简单含参集合的应用(含答案)

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高一数学集合的运算试题答案及解析

高一数学集合的运算试题答案及解析1.若，则的值为【答案】-1【解析】由集合相等的概念可知有元素，又，则，故，根据集合中元素的互异性知，故。

【考点】集合相等的概念及集合中元素的互异性。

2.设全集，集合,则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，所以.故选D.【考点】集合的简单运算.3.设集合，，若, 则集合P的子集的个数为（）A．2个B．4个C．6个D．8个【答案】B【解析】，集合的子集有：共4个。

故B正确。

【考点】1集合的运算，2集合的子集。

4.已知，（1）设集合，请用列举法表示集合B；（2）求和．【答案】（1）；（2），【解析】（1）集合为以集合为定义域的函数的值域。

时，；时，；时，；时，。

可用例举法写出集合。

（2）根据交集和并集的定义可直接得出和。

试题解析：解：（1）B= 5分（2） 7分10分【考点】1函数的值域；1集合的运算。

5.设求 .【答案】.【解析】有并集定义得.【考点】并集概念.6.集合.（1）当时，求；（2）若是只有一个元素的集合，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）m＝3或m≥【解析】（1）两集合的交集即两集合的公共部分，所以应联立方程解方程组。

（2）要使是只有一个元素的集合，只需联立的方程只有一个根，消去y或x后整理出一元二次方程，当判别式等于0时，对称轴需在内，当判别式大于0时，函数的一个零点应在内。

试题解析：（1），所以。

（2）消去y整理可得。

因为是只有一个元素的集合，即此方程在只有一个根。

所以或解得m＝3或m≥【考点】集合运算一元二次函数图像7.若集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由集合的交集运算性质可知，故选C.【考点】集合交集的运算.8.已知全集则（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】找出全集U中不属于A的元素，确定出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，即可确定出所求的集合,∵全集U={1，2，3，4}，A={1，2}，∴∁UA={3，4}，又B={2，3}，则（∁UA）∪B={2，3，4},故选C.【考点】交、并、补集的混合运算．9.集合.（1）若A B=，求a的取值范围.（2）若A B=，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）A B=时，集合A集合B没有公共点，所以时成立。

第1讲、集合子集问题含参讨论

第一讲、集合子集（包含）含参问题讨论【例题1】已知集合A = ^xax2+2x+\ =0,x e /?）,且A中只有一个元素，求G的值.【答案】"=1或4 = 0【解析】①当"=0时，z—I,此时② '"la H 0 时，△= 2‘ —4d = 0,贝ij“ = 1,此时A = {—1}综上可得：d = 0或a= 1【变式1】已知ft n* A = {x e R mx2-2x + 3 = 0, m e /?},且A中只有一个元素，求加的值. 【答案】0,13【变式2】已知集合A = {X/+ X_6=0},B= {扌心+1 =0}且BuA,求d的值.【答案】0丄,一］3 2【例题2】已知集合A = {x I -2 < x < 5 } , B = {x I w +1 < x < 2m-\},若BgA,求实数加的取值范围.【答案】{m I m < 3}【解析】••• BgA①当B = 0时，m+l>2m-l,则m < 2；②当B主0时，要使,只需：m +1 < 2m -1<-2<w+l ,解得：2 </?/<3；5 > 2m -1综上可得：m < 3【变式1】集合A = {x\ a - \ < x < 2« +1}, B = {x\-3 <x <1},若AgB,求d的取值范围.【答案】心3【变式2】已矢口非空集合A= {xHdH，+1,XE/?},B = {x\2<x<3a+\,xeR}, a w R ,求使A^B时，"的取值范圉.【答案】l<t/<3【例题3】设A = {xIx2 + 4x = 0}, B= {x\x2 + 2{a+t）x +a2-1 =o},若B G A ,求a 的值.【答案】a < -1或a = 1【解析】>4 = {0,-4}BgA, B = 0或B={0}或B={_4}或B={0,-4}①当B = 0时△= 4@ + 1）2-4（宀1）<0,解得av-l；②当B={0}或B={-4}时△= 4（a +1）= — 4（/ -1）= 0,解得d = -1,此时B={0},成立，③当3= {0,-4}时A>0-/（0）= 0 ‘ 解得“ =1./（-4）=0综上可得：a<-\或a=l【变式1】集合A={xlF - 3x + 2 = 0}, B={xlx2-2x + «-l=0}, = 求a 的取值范围.【答案】心。

高中数学：含参 “一元二次不等式”的解法高中数学黄金解题模板

【高考地位】解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一根据二次项系数的符号分类使用情景：参数在一元二次不等式的最高次项解题模板：第一步直接讨论参数大于0、小于0或者等于0；第二步分别求出其对应的不等式的解集；第三步得出结论.例1 已知关于x 的不等式2320ax x -+>)(R a ∈.（1）若不等式2320ax x -+>的解集为{|1}或x x x b <>，求,a b 的值．（2）求不等式ax x ax ->+-5232)(R a ∈的解集【答案】（1）1,2a b ==（2）①当0>a 时，a x x 3{>或}1-<x ②当03<<-a 时，}13{-<<x ax ③当3-=a 时，∅④当3-<a 时，}31{ax x <<-⑤ 当0=a 时，原不等式解集为{}1-<x x（2）第一步，直接讨论参数大于0、小于0或者等于0：不等式为()0332>--+x a ax ，即()()013>+-x ax第二步，分别求出其对应的不等式的解集：当0=a 时，原不等式的解集为{}1|-<x x ；当0≠a 时，方程()()013=+-x ax 的根为1,321-==x ax ；所以当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13|x a x x 或； ②当03<<-a 时，13-<a，∴}13{-<<x a x③当3-=a 时，13-=a ，∴∅④当3-<a 时，13->a，∴}31{a x x <<-学*科网第三步，得出结论：综上所述，原不等式解集为①当0>a 时，a x x 3{>或}1-<x ；②当03<<-a 时，}13{-<<x a x ③当3-=a 时，∅；④当3-<a 时，}31{ax x <<-；⑤当0=a 时，原不等式解集为{}1-<x x .考点：一元二次不等式的解法.【点评】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知2320ax x -+=的两根为1x x b ==或，且0a >，根据根与系数的关系，即可求出,a b 的值．（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为()()310ax x -+>，然后通过对参数a 进行分类讨论，即可求出不等式的解集．学*科网【变式演练1】【河南省平顶山市2017-2018学年期末调研考试高二理科数学】若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【变式演练2】已知p ：1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253||a a x x --≥-对任意实数[]1,1m ∈-恒成立；q ：不等式2210ax x +->有解，若p 为真，q 为假，求a 的取值范围．【答案】1a ≤-∴440a ∆=+>，∴10a -<<， ∴不等式2210ax x +->有解时1a >-， ∴q 假时a 的范围为1a ≤-，②由①②可得a 的取值范围为1a ≤-．学*科网考点：命题真假性的应用类型二根据二次不等式所对应方程的根的大小分类使用情景：一元二次不等式可因式分解类型解题模板：第一步将所给的一元二次不等式进行因式分解；第二步比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论；第三步得出结论.例2 解关于x 的不等式01)1(2>++-x a ax （a 为常数且0≠a ）.【答案】0<a 时不等式的解集为)1,1(a ； 10<<a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞a；1=a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ ；1>a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a.若1>a ，110<<a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a学*科网试题分析：21(1)10()(1)0ax a x a x x a-++>⇔-->,先讨论0a <时不等式的解集；当0a >时，讨论1与1a的大小，即分10<<a ，1=a ，1>a 分别写出不等式的解集即可. 考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.【变式演练3】已知0a <，解关于x 的不等式2(2)20ax a x ---<．【答案】当2a <-时，2{x | x x 1}a ＜-或＞；当2a =-时，{}1x x ≠；当20a -<<时，2{x |x 1x }a＜或＞-．考点：一元二次不等式．【变式演练4】【2018重庆高三理科数学不等式单元测试卷】已知0<b<1+a ，若关于x 的不等式（x －b ）2>（ax ）2的解集中的整数恰有3个，则（）A ．－1<a<0B ． 0<a<1C ． 1<a<3D ． 3<a<6 【答案】C【解析】由()()22x b ax ->，整理可得（1－2a ）2x －2bx+2b >0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－2a <0，此时2a >1，而0<b<1+a ，故a>1，由不等式()22212a x bx b -+-<0解得()()222222,2121b ab b ab x a a ---+<<--即111b bx a a -<<<-+要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<1b a --<－2，由1b a --<－2得－b<－2（a －1），则有a<2b +1，即a<2b +1<12a ++1，解得a<3，由－3<1ba --得3a －3>b>0，解得a>1，则1<a<3．学&科网类型三根据判别式的符号分类使用情景：一般一元二次不等式类型解题模板：第一步首先求出不等式所对应方程的判别式；第二步讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集；第三步得出结论.例3 设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k (2x －1)}，B={x |x 2－(2x －1)k ＋k 2≥0}，且A ⊆B ，试求k 的取值范围．【答案】.010<≤-≥k k 或【解析】第一步，首先求出不等式所对应方程的判别式：B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式k k k k 4)(4422-=+-=∆， (1)当k =0时，R x ∈<∆,0. (2)当k ＞0时，△＜0，x R ∈.(3)当k ＜0时，k k x k k x -+≥--≤>∆或,0.第三步，得出结论：综上所述，k 的取值范围是：.010<≤-≥k k 或【点评】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对∆进行分类，或利用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式∆的符号分类. 【变式演练5】在区间错误!未找到引用源。

高一必修一数学集合中含参取值范围专项练习(含解析)

集合中含参取值范围一．选择题（共8小题）1．集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B⊆A，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0或±12．已知，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．C．D．3．设A=[﹣2，4），B={x|x2﹣ax﹣4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，2]C．[0，3]D．[0，3）4．设集合A={x，y|y=}，B={x，y|y=k（x﹣b）+1}，若对任意0≤k≤1都有A∩B≠∅，则实数b的取值范围是（）A．B．C． D．5．已知集合A={1，2}，B={x|mx﹣1=0}，若A∩B=B，则符合条件的实数m的值组成的集合为（）A．{1，}B．{﹣1，}C．{1，0，}D．{1，﹣}6．已知集合A={x|0＜x＜1}，B={x|0＜x＜c}，若A∪B=B，则实数c的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（0，1]C．（0，1 D．（1，+∞）7．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x＞a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，∞）D．[1，+∞）8．集合M={1，2（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i}，N={3，10}，且M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．﹣2 B．﹣2或4 C．﹣2或﹣3 D．﹣2或5二．填空题（共10小题）9．不等式的解集是空集，则实数a的取值范围是．10．设全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，若N⊆M，则实数a的取值范围是．11．已知集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是．12．已知集合A={x|﹣2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}且B≠∅，若A∪B=A，则m的取值范围是．13．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，A∪（∁R B）=R，则实数a的取值范围是．14．已知函数，A={x|t≤x≤t+1}，B={x||f（x）|≥1}，若集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是．15．设f（x）=x2+ax+bcosx，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，则满足条件的所有实数a，b 的值分别为．16．已知，B={（x，y）|y=kx+3}，并且A∩B=∅，则实数k的值是．17．设集合，B={x|x2﹣3ax﹣10a2≤0，a＞0}，满足A∩B=A的正实数a 的取值范围是．18．已知集合S={x|kx2+1＞kx}，若S=R，则实数k的取值范围．三．解答题（共16小题）19．设集合A={x|x2+4a=（a+4）x，a∈R}，B={x|x2+4=5x}．（1）若A∩B=A，求实数a的值；（2）求A∪B，A∩B．20．已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B=∅，求a的范围．21．已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．（Ⅰ）若M⊆N，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若M⊇N，求实数a的取值范围．22．A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a﹣1）x+a2﹣1=0}，如果A∩B=B，求实数a的取值范围．23．设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}．（1）求A∩B；（2）若B∪C=C，求实数a的取值范围．24．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求实数a，m的取值范围．25．设A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+2=0}，B⊆A．（1）写出集合A的所有子集；（2）若B非空，求a的值．26．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2+ax﹣6＜0}，C={x|x2﹣2x﹣15＜0}（1）若A∪B=B，求a的取值范围；（2）是否存在a的值使得A∪B=B∩C，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．27．已知集合A={x|（x+1）（x﹣5）≤0}，集合B={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}．（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；（2）若集合A∩B中有且只有3个整数，求实数m的取值范围．28．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）当m=3时，求集合A∩B；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．29．已知集合A={（x，y）|y=﹣x2+mx﹣1}，B={（x，y）|x+y=3，0≤x≤3}，若A∩B中有且仅有一个元素，求实数m的取值范围．30．设集合A={x|﹣2≤x≤4}，B={x|m﹣3≤x≤m}．（1）若A∩B={x|2≤x≤4}，求实数m的值；（2）若A⊆（∁R B），求实数m的取值范围．31．已知集合A={x∈R|mx2﹣2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：（Ⅰ）A=∅；（Ⅱ）A恰有两个子集；（Ⅲ）A∩（，2）≠∅32．设x、y为实数，集合A={（x，y）|y2﹣x﹣1=0}，B={（x，y）|16x2+8x﹣2y+5=0}，C={（x，y）|y=kx+b}，问是否存在自然数k，b使（A∪B）∩C=∅？33．已知A={x|a≤x≤2a+3}，B={x|x2+5x﹣6＞0}．（Ⅰ）若A∩B={x|1＜x≤3}，求a的值；（Ⅱ）若A∪B=B，求a的取值范围．34．已知集合A={x|x2﹣2ax+4a2﹣3=0}，集合B={x|x2﹣x﹣2=0}，集合C={x|x2+2x﹣8=0}（1）是否存在实数a，使A∩B=A∪B？若存在，试求a的值，若不存在，说明理由；（2）若A∩B≠∅，A∩C=∅，求a的值．参考答案一．选择题（共8小题）1．解：∵A={x|x2=1}={﹣1，1}，又∵B⊆A，当a=0，ax=1无解，故B=∅，满足条件若B≠∅，则B={﹣1}，或Q={1}，即a=﹣1，或a=1故满足条件的实数a∈{0，1，﹣1}故选D．2．解：由题意，，由A∪B=A得B⊆A又B={x|x2﹣2ax+a+2≤0}当B是空集时，符合题意，此时有△=4a2﹣4a﹣8＜0解得﹣1＜a＜2 当B不是空集时，有解得2≤a≤综上知，实数a的取值范围是故选D3．解：∵△=a2+16＞0∴设方程x2﹣ax﹣4=0的两个根为x1，x2，（x1＜x2）即函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点为x1，x2，（x1＜x2）则B=[x1，x2]若B⊆A，则函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间注意到函数f（x）的图象过点（0，﹣4）∴只需，即解得：0≤a＜3故选 D4．解：∵集合A={（x，y）|y=}，B={（x，y）|y=k（x﹣b）+1}，当0≤k≤1时，都有A∩B≠∅，作图如下：集合A中的曲线为以（0，0）为圆心，2为半径的上半圆，B中的点的集合为过（b，1）斜率为k的直线上的点，由图知，当k=0时，显然A∩B≠∅，当k=1，y=（x﹣b）+1经过点B（2，0）时，b=3；当k=1，直线y=（x﹣b）+1与曲线y=相切与点A时，由圆心（0，0）到该直线的距离d==2得：b=1﹣2或b=1+2（舍）．∵0≤k≤1时，都有A∩B≠∅，∴实数b的取值范围为：1﹣2≤b≤3．故选C．5．解：∵A∩B=B∴B⊆A当m=0时，B=∅满足要求；当B≠∅时，m+1=0或2m﹣1=0m=﹣1或∴综上，m∈{1，0，}．故选C．6．解：若A∪B=B，则A⊆B，∵A={x|0＜x＜1}，B={x|0＜x＜c}，∴c≥1．故选A．7．解：∵集合A={x|x≤1}，B={x|x＞a}，且A∪B=R，∴a≤1，故选B．8．解：∵M={1，2，（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i}，N={3，10}，且M∩N≠∅，∴（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i=3或（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i=10即m2+5m+6=0解得m=﹣2或﹣3当m=﹣2时（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i=3，满足条件当m=﹣3时（m2﹣2m﹣5）+（m2+5m+6）i=10，满足条件故选C二．填空题（共10小题）9．解：根据题意，x+a＞0的解集为x＞﹣a，若这个不等式组的解集是空集，则ax＞﹣1，即ax+1＞0的解集为{x|x≤﹣a}的子集，分析可得，当a≤﹣1，成立；故答案为a≤﹣1．10．解：∵全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，N⊆M，∴2a﹣1≤1 且4a≥2，解得2≥a≥，故实数a的取值范围是[，1]，故答案为[，1]．11．解：∵集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}={x|0＜x＜1}，若A∩B≠∅，则有0＜a＜1，故实数a的取值范围是（0，1），故答案为（0，1）．12．解：据题意得B⊆A，故有﹣2≤m+1＜2m﹣1≤7，转化为不等式组，解得2＜m≤4，故m的取值范围是的取值范围是（2，4]，故答案为（2，4]．13．解：∵B={x|1＜x＜2}，∴∁R B={x|x≥2或x≤1}，要使A∪（∁R B）=R，则a≥2．故答案为：{a|a≥2}．14．解：∵要解|f（x）|≥1，需要分类来看，当x≥0时，|2x2﹣4x+1|≥1∴2x2﹣4x+1≥1或2x2﹣4x+1≤﹣1∴x≥2或x≤0或x=1∵x≥0∴x≥2或x=1或x=0．当x＜0时，|﹣2x2﹣4x+1|≥1∴﹣2x2﹣4x+1≥1或﹣2x2﹣4x+1≤﹣1∴﹣2≤x≤0或x或x∵x＜0∴﹣2≤x＜0或x综上可知B={x|﹣2≤x≤0或x或x≥2或x=1}∵集合A∩B只含有一个元素，∴t＞0且t+1＜2∴0＜t＜1故答案为：0＜t＜115．解：∵f（x）=x2+ax，∴f（f（x））=f（x）2+af（x）=（x2+ax）2+a•（x2+ax）=x4+2ax3+（a2+a）x2+a2x 当a=0时，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}={0}≠∅当a≠0时，{x|f（x）=0，x∈R}={0，﹣a}．若{x|f（f（x））=0，x∈R}={0，﹣a}，则f（f（﹣a））=0且除0，﹣a外f（f（x））=0无实根，即x2+ax+a=0无实根即a2﹣4a＜0，即0＜a＜4综上满足条件的所有实数a的取值范围为0≤a＜4故答案为：0≤a＜4，b=0．16．解：由题意A集合是一条直线y=﹣3x﹣2去掉一个点（﹣1，1）后所有点的集合，B集合是直线y=kx+3所有点的集合，∵A∩B=∅，∴两直线的位置关系是平行，或者是直线y=kx+3过点（﹣1，1），若两直线平行，则有k=﹣3，若直线y=kx+3过点（﹣1，1），则有1=﹣k+3，得k=2综上，实数k的值是2或﹣3故答案为2或﹣317．解：集合={x|﹣2≤x≤2}．B={x|x2﹣3ax﹣10a2≤0，a＞0}={x|（x+2a）（x﹣5a）≤0，a＞0}={x|﹣2a≤x≤5a}．因为A∩B=A，所以A⊆B，即，所以，即a≥1．所以正实数a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．18．解：要使若S=R，需kx2+1＞kx恒成立，即kx2 ﹣kx+1＞0 恒成立．当k=0时，不等式即1＞0，显然成立；当k≠0时，由△=k2﹣4k＜0，解得0＜k＜4，故答案为：[0，4）．三．解答题（共16小题）19．解：A={x|x=4或x=a}，B={x|x=1或x=4}（1）因为A∩B=A 所以A⊆B，由此得a=1 或a=4（2）若a=1，则A=B={1，4}所以A∪B={1，4}，A∩B={1，4}若a=4，则A={4}所以A∪B={1，4}，A∩B={4}若a≠1，4则A={4，a}所以A∪B={1，4，a}，A∩B={4}20．解：当A=φ时即2a＞a+3，a＞3，此时满足A∩B=∅当A≠∅时，2a≤a+3，即a≤3时有2a≥﹣1且a+3≤5解之﹣≤a≤2，此时A∩B=φ综合知，当a＞3或﹣≤a≤2时，A∩B=∅21．解：（Ⅰ）由于M⊆N，则，解得a∈Φ（4分）（Ⅱ）①当N=Φ时，即a+1＞2a﹣1，有a＜2．（6分）②当N≠Φ，则，解得2≤a≤3，综合①②得a的取值范围为a≤3．（10分）22．解：A═{x|x2+4x=0}={0，﹣4}，∵A∩B=B，∴B⊆A．方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣1=0的判别式△=4（a﹣1）2﹣4（a2﹣1）=﹣8a+8．①若B=∅时，△=﹣8a+8＜0，得a＞1；②若B={0}，则，解得a=1；③B={﹣4}时，则，此时方程组无解．④B={0，﹣4}，，此时a无解．综上所述实数a≥1．23．解：（1）由题意知，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…（2分）所以A∩B={x|2≤x＜3}…（4分）（2）因为B∪C=C，所以B⊆C…（6分）所以a﹣1≤2，即a≤3…（8分）24．解：由已知得A={1，2}，B={x|（x﹣1）（x﹣a+1）=0}，由A∪B=A，知B⊆A由题意知B≠∅，当B为单元素集合时，只需a=2，此时B={1}满足题意．当B为双元素集合时，只需a=3，此时B={1，2}也满足题意所以a=2或a=3，由A∩C=C得C⊆A当C是空集时，△=m2﹣8＜0即﹣2＜m＜2；当C为单元素集合时，△=0，求得m=±2，此时C={}或C={﹣}，此时不满足题意，舍去；当C为双元素集合时，C只能为{1，2}，此时m=3；综上m的取值集合为{m|m=3或﹣2＜m＜2}．25．解：（1）由题可知：A={1，2}，所以集合A的所有子集是：∅，{1}，{2}，{1，2}；（2）因为B非空集合，①当集合B中只有一个元素时，由判别式等于0可得，a2﹣8=0可知，此时B={x|x2﹣ax+2=0}={x|=0}，故B={}或{}，不满足B⊆A，不符合题意．②当集合B中有两个元素时，A=B，比较方程的系数可得a=3，综上可知：a=3．26．解：（1）∵集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2+ax﹣6＜0}，C={x|x2﹣2x﹣15＜0}∴A={x|﹣1＜x＜3}，C={x|﹣3＜x＜5}，由A∪B=B知A⊆B，令f（x）=x2+ax﹣6，则得﹣5≤a≤﹣1（2）假设存在a的值使A∪B=B∩C，由A∪B=B∩C⊆B知A⊆B，又B⊆A∪B=B∩C知B⊆C，∴A⊆B⊆C．由（1）知若A⊆B，则a∈[﹣5，1]当B⊆C时，△=a2+24＞0，∴B≠φ∴得≤a≤﹣1，故存在a∈[﹣，﹣1]满足条件．27．解：（1）因为A={x|（x+1）（x﹣5）≤0}={x|﹣1≤x≤5}，因为m＞0，所以B≠∅．所以要使A⊆B，则有，即，即m≥4，所以实数m的取值范围[4，+∞）．（2）因为A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}．则集合B的区间长度为1+m﹣（1﹣m）=2m．所以集合A∩B中有且只有3个整数，则有2m＜4，即m＜2．此时1+m＜3．①若2≤1+m＜3，要使集合A∩B中有且只有3个整数，此时三个整数为0，1，2，所以满足﹣1＜1﹣m≤0，即，解得，所以此时1≤m＜2．②若1≤1+m＜2，要使集合A∩B中有且只有3个整数，此时三个整数为﹣1，0，1，所以满足1﹣m≤﹣1，即，解得，所以m无解．综上实数m的取值范围[1，2）．28．解：（1）当m=3时，B={x|4≤x≤5}（3分）则A∩B={x|4≤x≤5}（6分）（2）①当B为空集时，得m+1＞2m﹣1，则m＜2（9分）当B不为空集时，m+1≤2m﹣1，得m≥2由B⊆A可得m+1≥﹣2且2m﹣1≤5（12分）得2≤m≤3（13分）故实数m的取值范围为m≤3（14分）29．解：由题意，得x2﹣（m+1）x+4=0在[0，3]上有且仅有一解①△=0时方程有相等实根且在[0，3]上，即∴m=3②△＞0时，只有一根在[0，3]上，两根之积为4＞0，则32﹣（m+1）×3+4＜0，∴m＞所以，m的取值范围是m=3或m＞．30．解：（1）因为A={x|﹣2≤x≤4}，B={x|m﹣3≤x≤m}．所以若A∩B={x|2≤x≤4}，则，即，所以m=5．…6分（2）因为B={x|m﹣3≤x≤m}，所以∁R B={x|x＞m或x＜m﹣3}，要使A⊆（∁R B），则m﹣3＞4或m＜﹣2，即m＞7或m＜﹣2．即m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）…12分．31．解：（Ⅰ）若A=∅，则关于x的方程mx2﹣2x+1=0 没有实数解，则m≠0，且△=4﹣4m＜0，所以m＞1；（3分）（Ⅱ）若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2﹣2x+1=0 恰有一个实数解，讨论：①当m=0时，x=，满足题意；②当m≠0时，△=4﹣4m，所以m=1．综上所述，m的集合为{0，1}．（3分）（Ⅲ）若A∩（，2）≠∅，则关于x的方程mx2=2x﹣1在区间（，2）内有解，这等价于当x∈（，2）时，求值域：m=﹣=1﹣（﹣1）2∴m∈（0，1]（5分）32．解：若（A∪B）∩C=∅，则（A∩C）∪（B∩C）=φ，即有A∩C=φ且B∩C=φ．即方程组①与②都无解，由①得k2x2+（2kb﹣1）x+b2﹣1=0，若k=0，则方程为x=1﹣b2，有解，不满足条件，若k≠0，则判别式△=（2kb﹣1）2﹣4k2（b2﹣1）＜0，即1﹣4kb+4k2＜0，∴b＞，∵k，b是自然数，∴b＞1，由②得16x2+8x﹣2（kx+b）+5=0，即16x2+（8﹣2k）x+5﹣2b=0，判别式△=（8﹣2k）2﹣4×16（5﹣2b）＜0，即k2﹣8k+32b﹣64＜0，即b＜=≤=，∵b是自然数，∴b=2，此时k=1，故存在b=2，k=1使得使（A∪B）∩C=∅．33．解：∵A={x|a≤x≤2a+3}，B={x|x2+5x﹣6＞0}=[x|x＜﹣6，或x＞1}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（Ⅰ）依题意A∩B={x|1＜x≤3}可得，∴a=0．﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由A∪B=B得A⊆B．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）①当A=∅时满足题意，此时，a＞2a+3，解得a＜﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②当A≠∅时，有，解得a＞1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）综上，a的取值范围为：a＜﹣3 或a＞1，即（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）34．解：（1）若A∩B=A∪B，则A=B，∵B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A={﹣1，2}，即﹣1和2是方程x2﹣2ax+4a2﹣3=0的两个根，∴，∴．满足△＞0，∴a存在．（2）若A∩B≠∅，A∩C=∅，则可知集合A中无﹣4，2．至少有一个元素﹣1．当A={﹣1}时，当A={﹣1，x}，x≠2时，．。

