作业五经济数学基础积分学综合练习
作业五经济数学基础积分学综合练习
综合练习一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）． A ．y = x 2 + 3 B ．y = x 2 + 4 C ．y = 2x + 2 D ．y = 4x 正确答案：A2．下列等式不成立的是（ ）．A ．)d(e d e x x x =B ．)d(cos d sin x x x =-C ．x x xd d 21= D ．)1d(d ln x x x = 正确答案：A3．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（ ）.A . 2e x -- B . 2e 21x- C . 2e 41x- D . 2e 41x--正确答案：D4．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）．A ．⎰+x x c 1)d os(2B ．⎰-x x x d 12C ．⎰x x x d 2sinD ．⎰+x xxd 12正确答案：C5. 若c x x f xx+-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ ）．A ．x 1 B ．-x 1 C ．21x D ．-21x正确答案：C6. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )．A ．)(d )(x F x x f x a=⎰ B ．)()(d )(a F x F x x f xa-=⎰C ．)()(d )(a f b f x x F b a-=⎰ D ．)()(d )(a F b F x x f ba-='⎰正确答案：B7．下列定积分中积分值为0的是（ ）．A ．x x x d 2e e 11⎰---B ．x x x d 2ee 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ正确答案：A8．下列定积分计算正确的是（ ）． A ．2d 211=⎰-x x B ．15d 161=⎰-xC ．0d sin 22=⎰-x x ππ D ．0d sin =⎰-x x ππ正确答案：D9．下列无穷积分中收敛的是（ ）．A ．⎰∞+1d ln x x B ．⎰∞+0d e x xC ．⎰∞+12d 1x x D ．⎰∞+13d 1x x正确答案：C10．无穷限积分 ⎰∞+13d 1x x =（ ）． A ．0 B ．21- C ．21D. ∞正确答案：C二、填空题1．=⎰-x x d e d 2．应该填写：x x d e 2-2．函数x x f 2sin )(=的原函数是 ．应该填写：-21cos2x + c (c 是任意常数)3．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f ． 应该填写：)(x f '4．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f . 应该填写：)1(2+x5．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f x x )d e (e --⎰= .应该填写：c F x +--)e (6．=+⎰e12dx )1ln(d d x x .应该填写：07．积分=+⎰-1122d )1(x x x． 应该填写：08．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是 ．（判别其敛散性） 应该填写：收敛的9．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为 ．应该填写：2 + q 23三、计算题1．⎰+-x x x d 242 解 ⎰+-x x x d 242=(2)d x x -⎰=2122x x c -+2．计算⎰x x x d 1sin2解 c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin23．计算⎰xxx d 2解 c x xx x x x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 24．计算⎰x x x d sin解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin 5．计算⎰+x x x d 1)ln (解 ⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(2122 6．计算 x x xd e 2121⎰ 解 x xxd e 2121⎰=21211211e e e )1(d e -=-=-⎰x xx7．2e1x ⎰解 x x x d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x +=)13(2- 8．x x x d 2cos 2π0⎰解：x x x d 2cos 20⎰π=202sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21-9．x x d )1ln(1e 0⎰-+解法一 x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+---=1e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1解法二 令1+=x u ，则u uu u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e1e1e11e 0⎰⎰⎰-==+-=11e e e e1=+-=-u四、应用题1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x += 100（万元）又 xc x x C x C x⎰+'=00d )()(=x x x 36402++ =xx 3640++令 0361)(2=-='xx C ， 解得6=x .x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 解 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x令)(x L '= 0，得x = 500x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰ =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元.3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x 令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.4．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322 当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18 即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为qq q q C q A 1832)()(+-==令 0182)(2=-='q q A ， 解得q = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)5．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1) 因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰ =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元.。
经济数学基础综合练习及参考答案
9．已知 y
52 cos x ，求
y
π ()
；
2
10．已知
3
y=
ln 2
x ，求
dy
．
11．设 y esin x cos5 x ，求 dy ．
12．设 y tan x3 2 x ，求 dy ．
13．已知 y cos2x sin x2 ，求 y ( x) ．
14．已知 y
ln 3 x
e
5x
，求
y ( x)
17．需求量 q 对价格 p 的函数为 q( p) 100
． ． ．
.
p
e 2 ，则需求弹性为 E p
．
20 2
18．已知需求函数为 q
p ，其中 p 为价格，则需求弹性 Ep =
.
33
三、计算题
2
1． lim x x2
3x x2 4
2
sin 2x 3． lim
x0 x 1 1
5．
lim
x1
tan( x x2 x
D ( , 0)
3．下列各函数对中，（
）中的两个函数相等．
A ． f (x) ( x )2 ， g ( x) x
B． f ( x)
x2 1 ， g( x)
x1
x+ 1
C． y ln x 2 ， g (x) 2ln x
D． f ( x) sin 2 x cos2 x ， g(x) 1
1
4．设 f (x)
．
15．由方程 yln(1 x) exy e2 确定 y 是 x 的隐函数，求 y ( x) ．
16．由方程 sin y xe y 0 确定 y 是 x 的隐函数，求 y ( x) .
《经济数学基础》习题答案及试卷（附答案）
习题解答第一章 经济活动中的函数关系分析实训一（A ）1．填空题：（1）(,2][2,)-∞-+∞ ； （2）()3,5； （3）1x； （4）2x e ；2x e ； （5）473x -，提示：由()()47433433g f x x x =+=+-⎡⎤⎣⎦，所以()473x g x -=．2．（1）tan(2)y x =；（2）（3）y=；（4）y=lg(sin 2)x ．3．（1）cos y u =，1xu e =-； （2）ln y u =，222u x x =-+；（3）y =1u x =+；（4）y lg u v =，v =实训一（B ）1．由已知可知2110x -<-<，得到201x <<，即定义域为()()1,00,1- ．2．由()21f x x -=，可得()()2111f x x -=-+，所以()()21f x x =+．也可令1x t -=．3．（1）u y e =，sin u v =，2v x =；（2）log uv ay =，21u x =+，sin v w =，2w x =． 4． ()()()log log log a a a f x f y x y xy f xy +=+==；()()log log log a a axx f x f y x y f y y ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭． 实训二 （A ）1．填空题：（1）y =（2）[]1,3-； （3）2π-，4π； （4）12，π． 2．（1）⨯；（2）⨯；（3）⨯；（4）√．3．（1）由()cos 21y x =+，解得21arccos x y +=，()1arccos 12x y =-， 所以，()()11arccos 12fx x -=-．定义域：[]1,1x ∈-；值域：11,22y π-⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）由()1ln 2y x =++，解得12y x e -+=，12y x e -=-，所以，()112x fx e --=-定义域：(),x ∈-∞+∞；值域：()2,y ∈-+∞ 4．【水面波纹的面积】设面积为S （2cm ），时间为t （s ），则()22502500S t t ππ==【仪器初值】()0.04200.800208986.58Q Q e Q e -⨯-===解得0.808986.582000Q e =≈．实训二（B ）1．由()x a f x x b +=+，解得反函数为()11a bx f x x --=-． 由已知()1x a f x x b -+=+，可得1a bx x a x x b-+=-+，相比较，可得a 为任意实数，1b =-．2．由()ln x x ϕ=，()21ln 3g x x ϕ=++⎡⎤⎣⎦，可得()221ln 3ln 3x x g x e e e ϕ+=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦所以，()213x g x e+=．实训三【商品进货费用】 设批次为x ，由题意： 库存费：11250030000242C x x=⋅⋅=； 订货费：2100C x =． 【原料采购费用】设批量为x ，库存费用为1C ，进货费用为2C ，进货总费用为12C C C =+．1122C x x=⋅⋅= 23200640000200C xx=⋅=所以进货总费用为：12640000C C C x x=+=+． 【商品销售问题】设需求函数关系式为：d Q ap b =+，其中p 为定价． 由已知可得：1000070700073a ba b=+⎧⎨=+⎩，解得1000a =-，80000b =，所以100080000d Q p =-+； 供给函数为：1003000s Q p =+平衡状态下：价格70p =；需求量10000d Q =． 【商品盈亏问题】设()()()()2015200052000L x R x C x x x x =-=-+=-．()6001000L =； 无盈亏产量：()0L x =，解得400x =． 【供给函数】答案：1052PQ =+⋅． 【总成本与平均成本】总成本()1306C Q Q =+，[]0,100Q ∈． 平均成本()13061306Q C Q Q Q+==+，[]0,100Q ∈．第一章自测题一、填空题1、[2,1)(1,1)(1,)---+∞2、(,)-∞+∞3、(,1)a a --4、23x x -5、2ln(1)x -6、arcsin 2x7、cos(ln )x8、2142R Q Q =-+9、22()2505;()6248100R x x x L x x x =-=-+- 10、6P = 二、选择题1、C2、B3、B4、D5、C三、计算解答题1、（1）22log , 1y u u x ==+（2）1x y u e ==+ 2、1()1 , ()1f x x f x x -=+=- 四、应用题1、（1） 6 , 8P Q == （2） 3.5 , 3P Q == （3） 6.5 , 7P Q ==2、（1）()10200C x x =+，()200()10C x C x x x==+ （2）()15R x x =（3）()()()5200L x R x C x x =-=-，无盈亏点：40x =五、证明题（略）第二章 极限与变化趋势分析实训一（A ）1．（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√． 2．（1）收敛，且lim 0n n x →∞=；（2）发散，lim n n x →∞=∞；（3）收敛，且lim 2n n x →∞=；（4）发散．3．（1）收敛，且lim 2x y →∞=；（2）收敛，且0lim 1x y →=；（3）收敛，且lim 1x y →+∞=；（4）发散．【产品需求量的变化趋势】lim lim 0t t t Q e -→+∞→+∞==．实训一（B ）（1）无穷大；（2）无穷大；（3）无穷大；（4）无穷大． 【人影长度】越靠近路灯，影子长度越短，越趋向于0．实训二 （A ）1．填空题（1）5；（2）2；（3）1；（4）13；（5）∞；（6）∞；（7）2． 2．（1）()()()()2211111112lim lim lim 21121213x x x x x x x x x x x x →→→-+-+===---++； （2）(222211lim2x x x x x x →→→===--；（3）()()2322000222lim lim lim 211x x x x x x x x x x x x x →→→---===---； （4）()()211121111lim lim lim 111112x x x x x x x x x →→→--⎛⎫-===-⎪---++⎝⎭． 3．（1）222112lim lim 2111x x x x x x x →+∞→+∞-⎛⎫-==- ⎪+--⎝⎭； （2）()()()1121lim lim lim 22222222n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫++++-⎛⎫-=-==- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 【污染治理问题】由题意可知，该问题为等比级数问题，首项为a ，公比为45，则设n 周后所剩污染物为n a ，则45nn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为4lim 05nn a →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，可以确定随着时间的推移能将污染物排除干净．【谣言传播】 （1）1lim (t)lim11ktt t P ae -→∞→∞==+；（2）121(t)0.8110t P e-==+，可解得2ln 407.38t =≈．实训二（B ）1．填空题（1）32π-； （2）0；0．（无穷小与有界函数的乘积为无穷小）（3）0a =，2b =-．2．（1）()3320lim3h x h x x h→+-=；（2）442x x x →→→===．3．由()3lim 30x x →-=，且232lim 43x x x kx →-+=-，可得()23lim 20x x x k →-+=，解得3k =-．4．由题意可知()()21116lim lim 511x x x x x ax bx x→→--++==--，可得7a =-，6b =．实训三 （A ）1．填空题（1）1e -；（2）3e -；（3）e ；（4）e ；（5）3k =；（6）5050.1230⨯⨯=万元，()55010.125038.1⨯+-=万元，50.125041.1e ⨯=万元． 2．（1）6e -；（2）1e -；（3）2e -；（4）01e =． 3．（1）0.042003 6.68rtPe e ⨯==万元； 2.25o P =万元．（2）24.38t p =万元；24.43t p =万元．实训三（B ）1．（1）(()0111lim 1lim 1lim 11x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫-=-=-==⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）()15lim 15xx x x e →→∞=+=；（3）()1111111lim lim 11xxx x xx e ---→→=+-=；（4）()()()1000ln 121limlim ln 12limln 12x x x x x x x xx →→→+=+=+ ()()112limln 12lnlim 12ln 2x xx x x x e →→=+=+==．2．322lim lim 122x xc x x x c c e e x c x c →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以3c =． 实训四 （A ）1．填空题 （1）(]0,3；（2）()243,110,1x x x f x x ⎧-+≤-=⎨>⎩；（3）()0lim 1x f x -→=-，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在； （4）()(),22,-∞--+∞ ； （5）1x =，2x =；（6）1k =．2．图略，()0lim 1x f x -→=，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在． 3．()()1lim 11x f x f -→==，()1lim 2x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在1x =处不连续．【个人所得税计算】个人所得税的起征点为月收入3500元．850035005000-=，50000.2555455⨯-=；1200035008500-=，85000.25551145⨯-=．【出租车费用】图略，()8, 322, 3836, 8x f x x x x x ≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩．实训四 （B ）1．图略，()()0lim 10x f x f -→=-=，()0lim 0x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在0x =处不连续．2．由连续的定义可知：()()220lim 1xx k f x e →==+=．3．因为()01f =，()01lim sin00x x f x→=≠（无穷小与有界函数的乘积）， 所以0x =为第一类的可去间断点．第二章自测题一、填空题 1、1- 2、1 3、12- 4、345、221,02,0x x x x ⎧+=⎪⎨≠⎪⎩6、1-7、100 ; 0 8、0.035; 5.15e(万)(万)二、选择题1、C2、A3、C4、A5、B 三、计算解答题1、（1）原式=211(1)1 lim lim0(1)(1)1x xx xx x x→→--==+-+（2）原式=lim lim x x=1lim2x==-（3）设1xe t-=，则ln(1)x t=+，0x→时，0t→，原式=10011lim lim1ln(1)ln(1)limln(1)t ttttt ttt→→→==+⋅++1111lnln[lim(1)]ttet→===+（4）原式=sin[lim sin[limx x→+∞=s i n[l]s i n00x===2、(0)2f=00l i m()l) x x xf x---→→→==00lim lim(12x x--→→==+=00lim()lim(2)2x xf x x++→→=+=lim()2(0)xf x f→∴==()f x∴在0x=点连续，从而()f x在(,)-∞+∞内连续.