第五章 一阶电路的瞬态分析
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一阶电路的瞬态分析
（1）计算 t = 0+ 电路时，电容电压不变，因此
电容等效于一直流电压源，数值为 UC (0- ) 。
UC (0- )
UC (0- )
电路分析
（2）计算 t = 0+ 电路时，电感电流不变，因此
电感等效于一直流电流源，数值为 iL (0- ) 。
iL (0- )
iL (0- )
由原电路画出t=0时的等效电 路，得：
iL (0- ) =
US R1 + R3
= 1A,
uC (0- ) = iL (0- ) × R3 = 4V
当t=0 瞬间，闭合，由换路定则可知：
iL (0+ ) = iL (0- ) = 1 A， uC (0+ ) = uC (0- ) = 4V
t=0+时刻的等效电路如图b）所示，它是一个典型的直流电 阻电路，其中 uL (0+ ) = uC (0+ ) - R3iL (0+ ) = 0V
iC
(0+
)
=
-iL
(0-
)
=
-
US R1 + R2
,
UR2 (0+ )
= il (0- )R2
=US
R2 R1 + R2
U L (0+ ) = -U R2 + UC (0- ) = 0
电路分析
R1
R2
K
Us
C uc
iL L
等效电路如图
R1
uR2 R2
iC
uc(0 )
Us
uL iL(0 )
电路分析
+ uC
=
U
电工电子技术基础 第2版 第5章 一阶电路暂态分析
i(0 )
S +
U -
+
u0 (0 ) R2
-
uC (0 )＝uC (0－)＝0V
iC
(0
)＝Biblioteka U R26V 20k0.3 mA
u0 (0 )＝6V
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第5章 一阶电路暂态分析——暂态过程与换路定则
3.t 等效电路
i
S
U
C uC
R1
u0 R2
L短路 C开路
i() U 6V 0.2mA R1 R2 30kΩ
L短路
t 0 C开路
L短路
t
C开路
L电感
C电容
返回
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第5章 一阶电路暂态分析——暂态过程与换路定则
L恒流源如电流为0，则将恒流源断开处理
t 0＋ C恒压源如电压为0，则将恒压源短路处理
iL(0_)
＋
uC(0_)
－
iL(0+)
电感的等效变换
iL(0+)=0A时
＋
uC(0+)
分析瞬态过程产生条件和原因，引伸确定储能元
件的初始值换路定律，用经典分析方法导出RC一阶
电路的零输入响应、零状态响应及全响应。分析三要
素法组成，利用三要素法分析RL一阶电路的零输入响
应、零状态响应及全响应，强化三要素法具体应用。 理解瞬态过程中电压和电流随时间变化的规律和
物理意义以及时间常数对瞬态过程的影响，充分利用 瞬态过程的特性为人类服务，避免它造成危害和损失。
+ uC () –
i()
S
U
R1 +
u0 () R2
第十讲一阶电路的瞬态分析
=3mA
i(0+)=i1(0+)+i2(0+)=4.5mA
计算结果
电量 i
i1=iL
i2
uC
uL
t=0- 1.5mA 1.5mA 0
3V 0
t=0+ 4.5mA 1.5mA 3mA 3V 3V
返回
小结：换路初始值的确定
1. t=0- ：电感相当于短路;电容相当于开路. 2.换路后 t=0+ 瞬间： 电容 uC(0+) = uC(0 -)=US 相当于数值为US的理想电压源
S iR
t=0
+
+
RC
duＣ dt
+
uＣ=
UＳ
US –
C uC uＣ( t ) = u '+ uＣ'' –
设uＣ' =K（常量），则
dK RC dt + K= UＳ
所以 K=UＳ ， uＣ' = UＳ
即：稳态时电容两端的电压值，称之为稳态解。
uＣ(∞ ) =UＳ
返回
(2）通解uＣ''
是齐次微分方程
一般一阶电路 只含有一个储能 元件。
分析方法
经典法： 通过列出和求解电路的 微分方程，从而获得物 理量的时间函数式。
三要素法：在经典法的基础上总结 出来的一种快捷的方法， 只适用于一阶电路。
返回
1. 一阶RC 电路瞬态过程的微分方程
图示电路，当 t = 0 时， S i R
开关 S 闭合。列出回路电压
1 <2<3
0.368US
0 1 2
3
t
返回
(3) RC 电路的全响应
第 一阶动态电路分析PPT课件
t
t
－
uC uC (0 )e U0e RC
