第二章 度量几何学
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• 用辗转相减法求正方形边与对角线的公度，发现公度量不 存在。
• 两个线段分别为 a，b，a>b. • 经过辗转相减，得 a = pb+c，b = qc+d，c = rd+e……等等。如果，
此一步骤无法终止，也就是说，余项始终不为0，那么，就表示这两 个几何量为不可公度量。如其不然，何妨假定a，b的公度量为 f，则 f 可以度量 a-pb = c，从而可以度量 b-qc = d，乃至于 e 等等。 由于上述辗转步骤始终不能穷尽，所以，一定会有一个余项（比如 e） 比 f 来得小，这显然不可能：f 可以『整除』e，e>f。
初等数学研究(Ⅱ)
数学与统计学院 杨惊雷 sxxyang@cslg.edu.cn 弘道楼2317室
最早的几何学从度量开始.通常说, 尼罗河泛滥产生了几何学. 中国古代的数学也是从几何度量开始的. << 九章算术 >> 的第一章 就是“方田”,内容是土地面积的测量.此外, 埃及、巴比伦和中国 都先后发现了有关直角三角形三边之长平方关系的定理(我国称 之为勾股定理).这是度量几何的光辉成就.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 18
（1）已知三边求中线
设AD为中线, 如图,H 为A在BC上的射影, 不妨设∠ADC为锐角, ∠ADB为钝角.
A
A
B
DH C
B D CH
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 19
（2）已知三边求高和面积
ha
=
2 a
p( p − a)( p −b)( p −c),
S
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 36
图1 用祖暅原理证明球体积公式
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 37
图2 用定积分计算球体积
• 如果想更精确地度量AB，可将a分为100等份，以其一份 在来度量第二次剩余的部分，以下类推.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 7
2. 度量线段的基本理论
• 关于度量线段的问题，需要应用关于线段长度的两条基本 性质以及阿基米德公理和康托公理.
• （1）线段长度的性质
– 性质1：相等的线段，具有相同的长度（长度的运动不变性） – 性质2：一条线段的长度，等于它的各部分长度的和（长度的可加
– 通常把满足康托公理条件的无穷线段序列{ MkNk }称为直线AB上的一个 内涵无限递减线段序列.
• 定理2 如果预先选定长度单位线段e，那么对于任一正实数x，总对应 着一条线段，它的长度的量数为x.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 10
• 定理1,2说明，一旦选定了长度单位线段，线段与正实数 之间就可以建立一一对应的关系.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 28
§2.3 面积与体积
• 一、面积的概念 • 二、直线型面积的计算 • 三、圆的面积 • 四、球的体积与表面积
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 29
一、面积的概念
• 面积就是指平面上一个封闭图形所包围的平面部分（区域）的大小. • 和线段与角的度量类似，我们取定一个平面图形e（一般取边长等于
D
d
a A
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 21
(3)已知三边求角平分线
设AE是ΔABC的角平分线, 那么
BE AB
=
EC AC
=
BC AB + AC
,
⇒
BE
=
b
c +
c
a,
CE
=
b
b +
c
a.
由斯蒂瓦特定理(尝试了解和证明），得
b2
⋅
ca b+c
+
c2
⋅
ba b+c
=
ta2
⋅
a
+
ca b+c
⋅
ba b+c
=
1 2
aha
=
p( p − a)( p −b)( p − c).
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 20
思考题:
设圆内接四边形ABCD的四边是AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.求它的面积S.
以p = 1 (a + b + c + d )表示半周长.
C
2
b c
B
SABCD = ( p − a)( p − b)( p − c)( p − d ).
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 33
例4 在半径为r的圆内求有最大周长的内接矩形.
2r
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 34
例5 圆的外切等腰梯形中,面积最小的要满足什么条件?
D
C
A
B
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 35
四、球的体积和表面积
• 积分的方法 • 祖暅原理 • 球的表面积
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 2
古希腊时期 几何学的巅峰
• 线段的长度及其比例关系 • 图形的面积、相似图形的面积之比 • 线段不可公度与无理数的发现 • π的计算
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 3
CH2 度量几何学
§2.1 线段的度量 §2.2 角与弧的度量 §2.3 面积与体积 §2.4 三角学
• 这两条性质是关于角和弧的度量和计算的基础.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 27
圆周长和圆周率
• 与线段度量不同，度量圆周或一段圆弧的长度，需要利用 极限的方法.
