从透视学到射影几何
几何学中的射影几何研究
几何学中的射影几何研究几何学是研究空间图形和它们的性质的学科，而射影几何是其中的一个重要分支。
射影几何通过引入射影平面和射影点的概念，对平行线和无穷远点进行了研究，从而为几何学提供了一种新的视角和工具。
本文将针对射影几何的基本概念、应用以及研究现状进行探讨。
一、射影几何的基本概念射影几何的基本思想是将实数域上的几何问题拓展到射影平面上，从而解决传统几何学中无法解释的问题。
射影几何中最基本的概念是射影平面和射影点。
射影平面可以看作是在传统的欧几里得平面上加入了一条无穷远线形成的平面，而射影点则是传统几何中的点在射影平面上的映射。
二、射影几何的应用射影几何在现实生活中有着广泛的应用。
在计算机图形学中，射影几何可以用来处理透视投影问题，使得计算机生成的图像更加真实。
在地图制作中，射影几何可以用来解决投影问题，实现地球表面的平面展开。
此外，在相机成像和光学仪器设计等领域，射影几何也起着重要的作用。
三、射影几何的研究现状射影几何作为几何学的重要分支，在现代数学中得到了广泛的研究。
从理论的角度来看，射影几何涉及到代数、拓扑和几何学等多个领域的交叉研究。
研究者们通过引入射影空间、投影变换和射影群等概念，对射影几何进行了深入的探讨。
在应用方面，射影几何已经得到了广泛的应用和拓展。
例如，在计算机视觉和模式识别领域，射影几何可以用来进行图像处理和目标跟踪。
此外，在计算机辅助设计和虚拟现实等领域，射影几何也发挥着重要的作用。
射影几何的研究还面临着一些挑战。
其中之一是如何将射影几何与其他数学分支更加紧密地结合起来，从而推动射影几何的发展。
另外，射影几何在应用方面仍有一些问题需要解决，如何将射影几何应用到更多的领域，并且发挥出更大的价值。
总结射影几何作为几何学的重要分支，通过引入射影平面和射影点的概念，为解决传统几何学中的一些难题提供了新的思路和方法。
射影几何在实际生活和学科研究中有着广泛的应用，并且在理论和应用方面都存在着一定的挑战和发展空间。
从透视学到射影几何共25页文档
ENDBiblioteka 从透视学到射影几何6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
射影几何
在19世纪以前，射影几何一直是 在欧氏几何的框架下被研究的， 其早期开拓者德沙格、帕斯卡等 主要是以欧式几何的方法处理问 题(这点很重要)。 而且由于18世纪解析几何、微积 分的发展洪流而被人遗忘。
德沙格（1591-1661） 帕斯卡（1623-1662）
加斯帕尔· 蒙日 （Gaspard Monge， 1746～1818），法 国数学家、化学家 和物理学家。
射影几何学的发展和其他数 学分支的发展有密切的关系。 特别是“群”的概念产生以 后，也被引进了射影几何学， 对这门几何学的研究起了促 进作用。
对于我们来说，射影几何最重要的 应用是在对初等几何数学的指导， 它不仅表现在提高数学思想与观念 上，还直接表现在对初等几何图形 性质的研究中。由射影 几何的性质， 指导研究初等几何中的一些问题。
射影几何的繁荣
射影几何学是专门研究图 形的位置关系的，也是专 门用来讨论在把点投影到 直线或者平面上的时影几何的早期发展； 3.射影几何的繁荣； 4.射影几何的应用；
数学透视法的天才阿尔贝 蒂（1401-1472）的《论绘 画》一书（1511）则更是 早期数学透视法的代表作， 成为射影几何学发展的起 点。
19世纪前半叶： 庞斯列（1788~1867,P-J.Poncelet）是 射影几何的主要奠基人。 在公元1822年，完成了一部理论严谨、 构思新颖的巨著——《论图形的射影 性质》。这部书的问世，标志着射影 几何座位一门学科的正式诞生。
默比乌斯：常见一种齐次坐标系，把 变换分成全等、相似、仿射、直射等 类型，给出线束中四条线交比的度量 公式等。 普吕克：引进了另一种齐次坐标系， 得到了平面上无穷远线的方程，无穷 远圆点的坐标。
完全四点形
《射影几何与透视学》课件
射影几何的应用
通过射影几何理论，可以更好地 设计建筑物的外观和内部结构。
在计算机游戏中，利用射影几何 可以创造出更加真实的三维场景 。
摄影和电影制作 建筑设计
机器人视觉 计算机图形学
利用射影几何原理，可以更好地 理解和处理图像的透视关系。
射影几何在机器人视觉中用于识 别和定位物体。
02
透视学基础
《射影几何与透视学》PPT课件
目录
• 射影几何概述 • 透视学基础 • 射影几何与透视学的关系 • 射影几何与透视学的实际应用 • 结论 • 参考文献
01
射影几何概述
Chapter
射影几何的定义
01
02
03
射影几何
研究图形在射影变换下不 变性质的几何分支。
射影变换
保持图形间点与点、直线 与直线间对应关系的变换 。
绘画艺术中的射影几何与透视学
绘画中的空间表现
利用射影几何与透视学的原理， 画家可以更好地表现画面的空间
