第五节 广义积分和Γ函数(完)资料
§5.5 广义积分
dx
的敛散性. 的敛散性 且
1 ≤ 解：因为 (x ≥1), 2 2 x 1+ x x
sin x
所以
∫
+∞
1
1 dx 收敛， 收敛， 2 x
∫
+∞
sin x x 1+ x2
1
收敛， dx 收敛，即
∫
+∞
sin x
2
1
x 1+ x
dx 绝对收敛 绝对收敛.
14
5.5.2 无界函数的广义积分 瑕积分
a → −∞ a
∫
b
f ( x )dx
上有定义， 上有定义，
+∞
f (x ) 在无穷区间 ( −∞,+∞ )
+∞ −∞
∫
f ( x )dx = ∫
c
−∞
f ( x)dx + ∫
c
f ( x)dx
为常数(通常取 其中 c ∈ ( −∞,+∞) 为常数 通常取c = 0). 左端的广义积分收敛 左端的广义积分收敛 左端的广义积分发散 左端的广义积分发散 右端两个广义积分都收敛 右端两个广义积分都收敛 右端两个广义积分至少有一个发散 右端两个广义积分至少有一个发散
连习. 连习 计算 2 解
∫
+∞
dx x x −1
∫2
+∞
x −1 =t +∞ +∞ dx 2tdt = 2 arctan t 1 = π = ∫1 2 x x −1 (t 2 + 1) ⋅ t
2. 无穷限积分的性质 1)若 若 2)若 若
∫
+∞
a
f ( x ) dx 收敛，则 收敛，
高等数学：第五章 第5节广义积分
cosln
x
x
1
1
sinln
xdx
1
sin(ln x)dx
1 [cosln sin ln ] 1
2
2
1
1
sin(ln x)dx lim[
0
0
] 2
17
例6 dx
0 x(4 x)
1 dx
0 x (4 x) 1
dx x(4 x)
lim[arctan 0
x 2
]1
lim[arctan b
lim
0
b
a f (x)dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
11
设函数 f ( x)在区间[a,b] 上除点外 c 连续，
lim
xc
f
(
x)
,如果两个广义积分ac
f
(
x)dx
和
b
c
f
( x)dx 都收敛，则定义
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
lim arctanb b
2
2
.
5
例3
计算广义积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos
第五节 广义积分
∫
+∞
1
1 dx ( p > 0 ) 的收敛性. 的收敛性. p x
解 当 p = 1 时,
当 p ≠ 1时 ,
∫
+∞
1
1 +∞ dx = ln x 1 = +∞ ， 积分发散； 积分发散； x
∫
+∞
1
1 x dx = p x 1− p 1
+∞ 1− p
+ ∞ , p < 1 = 1 p −1, p > 1
f ( x ) dx ( k ≠ 0) 具有 相同的
+∞ a
敛散性； 敛散性 ；
3 设∫
f ( x ) dx 与
∫
g ( x ) dx 都收敛 ， 则
∫
+∞ a
[ f ( x ) ± g ( x )] dx 也收敛 。
16
二、瑕积分
的任一邻域内都无界, 如果函数 f ( x ) 在点 a 的任一邻域内都无界,则称点
−∞
f ( x)dx + ∫
+∞ a
f ( x)dx
注意：上式只有右边两个反常积分均收敛时才有意义。 注意：上式只有右边两个反常积分均收敛时才有意义。
4
例1
讨论下列无穷限积分的敛散性. 讨论下列无穷限积分的敛散性
(1)
∫
+∞ 0
dx 1 + x2
解 对任意 t > 0 , 有
∫
t
0
dx t 2 = arctan x 0 = arctan t , 1+ x
9
例2
∫
+∞ 0
xe d x = − ∫
γ(x)伽玛函数公式广义积分公式
γ(x)伽玛函数公式广义积分公式γ(x)伽玛函数是数学中的一种特殊函数，广泛应用于各个领域。
它的定义是通过一个广义积分公式给出的。
下面我们来深入了解一下伽玛函数以及它的广义积分公式。
伽玛函数是数学家欧拉在18世纪提出的，它是阶乘函数在复数域上的推广。
伽玛函数的定义如下：γ(x) = ∫(0,∞) t^(x-1)e^(-t)dt其中，x是一个复数，t是变量，e是自然对数的底。
伽玛函数的定义域为复数域，可以取任意复数值。
当x为正整数时，伽玛函数可以化简为阶乘函数，即γ(n) = (n-1)!，其中n为正整数。
伽玛函数的广义积分公式是用来计算伽玛函数的一种方法。
它的形式如下：∫(0,∞) t^(x-1)e^(-t)dt这个广义积分公式可以通过一系列的数学变换和技巧进行求解。
