全国大学生数学建模竞赛2009年D题-讲解-清华大学-姜启源
2009全国大学生数学建模竞赛 题目汇总
青光眼 白内障 外伤 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障(双眼) 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双眼) 白内障(双眼) 外伤 青光眼 白内障(双眼) 白内障(双眼) 白内障(双眼) 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障(双眼) 外伤 白内障(双眼) 白内障 青光眼 视网膜疾病 外伤 白内障 白内障(双眼) 白内障(双眼) 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障 白内障(双眼) 视网膜疾病 视网膜疾病 青光眼 白内障 外伤 白内障 青光眼 视网膜疾病 白内障 白内障(双眼)
【附录】 2008-07-13 到 2008-09-11 的病人信息
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 类型 外伤 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 青光眼 视网膜疾病 白内障(双眼) 视网膜疾病 白内障(双眼) 白内障 视网膜疾病 白内障(双眼) 白内障(双眼) 青光眼 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障 青光眼 白内障(双眼) 视网膜疾病 青光眼 白内障 白内障 白内障(双眼) 视网膜疾病 门诊时间 2008-7-13 2008-7-13 2008-7-13 2008-7-13 2008-7-13 2008-7-13 2008-7-13 2008-7-14 2008-7-14 2008-7-14 2008-7-14 2008-7-14 2008-7-14 2008-7-14 2008-7-14 2008-7-14 2008-7-15 2008-7-15 2008-7-15 2008-7-15 2008-7-15 2008-7-15 2008-7-15 2008-7-15 2008-7-15 2008-7-15 入院时间 2008-7-14 2008-7-25 2008-7-25 2008-7-25 2008-7-25 2008-7-26 2008-7-26 2008-7-26 2008-7-26 2008-7-26 2008-7-26 2008-7-26 2008-7-26 2008-7-27 2008-7-27 2008-7-27 2008-7-27 2008-7-27 2008-7-27 2008-7-27 2008-7-27 2008-7-27 2008-7-27 2008-7-27 2008-7-28 2008-7-28 第一次手术 时间 2008-7-15 2008-7-27 2008-7-28 2008-7-27 2008-7-27 2008-7-29 2008-7-28 2008-7-29 2008-7-28 2008-7-28 2008-7-29 2008-7-28 2008-7-28 2008-7-29 2008-7-29 2008-7-29 2008-7-29 2008-7-28 2008-7-29 2008-7-28 2008-7-29 2008-7-29 2008-7-28 2008-7-28 2008-8-4 2008-7-31 第二次手术 时间 / / / / / / 2008-7-30 / 2008-7-30 / / 2008-7-30 2008-7-30 / / / / / / 2008-7-30 / / / / 2008-8-6 / 出院时间 2008-7-19 2008-8-8 2008-7-31 2008-8-4 2008-8-5 2008-8-11 2008-8-2 2008-8-6 2008-8-1 2008-7-30 2008-8-8 2008-8-2 2008-8-2 2008-8-4 2008-8-9 2008-8-6 2008-8-12 2008-7-30 2008-8-5 2008-8-2 2008-8-9 2008-8-6 2008-7-30 2008-7-30 2008-8-9 2008-8-10
数学模型_第3版_姜启源_高等教育出版社_课后答案
综合题目参考答案1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D 题)(1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程.(2)用多种方法可以证明支球队“各队每两场比赛最小相隔场次n r 的上界”(如=5时上界为1)是n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ,如: 设赛程中某场比赛是,i j 两队, 队参加的下一场比赛是,两队(≠i i k k j ),要使各队每两场比赛最小相隔场次为r ,则上述两场比赛之间必须有除i ,j ,以外的2k r 支球队参赛,于是,注意到32+≥r n r 为整数即得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r . (3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的,即对任意的编排出达到该上界的赛程.如对于n =8, =9可以得到: n n 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 每两场比赛相隔场次数 相隔场次总数1A× 1 5 9 13 17 21 25 3,3,3,3,3,3 18 2A 1 × 20 6 23 11 26 16 4,4,4,3,2,2 193A 5 20 × 24 10 27 15 2 2,4,4,4,3,2 19 4A 9 6 24 × 28 24 3 19 2,2,4,4,4,3 19 5A 13 23 10 28 × 4 18 7 2,2,2,4,4,4 18 6A 17 11 27 14 4 × 8 22 3,2,2,2,4,4 177A 21 26 15 3 18 8 × 12 4,3,2,2,2,4 178A25 16 2 19 7 22 12 × 4,4,3,2,2,2 17w w w .k h d a w .c o m 课后答案网1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 每两场比赛相隔场次数 相隔场次总数1A× 36 6 31 11 26 16 21 1 4,4,4,4,4,4,4, 28 2A 36 × 2 27 7 22 12 17 32 4,4,4,4,4,4,3 27 3A 6 2 × 35 15 30 20 25 10 3,3,4,4,4,4,4 26 4A 31 27 35 × 3 18 8 13 234,4,4,4,3,3,3 25 5A 11 7 15 3 × 34 24 29 193,3,3,3,4,4,4 24 6A 26 22 30 18 34 × 4 9 144,4,3,3,3,3 23 7A16 12 20 8 24 4 × 33 28 3,3,3,3,3,3,4 22 8A21 17 25 13 29 9 33 × 53,3,3,3,3,3,3, 21 9A 1 32 10 23 19 14 28 5 × 3,4,3,4,3,4,3 24 可以看到, =8时每两场比赛相隔场次数只有2,3,4, =9时每两场比赛相隔场次数只有3,4,以上结果可以推广,即为偶数时每两场比赛相隔场次数只有n n n 22-n ,12-n ,2n ,n 数时只有为奇23-n ,21-n . 量赛程优劣其他指标如(4)衡的平均相隔场次 记第i 队第j 个ij c ,2,2,1,,,2,1-==n j n i ,间隔场次数为则平均相隔场次为∑∑=n i 1-=n r 21 =-j n n 1)2(ij c r 是赛程整体意义下的指标,它越大越好.可以计算=8,=9的n n r ,并讨论它是否达到上界. 相隔场次的最大偏差 定义||,r c Max f ij j i -=∑---=2)2(|n r n c Max g =1|j ijw w w .k h d a w .c o m 课后答案网f 为整个赛程相隔场次的最大偏差, 为球队之间相隔场次的最大偏差,它们都是越小越好.可以计算=8,=9的,g ,并讨论它是否达到上界.g n n f 参考文献工程数学学报第20卷第5期20032. 影院座位设计建立满意度函数),(βαf ,可以认为α和β无关, ()()βαβαh g f -=),(,g ,取尽量简单的形式,h 如αα=)(g ;0)(=βh (),030≤β0)(h h =β)30(0>β.(1)可将作为必要条件,以030≤βα最大为最佳座位的标准.在上图中以第1排座位为坐标原点建立坐标轴x ,可以得到 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+----⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=d x x h c H d x x c H d x x c H θθαθβtan arctan tan arctan ,tan arctan β是x 的减函数.可得x ≈1.7m,即第3(或4)排处.又通过计算或分析可知030=βα也是x 的减函数,所以第3(或4)排处是最佳座位.(2)设定一个座位间隔(如0.5m), l x 从0(或处)到030≤βd D -按离散,对于计算l )20~0(00θα的平均值,得时其值最大. 020=θ(3)可设地板线是x 的二次曲线,寻求,b 使2bx ax +a α的平均值最大. 实际上,还应考虑前排不应挡住后排的视线. 3.节水洗衣机(1996年全国大学生数学建模竞赛B 题) 该问题不要求对洗衣机的微观机制(物理、化学方面)深入研究,只需要从宏观层次去把握.宏观上洗衣的基本原理是用洗涤剂通过漂洗把吸附在衣物上的污物溶于水中,再脱去污水带走污物;洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水”程序的反复运行,使残留在衣物的污物越来越少,直到满意的程度;洗涤剂也是不希望留在衣物上的东西,可将“污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和. w w w .k h da w .c o m 课后答案网假设每轮漂洗后污物均匀地溶于水中;每轮脱水后衣物含水量为常数.~初始污水量,第轮加水量,~第k 轮脱水量c 0x ~k u k k x ),,2,1( =k .设每轮脱水前后污物在水中的浓度不变.于是cx c u x u c x n n n =+==--111,,, c x 2c x +21u x 10, 得到)()(210c u c u u c x x n n n ++= . 