()()(),0,,0,,A a B a M x y -tan30tan60AM BMy k x ay k x a ==︒+=⎧⎪︒-⎨=⎪⎪⎪⎩2221y x a =-222x y a -=y x =±3. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线于N ,若,则双曲线的渐近线方程为 . 解析:如下图所示:令,渐近线的斜率为. 由对称性知,故,所以①; 由已知得:; 在和中,易得②由①②得:解得;所以渐近线方程为:四.课后作业 巩固内化 1.已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）A .B .C .D .答案:B解析:设双曲线的标准方程 ,选B2. 已知双曲线，其一渐近线被圆所截得的弦长等于 ，2222:1x y C a b-=2MF FN =,MOF MON αβ∠=∠=1l tan k α=2βα=222tan 2tan tan 21tan 1kk αβαα===--222tan 21tan 1kk k kβα-==-2MF FN =31MN MF =MOF Rt #MON Rt #tan 3tan 1MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭2231k =-k =y =()1,2y =2212x y -=2212y x -=2213y x -=2213x y -=2222242212y y x x λλ-=∴=-=∴-=则 的离心率为( ) A .B .C .或 D .或 答案:D解析: 的渐近线为渐近线被 截得的弦长为或或。
双曲线的渐近线微视频用PPT学习教案
会计学
1
信息技术的应用
用《几何画板》画双曲线
x2 y2 94
1
，在位于第一象限的
曲线上画一点M，测量点的横坐标以及它到3x
y 2
1
直线的距离d.沿曲线向右上角拖动点M,观察xm与d的大
小关系，你发现了什么？
第1页/共7页
动态演示.gsp
第2页/共7页
对于双曲线 x2 a2
，故 x2 y 2 0
a2
b2
x y 0, ab
即 yb x a
第4页/共7页
知道渐近线方程如何求 双曲线？
根据双曲线渐近线方程的过程，来求双曲线方程，
两边直接平方作差，然后“=”右边直接设为
即可，最后代入其它条件求出解析式。
例如：若双曲线的渐近线方程是
y
b a
x
，则双曲线
方程可设为y2
第6页/共7页
a2 b2
x
，然后在代入其它条件。
第5页/共7页
在方程
x2 a2
y2 b2
1中，如果a
b，那么双曲线的
方程为x2 y2 a2 ,它的实轴和虚轴长都等于2a.
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
这 时 ， 四 条 直 线 x a, y a围 成 正 方 形 ， 渐 近 线方程为y x,它们互相垂直，并且平分双曲线实轴 和 虚 轴 所 成 的 角.
y2 b2
1，直线y
b a
x叫做双曲线的渐近线.
对于双曲线 y2 x2 1，渐近线方程是什么呢？ a2 b2
注：渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双 曲线张口的开阔与否.
第3页/共7页
如a2
2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计(优秀教案)
双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。
那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。
1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。
同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。
若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。
所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。
x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。
由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。
双曲线渐近线方程
双曲线渐近线方程标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]双曲线渐近线方程百科名片双曲线渐近线方程双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。
双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。
渐近线特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
当上一点M沿曲线无限远离时，如果M到一条的于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。
根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x双曲线的简单几何性质1.双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2(7)共轭双曲线：方程 - ＝1与 - ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.注重：1.与双曲线 - ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为 - ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆， b2＜λ＜a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线 - ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a;P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a.本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.双曲线的渐近线教案教学目的(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．教学过程一、揭示课题师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗生(众)：能画出来．师：能画得比较精确点吗(学生默然．)其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．(板书课题：双曲线的渐近线．)二、讲述定义师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点我们先看看双曲线在第一象限的情况．设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则考察一下y变化的范围：因为x2－a2＜x2，所以这个不等式意味着什么(稍停，学生思考．)平面区域．之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．