第4讲 频率域图像增强

其中：D0 为截止频率 D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2
1
理想高通滤波器的透视图、图像表示和横截面
a
b
c
理想高通滤波器的特点： 1 .衰减D0以内的频率完全通过D0以外的频率 2. 有振铃现象 3. 和背景接近的圆产生很弱的边（a边上3个园） 4. a图横直的线条，小点都有失真（因为低频 成分的保留较多）， 5. b,c图显现出对高频成分的过通：（1）小点 变小，线变细；（2）低频的成分越多，在空 间域表现为平缓部分保留越多。如a,c中的白 边等；（3）截止频率越高，平缓部分保留越 少，只留下边 6. c图更象高通
（2）周期性（“周期卷绕”的基础）
F (u, v) F (u M , v) F (u, v N ) F (u M , v N ) f ( x, y) f ( x M , y) f ( x, y N ) f ( x M , y N )
（3）共轭对称性
• Butterworth高通滤波器的定义
– 一个截止频率在与原点距离为D0的n阶 Butterworth高通滤波器（BHPF）的变换函数 如下
H (u, v)
1 D0 (u v) / D0 /,D(u,v)
1
2n
BHPF透视图、图像表示和横截面
Butterworth高通滤波器的分析
3 傅里叶变换的性质 （1）可分性（用于快速傅里叶变换）
1 F (u , v) M 1 M
M 1
1 x 0 N
f ( x, y )e
y 0 j 2 ux M
N 1
j 2
vy N
j 2 ux M e
M 1

x 0
f ( x, v )e
• 问题：低频成分也被严重地消弱了，使图像失去 层次 • 改进措施： – 加一个常数到变换函数 H(u,v) + A （高频强调） （+A的含义？） – 为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再进 行一次直方图均衡化。这种方法被称为后滤波 处理
高斯型高通滤波器
H (u, v) 1 e
2 D2 (u ,v )/ 2 D0
2 二维傅里叶变换 （1）连续形式
F (u, v)
f ( x, y)




f ( x, y)e j 2 (ux vy ) dxdy F (u, v)e j 2 (ux vy ) dudv

（2）离散形式
1 F (u , v) MN f ( x, y )
– F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式 – H(u,v)是选取的一个滤波器变换函数 – G(u,v)是通过H(u,v)减少F(u,v)的高频部分来 得到的结果 – 运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。
• 理想低通滤波器的定义
– 一个二维的理想低通滤波器（ILPF）的转换 函数满足（是一个分段函数）
第4讲 频率域图像增强
• • • • • 4.1 卷积 4.2 傅立叶变换 4.3 平滑频率域滤波器——低通滤波器 4.4 频率域锐化滤波器——高通滤波器 4.5 同态滤波器
傅立叶变换的引入
• 周期函数可以表示为不 同频率的正弦和/或余弦 和的形式 • 非周期函数可以用正弦 和/或余弦乘以加权函数 的积分来表示——这种 情况下的公式就是傅立 叶变换
理想低通滤波器VS Butterworth低通滤波器
理想滤波器
Butterworth低通滤波器
高斯低通滤波器
• 是指数低通滤波器
H (u, v) e
• 令σ=D0,则
D2 (u ,v )/ 2 2
H (u, v) e
D2 (u ,v )/ 2 D02
高斯低通滤波器的传递函数等
u 0
M 1 N 1 x 0 y 0
f ( x, y)e
j 2 (
j 2 (
ux vy ) M N
M 1 N 1 v 0
F (u, v)e
ux vy ) M N
练习
有一个2*2的图像，其中f(0，0)=3，f(0， 1)=5，f(1，0)=4，f(1，1)=2，求该图像的傅 里叶谱。
F ( )e
j x
d
（2）周期形式（傅里叶级数）
1 F (u ) au M f ( x) f ( x)
u

