场论与张量-作业
张量习题参考答案
张量习题参考答案张量习题参考答案张量是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。
在学习张量的过程中，习题是不可或缺的一部分。
下面，我将为大家提供一些张量习题的参考答案，希望能帮助大家更好地理解和掌握张量的概念和运算。
1. 习题一：给定一个二阶张量A，其分量为A_ij = 2i + 3j，求A的迹和行列式。
解答：首先，二阶张量的迹定义为主对角线上各分量的和。
根据给定的分量表达式，我们可以计算得到A的迹为Tr(A) = A_11 + A_22 = 2(1) + 3(1) + 2(2) +3(2) = 14。
其次，二阶张量的行列式定义为主对角线上各分量的乘积减去副对角线上各分量的乘积。
根据给定的分量表达式，我们可以计算得到A的行列式为det(A) =A_11A_22 - A_12A_21 = (2(1) + 3(1))(2(2) + 3(2)) - (2(1) + 3(2))(2(2) + 3(1)) = -5。
因此，该二阶张量A的迹为14，行列式为-5。
2. 习题二：给定一个三阶张量B，其分量为B_ijk = i^2 + j^2 + k^2，求B的迹和行列式。
解答：对于三阶张量，迹的定义和二阶张量类似，即主对角线上各分量的和。
根据给定的分量表达式，我们可以计算得到B的迹为Tr(B) = B_111 + B_222 +B_333 = (1^2 + 1^2 + 1^2) + (2^2 + 2^2 + 2^2) + (3^2 + 3^2 + 3^2) = 36。
对于三阶张量的行列式，其定义稍有不同。
行列式的计算需要利用Levi-Civita符号进行求解。
根据给定的分量表达式，我们可以计算得到B的行列式为det(B) = ε_ijkB_ijk = ε_111B_111 + ε_222B_222 + ε_333B_333 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14。
因此，该三阶张量B的迹为36，行列式为14。
10高等流体力学练习题
高等流体力学练习题第一章 场论基本知识 第一节 场的定义及其几何表达1、（RX21）设点电荷q 位于坐标原点，则在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所产生的电场强度，由电学知为：34q E r rπε=，其中ε为介质系数，r xi yj zk =++为M 点的矢径，r r = 。
求电场强度的矢量线。
2、（RX22）求矢量场22()A xzi yzj x y k =+-- ，通过点M(2, -1, 1)的矢量线方程。
第二节 梯度1、（RX32）设r =M(x, y, z)的矢径的模，试证明：rgradr r=。
2、（RX33）求数量场u=xy 2+yz 3在点（2，－1，1）处的梯度及在矢量22l i j k=+- 方向的方向导数。
3、（RX34）设位于坐标原点的点电荷q ，由电学知，在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所产生的电位为：4q v rπε=，其中ε为介质系数，r xi yj zk=++为M 点的矢径，r r =。
求电位v 的梯度。
4、（BW7）试证明d dr grad ϕϕ=⋅ ，并证明，若d dr a ϕ=⋅，则a 必为grad ϕ。
5、（BW8）若a＝grad ϕ，且ϕ是矢径r 的单值函数，证明沿任一封闭曲线L的线积分0La dr ⋅=⎰ ，并证明，若矢量a沿任一封闭曲线L 的线积分0La dr ⋅=⎰，则矢量a必为某一标量函数ϕ的梯度。
第三节 矢量的散度 1、 （RX39）设由矢径r xi yj zk =++构成的矢量场中，有一由圆锥面x 2+y 2=z 2及平面z=H(H>0)所围成的封闭曲面S 。
试求矢量场从S 内穿出S 的通量。
2、 （RX41）在点电荷q 所产生的电场中，任何一点M 处的电位移矢量为34q D r r π= ，其中，r 为从点电荷q 指向M 点的矢径，r r=。
设S 为以点电荷为中心，R 为半径的球面，求从内穿出S 的电通量。
3、 （RX44）若在矢量场A内某些点（或区域）上有0divA ≠ ，而在其他点上都有0divA =，试证明穿过包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。
高等流体力学之第1讲 —— 场论与张量初步
Advanced Fluid and Gas Dynamics
大连理工大学能源与动力学院
主讲教师：刘宏升
二、怎样学习流体力学
1 透过数学公式抓物理本质 三大规律 守恒律 本构律 源律
2 结合实际问题（学位论文）
3 及时了解学科发展新动向
1
4
前言
一、关于流体力学
1 古老而年轻的科学 2 涉及众多学科与工程的基础科学 3 三大分支
练习题：设 u = f ( x , y , z ) ∈ C 2 , 求 grad u和 div(grad u ).
