第六章实数小结及复习
七年级初一数学第六章 实数知识归纳总结附解析
七年级初一数学第六章 实数知识归纳总结附解析一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A ．4的算术平方根是±2B ．平方根等于本身的数有0、1C ．﹣27的立方根是﹣3D ．﹣a 一定没有平方根2．圆的面积增加为原来的m 倍，则它的半径是原来的（ ）A ．m 倍B ．2m 倍C 倍D ．2m 倍3．下列命题中，真命题是（ ）A ．实数包括正有理数、0和无理数B ．有理数就是有限小数C ．无限小数就是无理数D ．无论是无理数还是有理数都是实数4．2-是（ ）A ．负有理数B ．正有理数C ．自然数D ．无理数 5．下列数中，有理数是（ ）A B ．﹣0.6 C ．2π D ．0．151151115… 6．若2a a a -=，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）A ．原点左侧B ．原点或原点左侧C ．原点右侧D ．原点或原点右侧7．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A ＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ，再取这两个数的相反数，那么，所有A 的和为（ ）A ．4mB ．4m +4nC ．4nD ．4m ﹣4n8．下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．227B ．3.1415926C ．2.010010001D ．π3- 9．下列说法中不正确的是( )A ．是2的平方根B 2的平方根C ．2D ．2 10．估计20的算术平方根的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间 二、填空题11．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：若449n =，则第201次“F”运算的结果是 ．12．观察下列各式： 123415⨯⨯⨯+=； 2345111⨯⨯⨯+=； 3456119⨯⨯⨯+=；121314151a ⨯⨯⨯+=，则a =_____．13．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝123433-++=，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x ＋1，4x －1}＝min{2，－x ＋3，5x}，那么x ＝_______.14．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______. 15．定义新运算a ☆b ＝3a ﹣2b ，则（﹣2）☆1＝_____．16．规定用符号[]x 表示一个实数的整数部分，如[3.65]3,31⎡==⎣，按此规定113⎡=⎣_____． 17．34330035.12=30.3512x =-，则x =_____________．18．下列说法： ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________19．任何实数，可用[a]表示不超过a 的最大整数如[4]＝4，5＝2，现对72进行如下操作：72[72]8[8]2[2]1→=→=→=，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对正整数x 只进行3次操作后的结果是1，则x 在最大值是_____． 20．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①3310001000000100==，又1000593191000000<<，31059319100∴<<，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，<<34<<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．①它的立方根是_______位数．②它的立方根的个位数是_______．③它的立方根的十位数是__________．④195112的立方根是________．（2）请直接填写．．．．结果：=________．=________．22．定义：如果2b n =，那么称b 为n 的布谷数，记为()b g n =.例如：因为328=，所以()3(8)23g g ==， 因为1021024=，所以()10(1024)210g g ==. （1）根据布谷数的定义填空：g （2）=________________,g （32）=___________________. （2）布谷数有如下运算性质：若m ，n 为正整数，则()()()=+g mn g m g n ，()()m g g m g n n ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 根据运算性质解答下列各题：①已知(7) 2.807g =，求 (14)g 和74g ⎛⎫⎪⎝⎭的值； ②已知(3)g p =.求(18)g 和316g ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 23．观察下列等式： ①111122=-⨯， ②1112323=-⨯， ③1113434=-⨯. 将以上三个等式两边分别相加，得1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯. （1）请写出第④个式子 （2）猜想并写出：1n(n 1)+= ． （3）探究并计算：111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯. 24．我们规定：a p -＝1p a （a ≠0），即a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数．例：24-＝214 （1）计算：25-＝__；22-（﹣）＝__；（2）如果2p -＝18，那么p ＝__；如果2a -＝116，那么a ＝__； （3）如果a p -＝19，且a 、p 为整数，求满足条件的a 、p 的取值．25．z 是64的方根，求x y z -+的平方根26．对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为x <>.即:当n 为非负整数时，如果12n x -≤<1n 2+，则x n <>=；反之，当n 为非负整数时，如果x n <>=，则1122n x n -<+≤． 例如： 00.480<>=<>=，0.64 1.491, 3.5 4.124<>=<>=<>=<>=．（1）计算： 1.87<>= ；= ；（2）①求满足12x <->=的实数x 的取值范围， ②求满足43x x <>=的所有非负实数x 的值； （3）若关于x 的方程21122a x x -<>+-=-有正整数解，求非负实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案.【详解】解：A 、4的算术平方根是2，故A 错误；B 、平方根等于本身的数是0，故B 错误；C 、(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，故C 正确；D 、﹣a 大于或等于0时，可以有平方根，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，熟记定义是解决此题的关键.注意平方根和算术平方根的异同.2．C解析：C【分析】设面积增加后的半径为R，增加前的半径为r，根据题意列出关系式计算即可．【详解】设面积增加后的半径为R，增加前的半径为r，根据题意得：πR2=mπr2，∴，故选：C．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要注意，圆的面积和半径之间是平方关系而非正比例关系．3．D解析：D【分析】直接利用实数以及有理数、无理数的定义分析得出答案．【详解】A、实数包括有理数和无理数，故此命题是假命题；B、有理数就是有限小数或无限循环小数，故此命题是假命题；C、无限不循环小数就是无理数，故此命题是假命题；D、无论是无理数还是有理数都是实数，是真命题．故选：D．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．4．A解析：A【解析】【分析】由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据有理数和无理数的定义及分类作答．【详解】∵2-是整数，整数是有理数，∴D错误；∵2-小于0，正有理数大于0，自然数不小于0，∴B、C错误；∴2-是负有理数，A正确．故选：A．【点睛】本题考查了有理数和实数的定义及分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．5．B解析：B【分析】根据有理数的定义选出即可．【详解】解：A是无理数，故选项错误；B、﹣0.6是有理数，故选项正确；C、2π是无理数，故选项错误；D、0．l51151115…是无理数，故选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了实数，注意有理数是指有限小数和无限循环小数，包括整数和分数．6．B解析：B【分析】根据非正数的绝对值是它的相反数，可得答案．