人教版数学中考复习专项练习含答案：圆中线段和角的计算与证明高分技巧
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F
D
C
E
A
O
B
P
∵ BC=CD ， ∴∠ DAC= ∠CAB ，
又∵ AO=CO ，
∴∠ CAB= ∠ACO ，
∴∠ DAC= ∠ACO ，
∴ AD ∥ OC，
PC
∴
PD
PO
[ 来源 学科网 ZXXK]
PA
∵ PB OB,CD 2 2
PC
2
∴
PC 2 2 3
∴ PC 4 2
∵四边形 ABCD 为⊙ O 内接四边形
CE⊥ AB，
∠ BEC=90 °。
BEF +∠ FEC
FEC ∠ ECF =90 °。
BEF
ECF 。
tan BEF tan ECF 。 BF EF
。 EF FC ∴ EF2=BF·FC
又 DF =1， BD=DC =3，
BF =2， FC =4。
EF 2 2 。 ∵∠ EFC =90°，
∴∠ BFE =90°。
由勾股 定理，得 BE BF 2 EF 2 2 3 。
EF∥ AD ，
BE BF 2 。 EA FD 1 AE 3 。
∵ DOC
o
90 ，
∴四边形 OCPD 为矩形。
∴ PB PC DO 5 。
即⊙ P 的半径为 5 。 [来源 学科网]
∴ DP 3 ，∴点 P 坐标为 (3,5) 。
（ 2）过点 P 作 PM FH 于点 M 。
由题意，得 B '(0, 1) ，∴ DB ' 6 。
∵ DF
DP PF
8 ， [来源 学科网 ZXXK]
圆中线段和角的计算与证明高分技巧专项练习
1. 如图 1，在平面直角坐标系中，⊙ P 交 y 轴于 A（ 0， 9），B（ 0， 1），与 x 轴相切于点 C。
（ 1）求⊙ P 的半径和 P 点坐标； [ 来源学§科§网] （ 2）如图 2，作直径 EF ∥ x 轴交⊙ P 于点 E，F ，交 y 轴于点 D，B'与 B 关于 x 轴对称， 连接 B'F 交⊙ P 于点 H，求 FH 的长。
图1
图2
2. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ， AB 是⊙ O 的 直 径 ， AC 和 BD 相交于点 E， 且 DC 2=CE?CA 。
F D
C
E
A
O
B
P
（ 1）求证： BC= CD ； （ 2）分别延长 AB ， DC 交于点 P，过点 A 作 AF ⊥ CD 交 CD 的延长 线于点 F，若
∴∠ BCP= ∠ DAB
∴△ PCB∽△ PAD
∴ PC·PD=PB· PA
∴ 4 2 4 2 2 2 OB 3OB
∴ OB=4 ，即 AB=2OB=8 ， PA=3OB=12 ， 在 Rt△ACB 中，
2
AC AB2 BC 2 82 2 2 2 14
∵ AB 是直径， ∴∠ ADB= ∠ACB=90° ∴∠ FDA+ ∠ BDC=9°0 ∠ CBA+ ∠ CAB=90° ∵∠ CDB= ∠DAC ∴∠ BDC= ∠CAB ，
∴∠ FDA= ∠ CBA ， 又∵∠ AFD= ∠ACB=90° ， ∴△ AFD ∽△ ACB
AF AC 2 14
∴
7
FD CB 2 2
在 Rt△AFP 中，设 FD=x ，则 AF 7x
2
2
∴在 Rt△ APF 中，有 7x
x 6 2 122
32 求得 DF
2
圆中线段和角的计算与证明高分技巧专项练习 参考答案
1. 解：（1）连接 PC 、 PB ，过点 P 作 PD y 轴于点 D ，
1 ∴ DB DA AB 。 ∵ A(0,9), B (0,1) ，∴ AB 8, OB 1 ，∴ DB 4 ，
2
∴ DO 5 。
∵⊙ P 与 x轴相切于点 C ， ∴ PC x 轴。
PB =OB ， CD= 2 2 ，求 DF 的长。
3. 如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AD ⊥BC 于点 D ，过点 C 作⊙ O 与边 AB 相切于点 E， 交 BC 于点 F， CE 为⊙ O 的直径。
A
E
O
B
FD
C
（ 1）求证： OD ⊥ CE； （ 2）若 D F=1， DC =3，求 AE 的长。
3. 解：（1）证明： CE⊥ AB。
⊙ O 与边 AB 相切于点 E，且 CE 为⊙ O 的直径。
AB=AC ， AD⊥BC ，
BD DC 。 又 OE。
（ 2）解：如图，连接 EF。
A
E O
B
FD
C
CE 为⊙ O 的直径，且点 F 在⊙ O 上，
∠ EFC=90 °。
∴ FB ' 10 。 ∵ cos F FM
PF ∴ FM 4 。
DF
FM 8
，∴
。
FB '
5 10
∴ FH 8 。
2
2. （ 1）证明：∵ DC =CE?CA ，
DC CA
∴
CE CD
