振动力学第二章2、3节讲课
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振动力学第二章课件
I 0 kn
其中 I 0 —— 圆盘对中心轴的转动惯量
k n —— 圆轴的抗扭弹簧常数
固有频率 则
pn kn I0
2 n
kn
I0
0 sin pnt
图2-4 扭振系统
p 0
0 cos pnt
pn
扭振系统的振动微分方程与单自由度弹簧质量振动系统的微 分方程的形式完全相同，它们的振动特性也完全相同。因此 归为单自由度弹簧质量振动系统进行讨论。
k k1 k2
5
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第二章 单自由度系统的振动
2、 串联弹簧
( st )1 ( st ) 2 st
F1 F2 mg
k1
F1 k1 ( st )1 F2 k2 ( st ) 2
( st )1 mg mg ( st ) 2
k1 k2
x0 x x0 cos pnt sin pnt 或x A sin( p t ) n pn
An p x arctg( n 0 ) x0 2 x0 x 2 pn
2 0
3
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第二章 单自由度系统的振动
二、 周期、频率和圆频率（只与系统本身有关）
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第二章 单自由度系统的振动
1 T I B 2 2 1 2 2 V kb 2
d (V T ) 0 dt
1 1 2 I B 2k b2 0 2 2
k b2 0 IB
pn
kb 2 IB
习题2-1 2-3 2-5 2-6
§2-4 有阻尼系统的衰减振动 干摩擦:与压力成正比 （库仑阻尼） 外阻尼
《振动力学基础》课件
非耦合振动
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
振动力学教程PPT课件
动的叠加-----------谐波分析
•
2、非周期：利用傅立叶积分作谐波分析
• δ函数又称为单位脉冲函数-----它的性质、应用
示成一系列简谐振
第22页/共35页
第一节：简谐振动及其表示方法
•一、简谐振动的表示方法
• （一）正弦函数表示
2、A、ω、Φ ------简谐振动三要素
第23页/共35页
第24页/共35页
船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。
3） 在土木建筑、地质工程中：建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震
引起结构物的动态响应，爆破技术的研究等。
4） 在医学、生物工程中：脑电波、心电波、脉搏波动等的信号处理等。
第12页/共35页
2途径：
1）从具体的工程对象提炼出力学模型 2）建立数学模型------应用力学知识建立所研究问题的数学模型 3）对数学模型进行分析和计算，求出请确、近似或数值解。 4） 比较------将计算结果与工程问题的实际现象或实验研究的测试结果进行 比较，考察理论结果是否解决该工程问题，如不能解决而数学模型及求解均无错 误，则需要修改力学模型重复上述过程。
第9页/共35页
5 随机振动
20世纪50年代，航空和航天工程的发展对振动力学提出了更高 的要求，确定性的力学模型无法处理包含随机因素的工程问题----如大气湍流引起的飞机颤振、喷气噪音导致飞行器表面结构 的声疲劳、火箭运载工具有效负荷的可靠性等。工程的需要迫使 人们用概率统计的方法研究承受非确定性载荷的机械系统和结构 的响应、稳定性和可靠性等， 从而 形成了随机振动这一振动力 学的重要组成部分。 在工程问题中振动信号的采集和处理是随机振动理论应用的前提， 由于计算机的迅速发展和快速第1傅0页/立共35叶页 变换算法的出现，随机振动
2023年新教材高中物理第2章机械振动2简谐运动的描述课件新人教版选择性必修第一册
内的位移等于零
描述简谐运动的物理量
例1 弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10
cm，由B→C运动时间为1 s，则
()
A．从B开始经过0.25 s，振子通过的路程是2.5 cm B．经过两次全振动，振子通过的路程为80 cm C．该振子任意1 s内通过的路程都一定是10 cm D．振动周期为2 s，振幅为10 cm
3．当 t2－t1＝nT＋14T 或 t2－t1＝nT＋34T 时，若 t1 时刻物体在平衡位 置，则 t2 时刻物体到达最大位移处；若 t1 时刻物体在最大位移处，则 t2 时刻物体到达平衡位置．
例4 一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则
()
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则
2．周期和频率
(1)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的_时__间___，用T
表示，单位为秒(s)． (2)频率：物体完成全振动的___次__数___与所用时间之比，用f表示，
单位为赫兹(Hz)．
1
(3)周期T与频率f的关系：f＝____T____.
