极值理论在风险价值度量中地应用
第7章极值理论、分位数估计与风险值
（7.3）
对 向 前 1 步 的 波 动 率 预 测 ， 由 方 程 （ 7.2 ） 知
t21 t2 (1 )rt2 。 因 此 ， 方 程 （ 7.3 ） 证 明 了 对
i 1,Var (rt i Ft ) t21 ，从而 t2 k k t21 结果说明 rt k Ft ～
k 天持有期的 VaR 为
VaR（k）=头寸数量× 1.65 k t 1 ， 其中 VaR 的变量（k）用来表示时间段。因此，在风险度量制下， 我们有
VaR(k ) k VaR ,
并称之为风险度量制下 VaR 计算的时间平方根法则。 7.2.1 讨论 风险度量制的一个优点就是简单，很易于理解和运用。另外 一个优点是它使得金融市场中的风险更加透明了。然而，因为证 券收益率常常有厚尾（或肥尾） ，所以正态性假定通常导致 VaR 的低估。其他计算 VaR 的方法也要避免作这样一个假定。 时间平方根法则是风险度量制中运用特殊模型的一个结果。 如果对数收益率的零均值假定或者具体的 IGARCH(1.1) 模型假 设不满足，则此准则就失效了。考虑下面这个简单模型：
（1，1）过程，α 的值通常取在区间（0.9，1）上，其中一个代 表值为 0.94. 这样一个特殊的随机游动 IGARCH 模型的良好性质是：利 用它很容易得到一个多期收益率的条件分布。具体来讲，对 k 个 周期的持有其，从时刻 t+1 到时刻 t+k（包含 t+k 时刻）的对数 收益率为
rt k rt 1 rt k 1 rt k
。方括号[k]表示 k 期收益
率。在方程（ 7.2 ）中具体的 IGARCH(1.1) 模型下，条件分布
rt k Ft
2 k t 是均值为 0、 方差为
度量风险价值的GPD变点统计模型及其应用
度量风险价值的GPD变点统计模型及其应用作者：汪朋来源：《时代金融》2012年第35期【摘要】本文在极值理论的GPD模型基础上，引入了变点统计方法，对GPD模型的阈值进行了定量选择，从而减少了一般极值理论因主观判断所引起的阈值选取的偏差。
最后，将此方法建立的模型应用到日元/美元汇率风险价值VaR和CVaR的计算中，取得了良好的效果。
【关键词】GPD模型变点阈值 VaR CVaR一、引言风险度量是金融风险管理的基础，而风险价值（VaR）及由此衍生的条件风险价值（CVaR）是当今金融风险测量的主流方法，是应用最广泛的一种工具。
传统的VaR和CVaR 计算方法一般都要对金融收益的分布类型进行假设，这降低了模型的可信性。
以极值理论为基础的GPD模型并不假设金融收益的整体服从某一分布，而只是研究分布的尾部特征，这样就避免了模型风险。
因此，近几年来，GPD模型越来越广泛地应用于金融风险的测量之中。
但在实际处理风险度量中的厚尾问题时，阈值的选取是GPD模型的一个关键环节，阈值选择过大，则可用的数据就会很少，参数估计的方差偏大；若选择过小，则导致参数估计有偏或不相合。
为此，很多学者在阈值的选择上作了大量的研究，Embrechts（1997）[2]建议使用模拟法，通过研究在不同阈值的情况下极值指数的形状来确定阈值的大小；Drees和Kaufmann （1998）[3]提出了利用重对数构造Hill估计的样本最优分割的停止时间以此选取阈值。
本文在以上研究的基础上，引入变点统计理论进行定量化的阈值选取，建立GPD变点统计模型，并将此方法应用到风险价值的计算中，以验证其有效性。
二、广义Pareto分布与阈值选取设X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量序列，分布函数F支撑的上端点为x*，对某固定的大值uu，则称它为超阈值（execeedance），称Xi-u为超出量（excess）。
在一定的条件下，超出量X-u服从广义Pareto分布（GPD分布）。
极值理论在金融风险度量中的应用
极值理论在金融风险度量中的应用作者：董兴志来源：《时代金融》2013年第14期【摘要】如何准确度量金融市场风险在金融风险管理中扮演着重要角色，而极值理论能对极端风险进行较准确的度量。
通过对沪深300指数的实证研究表明，广义帕累托分布能够很好地拟合极端日收益率数据，从而用建立在广义帕累托分布基础上的POT模型来度量投资者所面临的市场风险是合适的。
结果显示：基于正态分布假设得到的风险值小于POT模型的风险值。
【关键词】风险度量极值理论 POT模型广义帕累托分布一、引言金融风险管理的目标之一是对潜在巨大损失发生的规模和可能性大小进行准确度量。
从统计学角度来讲，巨大损失发生的规模和可能性大小分别对应着损失分布的高分位数和尾部概率。
一些参数方法和非参数方法能在有很多观测值的基础上很好地拟合经验损失分布，但对尾部的拟合效果很差，从而这些方法并不能满足风险管理者对超出观测的极端风险度量的需求。
而极值理论（Extreme Value Theory）很好地解决了这一问题，该理论是对尾部建模的一种方法，关注的是极端值而非全部数据，也就是不研究序列的整体分布情况，只关心序列的极端值分布情况，因而能对极端风险进行较准确的度量。
根据确认极值的方法不同，极值理论存在两种模型：第一种方法考虑在连续周期内的最大值，建立在此极值基础上的模型称为BMM（Block Maxima）模型，它利用广义极值分布来逼近损失分布的尾部情况；第二种方法考虑超过某一给定阈值的观察值，建立在此极值基础上的模型称为POT（Peak Over Threshold）模型，它利用广义帕累托分布（Generalized Pareto Distribution，简称GPD）来逼近损失分布的尾部情况。