解： gradu = { f x , f y , f z }, div(gradu) = f xx + f yy + f zz .
散度定理——高斯定理
∫∫ S
An
d
若定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则 A·ds = An ds；若把A理解为流体的流速，则Ands就 表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。
对于闭曲面S，取其外侧为正，则： 表示A从S流出的通量.
ψ > 0 时，表示有净流量流出，存在流体源； ψ < 0 时，表示有净流量流入，存在流体负源； ψ = 0 时，表示没有净流量流出，无净流体源。
理论流体力学 实验流体力学 计算流体力学
2
三、补充参考书
1. 吴望一：流体力学(上，下）,北京大学出版社 2. 张兆顺等:流体力学(第二版),清华大学出版社 3. Zacrow,Hoffman: Gas dynamics Vol.1,2 4. 邹高万等：粘性流体力学，国防工业出版社 5. 王新月等：气体动力学基础，西北工业大学出版社
∂x ∂y ∂z 在点 M (x, y, z) 的散度。记为 :
张量考试试卷
张量考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 张量是多维数组的推广，它在数学中通常用来描述什么？A. 向量场B. 线性变换C. 标量场D. 矩阵2. 以下哪个不是张量的属性？A. 阶数B. 维度C. 线性D. 可微性3. 在张量代数中，两个张量的乘积被称为什么？A. 张量积B. 外积C. 内积D. 张量和4. 张量场在物理学中通常用来描述什么？A. 力B. 温度C. 位移D. 速度5. 张量的阶数是指什么？A. 张量中元素的数量B. 张量可以展开的维度数C. 张量在空间中的自由度D. 张量中非零元素的个数6. 张量分析中，哪种操作可以改变张量的阶数？A. 张量积B. 张量和C. 张量外积D. 张量内积7. 在连续介质力学中，应力张量是如何描述的？A. 描述物体内部的力B. 描述物体的位移C. 描述物体的变形D. 描述物体的体积变化8. 张量运算中的“缩并”操作是指什么？A. 将张量简化为更低阶的张量B. 将两个张量合并为一个C. 将张量中的某些维度进行求和D. 将张量中的元素进行排序9. 在张量代数中，张量的转置操作会改变张量的什么？A. 阶数B. 维度C. 元素的值D. 元素的排列顺序10. 张量场在广义相对论中扮演什么角色？A. 描述时空的曲率B. 描述物体的质量分布C. 描述物体的动量D. 描述物体的角动量二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述张量与矩阵的区别，并给出一个张量的例子。
2. 解释什么是协变导数，并说明它在张量场中的应用。
3. 描述张量积与外积的区别，并给出一个具体的例子。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个二阶张量 \( A \)，其元素为 \( A_{ij} \)，计算 \( A \) 的迹（trace）。
2. 考虑一个四维空间中的张量场 \( T^{ab}_{cd} \)，其中 \( a, b, c, d \) 都是从0到3的整数。
如果 \( T^{ab}_{cd} \) 在某一点\( P \) 处满足 \( T^{ab}_{cd} = T^{ba}_{dc} \)，计算在该点\( T \) 的对称化（symmetrized）形式。
张量与场论
标量场的方向导数和梯度
一、方向导数
设 M 0 为标量场 u uM 中的一点，从 M 0 出发引一条
射线 l ，在 l 上点 M 0 的邻近取一动点 M ，记 M0M
．若当 M M0 时比式 u uM u(M 0 ) 的极限存在，则
M0M
称它为函数 l u uM 在点 M 0 处沿 方向的方
29
（2）笛卡尔张量
二阶张量的代数运算 张量乘积 设 A aij 、B bkl ，分量相乘，
cijkl aijbkl
cijkl 是 4 阶张量。 可以证明一个 m 阶张量和一个 n 阶张量的乘积是 m + n 阶张量。
30
（2）笛卡尔张量
共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
对称张量
若二阶张量分量 sij 之间满足
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
x1 a11x1 a12 x2 a13x3
x2 a21x1 a22 x2 a23x3
x3 a31x1 a32 x2 a33x3
在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
i, j, k 奇排列， 213，321，132
23
（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk
ijk 有以下重要性质：
ijk ist js kt jt ks
ijk ijt 2 kt
ijk ijt jjkt jtkj 3kt kt 2kt
ijk ijk 2 kk 6
13
笛卡尔张量
14
§3 笛卡尔张量
一、张量
坐标旋转时能自身转换而保持不变的量，统称为张量
在三维空间和选定的坐标系中，需要用3n个数来 定义的量称为n阶张量
习题答案—第二章
第二章 正交曲线坐标系下的张量分析与场论1、用不同于书上的方法求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数及两坐标间的转换关系ij β。