(4)物理意义：周期和频率都是表示物体_____振__动__快__慢___的物理量，
变式 3 有一弹簧振子在水平方向上的 B、C 两点之间做简谐运动， 已知 B、C 间的距离为 20 cm，振子在 2 s 内完成了 10 次全振动．若从
某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过14周期振子有负向最大 位移．
(1)求振子的振幅和周期； (2)画出该振子的位移—时间图像； (3)写出振子的位移随时间变化的关系式． 【答案】(1)10 cm 0.2 s (2)图见解析 (3)x＝10sin(10πt＋π) cm
2021学年高中物理第二章机械振动2简谐运动的描述课件人教版必修1.ppt
①实验过程中，我们应该选择哪个位置作 为计时的开始时刻？
②一次全振动的时间非常短，我们应该怎 样测量弹簧振子的周期？
实验： 实验１：探究弹簧振子的Ｔ与k的关系. 实验２：探究弹簧振子的Ｔ与m的关系. 实验３：探究弹簧振子的Ｔ与Ａ的关系.
结论：弹簧振子的周期由振动系统本 身的质量和劲度系数决定，称为固有 周期，与其他因素无关。
3. 周期和频率：
（1）周期：做简谐运动的物体完成一次全 振动所需要的时间，叫做振动的周期， 单位：s。
（2）频率：单位时间内完成的全振动的次 数，叫频率。单位：Hz，1Hz=1s-1。
（3）周期和频率之间的关系：Ｔ＝1/f。
弹簧振子的周期与哪些因素有关？ 猜想：弹簧振子的振动周期可能由哪些因 素决定？ 振子质量 劲度系数 振幅 ……
（2） 叫做圆频率，表示简谐运动的快慢。 它与频率之间的关系为： =2f
（3）“ t+” 这个量就是简谐运动的相位， 它是随时间t不断变化的物理量，表示振 动所处的状态. 叫初相位，简称初相， 即t=0时的相位。
… …
4. 相位: 相位是表示物体振动步调的物理量,
用相位来描述简谐运动在各个时刻所处的 不同状态。
二. 简谐运动的表达式: 1. 简谐运动的位移和时间的关系可以用图 象来表示为正弦或余弦曲线，如将这一关 系表示为数学函数关系式应为：
x Asin(t )
2. 振动方程中各变量的含义：
（1）A 代表物体振动的振幅.
§2.2 简谐运动的描述
一. 描述简谐运动的物理量:
1.振幅： （1）定义：振动物体离开平衡位置的最大 距离，叫做振动的振幅。 （2）物理意义：振幅是描述振动强弱的物 理量。
（3）单位：在国际单位制中，振幅的单位 是米（m）
②一次全振动的时间非常短，我们应该怎 样测量弹簧振子的周期？
实验： 实验１：探究弹簧振子的Ｔ与k的关系. 实验２：探究弹簧振子的Ｔ与m的关系. 实验３：探究弹簧振子的Ｔ与Ａ的关系.