由于POT模型能够更有效地使用数据、很方便地计算出在险价值（Value-at-Risk，简称VaR）和预期不足（Expected Shortfall，简称ES），因此POT模型已经成为实证研究中的首选模型。
经济数学在金融经济领域中的应用
经济数学在金融经济领域中的应用经济数学在金融经济领域中的应用导言经济数学作为经济学与数学的交叉学科，在金融经济领域中发挥着重要作用。
它利用数学模型和方法，帮助我们理解和解决各种经济问题，为金融经济决策提供科学依据。
本文将探讨经济数学在金融经济领域中的应用，并以实例说明其在风险管理、投资组合优化、金融市场分析等方面的重要性。
一、经济数学在风险管理中的应用1.1 方差-协方差模型方差-协方差模型是风险管理中常用的方法之一。
该模型通过计算相关金融资产的方差和协方差，评估投资组合的风险水平。
例如，我们可以通过计算投资组合中各个资产的历史收益率，进而计算出它们的方差和协方差，从而得到整个投资组合的风险情况。
这一模型的应用可以帮助投资者更好地理解投资组合的风险特征，进而进行合理的风险分散和资产配置。
1.2 随机过程模型随机过程模型是现代风险管理中广泛使用的数学工具之一。
它通过建立数学模型，描述金融资产价格和市场波动的随机性变动。
例如，布朗运动模型可以用来描述股票价格的随机变动，从而帮助投资者预测股票价格的未来走势。
这一模型的应用可以帮助投资者更好地进行风险控制和预测，提高投资效益。
二、经济数学在投资组合优化中的应用2.1 马科维茨模型马科维茨模型是投资组合优化中常用的方法之一。
该模型通过最小化投资组合的风险，同时最大化预期回报，寻找风险和回报之间的平衡点。
例如，我们可以通过计算投资组合中各个资产的期望收益率和方差，利用马科维茨模型得到最优的资产配置方案。
这一模型的应用可以帮助投资者进行有效的资产配置，实现收益最大化和风险最小化。
2.2 线性规划模型线性规划模型是投资组合优化中常用的方法之一。
该模型通过建立线性关系，优化投资组合的权重分配。
例如，我们可以通过设定投资组合的约束条件，如风险水平、收益要求等，利用线性规划模型确定最优的资产配置方案。
这一模型的应用可以帮助投资者在考虑多种约束条件的情况下，找到最合适的投资方案。
基于下界VaR和极值理论的风险管理模型及其实证分析的开题报告
基于下界VaR和极值理论的风险管理模型及其实证分析的开题报告一、研究背景和意义风险管理在金融领域中至关重要，因为市场的不确定性和波动性导致投资者可能面临财务损失。
因此，风险管理模型的开发和应用已成为实现金融稳定和风险规避的重要途径。
在过去的几十年中，有许多关于风险管理的研究，VaR和极值理论都是其中的两个热门话题。
VaR是一种广泛使用的风险度量方法，它可以帮助识别一个投资组合或一项交易的可能最大亏损。
极值理论是一种统计方法，用于估计小概率事件的发生概率。
VaR和极值理论可以结合使用，以提高对市场波动性和风险事件的估计和管理。
因此，基于下界VaR和极值理论的风险管理模型受到了广泛关注。
本文旨在构建基于下界VaR和极值理论的风险管理模型，并通过实证分析验证模型的有效性和应用性。
研究结果将有助于改善风险管理实践，并为金融机构提供更好的决策依据。
二、研究内容和方法本文将基于下界VaR和极值理论构建风险管理模型，包括以下几个方面：1.理论分析：对下界VaR和极值理论有关的理论进行分析和概述，探究它们在风险管理中的重要性和应用价值。
2.模型构建：结合下界VaR和极值理论，构建风险管理模型，并详细介绍模型的具体实现方式。
此外，本文还将探讨如何优化模型的参数设置以提高其准确性和预测能力。
3.实证研究：本研究将以历史数据和现实案例为基础，对构建的风险管理模型进行实证分析，并与其他常见的风险管理模型进行比较。
通过分析实验结果，确定最佳的风险管理策略。
三、预期成果和意义本文旨在构建基于下界VaR和极值理论的风险管理模型，并通过实证分析验证其有效性和应用性。
预期研究成果包括以下方面：1.构建一种新的风险管理模型，具有更好的风险度量和投资组合管理能力。
2.通过实证分析验证模型的有效性和应用性，并与其他常见的风险管理模型进行比较。
3.为实践中的金融机构提供更好的风险管理策略，并优化现有的风险管理模型。
本研究的意义在于对风险管理领域的研究做出贡献，为投资者和金融机构提供更好的风险管理方法和策略。
对尾部风险计量的方法
对尾部风险计量的方法尾部风险指的是低概率高风险事件的发生可能性。
这些事件通常具有灾难性，可能对经济、环境或人类生命造成极大伤害。
因此，在金融、保险、投资等领域，对尾部风险的计量方法非常重要。
本文将介绍几种常用的尾部风险计量方法。
1. 极值理论（EVT，Extreme Value Theory）极值理论是一种专门用于计量尾部风险的数理统计理论。
该理论认为，大部分随机事件具有平均性质，而极端事件则表现出独特的非平均特征。
如同正态分布可以用来描述大多数随机事件发生的可能性，极值分布可以被用来描述那些低概率高风险事件的可能性。
极值理论主要有两种类型：广义极值理论和极端值理论。
广义极值理论侧重于描述由各种因素影响而形成的极端值，如温度、降雨量等；而极端值理论则专注于描述在大量数据中，出现最大、最小值的概率分布。
在金融领域中，极值理论可用于计算股市指数的单日最大下跌，通过确定这个概率，投资者可以制定相应的风险管理策略。
极值理论也可以用于评估保险责任，在预测极端情况下保费的规模，以确保公司能够承担相应的赔偿责任。
2. 蒙特卡罗模拟（Monte Carlo simulation）蒙特卡罗模拟是一种广泛应用于金融和保险领域的模拟方法，它通常用于模拟风险并预测未来结果。