四、应用题第三章经济最优化问题分析实训一（A ）1．填空题（1）45x ； （2）2313x -； （3）23x ； （4）5232x --；（5）2ln 2x ； （6）1ln10x ； （7）0； （8）0．2．2log y x =，1ln 2y x '=．212ln 2x y ='=，122ln 2x y ='=．3．（1）()141y x -=-，即43y x =-； （2）()222y x +=--，即22y x =-+； （3）cos y x '=，312x k y π='==，切线方程为123y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即126y x π=-． 实训一（B ）1．()()()20001sin010limlim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x→→→-'====-．2．()()()()000002lim h f x h f x f x h f x h →+-+--()()()()0000022lim2h f x h f x hh f x h f x h →+-=+--()()()()00000022limlim 12h h f x h f x hh f x h f x h →→+-=⋅=+--． 其中()()()00002lim2h f x h f x f x h→+-'=，()()()()()00000021limh h f x f x h f x f x h f x →='+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 3．因为3,02⎛⎫⎪⎝⎭不在21y x =上，不是切点．设过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭与21y x =相切的切线的切点坐标为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切点为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为：()2312Y X a a a -=--，有已知3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭在切线上，带入可得1a =，所以切线方程为：()121y x -=--，即23y x =-+．实训二 （A ）1．（1）223146y x x x '=+-； （2）11'ln n n y nx x x --=+； （3）21'41y x x =++； （4）2cosx cosx sinx'(x 1)x y +-=+． 2．（1）22'1xy x =+； （2）22'2sin3x 3cos3x x x y e e =+； （3）'y = （4）22sec cos122'csc sinx 2tan 2cos sin222x x y x x x x ====．3．（1）''2y =； （2）''2x x y e xe --=-+（3）222222(1x )2(2x)''224(1x )x y x x --+-==-+--； （4）2322222(1x)2''2arctanx 1(1x )x x x y x +-=++++． 4．（1）2212dy x xdx y y --+==；（2）x y x y dy y e y xy dx e x xy x++--==--． 【水箱注水】由24r h =，12r h =，22311133212h v r h h h πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，两边求导得214v h h π''=，由已知2v '=，3h =，带入可得： 1294h π'=，89h π'=所以水位上升的速度为89π米/分．【梯子的滑动速度】由题意可得22100x y +=，两边求导可得：220dx dy xy dt dt +=，即dx y dy dt x dt=-， 将8y =，6x =，0.5dy dt =带入可得：820.563dy dt =-⨯=-．所以梯子的另一端华东的速度为23米/秒．负号表示运动方向． 实训二 （B ）1．（1）11(1ln )e x e x y x x x e -=+++； （2）()()1112121y x x x ⎫'=--⎪⎪-+⎭． 2．()()cos sin x x y e x f e x ''=++． 3．将1y y xe -=两边对x 求导可得：0y y dy dy e xe dx dx --=，即1y ydy e dx xe =-．…………（1） 将0,1x y ==带入（1）可得：y e '=． 对（1）继续求导，()()()22121y y y y y y y e xe e e xy e y e xe ''----''==-．4．（1）22x z z xy x ∂'==∂， 22y zz yx y ∂'==∂； （2）2xy x z z ye xy x ∂'==+∂，2xy y z z xe x y∂'==+∂． 实训三 （A ）1．填空题（1）单调递增区间，(),0-∞；单调递减区间()0,+∞． （2）6a =-．（3）驻点． （4）()00f x ''<．2．()()3444110y x x x x x '=-=-+=，得驻点1230,1,1x x x ==-=，单调递增区间：()()1.0 1.-+∞ ，单调递减区间：()().10.1-∞- ．3．()()23693310y x x x x '=--=-+=，得驻点121,3x x =-=．又由于：66y x ''=-，()1120y ''-=-<，所以11x =-为极大点，极大值为0； ()360y ''=>，所以23x =为极小点，极小值为32-．【定价问题】21200080R PQ P P ==-，25000502500050(1200080)6250004000C Q P P =+=+-=-， 224000160T Q P ==-，21200080625000400024000160L R C T P P P P =--=--+-+28016160649000P P =-+-160161600L P '=-+=，解得：101P =， 167080L =．【售价与最大利润】1100200Q p =-，21100200R PQ P P ==-；220019004400L R C P P =-=+-，40019000L P '=-+=，解得 4.75P =此时：150Q =，112.5L =． 【最小平均成本】210000501000050x x c x x x ++==++；21000010c x '=-+=，解得100x =．【最大收入】315x R px xe -==，33155x x R exe--'=-3(155)0x x e-=-=，解得：3x =，此时115p e -=，145R e -=．实训三 （B ）1．（1）设()1xf x e x =--，()10xf x e '=->（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． （2）设()()ln 1f x x x =-+，()1101f x x'=->+（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． 2．()cos cos3f x a x x '=+，没有不可导点，所以cos cos 033f a πππ⎛⎫'=+=⎪⎝⎭，得2a =．又()2sin 3sin3f x x x ''=--，03f π⎛⎫''=<⎪⎝⎭，所以3x π=为极大值点，极大值为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【采购计划】 设批量为x ，采购费：132********200C x x =⨯=； 库存费：222xC x =⨯=；总费用：12640000C C C x x=+=+； 264000010C x'=-+=，解得800x =唯一驻点， 所以采购分4次，每次800吨，总费用最小．第三章自测题一、填空题 1． 2 2． 12-3． 21x -4． 1-5． 212c o s x xx+ 6． 17． 2l n3x + 8． 2 ; 09． 11ln ; ln y x y x yxy y x x xy --+⋅⋅+10． 12x =二、选择题1、C2、A3、A4、D5、A 三、计算解答题1、（1）([1]y x '''=+=+[12]()1x =⋅⋅⋅==（2）222()()2x x x x y e x e x xe e --'''=⋅+⋅-=- 2、方程221x y xy +-=两边对x 求导，得22()0x y y y x y ''+⋅-+= 解得：22y xy y x-'=-，将0,1x y ==代入，得切线斜率12k =，所以，切线方程为：11(0)2y x -=-，即：220x y -+=. 3、定义域(,)-∞+∞2363(2)y x x x x '=-=- 令0y '=，得驻点120,2x x ==递增区间：(,0)-∞、(2,)+∞ 递减区间：(0,2)极大值：(0)7f = 极小值：(2)3f = 四、应用题1、50S t ==(50)50dSt dt'== 所以，两船间的距离增加的速度为50千米／小时. 2、第四章 边际与弹性分析实训一（A ）1．填空题（1）0.2x ∆=， 2.448y ∆=， 2.2dy =． （2）1x dy edx ==． （3）12dy x dx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （4）cos(21)x +，2cos(21)x +． （5）[]()f g x '，[]()()f g x g x ''．2．（1）(12)dy x dx =+； （2）221dy dx x =+； （3）222(22)x x dy xe x e dx --=-； （4）322(1)dy x x dx -=-+； （5）23(1)1dy dx x =-+； （6）1dx dy x nx=． 3．()ln 11x y x x '=+++，11ln 22x y ='=+，所以11ln 22x dy dx =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 【金属圆管截面积】2s r π=，2200.05ds r r πππ=∆=⨯=．实训一（B ）1．（1）2sec x ；（2）1sin 5x 5；（3）2x ；（4）232x ；（5）21x +；（6）arctan x ． 2．将x yxy e+=两边对x 求导，()1x yy xy ey +''+=+，解得：x y x ye yy x e ++-'=-，所以x y x ye ydy dx x e++-=-．3．（1110.001 1.00052≈+⨯=；（20.02221 2.001783⎛⎫==≈+= ⎪⨯⎝⎭； （3）()ln 1.01ln(10.01)0.01=+≈； （4）0.0510.05 1.05e ≈+=． 【圆盘面积的相对误差】2s r π=，0.2r ∆≤()'2s ds s r r r r π∆≈=∆=∆（1）()()22482240.29.65s ds cm cm πππ∆≈=⨯⨯==； （2）2220.22 1.67%24r r r s ds s s r r ππ∆∆∆≈===⨯≈． 实训二 （A ）1．（1）()2'2x f x xe =；（2）[]1'()(1)a bf x x e a x ac --=++．2．（1）()21900110090017751200C =+⨯=；17757190036C ==． （2）()39002C '=，表示第901件产品的成本为32个单位；()51000 1.673C '=≈，表示第1001件产品的成本为53个单位． 3．（1）(50)9975R =；9975199.550R ==． （2）()502000.0250199R '=-⨯=，表示第51件产品的收入为199个单位． 4．22()()100.01520050.01200L R x C x x x x x x =-=---=--，50.020L x '=-=，解得唯一驻点250x =，所以当每批生产250个单位产品时，利润达到最大．实训二（B ）1．()()()()()242,04282, 4x x x x L x R x C x x x ⎧--+≤≤⎪=-=⎨⎪-+>⎩， 即()232,0426, 4x x x L x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，求导()3,041, 4x x L x x -+≤<⎧'=⎨->⎩，令()0L x '=解得3x =百台（唯一驻点） 所以每年生产300台时，利润达到最大．()()430.5L L -=-万元，在最大利润的基础上再生产1百台，利润将减少0.5万元．2．()0.50.25C a a =+（万元）()2152R a aa =- ()22150.50.25 4.750.522a L a a a a a =---=-+-令() 4.750L a a '=-+=，解得 4.75a =（百台）又()10L a ''=-<，有极值的第二充分条件，可知当 4.75a =为最大值（唯一驻点） 所以该产品每年生产475台时，利润最大．实训三 （A ）1．填空题 （1）1axy=；（2）21x Ey Ex ==；（3）1ln()4p η=-；（4）()334η=，()41η=，()554η=． 2．（1）15x η=； （2）3(3)5η=，价格为3时，价格上涨1%，需求下降0.6%，缺乏弹性；(5)1η=，价格为5时，价格上涨1%，需求下降1%，单位灵敏性； 6(6)5η=，价格为6时，价格上涨1%，需求下降1.2%． 3．（1）500P =元时，100000Q =张． （2）18002ppη=-．（3）1η=时，18002600p p p =-⇒=所以：当0600p ≤<时，1η<；当600900p <≤时，1η>．实训三 （B ）1．（1）224202EQ x x Q Ex Q x '==--，243x EQ Ex ==-，所以价格增长5%，需求量减少6.7%；（2）()()3220R x xQ x x x ==--，x =403Q =．2．（1）2Q P '=-，48P Q ='=-，经济意义：在价格4P =的基础上，增加一个单位，需求量减少8个单位．（2）22275P P Q Q P η'=-=-，4320.542359P η===，经济意义，在4P =的基础上涨1%，需求减少0.54%．（3）375R PQ p p ==-，3375375p p p pη-=-，(4)0.46η=，经济意义，在4P =的基础上，若价格上涨1%，收入上涨0.46%．（4）198(6)0.46234η-=≈-，经济意义，在6P =的基础上，若价格上涨1%，收入减少0.46%． （5）375R p p =-，275305R p p '=-=⇒=，又6R p ''=-，()5300R ''=-<，所以由极值的第二充分条件，可知5P =时，总收入最大．第四章自测题一、填空题 1． 22 ; 2xxe e2．212x 3． arctan x4． 0.1 ; 0.63 ; 0.6 5． 45 ; 11 ; 456．10 ; 10% ; 变动富有弹性 7． 15%20% 8． 10% 二、选择题1、C2、B3、D4、A5、C 三、计算解答题1、（1）2222222()()2(2)x x x x y x e x e xe x e x ''''=⋅+⋅=+⋅2222222(1)x x x x e x e x e x =+=+ 22(1)xd y y d x xe x d x'∴==+ （2）222sin(12)[sin(12)]y x x ''=+⋅+2222s i n (12)c o s (12)(12)x x x '=+⋅+⋅+ 24s i n (24)x x =+ 24s i n (24)d y y d x x x d x'∴==+ 2、方程242ln y y x -=两边对x 求导，得31224dy dyy x dx y dx⋅-⋅⋅= 解得，3221dy x y dx y =-，3221x y dy dx y ∴=-3、四、应用题1、（1）()60.04C Q Q '=+ ()300()60.02C Q C Q Q Q Q==++（2）2300()0.02C Q Q'=-+令()0C Q '=，得Q = （3）2()()(204)204R Q P Q Q Q Q Q Q =⋅=-⋅=-2()()() 4.0214300L Q R Q C Q Q Q =-=-+- ()8.0414L Q Q '=-+ 令()0L Q =，得Q =2、 4Q P '=-（1）(6)24Q '=-，6P =时，价格上升1个单位，需求量减少24个单位.（2）22224(1502)15021502P P P Q P Q P P η''=-⋅=-⋅-=-- 24(6)13η=6P =时，价格变动1%，需求量变动2413% （3）23()()(1502)1502R P Q P P P P P P =⋅=-⋅=-33(1502)1502E R P PR P P E P R P P''=⋅=⋅--2215061502P P -=-61113P EREP==-6P =时，若价格下降2%，总收入将增加2213%第五章 经济总量问题分析实训一（A ）1．填空题（1）3x ，3x C +； （2）3x ，3x C +； （3）cos x -，cos x C -+；（4C ； （5）arctan x ，arctan x C +．2．（1）B ； （2）C ； （3）D ； （4）A ．3．（1）5322225x x C -+；（2）31cos 3xx e x C --+；（3）21x x C x-++； （4）(2)ln 2xe C e+． 4．（1）1arctan x C x--+；（2）sin cos x x C ++． 【曲线方程】由题意()21f x x '=+，所以()()()23113f x f x dx x dx x x C '==+=++⎰⎰，又过点()0,1带入，得到1C =，所以曲线方程为：()3113f x x x =++． 【总成本函数】由题意可得()220.01C x x x a =++，又固定成本为2000元，所以 ()220.012000C x x x =++． 【总收入函数】()()278 1.2780.6R x x dx x x C =-=-+⎰，由()000R C =⇒=，所以总收入函数为()2780.6R x x x =-．实训一（B ）1．填空题（1）sin 2ln x x x +；（2）223cos3x e x +；（3）ln x x C +． 2．（1）D ； （2）B ．3．（1）322233331u u u I du u du u u u -+-⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ 2133ln 2u u u C u=-+++； （2）)32332333I dx x x C ===-+⎰；（3）()222222121212arctan 11x x I dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰； （4）()()()1111tttt te e I dt edt e t C e +-==-=-++⎰⎰．实训二 （A ）1．填空题 （1）212x ； （2）x e --； （3）ln x ； （4）arctan x ； （5）23x x +； （6）arcsin x ． 2．（1）B ； （2）B ．3．（1）()()()11cos 2121sin 2122I x d x x C =++=++⎰； （2）()()3212313139I x x C =+=++；（3）()()231ln ln ln 3I x d x x C ==+⎰；（4）111xx I e d e C x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰．4．（1）sin sin sin x xI e d x eC ==+⎰； （2）()()11ln 11x xx I d e e C e =+=+++⎰；（3）()()2222ln 22d x x I x x C x x -+==-++-+⎰；（4）22221111111x x x I dx dx x x x ++-⎛⎫==+- ⎪+++⎝⎭⎰⎰ 21l n (1)a r c t a n 2x x x C=++-+． 5．（1）()x x x x x I xd e xe e dx xe e C -----=-=-+=--+⎰⎰；（2）()()()ln 1ln 1ln 1I x dx x x xd x =+=+-+⎰⎰()()11ln 1ln 111x x x x dx x x dx x x +-=+-=+-++⎰⎰()()l n 1l n 1x x x x C =+-+++． 【需求函数】由已知，()111000ln3100033p pQ p dp C ⎛⎫⎛⎫=-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 又因为0p =时，1000Q =，代入上式，得到0C =．所以，()110003pQ p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【资本存量】由已知，32()2(1)y I t dt t C ===++⎰⎰因为0t =时，2500498y C C =+=⇒= 所以，322(1)498y t =++．实训二 （B ）1．填空题（1）ln ()f x C +；（2）arctan(())f x C +；（3）'()()xf x f x C -+． 2．（1）()()2arctan 1x x x d e I e C e ==++⎰；（2）()()11131431dx I dx x x x x ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭⎰⎰113l n 3l n 1l n 441x I x x C C x -=⎡--+⎤+=+⎣⎦+；（3）()()2arctan 111dxI x C x ==++++⎰；（4）()22222x x x x x I x d e x e e dx x e xe dx -----=-=-+=--⎰⎰⎰()22222x x x x x x I x e xe e C x e xe e C ------=----+=-+++． 