清华质点动力学-动量

F
0 MV (m M )V共
V共
M (m
2 gh M)
过程Ⅲ：M、m 共同下降d。
选M、m为系统，受力分析如图。
初态：V=V共 ，末态：V=0
初态： 末态：
Ek0
1 (m 2
M
)V共2
Ek 0
动能定理：
A Ek Ek Ek0
A F阻d (m M )gd
F阻
(m
M
)g
M 2gh (m M )d
1 质点系质心位置： 设系统由n个质点组成，每个质点对应一个矢径 ri
rc
miri 百度文库mi
Rt系
xc
mi xi mi
mi xi M
yc
mi yi mi
mi M
yi
zc
mi zi mi
mi zi M
2 质量连续分布物体的质心位置：
利用上述结果，采用微积分的方法获得。
z
解： ⑴ 如图，全过程可分为以下几个分过程：
M V0 0
过程Ⅰ：重锤M自由下落。
初态：V0=0；末态： V 2gh
h
过程Ⅱ：M、m 碰撞过程。 选M、m为系统，作受力分析：
m d
初态：
m: M:
v0 V 2gh
末态：M、m同速，设为V同
F'
f
内力（相互作用的冲力F、F′）远大于外
mg
力（阻力f与重力）， 因此竖直方向动量守恒： Mg
rc
miri mi
Ⅱ 质心运动定律：
质点系质心运动速度：
Vc
drc dt
d ( miri ) dt M
1 M
mi
dri dt
rc
miri mi
miVi
M
MVc miVi
质点系动量定理：
F外
dP dt
d( miVi )
dt
d(MVc ) M dVc
dt
dt
F外
当外力远小于内力时，可近似认为动量守恒。
⑶ 定理中的各速度指对应于同一参照系的速度。
⑷ 动量定理、动量守恒比牛二律更普遍适用。
⑸ 动能与动量都描述了机械运动，都是状态量，
但两者的描述角度不同：
动能，标量； 其变化：△ Ek = A
rr12
F
dr
与力在空间上的累积作用相关
——动能定理
动量，矢量；
其变化：
F外 0 ，水平方向动量守恒。
参考位
v
如图设任意时刻船和人相对于岸的速度为：
V,
v
取初始静止时船头位置为参考位置
则由动量守恒有：
Ss
mv MV 0 mv MV m0t vdt M 0tVdt
用S、s表示船和人相对参考位置的移动距离，则：
S 0tVdt
s 0t vdt
参考位 l
⑴ 过程规律。反映：过程量=状态量的增量
⑵ 矢量式。常用分量式：
I x Px Px0
I y Py Py0
⑶ 适用于惯性系及微观粒子。
⑷ 在无限小时间间隔内，质点系动量定理可写成：
F外
dP dt
反映了外力与动量变化的瞬时关系； 反映了力是改变运动状态的原因。
三、动量守恒定律：
P
I
tt12
Fdt
与力在时间上的累积作用相关。
——动量定理
例1：有一长 l =4m，质量M=150kg 的船，静止浮于湖面上。今有 一质量m=50kg 的人，从船头走到船尾。设：水对船的阻力 忽略不计。
求：人和船相对于湖岸各移动的距离。
解：
V
取人、船为研究系统。由于水的阻力忽略，因此在水平方向
第三章 动 量
—— 动量定理 动量守恒定律 一、质点的动量定理：
牛二律：
F
d(mV )
m
dV
dm V
经典dm 0 dt
ma
dt
dt dt
1 定义：
tt12Fdt mmVV12d(mV)
mV2 mV1
I
tt12
Fdt
P mV
称为冲量， 反映了力对时间的累积。 称为动量
均为矢量
2 动量定理：
I P2 P1 P
力对时间的积累=动量的增量
I P
3 说明：
⑴ 过程规律。 反映：过程量=状态量的增量
I
tt12
Fdt
P
⑵ 动量定理为矢量方程，常采用分量式，在直角坐标系中：
