高等数学对数求导法参数方程的求导法则演示文稿

两边求导 1 y v( x) ln u( x) v( x) u( x) ,
y
u( x)
y u( x)v( x) v( x) ln u( x) v( x) uu((xx)).
二、对数求导法习例
例1.设
y
(
x 1)3 x ( x 4)2e x
1
,
求y.
例2.设 y xsin x ( x 0), 求y.
5)
1 5
ln(
x2
2),
d dx
(ln
y)
d dx
1 5
ln(
x
5)
1 5
ln(
x2
2)
,
1 y
y
1 5
x
1
5
1 5
2x x2
, 2
y
1
5
25
5
x5
x2
2
5 x
5
2x x2
. 2
三、由参数方程确定的函数的求导法则
1. xy
(t) (t)
a. b.
y f ( x) dy dx
F ( x, y) 0 dy
f ( x) f ( x)
dx
2.问题: 消参困难或无法消参时如何求导?
定理:
设
x y
(t) (t)
确定了
y为
x的函数,
x (t) 和 y (t) 可导, 且 (t) 0,
则 dy (t) . dx (t)
证明: 方法 1. 利用导数的定义.
t
方法 2. 利用复合函数的求导法则,有 dy
dy dx
dy dt dt dx
dt dx
(t) . (t )
dt
一般来说有如下说明：
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
dy
dy dx
dt dx
xex 2 e x sin y
dt
从而
d2y dx 2
x ex
ex 2 sin y
(1
e
x
)e
x
sin
y
(
x
e (e
x x
2) e x
sin y)2
sin
y
e
x
cos
y
dy dx
(3
x)e
x
sin2 y ( x e e2 x sin3 y
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
若上述参数方程中
二阶可导, 且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
x (t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d (dy) dx dx
高等数学对数求导法参数方程 的求导法则演示文稿
（优选）高等数学对数求导法 参数方程的求导法则
一、对数求导法
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
求导方法求出导数.
适用范围: 多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
设 y u( x)v( x) , 求 dy . dx
解: 首先, 两边取对数 ln y v( x) ln u( x),
y
0
0 ,
求
d2y dx2
.
例8. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
例9.
设由方程
x t2
t
2
y
2t
sin
y
1
(0 1)
确定函数 y y( x), 求
例6.设
x y
ln(1 t 2 ) t arctan
t
,
求
d3y dx3
.
解:
dy
x sin x (cos x ln x sin x ) x
解:
两边取对数 ln y x ln a a[ln b ln x ] b[ln x ln a ]
b 两边对 x 求导 y ln a a b y bxx
例4.设y ( x2 1)sin x ,求y.
解: ln y sin x ln(x2 1),
d (dy) d t dx
dx dt
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t )
(t
)
(t) (t 3 (t )
)
(t
)
yx x y x3
四、参数方程所确定的函数的导数习例
例6.设
x y
ln(1 t 2 ) t arctant
,
求
d3 dx
y
3
.
例7.设txxtexco1s
例4.设y ( x2 1)sin x ,求y.
例5.设y
5
5
x 5 ,求y. x2 2
例1.设
y
(
x 1)3 x ( x 4)2e x
1
,
求y.
解: 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
d (ln y) d [sin x ln( x2 1)],
dx
dx
1 y
y
cos x ln( x2
1) sin x
x
2
2
x
1
,
y
( x2
1)sin x cos x ln(x2
1)
2x sin x x2 1
.
例5.设y 5 x 5 ,求y. 5 x2 2
解:
ln
y
1 5
ln( x
0 ,求
d2y dx2
.
解: 因为 x 和 y 都是关于 t 的可微函数, 则
1 dx sin y dy 0
dt
dt
dx
ex
te x
dx
0
dt
dt
dx dt
ex 1 te x
ex 2 x
dy dt
te x e x 1 sin y (1 te x )
x ex 2 (2 x)sin y
dy dx
dt dx
1
1
1 t
2
2t
t, 2
dt
1 t2
d t
d2y dx2
dt
2
dx
1
2 2t
1 t2 , 4t
dt 1 t2
d3y dx3
d dt
1
t 4t
2
dx
2t
4t
(1
16t 2 2t
t2 )4
t
4 1 8t 3
.
dt
1 t2
例7.设
t x
x
te
x
cos 1
y
0
y
(
x 1)3 ( x 4)
x 2ex
1
[
1 x
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例2.设 y xsin x ( x 0), 求y.
解: 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x (t) 可导, x (t) 连续.
从而当x 0时 t 0.
lim y lim y lim (t t) (t) x0 x t0 x t0 (t t ) (t )
(t t) (t)
lim
t 0
(t
t t )
(t
)
(t) (t )
,
dy (t) . dx (t)