解：①柱坐标系k z j i r++=ϕρϕρs i n c o s ，2222222dz H d H d H ds z ++=ϕρϕρ ()()k dz j d d i d d r d+++-=ϕϕρρϕϕϕρρϕcos sin sin cos()()222222222222222222222222222222c o s s i n s i n c o s c o s s i n 2c o s s i n s i n c o s s i n 2c o s c o s s i n s i n c o s dz d d dz d d d d dz d d d d d d d d dz d d d d r d r d ds ++=++++=+++++-=+++-=⋅=ϕρρϕϕρϕϕρρϕρϕϕρϕϕρϕϕρρϕϕϕρϕρϕϕρρϕϕϕρρϕϕϕρρϕ故：1=ρH ，ρϕ=H ，1=z H ②球坐标系k R j R i R r θφθφθc o s s i n s i n c o s s i n ++=，2222222φθφθd H d H dR H ds R ++=()()()kd R dR j d R d R dR id R d R dR r dθθθφφθθφθφθφφθθφθφθsin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -++++-+= ()()()2222222222s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i ns i n s i n c o s c o s c o s s i n φθθθθθφφθθφθφθφφθθφθφθd R d R dR d R dR d R d R dR d R d R dR r d r d ds ++=-++++-+=⋅=故：1=R H ，R H =θ，θφsin R H = ③两坐标间的转换关系ij βφr re e θe φPθru re e zu ze r(1)圆柱坐标系 （2）球坐标系由球坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r e i e j e k θφθφθφθθφθφθφφ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭注意，圆柱坐标系中的θ和球坐标系的φ相等。
场论作业
一、场的直观化【练习1】求矢量场222x y z A xy e x ye zy e =++的矢量线方程。
【练习2】通过梯度求曲面422=+xz y x 上一点)3,2,1(-M 处的法线方程。
（提示：设沿法线矢量为n ，法线上任意点的位矢为p r，则有()0p M r r n -⨯=）二、矢量场和标量场【练习3】求均匀矢量场A 通过半径为R 的半球面的通量Φ= 。
（如右图所示）【练习4】已知矢量场x y z r xe ye ze =++（1） 求由内向外穿过圆锥面222x y z +=与平面z H =所围封闭曲面的通量； （2） 求矢量场的散度，并求出（1）所围区域的散度体积分。
【练习5】已知矢量x y z A ye xe ce =-++(c 是常数) 沿下列曲线的环量：（1）求沿圆周0,222==+z R y x 曲线的环量； （2）求沿圆周222(2)x y R -+=、0z =的环量； （3）求矢量的旋度，解释（1）和（2）所求环量的关系。
【练习6】 设n r z y x z y x ,= , r e e e r++=为正整数， (1) 求∇∇∇r r f r n 2,,(),(2) 证明),(∇⋅=a r a a（是常矢量）【练习7】在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为24rq D e rπ=（1）求穿过原点为球心、R 为半径的球面的电通量； （2）试求电位移矢量D的散度。
【练习8】 利用矢量2xy e x e A y x+= 的旋度求矢量A 沿圆周222a y x =+的环流。
四、无旋场、无源场、拉普拉斯算符【练习9】对于标量场()f r 和()g r，试证明：（1） ()0=∇⨯∇f f （2） ()2222fg f g g f f g ∇=∇+∇+∇⋅∇【练习10】. 试计算（1）2ln r ∇ （2）22[()]r r∇∇⋅ ，式中0r ≠【练习11】试判断下列矢量场的类型（1）φφθφθφθsin cos cos cos sin e e e A r-+=，A 是（2）φρφφφρsin 2cos sin 22z e z e z e B z++=，B 是（3）z e x e x y e C z y x 2)23(22 ++-=，C 是。
流体力学-第一讲 场论与张量分析初步
ax ay az
10.01.2021
18
所以有： （向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程 迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述 是从欧拉法
15
二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
10.01.2021
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二、场的几何表示
2、 vector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
10.01.2021
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数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
10.01.2021
③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
10.01.2021
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梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为 常 数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
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四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