【物体冷却模型】设()T t 为t 时刻物体的温度，由冷却定律可得：0()dTk T T dt=-， 分离变量0dT kdt T T =-，两边积分0dTkdt T T =-⎰⎰，可得：()0ln ln T T kt c -=+，0()kt T t T ce =+．由已知()0100T =，()160T =，020T =，带入得到：80c =，ln 2k =-， 所以ln2()2080t T t e -⋅=+， 当ln 23020803te t -⋅=+⇒=．实训三 （A ）1．填空题 （1）122lim(1)nn i i n n→∞=+∑；（2）2)x dx -；（3）2π；（4）0． 2．（1）12010(3)3S x dx =+=⎰； （2）12218(2)3S x x dx -=--=⎰；（3）1303(1)4S x dx =-=⎰或034S ==⎰．实训三 （B ）1．（1）分割：将[]0,4n 等分，每份长度为4n ；（2）近似代替：2412823i i n iA n n n⎡⎤+⎛⎫∆=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（3）求和：()2212221111281281282nnni ii i n n n in n iA A n nn===++++≈∆===∑∑∑； （4）取极限：()2211282lim16n n n n A n→∞++==． 2．1sin xdx π⎰．3．22211113ln ln 222x dx x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．实训四 （A ）1．填空题（1）64；（2）1；（3）2π；（4）3；（5）1． 2．（1）()()()44341118111144I x d x x =--=-=⎰； （2）()()44223328I x dx xx =+=+=⎰；（几何上为直角三角形的面积）（3）22242200111222x x e I e dx e -===⎰； （4）2112111xx I e d e e x =-=-=⎰（5）01cos sin 222x x x I dx πππ++===⎰； （6）0；（利用当积分区间为对称区间，被积函数为奇函数时定积分的性质） （7）121211122222235I xdx xdx xdx xdx -=+=+=+=⎰⎰⎰⎰；（8）02sin 4I xdx π==⎰．（利用定积分的周期性）【资本存量问题】 （1）434211214I t ===⎰（万元）；（4）33224422820 6.87x xtx x ⎛⎫==-=⇒=≈ ⎪⎝⎭⎰．【投资问题】01000P =，200A = 0.05()200T t tdP e dt-= 0.05()0.05020040004000TT t T t P edt e -==-+⎰ 10t =，0.5400040002595t P e=-+= 因为0.515741600T P e-≈<，所以，此项投资不恰当．实训四 （B ）1．因为()1229214x dx --+=-⎰，()1129214x dx -+=⎰，()20216x dx +=⎰，()21214x dx +=⎰， ()3222213x dx +=⎰， 所以应该分两种情况： （1）因为()3403kf x dx =⎰，()()332240221816333k f x dx x dx -+=-==⎰⎰ 所以，0k =； （2）因为()()102112f x dx f x dx ---=⎰⎰，由对称性可知1k =-．2．对()21f x dx -⎰作代换令1x t -=（切记：定积分的换元要换限，积分值不变），则有：()()21011f x dx f t dt --=⎰⎰，所以，()()21101101112tte f x dx f t dt dt dt e t ---==+++⎰⎰⎰⎰ ()()()()001101011132ln 1ln 2ln 121t t td e ed te t e t e --+=++=+++=+++⎰⎰． 3．()()()()11111111I xf x dx xdf x x f x f x dx ----'===-⎰⎰⎰()()()()21111110x f f e f f --=+--=+-=．因为()()222x x f x e xe --'==-，()f x 为奇函数，所以()()110f f +-=．【储存费用问题】第五章自测题一、填空题 1．sin x x e c ++2．5314453x x x c -++ 3．ln xdx4．21ln 2x c +5．196．327．94π8．21200 ;200Q Q - 9．二、选择题1、D2、B3、A4、B5、C 三、计算解答题 1、（1）原式=1111()(3)(2)532dx dx x x x x =--+-+⎰⎰ 113[l n 3l n 2]l n 552x x x c cx -=--++=++ （2）原式=22111112sin ()cos cos cos1d x x x πππ-==-⎰2、（1）222222212(1)()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x ++++==++⎰⎰22111()arctan 1dx x c x x x=+=-+++⎰（2）222222212(1)3()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x -+--==++⎰⎰ 22131()3arctan 1dx x c x x x=-=--++⎰3、原式=31222(1)(1)1)33x x =+=+=⎰⎰四、应用题 1、（1）32412)2(24S x x dx x x =-=-=（2）1100()()1x x S e e dx ex e =-=-=⎰2、（1）2()()(100020)C Q C Q dQ Q Q dQ '==-+⎰⎰2311000103Q Q Q c =-++(0)9000C = ，9000c ∴=， 321()10100090003C Q Q Q Q ∴=-++ ()3400R Q Q = 321()()()10240090003L Q R Q C Q Q Q Q =-=-++- （2）令()()R Q C Q ''=，得60Q = 最大利润(60)99000L =（元） 3、.期末考试（90分钟）一、选择题（每题3分，共9分）1、设()0, 0x f x k x ≠=⎪=⎩在0x =处连续，问k =（ ）。
经济数学基础练习题微积分部分
经济——微积分部分一、填空题1．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是 ．2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ．3．设函数xx x f -=1)(，则)1(xf = 。
4．函数2)(xxaa x f --=是_____________函数。
5．设3e)21(lim -∞→=+kxx x，则=k _____________．6．=+∞→xxx x sin lim． 6．若函数3ln =y ，则y '=． 7．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) = ． 8．曲线x y =在点（4, 2）处的切线方程是．9．函数y x =-312()的单调增加区间是 . 10．函数y x =-312()的驻点是 .11．设某产品的需求量q 为价格p 的函数，且pq 5.0e1000-=，则需求对价格的弹性为 .12．过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程是y = ． 13．已知)(x f 的一个原函数为x-e，则)(x f = ．14．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f ． 15．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f x x )d e (e --⎰= . 二、单项选择题1．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）．A ． xB ．x + 1C ．x + 2D ．x + 3 2．下列函数中，（ ）不是基本初等函数．A ． x y )e1(= B ． 2ln x y = C ． xx y cos sin =D ． 35x y =3．下列极限计算正确的是（ ）．A ．e )11(lim 0=+→xx xB ．e )1(lim 1=+∞→x x xC ．11sinlim =∞→x x x D ．1sin lim=∞→xx x4．已知441x y =，则y ''=（ ）． A . 3x B . 23x C . x 6 D . 64．设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 5．若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 6．．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 - x7．设某商品的需求函数为2e10)(p p q -=，则当p =6时，需求弹性为（ ）．A ．--53eB ．－3C ．3D ．-128．=-⎰)d(e x x （）．A ．c x x+-eB ．c x xx++--e eC ．c x x+--e D ．c x xx +---ee9．下列等式成立的是( ) ． A ．xx x 1dd ln = B ．21d d 1xx x-= C ．x x x sin d d cos = D ．xx x1dd 12=10．下列无穷限积分收敛的是（ ）．A ．x xx ed ln ⎰∞+ B ．x xx ed ln ⎰∞+C ．x x x ed )(ln 12⎰∞+ D ．x xx ed ln 1⎰∞+三、计算题 1．xx xx sin 11lim2-+→2．xx x x )13(lim +-∞→3．232lim222+---→x x x x x4．设)11)(1(-+=xx y ， 求d y ．5．设x x y xsin e +=，求y d ．6设121lncos-+=x x y ，求y '．7已知)(x f xx x x+-+=11ln cos 2，求y d8．设1e )cos(=++y y x ，求y d ．9．由方程0e ln 23=-+y x y x 确定y 是x 的隐函数，求y '． 10．x x xxd )2sin ln 1(++⎰11．x x x d 2cos 20⎰π12．x xxd ln 51e 1⎰+13．求微分方程0e32=+'+yy xy 满足初始条件3)1(=-y 的特解．14．求微分方程22x y y +='的通解． 15．求微分方程x xy y =+'的通解.四、应用题1．生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求：(1) 生产x 件该种产品的总成本和平均成本； (2) 售出x 件该种产品的总收入；(3) 若生产的产品都能够售出，则生产x 件该种产品的利润是多少？2．生产某种产品q 台时的边际成本10005.2)(+='q q C （元/台），固定成本500元，若已知边际收入为,20002)(+='q q R 试求（1）获得最大利润时的产量；（2）从最大利润的产量的基础再生产100台，利润有何变化？3.某厂生产某种商品q 千件的边际成本为36)(+='q q C （万元/千件），其固定成本是9800（万元）.求（1）产量为多少时能使平均成本最低？（2）最低平均成本是多少？4.已知某产品的边际成本为q q C 4)(='（万元/百台），边际收入为q q R 1260)(-='（万元/百台）。
经济数学基础试题及答案
经济数学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个是偶函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^2 + x \)D. \( f(x) = \sin(x) \)答案：A2. 微积分中，求定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的值是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{3}\)D. 2答案：C3. 线性代数中，矩阵 \( A \) 与矩阵 \( B \) 相乘，结果矩阵的行列数是什么？A. \( A \) 的行数与 \( B \) 的列数B. \( A \) 的行数与 \( B \) 的行数C. \( A \) 的列数与 \( B \) 的列数D. \( A \) 的列数与 \( B \) 的行数答案：D4. 概率论中，如果事件 \( A \) 和事件 \( B \) 是互斥的，那么\( P(A \cup B) \) 等于什么？A. \( P(A) + P(B) \)B. \( P(A) - P(B) \)C. \( P(A) \times P(B) \)D. \( P(A) / P(B) \)答案：A5. 经济学中，边际效用递减原理指的是什么？A. 随着消费量的增加，每增加一单位商品带来的额外满足感逐渐减少B. 随着消费量的增加，每增加一单位商品带来的额外满足感逐渐增加C. 随着消费量的增加，每增加一单位商品带来的额外满足感保持不变D. 随着消费量的减少，每增加一单位商品带来的额外满足感逐渐增加答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数 \( f(x) = 2x + 3 \) 的反函数是 ________。
答案：\( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \)2. 函数 \( y = x^2 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是 ________。
经济数学基础积分学之第1章不定积分
第一单元 原函数的概念一、学习目标通过本节课的学习，理解原函数的概念．二、内容讲解这节课我们讲原函数的概念，先来看什么是原函数． 已知 求 总成本函数 边际成本 C (x ) C '(x )‖（ ） MC( )' = MC求 已知已知总成本C (x )，求边际成本C '(x )，就是求导数．反之如果已知边际成本，用MC 表示，要求总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC ．我们引进一个概念：定义1.1——原函数若对任何x ∈D ，F '(x )=f (x )，则称F (x )为f (x )的原函数． 我们来看具体的问题：例如(x 3)' =3x 2 [F (x ) f (x )]；∴x 3是3x 2的原函数．大家用自己的方法把它搞清楚，不要和导数的概念搞混了． 先考虑这样一个问题：x 2的原函数是哪个？由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是x 2，即它使得x 2)(='成立，我们在下列函数中进行选择：12,ln ,4,1,222+-+xx x x 经验证知21x +和42-x 是2x 的原函数．通过这个过程应该弄清，求已知函数的原函数，就是看哪个函数的导函数是已知函数，这个函数就是所求的原函数．另外，2x 的原函数不唯一．它告诉我们原函数不止一个． 再从另一方面提出问题：x sin 为哪个函数的原函数？x x cos )(sin ='，说明x sin 是x cos 的原函数．同样x x cos )3(sin ='+，说明3sin +x 是x cos 的原函数．事实上，c x +sin 都是x cos 的原函数，说明原函数有无穷多个．那怎样求出一个函数的所有原函数呢？这是下面要讨论的．若)(,)(x G x F 都是)(x f 的原函数，则c x F x G +=)()( 证：设)()()(x G x F x H -=0)()()()()(=-='-'='x f x f x G x F x H可知c x H -=)(，即c x F x G +=)()(这个结论非常重要，我们已经知道，若)(x F 是)(x f 的原函数，则c x F +)(都是)(x f 的原函数．而这个结论告诉我们任意两个原函数之间差一个常数．所以只要求出一个原函数，就能得到所有原函数．问题思考1：如果一个函数)(x f 有原函数，它可能有多少个原函数？ 答案有无穷多个原函数．问题思考2：)(x F 是)(x f 的原函数，c x F +)(是否包含了)(x f 的所有原函数？ 答案是，因为)(x f 的任一原函数)(x G 都可表示为c x F +)(的形式．三、例题讲解例1求x 1的全体原函数．分析：先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数．求原函数就是看哪个函数的导数是x 1．解：因为x x 1)(ln ='，所以x ln 是x 1的一个原函数．故x1的全体原函数为x ln +c 。
经济数学基础综合练习及参考答案----第一部分微积分
1经济数学基础综合练习及参考答案第一部分 微分学一、单项选择题 1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（1->x 且0≠x）． ．2．若函数)(x f 的定义域是[0，1]，则函数)2(xf 的定义域是(]0,(-∞ )．3．下列各函数对中，（ x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g ）中的两个函数相等．4．设11)(+=xx f ，则))((x f f =（11++xx）．5．下列函数中为奇函数的是（ 11ln+-=x x y）．6．下列函数中，（)1ln(-=x y ）不是基本初等函数．7．下列结论中，（ 奇函数的图形关于坐标原点对 ）是正确的． 8. 当x →0时，下列变量中（xx 21+ ）是无穷大量． 9. 已知1tan )(-=xxx f ，当（ x →0 ）时，)(x f 为无穷小量.10．函数sin ,0(),0xx f x xk x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( 1)．11. 函数⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 在x = 0处（右连续 ）．12．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ 21- ）．13. 曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（y =x ）．14．若函数x x f =)1(，则)(x f '=（-21x ）．15．若xx x f c o s )(=，则='')(x f （ x x x cos s i n 2-- ）．16．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（e x）．17．下列结论正确的有（ x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0 ）．18. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（--pp32 ）．二、填空题1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是[-5，2]2．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是(-5, 2 )3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．4．设函数1)(2-=u u f ，xx u 1)(=，则=))2((u f 43-．5．设21010)(x x x f -+=，则函数的图形关于 y 轴对称．6．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6 ．7．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2 ． 8. =+∞→xx x x sin lim1 .9．已知x x x f sin 1)(-=，当0→x 时，)(x f 为无穷小量．10. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a 2 .11. 函数1()1e xf x =-的间断点是0x =.12．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是)1,(--∞),2(∞+．)1处的切线斜率是(1)0.5y '=14．函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +∞)15．已知x x f 2ln )(=，则[f =0 ．16．函数y x =-312()的驻点是x =1.17．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为E p =2p-．18．已知需求函数为pq 32320-=，其中p 为价格，则需求弹性E p =10-p p.三、计算题（答案在后面）1．423lim222-+-→x x x x 2．231lim21+--→x x x x 3．x → 4．2343limsin(3)x x x x →-+- 52)1tan(lim 21-+-→x x x x 6．))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x 7．已知y xxx cos 2-=，求)(x y ' ． 8．已知)(x f x x x ln sin 2+=，求)(x f ' ． 