1S 2
R
iC +
C －uC
第24页/共34页
放电电流
iC
C
duC dt
U0 R
t
e RC
t
iC (0 )e RC
放电过程的快慢是由时间常数τ决定。 uC，iC
τ越大，在电容电压的初始值U0一定 的情况下，C越大，电容存储的电
式中，f(0+)为待求电流或电压的初始值，f(∞)为待求电流 或电压的稳态值，τ为电路的时间常数。 对于RC电路，时间常数为：
RC
对于RL电路，时间常数为：
L
R
第15页/共34页
例：图示电路，IS=10mA，R1=20kΩ，R2=5kΩ，C=100μF。 开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用 三要素法求开关闭合后的uC。
第17页/共34页
例：图示电路，US1=9V，US2=6V ，R1=6Ω，R2=3Ω，L=1H。 开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用
三要素法求开关闭合后的iL和u2。
解：（1）求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态，
故在瞬间电感L可看作短路，因此：
iL (0 ) iL (0 )
R3
R1 R2
+
U
－
iC
+
C －uC
R0
iC +
+
C －uC
US
－
iC
IS
R0
+ C －uC
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。一阶 动态电路的分析方法有经典 法和三要素法两种。
电工电子技术课程课件一阶电路瞬态响应
学习一阶电路瞬态响应 的基本分析方法。
阶电路瞬态响应的数学模型
一阶电路的微分方程
通过微分方程描述一阶电路 的瞬态响应。
一阶电路的传递函数
了解一阶电路传递函数的定 义和应用。
瞬态响应的数学表达式
掌握瞬态响应的数学表达式 及其意义。
一阶电路瞬态响应的实际分析
1
电路初始状态的确定
确定电路的初始电流和电压状态。
未来发展方向和趋势
展望一阶电路瞬态响应领域的未来发展方向和趋势。
电工电子技术课程课件一 阶电路瞬态响应
欢迎学习电工电子技术课程中的一阶电路瞬态响应。本课件内容涵盖了基础 知识回顾、数学模型、实际分析和总结与展望等内容。让我们一起深入了解 吧！
基础知识回顾
电路一阶线性元件 的定义
了解一阶线性元件的概 念和特性。
RC电路的基本概念
掌握RC电路的组成和工 作原理。
一阶电路的瞬态分 析基本方法
瞬态响应的电流、电压关系
2
及其图像
分析瞬态响应过程中电流和电压的
关系以及图像。
3
实际应用中的瞬态响应分析
探索一阶电路瞬态响应在实际应用 中的分析方法和应用场景。
总结与展望
一阶电路瞬态响应的重要性
总结一阶电路瞬态响应对电路性能的重要影响。
瞬态响应分析的应用范围
探讨瞬态响应分析在工程领域中的广泛应用。
阶电路瞬态响应的数学模型
一阶电路的微分方程
通过微分方程描述一阶电路 的瞬态响应。
一阶电路的传递函数
了解一阶电路传递函数的定 义和应用。
瞬态响应的数学表达式
掌握瞬态响应的数学表达式 及其意义。
一阶电路瞬态响应的实际分析
1
电路初始状态的确定
确定电路的初始电流和电压状态。
未来发展方向和趋势
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电工电子技术课程课件一 阶电路瞬态响应
欢迎学习电工电子技术课程中的一阶电路瞬态响应。本课件内容涵盖了基础 知识回顾、数学模型、实际分析和总结与展望等内容。让我们一起深入了解 吧！
基础知识回顾
电路一阶线性元件 的定义
了解一阶线性元件的概 念和特性。
RC电路的基本概念
掌握RC电路的组成和工 作原理。
一阶电路的瞬态分 析基本方法
瞬态响应的电流、电压关系
2
及其图像
分析瞬态响应过程中电流和电压的
关系以及图像。
3
实际应用中的瞬态响应分析
探索一阶电路瞬态响应在实际应用 中的分析方法和应用场景。
总结与展望
一阶电路瞬态响应的重要性
总结一阶电路瞬态响应对电路性能的重要影响。
瞬态响应分析的应用范围
探讨瞬态响应分析在工程领域中的广泛应用。
电工电子技术基础知识点详解第5单元 一阶电路暂态分析(自学版)
L iL
＋ uL －
＋
＋
iC
US
uC C
S
－
－
＋ －
uR
R iR
uR ( 0 ) = RiR ( 0 ) = ( 5 1) V = 5 V
iC ( 0 ) = IS + iL ( 0 ) = ( 5 + 1) A = 6 A
