场论与张量-作业

《高等流体力学》作业-1

1、写出梯度、散度、旋度的数学定义式（分别用哈密尔顿算子和张量表示）并简述各自的物理含义。

2、写出高斯公式和斯托克斯公式，说明其物理含义。

3、采用直接微分的方法验证下列等式：

（1）rot grad 0ϕ= （2）div rot 0a = （3）div grad ϕϕ=∆

4、已知ij δ是克罗内克符号，验证下列各式成立：（1）ij j i a a δ=，（2）ij jk ik δδδ=，

（3）3ij ij ii δδδ==。

5、用张量表示法证明下列等式：

（1）()grad grad grad ϕφϕφφϕ=+

（2）div() div grad a a a ϕϕϕ=+⋅

（3）rot() rot grad a a a ϕϕϕ=+⨯（提示：ijk j k a b a b ε⨯=）

6、写出下述矢量方程直角坐标系下的分量形式以及张量形式（其中τ为二阶应力

张量）：()()u uu p g t

ρρρ∂+∇⋅=-∇+∇⋅+∂τ。