《全称量词与存在量词》教案全面版
2022年《全称量词与存在量词》参考优秀教案
1.2.2全称量词与存在量词
一、三维目标
1、知识与技能
①通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义；
②能够用全称量词符号表示全称命题，能用存在量词符号表述特称命题；
③会判断全称命题和特称命题的真假；
2、过程与方法
通过观察命题、科学猜测以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能
力；通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识；
3、情感、态度与价值观
通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验根底，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣.
二、教学重难点
重点：1、理解全称量词与存在量词的意义.
2、正确地判断全称命题和特称命题的真假.
难点：正确地判断全称命题和特称命题的真假.
三、教学方法
举例、引导
四、教学流程
五、教学过程
六、布置作业
七、板书设计
全称量词、存在量词
1、全称量词、全称命题3、例1 5、练习与小结
2、存在量词、特称命题4、例2 6、作业布置
八、教学反思。
《全称量词与存在量词》教学设计
课题：全称量词与存在量词(授课人一、教学目标1、知识与技能通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义；掌握全称命题和特称命题的概念及判断它们真假的一般方法．2、过程与方法培养学生分析问题，总结问题的能力.3、情感、态度、价值观在数学中运用好有关的量词进而用符号熟练表达数学思想.二、教学重点、难点1、重点通过生活和数学中的丰富实例，理解全称命题和特称命题的概念及判断它们真假的一般方法．2、难点全称命题和特称命题的真假判定。
三、教学过程一)新课学习(一)、全称量词由课本21页思考(幻灯片上思考1)引出问题，即由：(1)x>3;(2)2x+l是整数.w(3)对于所有的x^R,x>3;(4)对任意一个xZ，2x+l是整数.由上面例子引出：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universalquantifier)，并用符号“V”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题.注：1、常见的全称量有：“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等；2、组织列举其他数学例子,加深对全称量词的理解总结全称命题的符号语言：通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M来表示.那么，全程命题“对于M中任意一个x,有p(x)成立”可以用符号简记为V x e M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.例1：判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数(2)VxeR,X+1>1;例后小结：1、引导学生体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性，从而提倡学生在今后的数学学习中，自觉地运用符号语言表达一些数学内容2、判断全称命题真假的一般方法：举反例法.例后练习：课本23页1题。
(二)、存在量词由课本22页思考(幻灯片上思考2)引出问题，即由：(1)2x+1=3(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x G R,使2x+1=3;00(4)至少有一个x G乙x能被2和3整除.00由上面例子引出：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existentialquantifier)，并用符号“3”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题..注：1、常见的存在量词有:“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等;2、组织寻找其他数学例子,加深对全称量词的理解.特称命题的符号语言：特称命题“存在M中的元素x，使得p(x)成立”可以用符号简记为003x G M,p(x),00读作“存在M中的元素x，使得p(x)成立”.00例2：判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x，使x2+2x+3=0；000(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数.例后小结：判断特称命题真假的一般方法：举特例法.例后练习：课本23页第2题.随堂演练：(1、2、3见课件)二)课后探索命题七'(a+&)2=凹是全称命题吗？如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全b+1|b+1称命题。
全称量词与存在量词教案
全称量词与存在量词教案一、教学目标：1.理解全称量词和存在量词的概念和用法；2.掌握全称量词和存在量词在中文和英文中的表达方式；3.能够正确运用全称量词和存在量词进行句子的构建和理解。
二、教学重难点：1.全称量词和存在量词的区别和用法；2.能够准确运用全称量词和存在量词进行句子的构建和理解。
三、教学准备：1.PPT或黑板、白板；2.课堂练习题。
四、教学过程：Step 1：导入新知识（5分钟）教师通过提问的方式引入全称量词和存在量词的概念，让学生尝试回忆并回答。
例如：教师：你们在数学课上学过量词吗？请举例说明一下它的作用。
学生：量词可以帮助我们表达数量，比如“个”、“只”、“条”等等。
Step 2：引入全称量词和存在量词（10分钟）教师通过PPT或黑板、白板上的例子，解释并引入全称量词和存在量词的概念。
例如：全称量词：表示整个集合的数量，如“每个”、“所有的”。
存在量词：表示集合中至少存在一个的数量，如“有一个”、“有些”。
Step 3：全称量词和存在量词在中文中的使用（15分钟）教师通过PPT或黑板、白板上的例子，让学生理解和掌握全称量词和存在量词在中文中的使用方式。
例如：全称量词：每个人都要认真听讲。
存在量词：教室里有些学生正在写作业。
Step 4：全称量词和存在量词在英文中的对应（15分钟）教师通过PPT或黑板、白板上的例子，让学生理解和掌握全称量词和存在量词在英文中的对应表达方式。
例如：全称量词：every, all, each, everyone存在量词：some, any, a fewStep 5：练习及讲解（15分钟）教师给学生分发练习题，让学生根据题目要求，运用全称量词和存在量词进行句子的构建和理解。
学生完成后，教师逐一讲解答案，并解释其中的语法规则和用法。
Step 6：巩固与拓展（10分钟）教师通过提问和讨论的方式，巩固学生对全称量词和存在量词的理解和运用。
例如：教师：在下面的句子中，判断全称量词和存在量词的用法。
§1 3 1全称量词与存在量词教案
§131全称量词与存在量词教案一、教学目标:1.了解全称量词和存在量词的概念和符号表示。
2.理解全称量词和存在量词的用法和区别。
3.掌握应用全称量词和存在量词来描述数学问题。
4.能够运用全称量词和存在量词解决实际问题。
二、教学重点:1.全称量词的概念和应用。
2.存在量词的概念和应用。
三、教学难点:1.全称量词和存在量词的应用。
2.全称量词和存在量词在解决实际问题时的运用。
四、教学过程:步骤教学内容教师活动学生活动引入用一些简单的例子引入“全称量词”和“存在量词”的概念。
板书例子，向学生提问。
听讲，思考。
讲解1.全称量词:全部,每个，一切。
记为V。
2.存在量词:存在,至少有一个，有的。
记为3。
板书符号，讲解概念并分别用例子说明。
认真听讲，记笔记。
练习1.根据题目中的条件，写出全称量词或存在量词的符号表示。
2.判断下列命题是否成立。
发放练习材料，学生完成练习。
认真完成练习。
讲解1.全称量词的应用。
2.存在量词的应用。
3.全称量词和存在量词在解决实际问题时的运用。
具体分析应用方法及注意事项。
认真听讲，记笔记。
练习完成一些较为复杂的问题，加强对知识点的理解和记忆。
发放练习材料，学生完成练习。
认真完成练习。
总结总结本节课的内容，强调全称量词和存在量词的重要性。
板书总结内容。
认真听讲，思考。
作业布置1.背诵全称量词和存在量词的符号表示。
2.完成课后习题。
板书作业要求。
五、教学评价:1.采用了教师讲解、例题讲解、学生练习和小结等教学方法，使学生在充分理解概念和符号表示的情况下，掌握了全称量词和存在量词的应用和解决实际问题的方法。
2.教学中，尽可能多的借助生活中的例子，让学生更容易理解和运用概念。
3.评价过程主要依据学生的听课效果、参与度、完成作业情况等条件来考核学生对知识点的掌握程度。
全称量词与存在量词教学案 教学设计
1.4全称量词与存在量词教学案课型：新授课教学目标：1.知识目标：①通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义；②能够用全称量词符号表示全称命题，能用存在量词符号表述特称命题；③会判断全称命题和特称命题的真假；.能力与方法：通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力；通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识；2.情感、态度与价值观：通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣.教学重点：理解全称量词与存在量词的意义.教学难点：正确地判断全称命题和特称命题的真假.教学过程：一.情境设置：哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的.1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想：他)任何一个大于6的偶数都可以表示成两个质数之和.S)任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和.这就是哥德巴赫猜想.欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明,从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。
哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”.中国数学家陈景润于1966年证明：“任何充分大的偶数都是一个质数与两个质数的乘积的和”通常这个结果表示为“1+2”这是目前这个问题的最佳结果.科学猜想也是命题.哥德巴赫猜想它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命题.二.新知探究观察以下命题：(1)对任意XE H, x > 3 ；(2)所有的正整数都是有理数；(3)若函数/(x)对定义域。
中的每一个x,都有〃_幻=/。
)，则/(X)是偶函数;(4)所有有中国国籍的人都是黄种人.问题1. (1)这些命题中的量词有何特点？(2)上述4个命题，可以用同一种形式表示它们吗?填一填：全称量词：全称命题：全称命题的符号表示：你能否举出一些全称命题的例子？试一试：判断下列全称命题的真假.(1)所有的素数都是奇数；(2)Vxe/?,x2 +1>1 ；(3)每一个无理数x, 一也是无理数.(4)X/a,b£ 卜、=加 + n6,m,n e Q\9 4 + %£卜]=加 + ny[2,m,n e Q想一想：你是如何判断全称命题的真假的?问题2.下列命题中量词有何特点？与全称量词有何区别？(1)存在一个乙£凡使2%+1 = 3；(2)至少有一个/E Z,与能被2和3整除；(3)有些无理数的平方是无理数.类比归纳：存在量词特称命题特称命题的符号表示特称命题真假的判断方法练一练：判断下列特称命题的真假.(1)有一个实数%,使端+2/+3 = 0；(2)存在两个相交平面垂直于同一平面；(3)有些整数只有两个正因数.三.自我检测1、用符号V > "3 ”语言表达下列命题(1)自然数的平方不小于零(2 )存在一个实数，使2X2—X + l = 02、判断下列命题的真假：(1)每个指数函数都是单调函数；(2)任何实数都有算术平方根；(3)W% c | %是无理数｝, 一是无理数e R,x。
教学设计6：1.5.1 全称量词与存在量词
1.5.1全称量词与存在量词[教学目标] 1.理解全称量词、存在量词和全称量词命题、存在量词命题的概念；2.能准确地使用全称量词和存在量词符号(即∀，∃)来表述相关的数学内容．[教学重点] 对全称量词与存在量词的理解；能够用全称量词表示全称量词命题，用存在量词表示存在量词命题．[教学难点]全称量词命题与存在量词命题的真假判断．【要点整合】知识点一全称量词和全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称量词命题：①定义：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．②一般形式：全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题．[答一答]1．常见的全称量词有哪些？提示：常见的全称量词除了“所有的”“任意一个”，还有“一切”“每一个”“任给”等．2．全称量词命题中的“x”，“M”与“p(x)”表达的含义分别是什么？提示：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M 是这些元素的某一特定的范围．p(x)表示集合M的所有元素满足的性质．如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”．3．如何判断全称量词命题的真假呢？提示：要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．知识点二存在量词和存在量词命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)存在量词命题：①定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．②一般形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”．[答一答]4．常见的存在量词有哪些？提示：常见的存在量词除了“存在一个”“至少有一个”，还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．5．如何判断存在量词命题的真假呢？提示：要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题．【典例讲练】类型一全称量词命题与存在量词命题的判定【例1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径；(3)至少有一个三角形没有外接圆；(4)有些素数的和仍是素数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解](1)可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称量词命题．(2)是全称量词命题，“任意”为全称量词．(3)是存在量词命题，“至少有一个”为存在量词．(4)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．[通法提炼]判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤：(1)首先判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题.(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题.(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.(4)一个全称量词命题(或存在量词命题)往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称量词(或存在量词)，应结合具体问题多加体会.[变式训练1]下列命题中，是全称量词命题的是，是存在量词命题的是(填序号)．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【答案】①②③④类型二用量词表示命题【例2】用全称量词或存在量词表示下列语句．(1)有理数都能写成分数形式；(2)整数中1最小；(3)方程x2＋2x＋8＝0有实数解；(4)有一个质数是偶数．[解](1)任意一个有理数都能写成分数形式．(2)所有的整数中1最小．(3)存在实数x0，使x20＋2x0＋8＝0成立．(4)存在一个质数是偶数．[通法提炼]由于叙述的多样性，有些语句不是典型的全称量词命题或存在量词命题，但却表达了这两种命题的意思，如果能恰当地引入全称量词或存在量词，即可使题意清晰明了.[变式训练2]用量词符号表述全称量词命题．(1)任意一个实数乘以－1都等于它的相反数；(2)对任意实数x，都有x3>x2.解：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.(2)∀x∈R，x3>x2.类型三全称量词命题与存在量词命题的真假判断【例3】判断下列命题的真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(4)存在一个实数x0，使等式x20＋x0＋8＝0成立．[解] (1)真命题．(2)真命题．函数f (x )＝0就是满足要求的函数．(3)假命题．如：边长为1的正方形的对角线长2，它的长度就不是有理数．(4)假命题．因为x 20＋x 0＋8＝⎝⎛⎭⎫x 0＋122＋314>0，所以等式x 20＋x 0＋8＝0不成立．[通法提炼](1)判断全称量词命题∀x ∈M ，p (x )是真命题，要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；判断全称量词命题为假命题只需要在集合M 中找到一个元素x ，使得p (x )不成立，即找反例. (2)判断存在量词命题∃x ∈M ，p (x )是真命题，只需在集合M 中找到x ，使得q (x )成立即可，即举例加以说明；判断存在量词命题为假命题，需要证明集合M 中使得q (x )成立的元素不存在.[变式训练3] 有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0；③∃x 0∈N ，x 20≤x 0；④∃x 0∈N *，x 0为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于①，这是全称量词命题，∵Δ＝9－32＝－23<0，∴∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0是真命题；对于②，这是全称量词命题，当x ＝－1时，2x ＋1<0，故该命题为假命题；对于③，这是存在量词命题，当x 0＝0时，x 20≤x 0成立，该命题为真命题；对于④，这是存在量词命题，当x 0＝1时，x 0为29的约数，该命题为真命题．故选C.类型四 素养提升根据全称量词命题、存在量词命题求参数的范围【例4】 已知y ＝3ax 2＋6x －1(a ∈R )．(1)当a ＝－3时，求证：对任意x ∈R ，都有3ax 2＋6x －1≤0；(2)如果对任意x ∈R ，不等式3ax 2＋6x －1≤4x 恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明：当a ＝－3时，y ＝－9x 2＋6x －1，因为Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，所以对任意x ∈R ，都有y ≤0.(2)解：因为3ax 2＋6x －1≤4x 恒成立，所以3ax 2＋2x －1≤0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4＋12a ≤0，解得a ≤－13，即实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－13. [通法提炼](1)若含有参数的不等式y ≤m 在范围D 上能成立，则y min ≤m ；若含有参数的不等式y ≥m 在范围D 上能成立，则y max ≥m .(2)若含有参数的不等式y ≤m 在范围D 上恒成立，则y max ≤m ；若含有参数的不等式y ≥m 在范围D 上恒成立，则y min ≥m .(3)存在量词命题是真命题，可以转化为能成立问题，全称量词命题是真命题，可以转化为恒成立问题解决.[变式训练4] 已知函数y ＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m 0，使不等式m 0＋x 2－2x ＋5>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －(x 20－2x 0＋5)>0成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)存在．理由：不等式m 0＋x 2－2x ＋5>0可化为m 0>－(x 2－2x ＋5)，即m 0>－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m 0>－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m 0>－4即可．