其中最常用的方法是利用分部积分法。
通过多次应用分部积分法，可以将伽玛函数的广义积分公式转化为其他形式的积分，从而得到其数值解。
伽玛函数和其广义积分公式在数学和科学领域具有广泛的应用。
首先，在统计学中，伽玛函数被用于描述连续性随机变量的概率密度函数。
例如，在伽玛分布中，伽玛函数被用来描述事件发生的时间间隔。
在物理学中，伽玛函数和其广义积分公式被用于求解一些重要的物理问题。
例如，在量子力学中，伽玛函数被用来描述粒子的波函数，从而求解粒子的能量和位置等信息。
在工程学和经济学中，伽玛函数也有着广泛的应用。
例如，在电路分析中，伽玛函数被用来计算电容和电感元件的响应。
在金融学中，伽玛函数被用来计算期权定价模型中的一些关键参数。
通过以上的介绍，我们可以看出，γ(x)伽玛函数以及其广义积分公式在数学和各个应用领域都有着重要的地位和作用。
它的定义简洁明了，通过广义积分公式可以计算出其值。
伽玛函数的应用广泛，不仅在理论研究中有着重要的地位，也在实际问题的求解中发挥着重要的作用。
γ(x)伽玛函数及其广义积分公式是数学中一种重要的特殊函数和求积方法。
它的应用范围广泛，涵盖了数学、物理、工程和经济等多个领域。
第5节 广义积分1
无界函数的积分—瑕积分.
2
一、无穷限积分
1. 定义 f(x) 的反常积分（即广义积分）
t t a a
f ( x )dx lim f ( x )dx F ( x ) a F ( ) F (a ).
t a
条件：t : f ( x )dx存在.
2
3 1 n 1 n 3 n n 2 4 2 2 , n为正偶数 n 2 0 cos xdx n 1 n 3 4 2 , n为大于1的奇数 n n2 5 3
10
x 例5 计算 dx. 2 1 x
1 0
dx 1 q 1 t 2 dt q x t
x
1 t
1
1 t
2 q
dt
1
2q 1 , 1 1 dt = 2 q t 2 q 1, 2 q 1
, q 1 = 1 . 1 q , q 1
x
dx x e
u x
x
0
0
e x dx
1.
Γ ( 1) x e
0 x 0 0
x e dx
x
0
0
x de
x
e x x 1 dx
0
N
e x x 1 dx Γ ( ) .
x
x 0 t
1 et ,
t
所以
0
lim (1 e t ) 1 . e dx
x
5
例1
γ(x)伽玛函数公式广义积分公式
γ(x)伽玛函数公式广义积分公式在数学中，伽玛函数是一种特殊的函数，它在很多领域中都有广泛的应用。
伽玛函数的定义如下：γ(x) = ∫(0,∞) t^(x-1) * e^(-t) dt伽玛函数的定义包含了一个广义积分，即对于任意实数x，伽玛函数可以通过对指数函数和幂函数的积分求解得到。
这个定义的积分公式在数学中被广泛应用，特别是在概率论、统计学和物理学等领域。
伽玛函数的广义积分公式可以通过一系列的数学推导得到。
首先，我们可以将伽玛函数的定义进行变形，得到如下等式：γ(x) = ∫(0,∞) t^(x-1) * e^(-t) dt= ∫(0,∞) (t^x) * e^(-t) * t^(-1) dt接下来，我们可以使用分部积分法对上述积分进行求解。
分部积分法是微积分中的一种常用技巧，它可以将一个复杂的积分转化为一个更简单的积分。
通过分部积分法，我们可以将上述积分分解为两个部分：∫(0,∞) (t^x) * e^(-t) * t^(-1) dt= [-e^(-t) * t^x]_(0,∞) + ∫(0,∞) e^(-t) * x * t^(x-1) dt其中，[-e^(-t) * t^x]_(0,∞)表示在积分区间上的边界项。
由于指数函数的性质，当t趋近于无穷大时，e^(-t) * t^x的值趋近于0，因此边界项为0。
所以上述等式可以简化为：∫(0,∞) (t^x) * e^(-t) * t^(-1) dt= ∫(0,∞) e^(-t) * x * t^(x-1) dt= x * ∫(0,∞) t^(x-1) * e^(-t) dt将上述结果代入原始的伽玛函数定义公式中，可得：γ(x) = x * ∫(0,∞) t^(x-1) * e^(-t) dt这就是伽玛函数的广义积分公式。
通过这个公式，我们可以计算伽玛函数在不同实数x上的值。
伽玛函数在数学和科学领域中有着广泛的应用，特别是在概率论和统计学中，它被用来描述分布函数和密度函数之间的关系。
65广义积分04238
A), 1
1 dx, x
1 B), dx,
1x
C),
1
1 x2
dx,
D),
13
1 dx. x2
2020/6/27
微积分II 第六章定积分
5
类似地, 可定义
并称此极限值为f(x)在
上的无穷积分
收敛.