在最终污物量与初始污物量之比小于给定的清洁度条件下,求各轮加水量,使总用水量最小,即0/x x n k u ),,1(n k =∑=nk k u u Min k 1()ε<++)(..21c u c u u c t s n n 等价于)()(21c u c u u Min n u k +++++ α=++)()(..21c u c u u t s na 为常数可得c u c u u n +==+= 21,即第轮加水量n ~2u u k =(常数),第1轮加水量.c u u +=1令,问题简化为cx u =nx Min u n , ε<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n x t s 11.. 其解为,即,而0→x 0→u ∞→n n .这与实际上是不合理的.应该加上对u 的限制:.则得n ,其中 21v u v ≤≤max min n n ≤≤max min n n ≤≤,1+)/1ln(2min ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c v n αn 这样,为有限的几个数,可一一比较,具体数据计算从略.参考文献:《数学的实践与认识》第27卷第1期,1997w w w .k h d a w .c o m 课后答案网4.教师工资调整方案(1995年美国大学生数学建模竞赛B 题)题目对职称提升年限表述得不甚清楚(如未提及助理教授的提升),教龄也未区分是什么职称下工作的年限,所以应该作出一些相应的简化假设.按所给信息,工资仅取决于职称和教龄.建立新方案的一种办法是将职称折合成教龄,如定义x=教龄t+7×k (对于讲师、助理教授、副教授、教授,k 分别取值0,1,2,3),然后寻求工资函数I(x),使之满足题目的要求,如I(0)=27000,I(7)=32000等,以及x 较大时022<dxI d .另一种办法是职称、教龄分别对待,工资函数J(k,t)从多种函数中选择,如最简单的线性函数J(k,t)=k k k k b a t b a ,,+(k=0,1,2,3)根据一定条件确定.按照第一种办法得到的新工资方案,以职称和教龄综合指标为x 的教师的工资都应为I(x),而人们的目前工资会低于或高于它.根据题目要求,高工资不应降低,低工资则应逐渐提高,尽快达到理想值I(x).需要做的只是根据每人(目前)工资与(理想值的)差额,制定学校提供的提薪资金的分配方案.它应该是简单、合理、容易被人接受的. 按以上原则可以建立不同的模型,应通过检验比较其恶劣.检验可基于题目所给数据,按照提薪计划运行若干年,考察接近理想方案的情况,即用过渡时期的情况检验模型;也可进行随机模拟,按照一定规则随机产生数据(可以包括聘用、提职、解聘、退休的人数和时间等),再按照提薪计划运行,考察接近理想方案的情况.参考文献：叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导教材》（四），湖南教育出版社，20015. 一个飞行管理问题（1995年全国大学生数学建模竞赛A 题）设为第i 架飞机与第j 架飞机的碰撞角（即ij a )8arcsin(ij ij r a =其中为这两架飞机连线的长度），ij r ij β为第i 架飞机相对于第j 架飞机的相对速度（矢量）与这两架飞机连线（从i 指向j 的矢量）的夹角（以连线矢量为基准，逆时针方向为正，顺时针方向为负），i θ为第架飞机飞行方向角调整量. 本问题中的优化目标函数可以有不同的形式：如使所有飞机的最大调整量最小；所有飞机的调整量绝对值之和最小等.以所有飞机的调整量绝对值之和最小，可以得到如下的数学规划模型：w w w .k h d a w .c o m 课后答案网∑=61i i Min θ s.t. ,)(21ij j i ij a >++θθβ j i j i ≠=,6,,1,30≤i θ , 6,,1 =i 为了利用LINGO 求解这个数学规划模型，可以首先采用其他数学软件计算出ij α和ij β.其实，ij α和ij β也是可以直接使用LINGO 来计算的，这相当于解关于ij α和ij β的方程，只是解方程并非LINDO 软件的特长，这里我们作为一个例子，看看如何利用LINGO 计算ij α，可输入如下模型到LINGO 求解ij α：MIDEL ：1]SETS:2] PLANE/1..6/：x0,y0; 3] link(plane,plane):alpha,sin2: 4]ENDSETS5] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J:6] sin2(I,J)=64/((X0(I)-X0(J))*(X0(I)-X0(J))+7] (Y0(I)-Y0(J))*(Y0(I)-Y0(J)));8] ）；9] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J: 10] (@SIN(alpha*3.14159265/180.0))^2=SIN2; 11] ); 12]DATA:13] X0=150,85,150,145,130,0; 14] Y0=140,85,155,50,150,0; 15]endataEND计算结果如下：w w w .k h d a w .c o m 课后答案网ij a j=1 2 3 4 5 6i=1 0.000 0 5.3912 32.231 05.091 8 20.963 4 2.234 5 2 5.391 2 0.000 0 4.8046.613 5 5.807 9 3.815 9 3 32.231 0 4.804 0 0.0004.364 7 22.833 7 2.125 5 45.091 86.613 5 4.36470.000 0 4.4.537 2.989 8 5 20.963 4 5.807 922.8337 4.537 70.000 0 2.309 8 6 2.234 5 3.815 9 2.125 5 2.989 82.309 80.000 0 ij β也可类似地利用LINGO 求得，计算结果如下： ij β j=1 2 3 4 5 6 i=1 0.000 0 109.263 6 -128.250 0 24.1798173.065 1 14.474 9 2 109.263 6 0.000 0-88.871 1 -42.2436-92.304 8 9.000 03 -128.250 0 -88.871 1 0.000 012.4763-58.786 2 0.310 84 24.179 8 -42.243 6 12.476 30.000 0 5.969 2-3.525.65 173.065 1 -92.304 8 -58.78625.969 20.000 0 1.914 4614.474 9 9.000 00.310 8-3.5256 1.914 4 0.000 0w w w .k h d a w .c o m 课后答案网于是，该飞机管理的数学规划模型可如下输入LINGO 求解：MODEL:1]SETS2] plane/1..6/:cita:3] link(plane,plane):alpha,beta;4]ENDSETS5] min=@sum(plane:@abs(cita));6] @for(plane(I):7] @bnd(-30,cita(I),30);8] );9] @fpr(link(I,j)|I#NE#J:10] @ABS(beta(I,J)+0.5*cit(I)+0.5*cita(J))11] >alpha(I,J);12] ）;13]DATA:14] A;[JA=0.000 0 5.391.2….. …2.309 8 0.000 020] ;21] BETA=0.000 010 9.263 6………1.914 4 0.000 027] ;28]enddata END[注] alpha,beta 中数据略去，见上面表格. 求解结果如下： OPTIMUM FOUND AT STEP 197 SOLUTION OBJECTIVE V ALUE= 3.630 V ARIABLE V ALUE REDUCED COST CITA(1) 0.2974033E-06 -1.000 000 CITA(2) -0.1424833E-05 -0.715 033 4 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网CITA(3) 2.557 866 1.000 000 CITA(4) -0.3856641E-04 0.0000000E+00CITA(5) 0.2098838E-05 -1.000 000CITA(6) 1.071 594 0.0000000E+00………. (以下略)由此可知最优解为： （其它调整角度为0）. ︒︒≈≈07.1,56.263θθ 评注：如果将目标改为最大调整量最小，则可进一步化简得到线形规划模型，也可用LINDO 或LINGO 求解.参考文献：《数学的实践与认识》第26卷第1期，19966. 降落伞的选择这个优化问题的决策变量是降落伞数量n 和每一个伞的半径r ，可先将n 和r 看作连续变量，建立优化模型，求得最优解后，再按题目要求作适当调整. 目标函数之降落伞的费用，可以根据表1数据拟合伞面费用与伞的半径r 的关系。
姜启源数学建模资料
姜启源数学建模资料简单的优化模型3.1 3.2 3.3 3.4 存贮模型生猪的出售时机森林救火最优价格3.5 血管分支3.6 消费者均衡3.7 冰山运输<i>姜启源数学建模资料</i>静态优化模型现实世界中普遍存在着优化问题静态优化问题指最优解是数不是函数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数求解静态优化模型一般用微分法<i>姜启源数学建模资料</i>问题3.1存贮模型配件厂为装配线生产若干种产品，配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费件生产准备费已知某产品日需求量元每日每件1元试安排该产品的生产计划，每日每件元。
试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
),每次产量多少一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
不只是回答问题，而且要建立生产周期、要不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。
求需求量、准备费、贮存费之间的关系。
<i>姜启源数学建模资料</i>问题分析与思考日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件元。
件准备费日需求元贮存费每日每件1元每天生产一次，每次每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费件无贮存费，准备费5000元。
元每天费用5000元元每天费用10天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次1000件，贮存费件贮存费900+800+…+100 =4500 准备费5000元，总计元，准备费元总计9500元。
元平均每天费用950元元平均每天费用50天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次5000件，贮存费件贮存费4900+4800+…+100 =*****元，准备费元准备费5000元，总计元总计*****元。
数学建模_姜启源第四章__数学规划模型
DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?