故存在实数m 0使不等式m 0＋x 2－2x ＋5>0对于任意x ∈R 恒成立，此时需m 0>－4.(2)不等式m －(x 20－2x 0＋5)>0可化为m >x 20－2x 0＋5，若存在一个实数x 0使不等式m >x 20－2x 0＋5成立，只需m >(x 20－2x 0＋5)min .∵x 20－2x 0＋5＝(x 0－1)2＋4，∴(x 20－2x 0＋5)min ＝4，∴m >4.∴所求实数m 的取值范围是{m |m >4}．【课堂达标】1．下列命题是“∀x ∈R ，x 2>3”的另一种表述方式的是( )A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3【答案】C【解析】“∀”和“任选一个”都是全称量词．2．既是存在量词命题，又是真命题的是( )A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个x ∈R ，使x 2≤0C ．两个无理数的和是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 【答案】B【解析】如x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0.3．(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是( )A ．∃x ∈Z ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，使x 能同时被2和3整除C ．∃x ∈R ，|x |<0D ．有些自然数是偶数【答案】ABD【解析】A 中，x ＝－1时，满足x 2－2x －3＝0，所以A 是真命题；B 中，6能同时被2和3整除，所以B 是真命题；D 中，2既是自然数又是偶数，所以D 是真命题；C 中，因为所有实数的绝对值非负，所以C 是假命题．故选ABD.4．下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称量词命题又是真命题的是 ，既是存在量词命题又是真命题的是 (填上所有满足要求的序号)．【答案】①②③ ④⑤【解析】①是全称量词命题，是真命题；②是全称量词命题，是真命题；③是全称量词命题，即：任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；⑤是存在量词命题，是真命题；⑥是存在量词命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.5．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)一定有整数x 0，y 0，使得3x 0－2y 0＝10成立．(2)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数． (3)存在一对实数(x ，y )，使2x －y ＋1<0成立．解：(1)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－2y 0＝10；真命题．(2)∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；真命题． (3)∃(x ，y )，x ∈R ，y ∈R,2x －y ＋1<0，是真命题．如x ＝0，y ＝2时，2x －y ＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．【课堂小结】本课须掌握的两大问题1．理解全称量词命题及存在量词命题时应注意的问题：(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”．(2)有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”．(3)存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有的”“存在”等．2．全称量词命题与存在量词命题的区别：(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．(2)存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．。
全称量词与存在量词》教学设计
全称量词与存在量词》教学设计2、删除明显有问题的段落。
三、教学过程一）新课研究一）、全称量词通过生活和数学中的实例，学生可以理解全称量词和存在量词的意义。
全称量词通常用“”表示，含有全称量词的命题叫做全称命题。
常见的全称量有“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等。
我们可以用符号语言表达全称命题，例如“对于M中任意一个x,有p(x)成立”，可以用符号简记为“x M,p(x)”，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
判断全称命题真假的一般方法是举反例法。
二）、存在量词存在量词通常用“”表示，含有存在量词的命题叫做特称命题。
常见的存在量词有“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等。
我们可以用符号语言表达特称命题，例如“存在一个x R,使2x13”，可以用符号简记为“x R,2x13”，读作“存在一个x属于R，使2x+1=3”。
组织寻找其他数学例子，加深对全称量词的理解。
特称命题的符号语言可以简记为“存在M中的元素x，使得p(x)成立”，用符号表示为“∃x∈M，p(x)”。
例如，判断下列特称命题的真假：1.存在一个实数x，使得x+2x+3=0；2.存在两个相交平面垂直于同一条直线；3.存在一些整数只有两个正因数。
判断特称命题真假的一般方法是举特例法。
例如，对于第一个命题，我们可以令x=1，得到1+2+3=6≠0，因此该命题为假命题。
对于第二个命题，我们可以画出两个平面并找到一条直线使其垂直，因此该命题为真命题。
对于第三个命题，我们可以找到一个数5，它只有两个正因数1和5，因此该命题为真命题。
课后探索：给定一个数学表达式(a+b)/(b+1)，判断它是否为全称命题。
如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。
小结：我们研究了全称量词、存在量词、全称命题和特称命题的定义，以及全称命题和特称命题真假的判断方法。
我们还研究了如何将自然语言转化为符号语言。
在课后探索中，我们需要判断一个数学表达式是否为全称命题，并补充必要的条件使之成为全称命题。
全称量词与存在量词教案
全称量词与存在量词教案全称量词和存在量词是数学逻辑中常见的两种量词，在逻辑推理和证明过程中起到重要作用。
下面是一个关于全称量词和存在量词的教案。
一、教学目标：1. 了解全称量词和存在量词的概念；2. 学会使用全称量词和存在量词进行逻辑推理；3. 能够根据题目要求判断何时使用全称量词和何时使用存在量词。
二、教学过程：1. 导入新知识：教师可以通过给一些例子，引导学生思考以下问题：如果有一个集合，这个集合中的元素满足某个性质，我们可以如何表达这个性质？2. 讲解全称量词：全称量词（universal quantifier）是用来表达“对于任意一个”的意思。
用“∀”来表示全称量词，例如∀x，表示对于集合中的任意一个元素x。
教师可以通过示例来解释全称量词的含义和用法，例如：如果全班同学都学习了数学，我们可以如何表达这句话？3. 练习全称量词：教师可以给出一些练习题，让学生练习使用全称量词进行逻辑推理。
例如：假设有一组数字：1, 2, 3, 4, ..., n。
我们可以用全称量词来表达这组数字的性质吗？为什么？4. 讲解存在量词：存在量词（existential quantifier）是用来表达“存在一个”的意思。
用“∃”来表示存在量词，例如∃x，表示存在集合中的一个元素x。
教师可以通过示例来解释存在量词的含义和用法，例如：如果班上存在一个学生会打篮球，我们可以如何表达这句话？5. 练习存在量词：教师可以给出一些练习题，让学生练习使用存在量词进行逻辑推理。
例如：假设有一组数字：1, 2, 3, 4, ..., n。
我们可以用存在量词来表达这组数字的性质吗？为什么？6. 总结与归纳：教师可以让学生总结全称量词和存在量词的区别和用法。
三、课堂小结：本节课我们学习了全称量词和存在量词的概念和用法。
全称量词表示对于集合中的任意一个元素，而存在量词表示存在集合中的一个元素。
在逻辑推理和证明过程中，我们可以使用全称量词和存在量词来表达命题的性质。
全称量词和存在量词教案
全称量词和存在量词教案全称量词和存在量词教案一、教学目标：1.了解全称量词和存在量词的概念；2.能够正确使用全称量词和存在量词；3.培养学生的逻辑思维和语言表达能力。
二、教学内容：1.全称量词：所有、任何、每个等；2.存在量词：有些、某个、至少一个等。
三、教学过程：1.引入：引导学生回忆上次学习的内容，问学生是否还记得量词的概念和用法。
2.概念讲解：根据学生的回答，引导他们思考量词的两种类型：全称量词和存在量词。
全称量词是指适用于所有事物的词语，如所有、任何、每个等；存在量词是指适用于某些事物的词语，如有些、某个、至少一个等。
3.例子演练：以例子的形式，给学生展示全称量词和存在量词的用法。
例子1：全称量词- 所有学生都需要参加这次考试。
- 任何人都可以参加这个活动。
- 每个孩子都应该接受教育。
例子2：存在量词- 有些人喜欢吃辣的食物。
- 某个人在你的书包里放了一只小猫。
- 至少一个学生没有完成作业。
4.练习活动：让学生进行小组活动，给出一些句子，让他们判断全称量词和存在量词的用法，并解释原因。
然后让每个组派代表汇报答案和解释。
5.概念复习：让学生回答几个问题，巩固他们对全称量词和存在量词的理解程度。
四、教学总结：对学生的反馈进行总结，重点强调全称量词和存在量词的用法和区别。
五、作业布置：布置课后练习题，让学生完成，并在下堂课上交。
六、教学反思：这节课通过例子演练的方式，生动形象地介绍了全称量词和存在量词的概念和用法，培养了学生的逻辑思维和语言表达能力。
教学目标得到了很好的实现。
但是在练习活动中，学生有些困惑，对一些句子的分类判断不准确，需要多加强化练习。
下一次教学中，应该增加更多的练习环节，加强学生对全称量词和存在量词的理解和运用能力。
全称量词和存在量词教案
全称量词和存在量词教案教案标题：全称量词和存在量词教案教案目标：1. 理解全称量词和存在量词的概念和用法。
2. 能够正确使用全称量词和存在量词描述数量和存在情况。
3. 能够将全称量词和存在量词应用于实际语境中。
教学资源：1. 教材：包含全称量词和存在量词相关内容的教科书或教学参考资料。
2. 视频或图片：展示不同数量和存在情况的实例。
3. 练习题：用于巩固学生对全称量词和存在量词的理解和应用能力。
教学步骤：引入活动：1. 展示一张图片或播放一个视频，其中包含多个物体或人。
2. 引导学生观察图片或视频，并提问：“你能用一个词或短语来描述这些物体或人的数量吗？”3. 引导学生思考并回答，如“很多”、“几个”等。
