哈工大何钟怡--试验理论基础

实验的理论基础

何钟怡

一．实验的重要作用

①是公理化体系的基础；

②是实验建模的基础；

③通过实验解决具体问题。

二．指导实验的理论

实验的缺陷：①由于实验的具体性，使得实验结果的狭隘性，未能达到举一返三的作用。

②鲜活的实验规模大，但足尺寸实验太费时、费力、费财。

③实验的可信性论证。

④实验中的许多干扰因素：环境干扰和自干扰，这需要滤掉干扰，这也需

要理论指导。如：Shannon“采样定理”。

⑤实验的合理设计。

三．现代实验的若干发展趋势

1．重大影响技术：①计算机技术

②高分辨技术―――对痕量成分的感知

③微电子技术―――传载、记录部分

④非线性基础理论―――对湍流的把握有重大进展

2．存在的事实趋势：①传统的物理实验正在被突破并不断补充新的内涵；物理和数值实

验；数值实验（数值仿真）；

②许多领域的实验趋向于小型化；

③传统的个性实验阵地逐渐被侵蚀，逐渐向以建模与数值仿真相结

合的领域发展。

四．课程内容和目的

1．内容：第一章 相似理论

第二章 因次理论

第三章 误差理论

第四章 谱分析

第五章 传感器对待测场的干扰

第六章 数值实验

2．目的：①实用性；②想象力的培养；③拓宽视野、增大跨度。

第一章 相似理论

§1 概述

一．目的和内容

目标：1．打破具体实验的局限性，推广到和它相似。

2．构造与原则相似的模型，使模型上实验结果解决原型的实验需求。

3．把模型实验的系列结果推广到类似的群体里去。

用 相似正定理 追踪

相似逆定理 追踪

相似类似定理 追踪

二．主要线索的分析

例：发生在圆形区域内的一个现象，一个稳定电场，半径为，在圆形周边施加一定的电位，给定自变量（0R θ,r ），欲确定稳定恒电场内的电位分布),(θr f U =。

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧∠≤≤==∂∂+∂∂+∂∂πθθ

θ20,sin 0110022222R r U U U

r r U r r U )3()2()1(

0R 、为特征常量，决定此问题的规模。若很大，则电位很高，很危险，所以借助于

相似理论来解决，此问题没有考虑到电流密度，因为它与导电率有关系，会受到一定的局限

性。

0U 0U 1．把定解方程组无因次化

2

020022

R U R r U U r U 2⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂=∂∂ 令0U U U =′ 0R r r =′

2

220022r U R U r U ′

∂′∂⋅=∂∂∴ （1）式变为： 012

220020022200=′∂′

∂⋅+′∂′∂⋅′⋅+′∂′∂⋅θU R U r U r R U r U R U

即012222=′∂′

∂+′∂′∂⋅′+′∂′∂θU r U r r U （2）式变为： 1=′r 时， θ′=′sin U

（3）式变为： 1≤′r 时， πθ20∠′≤ 2．对于小模型

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧∠≤≤===∂∂+∂∂+∂∂π

ϕρρϕ

ρρϕρρρρ200110

002

2222,sin u 时u u

u u

无因次化后，将、0u 0ρ作为特征常量，上式变为：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧∠′≤≤′′

=′=′=′∂′

∂′+′∂′∂′+′∂′∂πϕρϕρϕρρρρ20110112

2222,sin u 时u u u 其中：0ρρ

ρ=

′ 0

u u u =′ ϕϕ=′ 从以上的两个方程组可知有相同的解结构()ϕρ′′=′,F u ()θ′′=′,r F U 若U u ,r ′=′→′=′′=′θϕρ

00R r =∴

ρρ 则l C R

r ==0

0ρρ

u C u U u U ===0

1ϕ

ϑ

相似理论的实质是将变量及自变量进行线性变换，所以它是将定解方程组用各自的特征

常量无因次化后全同，这是相似理论正逆定理的主要内容。

§2 同类现象的相似

标量 T

向量 （）或 表示某个点速度 i u 321,,i =)(i u 指标 ij σ βα,表示所属指标 ()[]i u α表示属于α现象整个区域的速度集合

一．空间定义域的相似

定义：若α现象定义于αω域，β现象定义于βω域，若在α中选择任一点其坐标为，在)(i x αβ域内总有唯一一点与之对应，满足如下关系式：

)(i x βl i

i

C x x =βα为常数。反之，β域内任一点其坐标也能在α域内找到唯一点满足上式，称αω与βω空间相似。 二．时间定义域的相似

定义：若α现象时间定义域为ατ，β现象时间定义域为βτ，若在α域内任一点在αt β域内总有唯一一点与之对应，两者满足下式：

βt t C t t =β

α

为常数。反之，β域内任一点在α域内

总有唯一点满足上式，称ατ与βτ时间相似。

说明：时间是一维的，所以恒相似。

同时满足空间域与时间域的点为时空对应点，相似性是在时空对应点上展开的。 三．因变量的相似

)

(k i k y α⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,,21k

－－因变量 y α－－原型或模型 －－物理量 k －－属于第个物理量的第几个分量

k i k 定义：在任一给定的对应时空点上，α现象的某因变量与β现象上的同名因变量满足下式：

const C y y k k i k i k

k ==)()

(βα，则称两因变量相似。

四．同类现象的相似

1．同类现象：若两现象的基本方程组具有同形结构，则称两现象是同类的。但不强调是同一种物质、同边界条件。

2．同类现象的相似：两现象分别定义于α、β时空定义域内，对于任意给定的时空对应点，若同名物理量呈固定比例

k k i k i C y y k

k =)()(βα ),,,(n 21k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，若其时空定义域是相似的，则同

类现象相似。

总结：

（1）用定性分析来确定模型实验是否可以替代原型实验，如果可以则对模型实验进行定量分析求解。

（2）求解后，需利用相似理论来保证将模型映射到原型中去。 （3）第二小节是第一小节的理论总结，它是第一个例题的逻辑总结，是上升到普遍的规律，这种表现手法是简单的，应该值得学习，这种符号表示是一种高级手法，不该回避。

§3 定解方程组的相对化

一．求和约定

Einstein 1．方程中的某项下标重复，则该项代表同型项求和，下标取一切可能值。

2．方程中的某项下标不重复，则该方程代表一个同型方程的集合，子方程的下标取一切可能值。

例： 指求和下标

L ,,,)(321i u i =0x u i

i =∂∂ 即0x u

x u x u 332211=∂∂+∂∂+∂∂