• 周三径一 • 刘徽的“割圆术”——用有限来逼近无穷
– 圆周六等分，求出圆内接正六边形的周长——再平分各弧，求正 十二边形的周长——……——正192边形的周长作为圆周长的近似 值.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 16
二、 三角形中重要线段的计算
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 17
设ΔABC的三边记为a、b、c, 半周长记为p, 三条中线记 为ma , mb , mc , 三高记为ha , hb , hc ,角平分线记为ta ,tb ,tc.
（1）已知三边求中线 （2）已知三边求高和面积 （3）已知三边求角平分线
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 32
两个常用的结论
• 两个正数之和为常数,则其乘积当两变数相等时为最大. 用几何方式叙述即:等周矩形中,以正方形面积最大.
• 两个正数之积为常数,则其和当两变数相等时为最小. 用几何方式叙述即:等积矩形中,以正方形周长最小.
以上结论你可以用几何方法证明吗？能用这个结论解决下面两例吗？
• 度量线段长度，总要选定一个长度单位.
• 例如：度量线段AB，选取线段a 作为长度单位，以a去截取AB • 若刚好可截取3次，即AB=3a，则称AB的量数为3，或AB的长度为3a; • 若截取3次后，还剩下比a短的一段，即3a<AB<4a. • 那么，准确到单位，AB的不足近似值为3，过剩近似值为4.
成一点 C，构成△ABC，设 AB = x ．
MA
B
N
（1）求 x 的取值范围；
（2）若△ABC 为直角三角形，求 x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 23
例2：涉及三角形高线的竞赛题
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 24
例3：涉及三角形高线的竞赛题
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 25
性）
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 8
2. 度量线段的基本理论
• （2）阿基米德公理
• 设AB和CD（AB>CD）是任意给定的两条线段，则必定存在正整数n， 使得
nCD≤AB<(n+1)来自百度文库D
• 定理1 用长度单位线段e去度量任一线段AB，总可以得到一个唯一确 定的量数（正实数）.
– 证明思路：十进度量的过程或在某一步终止，则AB的量数是一个正的有 限小数；否则，无限继续下去，将得到不足近似值序列和过剩近似值系 列，由退缩有理闭区间定理，必定存在一个正实数为线段AB的量数.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 13
3. 线段的公度与不可公度
问题： 是不是任意两条线段都可公度？
显然，AB与AC不可公度.也就是说这样作出的点C不可能和任何有理 点重合.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 14
不可公度量与 2
A
B
D
C
怎么说明？
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 15
不可公度线段的发现
长度单位的正方形）作为计算面积的单位,叫做面积单位，将平面封闭 图形包围的区域所含有面积单位的数量，叫做该图形的面积. • 面积也具有不变性和可加性两个基本性质:
– 两个全等的平面封闭图形，其面积相等; – 一个平面封闭图形的面积等于它的各部分面积之和.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 30
二、直线形面积的计算
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 6
度量的精确化
• 进一步度量AB，可先将a分为10等份，以其一份再来度量 所剩余的部分。
– 若它恰好含这一份的4倍，则AB的量数为3.4，或说AB的长度为 3.4a；
– 若这剩余部分截取一份的4倍后还剩下小于一份的一部分，即 3.4a<AB<3.5a
– 准确到单位的十分之一，AB的不足近似值为3.4，过剩近似值为 3.5
– （定理1表明，如果选定了单位线段（长度的量数为1），那么任何一条 线段的长度（量数）都是唯一确定的.）
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 9
2. 度量线段的基本理论
• （3）康托公理
• 设在直线AB上给出了线段的无穷序列M0N0, M1N1,…MkNk,…，其中 每一个后面的线段包括端点在内完全落在前面一个线段的内部，且对 任意给定的线段CD，总可以找到一个自然数n，使得MnNn<CD，那 么在直线AB上有且仅有一个点，为该线段序列中每个线段的内点或端 点.
⋅
a
得
ta
=
2 b+
c
bcp ( p − a).
外角平分线呢？
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 22
例1: 海伦——秦九韶公式的运用
(2009 浙江嘉兴)如图，已知 A、B 是线段 MN 上的两
点， MN = 4 ， MA =1， MB >1．以 A 为中心顺时针旋转
C
点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 4
§2.1 线段的度量
• 一、线段的度量
长度单位与量数 度量线段的基本理论 线段的公度与不可公度
• 二、三角形中重要线段的计算
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 5
1. 概念：长度单位与量数
要测量一个几何量(如线段、角、面积),须取一同类量为单位, 即研究此量含单位量的多少倍,这倍数(不限为整数)便称为该几何 量对于这个单位的量数(或度量).