【详解】解：由a-|a|=2a，得|a|=-a，故a是负数或0，∴实数a在数轴上的对应点在原点或原点左侧故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用了非负数的绝对值，非正数与数轴的关系：非正数位于原点及原点的左边．7．C解析：C【分析】根据题意得到m，n的相反数，分成三种情况⑴m，n；-m，-n ⑵m，-m；n，-n ⑶m，-n；n，-m 分别计算，最后相加即可.【详解】解：依题意，m，n（m＜n）的相反数为﹣m，﹣n，则有如下情况：m，n为一组，﹣m，﹣n为一组，有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2nm，﹣m为一组，n，﹣n为一组，有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0m，﹣n为一组，n，﹣m为一组，有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m所以，所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n故选：C．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.8．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、227是有理数，故选项A不符合题意；B、3.1415926是有理数，故选项B不符合题意；C、2.010010001是有理数，故选项C不符合题意；D、π3是无理数，故选项D题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．9．C解析：C【详解】解：A. 是2的平方根，正确；是2的平方根，正确；C. 2的平方根是±，故原选项不正确；D. 2，正确．故选C．10．C解析：C【解析】试题分析：∵16＜20＜25，∴∴4＜5．故选C．考点：估算无理数的大小．二、填空题11．．【详解】第一次：3×449+5=1352，第二次：，由题意k=3时结果为169；第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5解析：8．【详解】第一次：3×449+5=1352，第二次：13522k，由题意k=3时结果为169；第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5=8；第六次：82k，因为8是2的3次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8和1循环．因为201是奇数，所以第201次运算结果是8．故答案为8．12．181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．【详解】由题意得将代入原式中故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入12n=求解即可．【详解】由题意得()31n n=⨯++将12n=代入原式中12151181a==⨯+=故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．13．或【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1解析：12或13【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}=321413x x+++-=2x+1，∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，∴有如下三种情况：①2x+1=2，x=12，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，52，52}=2，成立；②2x+1=-x+3，x=23，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，73，103}=2，不成立；③2x+1=5x，x=13，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，83，53}=53，成立，∴x=12或13，故答案为12或13.【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．14．0【解析】试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．解析：0【解析】试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．15．﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解析：﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．-3【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵3＜＜4∴-3＜＜-2∴-3故答案为-3．【点睛】本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本解析：-3【分析】1⎡⎣的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵34∴-3＜1--2∴1⎡=⎣-3故答案为-3．【点睛】17．－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添解析：－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”故答案为：－0.0433【点睛】本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．18．2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即解析：2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【详解】=，故①错误；①10②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；与的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是②⑥共2个．故答案为：2个．此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无π也是无理数． 19．255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵，，，∴只解析：255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵1=，3=，15=，∴只进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．【点睛】本题考查了估算无理数大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力． 20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】6a ==479<<<<23<<∴的整数部分是2，即2b =则6212ab =⨯=故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b 的值是解题关键．三、解答题21．（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．【分析】（1）①根据例题进行推理得出答案；②根据例题进行推理得出答案；③根据例题进行推理得出答案；④根据②③得出答案；（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论； ②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.【详解】（1）①31000100==，10001951121000000<< ，∴10100<<，∴能确定195112的立方根是一个两位数，故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，又∵38512=，∴能确定195112的个位数字是8，故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，<<∴56<<，可得5060<<，由此能确定195112的立方根的十位数是5，故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58，故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.【点睛】此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.22．（1）1；5；（2）①3.807，0.807；②12p +；4p -.【分析】（1）根据布谷数的定义把2和32化为底数为2的幂即可得出答案；（2）①根据布谷数的运算性质, g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再代入数值可得解； ②根据布谷数的运算性质, 先将两式化为2(18)(2)(3)g g g =+，3()(3)(16)16g g g =-，再代入求解.