振动力学第二章2、3节讲课
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•10 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
小结：
瑞利法的概念:
在单自由度质量弹簧系统中，将无阻尼自由振动的简 谐规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替 分布质量，计算其动能，即
T 1 mx2 2
从而计算系统固有频率。因此，瑞利法，基于能量法，用 于处理弹簧质量不能忽略的质量弹簧系统的振动问题。
设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P
则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩： k2
PM 1le (mP11)ml11(m ll12222m2ll12)l2
设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P
则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：
PK1le (kP11)lk11(llk13222k2ll13)l3
选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：
T
1 2
M e x 2
2）定义法
V
1 2
•11 •.
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动 • 等效粘性阻尼
•12 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
• 等效质量和等效刚度
方法1：能量法
选定广义位移坐标后，将系统的动能、势能写成如下形式：
T
1 2
M e x 2
•.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：并联系统
在质量块上施加力 P
两弹簧变形量相等：
受力不等：P1 k1 P2 k2
k1
m
k2
k1
k2
P m
由力平衡： P P 1P 2(k 1 k2)
根据定义：
P
Ke k1k2
并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标 方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 •18
当 x 、 x分别取最大值时：
V
1 2
Kex2
T Tmax
V Vmax
则可得出： 0 K e / M e
Ke：简化系统的等效刚度； Me：简化系统的等效质量。
等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。
•13 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
动能 T 1 ml22
2
Me ml2
零势能位置1
m
k/2
k/2
l a
势能 V1(ka2mg)l2
2
Ke ka2 mgl
0
ka2 mgl ml2
0 Ke / M e
•14
•.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
动能 T1(m3M)x2 28
Me
m 3 M 8
k1
R
势能 U12(k214k1)x2
M
Ke
k2
1 4
k1
m
x
k2
02
系统最大势能：
Vmax
1 2
kxm2 ax
xmax 0 xmax
0
k m mt
若忽略 m t ，则 0 增大
因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限. •3
•.
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
s
k
ds
l
m
x
•4 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
•5 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
单自由度系统自由振动
第二章 单自由度系统自由振动
• 弹簧质量系统的固有振动和自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 有粘性阻尼的自由振动
•1 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
• 瑞利法
概目念的：为考考虑虑系系统统中中弹弹性性元元件件的的质质量量所所具具有有的的动动能能，利用 动 方法：能利计用算动将能弹计性算元将件弹的性分元布件质的量分等布效质为量集等中效质为量集加中在质原量
2k1 8k2 3M8m
•.
0 Ke / M e
•15
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
方法2：定义法
等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此 坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的 等效刚度。
等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在 此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效质量 。
k
2
l3 l1
•.
l3 l2
m2
l1
m1
x
k1
m
2
l2 l1
P
x 1
m1 1
P x 1
k1 1
•21
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
•22 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
•
•23 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
小结
1）能量法
等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。
来加惯在性原元来件惯的性集元中件质的量集上中，质作量为上单，自作由为度单系自统由处度理系， 从而得到更精确的固有频率的近似值。
统处理。
0
x
k
m
0 k/m
•2 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
例如：弹簧质量系统
设弹簧的动能:
Tt
1 2
mt x2
系统最大动能：
mt
弹簧等效质量
0
x
k mt
m
Tma x 12mxm 2 ax 12mtxm 2 ax12(mmt )xm2 ax
•.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：杠杆系统
杠杆是不计质量的刚体，水平位置为静平衡位置：
l3
l1
l2
m1
x
k2
m2
k1
求： 系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度
•19 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
解法1：能量法
动能： T12m1x212m2(ll12 x)2
12(m1
•
•.
s
k
ds
l
m
x
•6
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
•7 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
例：图为一均质等直简支梁，中央处有一集中质量m,计算考虑
梁的质量时系统的固有频率和梁的等效质量。
m
x
l/2
l/2
x
dx
y
•8 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
•9 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
•16 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：串联系统
在质量块m上重力与外力的合力为 P
k1
弹簧1变形： 1
P k1
弹簧2变形： 2
P k2
总变形：
12
(11)P k1 k2
根据定义：
Ke
P
k1k2 k1 k2
或
k2
m P
1 11
Ke k1 k2
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标 方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 •17
l22 l12
m2)x2
k2
等效质量：
Me
m1
l22 l12
m2
l3 l2
m2
l1
m1
x
k1
势能：
V12k1x212k2(ll13
x)2
1 2(k1
l32 l12
k2)x2
固Байду номын сангаас频率：
等效刚度：
Ke
k1
l32 l12
k2
0 Ke / M e
•20 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
解法2：定义法
单自由度系统自由振动－瑞利法
小结：
瑞利法的概念:
在单自由度质量弹簧系统中，将无阻尼自由振动的简 谐规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替 分布质量，计算其动能，即
T 1 mx2 2
从而计算系统固有频率。因此，瑞利法，基于能量法，用 于处理弹簧质量不能忽略的质量弹簧系统的振动问题。
设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P
则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩： k2
PM 1le (mP11)ml11(m ll12222m2ll12)l2
设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P
则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：
PK1le (kP11)lk11(llk13222k2ll13)l3
选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：
T
1 2
M e x 2
2）定义法
V
1 2
•11 •.