结论：弹簧振子的周期由振动系统本 身的质量和劲度系数决定，称为固有 周期，与其他因素无关。
3. 周期和频率：
（1）周期：做简谐运动的物体完成一次全 振动所需要的时间，叫做振动的周期， 单位：s。
（2）频率：单位时间内完成的全振动的次 数，叫频率。单位：Hz，1Hz=1s-1。
（3）周期和频率之间的关系：Ｔ＝1/f。
弹簧振子的周期与哪些因素有关？ 猜想：弹簧振子的振动周期可能由哪些因 素决定？ 振子质量 劲度系数 振幅 ……
（2） 叫做圆频率，表示简谐运动的快慢。 它与频率之间的关系为： =2f
（3）“ t+” 这个量就是简谐运动的相位， 它是随时间t不断变化的物理量，表示振 动所处的状态. 叫初相位，简称初相， 即t=0时的相位。
… …
4. 相位: 相位是表示物体振动步调的物理量,
用相位来描述简谐运动在各个时刻所处的 不同状态。
二. 简谐运动的表达式: 1. 简谐运动的位移和时间的关系可以用图 象来表示为正弦或余弦曲线，如将这一关 系表示为数学函数关系式应为：
x Asin(t )
2. 振动方程中各变量的含义：
（1）A 代表物体振动的振幅.
§2.2 简谐运动的描述
一. 描述简谐运动的物理量:
1.振幅： （1）定义：振动物体离开平衡位置的最大 距离，叫做振动的振幅。 （2）物理意义：振幅是描述振动强弱的物 理量。
（3）单位：在国际单位制中，振幅的单位 是米（m）
江苏专用_新教材高中物理第二章机械振动2简谐运动的描述课件新人教版选择性必修第一册
解析：1 s 时质点位于正向最大位移处，3 s 时质点处于负向最大位移处， 位移方向相反，故 A 错误；一个周期内质点做简谐运动经过的路程是 4A＝8 cm,10 s 为 2.5 个周期，则质点经过的路程为 20 cm，故 B 正确；由题图知 位移与时间的关系为 x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.02sinπ2tm，当 t＝5 s 时，其相位 ωt ＋φ0＝π2×5＝52π，故 C 错误；在 1.5 s 和 4.5 s 两时刻，质点位移相同，x ＝Asin 135°＝ 22A＝ 2 cm，故 D 错误。 答案：B
提示：(1)时间 t＝T，路程 s＝4A，位移 x＝0。 (2)时间 t＝21T，路程 s＝2A，位移 x＝2A。 (3)两个过程的各量都相同：时间 t＝14T，路程 s＝A，位移 x＝A。 (4)D→C→D 过程：时间 t＝14T，路程 s＜A，位移 x＝0。 D→O→E 过程：时间 t＝14T，路程 s＞A，位移 x＝0。
D．B 的相位始终超前 A 的相位π3
解析：振幅是标量，A、B 的振幅分别是 3 m、5 m，A 错；A、B 的圆频率 ω＝ 100 rad/s，周期 T＝2ωπ＝120π0 s＝6.28×10－2 s，B 错，C 对；Δφ＝φA0－φB0 ＝π2－π6＝π3为定值，A 的相位超前，B 的相位π3，D 错。 答案：C
( √)
2．物体 A 做简谐运动的振动位移 xA＝3sin100t＋π2m，物体 B 做简谐运动的振
动位移 xB＝5sin100t＋π6m。比较 A、B 的运动 A．振幅是矢量，A 的振幅是 6 m，B 的振幅是 10 m
()
B．周期是标量，A、B 周期相等，为 100 s
C．A 振动的圆频率 ωA 等于 B 振动的圆频率 ωB
2021年新教材高中物理第二章机械振动2简谐运动的描述课件新人教版选择性必修第一册ppt
(2)若t2-t1=nT+ T(n=0,1,2,…),则t1、t2两时刻,物体的x、v均
大小相等,方向相反.
(3)若t2-t1=nT+ T(n=0,1,2,…)或t2-t1=nT+ T(n=0,1,2,…),则
当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;
当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大位移处;
大小又是多少?
答案:弹簧振子的振幅A等于OM的长度.
4A
0
4.有同学认为小球离开平衡位置的最大位移就是振幅A,
这种说法正确吗?为什么?
答案:不正确.位移是矢量,振幅是一个标量,是振动物体离
开平衡位置的最大距离,不能说最大位移就是振幅.但小
球离开平衡位置的最大位移的大小等于振幅.