关系和深度感。
绘画中的立体感
通过透视学的原理，画家可以创造 出更加逼真的立体感，使画面更加 生动。
绘画中的光影效果
利用射影几何的原理，画家可以更 好地表现光影效果，增强画面的层 次感和立体感。
摄影技巧中的射影几何与透视学
03
射影几何与透视学的关系
Chapter
射影几何对透视学的影响
射影几何为透视学提供了理论基础，使得透视学得以发 展。
射影几何中的投影原理为透视学中的投影提供了理论支 持。
射影几何中的一些基本概念，如点、线、面等，在透视 学中也有广泛应用。
透视学在射影几何中的应用
透视学为射影几何提供了实际 应用的场景，使得射影几何的 理论得以具体化。
射影几何简介
•
笛沙格把他的射影几何思想用于圆锥曲线，得到许多新颖的结果： – 直线可以看作具有无限长半径的圆的一部分； – 焦点相合的椭圆退化为圆； – 焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线，等等．
• • •
他不再把圆锥曲线看作圆锥与平面的交线，而是理解为圆的截景． 圆不仅可以变换为椭圆，而且可以变换为开口的抛物线或双曲线，这时的曲线仍看作封闭的， 只不过是一个点在无穷远而已． 笛沙格力图用投射、截景等射影几何概念统一处理各种圆锥曲线，从而为圆锥曲线的研究开 辟了广阔的前景．
• •
为什么笛沙格的书在当时被忽略呢？主要有两个原因． 一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了．从思想的深刻来讲，笛沙格的射影几何是可以 和笛卡儿的解析几何相媲美的．但笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题，可以迅速 得到数量结果，而射影几何主要是对几何的定性研究．当时的技术发展更需要解析几何这样 的有力工具． 第二个原因是，笛沙格的写作形式比较古怪，他引进了 70 个新术语，其中多是从植物学借 用的．例如，他用棕 (Palm)、干、树来表示三种不同性质的直线．这类语句以及不易理解的 思想，使他的书难于阅读． 除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外，很少有人欣赏他的著作．
1
B′ O . A′
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• • •
那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的问题． 阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的； 如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所有截景都反映同一景物，它们之 间必存在某种关系． 于是他进一步提出问题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的 数学性质？他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点．
《数学史概论》课程标准
《数学史概论》课程标准课程名称：数学史概论课程类型：A类课程编码：0702033280适用专业及层次：数学计算机系教育专业、专科层次课程总学时：32学时，其中理论28学时，其他4学时。
课程总学分：2一、课程的性质、目的与任务1.本课程的性质：专业选修课2.课程目的与任务：本课程是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。
数学史不是单纯的数学成就的编年记录，而是数学家在自然科学领域内克服困难、战胜危机和发现真理的斗争记录。
因此，它是培养学生素质以及了解数学发展历史的重要途径，本课程对提升学生的数学文化素养有着重要的意义。
通过教学使学生了解本课程的性质、地位和意义，知道这门课程的研究对象、范围，以及它与所学数学知识的联系，了解数学史在自然科学技术史中的地位和作用，全面提升专业素养；理解数学史的理论、思想和方法。
培养学生综合运用数学理论和方法分析问题、解决问题的能力，提高学生的整体素质；通过数学史的学习，使学生认识到要解决实际问题，自己所学知识远远不够，学而后知不足，激发学生强烈的学习愿望和求知欲。
3.课程与其它课程的联系：《数学史概论》是数学教育专业的选修课程。
数学史是人类文明史的重要组成部分，本课程不仅与数学专业的基础课程及自然科学有直接联系，也与人文历史等学科领域密切相关，所以也可作为其他专业的拓展课程，借以提高学生的整体素养。
二、教学内容、教学要求及教学重难点本课程由六个专题组成，内容应反映出数学发展的不同时代的特点，要讲史实，更重要的是通过史实介绍数学的思想方法。
