戴维南定理

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例4-6 求图4-43电路中12k电阻的电流 I。
解：根据戴维南定理，这电路中除12k电阻以外，其它部分
（虚线框）所构成的含源单口网络，可以化简为一个电压源U
与一个电阻Ro相串联的等效支路。
a
为求得u，应使该单口网
+
+
络处于图4-44(a)所示的断
开状态， U即为ab两端的 电压。设该电路电流为 I’，
ia
+
N
u –
M
b
(a)
ia
+
N
ui –
b (b)
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= +
a
ia
+
–
N
uoc –
N0
Rabi +
b
b
（c）根据叠加定理 u = u – Rabi
电路分析基础——第一部分：4-6
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Ro a i
+
+
uoc u
M
–
–
b (d) 图(a)含源 单口网络 N 可
等效为电压源串联电阻支路
图4-45 戴维南定理的证明
(b)
b
a +
– 15.56V 12k 4.45k
b
(c)
电路分析基础——第一部分：4-6
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即
I
=
15.56 12+4.45
=
0.946mA
本题属于图4-1所示分解中N2仅含一个12k电阻的情况， 端口电流即流过的12k电流，此电阻称为含源单口的负载。
求解本题时，若用网孔分析法，需列两个联列方程，再解 出 I 。用节点分析法，需先求Uab，再算出 I 。
u = uoc – Rabi
（4-28）
电路分析基础——第一部分：4-6
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这个式子就是线性单口网络N在图(a)所示参考方向下VAR的一般形 式。该式和一个由电源对外供电时端电压 u 的表达式完全一样。
这就说明：就网络N的两个端纽a、b来看，含源单口网 络可等效为一个电压源串联电阻支路，其端电压为uoc， 串联电阻为Rab，如图(d)所示。
4-6 戴维南定理
内容回顾：
在4-4节中我们曾讨论过求单口网络的等效电路的问题，并 指出：这一问题实质上是求单口网络的VAR问题。
例4-1结合具体电路，阐述了求VAR的基本方法并在4-4节各 个例子中求等效电路时得到了应用。
4-5节中提出的一些公式和规律，虽然在求等效电路时使人 感到直接、简便，但只能在某些特殊场合使用（电阻串并联）。
下面我们来证明这个定理。
这个定理是叠加定理的结果。设一线性单口网络N 与外电路M如图4-45(a)所示，M可以是纯电阻，也可以 含有电源；可以是线性的，也可以是非线性的。
由于单口网络的VAR与外接电路无关，我们可以 设想在外接一个电流源 i 的情况下去求网络两端电压 u， 从而得出它的VAR。
电路分析基础——第一部分：4-6
R1 R3
+
R2
u’oc
R1 R3
–
+
u”oc is2
–
b (a)
b (b)
图4-50 运用叠加定理求uoc
就可以求得
uoc = u’oc + u”oc + u”’oc
具体算法如下：
从图(a)，可得
i’o =
R1 R1 +R2 +R3
is1
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a
R2
R3
R1
+
+ u”’oc
us3 –
–
b （c）
这个结论十分重要，因为我们有时并不知道一个含源单口网 络内部的具体情况，无法象例4-14那样通过计算来求出等效电路， 也无法象例4-1那样求出VAR。
但是，根据以上所述，只要我们能接触到它的两个端钮，我 们可以用一个电压表测得其开路电压uoc ，用一个电流表测得其 短路电流isc，从这两个数据就可求出戴维南等效电路和VAR。
以上证明了戴维南定理。
电路分析基础——第一部分：4-6
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例4-14 试用戴维南定理求图4-46电路中 RL的电流 I 。
解：先解出除RL 以外的其余部分
a
+ I
电路就端口 ab 而言的戴维南等效
R1 R2
电路。
RL
第一步，求Uoc。为了避免
R3 R4
发生错误，最好将外电路断开后
b
的电路画出如图4-47(a)所示，以 此为据去考虑如何求出图中 ab 间 的电压问题。
注意：用电流表测其短路电流时要谨慎，因为电压源是 绝对禁止短路。
电路分析基础——第一部分：4-6
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例4-16 求图4-49所示含源单口网络的VAR。 解：用戴维南定理求解本题。由该定理可知，在图示u、i参考
方向下，该网络的VAR可表示为
u = uoc – Roi