过程建构
简谐运动中的位移、振幅和路程
项目
位移
振幅
路程
概念
由平衡位置指向振
动物体所在位置的
有向线段
振动物体离开平衡
位置的最大距离
振动物体移动的
路径的长度
符号
单位
标矢性
矢量
变化
关系
随时间做周期性变
化
数值
关系
数值上,振幅与振动物体的最大位移大小
相等
x
A
m、cm等
标量
在同一振动中是确
定的
s
标量
随时间不断增大
—
【典例1】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简
谐运动,B、C相距20 cm,某时刻振动物体处于B点,经过0.5 s,
振动物体首次到达C点.求:
(1)振动物体的振幅;
高中物理第二章机械振动2简谐运动的描述课件新人教版选择性必修第一册
1 12
T，所以振子经过的路程为 4A＋2A＝6A＝60 cm，C 正确；从 O 开始经过
3 s，振子处在最大位移处(A 或 B)，D 错误。
【加固训练】
一个质点做简谐运动，振幅是 4 cm，频率为 2.5 Hz，该质点从平衡位置起向正方
向运动，经 2.5 s，质点的位移和路程分别是( )
A．4 cm、24 cm
类似于O→B→O→C→O的一个完整振动过程。
(2)周期和频率
全振动
秒 振动快慢
1 f
全振动 振动快慢
3.相位 (1)物理意义：相位是表示物体_振__动__步__调__的物理量。 (2)定义：用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的_阶__段__，用_φ__表示。
二、简谐运动的表达式 【情境思考】
知识点二 对简谐运动表达式的理解 角度 1 由表达式求物理量 1．简谐运动的表达式 x＝A sin (ωt＋φ)中各物理量的意义： (1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移。 (2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。 (3)ω：圆频率，它与周期、频率的关系为 ω＝2Tπ ＝2πf。可见 ω、T、f 相当于一 个量，描述的都是振动的快慢。
②若 Δφ＝φ2－φ1>0，则称 B 的相位比 A 的相位超前 Δφ 或 A 的相位比 B 的相位 落后 Δφ；若 Δφ＝φ2－φ1<0，则称 B 的相位比 A 的相位落后|Δφ|或 A 的相位比 B 的相位超前|Δφ|。
如图所示，一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可 把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为 20 cm，周期为 3.0 s。当船上升 到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过 10 cm 时， 游客能舒服地登船。则在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是多少？
振动力学2简谐振动方案PPT文档42页
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
振动力学2简谐振动方案
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
பைடு நூலகம்
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
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•16 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：串联系统
在质量块m上重力与外力的合力为 P
k1
弹簧1变形： 1
P k1
弹簧2变形： 2
P k2
总变形：
12
(11)P k1 k2
根据定义：
Ke
P
k1k2 k1 k2
或
k2
m P
1 11
Ke k1 k2
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标 方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 •17
k
2
l3 l1
•.
l3 l2
m2
l1
m1
x
k1
m
2
l2 l1
P
x 1
m1 1
P x 1
k1 1
•21
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
•22 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
•
•23 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
小结
1）能量法
等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。
•.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：杠杆系统
杠杆是不计质量的刚体，水平位置为静平衡位置：
l3
l1
l2
m1
x
k2
m2
k1
求： 系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度
•19 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
解法1：能量法
动能： T12m1x212m2(ll12 x)2
12(m1
2k1 8k2 3M8m
•.
0 Ke / M e
•15
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
方法2：定义法
等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此 坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的 等效刚度。
等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在 此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效质量 。
来加惯在性原元来件惯的性集元中件质的量集上中，质作量为上单，自作由为度单系自统由处度理系， 从而得到更精确的固有频率的近似值。
统处理。
0
x
k
m
0 k/m
•2 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
例如：弹簧质量系统
设弹簧的动能:
Tt
1 2
mt x2
系统最大动能：
mt
弹簧等效质量
0
x
k mt
m
Tma x 12mxm 2 ax 12mtxm 2 ax12(mmt )xm2 ax
系统最大势能：
Vmax
1 2
kxm2 ax
xmax 0 xmax
0
k m mt
若忽略 m t ，则 0 增大
因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限. •3
•.