(约束条件不变) x1系数范围(64,96)
64.000000 8.000000 16.000000 x2系数范围(48,72) RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE
模型求解
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2
结果解释
每天销售168 千克A2 和19.2 千克B1， 利润3460.8（元） 8桶牛奶加工成A1，42桶 牛奶加工成A2， 将得到的24千克A1全部 加工成B1 除加工能力外均 为紧约束
30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间， 应否投资？现投资150元，可赚回多少？
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
在B(20,30)点得到最优解 最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得。
全国大学生数学建模竞赛2009年D题_讲解
问题分析和解决方法从题目要求出发，主要需要解决三个问题：1）预测本届会议与会代表的数量, 并确定需要预订各类客房的数量；2）确定在哪些宾馆预订客房及预订各类客房的数量；3）确定在哪些宾馆预订哪些类型的会议室以及租车的规格和数量。
问题1是求解问题2，3的前提，首先应该根据附表2，3的数据对本届会议与会代表的数量进行预测。
确定预订客房总量时，应使会议筹备组在订房上的损失尽量小，损失包括：预订客房数超过实际用量时需要支付的一天空房费；预订客房数不够时引起代表不满的“费用”，后者要用适当的数学表达式加以量化。
根据附表2数据中本届会议的代表所需要6种类型的客房的比例，可由预订客房的总量得到预定各类客房的数量。
问题2主要应考虑筹备组管理的方便及代表的满意，如满足代表在合住或独住及价位方面的需求、预订的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。
若建立优化模型，可以用宾馆总数最少为目标函数，以满足代表在合住或独住及价位方面的需求，及各宾馆拥有客房数量等为约束条件，以在哪几家宾馆订房及各类客房订多少间为决策变量。
以宾馆总数最少为目标的优化模型其最优解一般不唯一，可以再考虑宾馆间的距离、客房价格等因素，从几个解中选出相对较好的一个。
问题3主要应考虑租用会议室和客车的总费用尽量小、会议室所在的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。
租车要考虑多少代表参加哪个分组会议, 题目中没有这方面的信息, 可以按照平均的、随机的方式处理。
当建立优化模型时, 可用租借会议室和客车的总费用最少为目标函数, 以满足对会议室数量、大小及租车的需要为约束条件, 以租用会议室和车辆的规格、数量为决策变量。
将问题2, 3统一建立模型并求解有一定困难, 可在问题2几个解的基础上解问题3，通过比较得出最后结果。
一种参考解法1. 预测本届会议的与会代表数量确定需要预订各类客房的数量设有n届同类型会议的历史数据可利用(n较小, 本题n=4)第i届发来回执的代表数量ai第i届发来回执但未与会的代表数量bi第i届未发回执而与会的代表数量ci第i届与会代表数量di= ai- bi+ ci•比例法预测第i届与会代表占发来回执数量的比例ei= di/ai emean，emax本届发来回执数量A预测本届会议与会代表数量Nmean=Aemean=661Nmax=Aemax=6781. 预测本届会议的与会代表数量确定需要预订各类客房的数量• 建立di 对ai的回归模型用线性模型预测本届会议与会代表数量N =638确定预订客房的总量考虑两种可能的损失：空房费；代表不满的量化“费用”• 适当提高预测的与会代表数量•对未发回执而与会的代表另作安排 • 参考“航空公司的预订票策略”模型（姜启源等：《数学模型（第三版）第284页》1. 预测本届会议的与会代表数量确定需要预订各类客房的数量本届会议要求合住、独住各s (=3)种价位(类型)代表数量及所占比例 (合住考虑性别) 预订客房的总量预订各类客房的数量需要预订合住第j 种类型客房数量T 1j需要预订独住第j 种类型客房数量T 2j第i 家宾馆第j 种类型双人房(合住或独住)能提供的间数C 1ij第i 家宾馆第j 种类型单人房(独住)能提供的间数C 2ij2. 确定在哪些宾馆预订客房及预订各类客房的数量以宾馆总数最少为目标，以满足代表在合住、独住及价位方面的需求，及各宾馆拥有客房数量等为约束条件，建立优化模型.决策变量设共有r 家宾馆双人、单人房各s 种类型预订第i 家宾馆第j 种类型双人房(合住)间数 x 1ij预订第i 家宾馆第j 种类型单人房(独住)间数 x 2ij预订第i 家宾馆第j 种类型双人房(改独住)间数 yij第i 家宾馆的选择变量 ki (ki =0,1)目标函数约束条件满足需求250300350400450500550600650∑==r i i k z 1min s j T x k j r i ij i ,,2,1,111 =≥∑=s j T y x k j ij r i ij i ,,2,1,)(212 =≥+∑=满足供给求解整数规划模型（LINGO ）最优解一般不唯一，可得到多个解可考虑距离因素、价格因素等确定最终方案或者在这些解的基础上进入下一步，根据租借会议室和租车情况确定最终方案.3. 确定在哪些宾馆预订哪些类型的会议室 以及租车的规格和数量预订会议室的原则：• 每个会议室的容量至少为与会总人数的1/6• 会议室位于预订客房的宾馆内租车的原则：•与会总人数1/6的代表不需接送 • 宾馆距离在一定范围内的代表不需接送• 一辆车每次会议最多接送2趟以会议室和客车的租费最小为目标建立优化模型求解对学生论文的评述基本情况• 绝大多数同学都能根据对问题的理解和掌握的数学知识，给出解决问题的方法，并得到所要求的结果。
数学模型姜启源
数学模型姜启源1. 简介数学模型是通过数学方法来描述、解释和预测现实世界中的问题的工具。
姜启源是数学模型领域的一位知名学者，他在数学模型的研究和应用方面做出了重要贡献。
本文将介绍姜启源的学术背景、研究成果以及对数学模型领域的影响。
2. 学术背景姜启源于1980年毕业于北京大学数学系，并获得数学学士学位。
随后，他在中国科学院数学研究所攻读硕士和博士学位，并于1996年获得博士学位。
在攻读博士学位期间，姜启源主要致力于研究数学模型在环境科学中的应用。
3. 研究成果姜启源的研究成果主要集中在数学模型的构建、分析和应用方面。
他利用微分方程、偏微分方程、概率论和数值计算等数学工具，研究了各种实际问题，并提出了一系列创新性的模型和方法。
3.1 环境科学中的数学模型在环境科学领域，姜启源的研究主要关注大气质量模型和水资源模型。
他通过建立描述大气运动和污染物传输的方程组，来模拟和预测大气污染的扩散和变化情况。
同时，他还研究了水资源的可持续利用问题，并提出了一种基于数学模型的水资源管理策略。
3.2 金融领域中的数学模型除了环境科学领域外，姜启源还在金融领域中应用数学模型进行研究。
他主要研究金融市场中的资产定价问题、风险管理和投资策略。
姜启源提出了一种基于随机微分方程的金融模型，用于描述股票价格的随机波动和投资者行为。
4. 影响与意义姜启源的研究对数学模型领域具有重要的影响和意义。
他的研究成果在环境科学和金融领域中得到了广泛应用，并为解决实际问题提供了有效的数学工具和方法。
姜启源的研究促进了数学模型的发展和应用，为其他研究者提供了重要的借鉴和启发。
5. 总结姜启源是一位在数学模型领域有重要影响的学者。
他的研究成果在环境科学和金融领域中得到广泛应用，并为解决实际问题提供了有效的数学工具和方法。
姜启源的研究对数学模型的发展和应用做出了重要贡献，对其他研究者具有重要的借鉴意义。
参考文献： 1. 姜启源. 数学模型在环境科学中的应用[J]. 计算数学, 1998, 20(2): 235-248. 2. 姜启源, 张三. 数学模型在金融领域的应用研究[M]. 科学出版社, 2005. 3. 姜启源, 李四. 数学模型与环境管理[M]. 科学出版社, 2010.。
数学模型第四版课后答案姜启源版
《数学模型》作业答案第二章(1)（2012年12月21日）1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， 方法一（按比例分配）分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 第10个席位：计算Q 值为3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n方法三（d ’Hondt 方法）此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p中选较大者，可使对所有的,i iin p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t 到t t ∆+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ⎰⎰+=ntdn wkn r k vdt 0)(2π《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：令0=dTdC， 解得 rc c T 21*2= 由rT Q = ， 得212c rc rT Q ==** 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00QC TC， 得到驻点：与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况. 解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：⋅-TT r k c 022)( 又 ∴ T =0kTT r k r 2)(⋅-=于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为k r k r c Tc dT dC 2)(221-+-=. 0=dT dC令, 得)(221r k r c k c T -=* 易得函数处在*T T C )(取得最小值，即最优周期为： )(221r k r c kc T -=*rc c ，Tr k 212≈>>*时当 . 相当于不考虑生产的情况. ∞→≈*，T r k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1)(+=b kb λ， 分母∞→→+λ时是防止中的011b b 而加的.总费用函数()x c b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)1()(2)1(2+--++--++=βββββββ最优解为 []k b kc b b b c kbc x ββ)1(2)1()1(223221+++++=5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售期分为T t T T t <<<<220和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值.解：按分段价格，单位时间内的销售量为又 t q t q β+=0)(.于是总利润为=22)(022)(20222011T T t t q t p bp a T t t q t p bp a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ββ=)8322)(()822)((20222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+--- 0,021=∂∂=∂∂p p 令, 得到最优价格为: 在销售期T 内的总销量为 于是得到如下极值问题： 利用拉格朗日乘数法，解得： 即为21,p p 的最优值.第三章3（2008年10月21日）6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）;每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天） 根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=2121)( 得：k T TT C 10092500)(++= 令0=dTdC， 解得：35092500*==T 由实际意义知：当350*=T （即订货周期为350）时，总费用将最小.又k T C 10035095025003)(*+⨯+⨯=＝300＋100kk T C 100309302500)(0+⨯+==353．33＋100k)(0T C －)(*T C ＝（353.33＋100k ）－（300＋100k ）32＝53．33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *=350，能节约费用约53．33元.《数学模型》作业解答第四章（2008年10月28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用A 原料2千克, B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？ 解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为： max S=20x+30ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝70以及x=0,y=0 直线l ：20x+30y=c 在可行域内 平行移动.易知：当l 过1l 与2l 1l x S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+7045202y x y x 解得⎩⎨⎧==510y x此时 m ax S ＝2053010⨯+⨯＝350（元）2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值 由⎩⎨⎧=+=+135224452121x x x x 解得 ⎩⎨⎧==1421x x90110420max =⨯+⨯=z .3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x 件,乙型微波炉y 件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为： max S=3x +2ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,12,61202410032这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：2x+3y=100, 2l :4x+2y ＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l 过1l 与2l 的交点时, S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+1202410032y x y x 解得⎩⎨⎧==2020y x .m ax S ＝320220⨯+⨯＝100.