整式恒等变形一览

初中数学中的整式恒等式一览表

草根雾岩@初中理科班数学学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！【1】在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同难度要求对恒等式进行分类.

【课内涉及的恒等式】

（1）平方差公式

（2）完全平方和、差公式

（3）平方和与完全平方和差的关系

（4）完全平方和差的关系

（5）三项和完全平方公式

（6）两项轮换差的完全平方和

（7）十字相乘法

（8）分组分解法

【自招中涉及的公式】

（1）立方和、差公式

（2）完全立方和、差公式

（3）立方和差与完全立方和差的关系（4）杨辉三角

（5）四项和完全平方公式

【几个比较有名的配方公式】

（1）()()()()()()22222222a b c d ac bd ad bc ac bd ad bc ++=++-=-++

这是着名的菲波那切（Fibonacci ，1170--1250）恒等式. 该恒等式可以推出二元柯西不等式.

（2）()()244422

2a b a b a ab b +++=++ （3）()()()222222111n n n n n n +⋅+++=++

（4）()()()222

4444222242a b c d abcd a b c d ab cd +++-=-+-+- 该恒等式可以推出四元的均值不等式.

（5）()()()()22123131x x x x x x ++++=++

该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数.

（6）()()()()()22222223122

a b b c c a a b c a b c -+-+-=++-++ 一个求最值问题的变形，奥精上有这道题，去年某区初赛考了它的推广形式.

（7）()()44222242222n k n nk k n nk k +=++-+

双二次式的因式分解，配方法和平方差结合的典例，类似的方法可以证明对于一切整数1n >，441n +及44n +都是合数，前者被称为哥德巴赫定理（Goldbach ，1690--1764），后者被称为吉梅茵（Germain ，1776--1831）定理【2】.

当然，4这个系数还可以改为64、324、1024等具有形式44t 的数。

【竞赛中常见的恒等式】

（1）()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---

一个非常有名的“民间定理”，很多的竞赛题与它有关. 这个恒等式有很多称号，小编还查不到不知道哪个是真的. 从它可以得到下面的恒等式：

从它还可以推出三项的均值不等式.

（2）两项n 次方差公式

（Ⅰ）()()1221...n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++（n 为正整数）

（Ⅱ）()()1221...n n n n n n a b a b a a b ab b -----=+-++-（n 为正偶整数） （Ⅲ）()()1221...n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+（n 为正奇整数）

后两个公式都源于公式（Ⅰ），都是b 取b -后，公式（Ⅰ）分别在奇数次幂和偶数次幂条件下展现的结果. 所以只要记住第一个公式就可以啦！

（3）()()()1111a b c abc ab bc ca a b c +++=+++++++

这个公式的多元推广形式可用于求正整数n 的所有正因数的和. 展开后的结果非常好记忆. 它的姊妹就稍微难一点：

（4）()()()1111a b c abc ab bc ca a b c ---=---+++-

（5）()()2222223a b c ab bc ca a b ab b c b a a a c c c b c ++++=++++++

（6）()()()2222222a b b c c a a b ab b c bc c a ca abc +++=++++++

上面这两个恒等式经常一起出现，它们只差一个abc ，常被用于证明一些有关分式的条件恒等式.

（7）()()()222222a b b c c a ab bc ca a b b c c a ---=++---

式子左边再乘以一些对称式（例如a b c ++、222a b c ab bc ca ++---）可以得到一些很漂亮的结果.

（8）()()()()444222222222a b c a b c a b c a b c a b c a b b c c a -++-++-++-=++--- 等式左边将来会出现在着名的“海伦公式”中.

（9）()()()1111n n n n n n αβαβαβαβαβ++--+=+⋅+-⋅+

这个公式主要用于求递推数列n n n T αβ=+的值，对给定,k l αβαβ+== ，上式可改写为：

11n n n T k T l T +-=⋅-⋅. 这样可逐步递推求得n T 的值. 可解决例如这样的问题：求2016的末位数. 其推广形式为牛顿公式.

（10）()()33

33611x x x x x =++---

由这个恒等式可以证明任何整数都能表示成五个整数的立方和的形式.

【学生小课题级别】

（1）多项和完全平方公式

（2）三项和的完全立方展开式：()3a b c ++

（3）牛顿公式法

即用基本对称式()1i i n σ≤≤表达1n k k i i S x ==∑. 例如：考虑3n =时，记

则有：

78年的上海数学竞赛中出现过这样一个条件恒等式的证明

【2】. 若,,a b c 是实数，且满足0a b c ++=，试证明：

（Ⅰ）555222333523a b c a b c a b c ++++++=⋅. （Ⅱ）777222555

725a b c a b c a b c ++++++=⋅