教学内容可参考标准给出的可供选择的专题，并在此基础上可根据学生的知识结构及相关课程设置可相应增减专题的内容，如三次数学危机、数学的严格性与三个数学学派、从透视学到射影几何、计算机技术与对数、两项影响最大的国际数学奖励——菲尔兹奖和沃尔夫奖等，体现课程内容一定的弹性和开放性。
本课程的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次，这四个层次的一般涵义表述如下：知道——是指对这门学科和教学现象的认知。
几何学新方法的开创与几何学的大革命
§2 、微分几何
• 微分几何是以微积分为工具研究曲线和曲 面的性质及其推广应用的几何学。 • 微分几何在很大程度上是微积分和微分方 程的自然产物。其基本内容是采用无穷小 的方法来研究曲线和曲面的性质。“微分 几何”这一术语是比安基（L.Bianchi,18561928）在1894年第一次使用的。 • 克莱罗1731年出版的《关于双重曲线的研 微分几何的开端。 究》可以看作微分几何的开端 微分几何的开端
• 帕斯卡终生为病魔所缠，失眠症和牙痛症经常骚 扰他的安宁．1658年某夜，难以忍受的牙疼折磨 着帕斯卡，使他彻夜不能入睡。一气之下，帕斯 卡奋起工作，竭力思索摆线的道理。说也奇怪， 竟使他忘却了痛苦。于是穷八昼夜之功，完成了 《摆线论》的名著，解决了许多摆线问题。这对 年青的莱布尼茨有很大的影响。 • 25岁时，当他正享有科学家的盛誉，竟突然决定 放弃这些科学研究，献身于哲学和宗教。这种难 以理解的行动，不能不是科学的极大损失。
射影几何学的发展
• 在彭色列之后，斯坦纳推进了射影几何的综合的 发展，他1832 年出版了《几何形的相互依赖性的 系统发展》； • 查斯纳斯继承了彭色列和斯坦纳的工作，弄清了 “交比”的含义，引进了“非调和比”（即交 比）、“单应”、“对射”等概念，给出了查斯 纳斯定理； • 此后，梅比乌斯（A.F.Mobius,1790-1868,德）、 普吕克引进了齐次坐标，开创了代数的射影几何， 使彭色列的射影几何推到一个新的高度。
几何学上的一场大革命（1）
• 掀起几何学上的一场大革命并创立了非欧几何的是高斯、 鲍耶和罗巴切夫斯基。 罗巴切夫斯基。 罗巴切夫斯基 • 第一个给欧氏公设以正确评价的是高斯。1792年他已经 第一个给欧氏公设以正确评价的是高斯 给欧氏公设以正确评价的是高斯。 年他已经 有了非欧几何的思想，这思想包括两个内容： 有了非欧几何的思想，这思想包括两个内容：一是除欧氏 几何外存在一个无逻辑矛盾的几何； 几何外存在一个无逻辑矛盾的几何；二是在这几何中第五 公设不成立。 公设不成立。1799年，他再次强调第五公设在欧氏几何 年 中无法证明，并认真开发新几何的内容。 年起， 中无法证明，并认真开发新几何的内容。从1813年起， 年起 高斯先后称他所设想的几何为： 反欧氏几何” 高斯先后称他所设想的几何为：“反欧氏几何”、“星际 几何” 非欧几何” 几何”、“非欧几何”等。 • 但是高斯治学严谨、工作力求完美、简明、严密，他谨慎 但是高斯治学严谨、工作力求完美、简明、严密， 地隐藏了自己的研究，惟恐这种新几何在直观上的“荒诞” 地隐藏了自己的研究，惟恐这种新几何在直观上的“荒诞” 很少发表。 而遭人耻笑，因而很少发表 而遭人耻笑，因而很少发表。
冷知识：射影几何的发现
射影几何是数学中的一个分支，它是关于几何图形经过投影变换后，仍然不会变化的几何性质的研究。
与基本几何相比，射影几何有投影后不变的独特性质，也正是这样的性质，射影几何能够更容易地与其他几何系统互相联系。
通过这样的密切联系，可以使用射影几何处理一些度量问题。
基于建筑学的发展和绘画雕塑的需要，射影几何的发展历史可谓十分悠久，早在古希腊时期，欧几里得就有一些关于透视的发现。
在透视中，两条平行轨道在视线远处将会相交于一点，这种两条平行直线在无穷远处相交的点在射影几何中被称为无穷远点。
为什么两条平行直线会在无穷远处相交呢？我们平常所接触到的几何是在欧几里得几何（也被称为欧氏几何）的范畴下阐述的。
几何中的所有图形经过位移或旋转变换后，性质不会发生变化，平行线会一直平行永不相交，这样的说法也是在欧氏几何的范畴中成立的。
可以说，射影几何的范畴比欧式几何小得多，它仅仅是关于投影变换后不变的几何研究。
射影几何可以通过仿射平面加上无穷远处的一条线进行建模，并将这条线看作是“一般”。
如果以解析几何做出射影几何的代数模型，将会用到齐次坐标。
由于射影几何所包含的公理最少，可以将其视为仿射几何与欧式几何的基础，从范围而言，射影几何＜仿射几何＜欧式几何。
15世纪时，意大利文艺复兴早期著名工程师布鲁内莱斯基开始对透视的几何结构进行研究；16世纪末17世纪处，无穷远点的概念被独立提出。
同一时期，法国数学家笛沙格概括了消失点的用途并纳入无穷远处的情形，发展出了构建透视图的另一种方法，开始了对圆锥曲线的研究，使得欧式几何中平行线在任何情况下都平行的特性，成为其他几何系统包括射影几何中的特例。