uL ( 0 ) = US－uR ( 0 ) －uC ( 0 ) = ( 5 －5 －0 ) V = 0 V
C2 u C1＋C2
u2 =
C1 u C1＋C2
＋＋
u1 －
C1
u＋
u2 －－
C2
电容并联时
C＝ C1＋C2
＋
u
C1 C2
－
14
电容图片
复合介质电容
钽电解电容
铝电解电容
真空电容
陶瓷电容
薄膜电容
云母电容
15
二、电感
电感是用来表征 电路中磁场能量
i
＋
i ＋
储存这一物理性
ue
Nu eL
质的理想元件。
－
换路前，开关 S 断开
且电路已稳定。
I0
iL ( 0 ) = I0
iL
＋ R uL L
－
换路后，开关 S 闭合。
iL ( ) = 0
零输入响应
换路后外部激励为零，在内部储能作用下，电感电流将从初始
值 I0 逐渐衰减到零。
42
根据 KVL ，由换路后 的电路列出回路方程式
RiL＋uL = 0
I0
而
uL
RiC＋uC = 0
＋
而
iC
=
电工电子技术第5章一阶电路的暂态分析
∴
dW ≠∞ dt
→W(t) 是连续函数（不能跃变）。
结论 ①具有储能的电路在换路时产生暂态是一种自然现象。 ②无论是直流电路还是交流电路均有暂态。
三、名词术语
激励：电路从电源（包括信号源）输入的信号 统称为激励。 响应：电路在外部激励的作用下，或者在内部 储能的作用下产生的电压和电流统称为响应。 阶跃激励
例5.3 已知 U0 = 18 V， S 合上前电路为稳 态，当 t = 0 时将 S 合上。求 uC (t) 和 i (t) 。
解：(1) 求 uC (t) ∵ S 合上前电路为稳态，
∴ uC (0－) = 0 则 uC (0＋) = uC (0－) = 0 原电路等效为右下图，
磁场能量:
WL =∫p dt
=∫u i dt
=
1 2L
i
2
结论
① 当 i = 0 时，WL = 0；当 u = 0 时，WL ≠ 0 。 ② 电感电流是电感的状态变量。
i ＋－ ue L －＋
2. 电容（线性电容） q=Cu
dq
du
i = dt = C dt
瞬时功率: du
p = u i = C u dt
iS i2 R2 6
例5.2 图示电路，已知 S 合上前电路为稳
态，当 t = 0 时将 S 合上。求 iL 和 uL 的初始值 和稳态值。
解：(1) 求初始值 对于稳态直流电路
uL (0－) = 0
R1
iL
10 k ＋
IS
L uL －
S 30 mA
iL (0－) =
RR1＋2=IR1S02 mA
p=－
1 RC
时间常数 = RC (s)
一阶电路瞬态过程的分析方法探究
ｉ ＝ （ １ 一 ｅ 。 ＿ ） ＝ （ １ 一 ｅ
Ｌ２ｔ ￣
十ｌ 以 Ｊ ｌ Ｌ１ ｎ
之 间 的关 系 ｉ ＿ ｃ
ｄｔ
来分析研究瞬态过程 的一种
）
方法． 下面通过具体 的实例加 以介绍 ： 在右 图的电路 中，两线圈的 自感分别为 Ｌ 。 和
Ｌ ２ ， 电阻 为零 ， 两 者之 间无 互 感耦 合 ， 电源 的 内阻 已 计入 Ｒ中 ， 设 开 关 闭合 前各 支 路无 电流 ， 设ｔ ＝ Ｏ ， 开 关 闭合 ， 各 支路 电流 如 图所 示 ， 则 根 据 基尔 霍 夫 定 律有 ：
１ 基尔 霍夫 定律 分析 法
￡
对 以上 各式 整理 ， 有：
￡一
酱 ＝ Ｒ ｉ 若 令 搓则
ｉ Ｒ 很显 然这 是一 阶微分 方 程 ，故该 电
利用 基 尔霍 夫 电流 定律 ： 对 于任 一 节 点 ， 所 有 与之 相 边 的 支路 电 流 的 代 数 和 恒 等 于 零 ，即 ： ∑ ｉ ＝ ０ ； 电 压定 律 ： 对 于 任一 回路 ， 所 有支 路 电压 的代
数 和 恒 等 于零 ， 即： ∑ｕ ＝ Ｏ ； 以及 电感感 应 电动 势 与
８ 一 Ｌ
路为一阶电路． 该微分方程经计算整理后得出各支
路 电流为 ：
电流的关系： ｅ ＝ 一 Ｌ ； 电容 的电压 与 电容 电流
ｄｔ
１
ｆ ：ｆ ３ ８ 一 ｉ Ｒ ３ Ｌ
电路的结构与参数决定的常数 由数 学 知识 可知 微分 方程 （ １ ） 的解 为 ：
ａ一
电流 ｉ 和ｉ 随时间变化的规律 ：
ｙ （ ｔ ） ＝ ｅ ｆ ｅ ｔ ） ｄ ｔ ＋ ｃ ｅ ＝ ｙ （ ｔ ） ＋ ｙ ｈ （ ｆ ）
Ｌ２ｔ ￣
十ｌ 以 Ｊ ｌ Ｌ１ ｎ
之 间 的关 系 ｉ ＿ ｃ
ｄｔ
来分析研究瞬态过程 的一种
）
方法． 下面通过具体 的实例加 以介绍 ： 在右 图的电路 中，两线圈的 自感分别为 Ｌ 。 和