【详解】解：（1）g （2）=g （21）=1，g （32）=g （25）=5；故答案为1，32；（2）①g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），∵g （7）=2.807，g （2）=1，∴g （14）=3.807；7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭g （4）=g （22）=2， ∴74g ⎛⎫ ⎪⎝⎭=g （7）-g （4）=2.807-2=0.807； 故答案为3.807，0.807；②∵()3g p =.∴22(18)(23)(2)(3)12g g g g p =⨯=+=+； 3()(3)(16)416g g g p =-=-. 【点睛】本题考查有理数的乘方运算，新定义；能够将新定义的运算转化为有理数的乘方运算是解题的关键．23．（1）1114545=-⨯；（2）111(1)1n n n n =-++；（3）2551． 【解析】试题分析：（1）规律：相邻的两个数的积的倒数等于它们的倒数的差，故第四个式子为：1114545=-⨯； （2）根据以上规律直接写出即可；（3）各项提出12之后即可应用（1）中的方法进行计算． 解：（1）答案为：1114545=-⨯； （2）答案为：()11111n n n n =-++； （3）111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯ =12×（111122334++⨯⨯⨯+…+15051⨯） =12×5051=2551. 点睛：本题是一道找规律问题.解题的重点要根据所给式子中的数字变化归纳出规律，而难点在于第（3）问中要灵活应用所总结出来的公式.24．（1）125；14；（2）3；±4．（3）当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2.【分析】（1）根据题意规定直接计算.（2）将已知条件代入等式中，倒推未知数.（3）根据定义，分别讨论当a 为不同值时，p 的取值即可解答.【详解】解：（1）5﹣2＝125；（﹣2）﹣2＝14； （2）如果2﹣p ＝18，那么p ＝3；如果a ﹣2＝116，那么a ＝±4； （3）由于a 、p 为整数，所以当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2．故答案为（1）125；14；（2）3；±4．（3）当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2.【点睛】 本题考查新定义，能够理解a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数这个规定定义是解题关键.25．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x 、y 的值，然后求出z 的值，再根据平方根的定义解答．【详解】，∴x+1=0,2-y=0，解得x=-1，y=2，∵z 是64的方根，∴z=8所以，x y z -+=-1-2+8=5，所以，x y z -+的平方根是【点睛】此题考查非负数的性质，相反数，平方根的定义，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．26．（1）2，3 （2）①5722x ≤<②330,,42（3）00.5a ≤< 【分析】（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x 的取值范围；②根据新定义的运算规则和43x 为整数，即可求出所有非负实数x 的值； （3）先解方程求得22x a =-<>，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数a 的取值范围．【详解】（1） 1.87<>=2；=3；（2）①∵12x <->= ∴1121222x --<+≤解得5722x ≤<； ②∵43x x <>=∴41413232x x x -<+≤ 解得3322x -<≤ ∵43x 为整数 ∴333,0,,442x =- 故所有非负实数x 的值有330,,42； （3）21122a x x -<>+-=- 1241a x x -<>+-=-22x a =-<>∵方程的解为正整数∴21a -<>=或2①当21a -<>=时，2x =是方程的增根，舍去 ②当22a -<>=时，00.5a ≤<．【点睛】本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．。
七年级数学下册第六章实数小结与复习课件
七年级数学（下册）
第六章 实数复习小结课
由于生活和生产实践的需要…
由记数、排序，产生数
1， 2， 3…
由于生活和生产实践的需要…
由表示“没有”、“空位”，产生
0
由于生活和生产实践的需要…
由分物、测量，产生数
1 1 ， … 2 3
由于生活和生产实践的需要…
由表示温度的零上与零下 等，产生负数
计算：
（1） 3 (
15 3)
；（2）
1 3 (2 ) . 3
3
64 4 ；
（2）3 8 2 ；
2 2 2 3 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 3 4； （ 3） ， ，
（4）因为
81 9 ，所以 9 3 ， 9 3 ， 3 9 .
平方根和立方根的联系与区别
数a 表示方法 算术平方根 平方根 立方根
2 ； x 2 ，则x＝_____
2
实数的分类
有理数
整数
有限小数及无限循环小数
实 数
无理数
分数
正无理数 负无理数
无限不循环小数
与数轴上的点一一对应，实数的相反数，绝对值， 以及运算律与有理数是一致的
还可以这样分: 正实数 实 数 0 负实数 正有理数
正无理数 负有理数
负无理数
小红和小明的说法正确吗？
3
a
a≥ 0
0 没有 0,1
a
a≥ 0
0 没有 0
a
a 的取值
性 正数 0 负数
a是任意实数
正数（一个） 0 负数（一个） 0,1,-1
正数（一个） 互为相反数（两个）
质
(完整版)第六章实数知识点总结
第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16π是有理数，而不是无理数。
3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作“a”。
（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式4、开方规律小结（1）若a≥0，则a的平方根是a a a它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。
_第六章实数知识点复习
第六章知识点复习以及例题讲解1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
“根号a”）对于正数a负的平方根用”表示（读做“负根号a” ）如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。
（2）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；②0只有一个平方根，它就是0本身；③负数没有平方根.（3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a（50a≥0。
（6）公式：⑴2=a（a≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。
即X3=a,把X叫做a的立方根。
数a的立方根用符号表示，读作“三次根号a”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.3、规律总结（1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
（2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
二、平方根、立方根例题。
例1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由①（-3）2②0 2③-0.01 2（2）下列说法对不对？为什么？①4有一个平方根②只有正数有平方根③ 任何数都有平方根④ 若 a ＞0，a 有两个平方根，它们互为相反数例2、求下列各数的平方根： (1) 9 (2) (3) 0.36 (4)例3、设，则下列结论正确的是（ ）A.B.C.D.举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）___________，___________，___________.【变式2】求下列各式中的（1） （2） （3）【例4、判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3； （2）的平方根是±15. （3）当x=0或2时，例5、求下例各式的值：（1） （2） （3） （4）1416932736427 327102 64-64-3三、实数知识复习。
七年级.数学下册 第六章 实数小结与复习教学课件下册数学课件
(x=-18)
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5.比较大小： 2 5 与 2 3 .
