数学：13.6《实系数一元二次方程》教案(1)(沪教版高二下)

13.6（1）实系数一元二次方程

上海市新中高级中学 陶志诚

一、教学内容分析

本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善.

为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac ∆=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题.

二、教学目标设计

理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用.

三、教学重点及难点

在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解.

四、教学用具准备

电脑、实物投影仪

五、教学流程设计

六、教学过程设计

（一）复习引入

1.初中学习了一元二次方程20ax

bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式，我

们回顾一下： 当240b ac ∆=-≥

时，方程有两个实数根：22b x a a =-±

2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:i ±.

设问①：一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解？

设问②：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=

[说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x 即为-1的平方根：i ±；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程.

（二）讲授新课

1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况：

设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且.

因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x

x a a

+=-， 配方得

22()()22b b c x a a a

+

=-， 即 2224()24b b ac x a a

-+=. （1）当240b ac ∆=->时，原方程有两个不相等的实数根

22b x a a

=-±； （2）当240b ac ∆=-=时，原方程有两个相等的实数根

2b x a

=-； （3）当2

40b ac ∆=-<时，22404b ac a -<，

由上一堂课的教学内容知，2244b ac a

-的平方根为2i a ±， 即i a

b a

c a b x 2422

-±=+， 此时原方程有两个不相等的虚数根

22b x a a

=-±.

（22b x i a a

=-±为一对共轭虚数根） [说明]实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当0∆≥时，有两个实根；当0∆<时，有一对共轭虚根.

设问③：若43i -是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？为什么？

回到引入部分设问②：在复数范围内解一元二次方程210x

x ++=.

（122

x =-±，即为上节课学习过的ω）

例1（1）在复数集中解方程：2320x x ++=；

（2）在复数集中解关于x 的方程：

240()x ax a R ++=∈.

解：（1）因为△=1432230-⨯⨯=-<，所以方程2320x x ++=的解为

1166x i =-+，2166

x =--. （2）因为△=16-a 2

，

所以当△>0，即44a a <->或时，原方程的解为

12a x -+=，22

a x -=. 当△=0，即4a =±时，若4a =，则原方程的解为1

22x x ==-； 若4a =-，则原方程的解为1

22x x ==.

当△<0，即44a -<<时，原方程的解为

122a x i =-+,222

a x i =--. 提醒学生注意：在复数集中解方程时，应先考虑△的正负.

[说明]例1(2)需分类讨论，要求较高，建议选用，也可以换成课本上的例题1（P91）

例 2 已知一元二次方程20()x mx n m n R ++=∈、，试确定一组m n 、的值，使该方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程.

[说明]例2属于开放性问题，比较容易入手，可以让基础不理想的同学尝试回答，加强互动.

既然实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式2(0)ax bx c a b c R a ++∈≠、、且在复数范围内总可以分解成两个一次因式的乘积.

若方程20ax bx c ++=的两个解分别为1x x 2、，则

212()()ax bx c a x x x x ++=--.

例3 在复数集中分解因式：

（1）22x

x -+； （2）2245x x -+.

解：（1）22x x -+=11()()22

x x +--. （2）（见课本P91）

提醒学生注意：分解二次三项式2ax bx c ++时，应提取二次项的系数a .

2、实系数一元二次方程中根与系数的关系

对于实系数一元二次方程20ax

bx c ++=，当其有实数根时，我们在初中已经学习过了根与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a

⋅=（即韦达定理）. 设问④：实系数一元二次方程有虚数根时，是否也满足根与系数关系？

利用求根公式122a x =-+,222a x =--容易验证

12b x x a +=-，12c x x a

⋅=. 例4 已知32i -是关于x 的方程220x

px q ++=的一个根，求实数p 、q 的值.

解：（见课本P91例2）

（三）巩固练习 见课本P91练习13.6（1）；P92练习13.6（2）T1.2.3.

[说明]以上练习可以根据时间选择一部分在课堂上完成，其余可作为课后练习.

（四）课堂小结

本节课主要讨论了实系数一元二次方程解的情况，知道了在复数集中解实系数一元二次方程和在复数范围内对二次三项式进行因式分解，体现了分类讨论的数学思想.

（五）课后作业

1．书面作业：练习册P55 习题13．6 A 组 T1.2.3.4.5.

2．思考题：（补充题及备选题）

（1）在复数集中分解因式：416x

-. （2）方程25||60z z -+=在复数集中解的个数为（ ）

（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8