求得uoc和Ro即可解决问题。
Us
=
Us (
R1 R1+R2
–
R3 R3+R4
)
=
Us
R1 R4 (R1+R2
– R2 R3 )(R3+R4
)
R1 R2 c
R3 R4
Us –
(a)
d Uoc – b
一般说来，在这一步若遇到复杂电路，则必须采用网孔法或节 点法等来解决问题。
第二步，求Ro。为此将外电路断开，电压源用短路代替，
得到一个无源单口网络，见图(b)，求出图中 ab 间的等效电阻。
一般来说，在这一步遇到的不一定是电阻的并联、串联、 混联电路，此时要用求等效电阻的一般方法，外施电压源（或 电流源）求电流（或电压）的办法（4-2节），如例4-3、4-8。
电路分析基础——第一部分：4-6
第三步，求 I 。根据已求得的
Uoc和Rab，可作戴维南等效电路，接上 RL 的电路如图（c）所示，I 即可求得为
路(b)。显然，电路ab两端的等效电阻
8×10 Rab = 8+10 = 4.45k
故得
Ro = 4.45k
这样，我们就得到了如图（c）所示用
来代替图4-43中虚线框单口网络的等效电
路。 此时，我们用KVL可以很方便地求得 I
(12+4.45)I – 15.56 = 0
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a
8k 10k Rab
第一步，求 Uoc：断开RL支路，求开路电压U 第二步，求 Ro：断开RL支路，电压源短路，求出Rab即Ro 第三步，求 I ：作出等效电路，补上RL支路，即可求出 I
电路分析基础——第一部分：4-6
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a
+ +
Uoc = Uab = Uac + Ucb
=
R1 R1+R2
Us –
R3 R3+R4
isc =
uoc Ro
见图(b)，由上式可得
Ro =
uoc isc
（4-29）
因此，只要我们得到线性含源单口网络的两个数据——开路 电压uoc和短路电流isc， 就可以得到戴维南等效电路。
电路分析基础——第一部分：4-6
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该线性含源单口网络的VAR也可以由（4-27）式， 即u = uoc – Roi来决定。
Us –
图4-46 例4-14
图(a)为一并联电路， (R1+R2)与(R3+R4)相并联，由此可得
电路分析基础——第一部分：4-6
a
a
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a
+
I
+ +
R1 R2 c
R3 R4
Us –
(a)
d Uoc c – b
R1 R2
d Rab
Uoc
R3 R4
–
RL
Ro=Rab b
b
(b)
(c)
图4-47 运用戴维南定理的三个步骤
电路分析基础——第一部分：4-6
本例的无源单口网络恰好由电阻并
联、串联组成，可得
c
Rab =
R1R2 R1+R2
+
R3R4 R3+R4
R1 R2 R3 R4
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a
d Rab
b
必须强调：要特别注意识别电阻的并联、串联。因为从
不同的端口或情况观察结果是不同的，求 Uoc时，R1和R2 为串联， 但此时从ab端口看是并联的。
ia
图4-49电路原来即系开路， 求出 ab 端的电压就是uoc。
我们用叠加定理求uoc，分别
求出is1、is2和us3单独作用时 ab 端出现的电压u’oc、u”oc、u”’oc。
is1
R2 R3
+
R1
+
u
us3 –
is2 –
b 图4-49 例4-16
电路分析基础——第一部分：4-6
a
a
R2 is1
N——线性含源单口网络； N0——N中所有独立源为零值时所得的网络
电路分析基础——第一部分：4-6
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为此，我们用电流源 i 施加于N两端，得电路如图(b)所 示。由叠加定理可知：
u =（由电流源 i 产生的电压） +（由网络N中所有独立源产生的电压）
上面式子的第二项是电流源 I=0时，即开路时网络N的端电压， 即N的开路电压uoc；第一项则是网络N中所有独立源为零值，电 流源单独作用时网络的端电压，可表示为 – Rabi， Rab是独立源 为零时网络的等效电阻，见图（c）。因此，上式可写为
（4-27）
电路分析基础——第一部分：4-6
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ia
N
+
u –
M
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=
b (a)
Ro a i
+
uoc
u –
M
b
a
+
N
uoc
–
b
a
N0
Rab = Ro
b
(b)
(c)
图4-42 戴维南定理