为此，我们考虑下列问题：经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y ＝±b，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．下面，我们来证明这个事实．双曲线在第一象限内的方程可写成设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则设|MQ|是点M到直线的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线．[提出问题，解决问题，善始善终．]三、初步练习(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：(1) 4x2－y2＝4； (2) 4x2－y2＝－4．2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：求双曲线方程并画出双曲线．(练习毕，由学生回答，教师总结．)解题的主要步骤：第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]四、建立法则师：仔细分析一下上述练习的结果：双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．(启发学生讨论、归纳．)生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．生戊：应该说二次项系数成比例．师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，b2x2－a2y2＝0，即bx±ay＝0；b2y2－a2x2＝0，即by±ax＝0．所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗也就是说对任意双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0回答是肯定的．分情况证明一下：C＞0，A2x2－B2y2＝C，故渐近线方程为也可以化成Ax±By＝0，即 A2x2－B2y2＝0．其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程是什么可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：(1)双曲线 A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是A2x2－B2y2＝0；(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是A2x2－B2y2＝C(C≠0的待定常数)．现在谁能把上面的练习第2题再解答一下生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为x2－4y2＝C．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝4．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝－4．[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]五、巩固应用师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．由双曲线求渐近线：由渐近线求双曲线：二是直接运用法则．练习2的解法如下：六、布置作业课本练习；略．教案说明(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．。
双曲线的渐近线探究ggb动态课件的制作教程-2024鲜版
2024/3/27
20
使用ggb内置函数和命令实现动画效果
1
利用滑动条控制变量
通过创建滑动条，可以动态地改变双曲线的参数， 从而展示不同参数下双曲线的形态变化。
2 3
使用动画命令 ggb提供了专门的动画命令，如`Animate`，可 以方便地实现图形元素的动态变化，如点的移动、 线的伸缩等。
条件语句的应用 结合`If`等条件语句，可以在动画过程中实现不同 条件下的不同效果，增加课件的交互性和趣味性。
12
ggb软件安装与启动
安装ggb软件需要访问官方网站下载 对应版本的安装包，根据安装向导完 成软件的安装。
在使用ggb软件前，建议先熟悉软件 的基本操作和常用功能，以便更好地 制作动态课件。
启动ggb软件后，会进入软件的主界 面，可以通过菜单栏、工具栏等快速 访问各种功能。
2024/3/27
13
制作成视频教程，方便学生自主学习和复习。
23
06
双曲线渐近线探究ggb动态课件的应用与 拓展
2024/3/27
24
在课堂教学中的应用
01
直观展示双曲线渐近线的变化过程
通过ggb动态课件，教师可以实时展示双曲线渐近线随着参数变化的过
程，帮助学生更直观地理解双曲线的性质。
02
辅助推导双曲线渐近线的方程
2024/3/27
21
利用参数设置调整动画速度和方向
01
02
03
调整动画速度
通过设置动画命令中的速 度参数，可以控制动画的 播放速度，使课件展示更 加流畅自然。
2024/3/27
改变动画方向
利用参数设置，可以实现 动画的正向和反向播放， 让学生从不同角度观察双 曲线的渐近线变化。
双曲线性质之渐近线PPT讲稿课件
0
x
2023/10/6
变式练习：求下列双曲线的渐近线方程
(1)4x2－9y2=36, 2x±3y=0 (2)25x2－4y2=100. 5x±2y=0
2023/10/6
探究二：由渐近线求双曲线方程
例2、求与双曲线
有共同的渐近线，且
经过点M (-3,
)的双曲线方程。
双曲线方程
中，把1改为0，得
结论：
2023/10/6
小结：
由双曲线方程求渐近线方程的方法： (1) 定焦点位置，求出 a 、b，由两点式求出方程 (2) 令双曲线方程的常数项为零即可求出方程
2023/10/6
类比归纳
图象
B1 y P(a,b)
A1
o
A2 x
B2
y
A1
B1 o
P(b,a)
B2x
A2
2023/10/6
2023/10/6
若渐近线方程为 mx ±ny = 0，则双曲线方程 为 ___m__2_x2___－__n_2_y2___ k__(__k_ 0_)___ 整式 或 ____________________________ 标准
2023/10/6
互动探究
探究一：由双曲线求渐近线方程
双曲线性质之渐近线课件
1
学习目标 1、知识与技能：
1)、正确理解双曲线的渐近线的定义，能利 用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．
2)、掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求 双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析 问题和解决问题的能力． 2、过程与方法：
通过双曲线的渐近线相关知识学习，使学生能 正确理解双曲线的渐近线的定义，并能利用双曲线 的渐近线来画双曲线的图形；掌握由双曲线求其渐 近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应 用。
探究与发现：双曲线的渐近线、二次函数与抛物线 教学设计 高中数学人教A版选择性必修第一册第三章
追问1如何理解渐近线？我们学过的哪些图像中存在渐近现象呢？
反比例函数、指数函数、对数函数甚至正切函数的图像均存在渐近现象。
反比例函数在每一象限内是递减的，当x正无穷大时，
不为0，所以y 取不到0.