《数学模型》作业解答第五章1（2008年11月12日）1.对于5.1节传染病的SIR 模型，证明： （1）若处最大先增加，在则σσ1)(,10=s t i s ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至.∞s （2）.)()(,10∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ解：传染病的SIR 模型（14）可写成（1）.s s(t) .s(t) .100≤∴单调减少由若σs （2）().00.1-s ,1,1dtdit s s σσσ从而则若 4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a A()()()tab tab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而 (1) ()().231000202011y a b y a bx ay akt y t x =-=-===时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x e y x t ab -+==得. .43ln ,3121bt e t ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则().,4rdy aydy bxdx bxr ay dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即第五章2（2008年11月14日）6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ并画出血药浓度曲线的图形.解: 设给药速率为()(),,0t x t f 中心室药量为(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()0t f =(2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得 (3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010t k e D k t f -=3种情况下的血药浓度曲线如下：第五章3（2008年11月18日）8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,(1) 设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021=======a s mm b mm l mm l mg M νβ 求./21Q Q Q 和(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别.解)(857563.229102.07.050103.01508002.07.0502008.0/01/2毫克≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯-⨯---e e e eba v aw Q v bl a vl β ()10/10==l M w 其中，(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-vbla eb a v aw Q '103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--v bl a vbl e e ba vaw Q 1'21'04 4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a A()()()tab tab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而 (1) ()().231000202011y a b y a bx ay akt y t x =-=-===时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x e y x t ab -+==得. .43ln ,3121bt e t ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则().,4rdy aydy bxdx bxr ay dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即《数学模型》作业解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数h ．(1)分别就4/rN h >，4/rN h <，4/rN h =这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()t x ，则由题设条件知：()t x 变化规律的数学模型为记h Nxrx x F --=)1()( (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由()0=x F ，得0)1(=--h Nxrx ． 即()102=+-h rx x Nr )4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， (1)的解为：2412,1N rNhN x -±=①当4/rN h >，0<∆，(1)无实根，此时无平衡点； ②当4/rN h =，0=∆，(1)有两个相等的实根，平衡点为20N x =. Nrxr N rx N x r x F 2)1()('-=--=，0)(0'=x F 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rNN x rx x F --= ，即0 dtdx ．∴0x 不稳定；③当4/rN h <，0>∆时，得到两个平衡点：2411N rNh N x --=， 2412N rNh N x -+=易知：21N x <， 22Nx > ，0)(1'>x F ，0)(2'<x F ∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定.(2)即 )1(max Nxrx h -=，易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0Nx =2N．2.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：()xNrx t x ln'=．其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同． 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x ．解：()t x 变化规律的数学模型为 记 Ex xNrx x F -=ln)( ① 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴r ENe x -=0，01=x ．∴平衡点为1,0x x . 又 ()E r xNr x F --=ln'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.由前面的结果可得 h =r Er E e r EN Ne dE dh ---=，令.0=dEdh 得最大产量的捕捞强度r E m =．从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平eNx =*0． 3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h . 10．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;20．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,求此时渔场鱼量水平*0x .解：10．)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02=+-h rx x Nr ----（1）)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNhN x -±=① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点； ② 当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =. Nrxr N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx∴0x 不稳定；③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：2411rNhN N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x， 22Nx ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.20．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max N xrx h -=， 易得 2*0N x =此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x,且尽量接近2N ,但不能等于2N.《数学模型》第七章作业（2008年12月4日）1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.《数学模型》作业解答第七章（2008年12月4日）2． 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较. （2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： 在),(000y x P 点附近用直线来近似曲线h f ,，得到由（2）得 )3( )(0102 y y x x k k -=-++β （1）代入（3）得 )2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ 对应齐次方程的特征方程为 02 2=++αβαβλλ 特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=当8≥αβ时，则有特征根在单位圆外，设8<αβ，则 即平衡稳定的条件为2 <αβ与207P 的结果一致.（2）此时需求函数、供应函数在),(000y x P 处附近的直线近似表达式分别为： 由（5）得，)( ) y y y β(y )x (x k k k 62010203 -+-=-+++ 将（4）代入（6），得对应齐次方程的特征方程为(7) 024 23 =+++αβαβλαβλλ 代数方程（7）无正实根，且42 ,αβαβ---, αβ不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,,λλλ，则 对（7）作变换：,12αβμλ-= 则其中 )6128(41 ),122(412233322αββαβαβααβ+-=-=q p用卡丹公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--+++-=+--+++-=+--+++-=33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2p q q w p q q w p q q w p q q w pq q p q q μμμ 其中,231i w +-=求出321,,μμμ，从而得到321,,λλλ，于是得到所有特征根1<λ的条件.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x . 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)(00 ααx x y y k k --=- ----------------------（1）0,)2(0101 ββy y y x x k k k -+=--+ --------------------（2） 从上述两式中消去k y 可得,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ， -----------（3）上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4）当αβ 8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ----= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y kk k -+-=-++ --------------------（1） 0,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3）（1）代入（3），可得)2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．《数学模型》作业解答第八章（2008年12月9日）1． 证明8.1节层次分析模型中定义的n 阶一致阵A 有下列性质： （1） A 的秩为1，唯一非零特征根为n ； （2） A 的任一列向量都是对应于n 的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：A 满足ik jk ij a a a =⋅，n k j i ,,2,1,, =于是对于任意两列j i ,，有ij jkika a a =，()n k ,,2,1 =.