这一研究被法国数学家帕斯卡发现并进一步将其公式化，发展成为了帕斯卡定理。
射影几何的基础论述直到1822年才被法国数学家吉恩-维克托·彭赛列具体描述，彭赛列也因此被称为射影几何的创始人之一。
彭赛列发现了物体的不同类型的射影性质，并建立了射影性质与度量性质之间的关系。
射影几何有趣知识点总结
射影几何有趣知识点总结射影几何有许多有趣的知识点，以下将对一些其原理、性质和应用作一详细总结。
原理射影几何研究的是透视关系下的几何图形。
这种透视关系是我们在现实生活中常见的，比如站在铁轨上看远处的两条平行铁轨会看起来像是会相交一样。
这种现象就是射影几何的基本原理之一。
在射影几何中，有两种基本要素：射影平面和射影点。
射影平面是一个包括了图形在内的平面，射影点是空间中的一个点。
当直线与射影平面相交时，我们可以得到一个射影点。
性质射影几何中有许多有趣的性质。
其中一个重要的性质是“对合性”，即当一个射影点在射影平面上绕一个固定点旋转时，两个相对应的直线在射影平面上的射影点互换位置。
这一性质在许多应用中都有着重要的作用，尤其在建筑设计和艺术创作中。
另一个有趣的性质是“轴点性”。
当一个点在射影平面上绕另一个固定点旋转时，固定点到射影点的直线在射影平面上构成一个圆锥曲线。
这一性质在计算机图形学和光学设计中有着广泛的应用。
应用射影几何在许多领域都有着广泛的应用。
其中一个最直接的应用就是在艺术创作中，例如素描和绘画都会涉及到透视的概念。
另外，在建筑设计中，也需要考虑到建筑物在不同角度观看时的透视效果。
在工程领域，射影几何还被广泛应用于计算机图形学和光学设计中。
在计算机图形学中，可以利用射影几何的原理来模拟现实世界的透视效果，从而实现生动逼真的图形效果。
在光学设计中，也需要考虑到光线在透镜和镜面上的射影效果，从而实现更加精确的光学系统设计。
此外，射影几何还在地理学和天文学领域有着重要的应用。
例如在地理学中，可以利用射影几何的原理来解决地图投影的问题，从而得到更加真实和准确的地图。
在天文学中，也可以利用射影几何的原理来解释天体运动和地心运动的现象。
总结射影几何是一个深奥而有趣的数学分支，它涉及到许多有趣的原理、性质和应用。
射影几何不仅在几何学中有着重要地位，同时也在计算机图形学、建筑设计等其他领域有着广泛的应用。
通过对射影几何的研究，我们可以更好地理解现实世界中的透视关系，从而实现更加精确和生动的图形效果。
什么是射影几何它有什么特点
什么是射影几何它有什么特点在数学的广袤领域中，射影几何宛如一颗璀璨的明珠，散发着独特的魅力。
要理解射影几何，首先得从它的基本概念入手。
射影几何是研究图形在射影变换下不变性质的几何分支。
那么，什么是射影变换呢？简单来说，就是通过中心投影或者平行投影将一个图形映射到另一个图形的过程。
想象一下，你拿着一个手电筒，光线照射在物体上形成的影子，就是一种简单的射影。
射影几何与我们熟悉的欧氏几何有着明显的区别。
在欧氏几何中，距离和角度是非常重要的概念，但在射影几何中，这些概念却不再具有绝对的意义。
比如说，在射影变换下，平行线可能会相交。
这与我们在日常生活中的直观感受大相径庭，但却在射影几何的世界里是合理且有趣的现象。
射影几何的一个显著特点是它更注重图形的整体性质和相互关系，而不是具体的度量。
它关心的是图形的形状、位置和组合方式，而不是像长度、面积这样的具体度量值。
这种特点使得射影几何在解决一些特定的几何问题时具有独特的优势。
射影几何中的一个重要概念是无穷远点。
为了处理平行线相交的情况，我们引入了无穷远点的概念。
想象一下，所有平行的直线都在无穷远处相交于一个点，这个点就是无穷远点。
通过引入无穷远点，我们能够更简洁、更统一地描述和处理许多几何现象。
另一个特点是射影几何中的对偶原理。
对偶原理指出，如果在一个关于射影几何的命题中，把点和直线的概念互换，把“通过”和“在……上”的概念互换，把“共点”和“共线”的概念互换，得到的新命题仍然成立。
这一原理使得我们在研究射影几何问题时，可以通过对偶的方式得到新的结论和方法，大大丰富了我们解决问题的手段。
射影几何在艺术领域也有着广泛的应用。
比如在绘画中，画家常常利用透视原理来表现物体的远近和空间感。
而透视原理本质上就是一种射影变换。
通过巧妙地运用射影几何的知识，画家能够创作出更加逼真、富有立体感的作品。
在建筑设计中，射影几何同样发挥着重要作用。
建筑师在设计建筑物的外观和结构时，需要考虑不同角度的视觉效果和空间布局。
射影几何定理
射影几何定理（原创实用版）目录1.射影几何定理的概述2.射影几何定理的证明方法3.射影几何定理的应用领域4.射影几何定理的意义和影响正文射影几何定理是射影几何中的一个基本定理，它对射影空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系进行了深入的研究。