当x 0无限变大时，对应M 向右无限运动时，MQ 无限变小趋于
0，也就说明双曲线与直线越靠右越接近，但不能相交 方案2：如图，当直线OM 的斜率在发生变化。
当直线绕（0,0)逆时针旋转时，斜率逐渐是变大的。
因此，只要求出OM 斜率与b
a
比较
就可以了。
结合前面的运算结果，我们不难求出22
00
OM
b
x a a k x -=，化简
后为220
1OM
b a k a x =-，用极限的思想来分析，当x 趋向于无穷大时，根式下方接近但永远小于1，于主双曲线就接近直线y =b
a x 了.
探究2： 为什么二次函数2y ax bx c =++的图象是抛物线？有哪些证明方法？
追问1： 有哪些方式可说明二次函数的图象是抛物线呢？ 方式1：二次函数的图像满足抛物线的几何特征；
方式2：二次函数的表达式可化成抛物线的标准方程。
课后作业：。
高中数学新人教版A版精品教案《探究与发现 为什么是双曲线的渐近线》1
为什么x a by ±=是双曲线12222=-by a x 的渐近线一、教材分析我采用的是《普通高中课程实验教科书数学选修2-1》这本教材，本节课是在学生已掌握双曲线的定义及简单的几何性质的基础上，进一步探究与发现“为什么x a b y ±=是双曲线12222=-by a x 的渐近线”，双曲线的渐近线是高考的一个热点，因此有必要做更深入的研究。
引导学生从图形的直观感受到代数的严格推到证明，进一步使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
二、教学目标的确定及依据平面解析几何研究的主要问题之一：通过方程，研究平面曲线的性质。
在教学参考书中明确的提出要求，学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。
根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。
（1）知识目标：①正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形；②掌握双曲线渐近线的证明，理解由双曲线求渐近线和由渐近线求双曲线 的方法。
（2）能力目标：①在证明的推到过程中，让学生积累数学思维活动经验，感悟数学基本思 想；②使学生进一步体会根据方程研究曲线性质的方法，感悟方程的等价转 化、函数与方程思想，感受形与数的对立与统一，建立形与数的内在关 联体验。
（3）过程与方法：在老师的引导下，使学生在头脑中有对形的变化的直观感知，再利用方程进行一步步分析，从形数两方面分析的基础上，最后用代数运算方法加以证明，使得知识更加完备。
经过这样的过程，提升数学基本能力，特别是抽象能力、推理能力、运算能力、直观想象能力、数据分析能力。
三、教学重点、难点对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。
因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，通过诱导、分析，从形数两方面分析的基础上，最后用代数运算方法加以证明，培养学生的直观图像能力、推理能力、运算能力。
双曲线渐近线的教学设计
作者： 刘慧慧
作者机构： 新疆师范大学
出版物刊名： 中国教师
页码： 247-248页
年卷期： 2014年 第S1期
主题词： 双曲线 渐近线 教学设计 类比
摘要：对于双曲线几何性质之一的渐近线,很多数学教师往往直截了当地给出结论,没有让学生去经历新知识的发现过程[1]。
学生为了考试的需要,往往被动地接受有关的结论,机械的运用。
据此,《普通高中数学课程标准》(实验稿)明确提出了"观察、体验、经历、设计、分析、探索、发现"等行为动词为标志的过程性目标,提出要让学生参与知识的发生、发展与形成的过程,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识"[2],基于此,本人将从学生已经学过的反比例函数图象的渐近线以及相关性质出发,引导学生类比发现标准位置双曲线的渐近线方程及对应的性质,从而使学生体会类比方法在数学学习和研究中的重要作用,最终轻松掌握双曲线渐近线的有关知识。
双曲线的渐近线和共轭双曲线课件
渐近线的存在使得双曲线在某些 方向上看起来更接近于直线。
渐近线的求法
确定双曲线的焦点位置
确定渐近线的方程
首先需要确定双曲线的焦点位置，这 可以通过给定的双曲线方程或已知条 件来确定。
利用已知的渐近线斜率和焦点位置， 可以确定渐近线的方程。
计算渐近线的斜率
根据双曲线的焦点位置和原点之间的 连线斜率，可以计算出渐近线的斜率 。
方程。
根据给定双曲线的焦距，求出 与给定双曲线共轭的双曲线方
程。
03
双曲线与渐近线、共轭双曲线的 联系
双曲线与渐近线的关系
渐近线是双曲线的一种特殊直线，它 与双曲线的形状和位置密切相关。
渐近线的斜率与双曲线的实轴和虚轴 的斜率相等。
当双曲线上的点逐渐接近渐近线时， 该点与渐近线的距离会无限接近于零 。
双曲线与共轭双曲线的关系源自共轭双曲线是与原双曲线具有相 同渐近线但不同顶点和焦点的双
曲线。
共轭双曲线的性质与原双曲线相 似，但在几何形状上可能有所不
同。
共轭双曲线的实轴和虚轴的长度 相等，且与原双曲线的实轴和虚
轴成直角。
双曲线、渐近线、共轭双曲线在实际问题中的应用
在物理学中，双曲线、渐近线和共轭双曲线可以用于描述波动、光学和力学等现象 。
双曲线的渐近线和共轭双曲 线课件
• 双曲线的渐近线 • 共轭双曲线 • 双曲线与渐近线、共轭双曲线的联
系 • 双曲线的几何意义 • 习题与解答
01
双曲线的渐近线
渐近线的定义
渐近线是双曲线上的一个重要概 念，它描述了双曲线在无穷远处
趋于直线的趋势。
渐近线是双曲线与直线之间的“ 桥梁”，它反映了双曲线的形状
渐近线的性质
高中数学新人教版A版精品教案《探究与发现 为什么是双曲线的渐近线》
为什么b y x a=±是双曲线渐近线的教学设计一、 教材分析本节课选自人教版选修2-1第二章圆锥曲线与方程第三节双曲线的探究与发现。
渐近线是双曲线的一个区别于椭圆的不同性质，也是双曲线重要的几何特征与基本性质。
通过学习双曲线的渐近线，可以使学生对曲线的渐近线有新理解与新认识。
双曲线的渐近线又是高考中的热门考点，因此有必要进行深入的研究。
二、 学情分析本节课是在学生已经学习了双曲线的性质，并且知道b y x a=±是双曲线22221x y a b -=的渐近线基础上再进行深入教学，验证为什么b y x a =±是双曲线 22221x y a b-=的渐近线。