知识讲解：1. 解释全称量词和存在量词的概念和区别：- 全称量词用于描述整体或全部的数量，如“每个”、“所有”等。
- 存在量词用于描述部分或存在的数量，如“一些”、“几个”等。
2. 通过教材或参考资料，提供更多全称量词和存在量词的例子，并解释其用法和意义。
示例练习：1. 分发练习题，要求学生根据给出的句子，选择合适的全称量词或存在量词填空。
2. 学生独立完成练习，并检查答案。
3. 教师与学生一起讨论答案，解释正确答案的原因和错误选项的问题。
拓展活动：1. 分组活动：将学生分成小组，要求每个小组选择一个场景或情境，然后编写一段对话或故事，其中包含全称量词和存在量词的使用。
2. 每个小组展示他们的作品，并与全班分享。
3. 教师对每个小组的作品进行评价和指导。
总结和评估：1. 教师总结全称量词和存在量词的用法和意义。
2. 学生回答几个问题来评估他们对所学内容的理解程度。
3. 教师对学生的回答进行评估，并提供必要的反馈和指导。
延伸练习：1. 布置作业：要求学生在日常生活中观察和记录使用全称量词和存在量词的实例，并写下他们的观察结果。
2. 学生将观察结果整理成报告或展示，并与全班分享。
教案评估：1. 学生对全称量词和存在量词的理解和应用能力。
全称量词和存在量词教案
全称量词和存在量词教案以下是一份关于全称量词和存在量词的教学教案：一、教学目标1. 让学生理解全称量词和存在量词的概念。
2. 能够正确使用全称量词和存在量词表述命题。
3. 通过实例培养学生的逻辑思维能力。
二、教学重难点1. 重点：全称量词和存在量词的含义与运用。
2. 难点：理解含有全称量词和存在量词的命题的真假判断。
三、教学准备多媒体课件。
四、教学过程师：同学们，今天我们来学习一个新的内容，全称量词和存在量词。
那什么是全称量词呢？大家来看这个例子，“所有的正方形都是矩形”，这里的“所有的”就是一个全称量词。
谁能再举个例子呀？生：“所有的三角形内角和都是 180 度。
”师：非常好！那存在量词又是什么呢？比如“存在一个实数 x，使得x^2=1”，这里的“存在一个”就是存在量词。
谁再来举个例子？生：“存在一个质数是偶数。
”师：不错。
那我们来练习一下，用全称量词或存在量词改写这些命题。
比如“平行四边形的对角线互相平分”。
生：“所有平行四边形的对角线互相平分。
”师：很好。
那“方程 x^2-5x+6=0 有实数根”呢？生：“存在实数 x，使得方程 x^2-5x+6=0 有实数根。
”师：下面我们来探讨一下怎么判断含有这些量词的命题的真假。
大家思考一下这个命题“所有的实数 x，都有x^2≥0”是真还是假呀？生：真。
师：对啦。
那“存在一个整数 x，使得x^2+1=0”呢？生：假。
师：非常棒！大家理解得很不错。
五、教学反思通过这节课的教学，学生对于全称量词和存在量词的概念有了较好的理解，能够正确运用它们表述命题，在判断命题真假方面也掌握得较好。
但在一些复杂情境中，学生可能还需要更多练习来巩固。
在今后的教学中，可以增加更多实例，帮助学生深入理解和应用。
全称量词与存在量词教案
序号
教学内容
教学目标
教学方法
教学活动
评估方式
1
引入全称量词与存在量词的概念
学生能够理解全称量词（如“所有”、“每一个”）和存在量词（如“存在”、“至存在量词的区别。
课堂小测验，检查学生对概念的理解。
2
全称量词在数学中的应用
个人作业，学生解决一个包含存在量词的问题，并提交解答。
4
全称量词与存在量词的逻辑性质
学生能够理解全称量词与存在量词的逻辑性质，如逆否命题等。
讲解与逻辑推理练习
通过逻辑推理练习，帮助学生掌握全称量词与存在量词的逻辑性质。
课堂互动，学生提出逻辑问题，其他同学尝试解答。
5
全称量词与存在量词在日常生活中的应用
综合测试，评估学生综合运用全称量词与存在量词的能力。
学生能够识别并解释日常生活中涉及全称量词与存在量词的情况。
案例分析
分析日常生活中的实例，引导学生识别并解释全称量词与存在量词的应用。
小组报告，每组选择一个日常生活中的实例进行分析和解释。
6
综合应用与拓展
学生能够综合运用全称量词与存在量词解决复杂问题，并尝试进行拓展思考。
综合练习与拓展讨论
提供综合练习题，引导学生综合运用全称量词与存在量词解决问题。组织拓展讨论，鼓励学生提出新的想法和观点。
学生能够识别并应用全称量词解决数学问题，如证明所有整数都具有某种性质。
讲解与例题分析
分析包含全称量词的数学问题，并引导学生解决。
小组讨论，每组解决一个包含全称量词的问题，并展示解决方案。
3
存在量词在数学中的应用
学生能够识别并应用存在量词解决数学问题，如证明存在至少一个满足条件的数。
1.4全称量词与存在量词教学设计教案
1.4全称量词与存在量词教学设计教案第一篇：1.4全称量词与存在量词教学设计教案教学准备1.教学目标（1）知识目标：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；（2）过程与方法目标：能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容；（3）情感与能力目标：培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力.2.教学重点/难点【教学重点】：理解全称量词与存在量词的意义；【教学难点】：全称命题和特称命题真假的判定.3.教学用具多媒体4.标签1.4.1 全称量词+1.4.2 存在量词教学过程一、情境引入问题1：下列语句是命题吗？（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？（1）x＞3；（2）2x+1是整数；（3）对所有的x∈R，x＞3；（4）对任意一个x∈Z，2x+1是整数；二、知识建构定义：1．全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。
表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等。
通常用符号“”表示，读作“对任意”。
2．含有全称量词的命题, 叫做全称命题。
一般用符号简记为“立。
（其中M为给定的集合，都有”可表示为三、自主学习1、引导学生阅读教科书P22上的例1中每组全称命题的真假，纠正可能出现的逻辑错误。
规律：全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x, 为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个，使为假.问题2：下列语句是命题吗？（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？（1）2x+1=3；（2）x能被2和整除；（3）存在一个x0∈R，使2x0+1=3；（4）至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除；四、知识建构定义：（1）存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。
表示形式为“有一个”，“存在一个”,“有点”,“有些”、至少有一个等。
通常用符号“”表示，读作“存在”。
.”。
读作“对任意的x属于M，有p（x）成是关于x的命题。
）例如“对任意实数x。
（2）含有存在量词的命题叫做特称命题, 一般形式x0∈M，p（x0），读作“存在一个x0属于M，有p（x0）成立。
全称量词与存在量词教案
全称量词与存在量词教案一、引言语言中的量词是用来表示物体的数量的词语，包括全称量词和存在量词。
全称量词用来表示数量的确切大小，例如“一本书”、“两个苹果”，而存在量词则用来表示数量的大致范围，例如“几本书”、“一些苹果”。
本教案将详细介绍全称量词和存在量词的使用方法，以帮助学生掌握正确的量词用法。
二、全称量词全称量词用来表示确切的数量，下面列举了常用的全称量词及其使用方法：1. 一：表示一个物体，如“一本书”、“一支笔”。
2. 两：表示两个物体，如“两个苹果”、“两张纸”。
3. 三、四、五……：表示三个、四个、五个等确定的数量，用来计数。
4. 几：表示不确定的数量，通常用来表示大于两个但不多于十几个的物体，如“几只鸟”、“几本书”。
5. 数：表示一些数量，但并非特定的数字，如“数十个人”、“数百元”。
三、存在量词存在量词用来表示数量的大致范围，下面列举了常用的存在量词及其使用方法：1. 一些：表示数量不多但不确切的物体，如“一些苹果”，可以用来表示一些范围，如“一些人”。
2. 几个：表示数量较少的物体，通常用来表示大于两个但不多于十几个的物体，如“几个朋友”。
3. 若干：表示数量较多但不具体的物体，如“若干问题”、“若干书籍”。
4. 许多：表示数量较多且模糊的物体，如“许多人”、“许多鸟”。
四、案例分析为了更好地理解全称量词和存在量词的使用方法，以下为几个案例分析：1. 假设你正在超市购买食材，你需要一些大蒜和洋葱来准备晚餐。
在购买大蒜时，你会说：“请给我一些大蒜。
”这里的存在量词“一些”表示你需要的数量不多但不确切。
而在购买洋葱时，你会说：“请给我两个洋葱。
”这里的全称量词“两个”表示你需要的数量是确切的。
2. 在一个班级中，有几个同学围坐在一起讨论问题。
你可以说：“请几个同学上前回答问题。
”这里的存在量词“几个”表示你需要的数量是较少的。
而如果你想让更多的同学回答问题，你可以说：“请许多同学上前回答问题。
全称量词与存在量词教案
全称量词与存在量词教案教案标题：全称量词与存在量词教案教学目标：1. 了解全称量词与存在量词的定义和用法。
2. 能够正确运用全称量词与存在量词描述数量和存在情况。
3. 培养学生的逻辑思维和语言表达能力。
教学重点：1. 全称量词的概念和使用方法。
2. 学会正确使用全称量词描述数量。
3. 存在量词的概念和使用方法。
4. 学会正确使用存在量词描述存在情况。
教学准备：1. 教学课件和投影仪。
2. 学生练习册和笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入全称量词与存在量词的概念，并与学生进行简单讨论。
2. 提问：你们知道全称量词和存在量词的区别吗？请举例说明。
二、讲解全称量词（10分钟）1. 使用教学课件展示全称量词的定义和用法。
2. 通过例句和图片示例，讲解全称量词如何描述数量。
3. 引导学生进行互动讨论，让他们举例说明全称量词的使用。
三、练习全称量词（15分钟）1. 发放学生练习册，让学生完成相关练习。
2. 分组讨论和分享答案，帮助学生加深对全称量词的理解。
四、讲解存在量词（10分钟）1. 使用教学课件展示存在量词的定义和用法。
2. 通过例句和图片示例，讲解存在量词如何描述存在情况。
3. 引导学生进行互动讨论，让他们举例说明存在量词的使用。
五、练习存在量词（15分钟）1. 发放学生练习册，让学生完成相关练习。
2. 分组讨论和分享答案，帮助学生加深对存在量词的理解。
六、巩固与拓展（10分钟）1. 设计小组活动，让学生在小组内创造句子，运用全称量词和存在量词。
2. 学生展示他们的句子，进行互动讨论和改进。
七、总结与反思（5分钟）1. 总结全称量词和存在量词的用法和区别。