• 长度具有有限可加性.即两两不相交的线段之并的长度,等 于各个线段长度之和.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 12
3. 线段的公度与不可公度
• 公度量：存在一个“度量单位”，譬如 u，使得这两条线 段的长度分别可以表征为 mu 与 nu，其中m，n 都是正整 数.
• 与单位线段可公度的线段将对应于数轴上全体有理点.
§2.2 角与弧的度量
1.度量单位
（1）角度的单位
– 角度制: 以两相交射线的交点为中心, 以任意的长度r 为半径, 做一个圆周; 然后, 把该圆周用射线等分成360 个等份, 并把其中的每一份称1“度”.
1周角=360°,1°=60′,1′=60′′
– 弧度制是度量角度大小的另一种方式. 它的办法是以两条相交直线的交点 为中心, 以单位长度1 为半径作一个圆周(数学上称之为单位圆) ,然后把两 条相交直线所夹的单位圆的弧长, 作为度量两直线的夹角的值.取弧长等于 半径的弧所对的圆心角为度量单位，叫做1弧度的角.
• 这样我们可以用数来表示线段这个几何量，从而使几何问 题代数化.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 11
长度公理（概念的进一步抽象）
• 长度是非负的数.单位线段[0,1]的长度是1.一般地,[a,b]的长 度是b-a.
• 长度是运动不变的.即一个物体的长度无论放在什么地方 (经过平移、旋转、反射变换的移动)长度都是一样的.
• 定理1：底相等的两个矩形面积之比，等于它们的高之比. • 定理2：矩形的面积等于底与高的乘积.
– 推论：正方形的面积等于其边长的平方.
• 用割补法得到平行四边形、梯形、多边形的面积.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 31
三、圆的面积
圆的内接或外切正多边形，当边数无限递增时，其面积的 极限，叫做圆的面积.
– 弧度制为面积与弧长的计算以及微积分中有关三角函数的计算, 带来了很 大的方便.
– （详阅 李忠——为什么要使用弧度制——《数学通报》2009.11）
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 26
角与弧的度量具有的性质
• 运动不变性：相等的两个角有相同的角度，相等的两条弧 有相同的弧长；
• 可加性：一个角等于另两角之和，则这个角的角度等于另 两个角的角度之和；一条弧等于另两条弧之和，则这条弧 的弧长等于另两条弧的弧长之和.
• 两个线段分别为 a，b，a>b. • 经过辗转相减，得 a = pb+c，b = qc+d，c = rd+e……等等。如果，
此一步骤无法终止，也就是说，余项始终不为0，那么，就表示这两 个几何量为不可公度量。如其不然，何妨假定a，b的公度量为 f，则 f 可以度量 a-pb = c，从而可以度量 b-qc = d，乃至于 e 等等。 由于上述辗转步骤始终不能穷尽，所以，一定会有一个余项（比如 e） 比 f 来得小，这显然不可能：f 可以『整除』e，e>f。
初等数学研究(Ⅱ)
数学与统计学院 杨惊雷 sxxyang@cslg.edu.cn 弘道楼2317室
最早的几何学从度量开始.通常说, 尼罗河泛滥产生了几何学. 中国古代的数学也是从几何度量开始的. << 九章算术 >> 的第一章 就是“方田”,内容是土地面积的测量.此外, 埃及、巴比伦和中国 都先后发现了有关直角三角形三边之长平方关系的定理(我国称 之为勾股定理).这是度量几何的光辉成就.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 18
（1）已知三边求中线
设AD为中线, 如图,H 为A在BC上的射影, 不妨设∠ADC为锐角, ∠ADB为钝角.
A
A
B
DH C
B D CH
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 19
（2）已知三边求高和面积
ha
=
2 a
p( p − a)( p −b)( p −c),
S
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 36
图1 用祖暅原理证明球体积公式
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 37
图2 用定积分计算球体积
• 如果想更精确地度量AB，可将a分为100等份，以其一份 在来度量第二次剩余的部分，以下类推.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 7
2. 度量线段的基本理论
• 关于度量线段的问题，需要应用关于线段长度的两条基本 性质以及阿基米德公理和康托公理.
• （1）线段长度的性质
– 性质1：相等的线段，具有相同的长度（长度的运动不变性） – 性质2：一条线段的长度，等于它的各部分长度的和（长度的可加
– 通常把满足康托公理条件的无穷线段序列{ MkNk }称为直线AB上的一个 内涵无限递减线段序列.