射影几何定理的内容主要包括以下几个方面：首先，射影几何定理对射影空间中的直线与直线的位置关系进行了详细的描述。
在射影空间中，一条直线可以看作是一个二维子空间，两条直线的位置关系可以分为相交、平行和重合三种情况。
射影几何定理通过引入射影矩阵的概念，给出了判断两条直线位置关系的方法。
其次，射影几何定理对射影空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系进行了探讨。
在射影空间中，一条直线与一个平面的位置关系可以分为直线在平面上、直线与平面相交、直线与平面平行和直线在平面内四种情况；两个平面的位置关系可以分为相交、平行和重合三种情况。
射影几何定理通过射影矩阵的运算，给出了判断这些位置关系的方法。
射影几何定理在实际应用中具有广泛的应用领域。
在计算机图形学中，射影几何定理可以用来判断物体之间的遮挡关系；在计算机视觉中，射影几何定理可以用来检测图像中的特征点；在机器学习中，射影几何定理可以用来解决线性分类问题。
射影几何定理在射影几何中具有重要的意义和影响。
它不仅丰富了射影几何的研究内容，而且为射影几何在实际应用中提供了有力的理论支持。
射影几何定理的研究还推动了射影代数和射影几何其他领域的发展，为数学和工程学科的交叉融合做出了贡献。
总之，射影几何定理是射影几何中的一个基本定理，它对射影空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系进行了深入的研究，并在实际应用中具有广泛的应用领域。
射影几何(正式版)
射影几何首先，射影几何学是几何学的一个重要分支学科。
概括的说，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的学科。
那射影几何的某些内容在公元前就已经发现了，但直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。
接下来，我将从以下4个方面介绍射影几何。
（1，2，3，4）首先是第一点，从透视学到射影几何在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临了如何呈现的问题。
例如如何将平行的9个长方体从一个角度观察并呈现在了二维纸面上。
正是这种冲突，刺激并导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学。
这里不得不提起一个数学透视法的天才，阿尔贝蒂。
他是当时意大利著名建筑师、建筑理论家。
意大利文艺复兴时期最有影响的建筑理论家。
一生致力于理论研究，著有《论绘画》、《论建筑》、《论雕塑》，其中《论建筑》为当时最富影响、最具代表性的建筑理论著作，书内列有研究建筑材料、施工、结构、构造、经济、规划、水文、设计等章节，完整地介绍了他的建筑思想。
另外《论绘画》一书（1511）则更是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。
接下来就是第2点了——射影几何的早期发展在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，其早期开拓者德沙格、帕斯卡等主要是以欧式几何的方法处理问题(这点很重要)。
但是由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘。
德沙格：生在法国，也死在法国，和当时的笛卡尔、费尔马等领头数学家都是好朋友，这批人的活动和所取得的成就，使法国成为当时世界上最辉煌的国度。
身处这一旋涡的德扎格以其新颖的思想和独特的数学方法，对于透视法产生的问题给予数学上解答，开辟了数学的一个新领域，成为射影几何学的先驱的第一人。
帕斯卡：著名的、、和。
主要贡献是在上，发现了，并以其名字命名单位。
帕斯卡没有受过正规的。
他4岁时母亲病故，他父亲是一位受人尊敬的，在其精心地教育下，帕斯卡很小时就精通。
第二章射影映射资料
第二章 射影映射本章将阐明一维射影变换、射影映射和二维射影变换的几何意义；研究它们各有哪些类型；并对其中比较重要的几种特殊类型进行较深入的讨论。
§1透视透视是一个很简单但又最基本的射影映射。
一般非透视的射影变换、射影映射可以用透视来表示。
定义 如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的,则这个对应叫做透视对应,点列与线束叫做透视的,或配景。
图2.1记成(,,,)(,,,,)y z u v a ξηζϕψ⋅⋅⋅∧⋅⋅⋅定义 点ξ和ξ’的对应点的连线交于一点s,也就是这两个点列与同一线束s 成透视,则这两个点列叫做透视点列,点s 叫做透视中心，记作(,,)(,,,)Sa b c a b c ξξ∧''''⋅⋅⋅⋅⋅⋅=或()()a a ξξ''∧图2.2对偶定义：线束s 和s ’的对应直线的交点在一直线α上,也就是这两个线束与同一点列透视,则这两个线束叫做透视线束。