△ CDE∽△ CAD ， ∴∠ CDB= ∠DAC ， ∵四边形 ABCD 内接于⊙ O， ∴ BC=CD 。 [来源:Z,xx,] （ 2）解：如图，连接 OC，
D
C
E
A
O
B
P
∵ BC=CD ， ∴∠ DAC= ∠CAB ，
又∵ AO=CO ，
∴∠ CAB= ∠ACO ，
∴∠ DAC= ∠ACO ，
∴ AD ∥ OC，
PC
∴
PD
PO
[ 来源 学科网 ZXXK]
PA
∵ PB OB,CD 2 2
PC
2
∴
PC 2 2 3
∴ PC 4 2
∵四边形 ABCD 为⊙ O 内接四边形
CE⊥ AB，
∠ BEC=90 °。
BEF +∠ FEC
FEC ∠ ECF =90 °。
BEF
ECF 。
tan BEF tan ECF 。 BF EF
。 EF FC ∴ EF2=BF·FC
又 DF =1， BD=DC =3，
BF =2， FC =4。
EF 2 2 。 ∵∠ EFC =90°，
∴∠ BFE =90°。
由勾股 定理，得 BE BF 2 EF 2 2 3 。
EF∥ AD ，
BE BF 2 。 EA FD 1 AE 3 。
∵ DOC
o
90 ，
∴四边形 OCPD 为矩形。
∴ PB PC DO 5 。
即⊙ P 的半径为 5 。 [来源 学科网]
∴ DP 3 ，∴点 P 坐标为 (3,5) 。
（ 2）过点 P 作 PM FH 于点 M 。
由题意，得 B '(0, 1) ，∴ DB ' 6 。
∵ DF
DP PF
8 ， [来源 学科网 ZXXK]
圆中线段和角的计算与证明高分技巧专项练习
1. 如图 1，在平面直角坐标系中，⊙ P 交 y 轴于 A（ 0， 9），B（ 0， 1），与 x 轴相切于点 C。
（ 1）求⊙ P 的半径和 P 点坐标； [ 来源学§科§网] （ 2）如图 2，作直径 EF ∥ x 轴交⊙ P 于点 E，F ，交 y 轴于点 D，B'与 B 关于 x 轴对称， 连接 B'F 交⊙ P 于点 H，求 FH 的长。
图1
图2
2. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ， AB 是⊙ O 的 直 径 ， AC 和 BD 相交于点 E， 且 DC 2=CE?CA 。
F D
C
E
A
O
B
P
（ 1）求证： BC= CD ； （ 2）分别延长 AB ， DC 交于点 P，过点 A 作 AF ⊥ CD 交 CD 的延长 线于点 F，若
∴∠ BCP= ∠ DAB
∴△ PCB∽△ PAD
∴ PC·PD=PB· PA
∴ 4 2 4 2 2 2 OB 3OB
∴ OB=4 ，即 AB=2OB=8 ， PA=3OB=12 ， 在 Rt△ACB 中，
2
AC AB2 BC 2 82 2 2 2 14
∵ AB 是直径， ∴∠ ADB= ∠ACB=90° ∴∠ FDA+ ∠ BDC=9°0 ∠ CBA+ ∠ CAB=90° ∵∠ CDB= ∠DAC ∴∠ BDC= ∠CAB ，
∴∠ FDA= ∠ CBA ， 又∵∠ AFD= ∠ACB=90° ， ∴△ AFD ∽△ ACB
AF AC 2 14
∴
7
FD CB 2 2
在 Rt△AFP 中，设 FD=x ，则 AF 7x
2
2
∴在 Rt△ APF 中，有 7x
x 6 2 122
32 求得 DF
2
圆中线段和角的计算与证明高分技巧专项练习 参考答案
1. 解：（1）连接 PC 、 PB ，过点 P 作 PD y 轴于点 D ，
1 ∴ DB DA AB 。 ∵ A(0,9), B (0,1) ，∴ AB 8, OB 1 ，∴ DB 4 ，
2
∴ DO 5 。
∵⊙ P 与 x轴相切于点 C ， ∴ PC x 轴。
PB =OB ， CD= 2 2 ，求 DF 的长。
3. 如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AD ⊥BC 于点 D ，过点 C 作⊙ O 与边 AB 相切于点 E， 交 BC 于点 F， CE 为⊙ O 的直径。
A
E
O
B
FD
C
（ 1）求证： OD ⊥ CE； （ 2）若 D F=1， DC =3，求 AE 的长。
3. 解：（1）证明： CE⊥ AB。
⊙ O 与边 AB 相切于点 E，且 CE 为⊙ O 的直径。
AB=AC ， AD⊥BC ，
BD DC 。 又 OE。
（ 2）解：如图，连接 EF。
A
E O
B
FD
C
CE 为⊙ O 的直径，且点 F 在⊙ O 上，
∠ EFC=90 °。
∴ FB ' 10 。 ∵ cos F FM
PF ∴ FM 4 。
DF
FM 8
，∴
。
FB '
5 10
∴ FH 8 。
2
2. （ 1）证明：∵ DC =CE?CA ，
DC CA
∴
CE CD
△ CDE∽△ CAD ， ∴∠ CDB= ∠DAC ， ∵四边形 ABCD 内接于⊙ O， ∴ BC=CD 。 [来源:Z,xx,] （ 2）解：如图，连接 OC，