这种方法是基于概率原理的，通过使用大量的随机数实现预测或计算。
蒙特卡罗模拟通常能够提供更加准确的数字，尤其对于较为复杂的金融和风险问题，其可靠性非常高。
但蒙特卡罗模拟需要消耗大量的计算资源，因此在实际应用中需要选择适当的数据，以及适当的算法，以提高计算效率。
3. 历史模拟（Historical Simulation）历史模拟是一种简单但有效的尾部风险计量方法。
该方法通过收集一段历史数据，并将其用于预测当前和未来事件的可能性。
根据收集的历史数据，可以计算出一组可能的结果并进行概率分析。
通过这种分析，企业可以更好地了解自身风险，并决定如何管理他们的投资组合。
利用极值理论计量银行操作风险
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利 用 极 值 理 论 计 量 银 行 操 作 风 险
!全登华
目前理论界和金融机构发 展 出 多 种 计 量 操 作 风 险的损失分布法， 比如神经网络模型 、 因子模型以及 可靠性理论模型等。由于引致操 作 风 险 损 失 的 事 件 发生的频率低， 但造成的损失巨大， 从分布形态上看 具有强烈的厚尾分布特征。 极值理论法作为一种参数 估 计 方 法 ， 其 极 值 分 布是研究极端值的分布情况，它 可 以 在 总 体 分 布 未 知的情况下， 仅依靠样本数据， 得到 总 体 中 极 值 的 变 化性质。 !"传统极值理论 记 !" 是所观察到的损失， 记 #"$%&’(!)*+++!",， 根 据 -./01234.5516637"181"9: 定理，如果 !" 是 .+.+8 变 量 序 列 ， 并 存 在 常 数 ;"<=*8"!>? 和 非 退 化 分 布 函 数 使： @，
风险价值(VaR)和条件风险价值(CVaR)
其中： F (i) 为组合收益率的累积分布函数 上面的定义是从收益分布的左尾定义 VaR。有时候，我们需要从收益分布的右尾定义 VaR：
r
由于 VaR 不具有次可加性，即组合的 VaR 可能超过组合中各资产的加权平均 VaR，因此， 具有次可加性特点的 CVaR 常常被用来衡量组合的风险。CVaR 衡量了一定置信水平 α 下发 生损失超过 VaR 时的平均损失。具体地，其定义如下：
其中： f (i) 为组合收益率的概率密度函数 基于 Cornish-Fisher 展开式的 VaR 和 CVaR Cornish-Fisher 展开式将标准化之后的组合收益 r （ r 表示为
*
p p
*
= (r − µ p ) / σ p
）的百分位数 α 近似
其中： µ 为组合收益的均值， σ 为组合收益的标准差， c(α) 为标准正态分布 α 百分位数， s 为组合收益的偏度， k 为组合收益的峰度 因此，组合收益 r 的百分位数 α 近似为： µ + σ q ，即VaR(1− α) = −[µ + σ q] 组合的 CVaR 为：
1 σmax, n
[1 + ξmax, n ( }
X max, n − µmax,n σmax,n
)]
−(1+ξmax,n ) / ξmax,n
)]
−1/ ξmax,n
X max,n
的渐进分布还可以用广义帕累托分布（GPD） G
5
max
( x)
来表示（Pickands，1975）
Gmax ( x) = 1 + ln( H max ( x))
基于历史模拟 基于历史模拟的 历史模拟的 VaR 和 CVaR 用组合收益率的历史观测值的经验分布来计算 VaR 和 CVaR 下面给出基于历史模拟、 正态分布和 Cornish-Fisher 展开式计算 VaR 和 CVaR 的 Matlab 函数。
基于极值理论的VaR及其在中国股票市场风险管理中的应用
基于极值理论的VaR及其在中国股票市场风险管理中的应用基于极值理论的VaR及其在中国股票市场风险管理中的应用一、引言随着金融市场的不断发展与变化，风险管理成为投资者和金融机构必须面对的重要问题。
其中，价值-at-风险（Value-at-Risk，VaR）作为衡量风险的一个重要指标，得到了广泛的关注和应用。
本文旨在介绍基于极值理论的VaR，并探讨其在中国股票市场风险管理中的应用。
二、基于极值理论的VaR概述VaR是对投资组合或资产的潜在最大损失进行估计的一种方法。
基于极值理论的VaR是通过极端事件的分析来评估可能的风险。
该方法认为，金融市场的价格变动往往是非正态分布的，存在着尾部风险。
因此，通过分析尾部风险，更准确地测量风险成为可能。
1. 极值理论概述极值理论是研究极端事件发生概率和极端值分布的理论。
在金融领域，极值理论被广泛应用于风险管理中。
极值理论有两个核心概念：极值分布和极值指数。
其中，极值分布是指极端事件的概率分布，常用的极值分布有Gumbel分布和Frechet分布等；极值指数是指构建VaR所需要的参数，用于描述极端事件的性质。
2. VaR的计算方法基于极值理论的VaR通过以下步骤计算：（1）选择极值指数；（2）拟合极值分布；（3）估计VaR。
三、极值理论的VaR在中国股票市场风险管理中的应用中国股票市场是一个高度波动且风险较高的市场，因此，正确评估风险并科学管理风险至关重要。
基于极值理论的VaR在中国股票市场的风险管理中具有重要的实际应用价值。
1. 极值理论的VaR模型适用性基于极值理论的VaR模型能够较好地适应中国股票市场的特点。
中国股票市场的价格变动具有明显的非正态分布特点，存在着尾部风险。
极值理论的VaR模型通过捕捉尾部风险，对股票市场的风险进行了更准确的测量，能够更好地反映实际风险。
2. 极值理论的VaR模型优势相比传统的VaR模型，基于极值理论的VaR模型具有以下优势：（1）对极端事件的更准确估计：基于极值理论的VaR模型适用于尾部风险的估计，能够更好地捕捉金融市场中的极端事件。