解：∵(-2+ 5 )-(-2+ 3 )= -2+ 5 +2- 3 = 5 - 3 ＞0 ∴-2+ 5 ＞-2+ 3 另解：直接由正负决定-2+ 5 ＞-2+ 3
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6.若 3a4(4b3)20, 求-ab 的平方根.
2.
的整数部分为____,3小数部分为_ ___1_0. 3
3.一个立方体的棱长是4cm，如果把它体积扩大为 原来的8倍,则扩大后的立方体的表面积是_______3.84cm2
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4.求下列(xiàliè)各式中的x. （1） (x-1)2=64； （2）
(x=9或-7 )
第七页，共十七页。
【迁移应用3】如图所示，数轴上与1， 对应的点分 别是为A、B，点B关于点A的对称点为C,设点C表示的 数为x,则 x 2 = 2 2 2 .
CAB
0
1
2
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专题四 实数(shìshù)的运算
【例4】（1）
60
【例5】已知
,则
（2）
，
= 0.081，38
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课堂小结
1.通过对本章(běn zhānɡ)内容的复习，你认为平方根和立方 根之
间有怎么样的区别与联系？
2.什么(shén me)是实数？
3.实数的运算法则与有理数的运算法则有什么联系？
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第十一页，共十七页。
第六章实数知识点总结(一)
第六章实数知识点总结(一)
第六章实数知识点总结
前言
在第六章中，我们学习了实数的相关知识，这个章节是数学学习的基础，对于后续的数学学习非常重要。
本文将对第六章实数知识点进行总结，帮助大家更好地理解和掌握这些概念。
正文
实数的基本性质
•实数是有理数和无理数的总称，包括有限小数、无限循环小数和无限不循环小数。
•实数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
•实数的整除性、因数分解和素数判断。
实数的范围
•实数集的包含关系：自然数、整数、有理数、实数的集合关系。
•有理数和无理数的区别和关系，以及无理数的分类。
实数的大小比较
•实数的大小比较原则，包括利用大小关系解决实际问题。
•绝对值的性质和应用，包括绝对值的大小比较和解绝对值不等式。
实数的运算性质
•实数运算与数轴的关系，包括实数加减法的几何意义。
•实数的数轴划分和运算规律，包括实数乘法的几何意义。
•实数的乘方和开方，包括实数乘方的运算规律和开方的性质。
实数的近似表示
•实数的近似表示，包括十进制近似和科学记数法表示。
•实数的修约和有效数字。
结尾
通过本章学习，我们对实数的性质、范围、大小比较、运算性质
和近似表示等方面有了更深入的了解。
实数是数学中的基础概念，对
于后续的数学学习至关重要。
希望大家通过不断的练习和实践，能够
更好地掌握和运用这些实数知识点，为之后的学习打下坚实的基础。
第六章实数知识点总结
第六章实数1. 实数的引入实数是我们日常生活中最常见的数，包括整数、分数和无限不循环小数。
实数的引入是为了解决无理数的存在问题。
1.1 有理数的不足有理数可以用分数表示，但有些数无法用有限的小数或分数表示，例如根号2、圆周率π等。
这些数被称为无理数。
1.2 实数的定义实数是有理数和无理数的集合，记作R。
2. 实数的性质实数具有一些基本性质，包括有序性、稠密性和连续性。
2.1 有序性实数集可以通过大小关系进行排序，即对于任意两个实数a和b，要么a>b，要么a<b，或者a=b。
2.2 稠密性实数集中的任意两个不相等的实数之间，总存在一个实数。
2.3 连续性实数集上的连续性指的是实数集中的任意一个非空有界集合都有上确界和下确界。
3. 实数的表示实数可以通过有限小数、无限循环小数和无限不循环小数进行表示。
3.1 有限小数有限小数是指小数部分有限位数的实数，可以通过有限位数的小数表示。
3.2 无限循环小数无限循环小数是指小数部分有限位数，并且从某一位开始循环的实数，可以通过循环节表示。
3.3 无限不循环小数无限不循环小数是指小数部分无限位数且没有循环的实数，无法用有限位数或循环节表示。
4. 实数的运算实数具有加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
4.1 加法和减法实数的加法和减法遵循交换律、结合律和分配律。
4.2 乘法和除法实数的乘法和除法也遵循交换律、结合律和分配律。
4.3 乘方和开方实数的乘方和开方是指将一个实数自乘或自开方。
5. 实数的性质实数具有许多重要的性质，包括有界性、保号性和密度性。
5.1 有界性实数集中的一个集合称为有界集合，如果存在两个实数a和b，使得集合中的所有元素都在a和b之间。
5.2 保号性实数的乘法和平方具有保号性，即正数相乘、负数相乘或正数平方仍为正数，负数平方仍为正数。
5.3 密度性实数集中的任意两个不相等的实数之间，总存在一个实数，即实数集是稠密的。
6. 实数的应用实数在数学和其他学科中有广泛的应用，包括几何、物理、经济等领域。
第六章实数章节复习知识点归纳,总结
第六章 实 数一．知识结构图：二．知识定义 算术平方根正数a 的算术平方根记作: .正数和零的算术平方根都只有 个，零的算术平方根是 ，负数 算术平方根。
⎩⎨⎧==||2a a()=2a例：1. 25的算术平方根是 ；16的算术平方根是 。