9．已知x y cos 25=，求)2π(y '；10．已知y =32ln x ，求y d ． 11．设x y x5sin cos e +=，求y d ．12．设xx y -+=2tan 3，求y d ．13．已知2sin 2cos x y x -=，求)(x y ' ．14．已知xx y 53e ln -+=，求)(x y ' ． 15．由方程2e e )1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '．16．由方程0e sin =+yx y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.17．设函数)(x y y =由方程y x y e 1+=确定，求0d d =x xy．18．由方程x y x y =++e )cos(确定y是x 的隐函数，求y d ．四、应用题（答案在后面） 1．设生产某种产品x个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x为多少时，平均成本最小？2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？3．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数p q 42000-=，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？ 4．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？5．某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 6．已知某厂生产q件产品的成本为C q q q ()=++25020102（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？ 三、极限与微分计算题（答案） 1．解423lim222-+-→x x x x =)2)(2()1)(2(lim2+---→x x x x x =)2(1lim2+-→x x x = 412．解：231lim21+--→x x x x =)1)(2)(1(1lim 1+---→x x x x x=21)1)(2(1lim1-=+-→x x x3．解l ix →0x → =xx x x x 2sin lim)11(lim 00→→++=2⨯2 = 44．解 2343lim sin(3)x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →---=333limlim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 25．解)1)(2()1tan(lim2)1tan(lim121-+-=-+-→→x x x x x x x x1)1tan(lim21lim11--⋅+=→→x x x x x 31131=⨯= 6．解))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()213()21(lim 625xx x x xx --++-∞→=2323)2(65-=⨯-7．解：2y '(x )=)cos 2('-xx x =2cos sin 2ln 2x xx x x --- =2cos sin 2ln 2x xx x x ++8．解xx x x f x x 1cos 2s i n 2ln 2)(++⋅=' 9．解 因为5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x x x x y -='='='所以5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos2-=⋅-='y10．解 因为 )(ln )(ln 3231'='-x x y331ln 32)(ln 32xx x x ==- 所以x xx y d ln 32d 3=11．解 因为)(cos cos 5)(sin e4sin '+'='x x x y xx x x xsin cos 5cos e4sin -=所以x x x x y xd )sin cos 5cos e(d 4sin -=12．解 因为)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x xy x2ln 2cos 3322x xx--=所以 x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--=13．解 )(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x2cos 22ln 2sin 2x x x x --=14．解：)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx xx525e ln 3--=15．解 在方程等号两边对x 求导，得 )e ()e (])1ln([2'='+'+xy x y0)(e 1)1ln(='+++++'y x y xyx y xyxy xyy xyy x x e 1]e )1[ln(-+-='++故]e )1)[ln(1(e )1(xyxyx x x y x y y +++++-='16．解 对方程两边同时求导，得0e e cos ='++'y x y y yyyyy x y e)e (cos -='+)(x y '=yyx y e cos e +-.17．解：方程两边对x 求导，得 y x y yy '+='e eyy x y e1e-='当0=x 时，1=y所以，d d =x xye e 01e 11=⨯-=18．解 在方程等号两边对x 求导，得)()e (])[cos('='+'+x y x y1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y)sin (1)]sin(e [y x y y x y++='+-)sin(e )sin(1y x y x y y +-++='故x y x y x y yd )sin(e )sin(1d +-++=四、应用题（答案）1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C5.1861025.010100)10(=+⨯+=， 116105.0)10(=+⨯='C（2）令25.0100)(2=+-='xx ，得20=x （20-=x 舍去）因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.2．解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000．因为 qp =-100010，即p q =-100110， 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -． （2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q ()=1001102qq --(60q +2000)= 40q -1102q -2000 且'L q ()=(40q -1102q -2000')=40-0.2q令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点． 所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．3．解 （1）C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p ) =250000-400pR (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令)(p L '=2400 – 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.（2）最大利润1100025000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L （元）．4．解 （1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）5. 解 因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q++（q >0）'C q ()=(.)05369800q q++'=0598002.-q令'C q ()=0，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2=-140（舍去）.q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为C ()140=05140369800140.⨯++=176 （元/件） 6．解 （1） 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q ++'C q ()=()2502010qq ++'=-+2501102q令'C q ()=0，即-+=2501100q ，得q 1=50，q 2=-50（舍去），q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q 1=50是q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．。
经济数学基础综合练习及参考答案
经济数学基础综合练习及参考答案第一部分 微分学我们的课程考试时间：08年7月12日下午14：00-15：30 方式：闭卷笔试，90分钟题型：单项选择题，填空题，计算题和应用题。
第1章函数一、单项选择题1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（ ）．A ．1->xB ．0≠xC ．0>xD ．1->x 且0≠x2．函数x x x f -+-=4)1ln(1)(的定义域是（ ）。
A ．],1(+∞ B ．)4,(-∞ C ．]4,2()2,1(⋃ D )4,2()2,1(⋃ 答案：C3．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．11)(2--=x x x f ，x x g =)(+ 1C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(=D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g 答案：D4．设xx f 1)(=，则))((x f f =（ ）．A ．x 1B ．21x C ．x D ．2x答案：C5．下列函数中为奇函数的是（ ）．A ．x x y -=2B ．x x y -+=e eC ．)1ln(2x x y ++=D ．x x y sin = 答案：C6．下列函数中为偶函数的是（ ）．A ．x x y --=22B ．x x cosC ．2sin x x +D ．x x sin 3 答案：D练习册：不是基本初等函数的（ ） 二、填空题1．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是 ．答案：(-5, 2 )2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：62-x3．设21010)(xx x f -+=，则函数的图形关于 对称．答案：y 轴第2章，极限、导数与微分一、单项选择题1. 已知1sin )(-=xxx f ，当（ ）时，)(x f 为无穷小量. A . x →0 B . 1→x C . -∞→x D . +∞→x答案：A2．函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( )．A ．-2B ．-1C ．1D ．23. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,10,1sin )(x x k xx x f 在x = 0处连续，则=k （ ）． A . 1 B . 0 C . 2 D .1-答案：A4．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）．A ．21- B ．21 C ．2 D ．2-答案：A5. 曲线1+=x y 在点(1, 2)处的切线方程为（ ）．A .2121+=x yB . 2321+=x yC . 2121-=x yD . 2321-=x y答案：B6．若函数x xf =)1(，则)(x f '=（ ）．A ．21xB ．-21xC ．x 1D ．-x 1二、填空题1．已知xxx f sin 1)(-=，当 时，)(x f 为无穷小量．答案：0→x2．已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a .答案23．函数3212--+=x x x y 的间断点是 ．答案：3,1=-=x x4. 函数233)(2+--=x x x x f 的连续区间是．答案：),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞5．曲线y =)1,1(处的切线斜率是．答案：21．6. 已知x x f 2ln )(=，则])2(['f = ． 答案：0 三、计算题1．已知y x x x 2cos -=，求)(x y ' ．解： x x x y 2sin )2(ln 22321+='2．已知)(x f x x sin 2=，求)(x f '解：)(x f 'xxx x x 21cos 2sin 2ln 2+=．3．已知x xe x y -=2cos ，求)(x y '； 解：)()2(sin 2x x xe e x x y +--='4．已知223sin x e x y -+=，求d y ． 解： )4()(cos sin 3222x e x x y x -+='- d y=dx xe x x x )4)(cos sin 3(222--5．设 y x x x ln 2++=，求d y ． 解：xxx y 12123+-='-dx xxxdy )121(23+-=- 6．设2e 2sin x x y -+=，求y d ． 解：2e 22cos 2x x x y --='x x x y x d )e 22cos 2(d 2--=第3章，导数应用一、单项选择题1．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ ）．A ．sin xB ．e xC ．x 2D ．3 – x答案：D2．下列结论正确的有（ ）．A ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点C ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 答案：A3. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（ ）．A ．p p 32-B ．--pp 32 C ．32-p pD ．--32pp 答案：B 二、填空题1．函数2)1(+=x y 的单调增加区间为 ． 答案：（),1+∞-2. 函数y x =-312()的驻点是 . 答案：1=x3．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -⨯=，则需求弹性为E p =。
综合算式专项练习题积分与定积分的应用题
综合算式专项练习题积分与定积分的应用题解答：综合算式专项练习题积分与定积分的应用题1. 引言在数学中，积分和定积分是常见的概念，它们经常被应用于各种领域，包括物理学、经济学和工程学等。
本文将介绍一些综合算式专项练习题，着重探讨积分和定积分在实际问题中的应用。
2. 综合算式专项练习题2.1. 题目一求解下列函数的不定积分：∫(3x^2 + 2x + 1) dx。
解析：根据积分的性质，我们可以得到：∫(3x^2 + 2x + 1) dx = x^3 + x^2 + x + C，其中 C 为常数。
2.2. 题目二计算以下定积分：∫[0,π] sin(x) dx。
解析：由于 sin(x) 是连续函数，根据定积分的定义，我们可以得到：∫[0,π] sin(x) dx = [-cos(x)] [0,π] = (-cos(π)) - (-cos(0)) = 2，即定积分的值为 2。
2.3. 题目三已知 f(x) = x^2 + 3x，计算函数 f(x) 在区间 [-1,2] 上的定积分。
解析：我们可以通过求解不定积分再应用定积分的性质来计算定积分。
首先，计算 f(x) 的不定积分：∫(x^2 + 3x) dx = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + C。
然后，计算 f(x) 在区间 [-1,2] 上的定积分：∫[-1,2] (x^2 + 3x) dx = [(1/3)x^3 + (3/2)x^2] [-1,2]，代入上限和下限得到：(8/3) + 6 - (1/3) - (3/2) = 15/2。
3. 应用题3.1. 题目四一辆汽车在行驶过程中匀加速，行驶的路程可以由以下公式表示：s(t) = v0t + (1/2)at^2，其中 v0 和 a 分别表示汽车的初速度和加速度。
若一辆汽车的初速度为 10m/s，加速度为 2m/s^2，求在 5 秒内汽车行驶的路程。
根据公式 s(t) = v0t + (1/2)at^2，代入 v0 = 10 和 a = 2，得到：s(t) = 10t + t^2。
经济数学基础综合练习及参考答案(积分部分)Word版
经济数学基础综合练习及参考答案第二部分 积分学一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．A ．y = x 2 + 3B ．y = x 2+ 4 C ．y = 2x + 2 D ．y = 4x 2. 若⎰+1d )2(x k x = 2，则k =（ ）．A ．1B ．-1C ．0D ．21 3．下列等式不成立的是（）．A ．)d(e d e xxx = B ．)d(cos d sin x x x =- C ．x x x d d 21= D ．)1d(d ln x x x =4．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（ ）.A. 2e x-- B. 2e 21x- C. 2e 41x- D. 2e 41x--5. =-⎰)d(e x x （ ）．A ．c x x+-e B ．c x x x ++--e eC ．c x x+--eD ．c x x x +---e e6. 若c x x f xx+-=⎰11e d e)(，则f (x ) =（ ）．A ．x 1 B ．-x 1 C ．21x D ．-21x7. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )．A ．)(d )(x F x x f xa=⎰B ．)()(d )(a F x F x x f xa-=⎰C ．)()(d )(a f b f x x F ba-=⎰D ．)()(d )(a F b F x x f ba-='⎰8．下列定积分中积分值为0的是（ ）．A ．x xx d 2e e 11⎰--- B ．x x x d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ9．下列无穷积分中收敛的是（ ）．A ．⎰∞+1d ln x x B ．⎰∞+0d e x xC ．⎰∞+12d 1x x D ．⎰∞+13d 1x x10．设R '(q )=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R 的改变量是（ ）．A ．-550B ．-350C ．350D ．以上都不对 11．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程． A ．y y yx '=+ln 2B ．xxy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ．x y y x y xln e sin ='-''12．微分方程0)()(432=+'''+'xy y y y 的阶是（ ）.A. 4B. 3C. 2D. 1 二、填空题 1．=⎰-x x d e d 2． 2．函数x x f 2sin )(=的原函数是．3．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f .4．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f xx)d e(e --⎰= .5．=+⎰e12dx )1ln(d dx x .6．=+⎰-1122d )1(x x x． 7．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是．（判别其敛散性）8．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为．9. 0e)(23='+''-y y x是 阶微分方程.10．微分方程2x y ='的通解是．三、计算题⒈⎰x x x d 1sin22．⎰x x xd 23．⎰x x x d sin 4．⎰+x x x d 1)ln ( 5．x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+ 6．x xx d ln e 1⎰7．2e 1x ⎰8．x x x d 2cos 2π0⎰9．x x d )1ln(1e 0⎰-+10．求微分方程12+=+'x x y y 满足初始条件47)1(=y 的特解． 11．求微分方程0e 32=+'+y y xy 满足初始条件3)1(=-y 的特解．12．求微分方程x xyy ln =-'满足 11==x y 的特解.13．求微分方程y y x y ln tan ='的通解．