通关练01 集合含参问题【考点通关】高一数学题型归纳与解题策略(必修第一册)(原卷版)

通关练01集合含参问题○通○关○练一、单选题1．（2022·江西·高一期末）已知集合{}21,,3A x x =+，若2A ∈，则x =（）A ．-1B ．0C ．2D ．3【解析】因为2A ∈，所以2x =或232x +=，而232x +=无实数解，所以2x =.故选：C.2．（2022·重庆·高一期末）已知集合{}{}011,0,3A B a ==-+，，，且A B ⊆，则a 等于（）A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．1【解析】因为A B ⊆，所以312a a +=⇒=-，经验证，满足题意.故选：B.3．（2022·全国·高一期末）已知集合(){}2210M x x x =-=，{}2,N m m =，若M N M ⋃=，则m =（）A ．－1B ．－1或0C ．±1D ．0或±1【解析】依题意，(){}{}22101,0,1M x x x =-==-．由M N M ⋃=，可知：N M ⊆，又2m m ≠，则1m =-.故选：A ．4．（2022·贵州毕节·高一期末）已知集合{2=<-A x x 或}1≥x ，{}B x x a =≥，若A B =R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞-B ．(,2]-∞-C ．(,1)-∞D ．(2,1)-【解析】因为集合{2=<-A x x 或}1≥x ，{}B x x a =≥，A B =R ，所以2a ≤-．故选：B ．5．（2022·河北·武安市第一中学高一期末）已知集合{|24}A x x =< ，{|3}B x a x a =-<+ ，若AB A =，则a 取值范围是（）A ．2a >-B ．1a ≤-C ．1aD ．2a >【解析】由A B A =知A B ⊆，故234a a -<⎧⎨+⎩，解得1a .故选：C .6．（2022·广东深圳·高一期末）已知集合{}2,1A =-，{}|2B x ax ==，若A B B =，则实数a 值的集合为（）A ．{}1-B ．{}2C ．{}1,2-D ．{}1,0,2-【解析】A B B B A ⋂=⇒⊆,{} 2,1A =-的子集有{}{}{},2,1,2,1φ--，当B φ=时，显然有0a =；当{}2B =-时，221a a -=⇒=-；当{}1B =时，122a a ⋅=⇒=；当{}2,1B =-，不存在a 符合题意，实数a 值集合为{}1,0,2-，故选:D.7．（2022·四川雅安·高一期末）设集合{|12},{|}A x x B x x a =-≤<=<，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（）A ．12a -<≤B ．2a >C ．1a ≥-D ．1a >-【解析】集合{|12},{|}A x x B x x a =-≤<=<，因为A B ⋂≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，所以1a >-．故选：D二、多选题8．（2022·全国·高一开学考试）已知集合{}4A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（）A ．−1B ．1C ．−2D ．2【解析】因为B A ⊆，所以4A ∈A ，则444a ≤⎧⎪≤，解得1a ≤.故选：ABC9．（2022·全国·高一课时练习）设集合{}3M x a x a =<<+，{2N x x =<或}4x >，则下列结论中正确的是（）A ．若1a <-，则M N ⊆B ．若4a >，则M N ⊆C ．若MN =R ，则12a <<D ．若MN ≠∅，则12a <<【解析】对于A ，若1a <-，则32a +<，则M N ⊆，故A 正确；对于B ，若4a >，则显然任意x M ∈，则4x >，则x ∈N ，故M N ⊆，故B 正确；对于C ，若MN =R ，则234a a <⎧⎨+>⎩，解得12a <<，故C 正确；对于D ，若M N ⋂=∅，则234a a ≥⎧⎨+≤⎩，不等式无解，则若MN ≠∅，a R∈，故D 错误.故选：ABC.10．（2022·全国·高一课时练习）已知{}22,3,23U m m =+-，{}|1|,2A m =+，{}5U A =ð，则m 的值可以是（）A ．-4B ．-2C ．2D ．4【解析】由题可知213235m m m ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得2m =或4m =-，故选：AC.11．（2022·全国·高一课时练习）设集合{|28}S x x =-≤≤，{|04}T x x =<<，若集合()R P T S ⊆⋂ð，则P 可以是（）A ．{|20}x x -≤≤B ．{|57}x x ≤≤C ．{|28}x x -≤≤D ．{|15}x x ≤≤【解析】因为{|28}S x x =-≤≤，{|04}T x x =<<，所以{0R T x x =≤ð或4}x ≥，(){20R T S x x ⋂=-≤≤ð或48}x ≤≤，因为集合()R P T S ⊆⋂ð，所以集合P 可以是AB.故选：AB12．（2022·广东汕尾·高一期末）设{}29140A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（）A ．2B ．12C ．17D ．0【解析】集合2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，{|10}B x ax =-=，又A B B =，所以B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意，当0a ≠时，则1{}B a =，所以12a=或17a =，解得12a =或17a =，综上所述，0a =或12或17,故选：BCD三、填空题13．（2022·上海·同济大学第二附属中学高一期末）若集合2{|(1)320,}A x a x x x R =-+-=∈有且仅有两个不同的子集，则实数a =_______；【解析】因为集合A 仅有两个不同子集，所以集合A 中仅有1个元素，当10a -=时，23x =，所以23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足要求；当10a -≠时，()()234120a ∆=--⋅-=，所以18a =-，此时方程解为43x =，即43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足要求，所以18a =-或1，故答案为：18-或1.14．（2022·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所高一期末）已知集合{}22,2A a a a =++，若3A ∈，求实数a 的值_______【解析】由题可知：集合{}22,2A a a a =++，3A∈所以23a +=或223+=a a ，则1a =或32a =-当1a =时，222a a a +=+，不符合集合元素的互异性，当32a =-时，1,32⎧⎫=⎨⎬⎩⎭A ，符合题意所以32a =-，故答案为：32-15．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合2{|0}A x x ax b =++=，{3}=B ，若A B =，则实数a b +=_______【解析】因为{3}A B ==，所以方程20x ax b ++=有且只有一个实数根3x =，所以240390a b a b ⎧-=⎨++=⎩，解得6,9a b =-=.所以3a b +=故答案为：3四、解答题16．（2022·浙江台州·高一期末）已知集合{|12)A x x =-<，集合{(1)()0}B x x x a =-+<∣.(1)求集合A ；(2)若2A B -∈⋃，求实数a 的取值范围.【解析】(1)|1|2,x -<212,x ∴-<-<13x ∴-<<，所以集合{13}A xx =-<<∣；(2)2A B -∈⋃且2A -∉，2B∴-∈(21)(2)0a ∴--⋅-+<，解得：2a >，∴实数a 的取值范围是(2,)+∞.17．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）已知集合2{|40}A x x =-≥，集合{|1}B x m x m =<<-.(1)求A .(2)求A B A ⋃=，求m 的取值范围.【解析】(1)由240x -≥，即24x ≤，可得22x -≤≤，可得集合{|22}A x x =-≤≤.(2)因为{|22}A x x =-≤≤，且集合{|1}B x m x m =<<-，又因为A B A ⋃=，即B A ⊆，当B =∅时，即1m m ≥-，可得12m ≥，此时满足B A ⊆；当B ≠∅时，则满足2121m m m m≥-⎧⎪-≤⎨⎪<-⎩，解得112m -≤<，综上可得，1m ≥-，即实数m 的取值范围[1,)-+∞.18．（2022·云南德宏·高一期末）设全集U =R ，集合{}{}2230,242A x x x B x x x =--<=-≥-∣∣(1)求()U A B ⋂ð；(2)若集合{20}C xx a =+>∣满足C C =B∪，求实数a 的取值范围.【解析】(1)化简{}{}13,2A x x B x x =-<<=≥，{}23A B x x ⋂=≤<，所以{()2U A B x x ⋂=<ð或3}x ≥.(2){2a C x x ⎫=>-⎬⎭，因为C C =B∪，所以B C ⊆，所以242aa -<⇒>-，所以实数a 的取值范围为()4,-+∞19．（2022·湖南邵阳·高一期末）已知集合{}2320A x x x =-+-≥，{}1B x m x m =-≤≤+．(1)若1m =时，求A B ；(2)若A B ⊆，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为2320x x -+-≥，所以23+20x x ≤-，所以={12}A x x ≤≤．因为1m =，所以{12}B x x =-≤≤所以{12}A B x x ⋂=≤≤(2)因为A B ⊆，所以112m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得m 1≥，∴实数m 的取值范围为m 1≥.20．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >．(1)若A B =∅，求a 的取值范围；(2)若AB A =，求a 的取值范围．【解析】(1)∵{}3,{1A x a x a B x x =≤≤+=<-或5}x >，且A B =∅，∴135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤，∴a 的取值范围为[]1,2-；(2)∵{}3,{1A x a x a B x x =≤≤+=<-或5}x >，且A B A =，∴A B ⊆，∴31a +<-或5a >，即4a <-或5a >，∴a 的取值范围是()(),45,-∞-+∞.21．（2022·山西·高一期末）已知集合{}20,R,R A x x ax b a b =-+=∈∈.(1)若{}1A =，求a ，b 的值；(2)若{}Z 30B x x =∈-<<，且A B =，求a ，b 的值.【解析】（1）若{}1A =，则有210Δ40a b a b -+=⎧⎨=-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩；（2）{}{}Z 302,1B x x =∈-<<=--，因为A B =，所以42010a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩.22．（2022·广东佛山·高一期末）已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}2650B x x x =-+<.(1)若A B =，求实数a 的值；(2)若A B =∅，求实数a 的取值范围.【解析】(1)由已知得{}{}265015B x x x x x =-+<=<<A B=11215a a -=⎧∴⎨+=⎩，解得2a =；(2)AB =∅当A =∅时，121a a -≥+，得2a ≤-当A ≠∅时，15121a a a -≥⎧⎨-<+⎩或211121a a a +≤⎧⎨-<+⎩，解得20a -<≤或6a ≥，综合得0a ≤或6a ≥.23．（2022·湖北黄石·高一期末）已知集合{}02A x x =≤≤，{}B 32x a x a =≤≤-．（1）若()R A B ⋃=R ð，求实数a 的取值范围；（2）若A B B ≠I ，求实数a 的取值范围．【解析】（1）因为{}A 02x x =≤≤，所以{R A |0x x =<ð或}2x >．又{}B 32x a x a =≤≤-且()R A B ⋃=R ð，所以320322a aa a -≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解得0a ≤所以实数a 的取值范围是(],0-∞．（2）若A B B =（补集思想），则B A ⊆．当B =∅时，32-<a a ，解得1a >；当B ≠∅时，32a a -≥，即1a ≤，要使B A ⊆，则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，得112a ≤≤．综上，知A B B =时，12a ≥，所以A B B ≠I 时，实数a 的取值范围是12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．24．（2022·河北·武安市第一中学高一期末）已知集合{}2|80,,{|10,}A x x x m m R B x ax a R =-+=∈=-=∈，且A B A ⋃=．（1）若{}3A B =ð，求m ，a 的值．（2）若12m =，求实数a 组成的集合．【解析】（1）因为{}2|80,,{|10,}A x x x m m R B x ax a R =-+=∈=-=∈，且A B A ⋃=．{}3A B =ð，所以3A ∈，3B ∉，所以23830m -⨯+=解得15m =，所以{}3,5A =，所以5∈B ，所以510a -=，解得15a =（2）若12m =，所以{}2,6A =，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆当B =∅，则0a =；当{}2B =，则12a =；当{}6B =，则16a =；综上可得110,,26a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭25．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知集合11{|}A x a x a =-≤≤+，5|03x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭．(1)若3a =-，求A B ；(2)在①A B =∅，②()R B A R ⋃=ð，③A B B ⋃=，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．【解析】(1)因为3a =-，所以{|42}A x x =-≤≤-，又因为{|35}B x x =-<≤，所以{|45}A B x x ⋃=-≤≤．(2)若选①A B =∅：则满足15a ->或13a +≤-，所以a 的取值范围为{|4a a ≤-或6}a >．若选②()R B A R ⋃=ð：所以{|1R A x x a =<-ð或1}x a >+，则满足1315a a ->-⎧⎨+≤⎩，所以a 的取值范围为{|24}a a -<≤．若选③A B B ⋃=：由题意得A B ⊆，则满足1315a a ->-⎧⎨+≤⎩所以a 的取值范围为{|24}a a -<≤26．（2022·河北沧州·高一期末）已知集合401x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，{}12B x a x a =+≤≤.(1)当2a =时，求A B ；(2)若B A ⋂=∅R ð，求实数a 的取值范围.【解析】(1){}14A x x =<≤，当2a =时，{}|34B x x =≤≤，∴{}|14A B x x ⋃=<≤；(2)A =R ð{|1x x ≤或x ＞4}，当B =∅时，B A ⋂=∅R ð，12a a >+，解得a ＜1；当B ≠∅时，若B A ⋂=∅R ð，则241121a a a a ≤⎧⎪⎨⎪≥⎩，＋＞，＋，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{}2a a ≤.27．（2022·广东惠州·高一期末）已知全集U =R ，集合{}2120A x x px =++=，集合{}250B x x x q =-+=．(1)若集合A 中只有一个元素，求p 的值；(2)若{}3A B ⋂=，求A B ．【解析】(1)因为集合A 中只有一个元素，所以24120p ∆=-⨯=，p =±(2)当{}3A B ⋂=时，22331203530p q ⎧+⨯+=⎨-⨯+=⎩，7p =-，6q =，此时{}3,4A =，{}2,3B =，{}2,3,4A B =28．（2022·重庆·高一期末）已知集合{}3A x x =≤，{}31B x a x a =-<<+.(1)当4a =时，求()A B R ð；(2)若AB A =，求实数a 的取值范围.【解析】(1){}{}333A x x x x =≤=-≤≤，则R {|3A x x =<-ð或3}x >，当4a =时，{}15B x x =-<<，(){}R =35A B x x ∴⋂<<ð；(2)若A B A =，则A B ⊆，3313a a -<-⎧∴⎨+>⎩，∴实数a 的取值范围为6a >，即(6,)a ∈+∞.29．（2022·广西玉林·高一期末）已知集合{}22150M x x x =--≤，{}N x m x m =-≤≤．(1)当1m =时，求M N ⋂以及()()R R M N ⋃痧；(2)若MN ，求实数m 的取值范围．【解析】（1）{}{}(3)(5)035M x x x x x =+-≤=-≤≤，当1m =时，[1,1]N =-，∴[1,1]=-MN ，(,3)(5,)=-∞-+∞R M ð，(,1)(1,)=-∞-+∞R N ð，∴()()(,1)(1,)=-∞-+∞R RM N 痧.（2）由题可知M N Ü，所以35-≤-⎧⎨≥⎩m m ，解得5m ≥，所以实数m 的取值范围为[5,)+∞.30．（2022·青海海东·高一期末）已知集合{2}A xa x a =<<∣，{4B x x =≤-或}3x ≥.(1)当2a =时，求()R A B ⋃ð；(2)若R A B ⊆ð，求a 的取值范围.【解析】(1)由题意得{}24A x x =<<，{4B x x =≤-或}3x ≥，{}R 43B x x ∴=-<<ð，故(){}R 44A B x x ⋃=-<<ð.(2)当0a ≤时，A =∅，符合题意，当0a >时，由23a ≤，得302<≤a ，故a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．。

微专题06 含参数不等式问题的处理策略(解析版)

微专题06 含参数不等式问题的处理策略【方法技巧与总结】解含参不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参不等式问题的一个难点。