M
0
f ( x)e
j 2ux / M
dx
a e
u

j 2ux / M
u
F (u )e
j 2ux / M

u
a e
u

j 2ux / M
三种低通滤波器的比较
ILPF
二阶BLPF
二阶GLPF 无振铃
有振铃
微弱振铃
• 高斯LPF r=30
ILPF r=30
第4讲 频率域图像增强
• • • • • 4.1 卷积 4.2 傅立叶变换 4.3 平滑频率域滤波器——低通滤波器 4.4 频率域锐化滤波器——高通滤波器 4.5 同态滤波器
频率域锐化滤波器
• 对F(u,v)的高频成分的衰减使图像模糊——低 通滤波 • 对高频成分的通过使图像锐化——高通滤波 • 高通和低通的关系 – Hhp(u,v) = 1 - Hlp(u,v) – 即低通阻塞的频率是能够通过高通的
2
• 理想高通滤波器的定义
– 一个二维的理想高通滤波器（ILPF）的转换函数满足 （是一个分段函数）
• 是低频高斯滤波的反，所以上升较butterworth快， 即高频更丰富
GHPF透视图、图像表示和横截面
IHPF
BHPF
GHPF GHPF更平滑
第4讲 频率域图像增强
• • • • • 4.1 卷积 4.2 傅立叶变换 4.3 平滑频率域滤波器——低通滤波器 4.4 频率域锐化滤波器——高通滤波器 4.5 同态滤波器
x 0
f ( x)e j 2 ( l ) x / M F * (l ) F (l )
频域中心化的基础
F ( M l ) F * (l ) F (l )
（4）平移性质 特例——移中性：用于频域中心化操作
M N f ( x, y )(1) F (u ，v ) 2 2 M N (u v ) f ( x , y ) F (u , v)(1) 2 2
• 被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果所 影响
Butterworth低通滤波器的定义
• 一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth 低通滤波器（BLPF）的变换函数：
wk.baidu.com
H (u, v)
• • • •
1 D(u, v) / D0
1
2n
Butterworth低通滤波器又称最大平坦滤波器 它在带通和带阻之间没有明显的不连续， 代替的是有一个平滑的过渡 通常把H(u,v)下降到某一值的那一点定为截止频 率D0
频率域和空域
• 频率域——高频和低频 • 在空域中的用模板滤波从效果上看和频率 域中的高频和低频滤波的作用相似。 • 空域和频率域的对应关系
– 高频对应 快变部分 – 低频对应 平缓部分
• 空域与频率域之间的纽带——卷积
卷积定义
• 空间滤波器线性滤波
g ( x, y )
s a t b
（4）傅里叶谱
F (u) R(u) jI (u) F (u) e j (u )
| F (u) | R (u ) I (u )
2 2
傅里叶幅度谱或频率谱
I (u ) (u) arctan R(u )
傅里叶相位谱 功率谱
P(u) | F (u) |2 R 2 (u) I 2 (u)
（3）离散形式
1 F (u ) M
M 1 u 0
M 1 x 0
j 2ux / M f ( x ) e
f ( x) F (u )e j 2ux / M
系数1/M也可以放在反变换前， 有时也可在傅立叶正变 换和逆变换前分别乘以(1/M )1/2。 但应注意：正变换和逆变换前系数乘积必须等于1/M。
离散一维卷积 h(i) = f(i)*g(i) = f(j)g(i-j) 二维卷积的定义

j
h(x,y) = f*g = f(u,v)g(x – u, y – v)dudv
-
离散二维卷积
h(x,y) = f*g = f(m,n)g(x – m, y – n)
m n
卷积定理
卷积定理：如果 x(t) 和 h(t) 的傅立叶变换分别为 X(f) 和 H(f) ,则x(t) * h(t) 的傅立叶变换为 X(f)H(f)。即
w(s, t ) f ( x s, y t )
a
b
• 卷积方式表达： f(x,y)*h(x,y)
– 这里的 h(x,y) 相当于模板的响应函数w()
• 卷积的定义
– 对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)，可以用卷 积积分来说明他们的关系 h(t) = g(t - )f()d 记为：h = g * f g(t)称为冲激响应函数
其中：D0 为截止频率 D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2
• 理想低通滤波器的透视图\图像显示、 截面图
H(u,v)作为距离函数 D(u,v)的函数的截面 图
理想低通滤波器的分析
• 物理上不可实现 • 滤除高频成分使图象变模糊
– 整个能量的92%被一个半径为5的小圆周包含, 大 部分尖锐的细节信息都存在于被去掉的8%的能量 中。小的边界和其它尖锐细节信息被包含在频谱 的至多0.5%的能量中
F (u, v) F (u,v)
*
F (u, v) F (u,v)
1 F (u ) M
M 1

x 0
f ( x)e j 2ux / M
M 1
1 F (M l ) M 1 M

x 0
f ( x ) e j 2 ( M l ) x / M
M 1

傅里叶变换及其反变换
1 一维傅里叶变换 （1）连续形式 单变量连续函数f(x)的傅立叶变换F(u)可以定义为：

F (u)
傅立叶反变换

f ( x)e j 2 ux dx
j 1
f ( x)


F (u )e j 2 ux du
1 f ( x) 2



– 对f(x,y),h(x,y)进行傅立叶变换变换得F(u,v)H(u,v) – f()*h()F(u,v)H(u,v)的逆变换 – 滤波作用在F(u,v)h(u,v)相乘中完成的
• 频域滤波器
– 低通滤波器 – 高通滤波器 – 同态滤波器
低通滤波器的基本思想
• G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
同态滤波器的引入
• 若物体受到的光照不匀，那么图像上较暗部分 的细节就较难辨别
x y
移中的变换：
FT
原图像f（x，y） 移中的变换：
移中FT
能量分布于四角（示意图）
能量集中于中心（示意图）
(a)
(b)
(c)
傅立叶频谱平移示意图 (a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱
移中性
f ( x, y )(1)
原图像
( x y )
M N F (u , v ) 2 2

x(t ) * h(t )
X ( f )H ( f )
•空域和频域之间的基本联系——卷积定理的描述 –空域中的卷积等价于频域中的相乘 f(x,y)*g(x,y) F(u,v)G(u,v) F{f(x,y)*g(x,y)} = F(u,v)G(u,v) 即空域中的卷积可以用频域中的乘积的反傅立叶变换来获得 –同时有： f(x,y) g(x,y) F(u,v)*G(u,v)
频域图像（幅度谱）
第4讲 频率域图像增强
• • • • • 4.1 卷积 4.2 傅立叶变换 4.3 平滑频率域滤波器——低通滤波器 4.4 频率域锐化滤波器——高通滤波器 4.5 同态滤波器
频率域滤波
• 把空域的模板看作系统对图象的响应函数h(),
– g()=f() *h()滤波
• 整个过程：
• Butterworth低通滤波器的截面图等
H(u,v)作为D(u,v)/D0 的函数的截面图
Butterworth低通滤波器的分析
• 在任何经BLPF处理过的图像中都没有明 显的振铃效果，这是滤波器在低频和高频 之间的平滑过渡的结果 • 尾部含有大量的高频成分（模糊减少）。 而低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代 价来减少干扰效果的修饰过程