2.已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．1+a B.1+aC.12+a D. 12+a3.面积为11的正方形边长为x ，则x 的范围是（ ） A ．31<<x B. 43<<x C. 105<<x D. 10010<<x4.若∣a ∣=6，b=3，且ab 0，则a-b= 。
平方根正数a 的平方根记作: .一个正数有 平方根，他们互为 ； 零的平方根是 ；负数 平方根。
例1.16的平方根是( ) A ．4 B. 4± C. 2 D. 2±2.一个正数x 的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=____，x=___。
3.已知2a-1的算术平方根式3,4是3a+b-1的算术平方根，求a+2b 的平方根。
立方根a 的立方根记作: .一个 数有一个 的立方根；一个 数有一个 的立方根；零的立方根是 。
33a a -=-=33a ()=33a例：1. 412=_____，169±=_____，3278-_____.2.下列说法中正确的是（ ） A 、81的平方根是±3B 、1的立方根是±1C 、1=±1 D 、5-是5的平方根的相反数3.判断下列说法是否正确 （1）的算术平方根是-3； （2）225的平方根是±15.（3）当x=0或2时，02=-x x（4）23是分数4.已知∣x ∣的算术平方根是8，那么x 的立方根是_____。
5.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ） A 、211 B 、1.4 C 、2 D 、35.求下列各式中的 （1）252=x（2）912=-）（x （3）643-=x 实数例：1.下列各数：①3.141、②0.33333……、③7-5、④π、⑤25.2±、⑥、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有 ；无理数的有 .（填序号）相反数实数a 的相反数是 ；如果a 与b 互为相反数，则有 。
第六章实数复习与小结
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−−→←.00;;___00;.;00:,的立方根是方根负数有一个负的立方根正数有一个正的立性质定义立方根开立方的算术平方根是的正的平方根正数性质定义算术平方根负数没有平方根的平方根是们互为相反数根一个正数有两个平方性质定义平方根开平方开方乘方互为逆运算a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负有理数正有理数有理数实数0第六章 实数小结与复习一、本章知识结构图二、本章知识应用（一） 平方根概念立方根概念：1、16的平方根是（ ） A ．±2 B. 4 C. ±4 D.－42、下列式子中，正确的是（ ） A ．3273-=- B.6.06.3-=-C. 13)13(2-=-D. 636±=3、4的算术平方根是 ，36的平方根是 ， 49-= 二 比较大小：4.、；23-23-；三 利用平方根立方根的相关知识点综合应用题 5、 若52=x ，则=x ；若22)3(-=x ，则=x ；若16)1(2=-x ，=x ；6、37-的相反数是 , 绝对值等于3的数是7、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的算术平方根是4，求b a 2+的平方根.8、已知某数的平方根为1523-+a a 和，求这个数的是多少？四、 估算 9、 若a =20, 则=2.0 ；289.114.23≈，且89.123=-x 则=x .五、考查实数概念10、下列说法正确的是 （ ）A ．无限小数是无理数 B.带根号的数都是无理数 C ．无理数是无限小数 D.无理数是开方开不尽的数 11、将下列各数的序号填在相应的集合里. （1） ①3512，②π，③3.1415926，④－0.456，⑤3.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1），⑥0， ⑦115，⑧－39，⑨2)7(-，⑩1.0有理数集合：{ …}；无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}；整数集合： { …}；六、考查计算题 12、计算⑪242523-+ ⑫ 174757333-+- （3） 33325533++--⑷化简12+-+- ⑸π++221（414.12≈精确到0.01）七、比较大小应用14、实数b a 、在数轴上的位置如图所示，化简：2a b a --.15、如图，数轴上A B 与点A 到，设点B 所表示的数为x，求(0x 的值．、一个正数有两个平方根，并且互为相反数b a。
人教版七年级数学下册第六章《实数》知识点复习与小结优秀教学案例
3.利用问题引导学生进行推理和证明，培养他们的逻辑思维能力。
4.鼓励学生主动寻找解决问题的方法，培养他们的自主学习能力和创新意识。
（三）小组合作1.将学生分为小ຫໍສະໝຸດ ，鼓励他们进行合作学习和讨论交流。
2.设计具有挑战性和综合性的任务，让学生在合作中解决问题，提高解决问题的能力。
（三）学生小组讨论
1.将学生分为小组，给出具有挑战性和综合性的任务，让学生在小组合作中解决问题。例如，可以让学生探讨实数的性质和运算规则，并尝试解决一些实际问题。
2.鼓励学生分享自己的观点和思考过程，培养他们的团队合作意识和沟通能力。例如，可以让每个小组成员依次发表自己的观点，并进行讨论交流。
（四）总结归纳
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用生活实际问题，创设情境，引发学生对实数的兴趣和好奇心。