解决此类问题利用函数与方程思想、数形结合思想及分类与整合思想。

【题型归纳目录】题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型）题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型）题型三：分式、根式含参数不等式问题题型四：绝对值含参不等式问题【典型例题】题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型）例1．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式： (1)22120(0)x ax a a --<<； (2)()10(01)a x x a a ⎭-->⎫⎪< <⎛⎝．【解析】（1）依题意22120(0)x ax a a --<<，()()430x a x a -+<，403a a <<-解得43a x a <<-，所以不等式22120(0)x ax a a --<<的解集为{}|43x a x a <<-. （2）依题意()10(01)a x x a a ⎭-->⎫⎪< <⎛⎝，()110,1x a x a a a⎛⎫--<<< ⎪⎝⎭，解得1a x a<<，所以不等式()10(01)a x x a a ⎭-->⎫⎪< <⎛⎝的解集为1|x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 例2．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈. (1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值； (2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.【解析】（1）因为2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，所以方程2320ax x ++=的两个根为,1(1)b b <，由根与系数关系得:3121b ab a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得525a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）22321(3)30(3)(1)0ax x ax ax a x ax x -+>-⇒-++>⇒-->，当a =0，不等式为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当0a <时，不等式化为3()(1)0x x a --<，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当0a >时，方程2321ax x ax -+=-的两个根分别为：3,1a.当3a =时，两根相等，故不等式的解集为{|1}x x ≠；当3a >时，31a <，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >；当0<<3a 时，31a>，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >，.综上：当0a <时，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当a =0，不等式的解集为{}1x x <；当0<<3a 时，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >.当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠；当3a >时，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >；例3．（2022·全国·高一专题练习）设1a >，则关于x 的不等式1(1)()()0a x a x a---<的解集是_________. 【答案】()1,,a a⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】1a >时，10a -<，且1a a>，则关于x 的不等式1(1)()()0a x a x a ---<可化为1()()0x a x a-->，解得1x a<或x a >，所以不等式的解集为(-∞，1)(a a ⋃，)∞+．故答案为：()1,,a a⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0． (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式；(2)当a ＞0时，解关于x 的不等式．【解析】（1）当a ＝2时，不等式2x 2﹣x ﹣1＜0可化为：（2x +1）（x ﹣1）＜0， ∴不等式的解集为1{|1}2x x -＜＜；（2）不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0可化为：（x ﹣1）（ax +a ﹣1）＜0，当a ＞0时，()1110x x a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＜，()1110x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的根为：12111x x a==-，， ①当102a ＜＜时，111a -＜，∴不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，②当12a =时，111a=-，不等式解集为∅， ③当12a ＞时，111a-＞，∴不等式解集为{x |11a -＜x ＜1}，综上，当102a ＜＜时，不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，当a 12=时，不等式解集为∅，当12a ＞时，不等式解集为{x |11a-＜x ＜1}．．题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型）例5．（2022·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式2210ax x ++<．【解析】（1）当0a =时，原不等式210x +<，解得12x <-，∴不等式解集为1(,)2-∞-；（2）当0a >时，44a ∆=-，2()21f x ax x =++开口向上，由图象得：①若01a <<时，440a ∆=->，f x （）的两个零点为1,211-±-=ax 1111----+-<a a 不等式0f x <（）的解集为1111(----+-a a ； ②若1a ≥时，0∆≤，不等式0f x <（）解集为∅；（3）当0a <时，440a ∆=->，f x （）的两个零点为1,211-±-=ax 1111-+----a a2()21f x ax x =++开口向下，由图象得不等式解集为1111(()-+-----∞⋃+∞a a；综上可知，当0a <时不等式解集为1111()()-+-----∞⋃+∞a a；当0a =时，不等式解集为1(,)2-∞-；当01a <<时，不等式解集为1111()----+-a a ；当1a 时，不等式解集为∅．例6．解关于x 的不等式：（1）2(1)10()ax a x a R -++<∈；（2）2(21)20()ax a x a R +--<∈；（3）2210()ax x a R -+<∈；（4）20(0)x x m x ++>【解析】解：（1）2(1)10ax a x -++<等价于(1)(1)0()ax x a R --<∈，当0a =时，不等式的解集为(1,)+∞，当0a >时，等价于1()(1)0x x a--<，即当01a <<时，不等式的解集为1(1,)a当1a =时，不等式的解集为空集，当1a >时，不等式的解集为1(a ，1)，当0a <时，不等式等价于1()(1)0x x a -->，即不等式的解集为(-∞，1)(1a⋃，)+∞（2）2(21)20ax a x +--<等价于(2)(1)0()x ax a R +-<∈ 当0a =时，不等式的解集为(2,)-+∞，当0a >时，不等式等价于1()(2)0x x a -+<，不等式的解集为1(2,)a -当0a <时，不等式等价于1()(2)0x x a-+>，当102a -<<时，不等式的解集为(-∞，1)(2a⋃，)+∞，当12a =-时，不等式的解集为(-∞，2)(2--⋃，)+∞，当12a <-时，不等式的解集为(-∞，12)(a -⋃，)+∞，（3）2210()ax x a R -+<∈；当0a =时，不等式的解集为1(2，)+∞，当0a >时，且△440a =->时，即01a <<时，不等式的解集为244(2a --，244)2a+-，当0a >是，且△440a =-时，即1a 时，不等式的解集为空集，当0a <时，且△440a =->时，即0a <时，不等式的解集为(-∞，244244)(22a a--+-⋃，)+∞，（4）20(0)x x m x ++>，当△140m =->时，即14m <时，20x x m ++=的根为1142m x ---=-（舍去）或1142m x -+-=，若当11402m -+->时，即0m <时，不等式的解集为[0，114]2m-+-，若当11402m -+-<时，即104m <<时，不等式的解集为空集若当11402m-+-=时，即0m =时，不等式的解集为空集当△140m =-<时，即14m >时，不等式的解集为空集，当△140m =-=时，即14m =时，不等式的解集为空集，综上所述当0m <时，不等式的解集为[0，114]2m-+-，当0m 时，不等式的解集为空集．例7．解关于x 的不等式：（1）22(1)10()x a x a R -++<∈；（2）2(8)10()ax a x a R --+>∈．【解析】解：（1）△24(1)40a =+-=时，解得0a =或2-．当0a =或2-时，不等式化为2(1)0x ±<，此时不等式的解集为∅．由△0>解得0a >或2a <-，此时不等式化为2[(1)2]x a a a -+-+ 2[(1)2]0x a a a -+++<，解得221212a a a x a a a +-+<<+++，此时不等式的解集为： 22{|1212}x a a a x a a a +-+<<+++；△0<时，即20a -<<时，不等式的解集为∅．综上可得：20a -时，不等式的解集为∅；当0a >或2a <-时，不等式的解集为22{|1212}x a a a x a a a +-+<<+++．（2）当0a =时，不等式化为810x +>，解得18x >-，此时不等式的解集为1{|}8x x >-．当0a ≠时，由△2(8)40a a =-->，解得16a >或4a <．∴当16a >或4a <且0a ≠时，不等式化为228206482064()()022a a a a a a a x x a a -+-+---+-->．当16a >或04a <<时，不等式的解集为282064{|2a a a x x a -+-+>或282064}2a a a x a ---+<．当0a <时，不等式的解集为228206482064{|}22a a a a a a x x a a ---+-+-+<<．综上可得：当0a =时，不等式的解集为1{|}8x x >-．当16a >或04a <<时，不等式的解集为282064{2a a a xx a -+-+>或282064}2a a a x a---+<．当0a <时，不等式的解集为228206482064{|}22a a a a a a x x a a ---+-+-+<<．题型三：分式、根式含参数不等式问题例8．不等式222(0)a x x a a -<+>的解集是( ) A ．{|0}x x a < B ．{|0x x >或4}5x a <-C ．{|}2ax x a -<<D ．4{|5x a x a -<-或0}x a <【答案】A【解析】解：不等式222a x x a -<+可化为：222244a x x ax a -<++，即2540x ax +>，(0)a > 解得：0x >或45x a <-，又由20x a +>，且220a x -得：12a x a -<．综上可得：0x a <．故不等式222(0)a x x a a -<+>的解集是{|0}x x a <，故选：A ．例9．（2022秋•清河区校级期中）已知a R ∈，解不等式11xa x >+-．【解析】解：原不等式化为(1)01ax a x -++>-①（1）当0a =时，原不等式为1011x x -<⇒>-．在①中，分子中x 的系数含有字母a ，分类讨论就从这里引起．（2）当0a ≠时，原不等式化为1()01a a x a x +-<-． ② 对于不等式②，分子中的系数a 不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变．当0a >时，原不等式等价于101a x a x +-<-．由于11a a +>，可解得11a x a+<<．也可先确定两根1x ，212()x x x <，然后直接写出解集．当0a <时，1()01a a x a x +-<-等价于101a x a x +->-．由1111a a a +=+<可解得1a x a+<或1x >．综上，当0a =时原不等式的解集为(1,)+∞．当0a >时，解集为1(1,)a a + 当0a <时，解集为1(,)(1,)a a+-∞+∞．例10．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式(1)22a x x ->-（其中1a ≤）【解析】()()()()411242220001222a x a x a x a x a a x x x x -------->⇔->⇔>⇔<----，又由42122a a a a a ---=≤--及知当01a <≤时，42,2a a ->-则集合4{|2}2a A x x a -=<<-；当0a =时，原不等式解集A 为空集；当0a <时，42,2a a -<-则集合4{|2}2a A x x a -=<<-；综上：当01a <≤时，4{|2}2a A x x a -=<<-；当0a =时，A 为空集；当0a <时，4{|2}2a A x x a -=<<-. 例11．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知关于x 的不等式250mx x m-<-的解集为S ，若5S ∈且6S ，则实数m 的取值范围为_____;【答案】(]5[,1)25,366；【解析】由题意，2250(5)()0mx mx x m x m-<⇔--<- 故5S ∈且6S ，可得(55)(25)0(65)(36)0m m m m --<⎧⎨--≥⎩由(55)(25)0m m --<可得，1m <或25m >；由(65)(36)0m m --≥可得，5366m ≤≤因此：(]5[,1)25,366m ∈ 故答案为：(]5[,1)25,366例12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于x 的不等式：（a 为实数） (1)220x x a ++< (2)102ax x ->-. 【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=， Δ44a =-，当1a ≥时，Δ440a =-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-- 所以220x x a ++<的解为：1111a x a --<--综上所述，1a ≥时，原不等式无解，当1a <时，原不等式的解集为{1111}xa x a --<--∣；（2）原不等式等价于()()120ax x -->，当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，原不等式可化为()()120ax x -+-<，因为12a <，所以解集为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当102a <<时，12a >，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当12a =时，原不等式等价于()11202x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以2(2)0x ->，解集为{}2xx ≠∣；当12a >时，12a <，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；综上所述，当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，解集为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当102a <≤时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当12a >时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.例13．（2022·全国·高一课时练习）解不等式：01axx ≤+．【解析】()0101axax x x ≤⇔+≤+且10x +≠．当0a >时，()10ax x +≤且()1010x x x +≠⇔+≤且1010x x +≠⇔-<≤，此时原不等式的解集为{}10x x -<≤；当0a =时，原不等式的解集为{}1x x ≠-；当0a <时，()10ax x +≤且()1010x x x +≠⇔+≥且101x x +≠⇔<-或0x ≥，此时原不等式的解集为{|1x x <-或}0x ≥．综上可知，当0a >时，原不等式的解集为{}10x x -<≤；当0a =时，原不等式的解集为{}1x x ≠-；当0a <时，原不等式的解集为{|1x x <-或}0x ≥．题型四：绝对值含参不等式问题例14．（2022春•安平县校级期中）对于任意的实数x ，不等式|1|x kx +恒成立，则实数k 的取值范围是()A ．(,0)-∞B ．[1-，0]C ．[0，1]D ．[0，)+∞【解析】解：不等式|1|x kx +恒成立，|1|y x ∴=+的图象不能在y kx = 的图象的下方，如图所示：01k ∴；故选：C ．例15．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}24A x x =<<，{}2211B x x a =--≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是______．【答案】()2,3【解析】由2211x a --≤，得1a x a ≤≤+，∴{}1B x a x a =≤≤+．由A B B =，得B A ⊆.显然B ≠∅，∴214a a >⎧⎨+<⎩，解得23a <<．故答案为：()2,3.例16．（2022·全国·高一专题练习）设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围为___．【答案】2≤a ≤4【解析】由|x ﹣a |＜1，得﹣1＜x ﹣a ＜1，∴a ﹣1＜x ＜a +1，由A 是B 的真子集，得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴2＜a ＜4．又当a ＝2时，A ＝{x |1＜x ＜3}， a ＝4时，A ＝{x |3＜x ＜5}，均满足A 是B 的真子集， ∴2≤a ≤4．故答案为：2≤a ≤4例17．（2022·全国·高一单元测试）若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有2、3，则b 的取值范围是______．【答案】78b ≤≤【解析】由34x b -<可得434x b -<-<，也就是4433b bx -+<<，因为解集中的整数只有2,3，所以44123433b b-+≤<<<≤，所以71058b b ≤<⎧⎨<≤⎩，故78b ≤≤．填78b ≤≤．例18．（2022·上海·高一课时练习）解关于x 的不等式：()1x x a a R ->-∈.【解析】两边平方，得()()221x x a ->-，即()()()2111a x a a ->-+.当1a =时，不等式解集为∅；当1a >时，不等式解集为1,2a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当1a <时，不等式解集为1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 例19．（2022·上海嘉定·高一期末）已知集合2{|23,}A x x x x R =+<∈，集合{|1,0,}B x x a a x R =-<>∈．若A B ⊆．求实数a 的取值范围．【解析】由223x x +<得2230x x +-<，解得31x -<<，即()3,1A =-．又由1,0x a a -<>解得11a x a -<<+，即()1,1B a a =-+．因为A B ⊆，所以1311a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得4a ≥．因此所求实数a 的取值范围是[)4,+∞．【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）若使不等式()2220x a x a +++≤成立的任意一个x 都满足不等式10x -≤，则实数a 的取值范围为（）A ．{}1a a >-B ．{}1a a ≥-C ．{}1a a <-D ．{}1a a ≤-【答案】B【解析】因为不等式10x -≤的解集为{}1x x ≤，由题意得不等式()2220x a x a +++≤的解集是{}1x x ≤的子集，不等式()2220x a x a +++≤，即()()20x x a ++≤， ①当2a =时，不等式的解集为{}2-，满足{}{}21x x -⊆≤；②当2a <时，不等式的解集为{}2x x a -≤≤-，若{}{}21x x a x x -≤≤-⊆≤，则1a -≤，所以12a -≤<；③当2a >时，不等式的解集为{}2x a x -≤≤-，满足{}{}21x a x x x -≤≤-⊆≤；综上所述，实数a 的取值范围为{}1a a ≥-．故选：B ．2．（2022·四川德阳·高一期末）若关于x 的不等式101x ax ->+的解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则a 的取值范围为（） A ．() 1? ∞+，B ．(0，1)C ．() 1?∞--，D ．(-1，0) 【答案】C 【解析】不等式101x ax ->+ 等价于()()110x ax -+>，设()()()11f x x ax =-+ ，显然a =0不符合题意，若0a > ，()()111f x x x a a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 是开口向上，零点分别为1和1a - 的抛物线，对于()0f x > ，解集为1x a<- 或1x > ，不符合题意；若0a < ，则()f x 是开口向下，零点分别为1和1a- 的抛物线，对于()0f x > ，依题意解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11a ∴-< ，即(),1a ∞∈-- ，故选：C.3．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C二、多选题4．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（）A ．5-B ．3-C ．πD ．5【答案】ABD【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <-解方程22(27)70x k x k +++=，得127,2x x k =-=- （1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<- 此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依题意，则54k -≤-<-，即45k <≤；（2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-，要使不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中只有一个整数，则需满足：35k -<-≤，即53k -≤<；所以k 的取值范围为[5,3)(4,5]-.故选：ABD.5．（2022·全国·高一课时练习）已知a ∈R ，关于x 的不等式()10a x x a ->-的解集可能是（） A ．{}1x x a <<B ．{}1x x x a 或C ．{}1x x a x 或D ．∅ 【答案】BCD【解析】当0a <时，不等式等价于()()10x x a --<，解得1<<a x ；当0a =时，不等式的解集是∅；当01a <<时，不等式等价于()()10x x a -->，解得1x >或x a <；当1a =时，不等式的解集为{}1x x ≠；当1a >时，不等式等价于()()10x x a -->，解得x a >或1x <．故选:BCD ．三、填空题6．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}2280,R A x x x x =--≤∈ ，(){}2550,R B x x m x m x =-++≤∈ ，设全集为R ，若R B A ⊆，则实数m 的取值范围为______．【答案】()4,+∞ 【解析】解不等式2280x x --≤，得24x -≤≤，所以R {2A x x =<-或4}x > ，(){}()(){}2550,R 50B x x m x m x x x x m =-++≤∈=--≤ ，因为R B A ⊆，当5m =时，{}5B =，满足题意；当5m >时，[]5,B m =，满足题意．当5m <时，[],5B m =，由R B A ⊆，得4m >，所以45m <<．综上，m 的取值范围为()4,+∞．故答案为：()4,+∞7．（2022·上海市控江中学高一期中）已知k 为正实数，关于x 的不等式()24(2)0kx k x --+<的解集为,A B A =⋂Z ，则当k 的值变化时，集合B 中的元素个数的最小值为______;【答案】6【解析】由方程240kx k --=，可解得44x k k=+≥，当且仅当2k =时，等号成立，则42,A k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即(]2,4A -⊂，由(]{}2,41,0,1,2,3,4-⋂=-Z ，则集合B 中的元素最少有6个，故答案为：6.8．（2022·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式()()221110a x a x ----<的解集是全体实数，求实数a 的取值范围________．【答案】315a -<≤ 【解析】根据题意，当210a -≠时，可得()()222Δ141010a a a ⎧=-+-<⎪⎨-<⎪⎩，解得315a -<<，当1a =时，不等式()()221110a x a x ----<显然成立. 综上可得，315a -<≤，故答案为：315a -<≤. 四、解答题9．（2022·全国·高一课时练习）在①A B A ⋃=，②A B ⋂≠∅，③R B A ⊆这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式2320ax x -+>的解集{1A x x =<或}x b >，关于x 的不等式()20ax am b x bm -++<的解集为B （其中m ∈R ）．(1)求a 、b 的值；(2)求集合B ；(3)是否存在实数m ，使得______？【解析】（1）因为一元二次不等式2320ax x -+>的解集{1A x x =<或}x b >，则关于x 的一元二次方程2320ax x -+=的两根分别为1、b ，所以，32021a b a -+=⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1）可得(){}()(){}222020B x x m x m x x x m =-++<=--<. 当2m =时，(){}220B x x =-<=∅；当2m <时，()(){}{}202B x x x m x m x =--<=<<；当2m >时，()(){}{}202B x x x m x x m =--<=<<.（3）若选①，{1A x x =<或}2x >，由A B A ⋃=，则B A ⊆，当2m =时，B A =∅⊆；当2m <时，{}2B x m x A =<<⊄，不合乎题意；当2m >时，{}2B x x m A =<<⊆，合乎题意.综上所述，2m ≥；选②，当2m =时，B =∅，此时A B =∅，不合乎题意；当2m <时，{}2B x m x =<<，若A B ⋂≠∅，则1m <，此时1m <；当2m >时，{}2B x x m =<<，此时A B ⋂≠∅.综上所述，1m <或2m >；选③，{}12A x x =≤≤R .当2m =时，R B A =∅⊆；当2m <时，{}R 2B x m x A =<<⊆，则12m ≤<；当2m >时，{}2B x x m A =<<⊄R ，不合乎题意.综上所述，12m ≤≤.10．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）设集合{|12,},{|()(2)0,}A x x x B x x a x a x =-<<∈=--<∈R R ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【解析】当0a >时，{|2}B x a x a =<<，当0a =时，B =∅，当0a <时，{|2}B x a x a =<<，由B A ⊆，而{|12,}A x x x =-<<∈R ，若0a >，有122a a ≥-⎧⎨≤⎩（等号不同时成立），则01a <≤；若0a =，显然B =∅A ⊆成立；若0a <，有212a a ≥-⎧⎨≤⎩（等号不同时成立），则102a -≤<；综上，112a -≤≤. 11．（2022·全国·高一课时练习）已知集合2{|12}{|40}A x x B x x ax =≤≤=-+≥，，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【解析】集合{|12}A x x =≤≤，2{|40}B x x ax =-+≥，若A B ⊆，B 一定非空，若2160a =-≤，得44a -≤≤，R B =，A B ⊆成立，若0>，即4a >或者4a ，设()24f x x ax =-+，(1)()11450f a a =-+=-≥，即5a ≤，对称轴02a <，所以4a ，(2)()2820f a =-≥，即4a ≤，对称轴22a ≥，不成立，综上，(]4a ∞∈-，． 12．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期末（理））解关于x 的不等式()()21440ax a x a ---<∈R .【解析】①当0a =时，原不等式可化为40x --<，解得4x >-；②当0a >时，原不等式可化为()140x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，解得14x a -<<； ③当0a <时，原不等式可化为()140x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， <i>当14a <-，即104a -<<时，解得1x a <或4x >-； <ⅱ>当14a =-，即14a =-时，解得4x <-或4x >-； <ⅱ>当14a >-，即14a <-时，解得4x <-或1x a>. 综上所述，当14a <-时，不等式解集为14x x x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或；当14a =-时，不等式解集为{}4x x ≠-；当104a -<<时，不等式解集为14x x x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或；当0a =时，不等式解集为{}4x x >-；当0a >时，不等式解集为14x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.13．（2022·全国·高一专题练习）当a ≤0时，解关于x 的不等式()21220ax a x +--≥．【解析】由()21220ax a x +--≥可得（ax ＋1）（x －2）≥0①当a ＝0时，原不等式即x －2≥0﹐解得x ≥2﹔②当a <0时，（ax ＋1）（x －2）≥0，方程（ax ＋1）（x －2）＝0的两根为11x a =-，22x = 当12a =-时，原不等式解为：x ＝2﹔ 当102a -<<时，12a ->，原不等式的解为；12x a ≤≤-，当12a <-时，12a -<，原不等式的解为：12x a -≤≤，综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{}2x x ≥；当12a =-时，原不等式的解集为{}2x x =；当102a -<<时，原不等式的解集为：12x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；当12a <-时，原不等式的解为：12x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．14．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式 220x x a ++>．【解析】方程220x x a ++=中()4441a a =-=-，①当10a -<即1a >时，不等式的解集是R ，②当10a -=，即1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，③当10a ->即1a <时，由220x x a ++=解得：121111x a x a =--=--，1a ∴<时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ，综上，1a >时，不等式的解集是R ，1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，1a <时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ，15．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）已知关于x 不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >．(1)求实数a 、b 的值.(2)解关于x 不等式2ax -+(ac+b)x -bc>0.【解析】(1)因为不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且0,a > b >1．由根与系数的关系得3121b ab a⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ ，解得12a b =⎧⎨=⎩.(2)原不等式化为2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<，①当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<；②当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<；③当2c =时，不等式的解集为∅．16．（2022·安徽宣城·高一期中）（1）已知不等式2320mx x +->的解集为{}2x n x <<，求m ，n 的值；（2）求关于x 的不等式()210x a x a +--> （其中a R ∈）的解集.【解析】（1）由题意4620m +-=，1m =-，不等式为2320x x -+->，即2320x x -+<，解得12x <<，所以1n =；（2）不等式2(1)0x a x a +-->可化为(1)()0x x a -+>，1a <-时，1x <或x a >-，1a =-时，1x ≠，1a >-时，x a <-或1x >．综上，1a ≤-时，不等式的解集为(,1)(,)a -∞-+∞，1a >-时，解集为(,)(1,)a -∞-+∞．。

