同态基本定理的应用

同态基本定理的应用

摘要：通过具体例子说明当所给的群(或环)是商群(或商环)时,利用同态基本定理可以简化同构问题的证明过程.

关键词：同态基本定理;同构;商群;商环

证明同构问题,一般是通过建立映射并证明该映射是同构映射来完成的,然而对商群(或商环)之间的同构关系却不容易用此种方法来证明.同态基本定理(简记为FHT)是代数学的一个重要定理:设G是一个群,H是G的不变子群,令5:a y aH,Pa I G,则5是G到GPH的满同态;反之,若5是G到Gc的同态满射,则GPker5µGc.类似可得到环同态基本定理.本文给出的证明实例表明,利用FHT证明商群(商环)的同构问题,可以使证明过程简化.这种方法只须建立一个同态满射,求出同态核,就可获得问题的证明.

本文约定:H A G表示H是G的子群(或子环) ;

H ¨G 表示H 是G 的不变子群( 或理

想) ; G1 µG2表示G1与G2同构.

以下是同态基本定理的应用举例.

例1求证:如果H、K A G,且K¨G,那么(HK)PKµHP(H HK) .

证明由H、K A G]H H K A G,又由K¨G]H HK¨H]H P(H HK)有意义.

( • ) 定义5: hk y h#H HK , 其中h、k 分别为H 、K 中的任意元.

若hk=hckc]kkc- 1=h- 1hc]h- 1hcI H HK]h#H HK=hc#H HK I H P(H HK) .即

5( hk ) 与5( hckc) 表示相同的陪集, 因此5 是HK 到HP( H HK ) 的映射.

( ‚ ) 对HP( H HK ) 中的任意元h#H H K ( 其中h I H ) , 由于e I K , 故至少存在HK 中的元he=h,使得5(he) =h#H HK,所以5是HK到HP(H H K)的满射.

( ƒ ) 因为K ¨G, 所以对任意hcI H 有Khc= hcK , 于是对任意的k I K , 存在kd I K , 使得khc= hckd, 从而5( hk#hckc) = 5( hhc#kdkc) = hhc#H HK . 但由于hhc#H HK =

h#( H HK ) * hc#( H HK ) ] 5( hk#hckc) = 5( hk) * 5( hckc) , 所以5 是一个群同态.

( … ) 由于e#H HK = H HK 是H P( H HK ) 的单位元, 因此ker 5 = { hk I HK | 5 ( hk) = H H

K } . 又由于5( hk ) = h#H HK , 因此应有h#H HK = H HK . 从而h I H HK ] ker 5= { hk I HK | 5( hk ) = H HK } = ( H HK ) #K = K , 于是, 根据FHT 得到( HK )PK µH PH H K .

例2求证:如果H、K¨G、K AH,那么GPHµ(GPK)P(H PK) .

证明( • )定义5:g y gK#(H PK) .对所有的g I G,显然它是G到(GPK)P(H PK)的映

射,且容易看出5是满射.

(‚ )对任意的x、y I G,5(xy) = (xy)K#(H PK) =[ ( xK ) #( yK ) ] ( H PK ) =

[ ( xK ) #( HPK ) ] * [ ( yK ) #( H PK ) ] = 5 ( x ) *5 ( y ) , 所以5 保持群运算.

(ƒ )ker 5= { g I G | 5 ( g ) = e#( H PK ) , e 是GPK 中的单位元} , 即ker 5 = { g

I G | 5 ( g) =

H PK } = H , 因此根据FHT, GPker 5 = GPH µ( GPK )P( H PK ) .

例3设S是环R的子环,I是R的理想,求证:SP(S H I)µ(S+I)PI.

证明( • )易知S+I是R的子环,I是S+I的理想,S H I是S的理想,因此(S+I)

P I 及SP( S H) 均为商环.

( ‚ ) 现要给出S 到( S + I ) PI 的一个映射, 注意到( S + I )PI 中的元素均可为表成s+ I , 其

中 s I S, 故可定义G: s y s+ I .

显然,G是S到(S+I)PI的一个满射,同时对于S中任意两个元s及t,有

s + t y ( s + t ) + I = ( s + I ) + ( t +

I ) ,

s # t y ( s # t ) I = sI # tI ,

即G是一个环同态.

( ƒ )因为ker G= {s I S|s+I=I}]ker G= {s I S|s I I}]ker G=S H I.

故由FHT可得到SP(S H I)µ(S+I)PI.

例4设R是环,S和I均是R的理想,求证: (RPS)PSµRP(S+I) .

证明因为S和I均是R的理想,所以S+I也是R的理想,且S A S+I.于是S+IPS也

应是RPS的理想,所以(RPS)P(S+I)PS与RP(S+I)均有意义.

( • )令G:r+S y r+ (S+I) .Pr I R,易知G是RPS到RP(S+I)的映射,且是满射.

( ‚ ) Pr1、r2I R , G( ( r1 + S ) + ( r 2 + S ) ) = G( ( r 1 + r2 ) + S) = ( r1 + r 2 ) + ( S + I ) =

( r 1 + ( S + I ) ) + ( r 2 + ( S + I ) ) = G( r1 + S ) + G( r 2 + S) ,

G( ( r1 + S ) #( r2 + S ) ) = G( ( r1 #r2 ) + S) = r 1 r2 + ( S + I ) =

( r1 + ( S+ I ) ) ( r 2 + ( S + I ) = G( r1 + S ) #G( r2 + S ) ,

由此可见G是环同态.

( ƒ )因ker G={ r+S , r I R | G( r + S ) = r + ( S + I ) = S+ I } ={ r+ S , r I R | r I S + I } = { r + S | r I S +I } = ( S + I )PS, 所以由FHT 得( RPS) P( S+I ) PS µRP( S+ I ) .

例5设R是一个交换环,I、K为R的两个理想,并且R=I©K,求证:

( • )对P a、b I R,存在c I R,使得c S a( modI) ,c S b( modK) ;

( ‚ )若任意一对a、b所确定的满足上述条件的c是唯一的]R µRPI ª RPK .

证明( • )由R=I©K]对Pa、b I R,存在i a、i b I I、k a、k b I K,使得a=i a+k a,b=i b

+ k b . 定义c= i b + k a , 可得到c- i a = k a = ( a- i a ) ] c- a= i b - i a I I ] c S (modI ) .

同理(c-k a) =i b= (b-k b)]c-b=k a-k b I K]c S b( modK) .

( ‚ ) 首先, 需要知道在何种条件下c 是唯一的. 给出a、b I R , 若存在c、cc都满足上述规定的与a、b的同余关系,即有

c S a( modI ) S cc ] c- ccI I ,

c S b( modK ) S cc ] c- ccI K ] c- ccI I H K ,

从而I H U= { 0}Z c=cc(即若存在唯一的元c既同余于a( modI)又同余于b( modK)则当且仅

当 I 与K 的交集生成的理想是平凡理想) .

用 G( r ) = ( r + I , r + K ) 定义G: R y RPI ª RPK , 我们可以验证:

G( r + s ) = ( ( r+ s) + I ,

( r + s) + K ) = ( r+ I , r + K ) = ( s + I , s+ K ) = G( r ) + ( s ) ,

G( r#s ) = ( ( r #s ) + I , ( r#s) + k) = G( r ) #G( s) ,

由此可知G是R到RPIªRPK的同态映射.又由于

ker G= { r I R | r + I = I , 且r + K = K } = { r I R | r I I 且r I K }