2.通过图形、模型等直观教具，帮助学生形象地理解实数的概念和性质。
3.设计具有挑战性和针对性的问题，激发学生的思考和探索欲望。
4.创设互动交流的平台，让学生分享自己的思考过程和解决问题的方法。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，培养他们的问题意识和解决问题的能力。
3.鼓励学生分享自己的观点和思考过程，培养他们的团队合作意识和沟通能力。
4.注重小组合作的过程和结果，对学生的合作学习和团队精神进行评价和反馈。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自己的优点和不足，提高自我认知能力。
2.让学生通过自我评价和同伴评价，了解自己的学习进展和提高方向。
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，使他们愿意主动学习数学。
2.培养学生的团队合作意识，使他们能够在学习过程中相互帮助、共同进步。
七年级数学下册第6章实数6.3.3实数的复习(图文详解)
D. a2一定没有平方根
七年级数学第6章实数
不 要 搞 错 了
8是 64 的平方根 64的平方根是 ±8
64的值是 8 64的平方根是 8
64的立方根是 4
七年级数学第6章实数
解下列方程：
x2 196
x 14
不
4x2 25
x5 2
要
（x 2）2 3
1
3 9, 4 ,
4 , 0,
9
7 , , 5 , 2 , 16 ,
7 25 , 0.3737737773
5, 3 8,
无理数集合： 3 9 , 7 , , 2 , 5, 0.3737737773 …
有理数集合：
1 , 5 , 16 , 3 8,
4
2
4, 9
七年级数学第6章实数
大家都知道 2是无理数，而无理数是无限不循
环小数，因此， 2 的小数部分我们不可能全
部写出来，于是小明用2 1 来表示2 的小 数部分，你同意小明的方法吗？事实上，小明 的表示方法是有道理的，因为2 的整数部分 是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部 分。请解答：
已知10 3 x y，其中x是整数，且0 y 1, 求x y的相反数.
是正数
是负数
等于本身
2 3 2 3
3 2
2 3 （ 3 2）
2 3 3 2
2 3 3 3
4 2 3
七年级数学第6章实数
要做一个正方形使它的面
积等于半径为20cm的圆的
面积，则做成的木料的边
长是
cm
七年级数学第6章实数
点A在数轴上表示的数为 3 5， 点B在数轴上对应的数为 5， 则A，B两点的距离为
第六章实数知识点总结
第六章实数知识点总结【最新版】目录1.实数的定义与分类2.实数的性质3.实数的运算4.实数的函数5.实数的应用正文第六章实数知识点总结在本章中，我们将对实数这个重要的数学概念进行总结。
实数是数学中一个基本的概念，它在各个数学领域中都有着广泛的应用。
下面我们将从实数的定义与分类、性质、运算、函数以及应用五个方面来详细讨论实数的相关知识点。
一、实数的定义与分类实数是包括有理数和无理数在内的数的集合。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，例如 1/2、-3/4 等。
无理数则不能表示为两个整数之比，例如圆周率π和自然对数的底数 e 等。
二、实数的性质实数具有以下性质：1.实数集是一个有序的集合，可以进行大小比较。
2.实数集具有加法、减法、乘法、除法等运算。
3.实数集满足交换律、结合律、分配律等运算律。
4.实数集存在绝对值，即对于任意实数 x，总有|x|≥0，且当且仅当x=0 时，|x|=0。
三、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法等。
这些运算满足交换律、结合律、分配律等运算律，可以方便地进行计算。
四、实数的函数实数的函数是指将实数集映射到实数集的函数。
实数的函数可以是线性的，也可以是非线性的。
实数的函数在各个领域中都有着广泛的应用，例如在物理学、经济学、生物学等领域。
五、实数的应用实数在各个领域中都有着广泛的应用，例如在物理学中的运动学、力学、热力学等方面，经济学中的微观经济学、宏观经济学等方面，生物学中的生态学、遗传学等方面。
此外，实数在计算机科学、工程学等领域中也有着重要的应用。
人教版七年级数学下册第六章实数小结与复习
典型分析，强调方法
例6 下列各数：
① 3.14 1 ② 0.333 33······ ③ 5 7
④π
⑤ 25
⑥ 2
⑦ 0.303 000 300 000 3······（相邻3 两个3
之间0的个数逐次增加2）．其中是有理
数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有
＿＿＿＿＿＿＿（填序号）.
a a0 0 a0
a (a 0)
a0
3 a 3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
第十二页，共21页。
典型分析，强调方法
例1 求下列各数的算术平方根及平方
根：
（1）64； （2）0.25； （3） 1 0 ．4
答案：（1）8， 8 ；（2）0.5， 0 .5 ； （3）1 0 2 ， 1 0 2．
a
a
3a
a≥ 0
a≥ 0 a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
是本身
0,1
0
第八页，共21页。
0,1,-1
无限不循环的小数 叫做无
理数. 有理数和无理数统称实数.
