《斜线在平面内的射影》(课件)
直线在平面内的射影
O
从平面内一点发出的 从平面外不同点发出 斜线段，长度虽然相等， 的斜线段，长度虽然相等， 但射影不一定相等。 但射影不一定相等。
∴θ＜∠AOD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例题
例1.如图，AO是平面π 的斜线，AB ⊥平面π于B， OD是π内不与OB重合的直 线，∠AOB= ，∠BOD= ，∠AOD= ，求证：cos =cos cos O
A
C
B D
OB＞OC AB ＞AC O
B
C
AB=AC OB=OC AB ＞AC OB＞OC
射影相等的两条斜线段相等，射影 较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等，较长的 斜线段的射影也较长
A
定理 从平面外一
B
O
点向这个平面所引的
C
垂线段和斜线段中，
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较 长的斜线段也较长
练 习
3.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面 成角，B是A在上的射影,OD是内的 直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则 sin =
6
3
。
练习
A
4.已知斜线段的长是它 在平面β上射影的2倍， B O 求斜线和平面β所成的 β 角。 如图，斜线段AB是其射影OB的 两倍，求AB与平面β所成的角。 5.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜 线段的射影也较长
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
练习
1.点P是△ABC所在平 面外一点，且P点到 △ABC三个顶点距离 相等，则P点在△ABC A 所在平面上的射影是 △ABC的 心。 外
射影的有关概念及定理PPT教学课件
生
且有加速趋势。
物
多
样
性
面
临
我国已经灭绝的野生动
的
物有犀牛、野马、高鼻羚羊
威
和新疆虎等。还有不少动物
胁
灭绝了未被人发现或确定。
我
原鸡
国
丹 顶
生
鹤
物
褐马鸡
多 基因多样性减少：许多物种野生类型数
样
量严重减少，濒临灭绝。有些只剩
性
圈养或种植类型，近亲繁殖严重。
面
临
白唇鹿
的
斑
威
羚
胁
我
人工纯林 围湖造田
国
野兔、狼等多种野生动物！
生物多样性的三个层次
基因的多样性——物种的个体数量多，个体 之间的差异大，构成基因库的基因种类多。
基因的多样性是物种在环境变动时能够 继续生存下去而不灭绝的保障。
物种的多样性
生态系统的多样性——不同物种需要不同的生 态环境。生态系统的多样性是物种多样性的重 要条件。
药用价值：许多野生生物能为人类提供 重要的药材。
为保护生物的多样性将包含保护对象的一 定面积的区域划分出来进行保护和管理。
保护对象主要有： 有代表性的自然生态系统 珍稀濒危动植物的天然分布区
就地保护最有效的办法是建立自然保护 区。我国现已建立3000多个自然保护区，其 中有16个加入到“世界生物圈保护区网”中。
吉林长白山 自然保护区—— 保护完整的森林 生态系统。珍稀 植物有人参、红 松等。珍稀动物 有梅花鹿、东北 虎等。
青海湖鸟岛自然保护区——保护斑头 雁、棕头鸥等鸟类及它们的生存环境。
a 00900
A
B
O
C
D
直线与平面垂直的判定课件人教新课标
练习
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o （2）A1C1与面BB1D1D所成的角 90o （3）A1C1与面BB1C1C所成的角 45o
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定
二、直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则
该直线与此平面垂直．
l
即：
m ,n
lm, ln
,
m
n
P
l
mP
n
线不在多，重在相交
判定定理
线线垂直
线面垂直
例1、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于 一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
ab
mn
a b，a b
证明: 在平面内作两条相交直线m, n.
猜一猜 我们需要寻求一个简单可行的 办法来判定直线与平面垂直.