流体力学-第一讲,场论与张量分析初步
x2 y2
方向导数
f l
li m 0 f(xx,yy)f(x,y)
方向 f导 fc 数 o sfsin
运动学 动力学
以实际流体为主
24.11.2020
h
2
主要内容：
第一章 场论与张量分析初步
第二章 流体运动学
第三章 流体力学基本方程组
第四章 粘性流动基础
第五章 Navier-Stokes 方程的解
第六章 边界层理论
第七章 流体的旋涡运动
第八章 湍流理论
24.11.2020
h
3
第一章 场论与张量分析初步
h
8
矢量的标量积(数量积)（点积）(内积)：
功:当力F作用在质点上使之移动一无限小位移 ds,此力所做功定义为力在位移方向的投影乘以
位移的大小.
a b a b co a ,b s
coa ,sb axbxa yb yazbz ab
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
cx cy cz
a a b b c c c a c a b b b c a
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
24.11.2020
h
13
数量三重积几何意义：作为平行六面体的体积 。
a b c
c a b = 0 ， 是 a ,b ,c 共 面 的 充 分 条 件
矢量线的描述是从欧拉法引出
矢量线方程：
设
dr
是矢量线的切向元素，
则据矢量线的定义有
a d r0
直角坐标：
d r id x jd k y d z a ia x ja y k a z
则有：
第一章-场论及张量初步分析
全国范围内温度场分布
速度场
速度场
速度场
电场
磁场
均匀场：同一时刻场内各点 函数值都相等
定常场：场内函数值不随时 间t改变
均匀场
定常场
1.2 场的几何表示
等高线
等高线
根据等高线的相对位置、疏密程度 看出标量函数-高度的变化状况
矢量场的几何表示
矢量的大小是一个标量，可以用等位 面的概念来几何表示，矢量的方向则 采用矢量线来表示。
rotxa
az y
a y z
rot y a
ax z
az x
rot z a
a y x
ax y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系 中值公式：面积分与函数值的关系
i jk
rota
x y z
ax ay az
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
矢量线：线上每一点的切线方向与该 点的矢量方向重合
dr
r r
根据矢量定义有： a dr 0
直角坐标形式：
1.3 梯度-标量场不均匀性的量度
对于给定标量场 (r,t)，用它的梯度
来表明在任一时刻标量场中每点邻域 内的函数变化。
函数在M点上沿曲线S方 向的方向导数：
表明函数φ(r,t)在M点上 沿曲线S方向的变化率
p31
p13
1 2
p23
p32
0
二阶反对称张量
2 1
0
张量分解定理
二阶张量可以唯一地分解成为一个对称张 量和一个反对称张量之和。
P
1 2
P
Pc
1 2
P
Pc
1第一章-场论与张量基本知识
(r), a(r)
1.1 标量、矢量、场
场的几何表示
标量场可用函数等值面（线）来表示。 可直观看出函数值的大小分布，以及变 化快慢
矢量场可用矢量线来表示。 任一点的矢量方向可由矢量线的切线方 向定出；也可以从矢量线的疏密程度估 计矢量在各点的大小。
1.2 标量场的梯度
方向导数（Directional Gradient）
1. 如果一个方程式或表达式的一项中，一种下标只出现一次，则 称之为自由指标，自由指标在表达式或方程的每一项中必须只 出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次， 则称之为哑指标，它表示从1到3求和。哑指标在其他任何项中 可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程中的一项中，一种指标出现的次数多 于两次，则是错误的。
2 3
2
ij ij ij ij
i 1 j 1
3
3
1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
1.4 张量表示法
自由指标： 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
i j k x y z
是一个矢性微分算子，即在运算中具有矢量和微分的双重性质， 其运算规则是：
u u u u i j k x y z
Ay Ax A A i j z k x y z
Az Ay Ax Az Ay Ax A y z i z x j x y k
2 ( ) ( ),ij xi x j
uk ,ij
2uk xi x j
1.5 坐标变换与张量定义
张量分析及场论
u
w
v
图 1.1、矢量加法的平行四边形法则
W | F || u | cos
其中 F 、| u |分别表示矢量 F 、 u 的大小，θ表示矢量 F 与矢量 u 之间的夹角，这就 定义了一种称为点积的运算。
点积的定义： 设 u ，v 为两个任意不为零的矢量， 设| u |， | v |分别为其大小 （也称为模） 。 θ为这两个矢量之间的夹角，则 u 与 v 的点积为
张 量 分 析 及 场 论 Tensor Analysis and Field Theory