Ｌ ２ ， 电阻 为零 ， 两 者之 间无 互 感耦 合 ， 电源 的 内阻 已 计入 Ｒ中 ， 设 开 关 闭合 前各 支 路无 电流 ， 设ｔ ＝ Ｏ ， 开 关 闭合 ， 各 支路 电流 如 图所 示 ， 则 根 据 基尔 霍 夫 定 律有 ：
１ 基尔 霍夫 定律 分析 法
￡
对 以上 各式 整理 ， 有：
￡一
酱 ＝ Ｒ ｉ 若 令 搓则
ｉ Ｒ 很显 然这 是一 阶微分 方 程 ，故该 电
利用 基 尔霍 夫 电流 定律 ： 对 于任 一 节 点 ， 所 有 与之 相 边 的 支路 电 流 的 代 数 和 恒 等 于 零 ，即 ： ∑ ｉ ＝ ０ ； 电 压定 律 ： 对 于 任一 回路 ， 所 有支 路 电压 的代
数 和 恒 等 于零 ， 即： ∑ｕ ＝ Ｏ ； 以及 电感感 应 电动 势 与
８ 一 Ｌ
路为一阶电路． 该微分方程经计算整理后得出各支
路 电流为 ：
电流的关系： ｅ ＝ 一 Ｌ ； 电容 的电压 与 电容 电流
ｄｔ
１
ｆ ：ｆ ３ ８ 一 ｉ Ｒ ３ Ｌ
电路的结构与参数决定的常数 由数 学 知识 可知 微分 方程 （ １ ） 的解 为 ：
ａ一
电流 ｉ 和ｉ 随时间变化的规律 ：
ｙ （ ｔ ） ＝ ｅ ｆ ｅ ｔ ） ｄ ｔ ＋ ｃ ｅ ＝ ｙ （ ｔ ） ＋ ｙ ｈ （ ｆ ）
电路的瞬态分析.ppt
1
第一节 瞬态过程的基本知识
第二节 RC电路的瞬态过程
第三节 微分电路与积分电路
第四节 RL电路的过渡过程
概述:
1.电路的稳定状态
前几章讨论的电路中电压、电流等，都是某一 稳定值或某一稳定时间函数，这种状态称为电路 的稳定状态，简称稳态。
2.电路的瞬态过程 当电路中的电压、电流等从原来的稳定值或时 间函数变为另一稳定值或时间函数，即电路从原 来的稳态变换到新的稳态，需要经历一定的时间， 这一变换过程也称为电路的瞬态过程，旧称过渡 过程。
t
0
0
2
3
4
5
0.993
∞ 1
uC
0.632 0.865
uc
0.950 0.982
uC (∞)=U
0. 950U
o
2 3 4 5
0. 632U
0. 865U
0. 632U
0. 982U
0. 993U
t
30
第二节 RC电路的瞬态过程
电容充电时电压的变化
t
0 0
2
3
4
5
O
37
t
归纳
第二节 RC电路的瞬态过程
RC电路的过渡过程 1.一阶电路：只含有一个储能元件的电路。
2.求解方法：三要素法 3.三要素法 一般形式 f ( t ) f ( ) f (0 ) f ( )e f (0 )-- 初始值 f ( ) -- 稳态值 -- 时间常数 求解步骤
uC (0 ) uC (0 ) 0 iL (0 ) iL (0 ) 2A
19
第一节 瞬态过程的基本知识
3.开关S闭合后瞬间电感、电容、电阻上的电流 电感中电流不变。用2A电流源代替电感。 电容两端电压不变（相当于短路），用 0V电压源代替电容。 iL 电流源iL (0+) 电压源uc (0+) S
第一节 瞬态过程的基本知识
第二节 RC电路的瞬态过程
第三节 微分电路与积分电路
第四节 RL电路的过渡过程
概述:
1.电路的稳定状态
前几章讨论的电路中电压、电流等，都是某一 稳定值或某一稳定时间函数，这种状态称为电路 的稳定状态，简称稳态。
2.电路的瞬态过程 当电路中的电压、电流等从原来的稳定值或时 间函数变为另一稳定值或时间函数，即电路从原 来的稳态变换到新的稳态，需要经历一定的时间， 这一变换过程也称为电路的瞬态过程，旧称过渡 过程。
t
0
0
2
3
4
5
0.993
∞ 1
uC
0.632 0.865
uc
0.950 0.982
uC (∞)=U
0. 950U
o
2 3 4 5
0. 632U
0. 865U
0. 632U
0. 982U
0. 993U
t
30
第二节 RC电路的瞬态过程
电容充电时电压的变化
t
0 0
2
3
4
5
O
37
t
归纳
第二节 RC电路的瞬态过程
RC电路的过渡过程 1.一阶电路：只含有一个储能元件的电路。
2.求解方法：三要素法 3.三要素法 一般形式 f ( t ) f ( ) f (0 ) f ( )e f (0 )-- 初始值 f ( ) -- 稳态值 -- 时间常数 求解步骤
uC (0 ) uC (0 ) 0 iL (0 ) iL (0 ) 2A
19
第一节 瞬态过程的基本知识
3.开关S闭合后瞬间电感、电容、电阻上的电流 电感中电流不变。用2A电流源代替电感。 电容两端电压不变（相当于短路），用 0V电压源代替电容。 iL 电流源iL (0+) 电压源uc (0+) S
阶电路的瞬态分析
