《圆》的证明与计算题专题研究(稿五) mdy 2

A 《圆的证明与计算》专题训练
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏
对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

一、考题形式分析：
主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是
与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角
函数值（实质还是求线段比）。

二、解题秘笈：（自己在训练中领悟）
三、题型归类讲解与练习：
模型一：从圆外作圆的两条切线问题
【例1】．（2012•襄阳）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO
交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延
长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量
关系，并加以证明；
（3）若BC=6，tan∠F=，
求cos∠ACB的值和线段PE的长．
【解决问题的思维方法是】
【练习1】（2011•广安）如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切
线，A是切点，B是⊙O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长
BO与切线PA相交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）设∠AOQ=α，若
，OQ=15，求AB的
长．
【练习2】（2013年全国初中数学联合竞赛试题本题满分25分）已
知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交于点P，
连AC，若
9
2
OP AC
=，求
P B
A C
的值。

模型二：从圆外作圆的一条切线和一条割线含垂直问题
【例2】．如图，AB为⊙O
的直径，半径OC⊥AB，D为AB
延长线上一点，过D作⊙O的
切
线，E为切点，连结CE交AB
于
点F.
（1）求证：DE=DF；
（2）连结AE，若OF=1，BF=3，
求tan A
∠的值.
【解决问题的思维方法是】
【练习1】（2011四川乐山24，10分）如图，D为 O上一点，点C
在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点B作 O的切线交CD的延长线于点E,若
BC=6,tan∠CDA=
2
3
,求BE的长
【练习2】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，D是弧
AC的中点，，过D作直线BC
的垂线交直线AB于点E，F
为垂足.
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若AC=6，BD=5，求s i n E
的值.
模型三：过直径的端点作圆的两条切线问题。

【例3】．（2011山东潍坊，23，11分）如图，AB是半圆O的直径，
AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点
C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D
点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.
（1）求证：△ABC∽ΔOFB；
（2）当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；
（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的
中点.
【解决问题的思维方法是】
【练习1】（2011四川绵阳22，12）如
图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，
以AD为直径的半圆O与BC相切.
(1)求证：OB丄OC;
(2)若AD= 12，∠ BCD=60°，⊙O1与半⊙O 外切，并与BC、CD相
切，求⊙O1的面积.
【练习2】如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线
CE，点D是CE延长线上一点，连结
AD，且AD+BC=CD.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）设OE交AC于F，若OF=3，
EF=2，求线段BC的长.
模型四：以等腰三角形的一腰为直径作圆的问题。

【例4】．如图，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于
点E，点F是BE的中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长
【解决问题的思维方法是】
【练习1】
（2011贵州安顺，26，12
分）已知：如
图，在△ABC
中，
BC=AC，以
BC
D
C
为直径的⊙O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ． ⑴求证：点D 是AB 的中点； ⑵判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
⑶若⊙O 的直径为18，cosB =31
，求DE
的长．
【练习2】（2012•肇庆）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连接BE 、AD 交于点P ．求证：
（1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）AB•CE=2DP•AD ．
【练习3】如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC 于E.
（1）求证：DE 为⊙O 的切线；
（
2）若BC =AE =1，求c o s A E O ∠的值.
模型五：过直径的端点作一条或两条垂线于圆
的切线问题。

【例5】．（2012•西宁）如图（1），
AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，若直
线CD 与⊙O 相切于点C ，AD ⊥CD ，垂足为D ． （1）求证：△ADC ∽△ACB ；
（2）如果把直线CD 向下平行移动，如图（2），直线CD 交⊙O 于C 、G 两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求tan ∠DAC 的值．
【解决问题的思维方法是】
【练习1】（2011安徽芜湖，23，12分）如图，已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，
过C 作C D P A ⊥，垂足为D . (1) 求证：CD 为⊙O 的切线； (2) 若DC +DA =6，⊙O 的直径为10， 求AB 的长度.
【练习2】直角梯形ABCD 中，∠BCD =90°，AB=AD+BC ，AB 为直径的圆交BC 于E ，连OC 、BD 交于F. ⑴求证：CD 为⊙O 的切线
⑵若
5
3=AB
BE ，求
DF
BF 的值
D
A
F
B
O F
H
C
B
模型六：和切线平行的弦的问题。

【例6】．（2011浙江义乌，21，8分）如图，已知⊙O的直径AB与
弦CD互相垂直，垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，
且AD=3，cos∠BCD=
4
3
（1）求证：CD∥BF；
（2）求⊙O的半径；
（3）求弦CD的长.
【解决问题的思维方法是】
【练习】（2011山东菏泽，18，10分）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，
AD交B C于点E，AE=2，ED=4，
(1)求证：△ABE∽△ADB；
(2) (2)求AB的长；
(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接F A，
直线F A与⊙O的位置关系，并说明理由．
【例7】．△ABP中，∠ABP=90°，以AB
点，弧
⋂
CF=
⋂
CB，过C作AF
于D.
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，
求
AF
EF
的值。

【解决问题的思维方法是】
【练习1】如图，AB是半⊙O上的直径，E是⌒
BC的中点，OE交弦
BC于点D，过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F. ∠ADO=
∠B.
（1）求证：CF为⊙O的⊙O切线；
（2）求sin∠BAD的值.
【练习2】(2009调考）：如图，已知△ABC中，以边BC为直径
的⊙O与边AB交于点D，点E是弧BD
的中点的中点，AF为△ABC的角平分
线，且AF⊥EC。

（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长
模型八：综合性的问题。

【例8】．（2012•十堰）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，
OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点
E．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E为线段OD的中点，证明：
以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；
（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交
CF于点G（如图2），求的值．
【练习1】（2011•桂林）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；
以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC
交⊙O于D，连接AE、AD、DC．
（1）求证：D是的中点；
（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若，且AC=4，求CF的长．
A
BD
【练习2】（2012•成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：KE=GE；
（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=2，求FG的长．。