即i 列与j 列对应分量成比例. 从而对A 作初等行变换可得：∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−00000011211 n b b b A 初等行变换B 这里0≠B .()1=∴B 秩，从而秩()1=A再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P ，使B PA =，于是∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--0000001121111 n c c c BP PAP C易知C 的特征根为0,,0,11 c （只有一个非零特征根）.又A ～C ，A ∴与C 有相同的特征根，从而A 的非零特征根为11c ，又 对于任意矩阵有()n a a a A Tr nn n =+++=+++==+++111221121 λλλ.故A 的唯一非零特征根为n .（2）对于A 的任一列向量()T nk k k a a a ,,,21 ，()n k ,,2,1 =有 ()()T nk k k nk k k n j nkn j k n j k n j jk nj n j jk j n j jk j Tnk k k a a a n na na na a a a a a a a a a a a a A ,,,,,,2121112111121121 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑======A ∴的任一列向量()Tnk k k a a a ,,,21 都是对应于n 的特征向量.7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次. 解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton 图.其一个有向Hamilton圈为332541→→→→→.所以此竞赛图是双向连通的.等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为令()T e 1,1,1,1,1=，各级得分向量为()()TAe S 3,2,1,2,21==，()()()TAS S 5,4,2,3,412==，()()()TAS S 9,7,4,6,723== ， ()()()TAS S 17,13,7,11,1334==由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.注：给5位网球选手排名次也可由计算A 的最大特征根λ和对应特征向量S 得到：8393.1=λ，()T S 2769.0,2137.0,1162.0,1794.0,2137.0=数学模型作业（12月16日）解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层准则层方案层2.策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次？试给出一致性指标的定义以及n 阶正负反阵A 为一致阵的充要条件.答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次； 一致性指标的定义为：1--=n nCI λ．n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为：A 的最大特征根λ=n ．第九章（2008年12月18日）1．在1.9节传送带效率模型中,设工人数n 固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m ，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．解：两种情况的钩子数均为m 2．第一种办法是m 2个位置，单钩放置m 2个钩子；第二种办法是m 个位置，成对放置m 2个钩子．① 由1.9节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为 当mn2较小，1 n 时，有E D -=1 ， mn E 4≈ ② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m 个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m 个钩对．任一只钩对被一名工人接触到的概率是m1； 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是m11-；记mq m p 11,1-==．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空的概率为n q ，其空钩的数为m 2；任一钩对上只挂上１件产品的概率为1-n npq ，其空钩数为m ．所以一个周期内通过的m 2个钩子中，空钩的平均数为 于是带走产品的平均数是 ()122-+-n n npq q m m ， 未带走产品的平均数是 ()()122-+--n n npq q m m n ） ∴此时传送带效率公式为 ③ 近似效率公式：由于 ()()()321621121111m n n n m n n m n m n----+-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛- 当1 n 时，并令'1'D E -=，则 226'mn E ≈ ④ 两种办法的比较：由上知：mnE 4≈，226'm n E ≈ ∴ mn E E 32/'=，当n m 时，132 m n， ∴ E E '．所以第二种办法比第一种办法好．《数学模型》作业解答第九章（2008年12月23日）一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r 是一随机变量，其概率分布如下表：试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数)？ 解：设每天订购n 百份纸，则收益函数为 收益的期望值为G(n) =∑=-n r r P n r 0)()411(+∑∞+=1)(7n r r P n现分别求出 n =5,4,3,2,1,0时的收益期望值. G(0)=0；G(1)=4-×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45; G(2)= (05.08⨯-25.0141.03⨯+⨯+))1.015.035.0(14++⨯+8.11=; G(3)=(05.012⨯-35.02125.0101.01⨯+⨯+⨯-))1.015.0(21+⨯+4.14= G(4)=(05.016⨯-15.02835.01725.061.05⨯+⨯+⨯+⨯-)1.028⨯+15.13=G(5)=05.020⨯-1.03515.02435.01325.021.09⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 25.10=当报童每天订300份时，收益的期望值最大.数模复习资料第一章 1. 原型与模型原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型, 按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.模型⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧数学模型如地图、电路图符号模型如某一操作思维模型抽象模型如某一试验装置物理模型如玩具、照片等直观模型形象模型2. 数学模型对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型. 例如力学中着名的牛顿第二定律使用公式22dt xd mF =来描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口()t N随时间t 自由增长过程的微分方程()()t rN dtt dN =.3. 数学建模所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对于现实世界的某一特定系统或特定问题,为了一个特定的目的,运用数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善.数学建模过程流程图为：4.数学建模的步骤依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用 5.数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有：a. 按模型的应用领域分类 数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧再生资源利用模型水资源模型城镇规划模型生态模型环境模型（污染模型）交通模型人口模型b. 按建模的数学方法分类数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧规划论模型概率模型组合数学模型图论模型微分方程模型几何模型初等数学模型c. 按建模目的来分类 数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧控制模型决策模型优化模型预报模型分析模型描述模型d.层次分析法的基本步骤：1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵3.计算权向量并作一致性检验4.计算组合权向量并作组合一致性检验e.n 阶正互反正A 是一致阵的充要条件为A 的最大特征值为nf.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：幂法、和法、根法4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB 与CD 的对称轴为x 轴，用中心点的转角θ表示椅子的位置.将相邻两脚A 、B 与地面距离之和记为)(θf ;C 、D 与地面距离之和记为)(θg .并旋转0180.于是，设,0)0(,0)0(=g f 就得到()()0,0=ππf g .数学模型：设()()θθg f 、是[]π2,0上θ的非负连续函数.若[]πθ2,0∈∀,有()()0=θθg f ,且()()()()0,0,00,00==ππf g f g ,则[]πθ2,00∈∃,使()()000==θθg f .模型求解:令)()()(θθθg f h -= .就有,0)0( h 0)(0)()()( ππππg g f h -=-=.再由()()θθg f ,的连续性,得到()θh 是一个连续函数. 从而()θh 是[]π,0上的连续函数.由连续函数的介值定理：()πθ,00∈∃,使()00=θh .即()πθ,00∈∃,使()()000=-θθg f .又因为[]πθ2,0∈∀,有()()0=θθg f .故()()000==θθg f .9． （1）某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿.次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么？（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n 支球队比赛呢？解：（1）方法一：以时间t 为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x 为纵坐标，第一天的行程)(t x 可用曲线（I ）表示 ，第二天的行程)(t x 可用曲线（I I ）表示，。
数学建模,姜启源第八章 离散模型
1 1/ 3 1/ 8 B2 3 1 1 / 3 8 3 1
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量 方案层对C1(景色) 的成对比较阵
1 B1 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
…Cn
…Bn … n
最大特征根 1
2
w2(3)
权向量
w1(3)
… wn(3)
组合权向量
k 1
第3层对第2层的计算结果 2 3 4 5
w
( 3) k
0.595 0.277 0.129
3.005 0.003
0.082 0.236 0.682
3.002 0.001
0.429 0.429 0.142
构造矩阵
W
( 3)
[ w ,, w ]
( 3) 1 ( 3) n
则第3层对第1层的组合权向量 第s层对第1层的组合权向量
w W w
( 3) ( 3)
( 2)
w W W
(s) (s)
( s 1)
W w
( 3)
( 2)
其中W(p)是由第p层对第 p-1层权向量组成的矩阵
层次分析法的基本步骤
技术 创新
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大学生数学建模资料第一课1，目的：通过学习和时间，全面提高学员的综合素质，培养创新能力和良好的数学思想品质，获得分析和解决实际问题的能力。
2，数学建模的概念和基本流程a问题分析根据对象的实际背景和要求进行问题分析b模型假设根据问题分析和建立数学模型的目的作出合理的简化的模型假设。
c模型建立在问题分析和模型假设的基础上建立数学模型d模型求解选择适当的数学工具求解数学模型。
e模型分析对模型解和结果进行模型分析包括模型检验，修改，推广，评价，运用。
五步建模法：3，数学模型具体含义：对于现实世界的一个特定对象，为一个特定目的，一句对象所特有的内在规律，在作出适当的分析，合理而简化的假设的基础上，运用适当的数学工具建立的一个数学结构，建立这个数学模型以及对模型的求解，检验，分析，修改，推广，评价和应用等步骤这个全过程称为数学建模。
4，数学建模的特点：A数学建模不一定有唯一正确的答案（应用领域侧重点不同等等）B 模型的逼真性与可行性任何一个数学模型都永远不会与其原型绝对一致，只要误差在我们所能容许的的范围之内即可考虑使用。
C 模型的渐进性D 模型的可转移性可以几个领域互相利用的，不是一个领域所独有的。
E 数学建模没有统一的方法主要大方法：机理分析法和测试分析法5，数学建模课程学习的主要内容：a介绍数学建模的基本概念，方法和步骤。
b研讨最常见的初等数学模型，微分方程模型，运筹学模型和概率统计模型这四类基本模型的建立方法。
6，学习数学建模课程的建议第一，认真弄懂每一个实例，其内容和步骤是什么，用到了什么建模方法，特别是要知晓它是怎么从实际问题转化为数学模型的。
