2020年高考文科数学易错题《三角函数》题型归纳与训练

2020年高考文科数学《三角函数》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 定义法求三角函数值 例1若α的终边所在直线经过点，则 ．

【答案】2

【解析】∵直线经过二、四象限，又点P 在单位圆上，若α

的终边在第二象限，则3sin sin

42

πα==，若α

的终边在第四象限，则sin α=

sin α=【易错点】容易忽视对角终边位置进行讨论 【思维点拨】定义法求三角函数值的两种情况：

（1）已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解． （2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 题型二 诱导公式的使用 例1若，则=（ ） A ． B ． C ．

D ．

【答案】D

【解析】227

cos 2cos 2cos 212sin 33369ππππαπααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣

⎦，故选D 。 【易错点】三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”。这里的“奇、偶”指的是的倍数的奇

偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：在该题中把整个角23πα⎛⎫

- ⎪⎝⎭看作锐

角时，23ππα⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

所在象限的相应余弦三角函数值的符号。

【思维点拨】利用诱导公式化简求值时的原则

33(cos

,sin )44

P ππ

sin α=316sin =⎪⎭⎫

⎝⎛-απ⎪⎭

⎫

⎝⎛+απ232cos 97-

3

1-

3

19

7

2

（1）“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．

（2）“大化小”，利用k ·360°＋α（k ∈Z ）的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数． （3）“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．

（4）“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．

题型三 三角函数的定义域或值域 例1已知函数()2sin(2)3f x a x b π

=-

+的定义域为[0,]2

π

，值域为[5,1]-，求a 和b 的值．

【答案】a =12﹣

，b =﹣

a =﹣

b =19﹣

【解析】20022sin(2)12

3

3

323

x x x x π

π

π

ππ

π≤≤

∴≤≤∴-

≤-

≤

∴-≤-≤Q 当a ＞0

时，则21

5a b b ì+=ïíï-+=-î

，解得1223a b ì=-ïíï=-+î；

当a ＜0

时，则25

1a b b ì+=-ïíï-+=î，

解得1219a b ì=-ïíï=-î

当a =0时，显然不符合题意．

∴a =12﹣

b =﹣

a =﹣

b =19﹣

【易错点】对函数的结构分析容易不到位，函数()2sin(2)3

f x a x b π

=-

+是一个复合函数，不是

23πsin x ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭取最大值时，函数()f x 最大，因为它的前面还有个“2a ”，而“2a ”的符号不确定，直接影响了

函数的最值，所以要分类讨论。对含有字母参数的数学问题，一定要认真分析。 【思维点拨】

1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求解涉及三角函数的值域（最值）的题目一般常用以下方法： （1）利用sin x 、cos x 的值域；

（2）形式复杂的函数应化为y ＝Asin （ωx ＋φ）＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；

（3）换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域（最值）问题．

题型四 三角函数的单调区间 例1已知函数()sin()(0,0)3

f x A x A π

ωω=+

>>的部分图象如图所示．

（1）A 和ω的值；

（2）函数()y f x =在[0,]π的单调增区间；

（3）函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求b a -的最大值． 【经典错解】（1）2,A =

243124T πππω=-=，2ω=，所以()2sin 23f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭

（2）令2222

k x k π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+，k Z ∈ 得51212

k x k ππ

ππ-

+≤≤+，

（3）()2sin 213f x x π⎛

⎫

=+

=- ⎪⎝

⎭，得512x k ππ=+或3()4

x k k Z π

π=+∈ 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期，所以b a -最大值为217533

T ππ

+=． 【答案】见解析 【解析】（1）2,A =

243124T πππω=-=，2ω=，所以()2sin 23f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭

（2）令2222

3

2

k x k π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+，k Z ∈ 得512

12

k x k ππ

ππ-

+≤

≤+， 当0k = 时，

当1k =时，