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
s
k
ds
l
m
x
•4 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
•5 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
单自由度系统自由振动
第二章 单自由度系统自由振动
• 弹簧质量系统的固有振动和自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 有粘性阻尼的自由振动
•1 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
• 瑞利法
概目念的：为考考虑虑系系统统中中弹弹性性元元件件的的质质量量所所具具有有的的动动能能，利用 动 方法：能利计用算动将能弹计性算元将件弹的性分元布件质的量分等布效质为量集等中效质为量集加中在质原量
设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P
则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩： k2
PM 1le (mP11)ml11(m ll12222m2ll12)l2
设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P
则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：
PK1le (kP11)lk11(llk13222k2ll13)l3
l22 l12
m2)x2
k2
等效质量：
Me
m1
l22 l12
m2
l3 l2
m2
l1
m1
x
k1
势能：
V12k1x212k2(ll13
x)2
1 2(k1
l32 l12
k2)x2
固有频率：
等效刚度：
Ke
k1
l M e
•20 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
解法2：定义法
零势能位置1
m
k/2
k/2
l a
势能 V1(ka2mg)l2
2
Ke ka2 mgl
0
ka2 mgl ml2
0 Ke / M e
•14
•.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
动能 T1(m3M)x2 28
Me
m 3 M 8
k1
R
势能 U12(k214k1)x2
M
Ke
k2
1 4
k1
m
x
k2
02
•11 •.
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动 • 等效粘性阻尼
•12 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
• 等效质量和等效刚度
方法1：能量法
选定广义位移坐标后，将系统的动能、势能写成如下形式：
T
1 2
M e x 2
当 x 、 x分别取最大值时：
V
1 2
Kex2
T Tmax
V Vmax
则可得出： 0 K e / M e
Ke：简化系统的等效刚度； Me：简化系统的等效质量。
等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。
•13 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
动能 T 1 ml22
2
Me ml2
•.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：并联系统
在质量块上施加力 P
两弹簧变形量相等：
受力不等：P1 k1 P2 k2
k1
m
k2
k1
k2
P m
由力平衡： P P 1P 2(k 1 k2)
根据定义：
P
Ke k1k2
并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标 方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 •18
选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：
T
1 2
M e x 2
2）定义法
V
1 2
•10 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
小结：
瑞利法的概念:
在单自由度质量弹簧系统中，将无阻尼自由振动的简 谐规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替 分布质量，计算其动能，即
T 1 mx2 2
从而计算系统固有频率。因此，瑞利法，基于能量法，用 于处理弹簧质量不能忽略的质量弹簧系统的振动问题。
•
•.
s
k
ds
l
m
x
•6
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
•7 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
例：图为一均质等直简支梁，中央处有一集中质量m,计算考虑
梁的质量时系统的固有频率和梁的等效质量。
m
x
l/2
l/2
x
dx
y
•8 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
•9 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：串联系统
在质量块m上重力与外力的合力为 P
k1
弹簧1变形： 1
P k1
弹簧2变形： 2
P k2
总变形：
12
(11)P k1 k2
根据定义：
Ke
P
k1k2 k1 k2
或
k2
m P
1 11
Ke k1 k2
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标 方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 •17
k
2
l3 l1
•.
l3 l2
m2
l1
m1
x
k1
m
2
l2 l1
P
x 1
m1 1
P x 1
k1 1
•21
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
•22 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
•
•23 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
小结
1）能量法
等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。
•.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：杠杆系统
杠杆是不计质量的刚体，水平位置为静平衡位置：
l3
l1
l2
m1
x
k2
m2
k1
求： 系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度
•19 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
解法1：能量法
动能： T12m1x212m2(ll12 x)2
12(m1
2k1 8k2 3M8m
•.