如果直线l与平面α内的一条直线垂直， 能保证l⊥α吗？
如果直线l与平面α内的两条直线垂直， 能保证l⊥α吗？
动手操作
如图，准备一块A三角形的纸片，做一个实验：A
A
lACDB NhomakorabeaP
D
C
C
B
D
C
BD B
折线后与的过桌当纸面且片A所仅B竖C在当起的平折放顶面痕置点A在AD垂翻桌是直折面．纸B上C片（边，B上D得的，到高D折C时痕于，A桌DA面D，所接将在触翻直）
人教版高中数学必修二
2.3.1 直线与平面垂直的判定
直线与平面有那些位置关系？ c a
平面的斜线和平面所成的角课件
已知斜线上一点P(x0, y0, z0)和斜线的方向向量 s = {l, m, n}，则斜线的方程可以表示为(x x0)/l = (y - y0)/m = (z - z0)/n。
斜线与平面的交点
求法
联立斜线的方程和平面的方程，解方 程组即可得到交点的坐标。
性质
斜线与平面的交点唯一，且交点位于 斜线和平面上。若斜线在平面上的投 影为一条直线段，则交点为该直线段 的一个端点。
课件的目的和意义
01
02
03
知识传授
通过课件的讲解，使学生 掌握斜线和平面所成角的 基本知识和相关理论。
能力培养
通过课件中的例题和练习 题，培养学生的空间想象 能力和逻辑思维能力。
学科素养提升
通过课件的学习，提高学 生的数学素养和几何直观 能力，为后续学习打下基 础。
平面的斜线
02
定义和性质
定义
度的取值范围。
总结与展望
06
课件内容的总结
斜线和平面的定义
课件首先介绍了斜线和平面的基本概念，包括斜线的定义、性质以 及与平面的关系等。
斜线和平面所成的角
课件详细讲解了斜线和平面所成的角的定义、性质以及计算方法， 包括斜线与平面的夹角、斜线在平面上的投影等。
相关定理和公式
课件总结了与斜线和平面所成的角相关的定理和公式，如斜线与平面 垂直的判定定理、斜线与平面所成的角的计算公式等。
平面的斜线是指与平面不垂直也 不平行的直线。
性质
斜线在平面上的投影是一条直线段， 其长度小于斜线的实际长度。斜线 与平面的夹角不等于0°或90°。
斜线的方程
一般式
对于不垂直于坐标轴的斜线，其方程 可以表示为Ax + By + Cz + D = 0， 其中A、B、C不同时为0。
平面的斜线和平面所成的角
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
H E
D A
G
HC与FG、EA在
F
平面ABCD上的 射影分别是什么？
DC,BC与点A
C
B
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
P
O
Aa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。
A
射影长 定理 从平面外
O
B
C 一点向这个平面所引
的垂线段和斜线段中，
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较 长的斜线段也较长
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜 线段的射影也较长
O
A B
平面的斜线，斜足。 斜线段。
斜线在这个平面上的射影； 斜线段在这个平面上的射影。
斜线上任意一点在平面上的 射影，一定在斜线的射影上。
θ1 为斜线AO与AO在α 上的射影AB所成的角 θ2 为射影AB与平面α内直线AC所成的角
θ 为斜线AB 与平面α内直线AC所成的角OΒιβλιοθήκη 1A ２ BC
cos =cos １ cos２
最小角定理
平面的斜线和它在平面内的射影所
成的角，是这条斜线和平面内经过斜 足的直线所成的一切角中最小的角。
线面角
1.平面的斜线和平面所成的角
(平面的斜线和它在平面上的射影的夹角).
1
它的范围是[0，90]
2.一条直线垂直平面,线面所成的角是直角.