刘长根第一章 张量代数 ..................................................................................................................... 1 §1.1 点积、矢量分量及记号 ij .......................................................................................... 1 1.2 记号 ijk 、矢积（叉乘）、 关系 ........................................................................ 5 1.3、坐标变换 ...................................................................................................................... 9 1.4、并矢、张量 ................................................................................................................ 12 1.5 张量的代数运算 ........................................................................................................... 14 1.6 张量识别定理（商判则） ........................................................................................... 16 1.7、二阶张量 .................................................................................................................... 17 1.8、张量举例 .................................................................................................................... 21 习题一 ................................................................................................................................. 36 第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论 ................................................................. 39 2.1、矢量函数、及其导数与微分 .................................................................................... 39 2.2 场 ................................................................................................................................... 43 2.3、曲线坐标 .................................................................................................................... 45 2.4、标量场的方向导数、梯度 ........................................................................................ 49 2.5、矢量场的通量、散度、奥高定理 ............................................................................ 53 2.6、矢量场的环量、旋度、斯托克斯公式 .................................................................... 56 2.7、哈密顿算子 ................................................................................................................ 58 2.8、基矢量对坐标的导数及其应用 ................................................................................ 62 2.9、几种重要的场 ............................................................................................................ 69 习题二 ................................................................................................................................. 75 第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步 ....................................................................... 77 3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量 ................................................................................ 77 3.2、克里斯托弗尔符号及其性质 .................................................................................... 80 3.3、协变导数，逆变导数 ................................................................................................ 82
