西北工业大学矩阵论PPT课件

+
x 2
=θ
+
x 2
=
x 2
+θ
=
x 2
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
4
例 6 在线性空间V 中，下列结论成立．
0x = θ ：1x + 0x = (1 + 0)x = 1x ⇒ 0x = θ
kθ = θ ： kx + kθ = k( x + θ ) = kx ⇒ kθ = θ
(−1)x = (− x) ： (−1)x = (−1)x + [ x + (− x)] = [(−1)x + 1x] + (− x) = (− x)
+
aE 12 12
+
aE 21 21
+
aE 22 22
坐标为
α
=
(
a 11
,
a 12
,
a21 ,
a22 )Τ
(2)
取基
B 1
=
1 1
1 1 ,
B 2
=
0 1
1 1 ,
B 3
=
0 1
0 1
,
B 4
=
0 0
0 1
A
=
a 11
(
B 1
−
B 2
)
+
a 12
(
B 2
−
B 3
)ห้องสมุดไป่ตู้
+
a
21
(
B 3
−
B 4
)
+
aB 22 4
+L+ cm xm
=θ
，则称
x 1
,L,
x
m
线性相关．
5．线性无关：仅当
c 1
,L,
cm
全为零时，才有
c 1
x 1
+L+ cm xm
=θ
，则称
x 1
,L,
x
m
线性无关．
[注] 在 R 2 (⊕ o) 中, α1 = (1,1) , α 2 = (2, 2) 线性无关；
α1 = (1,1) , α 2 = (2, 3) 线性相关．（自证）
数乘封闭，(5)～(8)成立．故 R+ 是 R 上的线性空间． 例 5 集合 R 2 = {α = (ξ1 , ξ 2 ) ξ i ∈ R} ，数域 R ．设 β = (η1 , η2 ), k ∈ R ．
运算方式 1 加法： α + β = (ξ1 + η1 , ξ 2 + η2 ) 数乘： kα = (kξ1 , kξ2 )
0
a 12
a
22
ai
j
∈
R} ，
S 1
≠
S 2
S 1
I
S 2
=
{A
=
a11
0
0
a
22
a 11
, a22
∈
R}
S 1
U
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a
22
aa 12 21
=
0,
ai
j
∈
R}
S 1
+
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a 22
ai j ∈ R}
2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
mn
∑ ∑ (2) A = (ai j )m×n =
ai j Ei j ．
i=1 j=1
故 Ei j (i = 1,2,L, m ; j = 1,2,L, n) 是 R m×n 的一个基, dimR m×n = mn .
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
5
2．坐标：给定线性空间V
n
的基
x 1
=
S 2
时，称映射σ
为
S 上的变换． 1
例 2 S = { A = (ai j )n×n ai j ∈ R} (n ≥ 2) ．
映射σ 1 ：σ 1 ( A) = detA
(S → R)
变换σ 2 ：σ 2 ( A) = (detA) In (S → S )
二、线性空间及其性质
1．线性空间：集合V 非空，给定数域 K ，若在V 中
例如：实数域 R ，复数域 C ，有理数域 Q ，等等．
3．映射：设集合
S与 1
S 2
，若对任意的 a
∈
S1 ，按照法则σ
，对应唯一的
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
2
b ∈ S2 , 记作σ (a) = b.
称σ
为由
S到 1
S 2
的映射；称 b 为 a
的象，
a 为 b 的象源．
变换：当
S 1
运算方式 2 加法： α ⊕ β = (ξ1 + η1 , ξ2 + η2 + ξ1η1 )
数乘：
k
oα
=
(kξ1 ,
kξ 2
+
1 k(k 2
−
1)ξ
2 1
)
可以验证 R 2 (+ ⋅) 与 R2 (⊕ o) 都是 R 上的线性空间．
[注]
在 R2 (⊕ o) 中,
θ = (0,0) ,
−α
=
(−ξ1 , − ξ2
0,
1)Τ
；
A
=
E 11
在上述两个基下的坐标不同．
Th2 线性空间V n 中，元素在给定基下的坐标唯一．
证
设V
n
的基为
x 1
,L,
x
n
，对于
x
∈
V
n
，若
x
=
ξ
1
x 1
+ L+ ξn
xn
=
η1
x 1
+L+ηn xn
则有
(ξ1
−
η1
)
x 1
+L+
(ξ n
−ηn )xn
=θ
因为
x 1
,L,
x
n
线性无关,
所以ξ i
−ηi
= 0,
即ξi
= ηi
(i = 1, 2,L, n) .
故 x 的坐标唯一．
例9
设线性空间V
n
的基为
x 1
,L,
xn
,
元素 y j 在该基下的坐标为
αj
(j
= 1,2,L, m) ,
则元素组
y 1
,L,
ym
线性相关（线性无关）
⇔
向量组α1 ,L,α m 线性相关（线性无关）．
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
,
E 21
,
E 22
)C 2
1 1 0 0
1 1 1 1
C 1
=
0 0
0 0
1 1
−
1 1
，C 2
=
1 1
1 1
1 0
0 0
1
−1
0
0
1 0 0 0
(Ⅰ)
→
(Ⅱ)：
(
B 1
,
B 2
,
B 3
,
B 4
)
=
(
A 1
,
A 2
,
A 3
,
A 4
)C1−1C 2
1 0 0 1
2 1 1 1
C
=
C −1C 12
=
+
cx 21 2
+L+
cn1 xn
y 2
=
cx 12 1
+
c 22
x 2
+
L+
LLL
cn2 xn
yn
=
c1n
x 1
+
c2n x2
+L+
cnn xn
c 11
c 12
L c1n
C = c21
c 22
L
c
2
n
M M
M
cn1
cn2
L
c
nn
写成矩阵乘法形式为
(
y 1
,L,
yn
)
=
(
x 1
,L,
xn
,L,
x
n
，当
x
∈
V
n
时，有
x
=
ξ1
x 1
+
L
+
ξ
n
xn
．称 ξ 1
,L,ξ n
为
x
在给定基
x 1
,L,
xn
下的
坐标，记作列向量 α = (ξ1 ,L,ξn )Τ ． 例 8 矩阵空间 R 2×2 中，设 A = (ai j )2×2 ．
(1)