直线α叫做透视轴。
记作(,,,)(,,,)s s αηζϕηζϕ∧''''⋅⋅⋅⋅⋅⋅=或()()s s αηη∧''=图2.3.两个点列射影的,记作()()a a ξξ''∧；两个线束射影的,记作()()s s ηη''∧看图2.2,如果,,,ηζϕψ是线束s 的四条直线,分别与ξ和ξ’交于a,b,c,d 和a ’,b ’,c ’, d ’,则有R(a,b ；c,d)=R(,;,ηζϕψ)=R(a ’,b ’；c ’,d ’)所以透视对应保持交比不变,又因透视是一一对应,所以透视是射影对应(斯丹纳定义)。
图2.1 图2.2 图2.3显然,透视对应把点ξξ'⨯映射为自身。
定理1 直线ξ到ξ’的透视是射影对应,它把公共点ξξ'⨯映射为自身。
反过来,又有 定理2 直线ξ到ξ’的一个射影对应,如果把公共点ξξ'⨯映射为自身,那么这个射影对应是透视。
简述几何学的发展史
简述几何学的发展史发表时间：2011-03-14T09:37:38.280Z 来源：《新校园》理论版2010年第11期供稿作者：张镝[导读] 他们对射影几何作出了突出的贡献，但他们局限于将这种几何学作为欧氏几何的一部分来研究。
张镝（长春医学高等专科学校，吉林长春130031）摘要：本文简要的阐述了几何学思想的发展简史，包括欧氏几何的确立，射影几何的发展，解析几何、非欧几何的诞生与发展，直至几何学的统一。
关键词：几何学；发展史几何学是一门古老而实用的科学，是自然科学的重要组成部分。
在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。
一、欧氏几何的创始公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。
欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。
全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。
这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。
欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。
他的思想被称作“公理化思想”。
二、解析几何的诞生解析几何是变量数学最重要的体现。
解析几何的基本思想是在平面上引入“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x,y）建立一一对应的关系，于是几何问题就转化为代数问题。
解析几何的真正创立者应该是法国数学家迪卡儿和费马。
1637 年迪卡儿在《更好的指导推理和寻求科学真理的方法论》的附录《几何学》[1]中清晰的体现了解析几何的思想。
而费马则是在论平面和立体的轨迹引论中阐述了解析几何的原理，他在书中提出并使用了坐标的概念，同时建立了斜坐标系和直角坐标系。
三、非欧几何的诞生与发展非欧几何的诞生源于人们长久以来对欧几里得《原本》中第五公设即平行公设的探讨，但一直未得到公设的结论。
直到数学家高斯、波约和俄国数学家罗巴切夫斯基在自己的论著中都描述了这样一种几何，以“从直线外一点可以引不止一条直线平行于已知直线”作为替代公式，进行推理而得出的新的一套几何学定理，并将它命名为非欧几何，一般称为“罗氏几何”。
射影几何的诞生与发展
射影几何的诞生与发展一从透视学到射影几何1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题：（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？（2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。
意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。
3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。
4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。
1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。
5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。