定义6.5.2 函数 f(x) 在(-∞, +∞)上连续，其广义积分为
其中c为任意实数. 当上式右端两个积分都收敛时, 称广义积分
1 x
|1
2lim(11).
0
从而
发散.
例6 讨论瑕积分
的敛散性
解：因为x = 0为瑕点, 所有当 p = 1时,
当 p ≠ 1时,
综上所述 当 p<1时,
收敛; 当 p≥1时,
发散.
A 以下广义积分收敛的是（ ）
1 1
A), dx, x 0
2020/6/27
B),
1
1dx, x微积分II
是收敛的; 而若
பைடு நூலகம்
和
其中之一
发散, 则广义积分
都是发散的.
为简单起见, 广义积分可以简化为
其中
2020/6/27
微积分II 第六章定积分
6
2.瑕积分
如果函数f(x)在区间[a,b]上无界，即f(x)在[a,b]上的某个点无界， 这个无界点可能是端点可能是a，b之间的某个点。
定义 6.5.3 如果f(x)对某一点 满足 则称 为暇点. 定义6.5.4 设 f(x)在[a, b)上连续, 且x=b 是f(x)的暇点, 若极限
1 C第六)章, 定1积分x2
d
x,
6.8 广义积分与Γ函数
(分部积分)
1
定义1.
复习
不定积分
定义2.
一、原函数的概念二、不定积分的概念
三、不定积分的性质
1.
2.
推论
1
1
0 2
1
五、第一类换元法
定理1
配元法, 凑微分法
=
′∫x x x f d )()]([ϕϕ
三、定积分的性质
10 2
3
4
5.
7.
8.
).)((d )(a b f x x f b
二、Γ函数
一、无限区间上的广义积分
暨南大学珠海学院苏保河主讲主要Biblioteka 容§6.8 广义积分与Γ函数
第六章
定积分
高等数学Ⅱ
21x y =A x
y 01b
定义1
广义积分
收敛
发散
2
注反常积分.
第一类广义积分, 无穷限广义积分.
二、Γ函数
1. 定义
注:
1
(证明略)
2. 性质(1) 递推公式
定积分是一个数与被积函数及积分区间有关暨南大学珠海学院苏保河主讲三定积分的性质设所列定积分都存在记为牛顿莱布尼兹公式变限积分求导公式暨南大学珠海学院苏保河主讲如果f连续四微积分基本公式暨南大学珠海学院苏保河主讲定理设函数暨南大学珠海学院苏保河主讲六定积分的分部积分法暨南大学珠海学院苏保河主讲对称积分偶倍奇零是周期为l的连续周期函数则七计算定积分时注意暨南大学珠海学院苏保河主讲取x为积分变量
a
−=∫ξ6. 00)(≤)(≤推论
定理1)2))(t ϕ)(t ϕ′五、定积分的换元法
5.5 广义积分的审敛法 Gamma函数
3x
arctan
y
3 x2
y
3x x2
arctan
1 x
December, 2004
plot([3/sqrt(x+2)+0.01,3*x*arctan(1/x)/sqrt(x+2)],x=1..50,color=[red,blue],tickmarks=[5,3],thickness=[2,2]);
1 1 x
e dx x de
x
0
0
x e dx
x 0
x
0
[ x e
]
x
1 x
e dx
December, 2004
0
( 1)
[ x e
x 0
]
x
1 x
e dx
0
0 ( ) ( )
y (α )
1
0.8856
y min
(1.4 616 )
0.8856
December, 2004
December, 2004
二、 Γ-函数
The Gamma Function
December, 2004
Γ-函数：
( )
x
0
1 x
e dx
( 0)
无穷区间上的＋无界函数的积分 分解：
( )
1
x
1 x
0
e dx
x
1 x
e dx
05--第五节--广义积分.doc
第五节广义积分我们前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性. 但在某些实际问题中,常常需要突破这些约束条件. 因此在定积分的计算中,我们也要研究无穷区间上的积分和无界函数的积分. 这两类积分通称为广义积分或反常积分,相应地,前面的定积分则称为常义积分或正常积分.分布图示★无穷限的广义积分★无穷限的广义积分几何解释★例1 ★例2 ★例3 ★例4★例5 ★例6★无界函数的广义积分★例7 ★例8 ★例9 ★例10★例11 ★例12 ★例13★内容小结★课堂练习★习题5-5★返回内容要点一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分例题选讲无穷限的广义积分例1 (E01) 计算广义积分.