实数与 数轴上的点是一一对应的
实数与实数与上的点是一一对应的上的点是一一对应的在实数范围内相反数倒数绝对值的意义在实数范围内相反数倒数绝对值的意义和有理数范围内的相反数倒数绝对值的意和有理数范围内的相反数倒数绝对值的意义完全一样义完全一样数轴11知识梳理把握重点12正整数负整数正分数负分数分数整数自然数正无理数负无理数无限不循环小数有限小数及无限循环小数一般有三种情况1
第六章实数复习
和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意
义完全一样 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及 运算性质同样适用。
2019/5/29
7
有限小数及无限循环小数
正整数
整数
0
有理数
负整数
分数 正分数
实 数
负分数
正无理数
无理数
负无理数
2019/5/29
无限不循环小数
１．圆周率及一些含有 的数
（3） 25 5 （6） - 3 125 5
36
6
82
2019/5/29
12
把下列各数分别填入相应的集合内：
3 2,
1, 4
7,
,
5, 2
2,
20 ,
3
4, 9
0,
5, 3 8,
0.3737737773 （相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
2019/5/29 有理数集合
一般有三种情况 ２．开不尽方的数
３．有一定的规律，但不循环的无限小数
8
a2 a =
a 2 a
a a 0 0 a 0 a (a 0) a 0
3 a3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
2019/5/29
9
下列说法中，正确的是（ D ）
2019/5/29
5
(1)立方根
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零。
（2）平方根和立方根的异同点
被开方数
平方根
立方根
正数 有两个互为相反数 有一个,是正数
负数 零
人教版七年级下册第六章实数小结(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“实数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过无法用整数或分数表示的长度或面积？”（如一张纸的对角线长度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索实数的奥秘。
1.教学重点
-实数的概念及其分类：理解有理数和无理数的区别，掌握实数的整体分类，强调实数在数学体系中的重要性。
-举例：通过具体的有理数和无理数例子，如1/2、√3，让学生感受实数的广泛性。
-实数的运算规则：熟练掌握实数的加减乘除、乘方和开方运算，理解运算顺序和法则。
-举例：通过计算例题，如3+√2、(√5)^2，让学生掌握实数的运算方法。
2.教学难点
-无理数的理解：无理数的概念对学生来说是抽象的，难以直观理解。
-突破方法：通过历史故事或实际操作，如用剪刀和纸片制作√2的近似图形，帮助学生形象理解无理数。
-实数的混合运算：学生在进行实数的混合运算时，往往对运算顺序和法则掌握不清。
-突破方法：设计不同难度的运算题目，逐步引导学生掌握运算规则，如先乘除后加减，指数运算的优先级等。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
七年级数学下册第六章实数小结与复习280
第六章复习教案知识梳理一．数的开方主要知识点：【1】平方根：1.如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0ax。
因此：=a±(≥2.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；3.当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：ax±=。
当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。
例1.（1）的平方是64，所以64的平方根是；（2）的平方根是它本身。
（3）若x的平方根是±2，则x= ；是（4）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？【2】算术平方根：1.如果一个正数x的平方等于a，即a2，那么，这个x=正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0a。
≥a(0≥3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的平方根是1B ．24±= C.81的平方根是3± D.0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A.981±= B.14.314.3-=-ππ C.3927-=- D.235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）已知x -3和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y 的值（5）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。
求x －y 的值.【3】立方根1.如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。
记做：3a ，读作，3次根号a 。
第六章 实数 小结复习
第六章实数小结复习
第六章是高中数学中十分重要的一章，实数在数学中也有着十
分基础的地位，因此我们需要好好总结。
首先，在研究实数时我们需要掌握的一个重要概念就是有理数
和无理数。
有理数是可以表示成两个整数之比的数，而无理数则表
示不出来。
实数是有理数和无理数的和。
掌握好这些概念对于后续
的研究很有帮助。
接下来，在研究实数时我们还需要掌握的知识点就是实数的性质。
实数具有加法、减法、乘法、除法以及不等式运算的性质，我
们需要熟练掌握这些性质并应用到实际问题中。
此外，在研究实数时我们还需要掌握的知识点就是实数的分类。
实数可以分为有理数和无理数两类，有理数又可以分为整数、正分
数和负分数三类。
我们需要了解这些分类方法以及其应用。
最后，在研究实数时还需要掌握的知识点就是实数的运算法则。
我们需要掌握实数的四则运算法则、绝对值法则、幂运算法则以及
根号运算法则等等。
只有熟练掌握这些法则，我们才能在实际问题中灵活应用。
以上是第六章实数的小结复习，希望大家都能掌握好这些知识点，为后续学习打好坚实的基础。
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第六章实数小结与复习
随县安居中心学校徐春亮
教材分析
《人教版新课程标准教科书数学》七年级下册第六章实数小结与复习。
本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算。
通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题。
在中学数学中占有重要的地位，本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何的大部分知识做好准备。
教学目标
（一）教学知识点：
1、经历小结与复习，建立本章知识框架图。
2、进一步复习本章知识，强调有关概念、运算的联系与区别及数的范围由有理数扩大到实数后，有关概念和运算的变化情况。
（二）能力训练要求：
通过回顾与思考使学生能进一步掌握实数的相关知识并会灵活运用，体会归纳的数学思想方法。
（三）情感与价值观要求：
1、培养学生学会归纳，整理所学知识的能力。
2、认识事物之间的内在联系及相互转化。
3、培养学生的数学应用意识。
教学重点
有关概念、运算。
教学难点
知识间的内在联系与区别。
教学方法
教师引导学生进行归纳
教具准备
多媒体演示等
教学过程
（一）引导学生复习知识要点： 1、平方根和开平方：
（1）如果2(0)x a a =≥，那么x 叫做a 的平方根．a 的平方根记作a ±。
若x ≥0，则x 叫a 的算术平方根
（2）求一个数平方根的运算叫开平方。
互逆
开平方 平方
（3）一个正数有两个平方根,它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方
根 注：
a 具有双重非负性：①被开方数a 是非负数，即a ≥0.