金融市场风险的的度量基于极值理论的我国A股市场实证分析
金融市场风险的度量——基于极值理论的我国A股市场实证分析西南财经大学硕士学位论文金融市场风险的度量??基于极值理论的我国A股市场实证分析姓名:胡兴军申请学位级别:硕士专业:数量经济学指导教师:徐浪20071101中文摘要中文摘要在现代经济活动中,金融市场扮演着越来越重要的角色。
在金融市场中, 投资者和金融机构面临着经济、货币政策以及国家政治环境等因素对市场影响所带来的金融资产价格异常波动的风险。
应该如何预期所持有资产的收益和风险,成为投资者和金融监管机构关注的热点:市场风险成为现代金融风险管理的主要内容。
特剐是世纪年代以来,随着利率、汇率波动的加剧,金融管制的放松和金融自由化的发展,全球范围内的汇率、利率、股票价格呈现高度的波动性,随着金融市场的创新,为规避和对冲市场风险,出现了大量的金融衍生工具,而事实上在风险规避方面收效甚微,更多的是套利,进一步加大了市场的波动程度。
年代以来,金融市场不断出现大幅的市场振幅,近年来,国际金融界也经受了很多危机。
从大范围的欧洲货币危机,墨西哥金融危机,亚洲金融危机,到英国巴林银行和美国长期资本管理公司的倒闭,金融机构接受着各种风险带来的考验。
监管当局也频频出台新的政策,特别是巴塞尔银行监管委员会于年推出的《巴塞尔新资本协议》, 对金融机构的风险管理提出了更严格的要求。
对于市场风险的管理,其过程十分复杂,但对于市场风险的度量是整个金融市场风险管理过程中很重要的一个环节。
风险的度量包括衡量风险导致损失的可能性的大小以及损失发生的范围和程度。
金融市场风险度量的方法包括灵敏性分析方法、波动性分析方法、、压力测试、方法等。
多数的风险度量方法都涉及到对组合收益率的分布假设,通常情况下假设收益率是正态独立同分布的,整体的分布特点就可以用均值和方差来表示。
但我们经常会发现:收益率的分布具有胖尾细腰分布而不是正态分布:收益率的分布一般是负偏斜的,且在左尾比在右尾存在更多的观察值,即极端损金融市场风险的度量失比极端收益以更大的概率出现;每日收益率之间存在小的正相关。
极值Copula在商业银行操作风险度量中的应用
1引言极值Copula 的出现和应用为商业银行操作风险分析提供了一个新的探索方向。
它将联合分布与它们的边际极值分布连接在一起，提供了一种描述相依性结构的方法。
运用极值Copula 理论建立操作风险模型时，可将随机变量的边际极值分布和它们之间的相关结构分开来研究，它们的相关结构可由一个极值Copula 函数来描述，可以捕捉到变量间非线性、非对称的相关关系，这使建模问题大大简化，同时也有助于我们对很多操作风险问题的分析和理解。
由于这些性质和特点，使得极值Copula 理论得到广泛重视和应用。
2多元极值Copula 函数定理1（Sklar ’s 定理）[1]假定一个多维分布函数的边际分布函数为F 1(x 1)，...，F n (x n )，则存在一个Copula 函数，满足H (x 1，......，x n )=C (F 1(x 1)，......F n (x n ))如果F 1(x 1)，......F n (x n )是连续的，则Copula 函数是唯一确定的，反之亦然。
由这个定理可知，当我们确定了多个变量的边摘要：本文主要内容是针对新巴塞尔协议把商业银行操作风险纳入风险量化和监管领域，应用极值Copula函数分析我国商业银行各类操作风险之间的相依结构，将操作风险度量从一维拓展到多维。
目前对所有的事件类型值简单加总求得操作风险的总资本要求，没有考虑事件类型之间的相关性，这与实际情况是不符合的。
为此本文在分析我国商业银行各类操作风险之间的相依性的基础上，运用极值Copula 函数建立实际操作风险的相依结构，构建计算操作风险总VaR 值的极值Copula 模型。
关键词：操作风险；极值模型；Copula极值Copula 在商业银行操作风险度量中的应用王博孟生旺作者简介：王博，1986年生，江苏徐州人，现为中国人民大学统计学院风险管理与精算学专业在读博士生；孟生旺，中国人民大学统计学院副院长，教授，博士生导师。
金融风险管理中的极值理论应用研究
金融风险管理中的极值理论应用研究摘要：金融市场中的风险管理是一个至关重要的领域，而极值理论是一个被广泛应用于金融风险管理的工具。
本文旨在研究极值理论在金融风险管理中的应用，并探讨其对金融市场的意义。
引言：金融市场的不稳定性和风险性一直是人们关注的焦点。
随着金融市场的发展和创新，投资者面临的风险也不断增加。
因此，研究金融风险管理变得愈发重要。
极值理论是一种重要的工具，被广泛用于金融风险管理领域。
它能够有效地识别和衡量金融市场中的极端事件，为投资者提供更全面的风险评估依据。
一、极值理论的基本原理与方法极值理论是以极值统计学为基础的一种方法，它基于极端事件的特征和规律，通过利用样本中的极值观测数据进行风险度量和预测。
极值理论主要包括极大值理论和极小值理论两种方法。
极大值理论主要应用于风险度量和金融资产组合的选取，而极小值理论则适用于金融市场中的风险预测。
二、极值理论在风险度量中的应用1. 极值理论提供了更准确的风险度量方法。
传统的风险度量方法无法有效地捕捉金融市场中的极端事件，而极值理论能够通过极值观测数据对极端事件进行统计和建模，更准确地衡量金融市场中的风险。
2. 极值理论能够识别和管理风险暴露。
金融市场中经常发生的金融危机和风险事件对投资者产生严重影响，而极值理论能够帮助投资者及时识别和管理这些风险暴露，降低损失的风险。
三、极值理论在风险预测中的应用1. 极值理论能够提供更准确的风险预测。
