第七讲-数列专题训练二

第七讲：数列专题训练二

26．等差数列}{n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，2

55a S =．

(1)求数列}{n a 的通项公式；

(2)若数列}{n b 满足1

21

+⋅++=n n n a a n n b ，求数列}{n b 的前n 项的和．

27．已知向量11(2,),(,2),()n n n n a a b a n N ++==∈ *

且11a =.若a 与b 共线,

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .

28．已知：数列}{n a 满足+-∈=

++++N a n

a a a a n n ,3

3

331

32

21 . （1）求数列}{n a 的通项； （2）设,n

n a n

b =

求数列}{n b 的前n 项和S n . 29．对负整数a ，数310,66,32++++a a a a 可构成等差数列.

（1）求a 的值；

（2）若数列{}n a 满足)(21

1+++∈-=N n a a

a n n n 首项为0a ，①令n

n n a b )2(-=

，求{}n b 的通项公式；②

若对任意1212-+<+∈n n a a N n 有，求0a 取值范围.

30．数列.23,5,2}{1221n n n n a a a a a a -===++满足

（1）求证：数列}{1n n a a -+是等比数列； （2）求数列{n a }的通项公式；

（3）若.}{,n n n n S n b na b 项和的前求数列=

31．已知二次函数()y f x =

的图像经过坐标原点，

其导函数为'

()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *

∈均在函数()y f x =的图像上。 （Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）、设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

n m

T <对所有n N *∈都成立的最小正

整数m ；

32．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足)2(02,2

1

11

≥=+=

-n S S a a n n n （Ⅰ）判断}1

{

n

S 是否为等差数列？并证明你的结论； （Ⅱ）求S n 和a n

（Ⅲ）求证：.41

21 (2)

2221n

S S S n -≤

+++

33．若n A 和n B 分别表示数列

{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数n 有

n A B n a n n n 13124,2

3

2=-+-

=。 （1）求n A ；

（2）求数列{}n b 的通项公式；

（3）设集合},4|{},,2|{*

*

N n b y y Y N n a x x X n n ∈==∈==，若等差数列{}n c 的任一项

1,c Y X c n ∈是Y X 的最大数，且125265-<<-m c ，求{}n c 的通项公式。

34．已知点列),(n n n b a P 在直线l ：y = 2x + 1上，P 1为直线l 与 y 轴的交点，等差数列{a n }的公差为)(1*

N n ∈

（Ⅰ）求{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）)2(|

|1

1≥=

n P P n C n n

，求和：C 2 + C 3 + … +C n ；

（Ⅲ）若)2(211≥+=+-n a d d n n n ，且d 1 = 1，求证数列}2{++n d n 为等比数列：求{d n }的通项公式

35．已知数列{}n a 是首项为11

4a =

，公比14q =的等比数列，设14

23log n n b a +=()n *∈N ，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.

（Ⅰ）求证：数列{}n b 成等差数列； （Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若2114

n c m m ≤

+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．

36．已知数列{a n }的前n 项和为S n （0n S ≠），且*111

20(2,),.2

n n n a S S n n a -+=∈=N ≥

（1）求证：1n S ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是等差数列； （2）求a n ；

（3）若2(1)(2)n n b n a n =-≥，求证：222

23 1.n b b b +++<

37．已知

()||23f x x x a x =-+-

（Ⅰ）当4a =，25x ≤≤时，问x 分别取何值时，函数()f x 取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；

（Ⅱ）若()f x 在R 上恒为增函数，试求a 的取值范围; （Ⅲ）已知常数4a =，数列{}n a 满足1()3

()n n n

f a a n N a +++=

∈,试探求1a 的值，使得数列{}()n a n N +∈成等差数列．

38．在数列1

2,2,}{11+=

=+n n

n n a a a a a 已知中 （I ）求数列}{n a 的通项公式；

（II ）求证：3)1()1()1(2211<-++-+-n n a a a a a a

39．设函数f (x )的定义域为),0(+∞，且对任意正实数x ，y 都有

)()()(y f x f y x f +=⋅恒成立，已知

.0)(,11)2(>>=x f x f 时且

（1）求)2

1(f 的值；

（2）判断),0()(+∞=在x f y 上单调性；

（3）一个各项均为正数的数列{a n }满足：)(1)1()()(+∈-++=N n a f a f S f n n n 其中S n 是数列{a n }的前n 项和，求S n 与a n 的值.

40．已知定义在（－1,1）上的函数f (x )满足1)2

1(=f ，且对x ,y )1,1(-∈时，有)1()()(xy y

x f y f x f --=-。

（I ）判断)(x f 在(－1，1)上的奇偶性，并证明之； （II ）令21112,2

1

n

n

n x x x x +==+，求数列)}({n x f 的通项公式；

（III ）设T n 为数列})(1{

n x f 的前n 项和，问是否存在正整数m ，使得对任意的*N n ∈，有3

4

-<

m T n 成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，则说明理由。