I x mV2x mV1x
Iy
mV2 y
mV1 y
F F
⑶ 不仅适用于惯性系，而且适用于微观粒子。
I外 0 P P0 0
I外 P P0
P P0
1 动量守恒定律：
等价（数学上）
当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。
2 说明：
即：
F外
0
( P) 0
⑴ 定律为矢量式。分量式：
Fx 0 Px Px0
Fy 0
Py Py0
可分别独立使用
⑵ 应用时常采用近似守恒条件：
F阻
(m M)g M V0 0
h m d
⑵ 重锤与木桩下陷的时间。
取向下为正。由动量定理有：
[(m M )g F阻]t 0 (m M )V共
t
2gh d M(m M ) M 2gh
M V0 0
h m d
四、 质心 质心运动定理：
Ⅰ、质心：
是系统质量中心的简称。是系统内的一个特殊点。
⑷ 冲量表达式中的力一般是时间的函数：
A 恒力：
I F (t2 t1) Ft
t
t1
t2
大小=F~t曲线下(t1,t2)间的面积
F
B 变力：用一平均力 F 来代替变力F ，
F F(t)
这一平均力称为冲力。
F
I
Ft
tt12
Fdt
F
mV2
mV1
t
t
t1
t2
说明：
I外 P P0
E
p0
1 2
mV12
1 2
mV22
E
p
设：起始时r = r20=∞时为势能零点， 即：Ep0=0
则：
Ep
r
k
q1q2 r2
dr
V1 V2 V0 2
rmin
4kq2 mV02
·dm
r
y x
3 质心与重心：
rc
V
rdm M
分量式
M为物体的质量。
xc
xdm M
yc
ydm M
zc
zdm M
⑴ 质心位置与物体的质量及其分布有关，与外力无关。 重心是作用于全物体上的重力合力的作用点。
⑵ 在一定条件下，质心与重心可认为重合。
条件：作用于物体上各部分的重力平行； 重力加速度为常数。
v
V
m0t vdt M 0tVdt
S 0tVdt
s 0t vdt
ms MS
Ss
由图知人、船的相对运动终止时有：
Ssl
S
s
lS ml
mM
3m 1m
例2：质量为M的重锤从高为h处以初速度为零的状态落下，击在 木桩上并使之入土深度为d。已知木桩的质量为m，且重锤 与木桩一同下陷。
求：⑴ 土地的平均阻力；⑵ 重锤与木桩下陷的时间。
Mac
——质心运动定律
⑴ 质点系质心的运动可看成一个质点的运动。这个质点 集中了整个质点系的质量和外力。
⑵ 质心的运动状态完全取决于质点系所受外力，内力不 使质心产生加速度。内力不能改变系统质心的位置
例：有两个带电粒子，他们质量均为m，电荷均为q。其中一个
处于静止，另一个以初速V0由无限远处向其运动。 问 ：这两个粒子最接近的距离是多少？在这瞬时，每个粒子的
dr dr2 dr1 dt dt dt
V1 V2
最接近时： dr 0
dt
最接近时： V1=V2
F
V1
r1 r
· · q1 o F外 0
r2 V2
·q2
F
最接近时：dr 0
dt
，V1=V2
动量守恒：
mV0 0 mV1 mV2
A外 A非保内 0
机械能守恒：
1 2
mV02
速率是多少？你能知道这两个粒子的速度将如何变化？
（已知库仑力的大小为f=kq1q2/r2）
· · · 解： 设起始时，q1位于o点静止。 且：V10=0 , V20=V0 , r20=∞ , F
V1
q1
r1
o
r
r2 V2
q2
F
q1 = q2 =q
以o点为参考点，q1q2连线右为轴。 任意时刻q1 、q2间距为r， 两者到参考点o的距离为r1 、r2 ，相应的速率为V1 、V2