7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点：1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状2）变换与变换不变性3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量二射影几何的繁荣1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到18世纪末19世纪初，蒙日的《画法几何学》及其学生们的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣，然而将射影几何变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家是曾受教于蒙日的庞斯列（1788-1867）2．庞斯列曾任拿破仑的远征军的工兵中尉，1812年莫斯科战役被俘，度过了两年铁窗生活，在这两年里，庞斯列不借助于任何书本，以炭为笔，在监狱的墙壁上谱写了射影几何的新篇章。
几何学中的射影几何
几何学中的射影几何几何学是数学的一个分支，致力于研究空间形状、结构和性质。
而射影几何则是几何学中的一个重要领域，它研究的是射影空间及其相关的几何概念和性质。
在本文中，我们将深入探讨射影几何的基本原理和应用。
一、射影几何的定义和基本原理射影几何是建立在射影空间上的几何学分支。
射影空间是传统的欧几里德空间的一个扩充，它引入了无穷远点和直线上的点，使得几何概念得到无穷远的自然推广。
在射影几何中，有三个基本原理需要我们了解：1. 射影空间公理：射影空间满足射影空间公理，包括点线对偶原理、直线交定理、射影变换等。
通过这些公理，我们可以在射影空间中进行几何推理和定理证明。
2. 无穷远点：射影空间引入了无穷远点的概念，它代表着直线上的点在无穷远处的位置。
在射影几何中，我们可以将两个无穷远点连接起来形成一条直线，这条直线称为“无穷远直线”。
3. 射影变换：射影变换是射影几何中常用的一种变换方法。
它可以将射影空间中的点和直线映射到另一个射影空间中，保持射影几何的内部结构和性质不变。
二、射影几何的应用领域射影几何不仅在纯粹的数学领域中有重要意义，而且在许多应用领域也具有广泛的应用。
以下是射影几何的一些典型应用：1. 计算机视觉：射影几何在计算机视觉领域发挥着重要作用。
通过射影变换，我们可以将二维图像映射到三维空间中，从而实现图像的三维重建和深度识别。
2. 无人驾驶：射影几何在无人驾驶技术中有广泛应用。
通过射影变换和几何推理，无人驾驶汽车可以实时感知周围环境、规划路径和避免障碍物。
3. 空间布局设计：射影几何可以帮助我们进行空间布局设计，比如建筑物的设计和室内装饰。
通过射影变换和空间投影，我们可以在平面上模拟和优化各种建筑设计方案。
4. 图像处理：射影几何在图像处理中有广泛的应用。
通过射影变换和几何校正，我们可以对图像进行矫正、旋转和变形，从而提高图像的质量和准确度。
5. 三维动画：射影几何在三维动画制作中扮演着重要角色。
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1.2科学的复苏 直到12世纪，由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著 作的刺激，欧洲数学才开始出现复苏的迹象。贸易与旅游 的发展，欧洲出现新兴的城市，欧洲人开始与阿拉伯人、 拜占庭人发生接触，了解阿拉伯、希腊的文化，创立了大 学（1088年博洛尼亚大学，1160年巴黎大学，1167年牛津 大学，1209年剑桥大学，1222年帕多瓦大学，1224年那不 勒斯大学）。十字军为掠夺土地的东征，使欧洲人进入了 阿拉伯世界。
第六讲 近代数学的兴起
1
1. 中世纪和文艺复兴时期的欧洲 从公元476年西罗马帝国灭亡到14世纪文艺复兴长达 1000多年的欧洲历史称为欧洲中世纪。15、16世纪是欧洲 的文艺复兴时期。 公元5－11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，教会成 为欧洲社会的绝对势力，宣扬天启真理，追求来世，淡漠 世俗生活，对自然不感兴趣，导致了理性的压抑，欧洲文 明在整个中世纪处于凝滞状态。
斐波纳契（Fibonacci）
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“一对兔子，出生后第二个月开始有生育能力，每月繁殖一对小兔子。问一对兔
子一年中可繁殖出多少对兔子？”
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 89，144，…
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Fibonacci数列的通项公式
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1.1黑暗时期