金融市场中的波动性和不确定性使得风险预测变得困难，传统的统计模型往往无法满足这一需求。
而极值理论能够通过极值观测数据对未来的风险进行预测，为投资者提供更准确的风险预估。
2. 极值理论能够应对金融市场中的极端事件。
金融市场中的极端事件具有不确定性和非线性的特点，传统的统计模型无法很好地应对这些极端事件。
而极值理论能够通过对极值观测数据的建模和分析，为投资者提供更全面的风险管理策略。
结论：极值理论作为金融风险管理的重要工具，在金融市场中有着广泛的应用。
极值理论在金融风险评估中的应用
极值理论在金融风险评估中的应用近年来，金融市场波动不定，风险增加。
作为经济的重要组成部分，金融风险的评估和管理变得尤为重要。
在金融风险评估中，极值理论被广泛应用，成为一种有效的工具。
极值理论源于统计学中的极值分布理论，其核心思想是基于过去的极端事件来预测未来的极端事件。
通过分析极端事件的概率、幅度和频率等特征，极值理论能够从大量数据中提取出最重要的信息。
这使得其在金融风险评估中具有独特的优势。
首先，极值理论能够帮助金融从业者对金融市场极端风险进行有效评估。
传统的风险评估方法往往只关注正态分布的风险，而忽视了尾部风险。
然而，在金融市场中，尾部风险往往是最具破坏力的，导致金融灾难的发生。
极值理论通过将极端事件作为关注点，能够更准确地评估尾部风险，避免忽视关键的风险点。
其次，极值理论能够帮助金融从业者更好地理解和管理风险暴露。
金融市场的波动性使得投资者面临不确定性，需要对风险进行有效分析与管理。
极值理论通过对极端事件的研究，有助于金融从业者更好地了解风险的特征和分布规律。
在这基础上，他们可以制定更科学的投资策略和风险管理方案，提高资产配置的效率，降低投资者的风险暴露。
此外，极值理论还可以帮助金融从业者进行压力测试和风险厌恶度量。
金融市场的复杂性使得风险评估不仅仅需要考虑单一的因素，还需要关注多种变量之间的交互效应。
极值理论提供了一种分析多维变量的方法，能够帮助从业者进行更全面、更深入的压力测试和风险度量，为决策提供更可靠的依据。
然而，尽管极值理论在金融风险评估中具有明显的优势，但也存在一些问题和挑战。
首先，极值理论要求数据满足一定的条件，如独立同分布、稳定性等。
然而，金融市场的数据往往并不满足这些条件，从而使得极值理论的应用受到了限制。
其次，极值理论在模型选择和参数估计上也存在一定的困难，需要根据具体情况进行灵活调整和适应。
综上所述，极值理论在金融风险评估中发挥着重要的作用。
其能够提供更准确、更深入的风险评估结果，帮助金融从业者更好地理解和管理风险，提高投资效率和决策质量。
基于极值理论和copula模型的市场风险度量
02
极值理论
极值理论的定义与类型
极值理论定义
极值理论是研究极端条件下随机变量的概率分布和统计特性 的理论。
极值类型
根据极值发生的速度，可分为两类：稀有事件和厚尾事件。
极值统计模型
GPD模型
广义帕累托分布模型，用于描述极端 值分布的形状和参数。
EVT模型
极端值理论模型，用于估计极端值的 概率和统计特性。
。
02
参数估计
极值理论中的参数估计方法包括POT（Peaks Over Threshold）方法
和Hill估计方法。这些方法通过分析历史数据中的极端事件，估计极端
事件的概率和影响。
03
风险度量
基于极值理论的市场风险度量方法包括风险价值、尾部风险端市场条件下可能发生事件的定量
Copula函数定义
Copula函数是一种将多个随机变量的联合分布表示为它们边缘分布的函数。
Copula函数的性质
Copula函数具有单调递增、严格递增、连续和严格凸等性质，这些性质使得Copula函数在描述金融市场风险时 具有很好的适用性。
Copula模型的基本框架
边缘分布
描述单个随机变量的分布情 况。
展望
未来研究可以进一步拓展极值理论和 copula模型在市场风险度量中的应用。例 如，可以研究如何将其他金融衍生品（如期 权、期货等）纳入风险度量框架，以更全面 地反映市场的风险状况。此外，还可以探讨 如何将机器学习等先进技术应用于市场风险 度量中，以提高风险度量的准确性和效率。
07
参考文献
参考文献
本研究通过实证分析验证了极值理论在市场风险度量中的有效性，能够准确刻画金融时 间序列的尾部行为，为市场风险度量提供了有力支持。
风险控制_极值法计算在险价值
风险控制_极值法计算在险价值极值法概述在介绍前面四种计算在险价值的方法时，我们都假设资产收益率的变动服从正态分布或者对数正态分布，但事实上这种假设有时并不成立。
而且，在大多数情况下，我们在意的是极端损失所带来的影响，因此，我们预先定义一个阈值，并且统计超出这个阈值的损失，究竟对应多少在险价值，这样，能够更有效地控制投资组合的风险。
利用极值理论计算VaR的思路是假定样本数据服从独立同分布的，应用极值理论的POT（Peaks Over Threshold）模型估计超额尾部的分布函数，计算分布尾部的分位数从而估计VaR。
超越阈值方法（Peak Over Threshold）假设序列{z t}的分布函数为F(z)，定义F u(y) 为条件超限分布（conditional excessdistribution function, cedf）,它是随机变量Z 超过阈值u 的条件分布函数，可表示为：F u(y)= P (Z −u ≤y |Z >u ) y ≥0根据条件概率公式我们可以得到：F u y=F u+y−F u1−F u=F z−F u1−F u→F z=F u y×1−F u+F u z≥uPickands (1975)定理证明了，对于一大类分布F （几乎包括所有的常用分布），当u 足够大时，条件超限分布函数F u (y)，存在一个广义帕累托分布,G ’ξ,Ϭ (y)使得：F u y ≈G ξ,σ‘=1−(1+ξσy)−1ξ(ξ≠0)1−e −y σ(ξ=0)u →∞Pickands 定理的好处在于原分布下的条件超限分布F u (y)可以转化，用广义帕累托绝对分布GPD 表示。