解对任意的有于是因此或例2 (E02) 判断广义积分的敛散性.解对任意因为不存在,故由定义知无穷积分发散.例3(E03) 计算广义积分.解例4 计算广义积分解原式例5(E04)计算广义积分(p是常数, 且时收敛).解注: 其中不定式例6 (E05) 讨论广义积分的敛散性.证因此,当时,题设广义积分收敛,其值为当时,题设广义积分发散.无界函数的广义积分例7(E06) 计算广义积分解原式例8(E07) 计算广义积分.解故题设广义积分发散.例9(E08) 讨论广义积分的敛散性.证因此,当时,广义积分收敛,其值为当时,广义积分发散.例10 计算广义积分瑕点.解,例11 计算广义积分解此题为混合型广义积分,积分上限为下限为被积函数的瑕点. 令则时,时,于是再令取时时于是注: 本题若采用变换等,计算会更简单,请读者自行解之.例12 (E09) 计算广义积分.解被积函数有两个可疑的瑕点:和因为所以, 是被积函数的唯一瑕点.从而例13计算解分母的阶数较高,可利用到代换,令则再令则课堂练习1. 计算广义积分;2. 判断广义积分的瑕点.科教兴国。
第五节 广义积分
cos
1 b
cos
2
1.
例3. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 . 证:当 p =1 时有
ln x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
b
a
f
( x) dx
F (b) F (c )
F(c )
F (a)
可相消吗?
例6. 计算广义积分
解: Q lim 1 , xa0 a2 x2
显然瑕点为 a , 所以
a
dx
a
lim
dx
0 a2 x2 0 0
a2 x2
lim
0
arcsin
当x
1时
,u 4
, 当x
时
, u
2
,
arctanx 1 x 2 dx
2
u
sec 2 u d u
4
tan 2 u
2 u csc 2udu
4
2
4
u
d cotu
[
u
cot
u
]
2
4
2 cot u d u
4
4
[ln
sinu
]
2
4
1 ln 2
γ(x)伽玛函数公式广义积分公式
γ(x)伽玛函数公式广义积分公式伽玛函数是数学中一种常见的特殊函数，其定义为：γ(x) = ∫[0, ∞] t^(x-1) * e^(-t) dt其中，x为一个实数。
这个广义积分公式在数学和物理学中有着广泛的应用。
它在统计学中被用来描述概率分布和估计参数，也被应用于复杂的积分计算和微积分中。
伽玛函数的性质和特点使其在许多领域中非常有用。
下面我们将详细介绍伽玛函数的一些重要性质。
伽玛函数可以通过递归关系进行计算。
对于任意正整数n，有以下递归关系：γ(n) = (n-1)!其中，n!表示n的阶乘。
这个递归关系使得我们可以通过简单的计算得到整数点上的伽玛函数值。
伽玛函数满足互反性质。
具体而言，对于任意的x和y，有以下关系成立：γ(x) * γ(y) = γ(x+y)这个互反性质使得伽玛函数在计算复杂积分时非常有用，因为可以通过分解为多个简单的伽玛函数来求解。
伽玛函数还满足对称性质。
具体而言，对于任意的x，有以下关系成立：γ(x) = (x-1) * γ(x-1)这个对称性质使得伽玛函数的计算更加灵活，可以通过递归的方式来求解。
伽玛函数还可以通过数值方法进行近似计算。
由于伽玛函数的定义为广义积分，存在很多数值积分算法可以用来近似计算其值。
例如，辛普森积分法和龙格-库塔法都可以用来计算伽玛函数的近似值。
在物理学中，伽玛函数经常出现在概率分布中。
例如，指数分布、泊松分布和卡方分布等都与伽玛函数相关。
通过伽玛函数，我们可以计算这些概率分布的特征值，如期望值和方差。
伽玛函数还在复杂积分计算中发挥重要作用。
通过使用伽玛函数的性质和特点，可以将复杂的积分转化为简单的伽玛函数的计算，从而简化计算过程。
γ(x)伽玛函数公式广义积分公式在数学和物理学中具有广泛的应用。
它的性质和特点使得它成为解决复杂计算和概率分布相关问题的重要工具。
通过对伽玛函数的研究和应用，我们可以更好地理解和解决现实世界中的问题。
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f ( x )dx.