02 阶电路的基本概念
阶电路的定义
阶电路
指电路中只有一个储能元件的线性时 不变电路。
阶电路的动态过程
当输入信号作用于阶电路时，电路的 输出信号会随时间变化，这个过程称 为阶电路的动态过程。
阶电路的分类
01
02
03
一阶RC电路
由一个电阻和一个电容组 成的电路。
一阶RL电路
由一个电阻和一个电感组 成的电路。
时间常数
阶电路的时间常数是描述动态过程快慢的参数，它决定了输出信号达到稳态值所需的时间 。
03 阶电路种基于微分方程的瞬 态分析方法，通过求解电路的微 分方程来计算电流和电压的瞬态
响应。
经典法适用于线性时不变电路， 对于非线性或时变电路，需要采
用其他方法。
经典法的精度取决于微分方程的 求解精度，可以通过增加求解步 数或采用高阶微分方程来提高精
一阶RL电路的瞬态分析
总结词
一阶RL电路的瞬态分析主要研究电感 电流和电压的变化过程。
详细描述
在接通电源的瞬间，电感开始励磁， 电流和电压均从零开始逐渐增加。在 时间常数（T=L/R）后，电感电流达 到稳态值，电压逐渐减小至零。
二阶RLC电路的瞬态分析
总结词
二阶RLC电路的瞬态分析主要研究振荡频率和相位角的变化过程。
详细描述
在接通电源的瞬间，电路开始振荡，振荡频率和相位角均发生变化。在达到谐振状态时，振荡频率达到最大值， 相位角达到90度。在阻尼状态下，振荡逐渐减弱并最终消失。
05 结论
阶电路瞬态分析的意义
01
阶电路瞬态分析是研究电路从 无到有、从静到动的过程，对 于理解电路的工作原理和性能 至关重要。
02
调整和优化提供依据。
5一阶电路瞬态分析5-2详解
i2(0+)
0+电路
例：图示电路，t<0时，S闭合，电路已达稳态， t=0时，
S断开，求： iL(0+)、 iC(0+)、 uC(0+) 、uR2 (0+)、 uR3
(0+)、 uL(0+)
S 5 20
解:
iL
(0
)
50 55
5A
iL (0 )
+ + uR3-
+ 50V
uiRL2-
5 +
iC
+
－
§5-2 一阶电路的瞬态分析
一、动态电路 1. 稳态 (1) 不随时间发生变化； (2) 周期性地变化； ——称为电路的稳定工作状态。 2. 瞬(暂)态
含有动态元件的电路发生“换路”(或工作条件 发生变化)，需经历一个稳态到另一个稳态的 过渡，此过渡过程称为暂(瞬)态过程。
例：电路如图所示 ：
当K合上之前， i=0，uR=0，
的通解。
RC
duC dt
uC
0
待定积分常数
RC
di(t) dt
LC
di2 (t) dt 2
i(t)
C
duS dt
(二阶微分方程 )
RC di i C duS
dt
dt
(一阶微分方程)
含L、C的电路称为动态电路 。 将L、C元件称为动态元件。 一般情况下，当电路中含有： 一个储能元件描述为一阶微分方程 ——一阶电路
二个储能元件描述为二阶微分方程 —— 二阶电路
Ri，i
C
duC dt
代入，得：
RC
duC dt
uC
第5章 一阶电路的暂态分析
u C (0 ) u C (0 ) 0
开关闭合后电路中的电压和电流微分方程为
RC
求解该微分方程得
u C (t ) U S (1 e
t
d uC uC U S dt
t≥ 0
R S t=0
)
US
流经电容电流
du U iC C C S e t dt R
C
uc
24
2. 电流 iC 的变化规律
duC U iC C e t0 dt R
3. uC 、i C 变化曲线 t u U ( 1 e RC )
C
t
为什么在 t = 0 时电流最大？
iC uC
U
uC
4. 时间常数 的物理意义 当t=时
1
U R
iC
t
uC ( ) U (1 e ) 63.2%U
R1
US
UC(0+)
在 t = 0- 时刻的电路如图（b） 所示，电容可用电压源 uc(0+) = 6V代替。可得
（b）
u R 1 (0 ) U S U C (0 ) 10 6 4 V
u R 2 (0 ) 0
10
第5章 一阶电路的暂态分析
[例2] 确定图（a）所示电路中iL、uL的初始值，其中 US = 10V，R1 = 1.6k Ω ，R2 = 6 kΩ ， R3 = 4 k Ω , L = 0.2H，设开关断开前电路处于稳态。
1 2 ∵ C 储能：WC CuC 2
uc 发生突变，
\ uC 不能突变
1 2 ∵ L储能： W L LiL \ i L不能 突变 2
第5章 一阶电路的暂态分析
开关闭合后电路中的电压和电流微分方程为
RC
求解该微分方程得
u C (t ) U S (1 e
t
d uC uC U S dt