下图对比了标准GPD(阈值u = 0，σ=1)在ξ=−0.4，ξ= 0，ξ= 0.4的分布图。
从图形可见ξ的不同取值取决了尾部的厚度，ξ越小尾部越薄，ξ越大尾部越厚。
另外从G ’ξ,Ϭ (y)函数可见当ξ= −0.4 < 0时，y 的最大取值为1 /0.4= 2.5，有上界。
基于极值理论的var及其在中国股票市场风险管理中的应用最新经济学类】
To evaluate VaR exactly, appropriate models must be choosed to fit distribution of returns series. So the dissertation firstly analysed statistic features and distribution of returns series in order to choose sound models. The analysis showed that Chinese stock returns series have fat tails and excess kurtosis, weak auto-relation and volatility clustering, and although relation between Shanghai stock market and Shenzhen stock market is changing by time, the two stock markets have the long-term stable equilibrium relationship.
基于极值理论和Copula模型的市场风险度量研究
基于极值理论和Copula模型的市场风险度量研究市场风险作为金融风险一个重要的组成部分,研究如何准确度量市场风险对于做好金融风险管理工作非常有必要。
极值理论作为一种对数据尾部极端值进行建模的统计理论,Copula模型作为一种用来确定随机向量的联合分布和多个随机变量间相依结构的统计模型,它们被广泛运用到金融风险度量中。
论文选用目前应用最广泛的风险值(VaR)作为度量市场风险的工具,着眼于极端事件对金融市场的冲击及各种成分资产间的相依结构,研究在极值理论和Copula模型下的市场风险度量方法,并针对不同领域的金融产品和投资组合的风险值进行了实证分析。
具体的工作和结论有:(1)一元资产市场风险度量。
这一部分主要结合时间序列模型和极值理论进行研究,实证分析了原油市场和外汇市场的市场风险。
原油市场采用WTI市场原油现货的日对数收益率作为样本序列。
首先,为了刻画出该序列的非正态、尖峰厚尾、异方差和波动集聚性等特点,在AIC准则下选择合适的GARCH类模型对数据进行过滤得到渐近独立的新息序列。
其次,为了突出极端事件对市场风险造成的重要影响,采用极值理论中的超阈值模型对新息序列建模;最后估计出静态和动态两种情形下的VaR,并通过回测检验比较该模型估计出的静态VaR和传统的方差-协方差方法估计出的VaR,发现该模型的预测结果更精确和有效。
为了克服传统极值理论假设序列尾部是独立同分布的不足,论文结合Iglesias给出的新估计尾指数方法和传统的Hill估计尾指数方法,将极值理论和GJR-GARCH模型相结合,估计外汇市场的VaR。
结合我国政府和涉及外汇业务的机构的实际情况,选择人民币作为基准,分析研究了几种重要外汇对人民币汇率的VaR,实证结果表明新尾指数方法相对于传统方法估计出的VaR更有效。
(2)二元投资组合市场风险度量。
在这一部分中,论文在理论研究和实证分析两方面都进行了一些研究和探讨。
理论研究部分主要分为边缘分布建模和成分资产间相依结构建模两部分。
数学在金融风险中的应用
数学在金融风险中的应用金融市场中的风险管理是一项十分重要且具有挑战性的任务。
为了应对金融市场中的风险，数学在金融风险管理中起到了非常关键的作用。
本文将探讨数学在金融风险管理中的应用，并介绍一些常见的数学模型和技术。
一、风险评估与测量在金融市场中，风险评估与测量是风险管理的第一步。
数学模型被广泛应用于风险评估和测量中。
其中，最为常见的是价值风险模型（Value at Risk，VaR）技术。
VaR通过利用历史数据和概率统计方法，估计在特定置信水平下的最大可能损失。
VaR模型可用于评估各种金融产品的风险，如股票、期货、期权等。
此外，数学方法还包括极值理论、Copula函数等，用于衡量极端风险和相关性。
二、金融衍生品定价金融衍生品的定价是金融市场中的重要问题之一。
数学在金融衍生品定价中发挥着关键作用。
例如，布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）期权定价模型是一个基于随机微分方程的模型，用于计算欧式期权的合理价格。
此外，还有许多其他数学模型被广泛用于其他类型的金融衍生品的定价，如互换、远期合约、期货等。
这些数学模型能够帮助金融机构更好地定价和管理他们的风险。
三、投资组合优化投资组合优化是一个复杂的数学问题，目的是找到给定风险下的最优投资组合。
通过使用数学模型和优化算法，投资者可以确定最佳的资产配置，以最大化收益或最小化风险。
马科维茨（Markowitz）均值-方差模型是一个经典的投资组合优化模型，通过考虑资产之间的相关性和期望收益率来找到最优的资产配置。
