第一章 生命函数Microsoft PowerPoint 演示...

1、（X）的余命函数 （死亡函数）
定义：(x)的人在t年内死亡的概率。
Fx (t ) = Pr(T ≤ t ) (t ≥ 0)
= Pr( x < X ≤ x + t X > x)
s( x) − s( x + t ) F ( x + t ) − F ( x) = = 1 − F ( x) s( x)
t
tu
qx 表示(x)的人活过t年在u年死亡的概
率。
特殊 ：t=1时
u=1时 时
一些公式：
qx
t
px
qx
s ( x) − s ( x + t ) t qx = s ( x)
s( x + t ) t px = s ( x)
tu
q x = Pr(t < T ≤ t + u )
= Pr(T ≤ t + u ) − Pr(T ≤ t )
保险精算学
主讲教师 沈治中
精算学
精算学在西方已经有三百年的历史，它 是一门专门研究如何处理保险业及其他金融 业中各种风险问题的定量方法和技术的学科， 是现代保险业、金融投资业和社会保障事业 发展的理论基础。目前，精算已经渗透到商 业保险的各个领域，并在投资机构、社会福 利组织、政府咨询和监管等机构中发挥越来 越重要的作用。
例：证明
n
p x = p x ⋅ p x +1 ⋅ p x + 2 L p x + n −1
s ( x + 1) s ( x + 2) s ( x + 3) s ( x + n) = ⋅ ⋅ L s ( x) s ( x + 1) s ( x + 2) s ( x + n − 1)
证：右边
s ( x + n) = s ( x)
第一章
生命分布函数
第一节 生命的一般分布函数
主要内容： 主要内容：
1、生命状态 、 2、死亡函数、生存函数 、死亡函数、 3、余命函数 、 4、取整余命 、 5、几种生存函数假设 、
一、生命状态 1、生存状态、死亡状态； 2、单生命状态、多生命状态。
二、x分布函数
1、死亡函数 、 设一个人从出生到死亡的时间为
2、T的概率密度 、 的概率密度
s′( x + t ) f x (t ) = Fx (t ) = − s( x)
′
二、平均寿命
X的期望值
+∞
E ( x) =
∫
0
xf ( x ) dx
三、平均余命
T的期望值
0
e x = E [ T ( x )] =
=
∫
∞
∫
∞
0
tf x ( t ) dt
∞ ∞ t 0
Pr(T ( x) ≤ ∆x) ∆x
∆x → 0
= lim
Pr( x < X ≤ x + ∆x X > x) ∆x
∆x →0
F ( x + ∆x) − F ( x) 1 = lim ⋅ ∆x →0 ∆x 1 − F ( x)
F ′( x ) = 1 − F ( x)
s′( x) µx = − s( x)
s( x + t + u ) s( x + t ) s( x + t + u ) = . S x (t + u ) = s ( x) s( x + t ) s( x)
= S x (t ) ⋅ S x + t (u )
3、国际通用的精算符号 、
t
q x 表示(x)在t年内死亡的概率
p x 表示(x)活过t年的概率
职业结构
1）保险公司 ） 2）咨询精算师 3）保 ） ） 5）其它政府机 险经纪人 4）保险部门 ） ） 6、大学和学院 7）银行和投资 构 、 ） 8）软件发展商和销售商 9）服 顾问 ） ） 10、其他 务于保险经济的组织 、
简要介绍
一、保险精算 寿险精算 非寿险精算 二、精算的原理 大数法则 等价原理（保费收入=支出 支出) 等价原理（保费收入 支出 三、寿险精算的内容 保费 责任准备金 现金价值 资产份额 红利 四、寿险精算的基础 利息理论 生命表 五、三要素 利率 死亡率 费率
。
=t +u qx −t qx
=t p x −t +u p x
s( x + t ) − s( x + t + u ) = s( x)
s( x + t ) s( x + t ) − s( x + t + u ) = t p x ⋅u q x + t = . s ( x) s( x + t )
例：用精算符号表示下列概率