中世纪基督教日益封建化，整个社会以宗教和神学为核心，科学 思想是异端邪说。由于罗马人偏重于实用而没有发展抽象数学，对罗 马帝国崩溃后的欧洲数学也有一定的影响，终使黑暗时代的欧洲在数 学领域毫无成就。造成数学落后的原因是多方面的，主要是战火连绵 ，神学一统天下。《圣经》是最根本的知识，教徒整日研读圣经，视 科学是神学的婢女，神学被誉为“科学的皇后”，甚至反对数学的学 习与研究。如公元529年公布的《查士丁尼法典》中的条款规定：“ 绝对禁止应受到取缔的数学艺术”。数学的发展受到沉重的打击。 因宗教教育的需要，也出现一些水平低下的初级算术与几何教材 。
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1.3斐波那契和十三世纪数学 欧洲黑暗时期过后第一位有影响的数学家是斐波那契（意，约11 70－1250年）。他出生于意大利的比萨，又称比萨的莱昂纳多。他 是一个商人的儿子，早年随父亲在北非师 从阿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿 岸诸国，回到意大利后编著了代表作《算 经》（1202，也称《算盘书》）。《算经 》主要是一些源自古代中国、印度和希腊 的数学问题的汇集，内容涉及整数和分数 算法，开方法，二次和三次方程以及不定 方程。书中系统介绍了印度－阿拉伯数码 ，对改变欧洲数学的面貌产生了很大的影 响，是欧洲数学在经历了漫长黑夜之后走 向复苏的号角。
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罗马人博埃齐（约480－524年）主要以哲学家留名青史，他的哲 学是古希腊罗马哲学到中世纪经院哲学的过渡，在数学方面，根据希 腊材料用拉丁文选编了《几何学》（内容仅包含《原本》第1、3、4 卷部分内容）、《算术》等教科书，成为中世纪早期欧洲人了解希腊 科学的唯一来源。博埃齐以他的这些著作和他关于哲学的著作而成为 中世纪经院哲学的奠基人。他的高尚理想和刚强正直给他带来了政治 上的麻烦，并遭到悲惨的结局。公元522年博埃齐被诬控叛国罪而遭 监禁，524年被处决。 被尊称为比德大师的英国人比德（674—735）是中世纪最大的教 会学者之一，他的许多著作中有不少是讲数学的，其中主要的是关于 历法和指算的论著。 法国人热尔拜尔（950－1003年）是第一个在西班牙穆斯林学校 学习的基督教徒。999年当选为罗马教皇，提倡学习数学，翻译了一 些阿拉伯科学著作，把包含有零的印度－阿拉伯数码带入欧洲。他被 认为是一位知识渊博的学者，写了关于占星学、算术和几何学著作等 ，他做过算盘、地球仪291年）
十字军东征是西欧封建主、大商人和天主教会以维护基督教为名 ，对地中海东岸地区发动的侵略性远征。因东侵军队的衣服上均有红 十字的标记，故称为十字军。1095年，罗马教皇在法国召开宗教大会 ，宣布组成十字军远征，从异教徒（穆斯林）手中夺回圣城耶路撒冷。 东侵活动从1096年起，到1291年止，历时近200年，大规模的侵略 共8次。第一次东征（1096—1099年）攻占了耶路撒冷，建立了耶路撒 冷王国。第四次东征（1202年—1204年）攻陷了拜占庭帝国，在巴尔干 建立拉丁帝国。历次东侵所占据点后来不断丧失，1291年最后据点阿克 城失守，标志着十字军东征彻底失败。 十字军东征对地中海沿岸国家人民带来了深重灾难，西欧各国人民 也损失惨重。几十万十字军死亡，同时教廷和封建主却取得了大量的财 富。十字军东征也促进了东西方文化的交流，使西欧人大开眼界，进入 了阿拉伯世界。从此，欧洲人了解到了希腊及东方古典学术，对这些学 术著作的搜求、翻译和研究，科学开始复苏，加速了西欧手工业、商业 的发展。
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12世纪是欧洲数学的大翻译时期，希腊人的著作被阿拉伯文译成拉丁 文后，“在惊讶的西方面前展示了一个新的世界”。 当时涌现出成批的翻 译家。 阿德拉特（英，约1120年）是最早从事阿拉伯文献翻译的人之一。他 是一位英国学者，青年时代曾踏遍古老文化之乡——希腊、小亚细亚、意 大利和北非等，回到家乡后担任英国王储的家庭教师。当他了解到阿拉伯 人手中有大量的希腊著作之后，就十分热衷于获取这些知识。为了能自由 地活动于阿拉伯人控制的地区，他乔装成伊斯兰教信徒。他从阿拉伯文翻 译的欧几里得《几何原本》，质量较高，在欧洲一直流行到16世纪。他还 翻译了花拉子米的著作。 另一位早期翻译者是意大利人普拉托（12世纪上半叶）翻译了巴塔尼 的《天文论著》、迪奥多修斯的《球面几何》以及其他著作。英国的罗伯 特翻译了花拉子米的《代数学》。罗伯特还是最早把《古兰经》译成拉丁 文的人。 12世纪最伟大的翻译家是杰拉德，他把90多部阿拉伯文著作翻译成拉 丁文，其中包括托勒玫的《大成》、欧几里得的《原本》、阿波罗尼奥斯 的《圆锥曲线论》以及阿基米德的《圆的度量》。 欧洲人了解到希腊和阿拉伯数学，构成后来欧洲数学发展的基础。