第一章集合典型例题(1)(含答案及解析)-苏教版人教版必修1高一数学上册同步培优训练

专题01 集合中的典型题（1）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、选择题：1.下列各式中，正确的个数是：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③⌀⊆{0,1,2}；④⌀={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}．（）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知非空集合A，B满足以下两个条件：(ⅰ)A∪B={1,2，3，4，5，6}，A⋂B=⌀；(ⅰ)若x∈A，则x+1∈B．则有序集合对(A,B)的个数为()A. 12B. 13C. 14D. 153.已知集合A=(1,3)，集合B={x|2m<x<1−m}.若A∩B=⌀，则实数m的取值范围是()A. 13⩽m<32B. m⩾0C. m⩾32D. 13<m<324.设M，P是两个非空集合，规定M−P={x|x∈M，且x∉P}，根据这一规定，M−(M−P)等于()A. MB. PC. M∪PD. M∩P5.若集合M={x|x≤6}，a=2√2，则下面结论中正确的是A. {a}⫋MB. a⫋MC. {a}∈MD. a∉M6.中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知A={x|x=3n+2,n∈N∗}, B={x|x=5n+3,n∈N∗},C={x|x=7n+2,n∈N∗},若x∈A∩B∩C，则整数x的最小值为()A. 128B. 127C. 37D. 23二、多选题7.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a−b、ab、ab∈P(除数b≠0)则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是()A. 数域必含有0，1两个数B. 整数集是数域C. 若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D. 数域必为无限集∈A，则称集合8.若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)x，y∈A，则x−y∈A，且x≠0时，1x A是“完美集”，给出以下结论，其中正确结论的序号是()A. 集合B={−1,0，1}是“完美集”；B. 有理数集Q是“完美集”；C. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x+y∈A；D. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A；9.对任意A,B⊆R，记AⅰB= { x|x∈A∪B,x∉A∩B},并称AⅰB为集合A,B的对称差.例如，若A={1,2,3},B={2,3,4}，则AⅰB={1,4}.下列命题中，正确的是()A. 若A,B⊆R,且AⅰB=B,则A=⌀B. 若A,B⊆R,且AⅰB=⌀,则A=BC. 若A,B⊆R,且AⅰB⊆A,则A⊆BD. 存在A,B⊆R,使得AⅰB=(∁R A)ⅰ(∁R B)三、单空题10.已知集合M={a2,0}，N={1,a，2}，且M∩N={1}，那么M∪N的子集有______ 个．11.已知集合M={x|x2−2x−8=0}，N={x|ax+4=0}，且N⊆M，则由a的取值组成的集合是_________．12.已知集合A={x|ax+1=0}，B={x|x2−3x+2=0}，若A⊆B，则a的取值集合为_______．13.设集合A={1,a2−3}，B={−4,a−1}，若A⋃B中恰有3个元素，则a=________．四、解答题14.已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围．(1)A=⌀；(2)A恰有两个子集；．15.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+(a−1)x+a2−5=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．16.已知全集，集合M={x|−2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．(Ⅰ)若a=2，求；(Ⅱ)若M∪N=M，求实数a的取值范围．17.已知集合A={x|a−12<x<a2}，B={x|0<x<1}(Ⅰ)若a=12，求A⋃(∁R B)．(Ⅱ)若A⋂B=⌀，求实数a的取值范围．一、选择题：1.下列各式中，正确的个数是：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③⌀⊆{0,1,2}；④⌀={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}．（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查元素与集合、集合与集合之间的基本关系，特别要注意空集这一概念在题中的特殊性，根据集合中的相关概念，对每个命题进行一一判断．【解答】解：对①，集合与集合之间不能用∈符号，故①不正确；对②，由于两个集合相等，任何集合都是本身的子集，故②正确；对③，空集是任何集合的子集，故③正确；对④，空集是不含任何元素的集合，而{0}是含有1个元素的集合，故④不正确；对⑤，集合{0,1}是数集，含有2个元素，集合{(0,1)}是点集，只含1个元素，故⑤不正确；对⑥，元素与集合只能用∈或∉符号，故⑥不正确．故选B．2.已知非空集合A，B满足以下两个条件：(ⅰ)A∪B={1,2，3，4，5，6}，A⋂B=⌀；(ⅰ)若x∈A，则x+1∈B．则有序集合对(A,B)的个数为()A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】A【解析】【分析】本题考查交集、并集及其运算，考查了学生理解问题的能力．分别讨论集合A，B元素个数，即可得到结论．根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．【解答】解：若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有5个元素，则A 可以为{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，有5种；若集合A 中只有2个元素，则集合B 中有4个元素，则A 可以为{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,4}，{2,5}，{3,5}，有6种；若集合A 中只有3个元素，则集合B 中有3个元素，则A 只能是{1,3，5}，只有1种，则共有有序集合对(A,B)12个，故选A ．3. 已知集合A =(1,3)，集合B ={x|2m <x <1−m}.若A ∩B =⌀，则实数m 的取值范围是( )A. 13⩽m <32B. m ⩾0C. m ⩾32D. 13<m <32【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的包含关系判断与应用，交集及其运算等基础知识分类讨论m 的取值，得出使A ∩B =Ø成立时m 的取值范围．【解答】解：由A ∩B =Ø，得：①若2m ≥1−m ，即m ≥13时，B =Ø，符合题意；②若2m <1−m ，即m <13时，需{m <131−m ≤1或{m <132m ≥3,解得0≤m <13，综合可得m ≥0，∴实数m 的取值范围是m ≥0．故选B ．4. 设M ，P 是两个非空集合，规定M −P ={x|x ∈M ，且x ∉P}，根据这一规定，M −(M −P)等于() A. M B. P C. M ∪P D. M ∩P【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合新定义问题，属于较难题．分M ∩P =⌀与M ∩P ≠⌀讨论，可证明M −(M −P)=M ∩P ．解：当M∩P=⌀时，∵任意x∈M都有x∉P，∴M−P=M，∴M−(M−P)=⌀=M∩P；当M∩P≠⌀时，M−P表示了在M中但不在P中的元素，M−(M−P)表示了在M中但不在M−P中的元素，∵M−P中的元素都不在P中，所以M−(M−P)中的元素都在P中，∴M−(M−P)中的元素都在M∩P中，∴M−(M−P)=M∩P．故选D．5.若集合M={x|x≤6}，a=2√2，则下面结论中正确的是A. {a}⫋MB. a⫋MC. {a}∈MD. a∉M【答案】A【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系及集合与集合的关系，由a=2√2<6即可求解．【解答】解：因为集合M={x|x≤6}，a=2√2<6，所以{a}⫋M.故选A．6.中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知A={x|x=3n+2,n∈N∗}, B={x|x=5n+3,n∈N∗},C={x|x=7n+2,n∈N∗},若x∈A∩B∩C，则整数x的最小值为()A. 128B. 127C. 37D. 23【解析】【分析】本题考查集合的应用，描述法的定义，交集及其运算，元素与集合的关系．先从四个选择中最小的数开始进行检验是否满足x∈A∩B∩C，即x属于A，B，C中每一个集合，找出最小的一个即可．【解答】解：∵23=3×7+2=5×4+3=7×3+2，∴23∈A，23∈B，23∈C，∴23∈A∩B∩C，所以23是四个答案中最小的一个，故选：D．二、多选题∈P(除数b≠0)则7.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a−b、ab、ab 称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是()A. 数域必含有0，1两个数B. 整数集是数域C. 若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D. 数域必为无限集【答案】AD【解析】【分析】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的四个命题代入进行检验，要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验．本题考查的主要知识点是新定义概念的理解能力．我们可根据已知中对数域的定义：设P是一个数集，且至少含有两个数，若对∈P(除数b≠0)则称P是一个数域，对四个命题逐一进行判断即任意a、b∈P，都有a+b、a−b、ab、ab可等到正确的结果．解：当a=b时，a−b=0、ab=1∈P，故可知A正确．当a=1，b=2，12∉Z不满足条件，故可知B不正确．当M中多一个元素复数i则会出现1+i∉M，所以它也不是一个数域，故可知C不正确．根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D正确．故选AD．8.若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)x，y∈A，则x−y∈A，且x≠0时，1x∈A，则称集合A是“完美集”，给出以下结论，其中正确结论的序号是()A. 集合B={−1,0，1}是“完美集”；B. 有理数集Q是“完美集”；C. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x+y∈A；D. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A；【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查新定义，利用条件进行推理，考查学生的推理能力，根据“完美集”的定义，分别进行判断即可．【解答】解：A.∵1，−1∈B，1−(−1)=2∉B，不满足性质(2)，∴A不正确；B.∵0∈Q，1∈Q，x、y∈Q，∴0−y=−y∈Q，∴x+y=x−(−y)∈Q，且x≠0时，1x∈Q，∴B正确；C.∵0∈A，x、y∈A，∴0−y=−y∈A，∴x+y=x−(−y)∈A，故C正确；D.x，y∈A时，①若x=0，或1，则x2∈A；②若x≠0，且x≠1，则x−1，1x−1,1x∈A，∴1x−1−1x=1x2−x∈A；∴x2−x∈A，x2−x+x=x2∈A；∴x∈A得到x2∈A；∴同理可得y2∈A，x2+y2∈A，(x+y)2∈A；∴2xy=(x+y)2−(x2+y2)∈A；若x，y有一个为0，则xy∈A，若x，y都不为0，则：1 xy =12xy+12xy∈A，∴xy∈A；∴x∈A，y∈A，能得到xy∈A，故D正确．故选BCD．9.对任意A,B⊆R，记AⅰB= { x|x∈A∪B,x∉A∩B},并称AⅰB为集合A,B的对称差.例如，若A={1,2,3},B={2,3,4}，则AⅰB={1,4}.下列命题中，正确的是()A. 若A,B⊆R,且AⅰB=B,则A=⌀B. 若A,B⊆R,且AⅰB=⌀,则A=BC. 若A,B⊆R,且AⅰB⊆A,则A⊆BD. 存在A,B⊆R,使得AⅰB=(∁R A)ⅰ(∁R B)【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查新定义，属于较难题．根据新定义，逐一判断即可．【解答】解：由题意可得：，故正确；，所以正确；若A,B⊆R,且A⊕B⊆A,则B⊆A，故不正确；存在A,B⊆R,使得A⊕B=(∁R A)⊕(∁R B,)如A=B，故正确．故答案为ABD．三、单空题10.已知集合M={a2,0}，N={1,a，2}，且M∩N={1}，那么M∪N的子集有______ 个．【答案】16【解析】解：∵M={a2,0}，N={1,a，2}，且M∩N={1}，∴a=−1，∴M∪N={−1,0，1，2}，故M∪N的子集有24=16个．故答案为：16．由题意先确定集合M，N，再求M∪N={−1,0，1，2}，从而求子集的个数．本题考查了集合的运算及集合的化简，同时考查了集合的子集个数问题，11.已知集合M={x|x2−2x−8=0}，N={x|ax+4=0}，且N⊆M，则由a的取值组成的集合是_________．【答案】{0,−1,2}【解析】【分析】本题考查集合关系中参数取值问题，根据集合M={x|x2+x−8=0}写出集合M最简单的形式，然后再根据N⊆M，求出a的值，【解答】解：∵集合M={x|x2−2x−8=0}={−2,4}，∵N⊆M，N={x|ax+4=0}，∴N=⌀，或N={−2}或N={4}三种情况，当N=⌀时，可得a=0，此时N=⌀；当N={−2}时，−2a+4=0，可得a=2；当N={4}时，4a+4=0，可得a=−1．∴a的可能值组成的集合为{0,−1,2}．故答案为{0,−1,2}．12.已知集合A={x|ax+1=0}，B={x|x2−3x+2=0}，若A⊆B，则a的取值集合为_______．【答案】{−1,0，−12}.【解析】【分析】本题考查集合的包含关系及应用．根据A⊆B，利用分类讨论思想求解即可，特别要注意A=⌀不可忽略.【解答】解：当a=0时，A=⌀，满足A⊆B；当a≠0时，A={−1a }⊆B，−1a=1或−1a=2，解得a=−12或−1，}.综上实数a的所有可能取值的集合为{−1,0，−12}.故答案为{−1,0，−1213.设集合A={1,a2−3}，B={−4,a−1}，若A⋃B中恰有3个元素，则a=________．【答案】−1【解析】【分析】本题考查了并集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．由A，B，以及A与B的交集恰有3个元素，确定出a的值即可．【解答】解：因为a2−3≥−3>−4，所以由题意得a2−3=a−1或a−1=1，解得a=2或a=−1．当a=2时，集合A中的两个元素重合，舍去，所以a=−1．四、解答题14.已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围．(1)A=⌀；(2)A恰有两个子集；．【答案】解：(1)若A=⌀，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，则m≠0，且△=4−4m<0，所以m>1；(2)若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，，满足题意；讨论：①当m=0时，x=12②当m≠0时，△=4−4m，所以m=1．综上所述，m=0或m=1；,2)≠⌀，(3)若A∩(12,2)内有解，则关于x的方程mx2=2x−1在区间(12这等价于当x∈(12,2)时，求m=2x−1x2=1−(1x−1)2的值域，∴m∈(0,1]．【解析】本题考查空集的概念、子集的个数问题以及含参数的集合运算问题，综合性较强，属于拔高题．(1)若A=⌀，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，则m≠0，由此能求出实数m的取值范围．(2)若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．(3)若A∩(12,2)≠⌀，则关于x的方程mx2=2x−1在区间(12,2)内有解，这等价于求m=2x−1x2，x∈(12,2)时的值域．15.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+(a−1)x+a2−5=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)由题意得A={x|x2−3x+2=0}={1,2}∵A∩B={2}，∴2∈B∴22+(a−1)×2+a2−5=0，即4+2a−2+a2−5=0化简得：a2+2a−3=0，所以(a+3)(a−1)=0，解得：a=−3或a=1．检验：当a=−3时，B={x|x2−4x+4=0}={2}，满足A∩B={2}，当a=1时，B={x|x2−4=0}={−2,2}，满足A∩B={2}，∴a=−3或a=1;(2)∵A∪B=A，故B⊆A，①当B=⌀，则(a−1)2−4(a2−5)<0，即a2−2a+1−4a2+20<0，即−3a2−2a+21<0，即3a2+2a−21>0，即(3a−7)(a+3)>0，解得：a>73或a<−3，②当B为单元素集，则，即(a−1)2−4(a2−5)=0，得a=73或a=−3当a =73时，B ={−23}⊄A ，舍当a =−3时， B ={2}⊆A 符合，③当B 为双元素集，则B =A ={1,2}则有{1+2=1−a 1×2=a 2−5无解，综上：a >73或a ≤−3【解析】本题主要查了交集、并集以及一元二次方程的解法，考查了学生分类讨论的思想，培养了学生的综合能力．(1)由A ∩B ={2}，知2∈B ，将2代入求出a ，进而进行检验，得出集合B ，得出结论．(2)由A ∪B =A ，知B ⊆A ，再根据一元二次方程根的情况讨论B 的情况，得出a 的取值范围．16. 已知全集，集合M ={x|−2≤x ≤5}，N ={x|a +1≤x ≤2a +1}． (Ⅰ)若a =2，求；(Ⅱ)若M ∪N =M ，求实数a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)若a =2，则N ={x|3≤x ≤5}，则或x <3}；则；(Ⅱ)若M ∪N =M ，则N ⊆M ，①若N =⌀，即a +1>2a +1，得a <0，此时满足条件；②当N ≠⌀，则满足{a +1≤2a +12a +1≤5a +1≥−2，得0≤a ≤2，综上a ≤2，故a 的取值范围是(−∞,2]．【解析】本题主要考查集合的基本运算，根据集合的基本关系以及基本运算是解决本题的关键，属于拔高题．(Ⅰ)根据集合的基本运算进行求解即可；(Ⅱ)根据M ∪N =M ，得N ⊆M ，讨论N 是否是空集，根据集合的关系进行转化求解即可．17. 已知集合A ={x |a −12<x <a 2}，B ={x |0<x <1}(Ⅰ)若a =12，求A⋃(∁R B )．(Ⅱ)若A⋂B =⌀，求实数a 的取值范围．【答案】(Ⅰ)当a =12时A ={x|0<x <14}，C R B ={x|x ≤0或x ≥1}，∴A ∪(∁R B)={x|x <14或x ≥1};(Ⅱ)当A =ϕ时，即a −12⩾a 2解得a ⩾1，当A ≠ϕ时，需满足{a <1a −12⩾1或{a <1a 2⩽0，解得a ⩽0，综上a ⩽0或a ⩾1 ．【解析】本题考查集合的运算以及集合的关系(1)当a =12时，得到集合A ，C R B 利用并集概念即可求出A ∪(∁R B)； (2)分A =Φ和A ≠Φ两种情况即可求解，然后再求并集．。

高中数学必修一1.2 集合间的基本关系复习检测(人教A版,含解析)(72)

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．设集合M ＝x|－1≤x<2}，N ＝x|x －k≤0}，若(∁R M)⊇(∁R N)，则k 的取值范围是( ) A ．k≤2 B ．k≥－1 C ．k>－1D ．k≥22．若集合{}1A x x =>-,则（） A ．0A ⊆ B ．{}0A ⊆ C ．{}0A ∈ D ．A ∅∈ 3．已知集合{|1}M x x =>-，那么（）A ．0M ⊆B ．{0}M ∈C ．M ∅∈D ．{0}M ⊆4．已知集合2|10Ax x ，则下列式子表示正确的有（）①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．下列集合关系表示正确的是（）A ．{}{}11,2,3∈B ．{}0∅=C ．R ∅⊆D ．0N *∈6．若集合|24M x x k k Z ππ⎧⎫==⋅-∈⎨⎬⎩⎭，，|42N x x k k Z ππ⎧⎫==⋅+∈⎨⎬⎩⎭，，则（）A ．M=NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．没有包含关系 7．若集合A=1，3，x}，B=x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知{}{}224,1A x x B x x b =<<=<<，若A B ⊆，则实数b 的取值范围（） A ．()1,2B ．(]1,2C ．()2,+∞D ．[)2,+∞9．已知集合{}4,5,6P =，{}1,2,3Q =，定义{},,P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，则集合P Q ⊕的所有非空真子集的个数为 A ．32 B ．31C ．30D ．以上都不对10．设集合{}1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ⊆B ，则对应的实数对(,)a b 有A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对二、填空题1．设t 是实数，集合{}260M x x x =--=，{}20N y ty =-=，若N M ⊂，则符合条件的实数t组成的集合是______．2．下列各组中的两个集合相等的有__________. A 、{}2,P x x n n Z ==∈，(){}21,Q x x n n Z ==-∈；B 、{}21,P x x n n N *==-∈，{}21,Q x x n n N *==+∈；C 、{}20P x x x =-=，()11,2nQ x x n Z ⎧⎫+-⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 3．集合{}21,3,A a =，集合{1,2}B a a =++，若B A A ⋃=，则实数a =________4．已知集合{1,3,}A m =，{3,5}B =，且B A ，则实数m 的值是____． 5．集合{1,2,3,,2015,2016}⋅⋅⋅的子集个数为________ 三、解答题1．已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈，且C B ⊆,求a 的取值范围.2．已知集合{}25A x x =-<<，{}121B x m x m =+≤≤-，若B A ，求实数m 的取值范围.3．已知集合{}2|320A x x x =-+=，{}2|40B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．4．判断下列两个集合之间的关系：（1）{|0}A x x =<，{|1}B x x =<；（2）{|3,}A x x k k ==∈N ，{|6,}B x x z z ==∈N ；（3）{,|A x x =∈N 是4与10的公倍数}，{|20,}B x x m m +==∈N .5．已知集合713A xx ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，2{|9140}B x x x =-+<，{|52}C x m x m =-<<. （1）求A B ，()R C A B ⋃；（2）若x C ∈是()x A B ∈⋂的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.参考答案一、单选题 1．D 详解：由()()M N ⊇R R 可知M N ⊆ ，则k 的取值范围为2k ≥.故选D.2．B解析：集合{}0、∅与集合A 之间的关系用⊆或，元素0与集合A 之间的关系用∈或∉，ACD 选项都使用错误。

高考数学母题解密专题01 集合及其运算附解析(江苏专版)

专题01 集合及其运算【母题来源一】【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =__▲___.【答案】{}0,2【解析】根据集合的交集即可计算.∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =，故答案为：{}0,2.【名师点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．【母题来源二】【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则 A B = ▲ .【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.【母题来源三】【2018年高考江苏】已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B = ▲ ．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：{}1,8A B =.【名师点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．【命题意图】（1）了解集合的含义.（2）理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集.（3）能够正确处理含有字母的讨论问题，掌握集合的交集运算和性质.【命题规律】这类试题在考查题型上主要以填空题的形式出现，主要考查集合的基本运算，其中集合以描述法呈现．试题难度不大，多为低档题，从近几年江苏的高考试题来看，主要的命题角度有：（1）离散型或连续型数集间的交集运算；（2）已知集合的交集运算结果求参数．【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下三步：第一步：看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等；第二步：对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；第三步：应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).【方法总结】（一）集合的基本运算及其表示：（1）交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，即{|}A B x x A x B =∈∈且.（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，即|}{A B x x A x B =∈∈或.（3）补集：由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，即{|}U A x x U x A =∈∉且.（二）与集合元素有关问题的解题方略：（1）确定集合的代表元素；（2）看代表元素满足的条件；（3）根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数.但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.（三）集合间的基本关系问题的解题方略：（1）判断集合间基本关系的方法有三种：①列举观察；②集合中元素特征法，首先确定集合中的元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再判断集合间的关系；③数形结合法，利用数轴或韦恩图求解.（2）求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n 个，真子集个数为21n -个，非空真子集个数为22n -个.（3）根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.（四）求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解；（2）点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解；（3）连续型数集的运算，常借助数轴求解；（4）已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；（5）根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.1．（2020届江苏省苏州市吴江区高三下学期五月统考数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，则AB =______.【答案】{}4【解析】因为集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，所以{}4A B ⋂=.故答案为：{}4.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2．（江苏省无锡市、常州市2019-2020学年高三下学期5月联考数学试题）已知集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =，则M N ⋃=__________．【答案】{}0,1,2,4 【解析】集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =， ∴{}0,1,2,4M N ⋃=.故答案为：{}0,1,2,4.【点睛】本题考查并集及其运算，属于基础题.3．（江苏省盐城中学2020届高三下学期第一次模拟数学试题）已知集合{}13A x =-<<，{}|2=≤B x x ，则A B =_________ .【答案】(-1,2]【解析】由题意{|12}A B x x =-<≤故答案为：(1,2]-．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题关键．4．（2020届江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高三下学期第二次调研考试数学试题）已知集合{}1,4A =，{}5,7B a =-.若{}4A B ⋂=，则实数a 的值是______.【答案】9 【解析】集合{}1,4A =，{}5,7B a =-，{}4A B ⋂=，∴54a -=，则a 的值是9.故答案为：9【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.5．（江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题）已知集合{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，则MN =__________．【答案】{}0,1 【解析】因为{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，所以{}0,1M N ⋂=. 6．（2020届江苏省高三高考全真模拟(六)数学试题）已知集合{1,0,2}A =-，{}0,1,2,3B =，则A B =______.【答案】{1,0,1,2,3}-【解析】由题意1,0,1{,2,}3A B =-．故答案为：{1,0,1,2,3}-．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．7．（江苏省泰州市姜堰区、南通市如东县2020届高三下学期适应性考试数学试题）已知集合{1,3,}A a =，{4,5}B =.若{4}A B ⋂=，则实数a 的值为______.【答案】4【解析】{}4A B ⋂=4A ∴∈且4B ∈4a ∴=【点睛】本题考查了交集的定义，意在考查学生对交集定义的理解，属于基础题.8．（江苏省扬州中学2020届高三下学期6月模拟考试数学试题）集合{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，若A B B ⋃=，则x =_________________．【答案】0【解析】∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，又{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，∴31x =，∴0x =，故答案为：0．【点睛】本题主要考查集合的并集运算的应用，属于基础题．9．（江苏省泰州中学2019-2020学年高三下学期4月质量检测数学试题）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{|12}x x <<【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，所以{|12}A B x x =<<.故答案为：{|12}x x <<【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题.10．（江苏省扬州市2020届高三下学期6月最后一卷数学试题）已知集合2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，则A B B =，则实数a 的值是_______．【答案】±1【解析】因为AB B =，所以B A ⊆，又2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，所以21a =，解得1a =±.故答案为：±1【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题.11．（2020届江苏省苏州市三校高三下学期5月联考数学试题）设集合{2,0,1,2}=-A ，{}|10B x x =-<，则A B =___________.【答案】{}2,0-【解析】由已知，{}|1B x x =<，所以AB ={}2,0-. 故答案为：{}2,0-【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.12．（江苏省盐城市2020届高三下学期第四次模拟数学试题）若集合{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}A B m =，则实数m 的值为_______.【答案】1- 【解析】∵{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}AB m =，∴1m =-，故答案为：1-．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．13．（江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.【答案】{1,2} 【解析】集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题．14．（江苏省淮安市清浦中学2019-2020学年高三下学期5月阶段性检测数学试题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．15．（江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期第一次调研考试数学试题）设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．【答案】{}2【解析】{}{}0,1,2,0,1U A =={}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.16．（2020届江苏省苏州市常熟市高三阶段性抽测三数学试题）已知集合{}2A x x =≤，(){}40B x x x =-≤，则()A B =R ________.【答案】(]2,4 【解析】集合(){}{}4004B x x x x x =-≤=≤≤ 因为集合{}2A x x =≤ 所以{}2R A x x => 所以(){}(]242,4R A B x x ⋂=<≤=.故答案为：(]2,4.【点睛】本题考查解一元二次不等式，集合的补集、交集运算，属于简单题.17．（2020届江苏省南通市高三下学期5月模拟考试数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =____．【答案】{}2,3,4【解析】由题意可得：{}{}|014|15B x x x x =<-<=<< ，则{}2,3,4A B⋂=.如何学好数学做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。

专题高中集合中含有参数问题重难点突破(含答案)