50 3） Pr( x > 50) = s (50) = 1 − = 0.375 80
4） 30 < X ≤ 50) = F (50) − F (30) = 0.25 Pr(
三、T分布函数（余命函数） 分布函数（余命函数） 分布函数
设x岁的人的剩余寿命为T(x),简写 为T。
T ( x) = X − x = T
x， 即人的寿命。是一个随机变量，用f(x)表
示其分布函数，则：
F ( x) = Pr( X ≤ x)
又称为0岁的人在
( x ≥ 0)
x
岁之前死亡的概率。通常假定
F (0) = 0 F (∞ ) = 1
且F(x)是一个连续型随机变量。
2、生存函数 、
s(x)用表示0岁的人在x岁还活着的概率，则：
s ( x) = Pr( X > x)
显然： 显然：
x≥0
s( x) = 1 − F ( x)
3、0岁的人在x1岁和x2岁之间死亡的概率
Pr( x1 < X ≤ x2 ) = F ( x2 ) − F ( x1 )
= s( x1 ) − s ( x2 )
例：设
求： 1）
x 80 (0 < x ≤ 80) F ( x) = 1 ( x > 80)
2、x+t岁时的死亡力
，
µ x +t
s′( x + t ) =− s( x + t )
3、死亡力与概率密度的关系
。
µ x+t
s′( x + t ) =− s( x + t )
s ( x) s′( x + t ) = ⋅ (− ) s( x + t ) s( x)
1 = ⋅ f x (t ) t px
2、（X）的生存函数
。
S x (t ) = Pr(T > t ) = 1 − Fx (t )
s( x + t ) = s ( x)
表示(x)岁的人活过t年的概率。 （或活过x+t岁的概率）
讨论
1）由上式得：
S ( x + t ) = S ( x) ⋅ S x (t )
表示0岁的人活过x+t岁的概率等于x岁还活着的概率 乘以(x)活过t年的概率。 2）
=
0
∞ t
0
p x dt =
∫
1
ω−x
0
ω−x
2
ω
ω − x−t dt ω−x
3）
f ( x) = − s′( x) =
4）
s′( x + t ) 1 ′ =− = f x (t ) =−t px s( x) ω − x
五、死亡力
在瞬时的死亡率称为死亡力，简称死力。 1、x岁时的死亡力
µ x = lim
B>0, A≥−Bc>1 x≥0 , ,
4、1939年 Weibull解析式：
kx n +1 s ( x) = exp[− ] n +1
k > 0, n > 0, x ≥ 0
例：已知
求： t
s(x) = 1 −
t
x
ω
px
qx
s( x + t ) ω − x − t 解： t px = = s( x) ω−x
s (x)
2）新生儿在30岁前死亡的概率； 3）新生儿活过50岁的概率； 4）新生儿在30岁和50岁之间死亡的概率。
解：
x 1 − 80 (0 < x ≤ 80) 1） s( x) = 0 ( x > 80)
30 2） Pr( X ≤ 30) = F (30) = 2 = 0.375 80
= ∑ k +1 p x = ∑ k px
k =0
k =1
∞
∞
s 例：已知： ( x ) = 1 − ω
x
0≤ x <ω
。求： 解： 1）
E ( x) e x
E ( x) =
0
f (x)
xf ( x ) dx
f x (t )
∫
+∞
0
=
=
∫
ω
2
ω
0
x[ − (1 −
x
ω
) ′]dx
2）
。
ex = ∫
证：左边
∑
k =0
n −1
k
qx = n qx
= 0 q x +1 q x + 2 q x L+ n −1 q x
= qx −0 qx + 2 qx − qx + 3 qx − 2 qx + L+ n q x − n −1 q x
=− 0 q x + n q x = n qx
五、生存函数的解析表达式
= 0.125
四、取整余命（K分布函数） 取整余命（ 分布函数） 分布函数