②算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0。
练习1：
（1）求下列各数的算术平方根：
① 900 ； ② 1 ； ③
;64
49
④ 14 . （2） 求下列各数的平方根：
① 11 ②
49
121
③ 0.0004 ④ ()225- （3）25的算术平方根是 ；3的平方根是 ；16的平方根
是 。
（4）-27的立方根与16的平方根之和是 。
(5)化简:
①44.1-21.1; ②2328-+;
2、立方根和开立方：
(1)如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．a 的立方根记作3a 。
(2)求一个数平方根的运算叫开平方。
互逆
开立方 立方
(3)正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根为0
练习2：
（1）．求下列各数的立方根：
① -27； ②
;125
8
③ 0.126; ④ -5. （2）求下列各式的值：
① ;83- ② ;064.03 ③ 3
125
8
-； ④ ()3
3
9.
3、实数：
（1）实数定义及分类： ①按定义分类 ② 按正负分类
（2）数从有理数扩充到实数后，有理数的相反数、倒数、绝对值、大小比较、
运算律、运算顺序、运算法则对实数同样适用。
（3）两个一一对应：
一一对应 一一对应
实数 数轴上的点 有序实数对 坐标平面上的点
练习3：
（1）下列说法正确的是( )
A. 无限小数都是无理数
B. 带根号的数都是无理数
C. 无限不循环小数是无理数
D. π是无理数, 故无理数也
可能是有限小数 （2）
2的相反数是 ，35的倒数是 ，
3，0，—π的绝对值分别是 ，3—π的绝对值
是 。
（3）判断下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数。
7
，-π，3.14，1.732，0，
7
22，-2，320，5-，38-，94，
3.464664666， 0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）。
（4）计算：3
12564-38+
-100
1(-2)3
×3064.0 4、重要公式
2a =⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=)0()0(0
)0(||a a a a a a （a ）2=a （a ≥0） 3
3a =a （a 取全体实数） （3a ）3=a （a 取全体实数）
练习4：
若2x =3，则x= 。
2
3-a ）（=3-a ，则a 的取值范围
是 。
5、估算及比较大小 练习5：
（1）17在两个相邻的整数 和 之间。
（2）比较大小：（1）14与15；（2）4与15；（3）3与115-
6、利用平方根和立方根知识解方程 练习6：
求下列各式中x 的值：
（1）3x 2-27=0 （2） 2x 2=10 （3） 16（x-1）2=9 （4） 64-27x 3=0 （二）师生共同总结本章知识框架图： 有理数
互逆
开平方
平方根
实数 乘方
开方
无理数 开立方 立方根 （三）课后巩固练习：
1、（1）一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平
方根等于它本身，这个数是 ；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 ；
（2）一个数的立方等于它本身，这个数是 ；一个数的立
方根等于它本身，这个数是 。
2、求下列中的x 的值：
①28)12(2=-x ②27)3(83=--x ③35123403-=+x 3、已知数m 的两个平方根分别为a+3和2a-15，求m 的值。
4、若373-x 互为相反数,试求x+y 的值．
5、如果2-x +（x+y-3）2=0,求x,y 的值．
6、已知322+-+-=x x y ，求x y 的平方根．
7、当1<x<3时，求 ︳1-x ︳+23-x ）（的值。
8
a ，小数部分为
b ，求代数式a 2－a －b 的
值．
9、判断下列各式中字母x 的取值范围：
①x - ②631
-x ③2)3(-x ④34-+x x ⑤x x -+-44。
10、(1)
1.732 5.477==
,
.
(2)
173808067.,
.==,
板书设计：
教学反思：本节课采取了以学生为主体的复习方式，注重对概念的理解与运用及内容间的相互联系。
使学生在牢牢掌握基础知识的同时，进一步提高灵活运用知识解决实际问题的能力。