t≥ 0
R S t=0
)
US
流经电容电流
du U iC C C S e t dt R
C
uc
24
2. 电流 iC 的变化规律
duC U iC C e t0 dt R
3. uC 、i C 变化曲线 t u U ( 1 e RC )
C
t
为什么在 t = 0 时电流最大？
iC uC
U
uC
4. 时间常数 的物理意义 当t=时
1
U R
iC
t
uC ( ) U (1 e ) 63.2%U
R1
US
UC(0+)
在 t = 0- 时刻的电路如图（b） 所示，电容可用电压源 uc(0+) = 6V代替。可得
（b）
u R 1 (0 ) U S U C (0 ) 10 6 4 V
u R 2 (0 ) 0
10
第5章 一阶电路的暂态分析
[例2] 确定图（a）所示电路中iL、uL的初始值，其中 US = 10V，R1 = 1.6k Ω ，R2 = 6 kΩ ， R3 = 4 k Ω , L = 0.2H，设开关断开前电路处于稳态。
1 2 ∵ C 储能：WC CuC 2
uc 发生突变，
\ uC 不能突变
1 2 ∵ L储能： W L LiL \ i L不能 突变 2
第5章 一阶电路的暂态分析
电工技术(第三版 席时达)教学指导、习题解答 第五章
第五章 电路的瞬态分析【引言】①○2当电路发生接通、断开、联接方式改变及电路参数突然变化时，电路将从一种稳态变换到另一种稳态，这一变换过程时间一般很短，称为瞬态过程或简称瞬态（也称暂态过程或过渡过程）。
○3学习目的和要求１、了解产生瞬态过程的原因和研究瞬态过程的意义。
２、掌握分析一阶电路的三要素法。
理解初始值、稳态值、时间常数的概念。
３、理解ＲＣ电路和ＲＬ电路瞬态过程的特点。
４、了解微分电路和积分电路本章重点：分析一阶电路的三要素法，ＲＣ电路的充放电过程。
本章难点：初始值的确定。
5-1 瞬态过程的基本知识一、电路中的瞬态过程【演示】用根据图5-1-1制作的示教板。
观察开关S 合上瞬间各灯泡点亮的情况。
稳定状态（简称稳态）瞬态分析的目的 交流电路：电压、电流为某一稳定的时间函数直流电路：电压、电流为某一稳定值掌握瞬态过程规律，获得各种波形的电压和电流。
防止出现过电压或过电流现象，确保电气设备安全运行。
【讲授】开关S合上瞬间二、换路定律【讲授】①换路定律是表述换路时电容电压和电感电流的变化规律的，即换路瞬间电容上的电压和电感中的电流不能突变。
②设以换路瞬间作为计时起点，令此时t＝０，换路前终了瞬间以t＝０—表示，换路后初始瞬间以t ＝０+表示。
则换路定律可表示为：u C（０+）= u C（０—）换路瞬间电容上的电压不能突变i换路瞬间电感中的电流不能突变【说明】①换路定律实质上反映了储能元件所储存的能量不能突变。
因为W C=21CuC2、W L=21LiL2，u C和i L的突变意味着能量发生突变，功率p=twdd趋于无穷大，这是不可能的。
②当电路从一种稳定状态换路到另一种稳定状态的过程中，u C和i L必然是连续变化的，不能突变。
这种电流和电压的连续变化过程就是电路的瞬态过程。
③电阻是耗能元件，并不储存能量，它的电流、电压发生突变并不伴随着能量的突变。
因此由纯电阻构成的电路是没有瞬态过程的。
(完整版)拉普拉斯变换在一阶和二阶电路的瞬态分析
拉普拉斯变换在一阶和二阶电路的瞬态分析
内容摘要：（1）一阶电路的解法：经典解法和拉普拉斯解法（2）二阶电路的拉普拉斯解法
通过这两个例子中的经典解法和拉普拉斯解法的对比来体现出拉普拉斯变换在解决复杂电路问题的快捷、省时、简便优越性！
关键词：拉普拉斯变换、一阶电路、二阶电路
引言：通常研究电路的稳态只要利用代数方程就行了，而研究电路的瞬态就需要借助于微分方程。
因为只有微分方程才能不仅表明状态而且能表明状态的变换即过程！在分析解决电路瞬态问题时每一个不同的电路瞬态就要建立一个微分方程，解决一些简单问题的微分方程对我们打学生来说相对比较容易一些，而对于一些复杂的高阶微分方程将是一个大难题！本文将通过对一阶电路和二阶电路的微分方程的分析来证明拉普拉斯变换在解决瞬态电路问题是优越性！
正文：随着计算机的飞速发展,系统分析和设计的方法发生了革命化的变革，原来用传统的模拟系统来进行的许多工作现在都可以用数学的方法来完成。
因此，数学电路、离散系统的分析方法就更显的重要了。
拉普拉斯变换一直是分析这类系统的有效方法。
下面用一个实例来证明其的优越性！
例一有一个电路如下图所示，其电源电动势为E=EmSinwt(Em、w都
是常数)，电阻R 和电感L 都是常量，求电流i(t).