14．求微分方程xxy y x ln =-'的通解.15．求微分方程y x y -='2的通解．16．求微分方程x x y y x sin =+'的通解．四、应用题1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？4．已知某产品的边际成本为34)(-='x x C (万元/百台)，x 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 5．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？试题答案一、单项选择题1. A 2．A 3. D 4. D 5. B 6. C 7. B 8. A 9. C 10. B 11. D 12. C 二、填空题1. x x d e2- 2. -21cos2x + c (c 是任意常数) 3. )1(2+x 4. c F x+--)e ( 5. 0 6. 0 7. 收敛的 8. 2 + q 239. 2 10. c x y +=33 三、计算题⒈ 解 c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin22．解 c x xx x x x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 23．解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin4．解 ⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(21225．解x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+=⎰++3ln 02)e d(1)e 1(x x = 3ln 03)e 1(31x +=356 6．解)(ln d 2ln 2)2(d ln d ln e 1e1e 1e 1x x x x x x x xx ⎰⎰⎰-==e1e 14e 2d 2e 2x x x -=-=⎰e 24d 2e 2e 1-=-=⎰x x7．解x xx d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x+=)13(2-8．解 x x x d 2cos 20⎰π=202sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21- 9．解法一 x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+---=1e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1解法二 令1+=x u ，则u uu u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e 1e 1e 11e 0⎰⎰⎰-==+-=11e e e e1=+-=-u10．解 因为 x x P 1)(=，1)(2+=x x Q 用公式 ]d 1)e([ed 12d 1c x x y xx xx +⎰+⎰=⎰-]d 1)e ([e ln 2ln c x x x x ++=⎰-x cx x c x x x ++=++=24]24[1324 由 4712141)1(3=++=c y ， 得 1=c 所以，特解为 xx x y 1243++=11．解 将方程分离变量：x y y x y d e d e 32-=- 等式两端积分得 c x y +-=--3e 31e 212 将初始条件3)1(=-y 代入，得 c +-=---33e 31e 21，c =3e 61--所以，特解为：33e e 2e32--+=x y12．解：方程两端乘以x1，得xxx y x y ln 2=-' 即x xxy ln )(=' 两边求积分，得 c xx x x x x x y +===⎰⎰2ln )(ln d ln d ln 2 通解为： cx xx y +=2ln 2 由11==x y ，得1=c所以，满足初始条件的特解为：x xx y +=2ln 2 13．解 将原方程分离变量x x yy yd cot ln d = 两端积分得 lnln y = ln C sin x 通解为 y = eC sin x14. 解 将原方程化为：xy x y ln 11=-'，它是一阶线性微分方程， x x P 1)(-=，xx Q ln 1)(=用公式 ()d ()d e[()e d ]P x x P x x y Q x x c -⎰⎰=+⎰]d e ln 1[e d 1d 1c x xx x x x +⎰⎰=⎰- ]d e ln 1[e ln ln c x x x x+=⎰- ]d ln 1[c x xx x +=⎰)ln (ln c x x +=15．解 在微分方程y x y -='2中，x x Q x P 2)(,1)(==由通解公式)d e 2(e )d e 2(e d d c x x c x x y xx x x +=+⎰⎰=⎰⎰--)e 2e 2(e )d e 2e 2(e c x c x x x x x x x x +-=+-=--⎰)e 22(x c x -+-=16．解：因为xx P 1)(=，x x Q sin )(=，由通解公式得)d e sin(e d 1d 1c x x y xx x x +⎰⎰=⎰-=)d e sin (eln ln c x x x x+⎰- =)d sin (1c x x x x+⎰=)sin cos (1c x x x x++-四、应用题1．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x+= 100（万元）又 xc x x C x C x ⎰+'=d )()(=x x x 36402++ =xx 3640++令 0361)(2=-='xx C ， 解得6=x .x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2．解 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x 令)(x L '= 0，得x = 500x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰ =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元.3. 解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.4．解：因为总成本函数为⎰-=x x x C d )34()(=c x x +-322当x = 0时，C (0) = 18，得 c =18 即 C (x )=18322+-x x 又平均成本函数为 xx x x C x A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='x x A ， 解得x = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台) 5．解：(1) 因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 87287)14(d )214(xx x x L -=-=∆⎰ =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元.经济数学基础综合练习及参考答案第二部分 积分学一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．A ．y = x 2 + 3B ．y = x 2+ 4 C ．y = 2x + 2 D ．y = 4x 2. 若⎰+1d )2(x k x = 2，则k =（ ）．A ．1B ．-1C ．0D ．21 3．下列等式不成立的是（）．A ．)d(e d e xxx = B ．)d(cos d sin x x x =- C ．x x x d d 21= D ．)1d(d ln x x x =4．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（ ）.A. 2e x-- B. 2e 21x- C. 2e 41x- D. 2e 41x--5. =-⎰)d(e x x （ ）．A ．c x x+-e B ．c x x x ++--e eC ．c x x+--eD ．c x x x +---e e6. 若c x x f xx+-=⎰11e d e)(，则f (x ) =（ ）．A ．x 1 B ．-x 1 C ．21x D ．-21x7. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )．A ．)(d )(x F x x f xa=⎰B ．)()(d )(a F x F x x f xa-=⎰C ．)()(d )(a f b f x x F ba-=⎰D ．)()(d )(a F b F x x f ba-='⎰8．下列定积分中积分值为0的是（ ）．A ．x xx d 2e e 11⎰--- B ．x x x d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ9．下列无穷积分中收敛的是（ ）．A ．⎰∞+1d ln x x B ．⎰∞+0d e x xC ．⎰∞+12d 1x x D ．⎰∞+13d 1x x10．设R '(q )=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R 的改变量是（ ）．A ．-550B ．-350C ．350D ．以上都不对 11．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程． A ．y y yx '=+ln 2B ．xxy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ．x y y x y xln e sin ='-''12．微分方程0)()(432=+'''+'xy y y y 的阶是（ ）.A. 4B. 3C. 2D. 1 二、填空题 1．=⎰-x x d e d 2． 2．函数x x f 2sin )(=的原函数是．3．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f .4．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f xx)d e(e --⎰= .5．=+⎰e12dx )1ln(d dx x .6．=+⎰-1122d )1(x x x． 7．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是．（判别其敛散性）8．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为．9. 0e)(23='+''-y y x是 阶微分方程.10．微分方程2x y ='的通解是．三、计算题⒈⎰x x x d 1sin22．⎰x x xd 23．⎰x x x d sin 4．⎰+x x x d 1)ln ( 5．x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+ 6．x xx d ln e 1⎰7．2e 1x ⎰8．x x x d 2cos 2π0⎰9．x x d )1ln(1e 0⎰-+10．求微分方程12+=+'x x y y 满足初始条件47)1(=y 的特解． 11．求微分方程0e 32=+'+y y xy 满足初始条件3)1(=-y 的特解．12．求微分方程x xyy ln =-'满足 11==x y 的特解.13．求微分方程y y x y ln tan ='的通解．14．求微分方程xxy y x ln =-'的通解.15．求微分方程y x y -='2的通解．16．求微分方程x x y y x sin =+'的通解．四、应用题1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？4．已知某产品的边际成本为34)(-='x x C (万元/百台)，x 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 5．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？试题答案二、单项选择题1. A 2．A 3. D 4. D 5. B 6. C 7. B 8. A 9. C 10. B 11. D 12. C 二、填空题1. x x d e2- 2. -21cos2x + c (c 是任意常数) 3. )1(2+x 4. c F x+--)e ( 5. 0 6. 0 7. 收敛的 8. 2 + q 239. 2 10. c x y +=33 三、计算题⒈ 解 c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin22．解 c x xx x x x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 23．解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin4．解 ⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(21225．解x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+=⎰++3ln 02)e d(1)e 1(x x = 3ln 03)e 1(31x +=356 6．解)(ln d 2ln 2)2(d ln d ln e 1e1e 1e 1x x x x x x x xx ⎰⎰⎰-==e1e 14e 2d 2e 2x x x -=-=⎰e 24d 2e 2e 1-=-=⎰x x7．解x xx d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x+=)13(2-8．解 x x x d 2cos 20⎰π=202sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21- 9．解法一 x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+---=1e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1解法二 令1+=x u ，则u uu u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e 1e 1e 11e 0⎰⎰⎰-==+-=11e e e e1=+-=-u10．解 因为 x x P 1)(=，1)(2+=x x Q 用公式 ]d 1)e([ed 12d 1c x x y xx xx +⎰+⎰=⎰-]d 1)e ([e ln 2ln c x x x x ++=⎰-x cx x c x x x ++=++=24]24[1324 由 4712141)1(3=++=c y ， 得 1=c 所以，特解为 xx x y 1243++=11．解 将方程分离变量：x y y x y d e d e 32-=- 等式两端积分得 c x y +-=--3e 31e 212 将初始条件3)1(=-y 代入，得 c +-=---33e 31e 21，c =3e 61--所以，特解为：33e e 2e32--+=x y12．解：方程两端乘以x1，得xx x y x y ln 2=-' 即 xx xy ln )(=' 两边求积分，得 c x x x x x x x y +===⎰⎰2ln )(ln d ln d ln 2 通解为： cx x x y +=2ln 2 由11==x y ，得1=c 所以，满足初始条件的特解为：x x x y +=2ln 2 13．解 将原方程分离变量 x x yy y d cot ln d = 两端积分得 lnln y = ln C sin x通解为 y = e C sin x14. 解 将原方程化为：xy x y ln 11=-'，它是一阶线性微分方程， x x P 1)(-=，xx Q ln 1)(= 用公式 ()d ()d e [()e d ]P x x P x x y Q x x c -⎰⎰=+⎰]d e ln 1[e d 1d 1c x xx x x x +⎰⎰=⎰- ]d e ln 1[e ln ln c x x x x +=⎰- ]d ln 1[c x xx x +=⎰ )ln (ln c x x +=15．解 在微分方程y x y -='2中，x x Q x P 2)(,1)(==由通解公式)d e 2(e )d e 2(e d d c x x c x x y x x x x +=+⎰⎰=⎰⎰-- )e 2e 2(e )d e 2e 2(e c x c x x x x x x x x +-=+-=--⎰)e 22(x c x -+-=16．解：因为xx P 1)(=，x x Q sin )(=，由通解公式得 )d e sin (e d 1d 1c x x y x x x x +⎰⎰=⎰-=)d e sin (e ln ln c x x x x+⎰- =)d sin (1c x x x x+⎰ =)sin cos (1c x x x x ++-四、应用题1．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x += 100（万元） 又 xc x x C x C x⎰+'=00d )()(=x x x 36402++ =x x 3640++ 令 0361)(2=-='x x C ， 解得6=x .x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2．解 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x令)(x L '= 0，得x = 500x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为 5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰ =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元.3. 解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x令L '(x )=0, 得 x = 10（百台） 又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.4．解：因为总成本函数为⎰-=x x x C d )34()(=c x x +-322当x = 0时，C (0) = 18，得 c =18即 C (x )=18322+-x x又平均成本函数为 x x x x C x A 1832)()(+-==令 0182)(2=-='x x A ， 解得x = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台) 5．解：(1) 因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰ =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元） 即利润将减少1万元.。
经济数学(定积分习题及答案)