• 定理2 如果预先选定长度单位线段e，那么对于任一正实数x，总对应 着一条线段，它的长度的量数为x.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 10
• 定理1,2说明，一旦选定了长度单位线段，线段与正实数 之间就可以建立一一对应的关系.
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§2.3 面积与体积
• 一、面积的概念 • 二、直线型面积的计算 • 三、圆的面积 • 四、球的体积与表面积
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 29
一、面积的概念
• 面积就是指平面上一个封闭图形所包围的平面部分（区域）的大小. • 和线段与角的度量类似，我们取定一个平面图形e（一般取边长等于
D
d
a A
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(3)已知三边求角平分线
设AE是ΔABC的角平分线, 那么
BE AB
=
EC AC
=
BC AB + AC
,
⇒
BE
=
b
c +
c
a,
CE
=
b
b +
c
a.
由斯蒂瓦特定理(尝试了解和证明），得
b2
⋅
ca b+c
+
c2
⋅
ba b+c
=
ta2
⋅
a
+
ca b+c
⋅
ba b+c
=
1 2
aha
=
p( p − a)( p −b)( p − c).
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 20
思考题:
设圆内接四边形ABCD的四边是AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.求它的面积S.
以p = 1 (a + b + c + d )表示半周长.
C
2
b c
B
SABCD = ( p − a)( p − b)( p − c)( p − d ).
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 33
例4 在半径为r的圆内求有最大周长的内接矩形.
2r
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 34
例5 圆的外切等腰梯形中,面积最小的要满足什么条件?
D
C
A
B
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 35
四、球的体积和表面积
• 积分的方法 • 祖暅原理 • 球的表面积
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 2
古希腊时期 几何学的巅峰
• 线段的长度及其比例关系 • 图形的面积、相似图形的面积之比 • 线段不可公度与无理数的发现 • π的计算
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 3
CH2 度量几何学
§2.1 线段的度量 §2.2 角与弧的度量 §2.3 面积与体积 §2.4 三角学
• 这两条性质是关于角和弧的度量和计算的基础.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 27
圆周长和圆周率
• 与线段度量不同，度量圆周或一段圆弧的长度，需要利用 极限的方法.
• 周三径一 • 刘徽的“割圆术”——用有限来逼近无穷
– 圆周六等分，求出圆内接正六边形的周长——再平分各弧，求正 十二边形的周长——……——正192边形的周长作为圆周长的近似 值.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 16
二、 三角形中重要线段的计算
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 17
设ΔABC的三边记为a、b、c, 半周长记为p, 三条中线记 为ma , mb , mc , 三高记为ha , hb , hc ,角平分线记为ta ,tb ,tc.
（1）已知三边求中线 （2）已知三边求高和面积 （3）已知三边求角平分线
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 32
两个常用的结论
• 两个正数之和为常数,则其乘积当两变数相等时为最大. 用几何方式叙述即:等周矩形中,以正方形面积最大.
• 两个正数之积为常数,则其和当两变数相等时为最小. 用几何方式叙述即:等积矩形中,以正方形周长最小.
以上结论你可以用几何方法证明吗？能用这个结论解决下面两例吗？
• 度量线段长度，总要选定一个长度单位.
• 例如：度量线段AB，选取线段a 作为长度单位，以a去截取AB • 若刚好可截取3次，即AB=3a，则称AB的量数为3，或AB的长度为3a; • 若截取3次后，还剩下比a短的一段，即3a<AB<4a. • 那么，准确到单位，AB的不足近似值为3，过剩近似值为4.
成一点 C，构成△ABC，设 AB = x ．
MA
B
N
（1）求 x 的取值范围；
（2）若△ABC 为直角三角形，求 x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 23
例2：涉及三角形高线的竞赛题
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 24
例3：涉及三角形高线的竞赛题
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 25
性）
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 8
2. 度量线段的基本理论
• （2）阿基米德公理
• 设AB和CD（AB>CD）是任意给定的两条线段，则必定存在正整数n， 使得
nCD≤AB<(n+1)来自百度文库D
• 定理1 用长度单位线段e去度量任一线段AB，总可以得到一个唯一确 定的量数（正实数）.