2. 让学生回答几个问题，检查他们对本课内容的掌握程度。
教学延伸：1. 带领学生进行更多的练习，巩固全称量词和存在量词的使用。
2. 引导学生在阅读和写作中注意使用全称量词和存在量词。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂讨论和练习中的表现。
2. 收集学生完成的练习册，检查他们对全称量词和存在量词的理解和运用。
全称量词与存在量词 教学设计 教案
教学准备1. 教学目标1.知识与技能（1）通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义．（2）能够用全称量词符号表示全称命题，用存在量词符号表述特称命题．（3）会判断全称命题和特称命题的真假．2．过程与方法（1）通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力．（2）通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识．3．情感、态度与价值观通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣．2. 教学重点/难点重点：理解全称量词与存在量词的意义．难点：判断全称命题和特称命题的真假．3. 教学用具多媒体4. 标签教学过程一、新知探究问题导思1命题“任意三角形的内角和为180°”中使用了什么量词？你还能举出几个含有这样量词的命题吗？【提示】使用了量词“任意”，能，如“任意的正方形都是平行四边形”，“对任意的x∈R，x2－2x＋2＞0恒成立”等．1．全称量词和全称命题的定义短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．2．全称命题的形式设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题．用符号简记为x∈M，p(x).问题导思2命题“存在实数a，使关于x的方程x2＋x－a＝0有实根”中使用了什么量词？你还能举出几个含有此量词的命题吗？【提示】使用了量词“存在”，能，如“存在整数n，使n能被13整除”，“存在实数x，使x2－2x－1＞0成立”等．1．存在量词和特称命题的定义部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．2．特称命题的形式设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么特称命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x).二、典例精讲题型1 全称命题的构成与真假判定例1.用全称量词把下列语句写成全称命题，并判断真假：（1）x2＋2x＋3≥2.（2）终边相同的角的正弦值相等．（3）指数函数都是单调函数．【解析】（1）x∈R，x2＋2x＋3≥2，因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，故是真命题．（2）所有终边相同的角的正弦值相等，真命题．（3）任给一个指数函数，则它都是单调函数，真命题．【小结】1．全称命题的统一形式为“x∈M，p(x)”，“∀”表示“任意”“所有”等量词，集合“M”表示给定的范围，“p(x)”表示某一性质．2．判断全称命题的真假，可以先找反例，若找到一个反例，说明全称命题是假命题，若找不到反例，就可以尝试证明命题是真命题．三、变式训练用全称量词把下列语句写成全称命题，并判断真假：（1）sin 2x＝2sin xcos x.（2）三角形有外接圆．（3）非负实数有两个偶次方根．【解】（1）x∈R，sin 2x＝2sinxcos x．真命题．（2）任意三角形都有外接圆．真命题．（3）所有的非负实数都有两个偶次方根．假命题.题型2 特称命题的构成与真假判定例2.用存在量词将下列语句写成特称命题，并判断真假．（1）x2＋2＝0能成立；（2）不是每一个菱形都是平行四边形；（3）素数也可以是偶数．【解析】（1）x∈R，x2＋2＝0，假命题；（2）存在一个菱形不是平行四边形，假命题；（3）存在一个素数是偶数，真命题．【小结】1．特称命题的统一形式为“x∈M，p(x)”，“”表示“存在”“至少有一个”等量词．2判断特称命题的真假，可以先找满足性质的元素，若找到一个元素，说明特称命题是真命题，若找不到，就是假命题．变式训练（1）奇函数也可以是偶函数．（2）不是每一个四边形都有外接圆．【解】（1）存在函数既是奇函数又是偶函数，如f(x)＝0，x∈R，真命题；（2）存在一个四边形没有外接圆，真命题.【答案】[－4,0]题型3 全称量词与存在量词的综合应用例3.（1）已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；（2）令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．【解析】（1）∵关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥∴实数a的取值范围为（，+∞）（2）令y＝sin x＋cos x，x∈R，∵y＝sin x＋cos x＝又∵∃x∈R，sin x＋cos x>m有解，∴只要m<即可，∴所求m的取值范围是(－∞，）【小结】有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．变式训练（1）对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立．求实数m的取值范围；（2）存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围．解析：（1）令y＝sin x＋cos x，x∈R，又∵∀x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，∴只要m<－即可．∴所求m的取值范围是(－∞，－）（2）令y＝sin x＋cos x，x∈R，又∵x∈R，sin x＋cos x>m有解，∴只要m<即可，∴所求m的取值范围是(－∞，).四、当堂检测1．“a⊥α，则aB．存在性命题C．不是命题 D．假命题【解析】命题中含有全称量词“任一条”，所以为全称命题．【答案】 A2．下列命题中是存在性命题的是()A．x∈R，x2≥0B．x∈R，x2<0C．平行四边形的对边不平行D．矩形的任一组对边都不相等【解析】A为全称命题，B中含有“”是存在性命题，而C，D也可以看作全称命题．【答案】B3．下列命题中的假命题是()A．x∈R，lg x＝0 B．x∈R，tan x＝1C．x∈R，x3>0 D．x∈R,2x>0【解析】对于A，当x＝1时，lg x＝0，正确；对于B，当x＝时，tan x＝1，正确；对于C，当x＜0时，x3＜0，错误；对于D，x∈R,2x＞0，正确．【答案】C4．填上适当的量词符号“”“”，使下列命题为真命题．（1）________x∈R，使x2＋2x＋1≥0；（2）________a，b∈R，使方程组有唯一解．【解析】（1）∵(x＋1)2≥0恒成立，应填“∀”．（2）把ax＋by＝1，a2x＝2看成两条直线，故存在a，b的值使两条直线相交，应填“”．【答案】（1）（2）课堂小结1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，但是可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.板书1.4.1全称量词 1.4.2存在量词。
高中数学选修1,1《全称量词与存在量词》教案
高中数学选修1,1《全称量词与存在量词》教案高中数学选修1-1《全称量词与存在量词》教案导学目标：1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.自主梳理1.逻辑联结词命题中的或，且，非叫做逻辑联结词.“p且q”记作p∧q，“p或q”记作p∨q，“非p”记作綈p.2.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真3.全称量词与存在量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x).(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题，可用符号简记为∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x).自我检测1.命题“∃x∈R，x2-2x+1<0”的否定是( )A.∃x∈R，x2-2x+1≥0B.∃x∈R，x2-2x+1>0C.∀x∈R，x2-2x+1≥0D.∀x∈R，x2-2x+1<0答案 C解析因要否定的命题是特称命题，而特称命题的否定为全称命题.对x2-2x+1<0的否定为x2-2x+1≥0，故选C.2.若命题p：x∈A∩B，则綈p是( )A.x∈A且x BB.x A或x BC.x A且x BD.x∈A∪B答案 B解析∵“x∈A∩B”⇔“x∈A且x∈B”，∴綈p：x A或x B.3.(2011•大连调研)若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有( )A.p真q真B.p假q假C.p真q假D.p假q真答案 B解析∵“p∨q”的否定是真命题，∴“p∨q”是假命题，∴p，q都假.4.(2010•湖南)下列命题中的假命题是( )A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*，(x-1)2>0C.∃x∈R，lg x<1D.∃x∈R，tan x=2答案 B解析对于B选项x=1时，(x-1)2=0.5.(2009•辽宁)下列4个命题：p1：∃x∈(0，+∞)，(12)x<(13)x;p2：∃x∈(0,1)，log12x>log13x;p3：∀x∈(0，+∞)，(12)x>log12x;p4：∀x∈(0，13)，(12)x其中的真命题是( )A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p4答案 D解析取x=12，则log12x=1，log13x=log32<1，p2正确.当x∈(0，13)时，(12)x<1，而log13x>1，p4正确.探究点一判断含有逻辑联结词的命题的真假例1 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假.(1)p：1是素数;q：1是方程x2+2x-3=0的根;(2)p：平行四边形的对角线相等;q：平行四边形的对角线互相垂直;(3)p：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同;q：方程x2+x-1=0的两实根的绝对值相等.解题导引正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断.其步骤为：①确定复合命题的构成形式;②判断其中简单命题的真假;③根据其真值表判断复合命题的真假.