第六章 定积分习题 6－11.利用定积分的定义，计算由抛物线2y x =、直线x = a , x = b 及x 轴所围的图形的面积(0)S a b ≤≤.解 将区间[],a b n 等分，则每个小区间的长均为i b ax n -∆=于是第i 个小区间为 (1),b a b a a i a i n n --⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦,取小区间的右 端点为i ξ，即ib a a i n ξ-=+，则2()()(1,2,,)i b a f a i i n n ξ-=+=因为222211()()()(2)nnn i i i i a b a b a b aS f x a i i n n n ξ==---=∆=++∑∑ 2222111()2n n ni i i b a b a b a a a i i n n n ===⎡⎤---=++⎢⎥⎣⎦∑∑∑222(1)()(1)(21)226n n b a n n n b a b a na a n n n ⎡⎤+-++--=++⎢⎥⎣⎦222()(1)()(1)(21)()6a b a n b a n n b a a n n ⎡⎤-+-++=-++⎢⎥⎣⎦ 而222()(1)()(1)(21)lim ()6lim n n n a b a n b a n S n b a a n n →∞→∞⎡⎤-+-++=-++⎢⎣=⎥⎦()22()()3b a b a a a b a ⎡⎤-=-+-+⎢⎥⎣⎦223311()()()33b a a ab b b a =-++=-所以 2331d ().3b a x x b a =-⎰2.利用定积分的定义，计算下列积分：(1)1d x x⎰ (2)10d x e x ⎰解 (1) 将区间[]0,1n 等分，则每个小区间的长均为1i x n ∆=，于是第i 个小区间为1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 取小区间的右端点i x 为i ξ，即i i n ξ=，则()(1,2,,)i i f i n n ξ== 因为()11221()1112nn i i i nni i n n S f x i i n n n n ξ===+⋅=∆=∑∑∑ = ＝两端取极限，得2(1)1li l 22m m i n n n n n n S →→∞∞+== 所以11d 2x x =⎰.(2) 将区间[]0,1n 等分，则每个小区间的长均为1i x n ∆=，于是第i 个小区间为1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 取小区间的右端点i x 为i ξ，即iin ξ=，则 ()(1,2,,)i n i f e i n ξ==因为111112111(()()())nn i i i n n n n n n i i e e e e n S f x n ξ==⎡⎤===+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦∆∑∑111(1)1nn e e n e -=-两端取极限，得1111(1)(1l )1lim lim111imnnn n n nn ne e e e S e ne e n∞→∞→→∞--===---所以 10d 1x e x e =-⎰.2.利用定积分的几何意义，说明下列等式：(1)4π=⎰ (2)⎰-232cos ππx d x = 0(3)22sin 0xdx ππ-=⎰ (4)⎰-22cos ππxd x =2⎰20cos πxd x解 (1) 因为单位圆221x y +=在第一象限的方程为y =所以根据定积分的几何意义知0x⎰为单位园在第一象限的面积.故4x π=⎰.(2) 因为 当322x ππ-≤≤时，曲线cos y x =在x 轴的上方和下方的曲边梯形的面积相等.所以根据定积分的几何意义知，322cos d 0x x ππ-=⎰.(3) 因为当22x ππ-≤≤时，函数sin y x =在x 轴上方和下方的曲边梯形的面积相等，所以根据定积分的几何意义知，22sin d 0x x ππ-=⎰.(4) 因为 cos y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为偶函数，其图形关于y 轴对称且都在x轴的上方，所以根据定积分的几何意义知，222cos d2cos dx x x x πππ-=⎰⎰.4.将下列极限表示成定积分：(1)2111 lim()14n n n n nn n n →∞++++++(2)1 lim n n →∞解（1）因为211114nn n nn n n++++++222211111121()1()1() 111()ninnn n ninn=⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦=+∑所以21lim)(1114n nn n nn n n→∞++++++1221111lim d11()nnixi n xn→∞===++∑⎰.（2）令1yn=[]1ln ln(1)ln(2)ln(2)lny n n n n n=⋅+++++-[] 1ln(1)ln(2)ln(2)lnn n n n n n=⋅+++++-112ln(1)ln(1)ln(1)nn n n n⎡⎤=⋅++++++⎢⎥⎣⎦111ln(1)nin n==+⋅∑因为lim lnny→∞＝11lim ln(1)nniin n→∞=+⋅∑＝1ln(1)dx x+⎰而yey ln=，所以1lim ln ln(1)dlim ny x xny e e→∞+→∞⎰==.习题6－2 1.确定下列定积分的符号：(1)21ln d x x x⎰ (2)4401cos d 2xx π-⎰(3)10sin cos d cos sin x x x x x x x -+⎰ (4)11||d x x-⎰解 (1) 因为被积函数()ln f x x x =在[1,2]上连续，且()0f x ≥，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知,21ln d 0.x x x >⎰(2) 因为被积函数41cos ()2x f x -=在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，且()0f x ≥，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知, 4401cos d 0.2x x π->⎰(3) 因为被积函数sin cos ()cos sin x x x f x x x x -=+在[]0,1上连续，且()0f x ≤，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知, 10sin cos d 0.cos sin x x xx x x x -<+⎰(4) 因为被积函数()||f x x =在[-1,1]上连续，且()0f x ≥，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知 11||d 0.x x ->⎰2.不计算定积分，比较下列各组定积分值的大小.(1)120d x x⎰与130d x x⎰ (2)320d x x⎰与330d x x ⎰(3)21ln d x x⎰与221ln d x x⎰ (4)43ln d x x⎰与423ln d x x⎰解 (1) 因为在[]0,1上，232(1)0x x x x -=-≥，即 23x x ≥ 所以 11230d d .x x x x ≥⎰⎰(2) 因为在[]1,3上，232(1)0x x x x -=-≤， 即 23x x ≤所以 1123d d x x x x≤⎰⎰.(3) 因为在[]1,2上，20ln 1,ln ln ln (1ln )0x x x x x ≤<-=-≥即 2ln ln x x ≥所以 22211ln d ln d .x x x x ≥⎰⎰(4)因为在[3,4]上，1ln x <，()2ln ln ln 1ln 0x x x x -=-< 即 2ln ln x x <所以 44233ln d ln d .x x x x <⎰⎰3.估计下列积分值： (1)()4211d xx+⎰ (2)()52441sin d x x ππ+⎰(3)arctan d x x(4)202d x xe x -⎰解 (1) 因为被积函数2()1f x x =+在区间[]1,4上单调递增,所以在区间[]1,4上有22117x ≤+≤，14x ≤≤即故由定积分的估值定理，得()42161d 51xx ≤+≤⎰(2) 设被积函数()21sin f x x =+，则由()'sin20f x x ==，得驻点为 12,2x x ππ==.且()3532,1,,24242f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 211sin 2x ≤+≤故由定积分的估值定理，得()52441s i n d 2x x ππππ≤+≤⎰.(3) 设被积函数()arctan f x x x =，x ∈⎣ 因为'2()a r c t a n 01x f x x x =+>+，则()f x在⎣上单调递增，所以当x ∈⎣时，arctan f x x f ≤≤即arctan x x ≤故由定积分的估值定理，得2a r c t a n d.93x x ππ≤≤(4) 因为22022d d x x xxe x e x--=-⎰⎰，设被积函数2()x xf x e-=，[]0,2x ∈令()2'()210x xf x x e-=-=，得驻点为1411,(),(0)1,22x f e f -===且2(2)f e =，所以当[]0,2x ∈时， 2124xxee e --≤≤ 故由定积分的估值定理，得 212242d 2xxee x e --≤≤⎰即2102422d 2.x x e e x e---≤≤-⎰4.证明下列不等式：(1)2x π≤≤(2) 1126x π≤≤⎰证 （1）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦而 20cos 1x ≤≤所以10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 故由定积分的估值定理，得2x π≤≤（2）令()f x =()f x 在[]0,1上连续，且'()f x =令'()0f x =，得驻点23x =，且12(0)(1),()23f f f ===所以1[0,1]2x ∈故由定积分的估值定理，得1126x π≤⎰5.求下列极限：（1）10limd 1n xxn x e xe →∞+⎰（2）120lim d 1nn xxx→∞+⎰解 (1) 设被积函数()1n xx x e f x e =+，则[]()0,1f x 在上连续，由积分中值定理知，在区间（0，1）内，至少存在一点ξ，使得10d (0,1)11n x n x x e e x e e ξξξξ=∈++⎰ 故 10lim lim 01d 1n x n x n n x e e x e e ξξξ→∞→∞==++⎰.(2) 设被积函数1()1,()0,12n x f x f x x ⎡⎤=≤⎢⎥+⎣⎦则在上连续，由积分中值定理知，在区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，至少存在一点ξ，使得1201d (0,)112n n x x x ξξξ=∈++⎰故120d l 1im lim 01n n n nx x x ξξ→∞→∞=++=⎰.6*. 设f (x ), g (x )在[a ,b ]上连续，求证：(1) 若在[a , b ]上，f (x )≥0且()d baf x x⎰=0，则在[a , b ]上, f (x )≡0;(2) (2) 若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ) 且()d ()d bbaaf x xg x x=⎰⎰，则在[a , b ]上，必有 f (x )≡ g (x )解 （1）用反证法.若)(x f 不恒等于为零，则至少存在一点] ,[0b a x ∈，使得)(0x f 0≠.不妨假设)(0x f ＞0，且) ,(0b a x ∈，则由)(x f 在]b , [a 的连续性知，0lim ()()0x x f x f x →=>，根据定理 2.3得推论2知，在点0x 的某个邻域内，就必有0)(21)(0>>x f x f .于是由性质4，得0000()d ()d ()d ()d bx x baax x f x x f x x f x x f x xδδδδ-+-+=++⎰⎰⎰⎰0000001()d ()d ()02x x x x f x x f x x f x δδδδδ++--≥>⋅=⋅>⎰⎰由此与已知⎰=bax x f 0d )(矛盾，反证法之假设不成立，即()0f x ≡.（2）令)()()(x f x g x F -=，则在]b , [a 上就必有0)(≥x F ，且d )(=⎰x x F ba.由（1）的结论可知，在]b , [a 上就必有0)(≡x F ，即)()(x g x f ≡.7*. 设f (x )在区间[a , b ]上连续，g(x)在区间[a , b ]上连续且不变号，求证至少存在一点ξ∈(a , b)，使得⎰⎰=ba b a x x g f x x g x f d )()(d )()(ξ.证 因为)(x f 在]b , [a 上连续，必有最大值M 和最小值m ，所以 ] , [b a x ∈∀，有()m f x M ≤≤.设0)(>x g ，则有 )()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤由定积分的性质5，得⎰⎰⎰≤≤bababaxx g M x x g x f x x g m d )(d )()(d )(于是，有Mxx g xx g x f m baba≤≤⎰⎰d )(d )()(又由介值定理知，在( , )a b 内，必存在一点ξ，使得()()d ()()d baba f x g x xf g x xξ=⎰⎰故⎰⎰=b abaxx g f x x g x f d )()(d )()(ξ (,)a b ξ∈.习题 6－31. 1. 已知函数sin d xy t t=⎰，求当x = 0及4x π=时, 此函数的导数.解 因为'sin d )'si (n xy x x x==⎰所以 00'|sin |sin 00x x y x =====44'|sin |sin4x x y x πππ====2. 2. 求由00d cos d 0y xt e t t t +=⎰⎰决定的隐函数y （x ）对x 的导数. 解 将方程两边对x 求导并注意到y 为x 得函数，得'cos 0y e y x ⋅+=解出'y ，得 'c o s yy e x -=-.3. 3. 当x 为何值时，2()d x t I x te t-=⎰有极值？此极值是极大值还是极小值？解 由2'()0xI x xe -==，得驻点0x =，而当0x <时，'()0I x <，当0x >时，'()0I x >所以，当0x =时，()I x 有极值，此极值是极小值(0)0I =.4. 4. 计算下列导数：(1)20d d x t x ⎰(2)32d d x x t x ⎰202d (3)cos d d x t t t x ⎰解(1) 22'0d ()2d xt x x ==⎰323'2'd (2))()d x x t x x x =-⎰2=20224234d (3)cos d cos ()'2cos .d x t t t x x x x x x =-⋅=-⎰5. 5. 计算下列定积分：(1) 2214()d x t x x ++⎰(2) 220()d x a x +(3) 1⎰ (4) 42021331d 1x x xx -+++⎰(5)52032d x x x-+⎰ (6)101d x x -⎰| (7)(1)d xt t t-⎰ (8)d ()bax x a b <⎰(9) 21(1)()1(1)2x x f x xx ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩, 求20()d f x x ⎰.解 (1)23221147()d (4ln )4ln 233x x t x x tx tx ++=++=++⎰.00222d()d 11(2)1 1 (().033)x x a a x x a aa aa ππ===-=++(3) 1110012d()11arcsin 222x xπ===⎰⎰.420222113013311(4)d (3)d 11(arctan )| 1.4x x x x xx x x x π---++=+++=+=+⎰⎰(5) 因为被积函数22232,01,2532(32),12x x x x x x x x x ⎧-+≤≤≤≤⎪-+=⎨--+<<⎪⎩或所以122201520(32)32d (32d d )x x x x x x xx x =-+--++-⎰⎰⎰5221(32)d 14.2x x x +-+=⎰ (6) 因为在本题中，变量为x 且01x ≤≤，t 为参数，但是可以取任意 实数，即本题结果应为t 的函数. 所以设1()d I t x t x=-⎰，则当0t ≤时，得111()d ()d 2I t x t x x t x t =-=-=-⎰⎰当01t <<时, 得11201()d ()d ()d 2ttI t x t x t x x x t x t t =-=-+-=-+⎰⎰⎰当1t ≥时, 得111()d ()d 2I t x t x t x x t =-=-=-⎰⎰故 21, 021(), 0121, 12t t I t t t t t t ⎧-≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩.(7) 因为被积函数(1), 0(1)(1),01(1), 1t t t t t t t t t t t -≤⎧⎪-=--<≤⎨⎪-≥⎩，且x 为参数可取一切实数，所以应分下列情况讨论：当0x ≤时，有320()(1)d 32xx x I x t t t =-=-⎰当01x <<时，有320()(1)d 32xx x I x t t t =-=-+⎰ 当1x ≥时，有320111()(1)d (1)d 323xx x I x t t t t t t =-+-=-+⎰⎰故 323232,032(),01321,1323x x x x x I x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩.(8) 令被积函数0x =,得0x =，按数0在区间[],a b 的不同位置状况，可分为下列几种情况：① 当0a b <<时，得221d d ()2b b a a I x x x x b a ==-=--⎰⎰② 当0a b <<时，得02201d d ()2b a I x x x x b a =-+=+⎰⎰ ③ 当0a b <<时，得221d ()2b a I x x b a ==-⎰故综上所述，有2222221(), 021(), 21(), 002bab a a b b a b a I x dx a bb a --<<+⎧⎪⎪⎪==<<⎨⎪-<<⎪⎪⎩⎰.(9) 因为21(1)()1(1)2x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩所以 212120101208()d ()d (1)d ()d 23d f x x f x x f x x x x x x +=++==⎰⎰⎰⎰⎰.6. 6. 求下列极限：(1)001lim (1sin 2)d xx t tx →+⎰(2) 2001lim arctan d x x t t x →⎰(3)22limcos d x x x t t → (4)* 2220lim d xx t x e t e t x-→∞⎰解 (1) 0001lim(1sin lim(1sin 2) 1.2)d xx x t x t x →→+==+⎰(2)202000arctan 1lim arc 21lim lim 222(1tan )d x x x x x x x t t x →→→==+=⎰.(3)2222400cos dlim4cos0d.xx xxxtxtxt t→→→===222222222222dlim lim(12)1(4)lim dlim.2(12)x txx xx xtx x xxt e t x exe e xxxet e tx-*→→∞→∞→∞∞=+==+=⎰⎰7*. 设23,[0,1)(),[1,2]x xf xx x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，求()()dxx f t tΦ=⎰在[0，2]的表达式，并讨论Φ(x)在[0, 2]上的连续性与可导性.解因为当10<≤x时，⎰==Φxxttx323d)(当21≤≤x时，4123011()d d124x xx t t t tΦ=+=+⎰⎰所以)(xΦ的表达式为34, 013()1, 12412xxxxx⎧≤<⎪⎪Φ=⎨⎪+≤≤⎪⎩又因为)(xf在区间)1,0[与]2,1(上为初等函数，显然为连续函数.2311111lim()lim1,lim()lim1lim()1x x x xxf x x f x xf x--++→→→→→=====而即由1lim()(1)1xf x f→==知，)(xf在1=x处连续. 所以)(xf在区间]2,0[上连续. 故由定理6.5知，函数)(xΦ在区间]2,0[上可导.8*.设f(x)在[a, b]上可积，求证：当x∈(a, b)时，Φ(x)=0()dxf t t⎰在[a, b]上连续(提示: 注意可积函数的有界性).证因为设对任意的x, x x+∆∈(a, b)时,有()()()()d()d()dx x x x xa a xx x x x f t t f t t f t t+∆+∆Φ=Φ+∆-Φ=-=⎰⎰⎰又由f(x)在[a, b]上可积知,存在常数M>0, 使得()f x M≤所以()()d dx x x xx xx f t t M t M x+∆+∆∆Φ=≤≤∆⎰⎰而00lim0,lim()0x xx x∆→∆→∆=∆Φ=则故()xΦ在[a, b] 上任意一点x处连续, 即()xΦ在[a, b]上连续.习题6－41. 计算下列定积分：(1)30(1sin )d x xπ-⎰(2) 1x(3)x(4)2120d t tet-⎰(5)21ex⎰ (6)22cos cos 2d x x x ππ-⎰(7)22xππ-⎰(8)xπ⎰解 (1) 330(1sin )d d sin d x x x x xπππ-=-⎰⎰⎰20d (1cos )d cos x x xππ=+-⎰⎰3014(cos cos )33x x x ππ=+-=-12242222224422244cos (2)sin d sin sin cos 1sin d d sin sin 1 d d 1.4sin t x x t txtt t t tt tt t tπππππππππππ=-===-=-⎰⎰⎰⎰⎰令202201(3)21 13).()2x x a a x =-==--(4)222120112122200d()1.2d t t t te e t e et ------=-=-=⎰⎰2221211121(5)(1ln )d(1ln )2(1ln)1).e e e x x x x -=++=+=⎰⎰22202222032200(6)cos cos 2d 2(12sin )d sin 2d sin 4sin d sin 42 2sinsin .33x x x x xx x xx x πππππππ-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰22(7)2x xππ-=⎰11222203222sin(cos )d 2(cos )d cos 24 2(cos ).33x x xx x x πππ==-=-⋅=⎰⎰2202(8)d d d x x xx x x xxx πππππππ==-=-=⎰⎰⎰2. 2. 利用函数的奇偶性计算下列定积分：(1)sin d x x ππ-⎰ (2)422sin d x xππ-⎰(3)12x⎰(4)323423tan d 21x xx x x -++⎰解 （1）因为sin x 在[],ππ-上为奇函数，所以sin d 0x x ππ-=⎰.