高等流体力学—场论及张量初步67页PPT
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
高等流体力学—场论及张量 初步
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
第一章场论及张量初步知识分享
证明：其他方向的方向导数可以由过M点的法 线方向上的方向导数来表示
lim(M1)(M)
n MM 1 0
MM 1
lim (M)(M)
s M M 0 M M
当M1无限接近M时，近 似为过M1点的切线
(M)(M 1)
M1 M M M co n,s s)(
MM MM1 cosn(,s)
(M)(M 1)
对于给定的矢量场a(r,t) ,在场内取一点M， 围绕M取无限小封闭曲线L，张于L上的曲面 为S，按右手螺旋法则定义S的法线方向n。
速度场
速度场
电场
磁场
均匀场：同一时刻场内各点 函数值都相等
定常场：场内函数值不随时 间t改变
均匀场
定常场
1.1 场的几何表示
等高线
等高线
根据等高线的相对位置、疏密程度 看出标量函数-高度的变化状况
矢量场的几何表示
矢量的大小是一个标量，可以用等位 面的概念来几何表示，矢量的方向则 采用矢量线来表示。
V a xx a yy a zz d V V a xx a yy a zz Q
函数在体积V上的积分
在积分体上Q点处的函数值
注意：Q点是积分体上的一个确定点
sandSVaxx
ay y
az z
Q
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
sandSVaxx
ay y
az z
Q
它来描述M点邻域内函数的变化状况，是标量 场不均匀性的量度。
g rad n
n
其他方向的方向导数可以由过M点的梯度 的大小来表示
g rad n
n
cosn,(s)
s
n
s•grad
梯度在直角坐标系中的表达式
0 场论与张量基本知识
l 上的单位向量， 设e cos i sin j 是方向
由方向导数公式知
f f f f f cos sin { , } {cos , sin } x y l x y gradf ( x , y ) e | gradf ( x , y ) | cos , 其中 ( gradf ( x, y ), e ) f 当 cos( gradf ( x , y ), e ) 1时， 有最大值. l
如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出
边界 l 上的场，反之亦然。
1.2.6 基本运算公式列表
a、微分公式
(1) 1
(2) 1 (3) (4)
1 2 2 1 f f A B A B
数学中的高斯定理 (Gauss’s theorem) 将体积 积分与面积积分联系起来，在流体力学中，可以 利用这一定理将通量与散度联系在一起。 令 V 为一封闭曲面所包围的体积，在曲面上 考虑一微小面积 dS，其外法线方向为n， dS＝ ndS 是一向量 ( 其大小为 dS ，方向为 n) ，令 A 表示一个 标量场、向量场或张量场，则高斯公式为
1.2.2 向量场的散度
(2) 向量A的散度 在直角坐标系中，A＝Ax i＋Ay j＋Az k
Ax Ay Az div A A x y z
散度等于零 (divA ＝ 0) 的向量场称为无源场或管式 场。div u＝0是不可压缩流体流动的连续性方程。 散度基本运算法则：
在向量场 A 中任取一点 M ，包围 M 作一微小体积 ΔV ， 其界面的表面积为ΔS。考虑向量A通过ΔS面的通量，除以 体积ΔV，令体积ΔV向M点无限收缩，得极限
高等流体力学—场论及张量初步
Vz diva lim V 0 x y z Q
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
a x a y a z diva lim V 0 x y z Q
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系 中值公式：面积分与函数值的关系
az a y rotx a y z a x a z rot y a z x a y ax rotz a x y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
grad i j k x y x
dr dxi dyj dzk
梯度的主要性质
grad i j k x y z
dr dxi dyj dzk
dr grad
dx dy dz x y z
an：矢量a在法线方向的投影 an dS:矢量a通过面积元dS的通量
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
在整个曲面上积分，得矢量a通过S面的通量
a dS n
s
实质上相当于函数的面积分
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
当S面为封闭曲面时，通量为：
a dS n
s
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
S 0
a dr
L
S
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系
a dr a dx a dy a dz x y z
L L
a z a y cos(n, x) s z y
i rota x ax j y ay k i z x az x j y y k 0 z z
第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论
第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论上一章讨论了张量的代数运算，而连续介质力学要求研究连续介质微元体之间的关系，这就要求把微积分引入张量的运算中，从而形成了张量分析与场论。