解(1)p∨q：1是素数或是方程x2+2x-3=0的根.真命题.p∧q：1既是素数又是方程x2+2x-3=0的根.假命题.綈p：1不是素数.真命题.(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题.p∧q：平行四边形的对角相等且互相垂直.假命题.綈p：有些平行四边形的对角线不相等.真命题.(3)p∨q：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同或绝对值相等.假命题.p∧q：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同且绝对值相等.假命题.綈p：方程x2+x-1=0的两实根的符号不相同.真命题.变式迁移1 (2011•厦门月考)已知命题p：∃x∈R，使tan x=1，命题q：x2-3x+2<0的解集是{x|1①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈q”是假命题;③命题“綈p∨q”是真命题;④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的是( )A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④答案 D解析命题p：∃x∈R，使tan x=1是真命题，命题q：x2-3x+2<0的解集是{x|1∴①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈q”是假命题;③命题“綈p∨q”是真命题;④命题“綈p∨綈q”是假命题.探究点二全(特)称命题及真假判断例2 判断下列命题的真假.(1)∀x∈R，都有x2-x+1>12.(2)∃α，β使cos(α-β)=cos α-cos β.(3)∀x，y∈N，都有x-y∈N.(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0+y0=3.解题导引判定一个全(特)称命题的真假的方法：(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可.(2)特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.解(1)真命题，因为x2-x+1=(x-12)2+34≥34>12.(2)真命题，如α=π4，β=π2，符合题意.(3)假命题，例如x=1，y=5，但x-y=-4 N.(4)真命题，例如x0=0，y0=3符合题意.变式迁移2 (2011•日照月考)下列四个命题中，其中为真命题的是( )A.∀x∈R，x2+3<0B.∀x∈N，x2≥1C.∃x∈Z，使x5<1D.∃x∈Q，x2=3答案 C解析由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2+3≥3，所以命题“∀x∈R，x2+3<0”为假命题;由于0∈N，当x=0时，x2≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x2≥1”为假命题;由于-1∈Z，当x=-1时，x5<1，所以命题“∃x∈Z，使x5<1”为真命题;由于使x2=3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x2=3”为假命题.探究点三全称命题与特称命题的否定例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假.(1)p：∀x∈R，x2-x+14≥0;(2)q：所有的正方形都是矩形;(3)r：∃x∈R，x2+2x+2≤0;(4)s：至少有一个实数x，使x3+1=0.解题导引(1)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定;而一般命题的否定则是直接否定结论即可.(2)要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假.因为p与綈p的真假相反且一定有一个为真，一个为假.解(1)綈p：∃x∈R，x2-x+14<0，这是假命题，因为∀x∈R，x2-x+14=(x-12)2≥0恒成立，即p真，所以綈p假.(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.(3)綈r：∀x∈R，x2+2x+2>0，是真命题，这是由于∀x∈R，x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0成立.(4)綈s：∀x∈R，x3+1≠0，是假命题，这是由于x=-1时，x3+1=0.变式迁移3 (2009•天津)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( )A.不存在x0∈R,2x0>0B.存在x0∈R,2x0≥0C.对任意的x∈R,2x≤0D.对任意的x∈R,2x>0答案 D解析本题考查全称命题与特称命题的否定.原命题为特称命题，其否定应为全称命题，而“≤”的否定是“>”，所以其否定为“对任意的x∈R,2x>0”.转化与化归思想的应用例(12分)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2-a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20+2ax0+2-a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.【答题模板】解由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题. [3分]若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1. [6分]若q为真命题，即x2+2ax+2-a=0有实根，Δ=4a2-4(2-a)≥0，即a≥1或a≤-2， [10分]综上，所求实数a的取值范围为a≤-2或a=1. [12分]【突破思维障碍】含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出参数存在的条件，命题p转化为恒成立问题，命题q转化为方程有实根问题，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.若直接求p成立的条件困难，可转化成求綈p成立的条件，然后取补集.【易错点剖析】“p且q”为真是全真则真，要区别“p或q”为真是一真则真，命题q就是方程x2+2ax+2-a=0有实根，所以Δ≥0.不是找一个x0使方程成立.1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解.(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x<6或x>9.(2)命题“非p”就是对命题“p”的否定，即对命题结论的否定;否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定.2.判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断.3.全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是一个特称命题“∃x∈M，綈p(x)”，特称命题“∃x∈M，p(x)”的否定是一个全称命题“∀x∈M，綈p(x)”.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2011•宣城模拟)已知命题p：∃x∈R，x2-3x+3≤0，则( )A.綈p：∃x∈R，x2-3x+3>0，且綈p为真命题B.綈p：∃x∈R，x2-3x+3>0，且綈p为假命题C.綈p：∀x∈R，x2-3x+3>0，且綈p为真命题D.綈p：∀x∈R，x2-3x+3>0，且綈p为假命题答案 C解析命题p是一个特称命题，它的否定綈p：对所有的x∈R，都有x2-3x+3>0为真.故答案为C.命题的否定要否定量词，即全称量词的否定为存在量词，存在量词的否定为全称量词，而且要否定结论.2.已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3>0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是( )A.a<13B.a≤13C.0答案 B解析∵命题綈p是真命题，∴命题p是假命题，而当命题p是真命题时，不等式ax2+2x+3>0对一切x∈R恒成立，这时应有a>0，Δ=4-12a<0，解得a>13.因此当命题p是假命题，即命题綈p是真命题时，实数a的范围是a≤13.3.(2011•龙岩月考)已知条件p：|x+1|>2，条件q：x>a，且綈p 是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A.a≥1B.a≤1C.a≥-3D.a≤-3答案 A解析綈p是綈q的充分不必要条件的等价命题为q是p的充分不必要条件，即q⇒p，而p q，条件p化简为x>1或x<-3，所以当a≥1时，q⇒p.4.已知命题“∀a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是( )A.∀a，b∈R，如果ab<0，则a<0B.∀a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0C.∃a，b∈R，如果ab<0，则a<0D.∃a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0答案 B解析∀a，b∈R是大前堤，在否命题中也不变，又因ab>0，a>0的否定分别为ab≤0，a≤0，故选B.5.(2011•宁波调研)下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1<0”D.命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6.(2010•安徽)命题“对∀x∈R，|x-2|+|x-4|>3”的否定是______________.答案∃x∈R，|x-2|+|x-4|≤37.已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R使4x-2x+1+m=0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围为__________.答案m≤1解析命题綈p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x-2x+1+m=0有实数解，即m=-(4x-2x+1)，令f(x)=-(4x-2x+1)，由于f(x)=-(2x-1)2+1，所以当x-Ray时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是m≤1.8.