（2）因为4sin x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是偶函数，所以 22202422222000122111 sin 21cos 2sin d ()d (12cos 2cos 2)d 21cos 4d 2113 sin 4.4422826212x x x x x x x xx x x πππππππππππ---++===⋅-=⋅++⋅+⋅=⎰⎰⎰⎰（3）因为221)(arcsin x x -在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是偶函数，所以1122202x x=⎰⎰11323220022(arcsin )d(arcsin )(arcsin )|.3324x x x π===⎰（4）因为3242tan 21x x x x ++在[]3,3-上是奇函数，所以323423tan d 021x xx x x -=++⎰.3. 证明下列各题：(1) 1122111d d 11x x t tt t =++⎰⎰(2)11(1)d (1)d mn n m x x x x x x-=-⎰⎰(3) 20sin d 2sin d nn x x x x ππ=⎰⎰证 (1) 令211,d d t t y y y ==-，则11112222111d d 1d d 1111xxxx y y t t ty yt =-===++++⎰⎰⎰⎰左端 = 右端.10111(1)d 1(1)d (1)d (1)d m n m n n m n m x x x x u u u uu u u x x x =-=---=-=-=⎰⎰⎰⎰(2)左端令右端.2022202(3)sin d sin ()d()222cos d 2cos d n n nn x x x u u u u u u uπππππππππ--==+++==⎰⎰⎰⎰左端令2022sin d 2sin d 2nn u y y y x x πππ===--⎰⎰令右端.4.* 设()f x 在[0,1]上连续且单调减少，求证：对任给()0,1α∈，均有1()d ()d f x x f x xαα>⎰⎰证 由于1()d ()d f x x x t f t tαααα=⎰⎰令, 则当01,0t α<<<<时，01,0t t t αα<<<<<且又由已知()f x 在[0,1]上单调减少，所以()()f x f x α≥于是11()d ()d ()d f x t f t t f t tαααα=>⎰⎰⎰即 10()()f x dx f x dxαα>⎰⎰.5. 5. 计算下列积分：(1)1d x xe x -⎰ (2)1ln d ex x x⎰(3)41x⎰ (4)1arctan d x x x⎰ (5) 220cos d x e x x π⎰ (6)2(sin )d x x xπ⎰ (7)1ln d e ex x⎰(8)1(1)3d xx x-⎰(9)21cos ln d e x x xπ⎰解 (1)1111100002d d 1.x x x x xe x xe e x e e e -----=-+=--=-⎰⎰(2)22221111111ln d (1).2224l 4n d eee ex e x x x x x x e x -==-=+⎰⎰(3)44112ln x x =⎰⎰411422112ln 2d 8ln 244(2ln 21)x x x x-=-=-=-⎰.221011020101arctan |d 221111 ( 4)arcta (arctan ).24d 22n 4x x x x x x xx x x ππ-+=⋅--=-=⎰⎰222222022220220sin 2sin d 2cos 4cos d 24(5)c c s o o s d d xxx xx x exe x xe exe x xe e x x xex ππππππππ-=-=+=--⎰⎰⎰⎰移项解得 22c o sd 1(2)5.xe x x e ππ=-⎰22003203230301 si 1(6)(sin n 2642)d (1cos 2)d 21 cos 2d 62si 1 co n s 2.644642d cos 2d x x x x x xx x x x x x x x x x x x xππππππππππππ=-+=-+=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰ (7) 令 ln 0x =，则1x =1111111111ln d ln d ln d 1 ln d ln |d 2(1).eeeee eeex x x x x xx x x x x x e =-+=-++-=-⎰⎰⎰⎰⎰111101221(8)(1)3d (1)3ln 3(1)1 33ln 3ln 311ln 32 3.ln 3(ln 3)ln 3x x xxxx x x d x dx -=--=--=-=⎰⎰⎰222211121(cos(ln)|sin(ln )d9)cos ln 1cos(ln d d )e e e e x x x x x xe x xπππππ+=--=⎰⎰⎰移项解得 212co 1(1s ln d ).2e x x e x ππ=-⎰6. 已知20cos d (2)x x x π+⎰= m , 求20sin cos d 1x x x x π+⎰.解2200sin cos sin 2d d 2122x x x x x t x x x ππ==++⎰⎰01sin d 22t t t π+⎰ 02011d(cos )221cos 1cos 111d ().0222222(2)t t t t t m t t ππππ=-+=-⋅+=+-+++⎰⎰ 7. 设2(2),()d .xyba bf x a xe f t t ++=⎰求解 设2t x a =+，则222222()d 2(2) d 2d 2d (2).y a y a x b b x y a y a yb a b bbx y a b bf t t f x a x x e xxbe b e x b y a b e b ----+-=+=⋅⎡⎤=⋅-=--⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰8. 设1(2)2f =，'(2)0f =，20()d 1f x x =⎰，求12''0(2)d x f x x⎰. 解 201''2011(2 d )d (2)2x f x x f x x '=⎰⎰习题 6－51. 利用定义判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，试计算其值.(1)411d x x +∞⎰ (2)2d 22xx x +∞-∞++⎰(3)0d axe x +∞⎰(4)0(1)d a x x+∞+⎰(5)21x⎰(6)1e⎰(7)220d (1)x x -⎰(8)2()d (0)aax a xa α->⎰解 （1）344111111d limd lim ()3ttt t x x x xx +∞-→+∞→+∞==-⎰⎰3111lim ().333t t -→+∞=-+=（2）02220d d d 222222x x xx x x x x x +∞+∞-∞-∞=+++++++⎰⎰⎰02200220d d lim lim 2222d(1)d(1)lim lim .1(1)1(1)t t t t t t t t x x x x x x x x x x π→-∞→+∞→-∞→+∞=+++++++=+=++++⎰⎰⎰⎰（3）当a < 0时， 01lim d t ax t e x a →+∞=-⎰,所以广义积分收敛于1a -； 当a ≥0时，0limd t axt e x→+∞=+∞⎰,所以广义积分发散.（4）当a < -1时，01lim (1)d 1a t x x a +∞→+∞+=-+⎰， 所以广义积分收敛于11a -+；当a ≥-1时，0lim (1)d a t x x +∞→+∞+=∞⎰, 所以广义积分发散.（5）因为21210lim lim 1)d t tεεε+++→→+⎰30182lim (33t t ε+→=+=所以广义积分收敛且收敛于83.（6）因为 x = e 为瑕点，且存在ε>0,有0011lim lim e e εεεε++--→→=⎰⎰01lim arcsin(ln )lim[arcsin ln()arcsin(ln1)]e x e εεεε++-→→==--arcsin12π==.所以原瑕积分收敛，且1.2eπ=⎰（7）因为212222001d d d (1)(1)(1)x x xx x x =+---⎰⎰⎰且112(1)1lim lim 1x dxxεεεε++---→→==+∞-⎰即120d (1)x x -⎰发散, 所以原瑕积分发散.(8) 因为212()()d 1aaaax a x a x ααα+--=+⎰,且当 α= -1时，2()d aax a xα-⎰原式发散；当α< -1时，221()d 1(1)()aaaax a x x αααα-==∞--+-⎰发散；当 α> -1时，原式=12()d (1)aaa x a x ααα+-=+⎰收敛.所以当α≤-1时，原式发散；当α> -1时，原式收敛于1(1)a αα++.2. 2. 当k 为何值时，广义积分2d (ln )k xx x +∞⎰收敛？k 为何值时，该广义积分发散？k 为何值时，该广义积分取得最小值？解 因为1222(ln )d (ln )d(ln )lim1(ln )bk kkb x x x x kx x -+∞+∞-→∞==-⎰⎰而 当1=k 时，广义积分发散；当1<k 时，112d 1lim[ln ln 2]1(ln )k kk b x b k x x +∞--→∞=-=∞-⎰，广义积分发散；当1>k 时，1122d 11lim(ln )(1)(ln )(1)(ln 2)bkk k b x x x k x k +∞--→∞-==--⎰所以当1≤k 时，积分发散；当1>k 时，广义积分收敛于11(1)(ln 2)k k --.又设1(ln 2)()1k F k k -=-，则12(ln 2)[ln(ln 2)ln(ln 2)1]()(1)k k F k k --+'=-由0)(='k F ，得驻点011ln(ln 2)k =-，且当0k k <时0)(<'k F ，当0k k >时0)(>'k F ，故当11ln(ln 2)k =-时，该广义积分取得最小值. 3. 已知0sin d 2x x x π+∞=⎰，求证： （1）0sincos d 4x x x x π+∞=⎰ （2）220sin d 2x x x π+∞=⎰ 证（1）00sin cos 1sin 21d d(2).22224x x x x x x x ππ+∞+∞==⋅=⎰⎰ 222002000sin 1(2)d sin d()sin 2sin cos d 0sin 2sin d 2d .2xx x x x x x x xx xx t x t x t x t π+∞+∞+∞+∞+∞=-+∞=-+===⎰⎰⎰⎰⎰4*.求函数2()(2)dx tf x t e t-=-⎰的最大和最小值.解因f(x)为偶函数，则只需求f(x)在[0，+∞）内的最值.令222'()2(2)0xf x x x e-=-=，则得驻点为x=且当0x<'()f x> 0,当x>, '()f x< 0，故x=f(x)在[0，+∞]的极大值点，也是最大值点，且222200max()(2)d(2)d1t t tf x f t e t t e e t e----==-=--=+⎰⎰－而000()lim()(2)d(2)d1t t txf f x t e t t e e t+∞+∞+∞---→+∞+∞==-=---=⎰⎰(0)0f=所以min()(0)0.f x f==5. 用欧拉函数表示下列积分,并指出它们的收敛范围:（1）0d(0)nxe x n+∞->⎰(2)101(ln)d p xx⎰(3)()d0nm xx e x n+∞-≠⎰(4)1d(1)mnxxx-+∞+⎰解（1）11100111d d() (0)nx un ne x x u e u x nn n n-+∞+∞--==Γ>⎰⎰（2）10(1)10011(ln)d ln d dp p u u px u u e u e u ux x+∞--+-+∞=-=⎰⎰⎰(1) (1)p p=Γ+>-.(3)11001111d d()(0)nmm x n u nm mx e x u x e u un n n n+-+∞+∞--++==Γ>⎰⎰.（4）111()100d, (1)d11(1)mm n mnx x ux u x u u ux ux-+∞---==-+-+⎰⎰(,) (0)m n m n mβ=->>6. 利用欧拉积分计算下列积分：（1）0x⎰（2）642sin cos dx x xπ⎰解（1）331112233(1)d(,)22x x x xβ--=-=⎰⎰311311112(,)(,)22242228πββ-==⋅=.（2）令112221sin,d(1)d2u x x u u u--==-7511164222001sin cos d(1)d2x x x u u uπ--=-⎰⎰1751155133(,)(,).2222222888512ππββ=⋅=⋅=⋅⋅=7*.判别下列广义积分的敛散性：（1）21ln sin d xx x x +∞⎰(2）11d x x +∞⎰（3）0x ⎰ （4）201(1cos )d x x x π-⎰解 （1）因为 [)1,,x ∀∈+∞有ln sin ()0x x f x x x =⋅≥而32lim ()limsin 0x x x f x x →+∞==故广义积分21ln sin d xx x x +∞⎰收敛.（2）因为 [)1,,x ∀∈+∞有1arctan 1()0f x x==≥而121sin lim()lim201x x x x f x x→+∞=⋅=>故广义积分11d xx +∞⎰发散.（3）因为 x = 0为瑕点，且(]0,1,x ∀∈恒有()01f x e=≥-且连续.而12sin 0lim ()lim lim 1sin 1x x x x x xx f x x e +++→→→⋅===-故广义积分1sin 0d 1x x e -⎰收敛.（4）因为x = 0为瑕点，且0,2x π⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦，恒有1cos ()0nx f x x -=≥ 而 2000, 21lim ()lim 0, 2 2p n p x x n p x f x n p x ++--→→>-≥⎧=⎨=-<⎩ 所以当1p ≥时,得 12n -≥,即3n ≥时，该积分发散;当0< p < 1时，得n - 1 < 2，即n < 3时，广义积分201(1cos )d x x x π-⎰收敛.综合习题六1.填空: (1) 若1120()d ()d ,a xf x x f x x =⎰⎰则a = .(2)12(2)d ()d ,b xf x x xf x x =⎰⎰若则b = .(3 ) 若2(23)d 0, .kx xx k -==⎰ 则(4 ) 若(1)d ,xy t t =-⎰则y 的极小值为 .解（1）2 ； （2） 4； （3）1 、0； （4）12-.2. 单项选择：（1）下面积分错误的是（ ）.①22sin d 0x x ππ-=⎰②122x x π-==⎰⎰③1211d 121xx x -=-=--⎰④22(6x x π--=-⎰(2)下列广义积分中，（ ）不收敛. ①11lnd 1x x -⎰②12()d 112e x x x +∞+-+⎰③42x⎰④e+∞⎰（3）若1(1ln )d e I x x=-⎰，则下列不等式（ ）是正确的.①10I e <<②1I e -<<③01I e ≤≤- ④1I e <<（4）若011()d ()22xf t t f x =-⎰且f （0）=1，则f （x ）=（ ）. ①2xe ②12x e ③2x e ④212x e解（1）③; （2）④; （3）③; （4）③.3.计算下列极限：（1）1lim n n i n →∞= （2）112limp p p p n n n +→∞+++（3）lim ()d x ax a x f t t x a →-⎰（其中()f t 为连续函数）(4）2(arctan )d limxx t t 解 （1）11lim n n i x n →∞==⎰=1)x +⎰()32122(1)133x =+=|10（2）11121limlim pp p pn p n n i n i n n n +→∞→∞=+++⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 1011d 1p x p x ==+⎰（3）因为f （x ）为连续函数,(()d )'()xaf t t f x =⎰且由积分中值定理有()()d ()xaf t t f x a ξ=-⎰且a x ξ<<所以 ()()l i m ()d l i m x a x a x a x x f x a f t t x a x a ξ→→⋅⋅-=--⎰lim ()().x axf af a ξ→==(4)2(arctan )d limxx t t2(arctan )d limxx t t x ⋅=2220(arctan )d limlim (arctan )4xx x t tx xπ→+∞→+∞===⎰4.计算下列积分：（1）20sin d 1cos x xxx π++⎰ (2)40ln(1tan )d x xπ+⎰(3)20(sin )d x x xπ⎰(4)2201d 1cos xx π+⎰解（1）因为222000sin sin d d d 1cos 1cos 1cos x x x x x x x xx x πππ+=++++⎰⎰⎰而 222200d 1sec d d(tan )1cos 222x x x x x x x x πππ==+⎰⎰⎰ =2200tan tan d ln 2222x x x x πππ⋅-=-⎰2200sin 1d d(1cos )1cos 1cos x x x x x ππ=-+++⎰⎰20ln(1cos )ln 2x π=-+=所以20sin d (ln 2)ln 21cos 22x x x x πππ+=-+=+⎰.（2）因为4ln(1tan )d 4x x x tππ+=-⎰令041tan ln[1] d(-)1tan tt t π-++⎰440[ln 2ln(1tan )] d ln 2ln(1tan )d 4t t x xπππ=-+=-+⎰⎰所以41ln(1tan )d ln 2ln 2248x x πππ+=⋅=⎰.（3）因为222001(sin )d d cos 2 d 22x x x x x x x x πππ=-⋅⎰⎰⎰而 230 d 26x x ππ=⎰220020011cos 2 d d(sin2)2411 sin 2sin 2 d d(cos 2) 424x x x x x x x x x x x x πππππ==-=⎰⎰⎰⎰0cos 2sin 2484x x x πππ⋅=-=所以 32(sin )d 64x x x πππ=-⎰.（4）令 tan x = t, 则x = arctan t,2d d 1t x t =+ 且221cos 1x t =+22200021d 1d 1cos 21t x xt π+∞+∞=+++⎰⎰⎰lim b →+∞=. 5. 计算下列广义积分.（1）221ln d (1)x xxx +∞+⎰(2)3022arctan d (1)x xx +∞+⎰(3) ⎰2d sin ln πxx(4)1x⎰解 (1)22211ln 11d ln d()2(1)1x x x x x x +∞+∞=-++⎰⎰22111ln 111lim ()lim d 2211bb b b x x x x x →+∞→+∞=-+⋅++⎰2111lim ()d 21b b xx x x →+∞=-+⎰20111lim ln ln(1)ln 2224bb x x →+∞⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦.(2) 2arctan , tan , d d sec x t x t x t t ===令则 且2223/223/200arctan d sec d (1)(1tan )x t x t t x t π+∞==++⎰⎰2cos d t t tπ⎰222000d(sin )sin sin 1.2t t t ttdt ππππ==-=-⎰⎰(3) 因为1211/2ln sin lim ()lim lim (2)cos 0sin x x x x xx f x x x xx+++-→→→==-=。
经济数学基础形成性考核册及参考答案[2]2
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经济数学基础形成性考核册及参考答案作业（一）（一）填空题 1. .答案: 02.设 , 在 处连续, 则 .答案：13.曲线 在 的切线方程是 .答案:4.设函数 , 则 .答案:5.设 , 则 .答案： （二）单项选择题1.函数 的连续区间是....）答案: D A. B. C. D. 或2.下列极限计算正确的是... ）答案：B A.1lim=→xx x B.1lim 0=+→xx xC.11sinlim 0=→x x x D.1sin lim =∞→xx x3.设 , 则 （. ）. 答案: ........A. B. C. D.4.若函数.(x)在点x0处可导，则.. )是错误的. 答案: .. A ．函数f (x)在点x0处有定义 B ． , 但C. 函数f (x)在点x0处连续D. 函数f (x)在点x0处可微 5.当 时，下列变量是无穷小量的是...）.答案: C A. B. C. D. (三)解答题 1. 计算极限（1）=-+-→123lim 221x x x x )1)(1()1)(2(lim 1+---→x x x x x = )1(2lim 1+-→x x x = 21- （2）8665lim 222+-+-→x x x x x =)4)(2()3)(2(lim 2----→x x x x x = )4(3lim 2--→x x x = 21（3）x x x 11lim 0--→=)11()11)(11(lim 0+-+---→x x x x x=)11(lim+--→x x x x =21)11(1lim 0-=+--→x x（4）=+++-∞→42353lim22x x x x x 31423531lim 22=+++-∞→xx x x x（5）=→x x x 5sin 3sin lim0535sin 33sin 5lim 0x x x x x →=53（6）=--→)2sin(4lim 22x x x 4)2sin()2)(2(lim 2=-+-→x x x x2. 设函数 ,问: （1）当 为何值时, 在 处有极限存在？ （2）当 为何值时, 在 处连续.答案: （1）当 , 任意时, 在 处有极限存在； （2）当 时, 在 处连续。