解法一——传统法
有电学知识知道，当电流变化时，L 上有感应电动势——L
(t →0)
Us R i +
-。
一阶电路的瞬态分析
在含有储能元件的电路中发生换路，从而导致电 路中的能量关系发生改变是电路中产生瞬态的原因。
S(t 0)
iR
R1
U
S
R2 uR
S(t 0)
iC
R
1
U
S
C uC
S(t 0)
iL
R1
U
S
L uL
S闭和前 iR 0, uR 0 W2 0
iC 0, uC 0 WC 0
iL 0, uL 0 WL 0
求出uC(0-)和iL(0-)
电路的过渡过程往往为时短暂，所以电路在过渡过程中的工作状态常称为瞬态(暂态)，因而过渡过程又称为瞬态过程。
___表示该电路的时间常数
___表示该电路的时间常数
合并成等效电容C，其等效电 ——即电路的接通，断开、短路、开路，电源电压改变或电路参数改变; 即：要求电源的功率为无穷大，这显然是不可能的。
iL
2 (0 ) uC1 (0
iL2 (0 ) ) uC2 (0
0 )
0
由此画出t=0+时的等效电路如下图：
R1
iR1 R1
2
S(t 0)
L1 1H C1 1mF
R2
U
S
10V
C2
8
2mF
L2
2H
S(t 0) 2 iL1(0 ) 0 iC1
L1
iRu2L1
C1
R2
uC1(0 ) 0
一阶电路的瞬态响应分析
S(t 0)
2
iC
1 R1
US
C
uR uC US
uR
uR Ri
uC
i C duC dt
RC duC dt
S(t 0)
iR
R1
U
S
R2 uR
S(t 0)
iC
R
1
U
S
C uC
S(t 0)
iL
R1
U
S
L uL
S闭和前 iR 0, uR 0 W2 0
iC 0, uC 0 WC 0
iL 0, uL 0 WL 0
求出uC(0-)和iL(0-)
电路的过渡过程往往为时短暂，所以电路在过渡过程中的工作状态常称为瞬态(暂态)，因而过渡过程又称为瞬态过程。
___表示该电路的时间常数
___表示该电路的时间常数
合并成等效电容C，其等效电 ——即电路的接通，断开、短路、开路，电源电压改变或电路参数改变; 即：要求电源的功率为无穷大，这显然是不可能的。
iL
2 (0 ) uC1 (0
iL2 (0 ) ) uC2 (0
0 )
0
由此画出t=0+时的等效电路如下图：
R1
iR1 R1
2
S(t 0)
L1 1H C1 1mF
R2
U
S
10V
C2
8
2mF
L2
2H
S(t 0) 2 iL1(0 ) 0 iC1
L1
iRu2L1
C1
R2
uC1(0 ) 0
一阶电路的瞬态响应分析
S(t 0)
2
iC
1 R1
US
C
uR uC US
uR
uR Ri
uC
i C duC dt
RC duC dt
一阶电路瞬态分析
1 K
4 L iL
+
uL
t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+)
-
uL ( 0 ) 0 uL ( 0 ) 0
10 2A 先求 i L (0 ) 1 4
由换路定律: 0+电路 1
iL(0+)= iL(0-) =2A
4
+
10V 2A uL
uL ( 0 ) 2 4 8V
1.
二. 换路定律（开闭定则） 1 t 1 0 1 uC ( t ) i ( )d i ( )d C C C t 1 + i uC (0 ) i ( )d uc C 0 - C t = 0+时刻
t 0
i ( )d
q =C uC
y( t ) y( 0 )e
t
2. 衰减快慢取决于时间常数。RC电路 = RC, RL电路 = L/R
R等
C
= R等C
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
§5-3 零输入响应
K(t=0)
uC (0-)=U0
§5-4 一阶电路的零状态响应
一、RC电路的零输入响应
K(t=0)
uC (0-)=U0
i
R
pt
解: uR uC 0
d uC i C dt
C
uC
–
+
uR
–
+
d uC RC uC 0 dt uC ( 0 ) U 0
设 uC Ae
请简述你对一阶瞬态电路中稳态分量和瞬态分量的理解。
请简述你对一阶瞬态电路中稳态分量和瞬态
分量的理解。
一阶瞬态电路指的是电路中包含一阶电容或电感元件的电路。
稳
态分量和瞬态分量是描述电路响应的两个方面。
稳态分量是指电路在长时间稳定运行后的电压或电流分量，即当
电路达到稳定状态时的电压或电流数值。
在一阶瞬态电路中，稳态分
量主要受到直流电源或直流偏置的影响，是电路长时间内的稳定输出。
瞬态分量是指电路在刚刚接通或改变输入信号时产生的暂时性的
电压或电流分量。
由于电容或电感的存在，电路在初始时刻会经历一
个瞬时变化过程，直到达到稳态。
在这个变化过程中，电路的输出会
发生短暂的变化，即瞬态分量。
瞬态分量的持续时间一般很短，随着
时间的推移，电路逐渐趋于稳定。
总结来说，稳态分量描述了电路在长时间稳定状态下的电压或电流，而瞬态分量描述了电路在接通或输入信号改变时的暂时性的电压
或电流变化。
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t 0
t
当 t 0 ，而 iC 为有限值，则有 UC (0 ) UC (0 )
（2）电感电流在换路前后的值不变
R
iL (0 ) iL (0 )
Us
K(t=0)
L
iL
由
UL
L diL dt
lim L iL t0 t
lim L iL (0 ) iL (0 )
t 0
t
当 t 0 而 U L 为有限值时，则有 iL (0 ) iL (0 ) 。
t RC
R
y(t) y(0 )et t 0
t0
零输入响应是初始值的线性函数，满足
齐次性，可加性
U0：
uC
U0e
t
t0
KU0 ： uC KuC KU0et
t0
U01+U02：
uC
(U01
U02
)e
t
U01et
U02e t
（b) 能量传输
t=0
电容能量：
wC
(0
)
1 2
例：如果电容原来不带电，在开关闭合时，电容
电压从0变为U s 。电容电流
RK
iC
C
dUc dt
lim C t 0
U t
lim C Us 0 .