(2010•安徽)命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是______________________.答案对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0解析因特称命题的否定是全称命题，所以得：对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0.三、解答题(共38分)9.(12分)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假.(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3};(2)p：1是奇数，q：1是质数;(3)p：0∈∅，q：{x|x2-3x-5<0}⊆R;(4)p：5≤5，q：27不是质数.解(1)∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为真命题.(3分)(2)∵1是奇数，∴p是真命题.又∵1不是质数，∴q是假命题.因此p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为假命题.(6分)(3)∵0 ∅，∴p为假命题.又∵x2-3x-5<0⇒3-292∴{x|x2-3x-5<0}={x|3-292∴q为真命题.∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为真命题.(9分)(4)显然p：5≤5为真命题，q：27不是质数为真命题，∴p∨q为真命题，p∧q为真命题，綈p为假命题.(12分)10.(12分)(2011•锦州月考)命题p：关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)=(3-2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围.解设g(x)=x2+2ax+4，由于关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ=4a2-16<0，∴-2又∵函数f(x)=(3-2a)x是增函数，∴3-2a>1，∴a<1.(6分)又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假.(1)若p真q假，则-2∴1≤a<2;(8分)(2)若p假q真，则a≤-2，或a≥2，a<1，∴a≤-2.(10分)综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a<2，或a≤-2.(12分)11.(14分)已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.解p：x2+mx+1=0有两个不等的负根⇔Δ1=m2-4>0-m<0⇔m>2.(3分)q：4x2+4(m-2)x+1=0无实根.⇔Δ2=16(m-2)2-16<0⇔1因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反.①当p真且q假时，有m>2m≤1或m≥3⇒m≥3;(10分)②当p假且q真时，有m≤21综上可知，m的取值范围为{m|1《全称量词与存在量词》练习题及答案一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014•烟台高二检测)对下列命题的否定说法错误的是( )A.p:能被2整除的数是偶数; p:存在一个能被2整除的数不是偶数B.p:有些矩形是正方形; p:所有的矩形都不是正方形C.p:有的三角形为正三角形; p:所有的三角形不都是正三角形D.p:∃x0∈R, +x0+2≤0; p:∀x∈R,x2+x+2>0【解析】选C.“有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题:所有的三角形都不是正三角形,故选项C错误.2.关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述正确的是( )A. p:∃x0∈R, +1≠0B. p:∀x∈R,x2+1=0C.p是真命题, p是假命题D.p是假命题, p是真命题【解析】选C.命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x 0∈R, +1=0”.所以p是真命题, p是假命题.3.(2014•广州高二检测)命题“∀x>0,都有x2-x≤0”的否定是( )A.∃x0>0,使得 -x0≤0B.∃x0>0,使得 -x0>0C.∀x>0,都有x2-x>0D.∀x≤0,都有x2-x>0【解析】选B.由含有一个量词的命题的否定易知选B.【变式训练】已知命题p:∃x0∈R, +1<0,则 p是( )A.∃x0∈R, +1≥0B.∀x∈R,x2+1≥0C.∃x0∈R, +1≠0D.∀x∈R,x2+1<0【解析】选B.命题p是一个特称命题,其否定为全称命题, p:∀x∈R,x2+1≥0.4.已知命题p:“对∀x∈R,∃m∈R,使4x+2x•m+1=0”.若命题p 是假命题,则实数m的取值范围是( )A.-2≤m≤2B.m≥2C.m≤-2D.m≤-2或m≥2【解题指南】根据p与 p的真假性相反知p是真命题,然后求m的取值范围即可.【解析】选C.因为 p是假命题,所以p是真命题.X 所以m=- ≤-2.5.已知命题p:∀x∈R,2x2+2x+ <0;命题q:∃x0∈R,sinx0-cosx0= ,则下列判断正确的是( )A.p是真命题B.q是假命题C. p是假命题D. q是假命题【解析】选D.因为2x2+2x+ = (2x+1)2≥0,所以p是假命题.又因为sinx-cosx= sin ,所以∃x0= ,使sinx0-cosx0= ,故q是真命题,故选D.6.(2013•衡水高二检测)已知p:存在x0∈R,m +1≤0;q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假,则实数m的取值范围为( )A.m≤-2B.m≥2C.m≥2或m≤-2D.-2≤m≤2【解题指南】先判断命题p,q的真假,转化为含有一个量词的命题的否定求参数的取值范围,再求交集.【解析】选B.由p或q为假,得p,q都是假命题,从而p, q都是真命题.p:对任意x∈R,mx2+1>0成立,得m≥0;q:存在x0∈R, +mx0+1≤0成立,得Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.综上所述,m≥2为所求.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014•深圳高二检测)命题“同位角相等”的否定为,否命题为________________________.【解析】全称命题的否定是特称命题,“若p,则q”的否命题是“若p,则q”.故否定为:有的同位角不相等.否命题为:若两个角不是同位角,则它们不相等.答案:有的同位角不相等若两个角不是同位角,则它们不相等【误区警示】解答本题易混淆命题的否定与否命题的概念,命题的否定只否定结论,而否命题既否定条件又否定结论.8.(2014•长春高二检测)设命题p:∀x∈R,x2+ax+2<0,若p为真,则实数a的取值范围是___________________.【解析】因为p为真,又p:∃x0∈R, +ax0+2≥0,而函数f(x)=x2+ax+2开口向上,所以a∈R.答案:a∈R9.命题“∃x0,y0<0, + ≥2x0y0”的否定为______ ________________.【解析】命题是特称命题,其否定是全称命题,否定为:∀x,y<0,x2+y2<2xy.答案:∀x,y<0,x2+y2<2xy三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014•日照高二检测)已知p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R, +2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m的取值范围.【解析】2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.若p:∀x∈R,2x>m(x2+1)为真,则mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立.当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;当m≠0时,有m<0,Δ=4-4m2<0,所以m<-1.[来若q:∃x0∈R, +2x0-m-1=0为真,则方程 +2x0-m-1=0有实根,所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.又p∧q为真,故p,q均为真命题.所以m<-1且m≥-2,所以-2≤m<-1.11.写出下列命题的否定,判断其真假并给出证明.命题:已知a=(1,2),存在b=(x,1)使a+2b与2a-b平行.【解题指南】先写出否定,再判真假,最后给出证明.【解析】命题的否定:已知a=(1,2),则对任意的b=(x,1),a+2b与2a-b都不平行,是一个假命题.证明如下:假设存在b=(x,1)使a+2b与2a-b平行,则 a +2b=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4).2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).因为a+2b与2a-b平行,所以存在λ∈R,使得a+2b=λ(2a-b).即(2x+1,4)=λ(2-x,3).所以⇔2x+1= (2-x).解得x= .这就是说存在b= 使a+2b与2a-b平行,故已知命题为真命题,其否定为假命题.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2012•湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A.任意一个有理数,它的平方是有理数B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是有理数【解析】选B.特称命题的否定是全称命题,将存在量词改为全称量词,然后再否定结论即可.2.已知命题p:∀n∈N,2n >1000,则 p为( )A.∀n∈N,2n≤1000B.∀n∈N,2n<1000C.∃n0∈N, ≤1000D.∃n0∈N, <1000【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,故 p:∃n0∈N, ≤1000.【举一反三】若本题中的命题p换为“∃n0∈N, >1000”,其他条件不变,结论又如何呢?【解析】选A.