N——线性含源单口网络； N0——N中所有独立源为零值时所得的网络 M——任意的外电路
电路分析基础——第一部分：4-6
电路分析基础——第一部分：4-6
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主要内容：戴维南定理以及 4-7 节的诺顿定理提供了求含源
线性单口网络的等效电路及VAR的另一方法，对等效电路及 VAR能提出普遍适用的形式。这是我们以后经常用到的重要定 理，是本章学习的重点。
戴维南(Thevenin)定理：线性单口网络 N，就其端口来看，
I=
Uoc Ro+RL
=
R1 R4 – R2 R3 (R1+R2 )(R3+R4
)
Us
R1R2 R1+R2
+
R3R4 R3+R4
+ RL
+
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a
I
Uoc
–
RL
Ro=Rab
b
(c)
说明：第一、二步是为第三步服务的。运用戴维南定理避免了
在原电路求解 I ，而原电路是一个复杂的电路，求解 I 需要解 联立方程，比较麻烦。
可等效为一个电压源串联电阻支路(图4-42a)。电压源的电压等 于该网络 N 的开路电压uoc(图b)；串联电阻R o 等于该网络中所有 独立源为零值时所得的网络N0的等效电阻Rab(图c )。
这就是说：若线性含源单口网络的端口电压 u 和 i 电流为非关
联参考方向，则其VAR可表示为
u = uoc – Roi
电路分析基础——第一部分：4-6
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例4-15 试说明：若含源单口网络的开路电压为uoc，短路电流
为isc，则戴维南等效电路的串联电阻为 Ro = uoc / isc
+
N
uoc
–
+
Ro
+
– uoc
uoc –
(a)
N
isc
+
Ro
– uoc
isc
(b)
图4-48 用来决定戴维南等效电路的两个数据
a
R2
+
R3
故得 uoc = u’oc + u”oc + u”’oc
R1
+ u”’oc
=
R1 R3 is1+ ( R1 + R2)R3 is2 + (R1 + R2 ) us3 R1 +R2 +R3
(a) 开路电压 uoc
(b) 短路电流 isc
电路分析基础——第一部分：4-6
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解：我们在证明戴维南定理时，通过叠加定理将一个含源单口
网络等效成一个电压源uoc与电阻Ro串联的电路，如图4-48(a)。 因此，原网络的短路电流应等于这个等效电路的短路电流，
而该等效电路的短路电流显然为uoc / R o (u = uoc–Roi = 0)，故得
不论用哪一种方法，当12k换成其他电阻时，都需重新列 方程求解。因此，在只需求出某支路电流时，常用本定理，该 支路电阻有变动，仍能很方便地求出新的电流值。
读者可以用4-5节的方法校验本题答案。
电路分析基础——第一部分：4-6
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在试用本定理求解例4-1时注意区别。初学者常易 例4-1所示方法与本定理混淆。
电路分析基础——第一部分：第四章 目录
第四章 分解方法及单口电路
1 分解的基本步骤
6 戴维南定理
2 单口网络的伏安关系
7 诺顿定理
3 单口网络的置换 ——置换定理
8 最大功率传递定理
4 单口网络的等效电路
9 T型网络和型网络 的等效变换
5 一些简单的等效规律和公式
电路分析基础——第一部分：4-6 内容回顾
电路分析基础——第一部分：4-6
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a
u’oc = R3 i’o =
R1 R3 R1 +R2 +R3
is1
R2
+
R1 R3
u”oc
从图(b)，可得
u”oc =
( R1 + R2)R3 R1 +R2 +R3
is2
is2 –
b
从图(c)，可得 u”’oc =
R1 + R2 R1 +R2 +R3
us3
b
(c)
即
I’ =
20–10 8+10
= 0.556mA
得
Uoc = 10I’ + 10 = 5.56 + 10 = 15.56V
或
Uoc = –8I’ + 20 = –4.45 + 20 = 15.56V
电路分析基础——第一部分：4-6
为求得Ro，应把图(a)所示含源二端网 络中的两个独立电压源作短路处理，得电
– 20V – 10V
8k
10k
12k
由KVL可得
(8+10)I’ – 20 + 10 = 0
b
图4-43 例4-13
电路分析基础——第一部分：4-6
a
a
+
+
+
– 20V I’ – 10V
+
Uoc
8k
10k
–
–
8k 10k Rab
(a)
b
(b)
b
图4-44 例4-13的求解步骤
4/29
a +
– 15.56V 12k 4.45k