「直线和平面垂直(三)」
直线与平面垂直（三)——斜线在平面上的射影、直线与平面所成的角教学要求：1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念。
2．根据概念先找直线射影后确定线面角，从而熟练求解直线和平面所成角。
3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等。
一、复习引入：1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质:2．直线和平面的位置关系(直线在平面内、平行和相交)。
二、讲解新课:1．斜线、垂线、射影⑴垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影。
这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。
线叫做这个平面的斜线。
斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。
⑶射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影。
直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线。
直线与平面垂直射影是点。
斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
例１．（1）判断正误:①一条直线在平面上的射影一定是直线；()②两平行直线在同一平面内的射影是平行线;( ）③两相交直线在同一平面内的射影是相交直线;( ）④两异面直线在同一平面内的射影一定是相交直线。
（）（２)①两条直线在一个平面内的射影为一条直线，则这两条直线的位置关系是_______＿_____;②直线,a b在α上的射影是两条相交直线，则a与b的位置关系是____＿＿_＿＿＿＿＿__＿__＿；③两条直线在一个平面内的射影是两条平行直线,则这两条直线的位置关系是___＿_＿_____＿_。
２．射影长相等定理从平面外同一点．．．．．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中， ⑴射影相等两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长。
⑵相等的斜线段射影相等,较长的斜线段射影较长。
⑶垂线段比任何一条斜线段都短。
如:⑴ O Ｂ=O Ｃ⇒A Ｂ=AC OB >ＯC ⇒ＡＢ>ＡC ；⑵ AB=AC ⇒OB=ＯC ＡＢ>A Ｃ⇒ＯB >ＯＣ;⑶ OA <A Ｂ,O Ａ<ＡC 。
直线在平面内的射影
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜 线段的射影也较长
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
练习
1.点P是△ABC所在平 面外一点，且P点到 △ABC三个顶点距离 相等，则P点在△ABC A 所在平面上的射影是 △ABC的 心。 外
P
C
O
B
练习 2.判断下列说法是否正确
（1）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线 （2）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线 （3）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线 （ （4）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等 （ ） ） （ ） （ ）
∴θ＜∠AOD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例题
例1.如图，AO是平面π 的斜线，AB ⊥平面π于B， OD是π内不与OB重合的直 线，∠AOB= ，∠BOD= ，∠AOD= ，求证：cos =cos cos O
A
C
B D
O
C
B D
θ与∠AOD的大小关系如何？
A
l
θ与∠AOD的大小关系如何？ 在Rt△AOB中，
O
C B D
最小角原理 ∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD
角。
AC 平面内任意的直线所 在Rt △AOC 中，sin AOD 成的一切角中最小的 AO
AB sin 斜线和平面所成 AO 的角，是这条斜线和
练 习
3.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面 成角，B是A在上的射影,OD是内的 直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则 sin =
6
直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义
直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义考点一：直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：特征：线线垂直线面垂直3.基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：4.性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：5.平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：对应练习：1.平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直，那么( ).A. B. C.与相交 D.与的位置关系不确定2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是( ).A. B.C. D.3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面，则有( ).A. B. C. D.或4.若P是平面外一点，则下列命题正确的是( ).A.过P只能作一条直线与平面相交B.过P可作无数条直线与平面垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面平行5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么( ).A.a与b可能垂直，但不能平行B.a与b可能垂直，也可能平行C.a与b不可能垂直，但可能平行D.a与b不可能平行，也不能垂直6.设、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，有如下两个命题：①若，则；②若，则届那么( ).A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题7.关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：①若且，则m∥n；②若且，则；③若且，则；④若且，则m∥n.其中真命题的序号是( ).A.①②B.③④C.①④D.②③8.已知直线m⊥平面，直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ).①若，则；②若，则m∥n；③若m∥n，则；④若，则.A.③④B.①③C.②④D.①②9.下面四个命题：①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；③平面内不共线的三点到平面的距离相等，则；④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题的个数是( ).A.0个B.1个C.2个D.3个10.设有不同的直线a、b和不同的平面、、，给出下列三个命题：①若，，则；②若，，则；③若，则.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.311．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()．A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能12．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则()．A．l⊥m B．l∥mC．l，m异面D．l，m相交而不垂直13.已知直线⊥平面，直线平面，有四个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)14．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.15.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于点E ，F ，G . 求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD .考点二：斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角 (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点1A 1B 1C 1D ABCD 1A 1B 1C 1D(1)求EF 和底面ABCD 所成的角 (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角, (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角 (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点,(1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角 (2)求MN 和底面ABCD 所成的角4、空间四边形ABCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA =(1)求PB 与平面PAC 所成的角 (2)求PC 和平面PAB 所成的角5、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小 (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小A BCD1A 1B 1C 1D MNA BCP1A 1B 1C课后练习：1、已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A、a⊥c,a⊥b，其中b⊂α,c⊂αB、a⊥b,b∥αC、α⊥β，a∥βD、a∥b,b⊥α2、如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l；③若m∥α,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥α, 上述判断正确的是（）A、①②③B、②③④C、①③④D、②④3、直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC 组成的图形只能是（）A、一条线段B、一个锐角三角形C、一个钝角三角形D、一条线段或一个钝角三角形4、下列命题中正确的是（）A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个5、给出下列命题：①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β、上述命题中不正确的命题是（）A、①②③④B、①②③C、①③④D、②③④6、如果△ABC的三个顶点到平面 的距离相等且不为零，那么△ABC的( )A、三边均与 平行B、三边中至少有一边与 平行C、三边中至多有一边与 平行D、三边中至多有两边与 平行7、下列命题正确的是()A、一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B、平行于同一个平面的两条直线平行C 、与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D 、平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行8、下列命题正确的是 ( )(A)αα////b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥ (B)a b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα (C)αα//b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ (D)αα////b b a a ⇒⎭⎬⎫⊥9、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角答案：DBDDC BDBA BCD 1A 1B 1C 1D。
空间直线和平面的位置关系ppt课件
a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离；
(2)求点A到棱B’C’的距离；
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；
(4)求异面直线AD和A’B’的距离．
D
C
A
B
D’
C’
取一点M，我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离： 设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面 平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面 内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面 内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面 内所有直线平行; D. 直线 m 与平面 没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直，记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法 （1）根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
（2）直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都 垂直，那么直线l与平面垂直.
三垂线定理课件完整
D1 A1 A D B1
C1
C E B
做一做
例１、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC 垂直于AD，求证：AC ⊥BD。 A
证明：
过A作AO⊥平面BCD于O，连 结BO 、DO、CO
∵ AB⊥CD， ∴ OB是AB在平面BCD上的射影
D B O
∴CD⊥BO
同理可得： BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心，
பைடு நூலகம்
∴ BD⊥OC， ∵ OC是AC在平面BCD上的射影， ∴ BD⊥AC（三垂线定理）
A1 D1 B1 C1
D B
C
同理得 BD1⊥AB1
∴BD1⊥平面AB1C
1°知识内容： 2°思想方法: 转化的关键: 3°应用步骤:
三垂线定理 “转化”的思想， 找平面的垂线 “一垂二射三证”
4°学会从复杂的环境中找出关键的几条线段，
以及一题多图和一题多证。
1、（2009）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1
C
例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连 结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD，A1B
∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD 又：DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 ∵AC⊂平面AC内， A ∴BD1⊥AC 请同学思考：如何证明BD1⊥AB1
三垂线定理复习课（一）
P
A
C
B
高三数学组
钮锦辉
三垂线定理
平面的一条斜线垂直平面内的一条直线
简记
斜线在平面内的射影 垂直于该直线。
P
P
α
A
O
a
α
A
O
三垂线定理及逆定理课件
O
B
C
P 例2 、PA⊥正方形ABCD所在 平面， O为对角线BD的中点， 求证：（1）PO⊥BD （2）PC⊥BD B A O
D C
证明（ : 1） ∵ABCD为正方形， O为BD的中点 ∴ AO⊥BD ∵ PA ⊥平面ABCD ∴ PO在ABCD上的射影是AO ∴ PO⊥BD
（2）同理可证PC⊥BD
三、探索与总结
如图， PA、PO分 别是平面的垂线、 斜线，AO是PO在平 面上的射影，a ，a⊥AO， 求证： a⊥PO
P
O
a
A
证明：
∵ PA⊥ a ∴ a ⊥ PA
∵ a ⊥ AO PA ∩ AO=A ∴ a⊥平面PAO ∵ PO平面PAO ∴ a⊥PO
P
O
a
A
总结 三垂线定理： 在平面内
各位同学 大家好
三垂线定理
第一课时
四川省苍溪县职业高级中学 李元祥
一、知识回顾
1、点在平面内的射影
2、点到平面的垂线段 3、平面的斜线、斜足、斜线段
4、斜线在平面上的射影 5、斜线段在平面上的射影
二、提出问题：
你知道吗？
根据直线和平面垂直的定义，我们知道 ，平面内的任意一条直线都和平面的垂 线垂直。我们想一想，平面内的任意一 条直线是否也都和平面的一条斜线垂直 呢？
P A
D C
B
2、如图所示，有一个长方体形的木块，在上底面 内有一点E，如果想在上底面上画一条经过点E的 线段l，使得l与C、E的连线垂直，应当怎样画？
D1
解析：
由图易知CE在平面A1C1上 的射影是C1E，故在平面 A1C1内过点E作C1E的垂线， 即位所求线段l。
A1
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3. 射影的有关概念：
这斜线上斜足以外的一点向平面
引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线
在这个平面上的射影. A 垂足和斜足间的线
段叫这点到平面的
BC
斜线段在这个平面
上的摄影.