第二，多做练习，完成作业。
第三，勤于动脑，善于思考，敢于创新，不怕出错。
第四，善于查阅和学习各种新资料和新知识第五，小组在论文写作中相互讨论，互补，解决问题。
第六，常备书：高等数学，线性代数，应用概率统计，运筹学，常微分方程。
第七，有意识的结合生活生产实际，学习专业，教学进行学习与训练，以增长兴趣培养能力。
数学建模,姜启源第六章 稳定性模型
x(t ) x ky g 模型 y(t ) lx y h
kl
1) 双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才会稳定，否则军备将无限扩张。 2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在 > kl 下 x(t), y(t)0,
模型
x1 x2 x1 (t ) r1 x1 1 N 1 N 1 2
x1 x2 x2 (t ) r2 x2 1 2 N1 N 2
模型 t 时x (t ), x (t )的趋向 (平衡点及其稳定性) 1 2 分析
都有
lim x(t ) x0 , 称x0是方程(1)的稳定平衡点 t
x F ( x0 )(x x0 ) (2)
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程
F ( x0 ) 0 x0稳定(对(2), (1)) F ( x0 ) 0 x0不稳定(对(2), (1))
平衡点 P0(0,0)稳定
平衡点 P0(0,0)不稳定
军备竞赛
平衡点 稳定性判断 系数 A l 矩阵
x(t ) x ky g 模型 y(t ) lx y h
kh g x0 , kl
k
l g h y0 kl
lim x2 (t ) x , 称P0是微分方程的稳定平衡点 t
0 2
判断P0 (x10,x20) 稳定 性的方法——直接法 (1)的近似线性方程
0 0 0
1
x1 (t ) f ( x1 , x2 ) x2 (t ) g ( x1 , x2 ) (1)
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理.我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：XXXXXX参赛队员(打印并签名) ：1 . XXXXX2 . XXXXX3 .指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：XXXXXX日期：2009年 9 月 14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：会议筹备最优化一.摘要在激烈的市场竞争中,随着市场经济在中国大陆的不断发展，各种新兴行业也在悄然而起 .会议服务公司通过对宾馆客房、租借会议室、租用客车接送代表等几块服务，让顾客觉得经济、方便同时使满意度达到最高，会议服务公司需要从公司的经济利益和社会声誉等诸多因素来考虑,在此,我们运用线性规划和概率统计的知识，来解决对宾馆客房分配问题 .会议的经济安排从预定房间的量和安排的合理性来决定;在安排客车接送会议代表运用运筹学分成几条路线;服务公司的社会声誉在市场竞争中是非常重要的,在此我们用会议代表对总体的满意度来衡量．我们应用概率统计的知识，得出参加会议人员大约为661人 .根据与会人员对住房的要求，我们设计了第一个模型，且有3个方案，第一个方案利用Lingo软件计算得其无解，同样利用Lingo软件计算得最优解.通过调整第一类单人间住房的人数建立模型二，得出所有与会代表住房安排，此时得出住房费的最少价格为80630元 .对模型二进一步优化，通过对宾馆调整，把与会代表集中按排在①、②、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨宾馆 .利用“中心极限”定理，计算得出可能出现空床费赔偿的概率大约是12%.同样应用“中心地址”的算法确定开会会议宾馆定为⑦、⑧宾馆 .用运筹学的知识确定出接送与会代表路线，并安排出了接送的车辆类型和数量关键词：线性规划概率统计 Lingo 中心地址运筹学二.问题重述某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表 .由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿 .为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近 .筹备组经过实地考察，筛选出10家宾馆作为备选，它们的名称用代号①至⑩表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1 .根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2 .从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，相关数据见附表3 .附表2，3都可以作为预订宾馆客房的参考 .需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常被动的局面，引起代表的不满 .会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室 .由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客车接送代表 .现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元 .我们通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案 .元三种不同价格的房间 .合住是指要求两人合住一间 .独住是指可安排单人间，或一人单独住一个双人间 .附图(其中500等数字是两宾馆的距离)三. 模型假设1. 假设模型一中满足所有与会代表的回执要求；2. 假设与会代表参加每组会议是随机的；3. 假设本届与会代表参加会议人数服从往届参加会议人数规律；4. 假设每个与会代表每半天只开一次会议，且会议地点相同；5. 假设每半天所开会议的主题都一致；7．假设每条路线车辆只搭载同一条路线的与会代表 .四. 符号说明ij x 为第i 个宾馆所住的与会代表的第j 种类型住房人数；p 为参加会议人数的总频率；)(i a p 为回执且与会代表的频率（i 取1，2，3，4）； )(i b p 为未回执且与会代表的比例（i 取1，2，3，4）；M 为找宾馆中心地址问题的矩阵；abc x 表示a 宾馆到b 宾馆c 会议室的与会人数 .五．建立与分析模型一：通过观察附表2可以得到本届回执人数总共为755人，由往届会议代表的回执和与会情况可得知本届与会人数的概率p .因此我们假定模型如下： 设p 为与会的总频率)(i a p 为回执且与会的频率（i 取1，2，3，4） )(i b p 为未回执且与会的比例（i 取1，2，3，4）与会人数的频率：()()b p a p p += 有回执且与会人数的频率)(i a p()7175.03158911=-=a p 677.03561151)(2=-=a p 7034.04081211)(3=-=a p 7004.07112131)(4=-=a p未回执且与会人数的比例()i b p ()1810.0315571==b p ()1938.0356692==b p()1838.0408753==b p ()1463.07111044==b p()()1762.06996.0==b p a p8758.01762.06996.0=+=p通过以往一、二、三、四会议代表回执和与会情况，利用统计分析法，可计算出以往几届参加会议人数的的平均概率，通过平均概率推算本届与会代表的总人数 . 本届与会人数：661755=⨯=p S为了使预定的房间数达到最优，使得空房数量最小，支付空房会达到最小优化 .我们以661人来进行预定房间，我们假设有三种方案 .方案一:我们为了满足各代表的要求,且达到经济，结合表一:利用表一我们建立模型并求解102101949392918382817372716463626153525142413332312423222114131211min 14013028014026013018080903001607511018085160100807010070150907510090807022018011090x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z +++++++++++++++++++++++++++++++=约束条件：单人间：5384145949214836313726133=++=++=++x x x x x x x x x两人间：431332031021019391736412816253423224231182715251412221=++++++=+++++++=++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x S.t.9011030603060458080304010060308040407070901002748100706070100203060100102101949392918382817372716463626153525142413332312423222114131211≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x运用计算机计算出结果，并对解进行数据分析发现方案一无解 .因为第一种价格范围的单间数和与会人员的回执信息矛盾 .例如61x 在约束条件下则不能满足与会人员的要求 .宾馆61x 的单间数在代表要求的房间数数量上不能满足,则我们在考虑到经济和尽量使与会代表满意的情况下,建议代表住双人间,即方案二:将61x 的118人在满足了40人之后,考虑到与会人员对宾馆的品质要求 .把剩下的78名分到91x 和93x ,这样在品质要求方面让与会人员达到最大的满意，建立模型:102101949392918382817372716463626153525142413332312423222114131211min 14013028014026013018080903001607511018085160100807010070150907510090807022018011090x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z +++++++++++++++++++++++++++++++=约束条件：单人间：5384145949214836313726133=++=++=++x x x x x x x x x两人间：431332031021019391736412816253423224231182715251412221=++++++=+++++++=++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s.t.90110306030604580803040100308040707090100274810070607010020306010010210194939291838281737271636253525142413332312423222114131211≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x运用计算机软件计算，计算结果见附录表一，并对解进行数据分析。
作业1数学建模,姜启源版
作业1数学建模,姜启源版实验一动力系统一、实验目的与要求掌握运用软件求解动态系统模型，通过研究散点图得到动态系统的内在性质和长期趋势。
通过对数据进行处理，归纳出动态系统模型。
1、用Excel对数据进行处理，建立动态系统模型并且进行验证；2、用Excel画散点图，对动态系统模型解的长期趋势进行分析；3、用Excel求解动态系统模型并估计均衡点；4、用Excel分析多元动态系统模型。
二、实验内容Example 1.1 P9 研究课题第一题随着汽油价格的上涨，今年你希望买一辆新的（混合动力）汽车。
你把选择范围缩小到以下几种车型：2007Toyota Camry混合动力汽车2007Saturn混合动力汽车2007Honda Civic混合动力汽车2007Nissan Altima 混合动力汽车2007Mercury Mariner混合动力汽车。
每年公司都向你提供如下的“优惠价”。
你有能力支付多达60个月的大约500美元的月还款。
采用动力系统的方法来确定你可以买那种新的混合动力系统汽车。
混合动力汽车“优惠价”（美元）预付款（美元）利率和贷款持续时间Saturn 22045 1000 年利率 5.95%，60个月Honda Civic24350 1500年利率5.5%，60个月Toyota Camry26200 750年利率6.25%%，60个月Mariner27515 1500年利率6%%，60个月Altima24900 1000年利率5.9%%，60个月解答如下，对五家公司分别建立动力系统模型：Saturn:Δb n=b n+1-b n=0.0595b n-6000b n+1= b n+0.0595b n-6000b0=21045Honda Civic:Δb n=b n+1-b n=0.055b n-6000b n+1= b n+0.055b n-6000b0=22850Toyota Camry: Δb n=b n+1-b n=0.0625b n-6000b n+1= b n+0.0625b n-6000b0=25450Mariner:Δb n=b n+1-b n=0.06b n-6000b n+1= b n+0.06b n-6000b0=26015Altima: Δb n =b n+1-b n =0.059b n -6000b n+1= b n +0.059b n -6000 b 0=23900Excel 操作步骤：1．打开excel 表格，输入如下表格:：2．用智能标识把月份从0拉到5：3.在B 5 输入= B 4+0.0595B 4-6000，回车后下拉即可可到序列B=(16297.18, 11266.86, 5937.238,…)。
全国大学生数学建模竞赛的历年真题
