专题 新定义数列问题

新定义数列问题

数列的新定义问题成为最近几年高考的热点，主要是题目的条件或结论上给出新的方式或者用其他语言(如集合、向量)来描述，增加了题目理解的难度．

例1设数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，均有S n＝a n＋k－k(k是常数且k∈N*)成立，则称数列{a n}为“P(k)数列”．

(1) 若数列{a n}为“P(1)数列”，求数列{a n}的通项公式；

(2) 是否存在数列{a n}既是“P(k)数列”，也是“P(k＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{a n}的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；

例2 对于数列{a n}，定义：b n(k)＝a n＋a n＋k，其中n，k∈N*.

(1) 若b n(2)－b n(1)＝1，n∈N*，求b n(4)－b n(1)的值；

(2) 若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有b n＋1(k)＝2b n(k)．

①求数列{a n}的通项公式；

②设k为给定的正整数，记集合A＝{b n(k)|n∈N*}，B＝{5b n(k＋2)|n∈N*},

求证：A∩B＝∅.

【思维变式题组训练】

1. 若数列{a n}中不超过f(m)的项数恰为b m(m∈N*)，则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{a n}生成{b m}的控制函数．

(1) 已知a n＝n2，且f(m)＝m2，写出b1，b2，b3；

(2) 已知a n＝2n，且f(m)＝m，求{b m}的前m项和S m；

2. 若存在常数k (k ∈N *

，k ≥2)，q ，d ，使得无穷数列{a n }满足a n ＋1＝

⎩⎪⎨⎪⎧

a n

＋d ， n

k ∉N *

，qa n

， n k

∈N *

，

则称数列{a n }为“段比差数列”，其中常数k ，q ，d 分别叫作段长、段比、段差．设数列{b n }为“段比差数列”．

(1) 若{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1,3，q,3. ① 当q ＝0时，求b 2 016；

② 当q ＝1时，设{b n }的前3n 项和为S 3n ，若不等式S 3n ≤λ·3n －1

对n ∈N *

恒成立，求

实数λ的取值范围；

(2) 设{b n }为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{b n }，并说明理由．

新定义数列问题

1. 若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”．

(1) 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1. ① 求{a n }的通项公式；

② 试判断{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论；

(2) 已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z(n ∈N *)．求证：{a n }为“等比源数列”．

2. 数列{a n }的各项均为正数．若对任意的n ∈N *，存在k ∈N *，使得a 2n ＋k ＝

a n a n ＋2k 成立，则称数列{a n }为“J k 型”数列．

(1) 若数列{a n }是“J 2型”数列，且a 2＝8，a 8＝1，求a 2n ；

(2) 若数列{a n }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{a n }是等比数列．

3. 设数列{a n }的前n 项和为S n .若12≤a n ＋1

a n

≤2(n ∈N *)，则称{a n }是“紧密数

列”．

(1) 若数列{a n }的前n 项和S n ＝1

4(n 2＋3n )(n ∈N *)，证明：{a n }是“紧密数

列”；

(2) 设数列{a n }是公比为q 的等比数列．若数列{a n }与{S n }都是“紧密数列”， 求q 的取值范围．

4. 若数列{b n }满足：对于n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列．

(1) 若c n ＝⎩⎨

⎧

4n －1， 当n 为奇数时，

4n ＋9， 当n 为偶数时.求准等差数列{c n }的公差，并求{c n }

的前19项的和T 19；

(2) 设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n ＋a n ＋1＝2n . ① 求证：{a n }为准等差数列，并求其通项公式；

② 设数列{a n }的前n 项和为S n ，试探究：是否存在实数a ，使得数列{S n }有连续的两项都等于50.若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．