经济数学综合练习题答案
经济数学综合练习题答案一、单项选择题1. 已知函数f(x)=2x^2-3x+1，求该函数的极值点。
A. x=1/2B. x=3/2C. x=-1D. x=22. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/23. 判断以下级数的收敛性：1/2 + 1/4 + 1/8 + ...A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛二、填空题1. 函数y=x^3-3x^2+2x的导数为______。
2. 微分方程dy/dx=2x的通解为y=______+C。
3. 矩阵A=[1,2;3,4]的行列式值为______。
三、解答题1. 证明函数f(x)=x^3在区间(-∞,+∞)上是增函数。
2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)。
3. 解线性方程组：\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}四、计算题1. 计算二重积分∬(D) (x^2+y^2) dA，其中D是由x^2+y^2≤1定义的区域。
2. 求幂级数1+x+x^2+...+x^n的和，其中n为正整数。
3. 计算矩阵B=[1,0;0,-1]的逆矩阵。
五、证明题1. 证明柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(∑(a_i*b_i))^2 ≤ (∑(a_i^2))*(∑(b_i^2))。
2. 证明函数f(x)=e^x在实数域R上是严格单调递增的。
以上为经济数学综合练习题的答案部分，供参考与练习使用。
《经济数学基础》大作业
《经济数学基础》大作业（1）一、单项选择题：(每小题2分，共10分)1.下列函数中（ ）是奇函数。
A )1sin(x y -=B 21cos x x y +=C 2x 1e y x e x--=- D )1ln(x y +=2. 设=-⎩⎨⎧≥<=)]1([,0)(2f f x ex x x f x则（ ）。
e D e C B A .;.;1.;1.1--3.当0→x 时，下列变量中（ ）是无穷小量。
A. x x 1sin; B. x xsin 1 ; C. xe ; D. x e - 。
4.下列极限计算正确的是（ ）A e )11(lim 0=+→x x xB e )1(lim 1=+∞→x x x C 0sin lim0=→x x x D 0sin lim =∞→xxx 5. 若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00)21()(1x kx x x f x 在点0=x 处连续，则=k （）．A ．eB ．1e - C ．2e - D ．2e二、填空题：(每小题3分，共18分) 1．函数)1ln(4x xy +-=的定义域是。
2. 若f (x) 的定义域是 [-1, 1] , 则f (x+2) 的定义域是____ ______________。
3、由函数的奇偶性，xe e xf xx --=)(是________ ______。
4、已知函数x x x f +=+2)1(，则)(x f =________ ______。
5、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001)(x x x x x x f ，则有结论)(lim 0x f x → 。
6、某商品的需求函数是p q 4100-=，则该商品的收入函数)(q R =__________________。
二、计算题：（每小题6分，共72分）1、18723lim 222-++-→x x x x x2、113lim 21-+--→x xx x3、352015)32()13()2(lim ++-∞→x x x x 4、x x x x 20sin 1sin 1lim -+→5、⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+→x x xxx 1sin 3sin lim 0 6. 2)1tan(lim 21-+-→x x x x7、x x x x 2sin lim -∞→ 8. xx x)21(lim +∞→9、xx x 10)21(lim -→ 10、xx x x )11(lim +-∞→11.求函数219)(2++-=x x x f 的连续区间。
经济数学基础作业答案之欧阳美创编
宁波电大07秋《经济数学基础(综合)》作业1 参考答案第一篇第二篇微分学一、单项选择题1. 下列等式中成立的是(Ｄ)．A ．e x x x =+∞→2)11(lim B ．e x x x =+∞→)21(limC ．e x x x =+∞→)211(lim D ．e xx x =++∞→2)11(lim2. 下列各函数对中,( B )中的两个函数相等．A ．2)(,)(x x g x x f ==B ．x x g x x f ln 5)(,ln )(5==C ．x x g x x f ln )(,)(==D ．2)(,24)(2-=+-=x x g x x x f3.下列各式中，（Ｄ）的极限值为１ ．A ．x x x 1sin lim 0→ B ．x x x sin lim∞→ C ．x x x sin lim 2π→D ．x x x 1sin lim ∞→4.函数的定义域是5arcsin 9x 1y 2x+-=（B ）．A ．[]5,5-B ．[)(]5,33,5U --C ．()()+∞-∞-,33,UD ．[]5,3- 5.()==⎪⎩⎪⎨⎧=≠=a ,0x 0xa 0 x 3x tan )(则处连续在点x x f （B ）．A ．31B ．3C ．1D ．06. 设某产品的需求量Q 与价格P 的函数关系为则边际收益函数为,2p -3e Q =（C ）.A ．2p-e 23-B ．23pPe -C ．2)233(pe P --D ．2)33(pe P -+7.函数24)(2--=x x x f 在x = 2点（B ）.A. 有定义B.有极限C.没有极限D.既无定义又无极限 8.若x x f 2cos )(=，则='')2(πf （ C ）.A ．0B ．1C ． 4D ．-49.曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（A ）.A ． 22-=x yB ． 22+-=x yC ． 22+=x yD ．22--=x y 10.设某产品的需求量q 与价格p 的函数关系为bp -a q =)为常数0b (a, >,则需求量Q 对价格的弹性是(D ).A.b -B.b -a b - C.%b-a b- D.bp -a bp 11. 已知函数⎩⎨⎧>≤=0x e x x -1x f x-0)(，则f(x)在点0x =处（ C ）.A .间断B .导数不存在C .导数()1-=0f 'D .导数()1=0f ' 12. 若函数)1()1(-=-x x x f ,则=)(x f （ B ）.A .)1(-x xB .x （x+1）C .)1)(1(+-x xD .2)1(-x 13.设函数()()=--+→hh x f h x f x f 22lim ,x )(000h 0则可导在（ D ）．A ．()0x f 41 B ．()0'x f 21 C ．()0'x f D ．()0'x 4f 14. 设函数,xlnxy =则下列结论正确的是(A ).A ．在(0,e)内单调增加B ．在(0,e)内单调减少C ．在(1,+∞)内单调增加D ．在(e,+∞)内单调增加 15.设方程=-==112x '3y , x y y xy 则的函数是确定(D )A. 0B. 2C.1D.-1 二、填空题1.函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是)2,5(-.2. 已知某产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6． 3.函数⎪⎩⎪⎨⎧+=2)1ln(xax f(x)00=≠x x 在0=x 处连续,则常数a 的值为2a =.4.抛物线)0(22>=p px y ，在点M ),2(p p 的切线方程是2p x y +=.5.设函数)sin(ln 3x y =,则=dx dy )cos(ln 33x x. 6.已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2.7.设)1ln()(x x x f +-=有极值,则其极值是极小值0. 8.设)0(1)1(2>++=x x x xf ，则f （x ）= xx 112++.9. 设x xy ln =,则==122x dx y d -3 . 10.=-→1x 1)-sin(x lim1x 2.三、解答题1.求下列极限：⑴)4421(lim 22---→x x x ⑵1)211(lim +∞→-x x x ⑶625)32)(1()13()21(lim --++-∞→x x x x x x 解：⑴原极限=)44)2)(2(2(lim 22--+-+→x x x x x =)2)(2(2lim 2-+-→x x x x =41)2(1lim 2=+→x x ⑵原极限=)211(lim )211(lim xx x x x --∞→∞→=1e 21⨯-=21e -⑶原极限=23)32)(11()113()21(lim625-=--++-∞→xx x x x x2. 求下列函数的导数y '：⑴y xxx --=1cos 2⑵y =32ln 1x +⑶)cos (sin e x x y x -=解：⑴y '(x ) =2)1(cos )1(sin )1(2ln 2x xx x x ------=2)1(sin )1(cos 2ln 2x xx x x ----⑵)ln 1()ln 1(312322'++='-x x y =x x x ln 2)ln 1(31322-+=x x xln )ln 1(32322-+⑶)cos (sin )cos (sin )(])cos (sin e ['-+-'='-='x x e x x e x x y x x x3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<-=0 x ,x bx)ln(10 x , a 0 x , cos 1)(2x xx f 问当a 、b 为何值时，)(x f 在0=x 处连续？解:a f =)0(. 当0<x 时,而 b e b bx b bx bxb x bx x f bx x x x x ==+=+⋅=+=++++→→→→ln )1ln(lim )1ln(1lim )1ln(lim )(lim 10000由于)(x f 在0=x 处连续的条件是极限)(lim 0x f x →存在,且极限值等于)0(f ，即据此即得 21==b a4. 设y = f (x ) 由方程x y x y =++e )cos(确定，求y '解：两边取对求导)()e (])[cos('='+'+x y x y 1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y 5. 下列各方程中y 是x 的隐函数，试求y d ： ⑴4e )sin(=++xy y x ⑵1ln ln =+x y y x ⑶222e xy e y =-解：(1)方程两边对x 求导，得0)(e )1()cos(='+⋅+'+⋅+y x y y y x xy解出y '，得xyxyxe y x ye y x y ++++-=')cos()cos(∴dx xey x ye y x dy xyxy++++-=)cos()cos( (2)方程两边对x 求导，得01ln 1ln =⋅+'+'⋅⋅+xy x y y y x y 解出y ',得22ln ln x x xy y y xy y ++-='∴dx x x xy y y xy dy 22ln ln ++-=⑶方程222e xy e y =-两边对x 求导，得0)2(222='⋅⋅+-'⋅⋅y y x y y e y解出y '，得xy e y y y2222-='∴dx xy e y dy y )(222-=6.确定下列函数的单调区间。
综合算式专项练习题积分与定积分的计算
综合算式专项练习题积分与定积分的计算综合算式专项练习题——积分与定积分的计算在微积分中，积分是一个非常重要的概念，可以用来计算曲线下的面积、求函数的原函数等。
本文将针对积分和定积分的计算进行综合算式专项练习，帮助读者提升对积分的理解和应用能力。
1. 计算下列不定积分：（1）∫2x^2 + 3x - 1 dx解析：对于多项式函数的积分，直接按照幂次规则进行计算。
即可得：∫2x^2 + 3x - 1 dx = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 - x + C其中，C为常数项。
（2）∫(x^2 + 1)/(x+1) dx解析：根据是否存在余式，采用分部积分法或分式分解法进行计算。
本题采用分式分解法，具体步骤如下：(x^2 + 1)/(x+1) = (x^2 + 1)/(x+1) = (x - 1) + 2/(x+1)因此，原式可化为：∫(x - 1) + 2/(x+1) dx对于其中的两个部分分别进行积分：∫(x - 1)dx = 1/2 x^2 - x + C1∫2/(x+1)dx = 2 ln |x+1| + C2综合起来，得到：∫(x^2 + 1)/(x+1) dx = 1/2 x^2 - x + 2 ln |x+1| + C其中，C为常数项。
2. 利用定积分计算下列曲线与坐标轴所围成的面积：（1）曲线 y = x^2 + 2x 与 x 轴在区间 [-1, 2] 上的面积。
解析：利用定积分的概念，可以将题目转化为计算函数 y = x^2 + 2x 在区间 [-1, 2] 上的积分。
具体计算如下：∫[-1, 2] (x^2 + 2x) dx= [1/3 x^3 + x^2] [-1, 2]= (8/3 + 4) - (-1/3 - 1)= 5因此，曲线 y = x^2 + 2x 与 x 轴在区间 [-1, 2] 上的面积为 5。
（2）曲线 y = sin(x) 与 x 轴在区间[0, π] 上的面积。
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综合练习一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）． A ．y = x 2 + 3 B ．y = x 2 + 4 C ．y = 2x + 2 D ．y = 4x 正确答案：A2．下列等式不成立的是（ ）．A ．)d(e d e x x x =B ．)d(cos d sin x x x =-C ．x x xd d 21= D ．)1d(d ln x x x = 正确答案：A3．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（ ）.A . 2e x -- B . 2e 21x- C . 2e 41x- D . 2e 41x--正确答案：D4．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）．A ．⎰+x x c 1)d os(2B ．⎰-x x x d 12C ．⎰x x x d 2sinD ．⎰+x xxd 12正确答案：C5. 若c x x f xx+-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ ）．A ．x 1 B ．-x 1 C ．21x D ．-21x正确答案：C6. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )．A ．)(d )(x F x x f x a=⎰ B ．)()(d )(a F x F x x f xa-=⎰C ．)()(d )(a f b f x x F b a-=⎰ D ．)()(d )(a F b F x x f ba-='⎰正确答案：B7．下列定积分中积分值为0的是（ ）．A ．x x x d 2e e 11⎰---B ．x x x d 2ee 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ正确答案：A8．下列定积分计算正确的是（ ）． A ．2d 211=⎰-x x B ．15d 161=⎰-xC ．0d sin 22=⎰-x x ππ D ．0d sin =⎰-x x ππ正确答案：D9．下列无穷积分中收敛的是（ ）．A ．⎰∞+1d ln x x B ．⎰∞+0d e x xC ．⎰∞+12d 1x x D ．⎰∞+13d 1x x正确答案：C10．无穷限积分 ⎰∞+13d 1x x =（ ）． A ．0 B ．21- C ．21 D. ∞正确答案：C二、填空题1．=⎰-x x d e d 2．应该填写：x x d e 2-2．函数x x f 2sin )(=的原函数是 ．应该填写：-21cos2x + c (c 是任意常数)3．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f ． 应该填写：)(x f '4．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f . 应该填写：)1(2+x5．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f x x )d e (e --⎰= .应该填写：c F x +--)e (6．=+⎰e12dx )1ln(d d x x .应该填写：07．积分=+⎰-1122d )1(x x x． 应该填写：08．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是 ．（判别其敛散性） 应该填写：收敛的9．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为 ．应该填写：2 + q 23三、计算题1．⎰+-x x x d 242 解 ⎰+-x x x d 242=(2)d x x -⎰=2122x x c -+2．计算⎰x x x d 1sin2解 c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin23．计算⎰xxx d 2解 c x xx x x x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 24．计算⎰x x x d sin解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin 5．计算⎰+x x x d 1)ln (解 ⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(2122 6．计算 x x xd e 2121⎰ 解 x xxd e 2121⎰=21211211e e e )1(d e -=-=-⎰x x x7．2e1x ⎰解 x x x d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x +=)13(2- 8．x x x d 2cos 2π0⎰解：x x x d 2cos 20⎰π=202sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21-9．x x d )1ln(1e 0⎰-+解法一 x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+---=1e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1解法二 令1+=x u ，则u uu u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e1e1e11e 0⎰⎰⎰-==+-=11e e e e1=+-=-u四、应用题1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x += 100（万元）又 xc x x C x C x⎰+'=00d )()(=x x x 36402++ =xx 3640++令 0361)(2=-='xx C ， 解得6=x .x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 解 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x令)(x L '= 0，得x = 500x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰ =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元.3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x 令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.4．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322 当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18 即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为qq q q C q A 1832)()(+-==令 0182)(2=-='qq A ， 解得q = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)5．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1) 因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰ =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元.。