0 Ke / M e
•15
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
方法2：定义法
等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此 坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的 等效刚度。
等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在 此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效质量 。
来加惯在性原元来件惯的性集元中件质的量集上中，质作量为上单，自作由为度单系自统由处度理系， 从而得到更精确的固有频率的近似值。
统处理。
0
x
k
m
0 k/m
•2 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
例如：弹簧质量系统
设弹簧的动能:
Tt
1 2
mt x2
系统最大动能：
mt
弹簧等效质量
0
x
k mt
m
Tma x 12mxm 2 ax 12mtxm 2 ax12(mmt )xm2 ax
系统最大势能：
Vmax
1 2
kxm2 ax
xmax 0 xmax
0
k m mt
若忽略 m t ，则 0 增大
因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限. •3
•.
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
s
k
ds
l
m
x
•4 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
•5 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
单自由度系统自由振动
第二章 单自由度系统自由振动
• 弹簧质量系统的固有振动和自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 有粘性阻尼的自由振动
•1 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
• 瑞利法
概目念的：为考考虑虑系系统统中中弹弹性性元元件件的的质质量量所所具具有有的的动动能能，利用 动 方法：能利计用算动将能弹计性算元将件弹的性分元布件质的量分等布效质为量集等中效质为量集加中在质原量
设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P
则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩： k2
PM 1le (mP11)ml11(m ll12222m2ll12)l2
设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P
则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：
PK1le (kP11)lk11(llk13222k2ll13)l3
l22 l12
m2)x2
k2
等效质量：
Me
m1
l22 l12
m2
l3 l2
m2
l1
m1
x
k1
势能：
V12k1x212k2(ll13
x)2
1 2(k1
l32 l12
k2)x2
固有频率：
等效刚度：
Ke
k1
l M e
•20 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
解法2：定义法
零势能位置1
m
k/2
k/2
l a
势能 V1(ka2mg)l2
2
Ke ka2 mgl
0
ka2 mgl ml2
0 Ke / M e
•14
•.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
动能 T1(m3M)x2 28
Me
m 3 M 8
k1
R
势能 U12(k214k1)x2
M
Ke
k2
1 4
k1
m
x
k2
02
•11 •.
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动 • 等效粘性阻尼
•12 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
• 等效质量和等效刚度
方法1：能量法
选定广义位移坐标后，将系统的动能、势能写成如下形式：
T
1 2
M e x 2
当 x 、 x分别取最大值时：
V
1 2
Kex2
T Tmax
V Vmax
则可得出： 0 K e / M e
Ke：简化系统的等效刚度； Me：简化系统的等效质量。
等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。
•13 •.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
动能 T 1 ml22
2
Me ml2
•.
单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度
例：并联系统
在质量块上施加力 P
两弹簧变形量相等：
受力不等：P1 k1 P2 k2
k1
m
k2
k1
k2
P m
由力平衡： P P 1P 2(k 1 k2)
根据定义：
P
Ke k1k2
并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标 方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 •18
选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：
T
1 2
M e x 2
2）定义法
V
1 2
•10 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
小结：
瑞利法的概念:
在单自由度质量弹簧系统中，将无阻尼自由振动的简 谐规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替 分布质量，计算其动能，即
T 1 mx2 2
从而计算系统固有频率。因此，瑞利法，基于能量法，用 于处理弹簧质量不能忽略的质量弹簧系统的振动问题。
•
•.
s
k
ds
l
m
x
•6
单自由度系统自由振动－瑞利法
•
•7 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
例：图为一均质等直简支梁，中央处有一集中质量m,计算考虑
梁的质量时系统的固有频率和梁的等效质量。
m
x
l/2
l/2
x
dx
y
•8 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
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•9 •.
单自由度系统自由振动－瑞利法
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