专题集合中含有参数问题一、考情分析二、经验分享【重难点突破】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1.2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()U UA B A B U ⇔=∅⇔=痧.3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .4.数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F 是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F 中的数,即运算封闭,则称F 为数域.5.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()U UU A B A B 痧；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU A B A B 痧．三、题型分析(一)元素与集合的关系中含有参数问题方法导入已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解步骤第1步：由元素属于或不属于集合入手分类讨论；第2步：将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合；第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求；反思要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验例1．（1）、（2021·江苏扬州·高一期中）已知集合{}2,1,56A a a a =-+，若2A ∈，则实数a 的值构成的集合为_________．【变式训练1-1】．（2020·临猗县临晋中学高一月考）集合{}21,2,,31M a a a =--，{}1,3N =-，若3M ∈且N M Ú，则a 的取值为（）A．1-B．4C．1-或4-D．4-或1例2．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知M 是满足下列条件的集合：①0M ∈，1M ∈；②若x y M ∈，，则x y M -∈；③若x M ∈且0x ≠，则1M x∈.（1）判断1M -∈是否正确，说明理由；（2）证明：13M ∈；（3）证明：若x y M ∈，，则x y M +∈且xy M ∈.【变式训练2-1】、（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）已知不等式()x a x a <210－＋＋的解集为M .(1)若2∈M ，求实数a 的取值范围；(2)当M 为空集时，求不等式1x a-＜2的解集.方法导入此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判别式求解.步骤第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论；第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解；反思要注意两点，一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0.例3、（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若集合{}2210A xax x =-+=∣有且只有一个元素，则a 的取值集合为__________．【变式训练3-1】．（2020·南开区·天津四十三中）集合{}28160A x kx x =-+=∣，若集合A 中只有一个元素，则由实数k 的值组成的集合为________.例4、（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）已知集合2{|210}A x R mx x =∈-+=，在下列条件下分别求实数m 的取值范围：(1)A =∅；(2)A 恰有一个元素.【变式训练4-1】．（2020·伊美区第二中学高一月考）设集合{}|121A x m x m =+≤≤-，{}|14B x x =-≤≤．（1）若{}|14B x Z x =∈-≤≤，求B 的非空真子集的个数；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围．由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化）A．9B．0或1C．0或9D．0或1或9（2）、（2021·全国·高一课时练习）已知全集U =R ，集合{}|27A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，则使U A B ⊆ð成立的实数m 的取值范围可以是（）A．{}|610m m <≤B．{}|22m m -<<C．1|22m m ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D．{}|58m m <≤【变式训练5-1】．（2020·上海外国语大学附属宏达高级中学高一月考）若集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|516B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 组成的集合为（）A．{}|27a a ≤≤B．{}|67a a ≤≤C．{}7|a a ≤D．∅【变式训练5-2】．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x 的不等式220x x a a -+-≤的解集为A ，集合{}12B x x =-≤<，若AB ，则实数a 的取值范围为___________.方法导入这类问题一般通过观察得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组求解.步骤第1步，通过集合运算得到各集合间的关系;第2步利用各集合间的关系列方程组或不等式组求解;第3步综合各分类讨论的结果得到最终参数的取值.反思要注意对求解结果进行检验，防止违背集合中元素有关特性，尤其是互异性.例6．（1）、（2021·河南·淅川县第一高级中学高一阶段练习）已知集合{}{}2|4260,|0A x x mx m B x x =-++==<.若A B ⋂≠∅，则m 的取值范围为___________.（2）、（2021·河南安阳市·高三三模（理））已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若A B B = ，则实数a 的取值集合为（）A．{}1,2--B．{}1,0-C．{}2,0,1-D．{}2,1,0--【变式训练6-1】、（2022·河南·高三阶段练习（理））已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B =（）A．{}1,3B．{}1,3,5,7C．{}3,5,7D．{}3,5,7,9【变式训练6-2】、（2022·江苏·高一单元测试）设{}29140A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值可以为（）A．2B．12C．17D．0例7．（2021·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知集合()(){}{}250121A x x x B x m x m =+-<=+≤≤-，.(1)当3m =时，求集合()A B R ð;(2)若A B B = ，求实数m 的取值范围.【变式训练7-1】．（2022·安徽·高一期中）集合2{|650}A x x x =-+>，{|221}B x m x m =-<<+(1)当1m =时，求A B (2)问题：已知，求m 的取值范围从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）①A B B= ②A B A⋃=③A B =∅答案及详解三、题型分析(一)元素与集合的关系中含有参数问题例1．（1）、（2021·江苏扬州·高一期中）已知集合{}2,1,56A a a a =-+，若2A ∈，则实数a 的值构成的集合为_________．【答案】{2,4}##{}42，【解析】【分析】依题意分两种情况2a =，或2256a a =-+讨论，分别计算可得；【详解】因为集合{}2,1,56A a a a =-+，且2A ∈所以2a =或2256a a =-+（1）当2a =时，此时2560a a -+=，{}2,1,0A =符合题意.（2）当2256a a =-+时，解得1a =或4a =当1a =时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；当4a =时，{}2,1,4A =符合题意.综上可知实数a 的值构成的集合为{2,4}故答案为：{2,4}【变式训练1-1】．（2020·临猗县临晋中学高一月考）集合{}21,2,,31M a a a =--，{}1,3N =-，若3M ∈且N M Ú，则a 的取值为（）A．1-B．4C．1-或4-D．4-或1【答案】B 【分析】根据3M ∈分类讨论解得a ，利用N M Ú检验结果即可求解.【详解】因为3M ∈，若3a =，此时，2311a a --=-，{}1,2,3,1M =-与N M Ú不符合，若2313a a --=，解得4a =或1a =-，当4a =时，{}1,2,4,3M =，满足N M Ú，当1a =-时，{}1,2,1,3M =-，不满足N M Ú，综上知，4a =故选：B 【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，集合与集合的包含关系，属于中档题.例2．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知M 是满足下列条件的集合：①0M ∈，1M ∈；②若x y M ∈，，则x y M -∈；③若x M ∈且0x ≠，则1M x∈.（1）判断1M -∈是否正确，说明理由；（2）证明：13M ∈；（3）证明：若x y M ∈，，则x y M +∈且xy M ∈.【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据定义确定M 包含元素1-；（2）根据定义依次确定M 包含元素11,2,3,3-；（3）根据定义确定M 包含元素y -，即得x y M +∈结论；根据定义依次确定M 包含元素2221111()()1,,,(1),,,,1(1)22x y x y x x x x xy x x x x x +---=---,即得xy M ∈结论．【详解】（1）1M -∈0M ∈，1M ∈由②可得011M -=-∈；（2）证明：由（1）知1M -∈，又1M ∈∴()112M --=∈，()213M --=∈由③得13M ∈；（3）证明：由①知0M∈由题知y M ∈，∴由②可得0y y M -=-∈又∵x M ∈，∴()x y M --∈，即x y M +∈；证明：由x M ∈，y M ∈，当0x =时，则0=∈xy M ；当1x =时，则=∈xy y M ；当0x ≠且1x ≠时，由②可得1x M -∈，再由③可得1M x∈，11M x ∈-∴111M x x -∈-即()11M x x ∈-，∴()1x x M -∈即2x x M -∈，∴2x M ∈即当x M ∈，2x M ∈又因为当,x y M ∈，x y M +∈，∴112M x x x +=∈，∴2M x∈∴当,x y M ∈，可得()22222,,,22x y x y x y M++∈∴()22222x y x y xy M ++-=∈．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义判断元素与集合关系，正确理解新定义是解题的关键．【变式训练2-1】、（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）已知不等式()x a x a <210－＋＋的解集为M .(1)若2∈M ，求实数a 的取值范围；(2)当M 为空集时，求不等式1x a-＜2的解集.【答案】(1)a ＞2；(2)(－∞，1)∪3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由已知2∈M 可得，2满足已知不等式，代入即可求解；（2）由M 为空集，可求得a ，然后代入解分式不等式即可求解.(1)由已知2∈M 可得，4－2(a ＋1)＋a ＜0，解得a ＞2，所以实数a 的取值范围为()2,+∞；(2)当M 为空集，则()a a -∆=≤2410＋，即()a -≤210；所以10a -=，即1a =∴1x a-＜2，即11x -＜2，∴231x x --＞0，解得x ＞32或x ＜1.∴此不等式的解集为(－∞，1)∪3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(二)集合中元素个数的含参数问题方法导入此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判别式求解.步骤第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论；第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解；反思要注意两点，一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0.例3、（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若集合{}2210A xax x =-+=∣有且只有一个元素，则a 的取值集合为__________．【答案】{}0,1##{}1,0【解析】【分析】讨论集合A 中的条件2210ax x -+=属于一次方程还是二次方程即可求解.【详解】①若0a =，则210x -+=，解得12x =，满足集合A 中只有一个元素，所以0a =符合题意；②若0a =/，则2210ax x -+=为二次方程，集合A 有且只有一个元素等价于2=(2)410a --⨯⨯=∆，解得1a =.故答案为：{}0,1.【变式训练3-1】．（2020·南开区·天津四十三中）集合{}28160A x kx x =-+=∣，若集合A 中只有一个元素，则由实数k 的值组成的集合为________.【答案】{}0,1【分析】分0k =和0k ≠两种情况，分别讨论集合A ，进而可求出答案.【详解】当0k =时，方程28160kx x -+=可化为8160x -+=，解得2x =，满足题意；当0k ≠时，要使集合{}28160A x kx x =-+=∣中只有一个元素，则方程28160kx x -+=有两个相等的实数根，所以64640k ∆=-=，解得1k =，此时集合{4}A =，满足题意.综上所述，0k =或1k =，即实数k 的值组成的集合为{}0,1.故答案为：{}0,1.【点睛】本题考查单元素的集合，注意讨论方程28160kx x -+=中k 是否为0，属于基础题.例4、（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）已知集合2{|210}A x R mx x =∈-+=，在下列条件下分别求实数m 的取值范围：(1)A =∅；(2)A 恰有一个元素.【答案】(1)()1,+∞(2){}0,1【解析】【分析】()1若A =∅，则关于x 的方程2210mx x -+=没有实数解，则0m ≠，且440m ∆=-<，由此能求出实数m 的取值范围．()2若A 恰有一个元素，所以关于x 的方程2210mx x -+=恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m 的取值范围．(1)若A =∅，则关于x 的方程2210mx x -+=没有实数解，则0m ≠，且440m ∆=-<，所以1m >，实数m 的取值范围是()1,+∞；(2)若A 恰有一个元素，所以关于x 的方程2210mx x -+=恰有一个实数解，讨论：①当0m =时，12x =，满足题意；②当0m ≠时，440m ∆=-=，所以1m =．综上所述，m 的取值范围为{}0,1．【变式训练4-1】．（2020·伊美区第二中学高一月考）设集合{}|121A x m x m =+≤≤-，{}|14B x x =-≤≤．（1）若{}|14B x Z x =∈-≤≤，求B 的非空真子集的个数；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）62；（2）52m ≤.【分析】（1）先确定集合B 中元素的个数，然后根据一个含有n 个元素的集合的非空真子集为22n -个确定B 集合非空真子集的个数.（2）由A B A = 可知A B ⊆，先分析当A =∅的情况；当A ≠∅时，结合数轴确定集合,A B 端点的关系，确定实数m 的取值范围.【详解】解：（1）因为{}{}|141,0,1,2,3,4B x Z x =∈-≤≤=-，所以集合B 的非空真子集的个数为62262-=个.（2）若A B A = ，则A B ⊆，①当A =∅时，A B ⊆成立，此时121m m +>-，解得2m <；②当A ≠∅时，若A B ⊆，则只需12111214m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得：522m ≤≤.综上所述，若A B A = ，则实数52m ≤.(三)、集合基本关系中的含参问题由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化）A．9B．0或1C．0或9D．0或1或9【答案】C【解析】【分析】根据B A⊆3=m=，根据集合元素的互异性求得答案.【详解】由B A⊆3=m=，3=时，9m=，符合题意；m=时，0m=或1m=，但1m时，{}1,1B=不合题意，故m的值为0或9,故选：C（2）、（2021·全国·高一课时练习）已知全集U=R，集合{}|27A x x=-≤≤，{}|121B x m x m=+≤≤-，则使UA B⊆ð成立的实数m的取值范围可以是（）A．{}|610m m<≤B．{}|22m m-<<C．1|22m m⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D．{}|58m m<≤【答案】ABC【解析】【分析】讨论B=∅和B≠∅时，计算U Bð，根据UA B⊆ð列不等式，解不等式求得m的取值范围，再结合选项即可得正确选项.【详解】当B=∅时，121m m+>-，即2m<，此时U RB=ð，符合题意，当B ≠∅时，121m m +≤-，即2m ≥，由{}|121B x m x m =+≤≤-可得{U |1B x x m =<+ð或}21x m >-，因为U A B ⊆ð，所以17m +>或212m -<-，可得6m >或12m <-，因为2m ≥，所以6m >，所以实数m 的取值范围为2m <或6m >，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC.【变式训练5-1】．（2020·上海外国语大学附属宏达高级中学高一月考）若集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|516B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 组成的集合为（）A．{}|27a a ≤≤B．{}|67a a ≤≤C．{}7|a a ≤D．∅【答案】C【分析】考虑A =∅和A ≠∅两种情况，得到21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得答案.【详解】当A =∅时，即2135a a +>-，6a <时成立；当A ≠∅时，满足2133516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得67a ≤≤；综上所述：7a ≤.故选：C.【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况是容易发生的错误【变式训练5-2】．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x 的不等式220x x a a -+-≤的解集为A ，集合{}12B x x =-≤<，若A B ，则实数a 的取值范围为___________.【答案】()1,2-【解析】【分析】首先将不等式变形，再对a 与1a -分三种情况讨论，分别求出集合A ，根据集合的包含关系得到不等式组，即可求出参数a 的取值范围；【详解】解：原不等式220x x a a -+-≤可变形为()()10x a x a -+-≤，当1a a =-，即12a =时，12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足题意；当1a a <-，即12a <时，{}1A x a x a =≤≤-，所以112a a ≥-⎧⎨-<⎩，解得1a >-，所以112a -<<；当1a a >-，即12a >时，{}1A x a x a =-≤≤，所以21112a a a ⎧⎪<⎪-≥-⎨⎪⎪>⎩，解得122a <<.综上可得1a 2-<<，即()1,2a ∈-；故答案为：()1,2-(四)、集合基本运算中的含参问题方法导入这类问题一般通过观察得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组求解.步骤第1步，通过集合运算得到各集合间的关系;第2步利用各集合间的关系列方程组或不等式组求解;第3步综合各分类讨论的结果得到最终参数的取值.反思要注意对求解结果进行检验，防止违背集合中元素有关特性，尤其是互异性.例6．（1）、（2021·河南·淅川县第一高级中学高一阶段练习）已知集合{}{}2|4260,|0A x x mx m B x x =-++==<.若A B ⋂≠∅，则m 的取值范围为___________.【答案】(,1]-∞-【解析】【分析】由A B ⋂≠∅，可得方程24260x mx m -++=有两个负根，或一正根一负根，或一负根和一个根为零，从而可得Δ0{40260m m ≥<+>，或Δ0{260m >+<，或Δ0{260m >+=，进而可求出m 的取值范围【详解】因为{}{}2|4260,|0A x x mx m B x x =-++==<，且A B ⋂≠∅，所以方程24260x mx m -++=有两个负根或一正根一负根，一负一零所以2Δ164(26)0{40260m m m m =-+≥<+>或2Δ164(26)0{260m m m =-+>+<，或()2Δ164260{40260m m m m =-+><+=，解得31m -<≤-，或3m <-，或3m =-，综上，1m ≤-，即m 的取值范围为(,1]-∞-，故答案为：(,1]-∞-（2）、（2021·河南安阳市·高三三模（理））已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若A B B = ，则实数a 的取值集合为（）A．{}1,2--B．{}1,0-C．{}2,0,1-D．{}2,1,0--【答案】D【分析】先求出集合A，由A B B = 得到B A ⊆，再分类讨论a 的值即可.【详解】{}{}22301,2A x N x x *=∈--<=，因为A B B = ，所以B A ⊆，当0a =时，集合{}20B x ax φ=+==，满足B A ⊆；当0a ≠时，集合{}220B x ax x a ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，由B A ⊆，{}1,2A =得21a -=或22a-=，解得2a =-或1a =-，综上，实数a 的取值集合为{}2,1,0--.故选：D .【点睛】易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略0a =时，集合B φ=满足B A ⊆，而错解.【变式训练6-1】、（2022·河南·高三阶段练习（理））已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B = （）A．{}1,3B．{}1,3,5,7C．{}3,5,7D．{}3,5,7,9【答案】A【解析】【分析】先求出集合[)1,5B =，再根据集合的交集运算求得答案.【详解】由题意得[){2}1,5B x =<=，其中奇数有1，3，又{}21,Z A x x n n ==+∈，则{}1,3A B = ,故选:A．【变式训练6-2】、（2022·江苏·高一单元测试）设{}29140A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a的值可以为（）A．2B．12C．17D．0【答案】BCD【解析】【分析】先求出集合A ，再由A B B = 可知B A ⊆，由此讨论集合B 中元素的可能性，即可判断出答案.【详解】集合2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，{|10}B x ax =-=，又A B B = ，所以B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意，当0a ≠时，则1{}B a =，所以12a=或17a =，解得12a =或17a =，综上所述，0a =或12或17,故选：BCD 例7．（2021·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知集合()(){}{}250121A x x x B x m x m =+-<=+≤≤-，.(1)当3m =时，求集合()A B R ð;(2)若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】(1){}()5R A B ⋂=ð(2){}3|m m <【解析】【分析】（1）由题知{}25A x x =-<<{}|45B x x =≤≤，再根据集合交集，补集运算求解即可；（2）由题知B A ⊆，再分B =∅和B ≠∅两种情况讨论求解即可.(1)解：集合()(){}{}25025A x x x x x =+-<=-<<，当3m =时，{}|45B x x =≤≤，所以{|2R A x x =≤-ð或5}x ³所以{}()5R A B ⋂=ð.(2)因为A B B = ，所以B A ⊆，①当B =∅时，121m m +>-，解得2m <，此时B A⊆②当B ≠∅时，应满足12112215m m m m +≤-⎧⎪+>-⎨⎪-<⎩，解得23m ≤<，此时B A ⊆综上，m 的取值范围是{}3|m m <【变式训练7-1】．（2022·安徽·高一期中）集合2{|650}A x x x =-+>，{|221}B x m x m =-<<+(1)当1m =时，求A B(2)问题：已知，求m 的取值范围从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）①A B B = ②A B A ⋃=③A B =∅【答案】(1)()(),25,A B ∞∞⋃=-⋃+(2)答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）化简集合A ，根据并集的定义求解；（2）化简所选条件，结合集合的包含关系列不等式求m 的取值范围(1)因为2{|650}A x x x =-+>，所以{}51A x x x =><或1m =时{}02B x x =<<，所以()(),25,A B ∞∞⋃=-⋃+(2)选①：由题意B A ⊆，B =∅时221m m -≥+，解得3m ≥；B ≠∅时，322511m m m <⎧⎨-≥+≤⎩或，解得0m ≤，综上30m m ≥≤或选②：由题意B A ⊆，B =∅时221m m -≥+，解得3m ≥；B ≠∅时，322511m m m <⎧⎨-≥+≤⎩或，解得0m ≤，综上30m m ≥≤或；选③：B =∅时221m m -≥+，解得3m ≥；B≠∅时，322115mmm<⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，解得332m≤<；综上32 m≥。

高中数学破题致胜微方法(集合应用剖析)：利用集合的互异性求参数(含答案解析)

集合元素具有3个性质，确定性、互异性、无序性，明确集合的性质可以帮助我们更加深刻地理解集合的本质，并且根据集合的性质可以解决诸多与集合相关的问题.其中集合的“互异性”很常用，接下来我们就看看如何利用集合的互异性来求参数.下面我们先看几个例题.例1.已知集合()22{,}2,133A a a a a ，=++++若1A ，∈求实数a 的值.检验：当0a =时，此时22=233=3a a a ，+++，集合2,1{},3A ，=满足题设.当2a =-时，此时22=033=1a a a ，+++，不满足集合元素的互异性，故舍去.③233=1a a ,++得，1a =-或2a =-由①②知，1a =-或2a =-不满足题意.综上，0.a =例2.若集合{,,lg()}{0,||,}x xy xy x y ，=则____,____.x y ==解：由已知得：0xy ，> lg()0xy ，\=得1xy ，= 此时，{}{},1,00,||,.x x y =若||1x x y ，，ì=ïí=ïî得1x y ==与集合元素的互异性矛盾；若||1x y x ，，ì=ïí=ïî得11x y ，ì=-ïí=-ïî或11x y ，ì=ïí=ïî（舍）. 1,1x y \=-=- .注：集合相等则它们的元素完全相同，根据“对应”元素相等可建立方程组，而互异性则是检验各解是否符合题意的标准，建立方程组时要注意元素间的对应.例3. 已知集合{a ，b ，c }={0，1，2}，且下列三个关系： ① a ≠2 ；② b =2 ；③ c ≠0有且只有一个正确，则100a +10b +c =________.解：若①正确，②③不正确，有2,2,0a b c ì¹ïï¹íï=ïî，此时没有符合{a ，b ，c }={0，1，2}的解. 若②正确，①③不正确，有2,2,0a b c ì=ïï=íï=ïî，此时与集合元素的互异性相矛盾.若③正确，①②不正确，有2,2,0a b c ì=ïï¹íï¹ïî，此时2,0,1a b c ì=ïï=íï=ïî符合题意. 则100a +10b +c =201.下面给出几道练习题来体会以上的方法.练习题：1.已知21,{}0,x x ，∈求实数x 的值.2.已知2{2,,},{2,2,}M a b N a b ，==且,M N =试求a 与b 的值. 3.若集合{a ，b ，c ，d }={1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a =1；②b ≠1；③c =2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是_________. 4.已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{a ，b }={a 2，b 2}，则a +b =_________. 练习题解析：1.已知21,{}0,x x ，∈求实数x 的值.2.已知2{2,,},{2,2,}M a b N a b ，==且,M N =试求a 与b 的值.解：由已知得2222a a a bb b b a或=⎧=⎧⎨⎨==⎩⎩解得1 0041012aa ab bb或或⎧=⎪==⎧⎧⎪⎨⎨⎨==⎩⎩⎪=⎪⎩根据集合中元素的互异性，得104112aabb或⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩3.若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是_________.4.已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=_________.。

高中数学命题热点名师解密专题：集合的解题技巧(有答案)

专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项 1.元素与集合,集合与集合关系混淆问题； 2.造成集合中元素重复问题； 3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题； 6．子集中忽视空集问题； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题； 9.集合的运算问题； 10.集合的综合问题。

二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题,理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义,能识别给定集合的子集,了解在具体情境中全集与空集的含义； 3．理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn )图表达集合间的关系与运算．【知识要点】 1．集合的含义与表示(1)一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称集． (2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种,分别用“∈”或“∉”来表示． (5)常用的数集：自然数集N ；正整数集N *(或N ＋)；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 2．集合之间的关系(1)一般地,对于两个集合A ,B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A B ⊆；若A ⊆B ,且A ≠B ,则A B ⊂,我们就说A 是B 的真子集． (2)不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ,它是任何集合的子集,即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B,A∩A＝A,A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B,A∪A＝A,A∪∅＝A；(3)A⊆B,B⊆C,则A⊆C；【点评】：注意两个集合代表元的条件,容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合,集合,则图中的阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为,所以先求出集合A,B后可得结论．【解析】由题意得,所以,即图中阴影部分表示的集合为．故选C．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算,解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征,属于基础题．（四）代表元变化问题例4．【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x,x>1},B=,则（) A．B．C．D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},B=,∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合,的元素只有1个,则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素,可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想,可求出的范围.【解析】联立即,是单元素集,分两种情况考虑:,方程有两个相等的实数根,即,可得,解得,方程只有一个根,符合题意,综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.练习2.同时满足：①M ⊆{1,2,3,4,5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()A．9个B．8个C．7个D．6个【答案】C共有7个集合满足条件,故选C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系,以及集合与集合的关系的判定与应用,其中熟记元素与集合的关系,以及集合与集合的包含关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.（五）分类讨论问题例5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B,由得,转化为不式等组求解,可得所求范围．【解析】（1）①当时,原不等式成立．②当时,原不等式等价于,解得.,综上可得原不等式的解集为,∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减,∴,∴,∴．∵,∴,∴,解得,∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用,已知集合的包含关系求参数的取值范围时,可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解,转化时要注意不等式中的等号能否成立,解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合,,若,求实数a的取值范围；若,求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得,,根据可得,从而可解出的取值范围；（2）先求出,根据可得到,解出的取值范围即可．【解析】由题意得,；（1）∵,∴,解得,又,∴,∴实数的取值范围为．（2）由题意得,∵,∴,解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义,一元二次不等式的解法,子集的概念,以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时,注意转化方法的运用,特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合,若,则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系,先将集合,化简,然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若,即时,满足条件；若,则.∵∴或∴或综上,或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题,易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合,．（1）若,求;（2）若,求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A,B的并集A∪B＝｛1,2｝,当且仅当A≠B时,（A,B）与（B,A）视为不同的对,则这样的（A,B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举,即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A,B）为：A=,B＝｛1,2｝；A=｛1｝,B＝｛2｝；A=｛1｝,B＝｛1,2｝；A=｛2｝,B ＝｛1｝；A=｛2｝,B＝｛1,2｝；A=｛1,2｝,B＝；A=｛1,2｝,B＝｛1｝；A=｛1,2｝,B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集,考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=,集合M的所有非空子集依次记为：M1,M2,...,M15,设m1,m2,...,m15分别是上述每一个子集内元素的乘积,规定：如果子集中只有一个元素,乘积即为该元素本身,则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数,当时,函数的值就是所有子集的乘积。

集合中的含参问题

集合中的含参问题【类型一：元素与集合关系中的含参问题】例1。

已知集合A＝{a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，求实数a的取值集合．【举一反三1】设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2【举一反三2】若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（）A．1B．2C．0D．1或2【举一反三3】设A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，已知A∩B＝{9}，A∪B.【举一反三4】已知集合A＝{a﹣2，a2﹣2，12}，且﹣1∈A，求实数a的值；【举一反三5】已知集合M＝{1，m+2，m2+4}，且5∈M，求m的取值集合．例2。

已知数集，数集Q＝{0，a+b，b2}，且P＝Q，求a，b的值．【举一反三1】已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}且M＝N，求a、b的值．【举一反三2】设集合P＝{x﹣y，x+y，xy}，Q＝{x2+y2，x2﹣y2，0}，若P＝Q，求x，y的值及集合P、Q．【举一反三3】已知全集U＝{1，2，a2+2a﹣3}，A＝{|a﹣2|，2}，∁U A＝{0}，求a的值．【举一反三4】已知全集U＝{2，3，a2﹣2a﹣3}，A＝{b，2}，∁U A＝{5}，求a、b的值．例3。

已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．1）若A是空集，求a的取值范围；2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．【举一反三1】已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；（2）若A是空集，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．【举一反三2】已知集合A＝{x|ax2﹣3ax+2＝0}（1）若A不是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．（4）若A有四个子集，求a的取值范围．【类型四：集合关系（或运算）中的含参问题】例4。

必修一第一单元《集合》测试(含答案解析)