在教学中，往往直截了当地给出发现的结果，而淡化了新知识的探究验证过程，因此需要引导学生从图像的直观感受过渡到严格的代数证明上，培养学生的验证运算能力。
三、 教学目标根据教材和学情的分析，特制定知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观目标。
（一）知识与技能1.理解标准方程的双曲线存在渐近线，能够证明标准方程双曲线22221x y a b-=的渐近线就是b y x a =±2.熟练掌握求解双曲线渐近线的方法，知道双曲线有两条不同的渐近线。
3.通过探究双曲线的渐近线，了解渐近线与双曲线之间的联系4.经历学习双曲线渐近线的过程，进一步培养学生动手操作以及数形结合的能力 （二）过程与方法通过画出双曲线图象引入渐近线的定义，从而去证明双曲线的渐近线方程，循序渐进地去探究双曲线渐近线问题，体验数与形结合的思想，使学生体验根据方程研究曲线性质的放法，进一步建立数与形的内在联系。
（三）情感、态度和价值观由双曲线渐近线的发现过程使学生感受探索的乐趣；由方程证明猜想过程，体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度，形成学习数学知识的积极态度，同时也培养学生的推理能力与运算能力。
四、教学重难点重点：双曲线的渐近线证明过程以及两者之间的内在联系难点：证明双曲线22221x y a b-=的渐近线是b y x a =±。
双曲线的渐近线教案
双曲线的渐近线教案教学目的(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．教学过程一、揭示课题师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？生(众)：能画出来．师：能画得比较精确点吗？(学生默然．)其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．(板书课题：双曲线的渐近线．)二、讲述定义师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则考察一下y变化的范围：因为x2－a2＜x2，所以这个不等式意味着什么？(稍停，学生思考．)平面区域．之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．为此，我们考虑下列问题：经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y ＝±b，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．下面，我们来证明这个事实．双曲线在第一象限内的方程可写成设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则设|MQ|是点M到直线的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线．[提出问题，解决问题，善始善终．]三、初步练习(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：(1) 4x2－y2＝4； (2) 4x2－y2＝－4．2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：求双曲线方程并画出双曲线．(练习毕，由学生回答，教师总结．)解题的主要步骤：第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]四、建立法则师：仔细分析一下上述练习的结果：双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．(启发学生讨论、归纳．)生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．生戊：应该说二次项系数成比例．师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，b2x2－a2y2＝0，即bx±ay＝0；b2y2－a2x2＝0，即by±ax＝0．所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗？也就是说对任意双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯定的．分情况证明一下：C＞0，A2x2－B2y2＝C，故渐近线方程为也可以化成Ax±By＝0，即 A2x2－B2y2＝0．其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：(1)双曲线 A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是A2x2－B2y2＝0；(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是A2x2－B2y2＝C(C≠0的待定常数)．现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为x2－4y2＝C．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝4．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝－4．[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]五、巩固应用师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．由双曲线求渐近线：由渐近线求双曲线：二是直接运用法则．练习2的解法如下：个人收集整理仅供参考学习六、布置作业课本练习；略．教案说明(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．。
双曲线渐近线的探究+课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
设 MQ 是点 M 到直线 y
b
x 的距离，则 MQ MN .当 x 逐渐增大时， MN 逐渐
a
减小， x 无限增大时， MN 无限接近于 0， MQ 也无限接近于 0.