将存在量词“∃”改为全称量词“∀”, 然后否定结论即可, p:∀n∈N,2n≤1000.3.(2014•大连高二检测)命题p:x=2且y=3,则 p为( )A.x≠2或y≠3B.x≠2且y≠3C.x=2或y≠3D.x≠2或y= 3【解题指南】“且”的否定为“或”,然后否定结论即可.【解析】选A.将“且”改为“或”,将x=2与y=3都否定即为原命题的否定, p为:x≠2或y≠3.4.下列关于命题p:“∃x0∈R, =sinx0”的叙述正确的是( )A. p:∃x0∈R, ≠sinx0B. p:∀x∈R, =sinxC.p是真命题, p是假命题D.p是假命题, p是真命题【解析】选C.命题p:“∃x0∈R, =sinx0”的否定是p:∀x∈R, ≠sinx.当x=0时, =sinx,所以p是真命题, p是假命题.二、填空题(每小题5分,共10分)5.命题“对任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.【解析】根据全称命题的否定形式写.答案:存在x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤36.(2014•兰州高二检测)已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R, +2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是_______.【解析】命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”为真,则a≤x2,x∈[1,2]恒成立,所以a≤1;命题q:“∃x0∈R, +2ax0+2-a=0”为真,则“4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0”,解得a≤-2或a≥1.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是{a|a≤-2或a=1}.答案:{a|a≤-2或a=1}【变式训练】已知命题p:∃x0∈R, +2ax0+a=0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是.【解析】方法一:若命题p:∃x0∈R, +2ax0+a=0是真命题,则Δ=(2a)2-4a≥0,即a(a-1)≥0.因为命题p是假命题,所以a(a-1)<0,解得0方法二:依题意,命题p:∀x∈R,x2+2ax+a≠0是真命题,则Δ=(2a)2-4a<0,即a(a-1)<0,解得0答案:(0,1)三、解答题(每小题12分,共24分)7.写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根.(2)q:存在一个实数x,使得x2+x+1≤0.(3)r:等圆的面积相等,周长相等.(4)s:对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.【解析】(1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”,其否定形式是p:“存在实数m0,使得x2+x-m0=0没有实数根”.注意到当Δ=1+4m0<0时,即m0<- 时,一元二次方程没有实数根,所以 p是真命题.(2)这一命题的否定形式是q :“对所有实数x,都有x2+x+1>0”;利用配方法可以证得 q是一个真命题.(3)这一命题的否定形式是r:“存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等”,由平面几何知识知 r是一个假命题.(4)这一命题的否定形式是s:“存在α0∈R,有sin2α0+cos2α0≠1”.由于命题s是真命题,所以 s是假命题.8.(2014•汕头高二检测)设p:“∃x0∈R, -ax0+1=0”,q:“函数y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)上的值域为[1,+∞)”,若“p∨q”是假命题,求实数a的取值范围.【解析】由 -ax0+1=0有实根,得Δ=a2-4≥0⇒a≥2或a≤-2.因此命题p为真命题的范围是a≥2或a≤-2.由函数y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)的值域为[1,+∞),得a≥0.因此命题q为真命题的范围是a≥0.根据p∨q为假命题知:p,q均是假命题,p为假命题对应的范围是-2 这样得到二者均为假命题的范围就是⇒-2。
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《全称量词与存在量词》教案
1.4.1全称量词1.4.2存在量词
(一)教学目标
1.知识与技能目标
（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．
（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．
2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
3.情感态度价值观
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
(二)教学重点与难点
重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定.
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
（三）教学过程
学生探究过程：1．思考、分析
下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？
（1）2x＋１是整数；
(2) x＞３；
(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；
（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；
（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；
（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；
（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。
1．推理、判断
（让学生自己表述）
（1）、（2）不能判断真假，不是命题。
（3）、(4)是命题且是真命题。
（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。
注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。
因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。
（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；
命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．
（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）
命题（8）是真命题。
事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。
也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．
3．发现、归纳
命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。
命题（5）－（8）都是全称命题。
通常将含有变量x 的语句用p （x ），q （x ），r （x ），……表示，变量x 的取值范围用M 表示。
那么全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”可用符号简记为：∀x ∈M , p （x ），读做“对任意x 属于M ，有p （x ）成立”。
刚才在判断命题（5）－（8）的真假的时候，我们还得出这样一些命题：
（5），
存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A 版的教科书；
（6），
存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．
（7），
存在一个（个别、某些）实数x （如x ＝2），使x ≤３．（至少有一个x ∈Ｒ, x ≤３）
（8），
不存在某个x ∈Ｚ使2x ＋１不是整数．
这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。
并用符号“∃”表示。
含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在
命题）命题（5），－（8），
都是特称命题（存在命题）．
特称命题：“存在M 中一个x ，使p （x ）成立”可以用符号简记为：,()x M p x ∃∈。
读做“存在一个x 属于M ,使p （x ）成立”．
全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“ 至多有一个”等.
4．巩固练习
（1）下列全称命题中，真命题是：
A. 所有的素数是奇数；
B. 2
,(1)0x R x ∀∈-；
C.1,2x R x x ∀∈+
≥ D.1(0,),sin 22sin x x x
π∀∈+≥
（2）下列特称命题中，假命题是： A.
2,230x R x x ∃∈--= B.至少有一个,x Z x ∈能被2和3整除
C. 存在两个相交平面垂直于同一直线
D.{|x x x ∃∈是无理数},x 2
是有理数． （3）已知：对1
,x R a x x
+
∀∈+
恒成立，则a 的取值范围是 ；
变式：已知：对2
,1
0x R x ax +
∀∈-+恒成立，则a 的取值范围是 ；
（4）求函数2()cos sin 3f x x x =--+的值域；
变式：已知：对,x R ∀∈方程2
cos sin 30x x a +-+=有解，求a 的取值范围．
5．课外作业P 29习题1.4A 组1、2题： 6．教学反思：
（1）判断下列全称命题的真假： ①末位是o 的整数，可以被5整除；
②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； ③负数的平方是正数； ④梯形的对角线相等。
（2）判断下列特称命题的真假： ①有些实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有些菱形是正方形。
（3）探究：
①请课后探究命题（5），－（8），
跟命题（5）－（8）分别有什么关系？
②请你自己写出几个全称命题，并试着写出它们的否命题．写出几个特称命题，并试着写出它们的否命题。