除了马科维茨模型之外，还有其他一些数学模型和方法可用于解决投资组合优化问题，如半方差模型和跟踪误差模型等。
四、时间序列分析时间序列分析是一种分析和预测时间数据的统计方法，也被广泛应用于金融风险管理中。
通过对历史数据进行分析，可以辨别出数据中的趋势和周期性，从而预测未来的走势。
时间序列分析常用于股票价格预测、利率预测、波动率预测等。
通过使用各种数学模型（如自回归移动平均模型、ARCH/GARCH模型等），可以提高对未来风险的预测准确性。
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极值理论在风险价值度量中的应用1、引言自20世纪70年代以来，金融市场的波动日益加剧，一些金融危机事件频繁发生，如1987年的“黑色周末”和亚洲金融危机，这使金融监管机构和广大的投资者对金融资产价值的暴跌变得尤为敏感。
金融资产收益率的尖峰、厚尾现象也使传统的正态分布假定受到严重的质疑，因此如何有效地刻画金融资产收益率的尾部特征，给出其渐进分布形式，及各种风险度量模型的准确估计方法和置信区间，依此制定投资策略，确定国家监管制度，成为风险度量和管理所面临的巨大挑战。
目前，对金融资产损失的估计方法主要包括历史模拟、参数方法和非参数方法。
历史模拟是一种最简单的方法，它利用损失的经验分布来近似真实分布，但是该方法不能对过去观察不到的数据进行外推，更不能捕获金融资产收益序列的波动率聚类现象，而受到大量的批评。
参数方法假设收益符合某种特定的分布如：正态分布、t分布等，再通过分布与样本的均值、方差的匹配对参数进行估计，或者是假设收益符合某种特定的过程如：ARMA模型、GARCH模型，该方法可以在一定程度上解释尖峰后尾现象和波动率聚类问题，具有比较好的整体拟和效果。
不过参数方法只能对已经到来的灾难信息给出准确的估计，对于即将到来的灾难信息无法给出准确的预测，因此对极端事件的估计缺乏准确性。
非参数方法则主要包括极值理论（EVT），该理论不研究序列的整体分布情况，只关心序列的极值分布情况，利用广义帕累托分布（generalized Pareto distribution）或者广义极值分布（generalized extreme value distribution）来逼近损失的尾部分布情况。
Danielsson and de Vries （1997）以7支美国股票构成的组合为样本比较各种模型的表现情况，发现EVT的表现比参数方法和历史模拟方法明显的好。
Longin（2000）认为极值理论的优点在于它的没有假设特定的模型，而是让数据自己去选择，而GARCH模型作为估计风险的一种方法，它只能反映当时的波动率情况，对于没有预期到的变化缺乏准确性。
不幸的是，Lee and Saltoglu （2003）把EVT模型应用到5个亚洲股票市场指数上，发现表现令人非常不满意，而传统的方法尽管没有一个在各个市场表现都是绝对优于其它模型的，但都比EVT模型的表现好。
本人认为EVT模型之所以在亚洲市场表现不好主要是因为亚洲金融市场的数据具有很强的序列相关和条件异方差现象，不能满足EVT模型要求的独立同分布假定。
另外，Jondeau and Rockinger（1999），Rootzen and Kluppelberg（1999），Neftci（2000），Gilli and Kellezi（2003）和Christoffersen and Goncalves（2004）也分别采用极值原理和其他模型对金融数据的尾部特征进行了分析和比较。
本章在传统单纯采用极值理论（假设被分析数据是独立同分布的）描述金融资产收益尾部特征的基础上，把ARMA－(Asymmetric)GARCH模型和极值理论有机的结合起来。
首先利用ARMA－(Asymmetric)GARCH模型捕获金融数据中的序列自相关（Correlation）和异方差（Heteroskedasticity）现象，利用GMM估计参数，获得近似独立同分布的残差序列，再采用传统的极值理论对经过ARMA－(Asymmetric)GARCH模型筛选处理过的残差进行极值分析，在一定程度上克服了传统单纯采用极值理论时，由于金融数据序列自相关和波动率聚类现象不能满足极值理论假设所造成的估计误差。
另外，本章还采用Bootstrap 的方法给出了采用极值理论估计出的VaR和ES在某一置信水平 下的置信区间改进了采用似然比率法估计置信区间时，由于极值事件的小样本所造成的误差。
最后，我们利用中国上证指数自1990年12月19到2004年9月30日的对数日收益率进行实证研究给出上证指数的VaR和ES值，及置信区间。
2、VaR和ES的概念：VaR（Value－at－Risk）是一种被广泛接受的风险度量工具，2001年的巴塞耳委员会指定VaR 模型作为银行标准的风险度量工具。
它可以定义为在一定的置信水平p 下，某一资产或投资组合在未来特定时间的最大损失，或者说是资产组合收益损失分布函数的分位数点。
假设X 代表某一金融资产的收益，其密度函数为()f x ，则VaR 可以表示为：inf{|()(1)}p VaR x f X x p =-≤>- （1）当密度函数()f x 为连续函数是也可以写作：1()p VaR F p -=-，其中1F -称为分为数函数，它被定义为损失分布()F x 的反函数。
该模型计算简单，在证券组合损失X 符合正态分布，组合中的证券数量不发生变化时，可以比较有效的控制组合的风险。
但是VaR 模型只关心超过VaR 值的频率，而不关心超过VaR 值的损失分布情况，且在处理损失符合非正态分布（如后尾现象）及投资组合发生改变时表现不稳定，会出现()()()p p p VaR X Y VaR X VaR Y +≥+ （2）的现象，不满足Artzner （1999）提出了一致性风险度量模型的次可加性。