一、选择题1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2D ．-1或22．设集合{,}A a b =,{}220,,B a b =-,若A B ⊆,则⋅=a b （）A ．-1B ．1C ．-1或1D ．0 3．已知集合{,}P a b =,{|}Q M M P =⊆，则P 与Q 的关系为（）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．P Q ∈D ．P Q ∉4．对于非空集合P ，Q ，定义集合间的一种运算“★”：{P Q x x P Q =∈★∣且}x P Q ∉⋂．如果{111},{1}P x x Q x y x =-≤-≤==-∣∣，则P Q =★（）A ．{12}xx ≤≤∣ B ．{01xx ≤≤∣或2}x ≥ C ．{01xx ≤<∣或2}x > D ．{01xx ≤≤∣或2}x > 5．已知集合2{|120}A x x x =--≤, {|211}B x m x m =-<<+.且AB B =，则实数m 的取值范围为 ( ) A ．[-1，2)B ．[-1，3]C ．[-2，+∞)D ．[-1，+∞)6．已知集合{}|15A x x =≤<，{}|3B x a x a =-<≤+.若B A B =，则a 的取值范围为（） A ．3,12⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．3,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．(],1-∞-D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y x B x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．18．已知全集为R ，集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，102x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭∣，则A ∩（∁R B ）的子集个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．89．已知全集U =R ，集合(){}{}20,1A x x x B x x =+<=≤，则图中阴影部分表示的集合是（）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,110．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|2x <2}，则A∩B 等于( ) A ．(1,3) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(－3,1)11．已知3(,)|32y M x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{(,)|20}N x y ax y a =++=，且M N ⋂=∅，则实数a =（） A ．6-或2-B ．6-C ．2或6-D ．212．已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（） A ．{|3}x x >-B ．{3}x x |<-C ．{|3}x x ≤-D ．{|23}x x ≤<二、填空题13．集合{(,)|||,}A x y y a x x R ==∈，{(,)|,}B x y y x a x R ==+∈，已知集合A B中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是________ 14．我们将b a -称为集合{|}M x a x b =≤≤的“长度”，若集合2{|}3M x m x m =≤≤+，{|0.5}N x n x n =-≤≤，且集合M 和集合N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是________15．设全集{}22,3,3U a a =+-，集合{},3A a =，{}2U C A =，则a =___________.16．若{}2230P x x x =--<,{}Q x x a =>,且P Q P =,则实数a 的取值范围是______.17．已知集合A ={x |x ≥2}，B ={x ||x ﹣m |≤1}，若A ∩B =B ，则实数m 的取值范围是______． 18．已知点H 是正三角形ABC 内部一点，HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆的面积值构成一个集合M ，若M 的子集有且只有4个，则点H 需满足的条件为________. 19．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．若{|[][2][3],01}A y y x x x x ==++≤≤，则A 中所有元素的和为_______．20．设集合{}1,2,3A =，若B ≠∅，且B A ⊆，记G(B)为B 中元素的最大值和最小值之和，则对所有的B ，G(B)的平均值是_______.三、解答题21．已知全集U =R ，集合{4A x x =<-或1}x >，{|312}B x x =-≤-≤，（1）求AB 、()()U UA B ；（2）若集合{|211}M x k x k =-≤≤+是集合A 的子集，求实数k 的取值范围． 22．设集合{|12A x a x a =-<<，}a R ∈，不等式2760x x -+<的解集为B ．（1）当a 为0时，求集合A 、B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．23．已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）．24．已知函数2()lg(231)f x x x =-+的定义域为集合A ，函数()2(],,2x g x x =∈-∞的值域为集合B ，集合22{|430}(0)C x x mx m m =-+≤>. （1）求A ∪B ；（2）若()C AB ⊆,求实数m 的取值范围.25．已知集合{}2|280A x x x =+-≤，[)1,B =-+∞，设全集为U =R .（1）求()UA B ∩；（2）设集合(1,1)C a a =-+，若C A B ⊆⋃，求实数a 的取值范围. 26．设全集U =R ，函数2lg(4+3)y x x =-的定义域为A ，函数3[0]1y x m x =∈+，，的值域为B .（1）当4m =时，求UB A ；（2）若“Ux A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}；若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)，本题选择C 选项.2．A解析：A 【分析】由集合的包含关系得,a b 的方程组，求解即可【详解】A B ⊆，由集合元素互异性得0,0,a b a b ≠≠≠ 则22a a b b ⎧=⎨=-⎩ 或22b a a b ⎧=⎨=-⎩解得11a b =⎧⎨=-⎩或11b a =⎧⎨=-⎩故选： A 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查元素的互异性，是基础题3．C解析：C 【分析】用列举法表示集合Q ,这样就可以选出正确答案. 【详解】{}M P M a ⊆⇒=或{}b 或{},a b 或∅.因此{}{}{}{}{|},,,,Q M M P a b a b =⊆=∅,所以P Q ∈.故选：C 【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系,理解本题中集合Q 元素的属性特征是解题的关键.4．C解析：C 【分析】先确定,P Q ，计算P Q 和P Q ，然后由新定义得结论．【详解】由题意{|02}P x x =≤≤，{|10}{|1}Q x x x x =-≥=≥，则{|0}PQ x x =≥，{|12}P Q x x =≤≤，∴{|01P Q x x =≤<★或2}x >．故选：C ．【点睛】本题考查集合新定义运算，解题关键是正确理解新定义，确定新定义与集合的交并补运算之间的关系．从而把新定义运算转化为集合的交并补运算．5．D解析：D 【分析】先求出集合A ,由A B B =,即B A ⊆,再分B φ=和B φ≠两种情况进行求解.【详解】由2120x x --≤,得34x -≤≤. 即[3,4]A =-. 由AB B =,即B A ⊆.当B φ=时，满足条件,则211m m -≥+解得2m ≥.当B φ≠时，要使得B A ⊆，则12121314m m m m +>-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩.解得：12m -≤<.综上满足条件的m 的范围是：1m ≥-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，以及集合关系中的参数范围问题，考查分类讨论思想，属于中档题.6．C解析：C 【分析】首先确定B A ⊂，分B φ=和B φ≠两种情况讨论，求a 的取值范围. 【详解】B A B =B A ∴⊂，当B φ=时，332a a a -≥+⇒≤-；当B φ≠时，3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，312a ∴-<≤- ，综上：1a ≤-，故选C. 【点睛】本题考查根据集合的包含关系，求参数取值范围，意在考查分类讨论的思想，属于基础题型.7．B解析：B 【解析】【分析】首先求解方程组3y x y x ⎧=⎨=⎩，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3y x y x⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-即3y x =和y x =的图象有3个交点()11--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B 有3个元素，故选B.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．8．D解析：D 【分析】解不等式得集合B ，由集合的运算求出()R A B ，根据集合中的元素可得子集个数．【详解】10{|21}2x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭∣，{|2R B x x =≤-或1}x ≥，所以()R A B {2,1,2}=-，其子集个数为328=．故选：D ．【点睛】本题考查集合的综合运算，考查子集的个数问题，属于基础题．9．C解析：C 【分析】由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出()U C A B 、()A B ⋃，然后求交集即可.【详解】(){}20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，{|21}A B x x ⋃=-<≤，∴(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或01}x ≤≤，故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.10．C解析：C 【分析】根据不等式的解法，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】依题意，可得集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}＝(-1,3)，B ＝{x|2x <2}＝(－∞，1)， ∴A∩B ＝(－1,1)．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．A解析：A 【解析】【分析】先确定集合M,N,再根据M N ⋂=∅确定实数a 的值. 【详解】由题得集合M 表示(32)3y x -=-上除去(2)3，的点集，N 表示恒过(10)-，的直线方程．根据两集合的交集为空集：M N ⋂=∅.①两直线不平行，则有直线20ax y a ++=过(2)3，，将2x =，代入可得2a =-， ②两直线平行，则有32a-=即6a =-，综上6a =-或2-，故选：A ．【点睛】本题主要考查集合的化简和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12．C解析：C 【分析】化简集合，根据集合的并集补集运算即可. 【详解】因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-，所以AB {|3}x x =>-，()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题.二、填空题13．【分析】若中有且仅有一个元素则方程有且仅有一个解进而求解即可【详解】由题因为中有且仅有一个元素则方程有且仅有一个解当时则当时则由已知得或或或解得故答案为:【点睛】本题考查由交集结果求参数范围考查分类解析：[1,1]-【分析】若AB 中有且仅有一个元素,则方程a x x a =+有且仅有一个解,进而求解即可【详解】由题,因为A B 中有且仅有一个元素,则方程a x x a =+有且仅有一个解,当0x ≥时,ax x a =+,则1a x a =-, 当0x <时,ax x a -=+,则1a x a =-+, 由已知得0101a a a a ⎧≥⎪⎪-⎨⎪-≥⎪+⎩或0101aa a a ⎧<⎪⎪-⎨⎪-<⎪+⎩或101a aa =⎧⎪⎨-<⎪+⎩或011a a a ⎧≥⎪-⎨⎪=-⎩, 解得11a -≤≤, 故答案为:[]1,1- 【点睛】本题考查由交集结果求参数范围,考查分类讨论思想和转化思想14．【分析】当集合的长度的最小值时与应分别在区间的左右两端由此能求出的长度的最小值【详解】由题的长度为的长度为当集合的长度的最小值时与应分别在区间的左右两端故的长度的最小值是故答案为:【点睛】本题考查交解析：16【分析】当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端,由此能求出M N ⋂的“长度”的最小值【详解】由题,M 的“长度”为23,N 的“长度”为12, 当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端, 故M N ⋂的“长度”的最小值是2111326+-=, 故答案为:16【点睛】本题考查交集的“长度”的最小值的求法,考查新定义的合理运用15．【分析】根据与可知再根据集合相等求解即可【详解】由可知即故当时当时即故不满足故故答案为：【点睛】本题主要考查了根据集合的基本关系求解参数的问题需要根据题意分情况讨论同时注意集合的互异性属于中档题【分析】根据{}2U C A =与{}22,3,3U a a =+-可知{}23,3A a a =+-,再根据集合相等求解即可.【详解】由{}2U C A =,{}22,3,3U a a =+-可知{}23,3A a a =+-,即{}{}23,3,3a a a +-=.故232,3a a aa ⎧+-=⎪⎨≠⎪⎩ .当0a ≥时,23a a a a +-=⇒=当0a <时,23a a a +-=-即 ()()2230130a a a a +-=⇒-+=,故3a =-.不满足2,3a ≠.故a =【点睛】本题主要考查了根据集合的基本关系求解参数的问题,需要根据题意分情况讨论,同时注意集合的互异性,属于中档题.16．【分析】先求出集合由已知条件中即可求出实数a 的取值范围【详解】由解得又因为且则所以即实数a 的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查了集合的交集运算在解答此类题目的方法是将其转化为子集问题在取答案时可以解析：(],1-∞-【分析】先求出集合P ,由已知条件中P Q P =,即可求出实数a 的取值范围.【详解】由{}2230P x x x =--<,解得{}13P x x =-<<,又因为{}Q x x a =>,且PQ P =,则P Q ⊆,所以1a ≤-,即实数a 的取值范围是(],1-∞-.故答案为:(],1-∞- 【点睛】本题考查了集合的交集运算,在解答此类题目的方法是将其转化为子集问题,在取答案时可以画出数轴来得到结果,本题较为基础.17．3+∞）【分析】先求出集合再利用交集定义和不等式性质求解【详解】∵集合解得∴实数m 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题注意不等式性质的合理运用是基础题解析：[3，+∞）【分析】先求出集合B ，再利用交集定义和不等式性质求解．【详解】∵集合{|2}A x x =≥，{|||1}{|11}B x x m x m x m =-≤=-≤≤+，A B B =，12m ∴-≥，解得3m ≥，∴实数m 的取值范围是[)3,+∞．故答案为：[)3,+∞．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用，是基础题.18．在的三条高上且不为重心【分析】由题意知若集合的子集只有个则集合有个元素可得出三个三角形的面积有两个相等分析点的位置即可得出结论【详解】若集合的子集只有个则集合有个元素是等边内部一点三个三角形的面积值解析：H 在ABC ∆的三条高上且H 不为ABC ∆重心【分析】由题意知，若集合M 的子集只有4个，则集合M 有2个元素，可得出HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆三个三角形的面积有两个相等，分析点H 的位置，即可得出结论. 【详解】若集合M 的子集只有4个，则集合M 有2个元素，M 是等边ABC ∆内部一点， HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆三个三角形的面积值构成集合M ，故HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆三个三角形的面积有且只有两个相等.若HAB ∆，HBC ∆的面积相等，则点H 在边AC 的高上且不为ABC ∆的重心；若HBC ∆，HCA ∆的面积相等，则点H 在边AB 的高上且不为ABC ∆的重心；若HAB ∆，HCA ∆的面积相等，则点H 在边BC 的高上且不为ABC ∆的重心. 综上所述，点H 在等边ABC ∆的三条高上且不为ABC ∆的重心. 故答案为：H 在ABC ∆的三条高上且H 不为ABC ∆重心【点睛】本题考查子集的个数与元素个数之间的关系，根据已知条件得出集合元素的个数是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.19．【分析】分5种情况讨论的范围计算函数值并求元素的和【详解】①当时；②当时；③当时；④时；⑤当时则中所有元素的和为故答案为12【点睛】本题考查新定义的题型需读懂题意并能理解应用分类讨论解决问题本题的难解析：12【分析】分103x ≤<，1132x ≤<，1223x ≤<，213x ≤<，1x =，5种情况讨论2,3x x 的范围，计算函数值，并求元素的和. 【详解】①当103x ≤<时， 220,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)30,1x ∈，∴ [][][]230x x x ===，[][][]230x x x ++= ；②当1132x ≤<时，22,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，331,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ， [][]20,x x ∴==[]31x =，[][][]231x x x ∴++=；③当1223x ≤<时，[)21,2x ∈ ，33,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭[]0x ∴=，[]21x = ，[]31x = ，[][][]232x x x ∴++=； ④213x ≤<时，42,23x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)32,3x ∈ []0x ∴=，[]21x =，[]32x =，[][][]233x x x ∴++=；⑤当1x =时[]1x =，[]22x =，[]33x = ，[][][]236x x x ∴++={}0,1,2,3,6A ∴=，则A 中所有元素的和为0123612++++=.故答案为12【点睛】本题考查新定义的题型，需读懂题意，并能理解，应用，分类讨论解决问题，本题的难点是分类较多，不要遗漏每种情况20．4【分析】根据题意列出所有可能的集合B 求出相应的求出平均数即可【详解】因为集合若且所以集合B 为：当时当时当时当时当时当时当时则G(B)的平均值是故答案为：【点睛】本题主要考查了集合间的包含关系考查学解析：4【分析】根据题意列出所有可能的集合B ，求出相应的()G B ，求出平均数即可.【详解】因为集合{}1,2,3A =，若B ≠∅，且B A ⊆所以集合B 为：{}{}{}{}{}{}{}1231,21,32,31,2,3，，，，，，当{}1B =时，()112G B =+=当{}2B =时，()224G B =+=当{}3B =时，()336G B =+=当{}1,2B =时，()123G B =+=当{}1,3B =时，()134G B =+=当{}2,3B =时，()235G B =+=当{}1,2,3B =时，()134G B =+=则G(B)的平均值是246345447++++++= 故答案为：4【点睛】本题主要考查了集合间的包含关系，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 三、解答题21．（1）{|13}A B x x =<≤∩；()(){|13}U U A B x x x ⋃=≤>或；（2）5k <-或1k >．【分析】（1）首先求集合B ，再求U A 和U B ，再求集合的运算；（2）首先讨论集合M 是空集和非空集两种情况，再分别列不等式求解. 【详解】解：（1）因为全集U =R ，集合{4A x x =<-或1}x >，，{|312}B x x =-≤-≤，所以23{|}B x x =-≤≤{|41}U x x A =-≤≤{2U B x x =<-或3}x >所以{|13}A B x x =<≤∩ ()()(){|1U U U A B A B x x ⋃=⋂=≤或3}x >，（2）因为集合{|211}M x k x k =-≤≤+是集合A 的子集，所以①当M =∅时，211k k ->+，解得2k >；②当M 时，21114k k k -≤+⎧⎨+<-⎩或211211k k k -≤+⎧⎨->⎩解得：5k <-或12k <≤综上所述：实数k 的取值范围是5k <-或1k >．【点睛】易错点睛：（1）已知子集关系求参数时，要记得讨论空集的情况，这是本题的易错点. （2）集合的交并补运算，需审题清楚，注意端点值的开闭，涉及复杂运算时可以参考补集运算的经典结论：()()()U U v A B A B ⋃=⋂，()()()U U v A B A B ⋂=⋃；22．（1）{|10}A x x =-<<，{|16}B x x =<<；（2）1a -或23a ．【分析】（1）根据题意，由0a =可得结合A ，解不等式2760x x -+<可得集合B ，（2）根据题意，分A 是否为空集2种情况讨论，求出a 的取值范围，综合即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，集合{|12A x a x a =-<<，}a R ∈，当0a =时，{|10}A x x =-<<，276016x x x -+<⇒<<，则{|16}B x x =<<，（2）根据题意，若A B ⊆，分2种情况讨论：①，当12a a -时，即1a -时，A =∅，A B ⊆成立；②，当12a a -<时，即1a >-时，A ≠∅，若A B ⊆，必有1126a a -⎧⎨⎩，解可得23a ，综合可得a 的取值范围为1a -或23a ．【点睛】本题考查集合的包含关系的应用，（2）中注意讨论A 为空集，属于基础题．23．（1）{a|a≤7}；（2）{a|a ＜6或a ＞152} 【分析】（1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a -5≤16，解不等式可得a 的取值范围；（2）由A ⊆（A∩B ）得A ⊆B ，分类讨论，A ＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a 的取值范围【详解】（1）若A ＝∅，则A∩B ＝∅成立．此时2a ＋1＞3a －5，即a ＜6．若A≠∅，则2135{2113516a a a a +≤-+≥--≤解得6≤a≤7．综上，满足条件A∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a|a≤7}．（2）因为A ⊆（A∩B ），且（A∩B ）⊆A ，所以A∩B ＝A ，即A ⊆B ．显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6．若A≠∅，则2135{351a a a +≤--<-或2135{2116a a a +≤-+> 由2135{351a a a +≤--<-解得a ∈∅；由2135{2116a a a +≤-+>解得a ＞152．综上，满足条件A ⊆（A∩B ）的实数a 的取值范围是{a|a ＜6或a ＞152}．考点：1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用 24．（1）R （2）106m <≤或413m ≤≤ 【分析】（1）求出集合A ，B ，根据集合的并集运算即可；（2）{|3},C x m x m =<<1{|02A B x x ⋂=<<或14}x <≤，利用()C A B ⊆，列出不等式组，求出实数m 的取值范围.【详解】由2()lg(231)f x x x =-+可得：22310x x -+>，所以1{|2A x x =<或1}x >, 因为()2(],,2x g x x =∈-∞，所以{|04}B x x =<，所以A B R =.（2）{|3}C x m x m =<<，1{|02A B x x ⋂=<<或14}x <≤，因为()C A B ⊆，所以0132m m <⎧⎪⎨≤⎪⎩或134m m ≤⎧⎨≤⎩，解得106m <≤或413m ≤≤，故实数m 的取值范围106m <≤或413m ≤≤. 【点睛】本题考查并集、交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题. 25．（1）()[)4,1U AB =--（2）[)3,-+∞ 【分析】（1）先化简集合A ，再求()U A B ∩；（2）先求出[)4,A B =-+∞，得14a -≥-，解不等式即得解.【详解】（1）由题得[]4,2A =-，[)1,B =-+∞，(,1)U B =-∞-，所以()[)4,1U A B =--；（2）由题得[)4,A B =-+∞，若C A B ⊆⋃，则14a -≥-，所以3a ≥-. 所以a 的取值范围是[)3,-+∞.【点睛】本题主要考查集合的运算和关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．（1）U B A =[35，3].（2）02m << 【分析】（1）先解不等式得集合A ，再根据单调性求分式函数值域得集合B ，最后根据补集以及并集概念求结果；（2）根据充要关系确定两集合之间包含关系，结合数轴列不等式解得结果.【详解】(1)由2430+x x ->，解得1x <或3x >，所以1[]3U A =，，又函数31y x =+在区间[0]m ，上单调递减，所以3[3]1y m ∈+，，即3[3]1B m =+，，当4m =时，3[3]5B =，，所以[3]35U B A =，. （2）首先要求0m >，而“U x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以，即3[3]1m +，[1]3，，从而311m >+，解得02m <<【点睛】本题考查函数定义域、值域，集合补集与并集以及根据充要关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.。

(好题)高中数学必修一第一单元《集合》测试(含答案解析)(1)