全国大学生数学建模竞赛的历年赛题（1992年—2011年）1992年:(Ａ)作物生长的施肥效果问题(北理工：叶其孝）(B)化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基）1993年:(Ａ)通讯中非线性交调的频率设计问题（北大:谢衷洁）(Ｂ)足球甲级联赛排名问题（清华：蔡大用）1994年:(Ａ)山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可）(Ｂ)锁具的制造、销售和装箱问题（复旦:谭永基等）1995年:(Ａ)飞机的安全飞行管理调度问题（复旦:谭永基等）(Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大:刘祥官等）1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福）(B)节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂）1997年:(A)零件参数优化设计问题（清华：姜启源）(B)金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等）1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙大：陈淑平）(B)灾情的巡视路线问题（上海海运学院:丁颂康）1999年:(A)自动化机床控制管理问题（北大：孙山泽）(B)地质堪探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）(C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）(D)钻井布局问题2000年:(A)DNA序列的分类问题（北工大：孟大志）(B)钢管的订购和运输问题（武大：费甫生）(C)飞越北极问题（复旦：谭永基）(D)空洞探测问题（东北电力学院：关信）2001年:(A)三维血管的重建问题（浙大：汪国昭）(B)公交车的优化调度问题（清华：谭泽光）(C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）(D)公交车调度问题2002年:(A)汽车车灯的优化设计问题（复旦:谭永基等）(B)彩票中的数学问题（信息工程大学：韩中庚）(C)车灯线光源的计算问题(D)球队的赛程安排问题（清华：姜启源）2003年:(A)SARS的传播问题（集体）(B)露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：方沛辰）(C)SARS的传播问题(D)抢渡长江问题（华中农大：殷建肃）2004年:(A)奥运会临时超市网点设计问题(北工大：孟大志)(B)电力市场的输电阻塞管理问题(浙大:刘康生）(C)酒后开车问题（清华：姜启源）(D)公务员的招聘问题（信息工程大学：韩中庚）2005年:(A)长江水质的评价与预测问题（信息工大:韩中庚）(B)DVD在线租赁问题（清华：谢金星等）(C)雨量预报方法的评价问题（复旦：谭永基）(D)DVD在线租赁问题2006年:(A)出版社的资源管理问题（北工大:孟大志）(B)艾滋病疗法的评价及预测问题（天大：边馥萍）(C)易拉罐形状和尺寸的设计问题（北理工：叶其孝）(D)煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（信息工程大学：韩中庚）2007年: (A)中国人口增长预测问题(B) 乘公交，看奥运问题(C) 手机“套餐”优惠几何问题(D) 体能测试时间安排问题2008年：(A) 数码相机定位问题(B) 高等教育学费标准探讨问题(C) 地面搜索问题(D) NBA赛程的分析与评价问题2009年：(A) 制动器试验台的控制方法分析问题(B) 眼科病床的合理安排问题(C) 卫星和飞船的跟踪测控问题(D) 会议筹备问题2010年：(A) 储油罐的变位识别与罐容表标定问题(B) 2010年上海世博会影响力的定量评估问题(C) 输油管的布置问题(D) 对学生宿舍设计方案的评价问题2011年：(A) 城市表层土壤重金属污染分析问题(B) 交巡警服务平台的设置与调度问题(C) 企业退休职工养老金制度的改革问题(D) 天然肠衣搭配问题问题。
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目d
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目d2009年的高教社杯全国大学生数学建模竞赛所提出的题目d，是一道涉及到数学建模的问题。
本文将根据这个题目，用合适的格式来书写，以达到整洁美观、语句通顺、流畅阅读的要求。
题目d：考虑一个10m × 10m × 10m的连通固体区域，区域内部没有岛屿也没有湖泊。
有一只蚂蚁在此区域内某个点上，记作出发点。
蚂蚁只能在体内的面上爬行，且在体边上行走的速度是在面上行走速度的1/3。
蚂蚁如何在最短时间内到达一个给定的体面呢？试用数学模型解决此问题。
解：为了解决这个问题，我们首先假设这个连通固体区域是一个立方体。
我们可以将该立方体划分成一系列的小立方体，每个小立方体的边长为1m。
接下来，我们需要寻找一个最短路径的数学模型来解决这个问题。
我们可以采用图论中的最短路径算法来求解最短路径。
首先，我们需要确定问题的模型。
我们将立方体的每个小立方体看作图中的节点，而相邻的小立方体之间的连接则看作图中的边。
将出发点设为起始节点，将给定的体面设为终点节点。
然后，我们需要确定图中的边的权值。
由于蚂蚁在体内的面上行走的速度是在面上行走速度的1/3，我们可以将面上行走的边的权值设置为1，而体边上行走的边的权值设置为3。
这样，我们就可以根据权值来计算最短路径。
接下来，我们可以采用迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）来求解最短路径。
该算法可以在带权有向图中计算从起始节点到其他节点的最短路径。
具体步骤如下：1. 初始化起始节点的最短路径为0，其他节点的最短路径为无穷大。
2. 将起始节点加入已访问节点的集合中。
3. 对于起始节点的所有邻居节点，更新其最短路径。
如果通过当前节点可以获得更短的路径，则更新邻居节点的最短路径值。
4. 在未访问节点中找到最短路径值最小的节点，并将其加入已访问节点的集合中。
5. 重复步骤3和步骤4，直到所有节点都被标记为已访问。
数学建模姜启源第五章微分方程模型
提高阈值1/ 降低 被传染人数比例 x
5.2 经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术
• 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大
• 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
产值 Q(t)
资金 K(t) 劳动力 L(t) 技术 f(t) = f0
Q
KQK LQL Q
~ 资金在产值中的份额 1- ~劳动力在产值中的份额
更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数 Q(K, L) f0K L , 0 , 1, f0 0
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）
资金来自贷款，利率 r 劳动力付工资 w
资金和劳动力创造的效益 S Q rK wL
• 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和 周边室(四肢、肌肉等)
模型假设
值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
的估计
提高 r0
s0 i0 r0 1
s0
i0
s
1
ln s s0
0
忽略i 0
群体免疫
ln s0 ln s
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)
x(t) f (x, y) x u(t), 0
模型
y (t )
g(x,
y)
数学建模_姜启源第九章__概率模型
模型解释
传送带效率(一周期内运走 产品数与生产总数之比）
D m [1 (1 1 )n ]
n
m
若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则
D
m [1 (1 n
n m
n(n 1) 2m2 )]
1
n 1 2m
定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）
当n远大于1时, E n/2m ~ E与n成正比，与m成反比
应根据需求确定购进量
存在一个合 适的购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望
准 调查需求量的随机规律——每天 备 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
建 • 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) 模 • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
第九章 概率模型
9.1 传送系统的效率 9.2 报童的诀窍
随机模型 确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
确定性模型
随机因素影响必须考虑
随机性模型
概率模型 统计回归模型 马氏链模型
9.1 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
若n=10, m=40,
提高效率 • 增加m
D87.5% (89.4%)
的途径： • 习题1
9.2 报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
2009数学建模作业题
第1章 数学模型引论1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n 名商人带n 名随从过河，船每次能渡k 人过河，试讨论商人们能安全过河时，n 与k 应满足什么关系。
（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。
问人、狗、鸡、米怎样过河？1.4 有3对阿拉伯夫妻过河，船至多载两人，条件是根据阿拉伯法典，任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。
问怎样过河？1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？1.6 某城市的Logistic 模型为2610251251N N dt dN ⨯-=，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。
设该市1990年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。
当∞→t 时发生什么情况。
1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻t 的人口为)(t x ，最大允许人口为m x ，t 到t t ∆+时间内人口数量与)(t x x m-成正比。
试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。
1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。
水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。
如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？第2章 初等模型2.1 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。
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需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果 预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空 房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常被动的局面， 引起代表的不满。
会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要 在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。由于事先无法知道哪些 代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客 车接送代表。现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分 别是半天800元、700元和600元。
• 在解决主要问题之前，都做了一些准备工作，如按照 代表对住房类型、价位的需求将各宾馆的客房分类整理， 将宾馆按照能满足代表需求的多少排列，并事先排除几 个满足需求较少、价位又高的宾馆。
基本情况
• 多数同学先确定在哪些宾馆预订客房及其数量， 再在此条件下确定租用会议室和客车的方案。
• 有的先确定在哪些宾馆租借会议室，再预订客房。
问题2主要应考虑筹备组管理的方便及代表的满意， 如满足代表在合住或独住及价位方面的需求、预订 的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。
若建立优化模型，可以用宾馆总数最少为目标函 数，以满足代表在合住或独住及价位方面的需求， 及各宾馆拥有客房数量等为约束条件，以在哪几家 宾馆订房及各类客房订多少间为决策变量。
题目的背景
一些会议的筹备者和宾馆的管理人员反映, 诸如上述 这些情况普遍存在、时常发生。
通过数学建模方法, 从经济、方便、代表满意等方面, 为会议筹备者制定一个预订宾馆客房、租借会议室、 租用客车的合理方案, 是非常现实且很有实际意义的课 题, 并且这方面的研究过去几乎没有。
为了保持问题的原汁原味, 赛题中所列10家宾馆的 基本数据和相对位置, 以及本届会议代表回执中有关 住房要求的信息都是真实的, 只是对一些宾馆客房和 会议室的数量略作改动。关于前几届会议的代表回执 和与会情况也基本上参考了历史数据。
x2ij C2ij , i 1,2, , r; j 1,2, , s
2. 确定在哪些宾馆预订客房及预订各类客房的数量 求解整数规划模型（LINGO） 最优解一般不唯一，可得到多个解
可考虑距离因素、价格因素等确定最终方案
或者在这些解的基础上进入下一步，根据 租借会议室和租车情况确定最终方案.