– 证明思路：十进度量的过程或在某一步终止，则AB的量数是一个正的有 限小数；否则，无限继续下去，将得到不足近似值序列和过剩近似值系 列，由退缩有理闭区间定理，必定存在一个正实数为线段AB的量数.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 13
3. 线段的公度与不可公度
问题： 是不是任意两条线段都可公度？
显然，AB与AC不可公度.也就是说这样作出的点C不可能和任何有理 点重合.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 14
不可公度量与 2
A
B
D
C
怎么说明？
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不可公度线段的发现
长度单位的正方形）作为计算面积的单位,叫做面积单位，将平面封闭 图形包围的区域所含有面积单位的数量，叫做该图形的面积. • 面积也具有不变性和可加性两个基本性质:
– 两个全等的平面封闭图形，其面积相等; – 一个平面封闭图形的面积等于它的各部分面积之和.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 30
二、直线形面积的计算
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 6
度量的精确化
• 进一步度量AB，可先将a分为10等份，以其一份再来度量 所剩余的部分。
– 若它恰好含这一份的4倍，则AB的量数为3.4，或说AB的长度为 3.4a；
– 若这剩余部分截取一份的4倍后还剩下小于一份的一部分，即 3.4a<AB<3.5a
– 准确到单位的十分之一，AB的不足近似值为3.4，过剩近似值为 3.5
– （定理1表明，如果选定了单位线段（长度的量数为1），那么任何一条 线段的长度（量数）都是唯一确定的.）
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 9
2. 度量线段的基本理论
• （3）康托公理
• 设在直线AB上给出了线段的无穷序列M0N0, M1N1,…MkNk,…，其中 每一个后面的线段包括端点在内完全落在前面一个线段的内部，且对 任意给定的线段CD，总可以找到一个自然数n，使得MnNn<CD，那 么在直线AB上有且仅有一个点，为该线段序列中每个线段的内点或端 点.
⋅
a
得
ta
=
2 b+
c
bcp ( p − a).
外角平分线呢？
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 22
例1: 海伦——秦九韶公式的运用
(2009 浙江嘉兴)如图，已知 A、B 是线段 MN 上的两
点， MN = 4 ， MA =1， MB >1．以 A 为中心顺时针旋转
C
点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 4
§2.1 线段的度量
• 一、线段的度量
长度单位与量数 度量线段的基本理论 线段的公度与不可公度
• 二、三角形中重要线段的计算
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 5
1. 概念：长度单位与量数
要测量一个几何量(如线段、角、面积),须取一同类量为单位, 即研究此量含单位量的多少倍,这倍数(不限为整数)便称为该几何 量对于这个单位的量数(或度量).
• 长度具有有限可加性.即两两不相交的线段之并的长度,等 于各个线段长度之和.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 12
3. 线段的公度与不可公度
• 公度量：存在一个“度量单位”，譬如 u，使得这两条线 段的长度分别可以表征为 mu 与 nu，其中m，n 都是正整 数.
• 与单位线段可公度的线段将对应于数轴上全体有理点.
§2.2 角与弧的度量
1.度量单位
（1）角度的单位
– 角度制: 以两相交射线的交点为中心, 以任意的长度r 为半径, 做一个圆周; 然后, 把该圆周用射线等分成360 个等份, 并把其中的每一份称1“度”.
1周角=360°,1°=60′,1′=60′′
– 弧度制是度量角度大小的另一种方式. 它的办法是以两条相交直线的交点 为中心, 以单位长度1 为半径作一个圆周(数学上称之为单位圆) ,然后把两 条相交直线所夹的单位圆的弧长, 作为度量两直线的夹角的值.取弧长等于 半径的弧所对的圆心角为度量单位，叫做1弧度的角.
• 这样我们可以用数来表示线段这个几何量，从而使几何问 题代数化.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 11
长度公理（概念的进一步抽象）
• 长度是非负的数.单位线段[0,1]的长度是1.一般地,[a,b]的长 度是b-a.
• 长度是运动不变的.即一个物体的长度无论放在什么地方 (经过平移、旋转、反射变换的移动)长度都是一样的.
• 定理1：底相等的两个矩形面积之比，等于它们的高之比. • 定理2：矩形的面积等于底与高的乘积.
– 推论：正方形的面积等于其边长的平方.
• 用割补法得到平行四边形、梯形、多边形的面积.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 31
三、圆的面积
圆的内接或外切正多边形，当边数无限递增时，其面积的 极限，叫做圆的面积.
– 弧度制为面积与弧长的计算以及微积分中有关三角函数的计算, 带来了很 大的方便.
– （详阅 李忠——为什么要使用弧度制——《数学通报》2009.11）
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 26
角与弧的度量具有的性质
• 运动不变性：相等的两个角有相同的角度，相等的两条弧 有相同的弧长；
• 可加性：一个角等于另两角之和，则这个角的角度等于另 两个角的角度之和；一条弧等于另两条弧之和，则这条弧 的弧长等于另两条弧的弧长之和.