一、选择题1．下列表示正确的个数是（）（１）{}{}2100;(2)1,2;(3){(,)}3,435x y x y x y +=⎧∉∅∅⊆=⎨-=⎩；（４）若A B ⊆则A B A =A ．０B ．１C ．２D ．３2．设集合}{2230A x x x =+->，集合}{2210,0,B x x ax a =--≤>若A B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是（） A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞3．已知集合A 、B 均为非空集合，定义{*|()A B x x A B =∈⋃且}()x A B ∉⋂，若{}1,0,1,2,3A =-，{}2|1,B x x t t A ==+∈，则集合*A B 的子集共（）A ．64个B ．63个C ．32个D ．31个4．已知x ，y 都是非零实数，||||||x y xy z x y xy =++可能的取值组成的集合为A ，则下列判断正确的是（） A ．3A ∈，1A -∉B ．3A ∈，1A -∈C ．3A ∉，1A -∈D ．3A ∉，1A -∉5．已知{}lg M y y x ==，{}xN y y a ==，则MN =（）A ．0,B ．RC ．∅D ．,06．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，集合A 、B 是U 的子集，且A B U ⋃=，A B ⋂≠∅．若{}3,4=UAB ，则满足条件的集合A 的个数为（）A ．7个B ．8个C ．15个D ．16个7．已知集合302x A x x ⎧⎫+⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}B y y m =<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围为( ) A ．()2∞+，B ．[)2∞+，C ．()3∞-+，D ．[)3∞-+，8．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做A 的幂集，记为()P a ，用()n A 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：（1）对于任意集合A ，都有()A P A ∈；（2）存在集合A ，使得()3nP A =；（3）若AB =Φ，则()()P A P B ⋂=Φ；（4）若A B ⊆，则()()P A P B ⊆；（5）若()()1n A n B -=，则[][]()2()n P A n P B =.其中正确命题的序号为（）A ．（1）（2）（5）B ．（1）（3）（5）C ．（1）（4）（5）D ．（2）（3）（4）9．设集合1{|0}x A x x a-=≥-，集合{}21B x x =->，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤B ．3a ≤C ．13a ≤≤D ．3a ≥10．能正确表示集合{}02M x x =∈≤≤R 和集合{}20N x x x =∈-=R 的关系的韦恩图的是（）A ．B ．C ．D ．11．已知集合{}1A x x =>，{}1B x x =≥，则（） A ．A ⊆BB ．B ⊆AC ．A∩B =φD ．A ∪B=R12．已知3(,)|32y M x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{(,)|20}N x y ax y a =++=，且M N ⋂=∅，则实数a =（） A ．6-或2-B ．6-C ．2或6-D ．2二、填空题13．已知集合{|M m Z =∈关于x 的方程2420x mx +-=有整数解}，集合A 满足条件：①A 是非空集合且A M ⊆；②若a A ∈，则a A -∈．则所有这样的集合A 的个数为______．14．全集{U x x =是不大于20的素数}，若{}3,5A B ⋂=，{}7,19A B ⋂=，{}2,17A B ⋃=，则集合A =___________.15．集合6|5M a a⎧=∈⎨-⎩N 且}a Z ∈，用列举法表示集合M =________． 16．已知{|2}A x x x =->，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则AB =________17．设a ，b ，c 为实数，()()()2f x x a x bx c =+++，()()()211g x ax cx bx =+++，记集合(){}|0,S x f x x R ==∈，(){}|0,T x g x x R ==∈，若S ，T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论可能成立的是________．①1S =，0T =；②1S =，1T =；③2S =，2T =；④2S =，3T =. 18．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．若{|[][2][3],01}A y y x x x x ==++≤≤，则A 中所有元素的和为_______．19．已知集合{}{}2430,21xA x x xB x =++≥<，则AB =____________20．任意两个正整数x 、y ，定义某种运算⊗：()()x y x y x y x y x y +⎧⊗=⎨⨯⎩与奇偶相同与奇偶不同，则集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N 中元素的个数是________三、解答题21．已知集合612A xx ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭,{}2(4)70B x x m x m =-+++<．（1）若3m =时，求()RAB ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．22．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤2a ＋3}，B ＝{x |－2≤x ≤4}，全集U ＝R ．（1）当a ＝2时，求A ∪B 和(∁R A )∩B ；（2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．23．已知全集为R ，函数()()lg 1f x x =-的定义域为集合A ，集合(){}|16B x x x =->.（1）求AB ；（2）若{}|11C x m x m =-<<+，()()RC A B ⊆，求实数m 的取值范围.24．关于x 的不等式111a x +>+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ，Q P =∅∩，求实数a 的取值范围．25．已知集合{}25A x x =-≤≤，集合{}121B x p x p =+≤≤-，若A B B =，求实数p 的取值范围． 26．已知集合11{|216}8x A x +=≤≤，{|131}B x m x m =+≤≤-. （1）求集合A ；（2）若AB B =，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】选项（1）中元素与空集的关系是不属于，正确；（2）空集是非空集的子集正确；（3）集合前后不相等，一个是方程的根构成的集合，有一个元素，一个是两个实数构成的集合，故不正确；（4）根据集合子集的意义知若A B ⊆则AB A =正确.2．A解析：A 【分析】先化简集合A ，再根据函数y =f （x ）=x 2﹣2ax ﹣1的零点分布，结合A ∩B 恰有一个整数求解. 【详解】A ={x |x ＜﹣3或x ＞1}，函数y =f （x ）=x 2﹣2ax ﹣1的对称轴为x =a ＞0，而f （﹣3）=6a +8>0，f （﹣1）=2a >0，f （0）<0，故其中较小的零点为（-1，0）之间，另一个零点大于1，f （1）<0，要使A ∩B 恰有一个整数，即这个整数解为2， ∴f （2）≤0且f （3）＞0，即44109610a a --≤⎧⎨-->⎩，解得：3443a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即34≤a ＜43，则a 的取值范围为34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为：A. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算的应用以及二次函数的零点分布问题，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.3．C解析：C 【分析】先求集合B ，再求并集、交集、补集，最后根据元素确定子集个数. 【详解】因为{}2|1,{1,2,5,10}B x x t t A ==+∈=，所以{}{}1,0,1,2,3510,1,2,AB A B =-=，，*{1,0,3,5,10}A B ∴=-因此集合*A B 的子集有5232=个，故选：C 【点睛】本题考查并集、交集、补集定义以及子集个数，考查综合本分析求解能力，属基础题.4．B解析：B 【分析】分别讨论,x y 的符号，然后对||||||x y xyz x y xy =++进行化简，进而求出集合A ，最后根据集合元素的确定性即可得出答案. 【详解】当0x >，0y >时，1113z =++=；当0x >，0y <时，1111z =--=-；当0x <，0y >时，1111z =-+-=-；当0x <，0y <时，1111z =--+=-. 所以3A ∈，1A -∈. 故选：B. 【点睛】本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.5．A解析：A 【解析】【分析】先化简集合M ，N ，再计算M ∩N 即可．【详解】由已知易得M ＝R ，N ＝{y ∈R|y >0}，∴M ∩N ＝(0，+∞）．故选A ．【点睛】本题主要考查了集合的交运算，化简计算即可，比较简单．6．C解析：C 【分析】由题意知3、4B ∉，则集合A 的个数等于{}1,2,5,6非空子集的个数，然后利用公式计算出集合{}1,2,5,6非空子集的个数，即可得出结果. 【详解】由题意知3、4B ∉，且集合A 、B 是U 的子集，且A B U ⋃=，A B ⋂≠∅，则AB 为集合{}1,2,5,6的非空子集，因此，满足条件的集合A 的个数为42115-=.故选C. 【点睛】本题考查集合个数的计算，一般利用列举法将符合条件的集合列举出来，也可以转化为集合子集个数来进行计算，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.7．B解析：B 【分析】求出集合A ，由A B ⊆，结合数轴，可得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式302x x +≤-，得32x -≤<，[)3,2A ∴=-. A B ⊆，可得2m ≥.故选：B . 【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.8．C解析：C 【分析】直接利用新定义判断五个命题的真假即可．【详解】由P （A ）的定义可知①正确，④正确，设n （A ）＝n ，则n （P （A ））＝2n ，∴②错误，若A ∩B ＝∅，则P （A ）∩P （B ）＝{∅}，③不正确； n （A ）﹣n （B ）＝1，即A 中元素比B 中元素多1个，则n [P （A ）]＝2×n [P （B ）]．⑤正确，故选：C ．【点睛】本题考查集合的子集关系，集合的基本运算，新定义的理解与应用．9．C解析：C 【解析】【分析】先求出集合B ，比较a 与1的大小关系，结合B A ⊆，可求出实数a 的取值范围. 【详解】解不等式21x ->，即21x -<-或21x ->，解得1x <或3x >，{1B x x ∴=<或}3x >.①当1a =时，{}1A x x =≠，则B A ⊆成立，符合题意； ②当1a <时，{A x x a =<或}1x ≥，B A ⊄，不符合题意；③当1a >时，{1A x x =≤或}x a >，由B A ⊆，可得出3a ≤，此时13a .综上所述，实数a 的取值范围是13a ≤≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论．10．B解析：B 【分析】根据题意，{0N =，1}，而{|02}M x R x =∈，易得N 是M 的子集，分析选项可得答案．【详解】{}{}{}200,102N x x x M x x =∈-==⊆=∈≤≤R R ，故选B.【点睛】本题考查集合间关系的判断以及用venn 图表示集合的关系，判断出M 、N 的关系，是解题的关键．11．A解析：A 【分析】根据数轴判断两集合之间包含关系. 【详解】因为{}1A x x =>，{}1B x x =≥，所以A ⊆B ，选A. 【点睛】本题考查集合之间包含关系，考查基本判断分析能力.12．A解析：A 【解析】【分析】先确定集合M,N,再根据M N ⋂=∅确定实数a 的值.【详解】由题得集合M 表示(32)3y x -=-上除去(2)3，的点集，N 表示恒过(10)-，的直线方程．根据两集合的交集为空集：M N ⋂=∅.①两直线不平行，则有直线20ax y a ++=过(2)3，，将2x =，代入可得2a =-， ②两直线平行，则有32a-=即6a =-，综上6a =-或2-，故选：A ．【点睛】本题主要考查集合的化简和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题13．15【分析】先依题意化简集合M 再根据条件确定集合A 是由互为相反数的四组数字构成的非空集合即得这样的集合的个数【详解】设为方程的两个根则当时；当时；当时；当时；由条件①知且又由条件②知A 是有一些成对的解析：15 【分析】先依题意化简集合M ，再根据条件确定集合A 是由互为相反数的四组数字构成的非空集合，即得这样的集合的个数. 【详解】设a ，b 为方程2420x mx +-=的两个根，则a b m +=-，42ab =-，当1=a ，42b =时，41m =±；当2=a ，21b =时，19m =±；当3a =，14b =时，11m =±；当6a =，7b =时，1m =±；{}{}{}{}{}1,111,1119,1941,411,1,11,11,19,19,41,41M =-⋃-⋃-⋃-=----，由条件①知A ≠∅且A M ⊆，又由条件②知A 是有一些成对的相反数组成的集合．所以M 的4对相反数共能组成42115-=个不同的非空集合A ．故答案为：15. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于明确题中条件要求集合A 是由互为相反数的四组数字构成的非空集合，即计算集合个数突破难点.14．【分析】本题首先可根据素数的定义得出然后根据题意绘出韦恩图最后根据韦恩图即可得出结果【详解】因为全集是不大于的素数所以因为所以因为所以可绘出韦恩图如图所示：由韦恩图可知故答案为：【点睛】本题考查根据解析：{}3,5,11,13【分析】本题首先可根据素数的定义得出{}2,3,5,7,11,13,17,19U =，然后根据题意绘出韦恩图，最后根据韦恩图即可得出结果. 【详解】因为全集{U x x =是不大于20的素数}，所以{}2,3,5,7,11,13,17,19U =，因为{}2,17A B ⋃=，所以{}3,5,7,11,13,19AB =，因为{}3,5A B ⋂=，{}7,19A B ⋂=，所以可绘出韦恩图，如图所示：由韦恩图可知，{}3,5,11,13A =，故答案为：{}3,5,11,13. 【点睛】本题考查根据集合运算结果求集合，考查素数的定义，素数是指在大于1的自然数中，只能被1和该数本身整除的数，考查韦恩图的应用，能否根据题意绘出韦恩图是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.15．【分析】由集合且求得得到且结合题意逐个验证即可求解【详解】由题意集合且可得则解得且当时满足题意；当时不满足题意；当时不满足题意；当时满足题意；当时满足题意；当时满足题意；综上可得集合故答案为：【点睛解析：{1,2,3,4}-【分析】由集合6|5M a a⎧=∈⎨-⎩N 且}a Z ∈,求得056a <-≤，得到15a -≤<且a Z ∈，结合题意，逐个验证，即可求解. 【详解】由题意，集合6|5M a a ⎧=∈⎨-⎩N 且}a Z ∈，可得65a∈-N ，则056a <-≤，解得15a -≤<且a Z ∈，当1a =-时，615(1)=∈--N ，满足题意；当0a =时，66505=∉-N ，不满足题意；当1a =时，66514=∉-N ，不满足题意；当2a =时，6252=∈-N ，满足题意；当3a =时，6353=∈-N ，满足题意；当4a =时，6654=∈-N ，满足题意；综上可得，集合M ={1,2,3,4}-. 故答案为：{1,2,3,4}-. 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的元素与集合的关系，其中解答中熟记集合的表示方法，以及熟练应用元素与集合的关系，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．【分析】先分别求解集合中元素的所满足的不等式再由交集的定义求解即可【详解】由题因为解得则因为解得或则或所以故答案为:【点睛】本题考查集合的交集运算考查含根式的不等式的运算考查解高次不等式解析：{|30}-<<x x【分析】先分别求解集合中元素的所满足的不等式,再由交集的定义求解即可【详解】由题,因为20xx >-≥⎪⎩,解得1x <,则{}|1A x x =<,因为()()330x x x -+>,解得30x -<<或3x >,则{|30B x x =-<<或}3x >, 所以{}|30A B x x ⋂=-<<, 故答案为:{|30}-<<x x 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查含根式的不等式的运算,考查解高次不等式17．①②③【分析】①根据得到方程无实根推出或；再由此判断根的个数即可判断①；②取分别判断根的个数即可判断②；③取分别判断根的个数即可判断③；④当时方程有三个根所以由此求根的个数即可判断④【详解】①当时方解析：①②③ 【分析】①根据0T =，得到方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 无实根，推出0a =，240b c -<或0a b c ===；再由此判断()0f x =根的个数，即可判断①；②取240a b c ≠⎧⎨-<⎩，分别判断()0f x =，()0g x =根的个数，即可判断②；③取20040a c b c ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩分别判断()0f x =，()0g x =根的个数，即可判断③；④当3T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，240b c ->，由此求()0f x =根的个数，即可判断④.【详解】①当0T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 无实根，所以0a =，240b c -<或0a b c ===；当0a b c ===时，()3f x x =，由()0f x =得0x =，此时1S =；当0a =，240b c -<时，()()2=++f x x x bx c ，由()0f x =得0x =，此时1S =；故①成立； ②当2040a b c ≠⎧⎨-<⎩时，由()()()20=+++=f x x a x bx c 得x a =-，即1S =；由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得1x a=-；即1T =；存在②成立；③当20040a cbc ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩时，由()()()20=+++=f x x a x bx c 得x a =-或2b x =-；由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得 1x a =-或2=-x b；只需2b a ≠，即可满足2S =，2T =；故存在③成立；④当3T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，240b c ->，设0x 为()0g x =的一个根，则00x ≠，且200001111f a b c x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()03010g x x ==，故01x 为方程()0f x =的根．此时()0f x =有三个根，即3T =时，必有3S =，故不可能是2S =，3T =；④错；故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查方程根的个数与集合的综合，会判断方程根的个数即可，属于常考题型.18．【分析】分5种情况讨论的范围计算函数值并求元素的和【详解】①当时；②当时；③当时；④时；⑤当时则中所有元素的和为故答案为12【点睛】本题考查新定义的题型需读懂题意并能理解应用分类讨论解决问题本题的难解析：12【分析】分103x ≤<，1132x ≤<，1223x ≤<，213x ≤<，1x =，5种情况讨论2,3x x 的范围，计算函数值，并求元素的和. 【详解】 ①当103x ≤<时， 220,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)30,1x ∈，∴ [][][]230x x x ===，[][][]230x x x ++= ；②当1132x ≤<时，22,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，331,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ， [][]20,x x ∴==[]31x =，[][][]231x x x ∴++=；③当1223x ≤<时，[)21,2x ∈ ，33,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭[]0x ∴=，[]21x = ，[]31x = ， [][][]232x x x ∴++=；④213x ≤<时，42,23x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)32,3x ∈ []0x ∴=，[]21x =，[]32x =， [][][]233x x x ∴++=；⑤当1x =时[]1x =，[]22x =，[]33x = ，[][][]236x x x ∴++= {}0,1,2,3,6A ∴=，则A 中所有元素的和为0123612++++=. 故答案为12 【点睛】本题考查新定义的题型，需读懂题意，并能理解，应用，分类讨论解决问题，本题的难点是分类较多，不要遗漏每种情况19．【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法和指数函数的单调性求出集合和集合然后进行交集的运算即可求解【详解】根据一元二次不等式的解法可得集合由指数函数的单调性可得集合所以【点睛】本题主要考查了集合表示解析：(][),31,0-∞-⋃-【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，求出集合A 和集合B ，然后进行交集的运算，即可求解．【详解】根据一元二次不等式的解法，可得集合(][),31,A =-∞-⋃-+∞，由指数函数的单调性，可得集合(),0B =-∞，所以AB =(][),31,0-∞-⋃-．【点睛】本题主要考查了集合表示方法、一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20．【分析】根据正整数的奇偶讨论的不同取值情况:若一奇一偶则取;若都是奇数或都是偶数则取列举出所有可能即可【详解】集合若一奇一偶则取此时所有个数为此时共有4个;若都是偶数则取此时所有个数为此时共有2个; 解析：9【分析】根据正整数的奇偶,讨论x y 、的不同取值情况:若一奇一偶,则取6xy =;若都是奇数或都是偶数,则取6x y +=,列举出所有可能即可. 【详解】集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N 若x y 、一奇一偶,则取6xy =,此时所有个数为16x y =⎧⎨=⎩,23x y =⎧⎨=⎩,32x y =⎧⎨=⎩,61x y =⎧⎨=⎩,此时(),x y 共有4个;若x y 、都是偶数,则取6x y +=,此时所有个数为24x y =⎧⎨=⎩,42x y =⎧⎨=⎩,此时共(),x y 有2个; 若x y 、都是奇数,则取6x y +=,此时所有个数为15x y =⎧⎨=⎩,33x y =⎧⎨=⎩, 51x y =⎧⎨=⎩此时(),x y 共有3个;综上可知,满足条件的元素共有9个. 故答案为:9 【点睛】本题考查了新定义运算与集合的综合应用,注意分析题意并正确理解新定义是解决此类问题的关键,属于中档题.三、解答题21．（1）{}22x x -<≤；（2）197,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）依题意先求出集合A 和集合B ，再求出B R，然后按照交集的定义求出结果即可；（2）由A B A ⋃=可得出B A ⊆，然后分B φ=和B φ≠两种情况进行分类讨论，进而求出结果即可. 【详解】（1）{}24A x x =-<≤，当3m =时，{}25B x x =<<，∴{2C B x x =≤R 或}5x ≥，(){}22RA B x x ⋂=-<≤；（2）∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，令()2(4)7=-+++f x x m x m ，①当B φ=时，即()0f x ≥恒成立，所以()2=44(7)0∆+-+≤m m ，解得：62m -≤≤；②当B φ≠时，即()0f x <有解，所以6m <-或2m >，令()0f x =，解得：x =，所以24≥-≤ ，解得1963-≤<-m 或723<≤m ，综合①②得m 的范围是197,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】易错点点睛：由A B A ⋃=可得出B A ⊆，然后进行分类讨论，切记别漏掉B φ=的情形，否则容易漏解.22．（1）A ∪B ＝{x |－2≤x ≤7}；(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x <1}；（2）{4a a <-或11}2a -≤≤．【分析】（1）由a ＝2，得到A ＝{x |1≤x ≤7}，然后利用集合的基本运算求解.（2）由A ∩B ＝A ，得到A ⊆B ．然后分A ＝∅，A ≠∅两种情况讨论求解. 【详解】（1）当a ＝2时，A ＝{x |1≤x ≤7}，则A ∪B ＝{x |－2≤x ≤7}，∁R A ＝{x |x <1或x >7}，(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x <1}．（2）∵A ∩B ＝A ， ∴A ⊆B ．若A ＝∅，则a －1>2a ＋3，解得a <－4；若A ≠∅，由A ⊆B ，得12312234a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得－1≤a ≤12综上，a 的取值范围是{4a a <-或 11}2a -≤≤．【点睛】本题主要考查集合的基本要和基本运算，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 23．（1）{}|13A B x x x =<>或（2）[]1,0-【分析】（1）解不等式得到集合A ，B ，利用并集定义求解A B ；（2）先求解,RB 再求解()RAB ，利用()()RC AB ⊆,列出不等关系，求解即可.【详解】（1）由10x ->得，函数()()lg 1f x x =-的定义域{}|1A x x =<，260x x -->，()()320x x -+>，得{}|32B x x x =><-或，∴{}|13A B x x x =<>或.（2）{}|23RB x x =-≤≤，∴(){}|21RAB x x =-≤<，{}|21C x x ⊆-≤<，则121011m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩，故实数m 的取值范围为[]1,0-. 【点睛】本题考查了集合运算综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于中档题.24．(],0-∞【分析】先分别求解分式不等式和绝对值不等式，再根据Q P =∅∩，夹逼出参数的范围. 【详解】对不等式111a x +>+，可解得()()10x x a +-<； ①当1a =-时，不等式的解集为空集； ②当1a >-时，不等式的解集为()1,a - ③当1a <-时，不等式的解集为(),1a - 对不等式11x -≤，可解得[]0,2x ∈，因为Q P =∅∩，故当1a =-时，满足题意；当1a >-时，要满足题意，只需0a ≤，则(]1,0a ∈- 当1a <-时，要满足题意，显然满足题意，即(),1a ∈-∞- 综上所述：(],0a ∈-∞. 【点睛】本题考查含参二次不等式的求解，以及由集合之间的关系求解参数的范围，属综合中档题.25．3p ≤【分析】根据题意，由集合的性质，可得若满足AB B =，则B A ⊆，进而分：①121p p +>-，②121p p +=-，③121p p +<-，三种情况讨论，讨论时，先求出p 的取值范围，进而可得B ，讨论集合B 与A 的关系可得这种情况下p 的取值范围，对三种情况下求得的p 的范围求并集可得答案．【详解】解：根据题意，若A B B =，则B A ⊆；分情况讨论：①当121p p +>-时，即2p <时，B =∅，此时B A ⊆，则AB B =，则2p <时，符合题意；②当121p p +=-时，即2p =时，{}{}333B x x =≤≤=，此时B A ⊆，则AB B =，则2p =时，符合题意；③当121p p +<-时，即2p >时，{}121B x p x p =+≤≤-，若B A ⊆，则有21512p p -≤⎧⎨+≥-⎩，解可得33p -≤≤，又由2p >，则当23p <≤时，符合题意；综上所述，满足AB B =成立的p 的取值范围为3p ≤．【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，易错点为遗漏B =∅的情况，考查了分类讨论的思想，属于中档题.26．（1）{|43}A x x =-≤≤；（2）43m ≤. 【分析】（1）解指数不等式，求得集合B ≠∅A .（2）由B =∅、B ≠∅两种情况进行分类讨论，由此求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）由已知：314222x -+≤≤，314x -≤+≤，{|43}A x x =-≤≤. （2）若B =∅时，131m m +>-，即1m <时符合题意；若B ≠∅时，131m m +≤-，即1m ≥时有14313m m +≥-⎧⎨-≤⎩，得453m -≤≤，即413m ≤≤；综上可得：m 的取值范围为43m ≤. 【点睛】本小题主要考查指数不等式的解法，考查根据交集的结果求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.。

专题01 含参数与新定义的集合问题 (解析版)