b b
a
f ( x )dx lim a f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
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类似地，设函数 f ( x ) 在区间( , b] 上连续，取
a b ，如果极限 lim a f ( x )dx 存在，则称此极
a
b
限为函数 f ( x ) 在无穷区间( , b] 上的广义积 分，记作 f ( x )dx .
b
f ( x )dx
b
lim a f ( x )dx
a
b
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
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类似地，设函数 f ( x ) 在区间[a , b ) 上连续， 而在点b 的左邻域内无界 . 取 0 ，如果极限
0
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lim a
b
f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
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例 32 证明广义积分 1 当 p 1时发散.
1 dx 当 p 1时收敛， p x
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1 1 , dx dx ( 1 ) p 1 , ln x 证 1 x p 1 1 x , p 1 1 p 1 x ( 2) p 1, dx 1 p 1 x , p1 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
dx . 2 1 x
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0 dx dx dx 解 0 2 1 x 2 1 x 1 x2 0 b 1 1 lim a dx lim 0 dx 2 2 a 1 x b 1 x
lim arctan x a lim arctan x 0
b
b
在区间[a , b ) 上的广义积分， 记作a f ( x )dx lim a
0
f ( x )dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
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设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上除点c (a c b ) 外连 c 的邻域内无界.如果两个广义积分 续，而在点
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在点 a 的右邻域内无界．取 0 ，如果极限
0
lim a f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
b
在区间( a , b]上的广义积分，记作 a f ( x )dx .
a f ( x )dx lim 0 a
b
b
f ( x )dx
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例 33
证明广义积分 a e
px
dx 当 p 0 时收敛，
px b
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当 p 0 时发散.
证
a
e
px
dx lim a e
b
b px
e pa e pb lim b p p
f ( x )dx f ( x )dx 0
0 b a b
0
f ( x )dx
lim a f ( x )dx lim 0 f ( x )dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
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例30 计算广义积分
0 b a b
lim arctan a lim arctan b . a b 2 2
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例31 计算广义积分 解
2
1 1 sin dx . 2 x x
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2
1 1 1 1 sin dx 2 sin d 2 x x x x
lim
b
2
1 1 1 sin d lim cos x x x b 2
b
1 lim cos cos 1. b b 2
a f ( x )dx 和c
b
c
b
f ( x )dx 都收敛，则定义
c b
a f ( x )dx a f ( x )dx c
lim a
0
c
f ( x )dx
b
f ( x )dx lim c f ( x )dx
第五节 广义积分和 Γ函数
目录
LOGO 1 2 3 4 5
无穷区间上的广义积分 被积函数有无穷间断点的广义积分 Γ函数
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一、无穷区间上的广义积分
定义 4-2 设函数 f ( x ) 在区间[a , ) 上连续， 取
b b
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b a ，如果极限 lim a f ( x )dx 存在，则称此极
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设函数 f ( x ) 在区间 ( , ) 上连续 , 如果 广义积分 f ( x )dx 和 0
0
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f ( x )dx 都收敛，则
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( , ) 上的广义积分，记作 f ( x )dx .
e dx lim b p a e ap , p0 p , p0
即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
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二、被积函数有无穷型间断点的广义积分
定义 4-3
b
设函数 f ( x ) 在区间( a , b]上连续，而