取K(x)=[T(x)]=K k=0,1,2,3--表示(x)未来活过的整数年。 取整余命函数 Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T<k+1] =Fx(k+1)-Fx(k)
= k +1 q x − k q x
= k qx
例：证明
1、 1729年 De
s( x ) = 1 −
Movire假设
x
ω
0≤ x <ω
2、 1825年 Gomperz假设
B x s ( x) = exp[− (c − 1)] ln c
B > 0, c > 1, x ≥ 0
。
3、1860年 Markham解析式
B s ( x ) = exp[ − Ax − (c x − 1)] ln c
证明：在De Moivre假设下： 假设下： 证明： 假设下
ω 1 s′( x + t ) = − ω
s( x) = 1 −
x
s( x + t ) = 1 −
x+t
f x (t ) = t p x µ x + t
4、死亡力与生存函数
s ′( x) 因： µ x = − s( x) 两边积分： 两边积分：
= −[ln s ( x)]′
x 0
∫
x
0
µ y dy = ∫
x
0
= − ln s ( x )
x s′( y ) − dy = ∫0 − [ln s ( y )]′dy = − ln s ( y ) s( y)
∫0 s ( x) = e
− µ y dy
x
当：µ y = µ为常数时
s ( x) = e
− µx
。
同理：
∫0 t px = e
− µ x + s ds
t
当：µ x +s = µ为常数时
t
px = e
− µt
5、几种常见的死力假设 、
）、De Moivre假设 （1）、 ）、 假设
µ x+t
1 = ω − x−t
中国精算师资格考试
中国精算师资格考试分为两部分：准精算师部分和精算师部 分。其中准精算师部分的考试内容包括： 数学基础Ⅰ、数学基础Ⅱ、生命表基础、寿险精算实务、复 利数学、非寿险精算数学与实务、综合经济基础、风险理论、 非寿险精算数学（非寿险）、非寿险原理与实务（非寿险）、 非寿险定价（非寿险）、非寿险责任准备金评估（非寿险）。 精算师部分的考试内容包括： 保险公司财务管理（必）、保险法规（必）、个人寿险与年 金精算业务（必）、社会保障、资产负债管理、非寿险保险 监管与法律法规（必）、团体寿险、养老金计划精算实务。
= 来自百度文库 px
例：已知
求：
17 p19
100 − x s( x) = 10
15
(0 ≤ x ≤ 100)
15 13
q36
q36
s (36) = 0.8889 解：1）17 p19 = 1 s (19)
s (36) − s (51) = 0.125 2）15 q36 = s (36)
3） 15 13 q36 =15 p36 − 28 p36
q50 1）Pr[(50)在 51岁之前死亡] 2）Pr[(22)活至23岁] p22 3）Pr[(22)活至24岁] 2 p22 4）Pr[(35)在 55岁之前死亡或在70岁以后死 亡] 20 q35 + 35 p35 5）Pr[(20)活至80岁] 60 p20 6）Pr[(50)在 55岁和70岁之间死亡] 5 15 q50 7）Pr[(50)在 52岁之前死亡] 2 q50
t t q x = 1− t p x = ω−x
第二节 平均寿命与平均余命
主要内容 一、概率密度 二、平均寿命 三、平均余命 四、取整平均余命 五、死亡力
一、概率密度
1、X的概率密度 、 的概率密度 表示随机变量的密度函数， 用f(x)表示随机变量的密度函数，则： 表示随机变量的密度函数
f ( x) = F ′( x) = − s′( x)
0
td ( − t p x ) = −t t p x 0 + ∫
∞ t
p x dt
=
∫
0
p x dt
四、取整平均余寿
K的期望值
ex = E[ K ( x) = k ] = ∑ k k qx
k =0 =0
∞
=1 q x + 2⋅2 q x + 3⋅3 q x + L
= p x − 2 p x + 2( 2 p x − 3 p x ) + 3( 3 p x − 4 p x ) + L = px + 2 px + 3 px + L