射影定理
从平面外一点向这个平面所引的 垂线段和斜线段中： (1) 射影相等的 两条斜线段相等，射影较长的斜线段 也较长；(2) 相等的斜线段的射影相 等，较长的斜线段的射影也较长； (3) 垂线段比任何一条斜线段都短.
30°、45°，
C
CD是斜边AB 上的高, 求CD
与 所成的角.
C1 B
A
D
归纳小结
这节课我们学习了有关平面的斜 线、射影和直线与平面成角的几个概 念；射影定理中的三个结论成立的前 提是这些斜线段及垂线段必须是从平 面外同一点向平面所引而得到的，否 则，结论不成立.
布置作业 《步步高》P 29 第9、10题.
例题分析
1. 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E、F分别是AA1、A1D1的中点，求:
(1) D1B与面AC 所成角的余弦值；
E D1 A1
B1
C1
(2) EF与面A1C1 所成的角；
F A
D
C B
(3) EF与面AC所成的角.
2. 如图，Rt△ABC的斜边AB在平
面内，AC和BC与 所成的角分别是
斜线在平面内的射影
新课概念教学
1. 点在平面上的射影，点到平面 的垂线段：自一点向平面引垂线，垂 足叫做这点在这个平面上的射影. 这点 与垂足间的线段叫做这点到这个平面 的垂线段.
2. 平面的斜线的有关概念： 一条直线和一个平面相交，但不 和这个平面垂直，这条直线叫这个平 面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足， 斜线上一点和斜足间的线段叫这点到 这个平面的斜线段.
点在同一直线上，
P
且AB=BC=10cm，
求PO的长.
C
O
BA
直线与平面成角
1. 定义： (1) 平面的一条斜线和它在平面上 的射影所成的锐角，叫做这条直线和平 面所成的角. (2) 直线和平面垂直——直线与平 面所成的角是直角. (3) 直线和平面平行或直线在平面 内——直线与平面所成的角是零度的角.
2. 按照定义，在求直线和平面所成 的角时，应按下述三种情况依次进行考 虑：
2. AB是Rt△ABC的斜边，三个顶
点在平面的同侧，它们在内的射影
分别是A1、B1、C1，如果△A1B1C1是
正三角形，且AA1=3cm，
B
BB1=5cm，CC1=4cm，A C
求△A1B1C1的面积.
A1
B1Βιβλιοθήκη C13. 已知PA、PB、PC与平面所成
的角分别为60°、45°、 30°，PO⊥
平面 ，O为垂足，又斜足A、B、C三
(1) 直线和平面平行或直线在平面内 时，直线和平面所成的角是零度；
(2) 直线和平面垂直时，直线和平面 所成的角是直角；
(3) 直线和平面斜交时，直线和平面 所成的角是指直线和它在平面内的射影 所成的锐角.
思考：斜线和平面所成的角，是 这条斜线和平面内经过斜足的直线所 成的一切角中最小的角吗？能否证明？