双曲线在第一象限向右上方延伸时，是从射线 ON ( O 为原点)的下方逐渐接近于射线
ON ，但与射线 ON 永远不相交
根据双曲线的对称性，在其他象限内，也有类似的结论. 综上所述即证
b2 a
2
2
2
a
（1）当 k 2 b 2 0
时， b 0 在在 x 2(0,b) 2上恒成立。
2
（2）当 k a2 0 时，二次函数 y (k 2 ) x b 的图象必须开口向上才能
ba2 2
ba2
2
2
2
2
y
(
k
)
x
b
（2）当 k 2 0 时，二次函数
，
x
(0,
)
2
y
x
k
b
由此可知
的最小值
，因此猜想在第一象限双曲线的渐近线方程是
等式成立，因此
综上所述 k 2k 22 2 a 20 。
a
a
ba a
2
综上所述 k 2
a2
b
b2
2
2
综上所述 k 2 ，显然当 x (0, ) 时， k 2
a
a
2
x2 y 2
b
[问 3]虽然验证了 y x 与双曲线 2 2 1 永不相交，但还需要严谨验证
2
2
(k 2 ) x b 0b在
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双曲线的渐近线教案
教学目的
(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．
(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．
教学过程
一、揭示课题
师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？
生(众)：能画出来．
师：能画得比较精确点吗？
(学生默然．)
其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线
我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越
的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．
(板书课题：双曲线的渐近线．)
二、讲述定义
师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？
直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．
设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则
考察一下y变化的范围：
因为x2－a2＜x2，所以
这个不等式意味着什么？
(稍停，学生思考．)
平面区域．
之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．
为此，我们考虑下列问题：
经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y ＝±b，
以看出，双曲线
的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．
下面，我们来证明这个事实．
双曲线在第一象限内的方程可写成
设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线
上与M有相同横坐标的点，则
设|MQ|是点M到直线
的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．
在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线
叫做双曲线的渐近线．
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者
这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双
手画出比较精确的双曲线．
[提出问题，解决问题，善始善终．]
三、初步练习
(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)
1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：
(1) 4x2－y2＝4； (2) 4x2－y2＝－4．
2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：
求双曲线方程并画出双曲线．
(练习毕，由学生回答，教师总结．)
解题的主要步骤：
第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．
第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．
师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．
[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]
四、建立法则
师：仔细分析一下上述练习的结果：
双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．
双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．
双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．
双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．
可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．
(启发学生讨论、归纳．)
生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．
生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．
生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．
生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．
生戊：应该说二次项系数成比例．
师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？
把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？
点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．
就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，
b2x2－a2y2＝0，
即bx±ay＝0；
b2y2－a2x2＝0，
即by±ax＝0．
所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗？也就是说对任意双曲线
A2x2－B2y2＝C(C≠0)
它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯定的．
分情况证明一下：
C＞0，A2x2－B2y2＝C，
故渐近线方程为
也可以化成Ax±By＝0，
即 A2x2－B2y2＝0．
其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为
Ax±By＝0
的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：
(1)双曲线 A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是
A2x2－B2y2＝0；
(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是
A2x2－B2y2＝C
(C≠0的待定常数)．
现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？
生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为
x2－4y2＝C．
∴ 双曲线方程为x2－4y2＝4．
∴ 双曲线方程为x2－4y2＝－4．
[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]
五、巩固应用
师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．
2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．
(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)
师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．
由双曲线求渐近线：
由渐近线求双曲线：
二是直接运用法则．
练习2的解法如下：
六、布置作业
课本练习；略．
教案说明
(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．
(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．
本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．
(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．。