()p ES （Expected shortfull ）满足Artzner （1999）提出的次可加性、齐次性、单调性、平移不变性条件，是一致性风险度量模型。
它的定义如下：在给定的置信水平p 下，设X 是描述证券组合损失的随机变量，()[]F x P X x =≤是其概率分布函数，令1()inf{|()}F x F x αα-=≥，则()()ES X α可以表示为：11()01()()p p ES X F d p αα--=-⎰ （3） 在损失X 的密度函数是连续时，()p ES 可以简单的表示为：{|()(1)}p ES E x F x p =-≤-。
本章将分别选用这两个模型来度量金融资产的风险，给出在修正过的极值模型下，其估计的方法和置信区间。
3. ARMA －(Asymmetric)GARCH 模型3.1 ARMA －(Asymmetric)GARCH 模型的性质ARMA(p,q)模型：11p qt i t i j t j t i j y y μφξεε--===+++∑∑ （4）其中，t ε是期望为0，方差为常数2σ的独立同分布随机变量，ARMA(p,q)模型在可逆的情况下可以表示为()AR ∞。
该模型假设t y 的条件期望是可得的，条件方差为常数，通常可以用来解释时间序列的相关性，并可以对时间序列进行的短期预测。
但是该模型条件方差为常数的假设，使其无法有效的解释在金融时间序列中经常被观察到的波动率聚类现象，为此，我们需要在模型中进一步引入GARCH 模型。
我们令t t t z h ε=，其中t z 是期望为0，方差为常数1，的独立同分布随机变量，2t h 是t ε在t 时刻的条件方差。
这里我们采用通常使用的最简单的(1,1)GARCH 模型，则条件方差可以表示为：2220111t t t h a a bh ε--=++，(1,1)GARCH 模型也可以表示成平方误2t ε的形式： 22222201111()()()t t t t t t a a b b h h εεεε---=++--+- （5）其中221(()|)0t t t E h F ε--=，因此(1,1)GARCH 模型本质上是平方误2t ε的ARMA(1,1)。
(1,1)GARCH 模型的引入不仅可以捕获到金融时间序列的波动率聚类现象，而且可以在一定程度上改善t z 尖峰后尾现象，因为44444422222222()()()()t t t t h z t t t t E Ez Eh Ez k k E Ez Eh Ez εε==≥= （6） 其中4h k 和4z k 分别表示t h 和t z 的峰度，t h 的峰度明显大于等于t z 的峰度。
另外，在金融序列中我们还可以明显的观察到，波动率正方向变动与收益率负方向变动的相关性大于与收益率正方向变动的相关性，一种可能的解释是收益率的负方向变动会加大波动幅度。
而(1,1)GARCH 模型认为收益的正方向变动和负方向变动对波动率变动幅度有着相同的影响，为了捕获金融序列波动率变动的这一不对称性，我们引入需要Glosten et al （1993）提出的非对称(1,1)GARCH 模型：22220112111sgn()t t t t t h a a a bh εεε----=+++ （7）其中00sgn()sgn()10t t x z x ε<⎧==⎨≥⎩，在这个模型中我们通过21sgn()t a ε-项来捕获收益率的正负变动对波动率变动的不同影响，如果收益率的波动与收益率波动率的变动像我们上面所预期的那样，则20a <。
这样我们就得到了ARMA －(Asymmetric)GARCH 模型112222*********(sgn())()()p q t i t i j t j ti j t t t t t t t t t t y y z h a a a b b h h μφξεεεεεεεε--==----⎧=+++⎪⎪⎪=⎨⎪=+++--+-⎪⎪⎩∑∑ （8）3.2、ARMA －(Asymmetric)GARCH 模型的参数估计：我们知道在条件正态分布的假设下，可以很容易的利用ARMA －(Asymmetric)GARCH 模型的似然函数，给出参数向量012(,,,,,,)a a a b θμφξ''=的估计值，其中1(,,)p φφφ'=，1(,,)q ξξξ'=。
即使在金融收益率序列残差不满足条件正态分布的情况下，使用正态极大似然估计法，仍然可以得到参数θ的一致渐进正态非最小方差估计。
但是这样我们得到的残差t z 将有很大的误差，而t z 是我们下一步进行EVT 尾部估计的输入变量，它的有效性将会直接影响我们整个的估计结果，为此我们必须寻找一个更有效的估计方法。
GMM （Generalized Method of Moments ）广义矩估计恰好可以满足我们的要求，它不需要假设t z 符合任何分布，只需要t z 的条件矩。
在Skoglund （2001）“A simple efficient GMM estimator of GARCH models ”给出了该估计方法的计算过程和收敛情况。
下面给去估计的步骤：首先，定义一个行向量 22[,()]t t t t r h εε=- 和广义向量 t t t g I r '=，其中t I '是工具变量，则参数θ的GMM 估计可以通过下式得到：11111min[][]T T t T t t t T g W T g θ---∈Θ=='∑∑ （9） 其中11T T tt W T W -==∑是一个恰当的权重矩阵。