3. 确定在哪些宾馆预订哪些类型的会议室 以及租车的规格和数量 预订会议室的原则： • 每个会议室的容量至少为与会总人数的1/6 • 会议室位于预订客房的宾馆内 租车的原则： • 与会总人数1/6的代表不需接送 • 宾馆距离在一定范围内的代表不需接送 • 一辆车每次会议最多接送2趟
当建立优化模型时, 可用租借会议室和客车的总费用 最少为目标函数, 以满足对会议室数量、大小及租车的 需要为约束条件, 以租用会议室和车辆的规格、数量为 决策变量。
将问题2, 3统一建立模型并求解有一定困难, 可在问 题2几个解的基础上解问题3，通过比较得出最后结果。
一种参考解法
1. 预测本届会议的与会代表数量 确定需要预订各类客房的数量
• 还有的将宾馆总数最少和宾馆间的距离最短结合 起来，建立双目标规划模型。
• 一些同学用分析方法先排除一些宾馆, 或是依次在某 些宾馆安排代表(先安排容纳人多的), 虽然得到的结果 不错, 但偏向于经验, 从数学建模的角度来说不提倡。
• 给出客车在宾馆之间接送代表的具体办法, 如行车路 线、始发地和目的地, 中途经什么宾馆等，值得鼓励。
组只需满足代表对住房价位类型的需求。客房价格不
应成为优化的目标, 而只能是兼顾的因素。
一些同学没有完全把握这些要求，过分注意了客房 价位，而对空房费和不满引起的“费用”关注不够。
存在的问题
4）将宾馆间距离最短作为优化的一个目标, 有其合理 性, 但很多是先选定一家宾馆(比如处于中心位置的), 以其他宾馆与其距离之和最短为标准, 来预订客房。
对学生论文的评述
存在的问题 1）预测本届会议的与会代表数量时，用往届实际到 会人数对发来回执人数的回归模型，若用线性或二次 模型，结果通常偏低，如不加调整，会有问题。
650
600
还有的建立实际到 550
会人数关于以往会议 500
450
届数的回归模型。 400
350
明显错误！
300
250
1
1.5
2
2.5
问题分析和解决方法
从题目要求出发，主要需要解决三个问题： 1）预测本届会议与会代表的数量, 并确定需要 预订各类客房的数量； 2）确定在哪些宾馆预订客房及预订各类客房的 数量； 3）确定在哪些宾馆预订哪些类型的会议室以及 租车的规格和数量。
问题分析和解决方法
问题1是求解问题2，3的前提，首先应该根据附表2， 3的数据对本届会议与会代表的数量进行预测。
筹备组经过实地考察, 筛选出10家宾馆作为备选, 它们的名称 用代号①至⑩表示, 相对位置见附图, 有关客房及会议室的规格、 间数、价格等数据见附表1。
根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2。 从以往几届会议情况看, 有一些发来回执的代表不来开会, 同时也 有一些与会的代表事先不提交回执, 相关数据见附表3。附表2, 3都 可以作为预订宾馆客房的参考。
预测本届会议与会代表数量 Nmean=Aemean =661 Nmax=Aemax =678
1. 预测本届会议的与会代表数量 确定需要预订各类客房的数量
650
• 建立di对ai的回归模型
600 550
用线性模型预测本届会议 500 450
与会代表数量 N=638
400
350
确定预订客房的总量
300 250
对于本题所给数据可以得到合理的结果, 但是这种方 法不具普遍性, 因为不能排除有另外几个宾馆(不包含 上面选定的)也能满足代表的需求, 且其他指标更优。
5）题目说明是上下午各安排6个分组会议，并且事先 无法知道哪些代表准备参加哪个分组会。
一些同学理解为各个分组会内容相同, 于是只要求6 个会议室的总容量大于与会人数。还有的认为上下午 会议内容相同，于是上下午各只安排总数的一半即可。
第i家宾馆的选择变量 ki (ki=0,1)
2. 确定在哪些宾馆预订客房及预订各类客房的数量
目标函数 约束条件
r
min z ki i1
满足需求
r
ki x1ij T1 j , j 1,2, , s
i 1
r
ki (x2ij yij ) T2 j , j 1,2, , s
i 1
满足供给 x1ij yij C1ij , i 1,2, , r; j 1,2, , s
• 题目 • 题目的背景 • 问题分析和解决方法 • 一种参考解法 • 对学生论文的评述
题目
某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性 会议, 会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房, 租借会议室, 并租用 客车接送代表。由于预计会议规模庞大, 而适于接待这次会议的几 家宾馆的客房和会议室数量均有限, 所以只能让与会代表分散到若 干家宾馆住宿。为了便于管理, 除了尽量满足代表在价位等方面的 需求之外, 所选择的宾馆数量应该尽可能少, 并且距离上比较靠近。
确定预订客房总量时，应使会议筹备组在订房上的 损失尽量小，损失包括：预订客房数超过实际用量时 需要支付的一天空房费；预订客房数不够时引起代表 不满的“费用”，后者要用适当的数学表达式加以量 化。
根据附表2数据中本届会议的代表所需要6种类型 的客房的比例，可由预订客房的总量得到预定各类客 房的数量。
问题分析和解决方法
设有n届同类型会议的历史数据可利用 (n较小, 本题n=4)
第i届发来回执的代表数量ai 第i届发来回执但未与会的代表数量bi 第i届未发回执而与会的代表数量ci
第i届与会代表数量di= ai- bi+ ci • 比例法预测
第i届与会代表占发来回执数量的比例ei= di/ai
emean ，emax
本届发来回执数量A
• 有一些发来回执的代表不来开会, 也有一些与会代表 事先不提交回执, 给预订宾馆客房数量造成了困难；
• 虽然客房房费由与会代表自付, 但如预订客房数量大 于实际数量, 筹备组需要支付一天的空房费, 而若预订 客房数量不足, 则将引起代表的强烈不满；
• 若内容不同的分组会分散在几个宾馆, 而代表要参加 哪个分组会无法预知, 因此需要派车在宾馆间接送代表。
3
3.5
4
存在的问题
2）在用比例法预测本届会议的与会代表数量时，取 第i届与会代表占发来回执数量的比例ei= di/ai的平均 值，没有考虑预订客房数不够实际用量时引起代表不 满造成的损失，未给预测值留出余量。
个别同学这样计算ei= di/ai的平均值： di / ai
i
i
3）题目中已明确说明客房房费由与会代表自付, 筹备
2. 确定在哪些宾馆预订客房及预订各类客房的数量 以宾馆总数最少为目标，以满足代表在合住、独
住及价位方面的需求，及各宾馆拥有客房数量等为 约束条件，建立优化模型 .
决策变量 设共有r家宾馆双人、单人房各s种类型 预订第i家宾馆第j种类型双人房(合住)间数 x1ij 预订第i家宾馆第j种类型单人房(独住)间数 x2ij 预订第i家宾馆第j种类型双人房(改独住)间数 yij
男
154 104
32
107
68Байду номын сангаас
41
女
78
48
17
59
28
19
附表3 以往几届会议代表回执和与会情况
发来回执的代表数 量
发来回执但未与会 的代表数量
未发回执而与会的 代表数量
第一届 315
89
57
第二届 第三届 第四届
356
408
711
115
121