本章我们将重点介绍正交曲线坐标系中的张量分析及一些有关场论的知识，关于一般曲线坐标系中张量分析的知识不在我们课程讲授的范围之内，我们在第三章中给出有关内容的简单介绍，供有兴趣者参考。
相对于一般曲线坐标系，有些文献和教科书上也把正交曲线坐标系称为非完整系物理标架。
2.1、矢量函数、及其导数与微分1）.如果一个矢量A 随着某一参数q 在变化，则称这个矢量()q A为矢量函数，在直角坐标，也称笛卡尔坐标中()q A可表示为()()()()k q A j q A i q A q A z y x++=如果把矢量A 的起点放在原点，随着q 的变化，A的端点将在空间描述出一条曲线，这条曲线称为A的矢端曲线，矢端曲线是以参数形式给出的。
矢端曲线上一点M ，矢量叫做点M 的矢径，用r表示。
矢端曲线的参数方程为A r=，即其分量满足的方程为()q A x x =； ()q A y y =； ()q A z z = 例：圆柱螺旋线。
参数方程为：()k a j a i a rθθθθ++=sin cos其中θ为参数。
2）.矢量函数的导数矢量函数的导数的定义为：如()()qq A q q A q A q q ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 00lim lim存在，则称为()q A 在q 点的导数或导矢，记为qA ∆∆或A '。
在直角坐标中，由于i e是常矢量，因此导数的表达式为()()()()i i i i i q i i i i q q e qA e q q A q q A q e q A e q q A q Adq A d∂∂=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆000lim lim lim即k dqdA j dq dA i dq dA dq A d z y x++=s导矢()q A '的几何意义：如果导矢A ' 存在，且0≠'A ，则A '的方向表示矢端曲线的切线方向，并指向q 增加的方向。
流体力学习题
流体力学习题习题一 场论和张量代数1．证明 ()n n n n ⋅∇=⨯rot ,其中n 为单位向量。
2．证明n a n a n a ⋅⋅-⨯=[()()]grad rot div ，其中a 是变矢量，n 是单位常矢量。
3．用两种方法证明()()∇⨯⨯=-⋅∇-⨯⨯+a b a b a b a b a b rot +rot div 。
4．有一张量，将其分解为对称的和反对称的两部分，并以w 表示相当于反对称部分的矢量，12i ijk jk w p ε=。
试证 ()()2()P P ⋅⋅-⋅⋅=⋅⨯u v v u w u v ，其中u 及v 为任意矢量。
5．张量P 为反对称张量的充分必要条件是：对任意矢量a 有下述恒等式成立：a a ⋅⋅=()P 0习题二 流体运动描述1． 流体质点绕oz 轴以等角速度ω 旋转，（1）试以欧拉变量写出流体运动的速度场；（2）试以拉哥朗日变量写出流体质点的运动规律；（3）试分析流场的流线和轨迹；（4）试求流体质点的加速度；（5）用极坐标解此题。
2． 一维收缩管内的不可压缩流动，其速度分布为：)/1(1L x V V +=，试决定：（1）流场内任一质点的加速度（2）给出 t=0时刻位于0x x =点的质点的运动规律，并比较用两种方法得到的加速度。
3． 流体质点在定常流场内运动，流体质点是否具有加速度，为什么?4． 设流场为：2Xt u =，2Yt v =，0=w 。
试求流场的流线，流体质点的轨迹和加速度，并以拉哥朗日变数表示质点的速度和加速度。
5． 设流场为：ky u =，)(t x k v λ-=，0=w ，其中k 和λ 均为常数。
试求：t=0 时经过点M(a ，b ，c)的流线及t=0时经过M(a ，b ，c)处的流体质点的轨迹，最后考虑0=λ时的情形。
6． 考虑下述速度分量定义的二维流动： Cv Bt A u =+= 其中A 、B 、C 为常数。
试证流线为直线，质点的轨迹为抛物线。
张量习题参考答案
张量习题参考答案张量习题参考答案张量作为数学和物理学中的重要概念，经常出现在各种习题中。
在学习张量的过程中，我们常常会遇到一些难以理解或者复杂的习题。
本文将为大家提供一些张量习题的参考答案，帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
1. 张量的定义和性质习题：请定义张量，并列举一些张量的性质。
参考答案：张量是向量和矩阵的推广，是具有多个分量的多维数组。
它在数学和物理学中有着广泛的应用。
张量的性质包括：线性性、分量的变换规律、坐标系无关性、张量的积、张量的收缩等。
2. 张量的坐标变换习题：已知张量T在坐标系A下的分量为T^i_j，在坐标系B下的分量为T^k_l，求坐标变换关系。
参考答案：根据张量的变换规律，我们有T^k_l = ∂x^k/∂x^i * ∂x^j/∂x^l *T^i_j，其中∂x^k/∂x^i和∂x^j/∂x^l分别为坐标系A和坐标系B之间的转换矩阵。
通过求解这个方程组，我们可以得到坐标变换关系。
3. 张量的积习题：已知两个张量A和B，分别为A^i_j和B^k_l，请计算张量的积C=A*B。
参考答案：张量的积是通过分量的乘法和求和得到的。
对于C^i_l = A^i_j *B^j_l，我们可以通过对A和B的分量进行乘法运算，并对j进行求和，得到C的分量。
4. 张量的收缩习题：已知一个二阶张量T的分量为T^i_j，请计算张量的收缩。
参考答案：张量的收缩是通过对张量的分量进行乘法和求和得到的。
对于T^i_i，我们可以对i进行求和，得到收缩的结果。
5. 张量的应用习题：请列举一些张量在物理学中的应用。
参考答案：张量在物理学中有着广泛的应用。
例如，在相对论中，能动张量描述了物质和能量的分布；在电磁学中，麦克斯韦张量描述了电磁场的性质；在流体力学中，应力张量描述了流体的运动和变形等。
总结：本文提供了一些张量习题的参考答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握张量的概念和性质。
通过解答这些习题，我们可以加深对张量的理解，并将其应用于实际问题中。