t 0
t
Us
C Uc
若电容电压能“瞬间”从0升到 U s ，则必需有:
ic
C
US t
0
电容电压上升需要时间！
例：原来电感 iL 0，
K闭合稳态时
iL
iC 和 uL 不连续。
duC iC , diL vL dt C dt L
因此：uC 的导数和 iL 的导数
在换路前后都是不连续的
第三节 一阶电路的零输入响应
零输入响应：当换路后的电路无外加激 励源，仅由储能元件的初始储能引起的 响应
利用一阶微分方程描述的电路称为一阶 电路
一、RC电路零输入响应
4 V R2
0V 2A
uC1(0 ) uC1(0 ) 4 V uC2 (0 ) uC2 (0 ) 0 V iL (0 ) iL (0 ) 2 A
R1
IS
iR1
iR1(0 )
iR2 (0 )
1 2[IS
iL (0
)]
1
A
4 V R2
0V 2A
可以看到：换路前后瞬间 uC 和 iL 连续；
UC (0 ) US
R2 R1 R2
,
iL (0 )
US RБайду номын сангаас R2
由换路定则， UC (0 ) UC (0 ), iL (0 ) iL (0 )
因此计算 t 0 电路时，电容等效于一电压源 UC (0 )
电感等效于一电流源 iL (0 )
，
等效电路如图，得：
iC
(0
)
iL
(0
)
US R1 R2
第五章 一阶电路的瞬态分析
第一节 概述
电路结构，参数或电源的改变，称为换路。 电路从一种稳定状态转为另一种稳定状态，称为 过渡过程。
（1）对于纯电阻电路，电路中电压和电流的变
化是“立即”完成的。
K闭合
I1
Us R1
，K打开 I1 0
K
R2
Us R1
R3
I1
（2）对于存在电容和电感的电路，电容元件的 电压（电荷）和电感元件的电流（磁链）变化一 般需要时间。（过渡过程时间）。
iL (0 )
1 2
IS
2 A,
IS
Uc2 (0 )
0,UC1(0 )
1 2
IS R2
4V
C1
R1
iR1
R2 K
L C2
由换路定可知：
uC1(0 ) uC1(0 ) 4 V uC2 (0 ) uC2 (0 ) 0 V iL (0 ) iL (0 ) 2 A
开关打开后等效电路如图
R1
IS
iR1
i(t) C duC
U0
t
e RC
dt
R
R iC
C uC(t )
负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考 方向相反
响应与电源（激励）无关 ， 又叫自由响应（natural response) 暂态响应（transient response）
零输入响应特点：
（a）
uC
U0e
t RC
,
i
U0
e
利用换路定则计算换路后瞬间电路状态
例 ：图示电路，开关闭合已久。求开
关打开瞬间电容电压电流 UC (0 ), ic (0 )
电感电压电流 iL (0 ),U L (0 ) ， 电阻电压U R2 (0 ) 。
R1 K
Us
R2
C uc
解：开关闭合时的电容电压 UC (0_ )
iL L
与电感电流 iL (0 )为
,
UR2 (0 )
il (0 )R2
US
R2 R1 R2
Us
UL (0 ) UR2 UC (0 ) 0
R1
u uR2 R2 iC c
uL iL
例 ： 图示电路 Is 4 A, R1 R2 2 ，开关闭合已久，
求开关打开瞬间电阻R1上的电流 iR1(0 ) iR2 (0 )
解：开关闭合时有
Us R
.
若电感电流
iL
能“瞬时”从0升到 Us
R
UL
L diL dt
lim L iL t 0
0 t
R
Us
则需一个无穷大端电压。
K L iL
电感电流上升需要时间！
过渡过程分析方法：
1. 经典法 2. 拉普拉斯变换法 3. 状态变量法 4. 积分法
例： 经典法解过渡过程
由KCL、KVL及元件电压电流关系
R iC
开关合向右边后，电路方
Us
程建立：（KVL）
Ric UC (t) 0
C uC(t
iC
C
dUC dt
得：
RC
dUC dt
UC
0
一阶线性常系数齐次微分方程
特征方程： RCS+1=0
S 1 RC
uC
keSt
ke
t RC
电路为一阶微分方程，故又称为一阶电路，初始条件：
UC (0 ) UC (0 ) U0
从方程解出电容电压 UC (t) 的一般解(一阶微分方程解) 再由初始条件确定各系数。
第二节 换路定则与初始条件
1. 换路法则：（一般情况）
R
（1）电容电压在换路前后的值不变
Us
UC (0 ) UC (0 )
K(t=0) C Uc
由
iC
C dUC dt
lim C UC t0 t
lim C UC (0 ) UC (0 )
电路方程解：
t
t
UC ke RC ke
式中：
RC 为电路时间常数，单位为秒。
R iC
C uC(t )
由初始条件UC (0 ) U0 得 k U0
电容电压响应（变化规律）： UC (t) U0et
电压波形为
uC
U0
(t 0)
0.368U0
0.135U0
t
0
2
t
uC (t) U0e RC
（
u
iR, ic
C
dUC dt
,
uL
L
diL dt
）列出电路方程，
然后解出微分方程。
RiC UC us (t)
RC
dUC dt
UC
US (t)
R iC
uS (t) C
Uc
一阶微分方程
若Us(t)=Us
uC
US
Ae
t RC
t0
RC
dUC dt
UC
US (t)
UC (t) t0 UC (0 )