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动 • 等效粘性阻尼
•12 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
• 等效质量和等效刚度
方法1：能量法
选定广义位移坐标后，将系统的动能、势能写成如下形式：
T
1 2
M e x 2
•.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：并联系统
在质量块上施加力 P
两弹簧变形量相等：
受力不等：P1 k1 P2 k2
k1
m
k2
k1
k2
P m
由力平衡： P P 1P 2(k 1 k2)
根据定义：
P
Ke k1k2
并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标 方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 •18
当 x 、 x分别取最大值时：
V
1 2
Kex2
T Tmax
V Vmax
则可得出： 0 K e / M e
Ke：简化系统的等效刚度； Me：简化系统的等效质量。
等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。
•13 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
动能 T 1 ml22
2
Me ml2
零势能位置1
m
k/2
k/2
l a
势能 V1(ka2mg)l2
2
Ke ka2 mgl
0
ka2 mgl ml2
0 Ke / M e
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•.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
动能 T1(m3M)x2 28
Me
m 3 M 8
k1
R
势能 U12(k214k1)x2
M
Ke
k2
1 4
k1
m
x
k2
02
系统最大势能：
Vmax
1 2
kxm2 ax
xmax 0 xmax
0
k m mt
若忽略 m t ，则 0 增大
因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限. •3
•.
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
s
k
ds
l
m
x
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单自由度系统自由振动－瑞利法
•
•5 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
单自由度系统自由振动
第二章 单自由度系统自由振动
• 弹簧质量系统的固有振动和自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 有粘性阻尼的自由振动
•1 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
• 瑞利法
概目念的：为考考虑虑系系统统中中弹弹性性元元件件的的质质量量所所具具有有的的动动能能，利用 动 方法：能利计用算动将能弹计性算元将件弹的性分元布件质的量分等布效质为量集等中效质为量集加中在质原量
2k1 8k2 3M8m
•.
0 Ke / M e
•15
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
方法2：定义法
等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此 坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的 等效刚度。
等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在 此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效质量 。
k
2
l3 l1
•.
l3 l2
m2
l1
m1
x
k1
m
2
l2 l1
P
x 1
m1 1
P x 1
k1 1
•21
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
•22 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
•
•23 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
小结
1）能量法
等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。
来加惯在性原元来件惯的性集元中件质的量集上中，质作量为上单，自作由为度单系自统由处度理系， 从而得到更精确的固有频率的近似值。
统处理。
0
x
k
m
0 k/m
•2 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
例如：弹簧质量系统
设弹簧的动能:
Tt
1 2
mt x2
系统最大动能：
mt
弹簧等效质量
0
x
k mt
m
Tma x 12mxm 2 ax 12mtxm 2 ax12(mmt )xm2 ax
•.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：杠杆系统
杠杆是不计质量的刚体，水平位置为静平衡位置：
l3
l1
l2
m1
x
k2
m2
k1
求： 系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度
•19 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
解法1：能量法
动能： T12m1x212m2(ll12 x)2
12(m1
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s
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m
x
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单自由度系统自由振动－瑞利法
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单自由度系统自由振动－瑞利法
例：图为一均质等直简支梁，中央处有一集中质量m,计算考虑
梁的质量时系统的固有频率和梁的等效质量。
m
x
l/2
l/2
x
dx
y
•8 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
•9 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
•16 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：串联系统
在质量块m上重力与外力的合力为 P
k1
弹簧1变形： 1
P k1
弹簧2变形： 2
P k2
总变形：
12
(11)P k1 k2
根据定义：
Ke
P
k1k2 k1 k2
或
k2
m P
1 11
Ke k1 k2
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标 方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 •17
l22 l12
m2)x2
k2
等效质量：
Me
m1
l22 l12
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l3 l2
m2
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m1
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势能：
V12k1x212k2(ll13
x)2
1 2(k1
l32 l12
k2)x2
固Байду номын сангаас频率：
等效刚度：
Ke
k1
l32 l12
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0 Ke / M e
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单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
解法2：定义法