专题01 含参数与新定义的集合问题【技巧总结】一．解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．二．解决与集合有关的参数问题的对策（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若A B，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值.（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答.【题型归纳目录】题型一：根据元素与集合的关系求参数题型二：根据集合中元素的个数求参数题型三：根据集合的包含关系求参数题型四：根据两个集合相等求参数题型五：根据集合的交、并、补求参数题型六：集合的创新定义【典型例题】题型一：根据元素与集合的关系求参数例1．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}212,4,2A a a a =+-，3A -∈，则=a （） A ．1- B ．3-或1 C ．3 D ．3-【答案】D【解析】∵3A -∈，∴234a a -=+或32a -=-．若234aa -=+，解得1a =-或3a =-．当1a =-时，2423a a a +=-=-，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当3a =-时，集合{}12,3,5A =--，满足题意，故3a =-成立．若32a -=-，解得1a =-，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，3a =-．故选：D ．例2．（2022·全国·高一专题练习）已知A 是由0，m ，m 2﹣3m +2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为（）A ．2B ．3C ．0或3D ．0，2，3均可【答案】B【解析】∵2∈A ，∴m ＝2 或 m 2﹣3m +2＝2．当m ＝2时，m 2﹣3m +2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；当m 2﹣3m +2＝2时，m ＝0或m ＝3，但m ＝0不合题意，舍去．综上可知，m ＝3．故选：B ．例3．（2022·全国·高一课时练习）设全集{}1,2,3,4,5A =，{}240B x x x m =-+=，若1AB ∉，则B 等于（） A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】因为1AB ∉，所以1B ∈，所以140m -+=，解得3m =，所以{}{}24301,3B xx x =-+==∣，故选：C.例4．（多选题）（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）已知Z a ∈，{(,)|3}A x y ax y =-≤且，(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，则a 取值可能为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】BCD【解析】选项A ：当1a =-时，213--≤，143--≤，故(2,1),(1,4)A A ∈-∈，A 错误；选项B ：当0a =时，13-≤，(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，B 正确；选项C ：当1a =时，213-≤，1(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，C 正确；选项D ：当2a =时，2213⨯-≤，21(4)3⨯-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，D 正确.故答案为：BCD.题型二：根据集合中元素的个数求参数例5．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}2410A x mx x =++=有两个子集，则m 的值是__________．【答案】0或4【解析】当0m =时，1{}4A =-，满足题意当0m ≠时，由题意得1640m ∆=-=，4m = 综上，0m =或4m = 故答案为：0或4例6．（2022·江苏·高一）已知{1}A x x m =∈-<Z∣，若集合A 中恰好有5个元素，则实数m 的取值范围为（） A ．45m < B ．45m <C ．34m <D ．34m <【答案】D【解析】由题意可知{}1,0,1,2,3A =-，可得34m <. 故选：D例7．（2022·全国·高一课时练习）已知R a ∈，集合{}2R 320A x ax x =∈-+=.(1)若A 是空集，求实数a 的取值范围； (2)若集合A 中只有一个元素，求集合A ；(3)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）若A 是空集，则关于x 的方程2320ax x -+=无解，此时0a ≠，且980a ∆=-<，所以98a >，即实数a 的取值范围是9,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意；当0a ≠时，关于x 的方程2320axx -+=应有两个相等的实数根，则980a ∆=-=，得98a =，此时43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意. 综上，当0a =时23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. （3）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意；当0a ≠时，要使关于x 的方程2320axx -+=有实数根，则980a ∆=-≥，得98a ≤. 综上，若集合A 中至少有一个元素，则实数a的取值范围为9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 例8．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}2310C x ax x =-+=，(1)若C 是空集，求a 的取值范围；(2)若C 中至多有一个元素，求a 的值，并写出此时的集合C ； (3)若C 中至少有一个元素，求a 的取值范围.【解析】(1)若C 是空集，则0940a a ≠⎧⎨∆=-<⎩，解得94a >；(2)若C 中至多有一个元素当0a =时，13C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合当0a ≠时，若940a ∆=-<，解得94a >，此时C =∅若940a ∆=-=，得94a =，此时23C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 综合得：当0a =时，13C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当94a >，C =∅；当94a =，23C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. (3)若C 中至少有一个元素当0a =时，13C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合当0a ≠时，若940a ∆=-≥，解得94a ≤且0a ≠综合得94a ≤. 题型三：根据集合的包含关系求参数例9．（2022·上海·高一专题练习）集合A ={x |x2=1}，B ={x |ax =1}，若B ⊆A ，则实数a 的值为（） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．0或±1【答案】D【解析】A ={x |x2=1}={1，-1}.当a =0时，B =∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B =1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，因为B ⊆A ，所以1a =1或1a =-1，即a =±1.综上所述，a =0或a =±1.故选：D例10．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}1,4,M x =，{}21,N x =，若N M ⊆，则实数x 组成的集合为（） A ．{}0 B ．{}2,2- C ．2,0,2D ．2,0,1,2【答案】C【解析】因为N M ⊆，所以2x x =，解得0x =，1x =或24x=，解得2x =±，当0x =时，{}1,4,0M =，{}1,0N =，N M ⊆，满足题意. 当1x =时，{}1,4,1M =，不满足集合的互异性. 当2x =时，{}1,4,2M =，1,4N ，若N M ⊆，满足题意. 当2x =-时，{}1,4,2M =-，1,4N ，若N M ⊆，满足题意.故选：C.例11．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）设{}29140A x xx =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（）A ．2B ．12C ．17D ．0【答案】BCD【解析】集合2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，{|10}B x ax =-=，又AB B =，所以B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意，当0a ≠时，则1{}B a =，所以12a =或17a =，解得12a =或17a =，综上所述，0a =或12或17, 故选：BCD例12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知集合{}{}24,3,56,3,A m B m =-=，若B A ⊆，则实数m =___________. 【答案】2-或3 【解析】B A ⊆，∴24m =或256m m -=，解得2m =或2m =-或3m =，将m 的值代入集合A 、B 验证，知2m =不符合集合的互异性，故2m =-或3. 故答案为：2-或3.例13．（2022·全国·高一专题练习）集合{}1,2A =-，{|20}B x ax =-=，若B A ⊆，则由实数a 组成的集合为____ 【答案】{}2,1,0-.【解析】集合{}1,2A =-，{|20}B x ax =-=，且B A ⊆，B ∴=∅或{}1B =-或{}2B =，0,1,2a ∴=-．则实数a 组成的集合为{}2,1,0-.故答案为：{}2,1,0-.例14．（2022·上海·高一专题练习）集合21242{}{}A B m B A ⊆＝﹣，，，＝，，，则m ＝___．【答案】2±【解析】∵集合21242{}{}A B m B A -==⊆，，，，，， ∴24m=，解得2m =±．故答案为：±2．例15．（2022·全国·高一专题练习）已知集合{}2230A x x x =--=，{}20B x ax =-=，且B A ⊆，则实数a 的值为___________. 【答案】2a =-或23a =或0【解析】已知集合{}{}22301,3A x xx =--==-，{}20B x ax =-=，当0,a B ==∅，满足B A ⊆；当0a ≠时，{}220B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，故得到21a =-或23a =，解得2a =-或23a =；故答案为：2a =-或23a =或0.例16．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{|4A x x =≥或}5x <-，{}|13B x a x a =+≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．【答案】{|8a a <-或}3a ≥【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使B A ⊆，只需35a +<-或14a +≥，解得8a <-或3a ≥．所以实数a 的取值范围{|8a a <-或}3a ≥. 故答案为：{|8a a <-或}3a ≥例17．（2022·全国·高一课时练习）已知m 为实数，(){}210A x x m x m =-++=，{}10B x mx =-=．(1)当A B ⊆时，求m 的取值集合； (2)当B A 时，求m 的取值集合.【解析】（1）因为()()()211x m x m x x m -++=--，所以当1m =时，{}1A =，当1m ≠时，{}1,A m =．又A B ⊆，所以1m =，此时{}1B =，满足A B ⊆．所以当A B ⊆时，m 的取值集合为{}1．（2）当1m =时，{}1A B ==，B A 不成立；当0m =时，{}1,0A =，B =∅，B A 成立；当1m ≠且0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}1,A m =，由B A ，得1=m m，所以1m =-．综上，m 的取值集合为{}0,1-．例18．（2022·全国·高一专题练习）已知M ＝{x |2≤x ≤5}，N ＝{x |a +1≤x ≤2a ﹣1}．(1)若M ⊆N ，求实数a 的取值范围； (2)若M ⊇N ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵M ⊆N ，∴12215a a +≤⎧⎨-≥⎩，∴a ∈∅； (2)①若N ＝∅，即a +1＞2a ﹣1，解得a ＜2时，满足M ⊇N ． ②若N ≠∅，即a ≥2时，要使M ⊇N 成立，则12215a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得1≤a ≤3，此时2≤a ≤3．综上a ≤3．例19．（2022·全国·高一）已知集合{|32}A x x =-≤≤，集合{|131}B x m x m =-≤≤-． (1)当3m =时，求AB ；(2)若A B ⊆，求实数m 的取值范围【解析】(1)当3m =时，{|28}B x x =-≤≤，{|32}{|28}{|22}A B x x x x x x ∴⋂=-≤≤⋂-≤≤=-≤≤；(2)由A B ⊆，则有：13312m m -≤-⎧⎨-≥⎩，解得：41m m ≥⎧⎨≥⎩，即4m ≥，∴实数m 的取值范围为{|4}m m ≥．例20．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）设集合{|}R A x xx ∈+=240＝，R R {|()}B x x a x a a ∈=∈222110＝+＋+-， .(1)若0a =，试求AB ；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．【解析】（1）由240xx +=，解得0x =或4x =-，}{,A =-40.当0a =时，得xx -+2210＝，解得12x =--x =12-{}1212B =--，；∴{}041212AB =---，，，.（2）由（1）知，}{,A =-40，B A ⊆，于是可分为以下几种情况．当A B =时，}{,B =-40，此时方程()x a x a=222110+＋+-有两根为0，4-，则()()()a a a a ⎧∆=+⎪=⎨⎪-+=-⎩-->2224141010214-，解得1a =. 当B A ≠时，又可分为两种情况．当B ≠∅时，即{}0B =或{}B -4＝，当{}0B =时，此时方程()x a x a=222110+＋+-有且只有一个根为0，则22241410(0)()1a a a --⎧∆=+⎨-==⎩，解得1a =-，当{}B -4＝时，此时方程()x a x a=222110+＋+-有且只有一个根为4-，则()2222414104()()()8110a a a a ⎧∆=+⎪⎨-=--=-⎪⎩＋+-，此时方程组无解，当B =∅时，此时方程()x a x a=222110+＋+-无实数根，则2241410()()a a --∆+<=，解得1a <-.综上所述，实数a 的取值为}{a a a ≤-=11或.例21．（2022·江苏·高一）已知集合{}{}0,,,M x x x R N x x a x R =>∈=>∈． (1)若M N ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若M N ⊇，求实数a 的取值范围； (3)若RRMN ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)M N ⊆，0a ∴；(2)M N⊇，0a ∴；(3){|0RM x x =，}x R ∈，{|RN x x a=，}x R ∈，且RRMN ，0a ∴>．例22．（2022·全国·高一课时练习）已知集合2{|60}M x xx =+-=，{|20,R}N y ay a =+=∈，若满足MN N =的所有实数a 构成集合A ，则A =____，A的子集有____个．【答案】 20,1{,}3- 8 【解析】由MN N =得N M⊆，而{}3,2M =-，当0a =时，N =∅符合题意；当0a ≠时，23y a =-=-或22y a =-=， ∴23a =或1a =-， ∴2{0,1,}3A =-， ∴A 的子集个数为328=.故答案为：20,1{,}3-；8.题型四：根据两个集合相等求参数例23．（2022·全国·高一课时练习）已知{}1,,A x y =，{}21,,2B x y =，若A B =，则x y -=（） A ．0 B ．1C ．14D ．32【答案】C【解析】因为A B =，所以22x x y y ⎧=⎨=⎩或22x y y x =⎧⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩或1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又集合中的元素需满足互异性，所以1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则111244x y -=-=．故选：C. 例24．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20222023a b +=______．【答案】1【解析】易知0a ≠．∵{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，∴0ba =，即0b =，∴21a=，1a =±．又由集合中元素的互异性，知1a ≠， ∴1a =-，故()2022202220232023101ab +=-+=．故答案为：1例25．（2022·全国·高一课时练习）已知{}21,,3A a =，{}22,1,1B a a=+-.若A B =，则=a ______. 【答案】2 【解析】因为A B =所以22213a a a ⎧=+⎨-=⎩解之得：2a =故答案为：2例26．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合2{|0}A x xax b =++=，{3}=B ，若A B =，则实数a b +=_______【答案】3【解析】因为{3}A B ==，所以方程20xax b ++=有且只有一个实数根3x =，所以240390a b a b ⎧-=⎨++=⎩，解得6,9a b =-=.所以3a b += 故答案为：3题型五：根据集合的交、并、补求参数例27．（2022·全国·高一课时练习）设a ∈R ，b ∈R ，全集U =R ，{}A x a x b =<<， {2UA x x =≤-或}3x ≥，则a b +=______.【答案】1【解析】因为U =R ，{}A x a x b =<<，所以{UA x x a =≤或}x b ≥.又{2UA x x =≤-或}3x ≥，所以2a =-，3b =，所以1a b +=.故答案为：1.例28．（2022·全国·高一专题练习）已知集合M ={1，2，3}，{}240,N x x x a a M=-+=∈，若M N ≠∅，则a 的值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．1或2【答案】C【解析】当1a =时，由2410x x -+=，得23=x {23,23}N =+，不满足题意；当2a =时，由2420x x -+=，得22x =即{22,22}N =，不满足题意；当3a =时，由2430x x -+=，得1x =或3x =，即{1,3}N =，满足题意.故选：C例29．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}260M x x x =--=，{}N x x a =<，若MN ≠∅，则实数a 的取值范围是（）A ．{}2a a >-B ．{}2a a ≥-C ．{}3a a >D ．{}3a a ≥【答案】A 【解析】因为{}{}2602,3M x xx =--==-，又{}N x x a =<，所以当2a ≤-时，M N ⋂=∅，要使MN ≠∅，则2a >-，即{}2a a >-．故选：A ．例30．（2022·全国·高一）设全集{}22,4,U a =，集合{}4,2A a =+，{}UA a =，则实数a 的值为（） A ．0 B ．-1 C ．2 D ．0或2【答案】A【解析】由集合{}4,2A a =+知，24a +≠，即2a ≠，而{}UA a =，全集{}22,4,U a =，因此，222a aa ⎧=⎨+=⎩，解得0a =，经验证0a =满足条件，所以实数a 的值为0. 故选：A例31．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}|23A a a x a =≤≤+,{1B x x =<-或}5x >，若()R A B B =，求实数a 的取值范围．【解析】由()RA B B ⋂=，得()R B A ⊆，从而A B =∅．①若A =∅，则23a a >+，解得3a >；②若A ≠∅，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则213523a a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪≤+⎩，解得122a -≤≤．综上，实数a 的取值范围是1232a a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭∣或．例32．（2022·全国·高一课时练习）设集合{}12A x x =-≤≤，{}21B x m x =<<，{1C x x =<-或}2x >．(1)若AB B =，求实数m 的取值范围；(2)若B C ⋂中只有一个整数，求实数m 的取值范围．【解析】（1）因为AB B =，所以B A ⊆．①当B ≠∅时，由B A ⊆，得2121m m <⎧⎨≥-⎩，解得1122m -≤<； ②当B =∅，即12m ≥时，B A ⊆成立．综上，实数m 的取值范围是12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．（2）因为B C ⋂中只有一个整数，所以B ≠∅，且322m -≤<-，解得312m -≤<-，所以实数m的取值范围是312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭．例33．（2022·全国·高一课时练习）设集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-． (1)若B A ⊆，求实数m 的取值范围；(2)当集合A 中的x ∈Z 时，求集合A 的非空真子集的个数；(3)若B ≠∅，且不存在元素x ，使得x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆．当121m m +≤-，即2m ≥时，要使B A ⊆，只需12215m m +≥-⎧⎨-≤⎩，即23m ≤≤．综上，实数m 的取值范围是{}3m m ≤．（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，共8个元素，所以集合A 的非空真子集的个数为822254-=．（3）由B ≠∅，得121m m +≤-，即2m ≥．又不存在元素x ，使得x A ∈与x B ∈同时成立，所以15m +>或212m -<-，即4m >或12m <-．所以实数m 的取值范围是{}4m m >．例34．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}52A x x =-<≤． (1)若{}B x x m =≥，A B B ⋃=，求实数m 的取值范围； (2)若{|2B x x m =<-或}x m >，AB =R ，求实数m 的取值范围．【解析】（1）由A B B ⋃=，知A B ⊆，所以5m ≤-，即实数m 的取值范围为{}5m m ≤-．（2）由题意，得252m m ->-⎧⎨≤⎩，解得32m -<≤，即实数m 的取值范围为{}32m m -<≤．例35．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}2|8120A x x x =-+=.(1)若集合{}21,23B a a =+-，且A B =，求a 的值；(2)若集合{}2|60C x axx =-+=，且A ∩C ＝C ，求a 的取值范围.【解析】（1）由x 2﹣8x +12＝0得x ＝2或x ＝6，∴A ＝{2，6}，因为A ＝B ，所以221223223616a a a a +=⎧-=⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解得15529a a a a =⎧=±⎧⎪⎨⎨==±⎪⎩⎩，故a ＝5.（2）因为A ∩C ＝C ，所以C ⊆A.当C ＝∅时，△＝1﹣24a ＜0，解得a 124＞；当C ＝{2}时，1﹣24a ＝0且22a ﹣2+6＝0，此时无解；当C ＝{6}时，1﹣24a ＝0.且62a ﹣6+6＝0，此时无解或a ＝0.综上，a 的取值范围为1024a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或. 例36．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}45A x x =<<，{}121B x m x m =+≤≤+，{0C x x =≤或}2x ≥．(1)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；(2)若BC B =，求实数m 的取值范围．【解析】（1）∵A B B ⋃=，∴A B ⊆．在数轴上标出集合A ，B ，如图1所示，则由图1可知21514m m +≥⎧⎨+≤⎩，解得23m ≤≤． ∴实数m 的取值范围为[]2,3．（2）∵BC B =，∴B C ⊆．当B =∅，即121m m +>+，即0m <时，满足B C ⊆．当B ≠∅，即0m ≥时，在数轴上标出集合B ，C ，若B C ⊆，则有两种情况，如图2、图3所示．由图2可知210m +≤，解得12m ≤-，又0m ≥， ∴无解；由图3可知12m +≥，解得m 1≥．综上，实数m 的取值范围是m 1≥或0m <．例37．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}14A x x =<≤，{}12B x a x a =+≤≤. (1)当2a =时，求A B ；(2)若RBA =∅，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当2a =时，{}34B x x =≤≤，A B ={}|14x x <≤.（2）A =R{|1x x ≤或4x >}，当B =∅时，B A ⋂=∅R，此时12a a >+，解得1a <；当B ≠∅时，若B A ⋂=∅R ，则241121a a a a ≤⎧⎪>⎨⎪≥⎩，＋，＋，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{}2a a ≤.例38．（2022·全国·高一课时练习）若集合{}2R 30A x xmx =∈-+=，{}2R 0B x x x n =∈-+=，且{}0,1,3AB =，则m =______，n =______．【答案】 4 0【解析】若0A ∈，则30=，显然不成立，所以0A ∉；所以0B ∈，即2000n -+=，得0n =，此时{}{}200,1B x R xx =∈-==，所以3A ∈，即23330m -+=，得4m =．故答案为：4；0题型六：集合的创新定义例39．（2022·全国·高一课时练习）已知A ，B 都是非空集合，(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉．若{}02A x x =<<，{}0B x x =≥，则&A B =（）A ．{}0x x ≥B ．{}02x x <<C ．{0x x =或}2x <-D ．{0x x =或}2x ≥【答案】D【解析】由题意，得{}0A B x x ⋃=≥，{}02A B x x ⋂=<<，故{&0A B x x ==或}2x ≥．故选：D例40．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则集合B 中元素的个数为______.【答案】6【解析】因为x A ∈，yA ，x y A -∈，所以4x =时，2y =；5x =时，2y =或3y =，6x =时，2y =或3或4.()()()()()(){}4,2,5,2,5,3,6,2,6,3,6,4B =，所以集合B 中元素的个数为6.故答案为：6.例41．（2022·全国·高一课时练习）戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空子集A 与B ，且满足A B ⋃=Q ，A B =∅，A 中的每一个元素都小于B 中的每一个元素．请给出一组满足A 中无最大元素且B 中无最小元素的戴德金分割______．【答案】{}Q πA x x =∈<，{}Q πB x x =∈≥（答案不唯一）【解析】以无理数分界写出一组即可，如{}Q πA x x =∈<，{}Q πB x x =∈≥．（答案不唯一）；故答案为：{}Q πA x x =∈<，{}Q πB x x =∈≥．（答案不唯一）例42．（2022·全国·高一课时练习）已知集合A 中的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈-． (1)若3a =-，求出A 中其他所有元素．(2)0是不是集合A 中的元素？请你取一个实数()3a A a ∈≠-，再求出A 中的元素．(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？【解析】（1）由题意，可知3A -∈，则()()131132A +-=-∈--，11121312A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=∈⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1132113A +=∈-，12312A +=-∈-，所以A 中其他所有元素为12-，13，2．（2）假设0A ∈，则10110A +=∈-，而当1A ∈时，11a a +-不存在，假设不成立，所以0不是A 中的元素．取3a =，则13213A +=-∈-，()()121123A +-=-∈--，11131213A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=∈⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1123112A +=∈-，所以当3A ∈时，A 中的元素是3，2-，13-，12．（3）猜想：A 中没有元素1-，0，1；A 中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．由（2）知0，1A ∉，若1A -∈，则()()11011A +-=∈--，与0A ∉矛盾，则有1A -∉，即1-，0，1都不在集合A 中．若实数1a A ∈，则12111a a A a +=∈-，12131211111111111a a a a A a a a a +++-===-∈+---， 13143121111111111a a a a A a a a a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭====-∈-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1415114*********a a a a a A a a a -+++===∈---+．结合集合中元素的互异性知，A 中最多只有4个元素1a ，2a ，3a ，4a 且131a a =-，241a a =-．显然12a a ≠，否则11111a a a +=-，即211a =-，无实数解．同理，14a a ≠，即A 中有4个元素．所以A 中没有元素1-，0，1；A 中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．例43．（2022·上海·高一专题练习）已知集合A 为非空数集，定义：{}|,,S x x a b a b A ==+∈，{}|,,T x x a b a b A ==-∈.(1)若集合{}13A =，，求证：2S ∈，并直接写出集合T ； (2)若集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+.【解析】（1）根据题意，由集合}3{1A =，，计算集合{246}S =，，，{02}T =，，所以2S ∈；（2）由于1234{}A x x x x =，，，，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含4个元素，即213141{0}T xx x x x x =---，，，，剩下的元素满足2143x x x x -=-，即1423x x x x +=+例44．（2022·全国·高一单元测试）给定数集A ，若对于任意a ，b A ∈，有a b A +∈，a b A -∈，则称集合A 为闭集合.(1)判断集合{}14,2,0,2,4A =--，{}3,Z B x x k k ==∈是否为闭集合，并给出证明；(2)若集合C ，D 为闭集合，则C D ⋃是否一定为闭集合？请说明理由；(3)若集合C ，D 为闭集合，且C R ，D R ，证明：()C D ⋃ R .【解析】（1）因为14A ∈，12A ∈，1426A +=∉，所以1A 不是闭集合；任取x ，yB ∈，设3x m =，3y n =，m ，Z n ∈，则()333x y m n m n +=+=+且Z m n +∈，所以x y B +∈，同理，x y B -∈，故B 为闭集合；（2）结论：不一定；不妨令{}2,C x x k k ==∈Z ，{}3,D x x k k ==∈Z ，则由（1）可知， D 为闭集合，同理可证C 为闭集合，因为2，3C D ∈⋃，235C D +=∉⋃，因此，C D ⋃不一定是闭集合，所以若集合C ，D 为闭集合，则C D ⋃不一定为闭集合；（3）不妨假设R C D ⋃=，则由C R ，可得存在R a ∈且a C ，故a D ∈.同理，存在R b ∈且b D ∉，故b C ∈，因为R a b C D +∈=⋃，所以a b C +∈或a b D +∈.若a b C +∈，则由C 为闭集合且b C ∈，得()a a b b C =+-∈，与a C 矛盾.若a b D +∈，则由D 为闭集合且a D ∈，得()b a b a D =+-∈，与b D ∉矛盾，综上，R C D ⋃=不成立，故()C D ⋃ R .。

高三数学问题：1.3-含参数的常用逻辑用语问题(含答案)

2017届高三数学跨越一本线问题三含参数的常用逻辑用语问题通过多年的高考试卷看,求参数的取值范围问题一直是高考考查的重点和热点,同时也是一个难点．考生有时会感到难度较大,与简易逻辑问题有关的参数问题,需要正确理解充分条件和必要条件的定义,弄懂逻辑联接词的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论,本文从各方面多角度地阐述与简易逻辑有关的问题,以飨读者．一、与充分条件、必要条件有关的参数问题充分条件和必要条件的理解,可以翻译成“若p 则”命题的真假,或者集合与集合之间的包含关系,尤其转化为集合间的关系后,利用集合知识处理．【例1】【2017湖南省郴州市上学期第一次质量监测】设集合2{|21,03}A y y x x x ==-+≤≤,集合2{|(21)(1)0}B x x m x m m =--+-≤.已知命题:p x A ∈,命题:q x B ∈,且命题p 是命题的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.【分析】先化简给定集合,再利用p 是的必要不充分条件⇔⊂B A ≠解题【解析】由已知得{|04}A y y =≤≤,{|1}B x m x m =-≤≤. ∵p 是的必要不充分条件,∴A B ⊂≠.则有104m m -≥⎧⎨≤⎩.∴14m -≤≤,故m 的取值范围为[1,4].【点评】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．【小试牛刀】设p :114≤-x ；:2(21)(1)0x a x a a -+++≤．若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,求实数的取值范围．【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21．【解析】由114≤-x 得,1141≤-≤-x , 故210≤≤x 由2(21)(1)0x a x a a -+++≤()()10x a x a ⇔--+≤⎡⎤⎣⎦1a x a ⇔≤≤+若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,∴p 是q 的必要而不充分条件,即[]1,21,0+⊂⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a ⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤⇒2110a a 021≤≤-⇒a ,故所求的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21．二、与逻辑联接词有关的参数问题逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关,由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关,其中往往会涉及参数的取值范围问题．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围．【例2】【2017宁夏育才中学月考】已知命题函数321()3f x mx x x =++在区间(1,2)上单调递增；命题:q 函数C 的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1,若“()p q ∨⌝”为真命题,“()p q ⌝∨”也为真命题,求实数m 的取值范围.【分析】先确定p 真值相同．再根据p ,同真时或同假确定实数m 的取值范围.【点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．然后再根据复合命题的真假列不等式(组)求参数范围【小试牛刀】已知命题:p 方程2222220x y mx m m +-+-=表示圆；命题q ：双曲线2215y x m-=的离心率(1,2)e ∈,若命题“p q ∧”为假命题,“p q ∨”为真命题,求实数m 的取值范围．【答案】215m ≤<【解析】若命题p 为真命题 ,则2240D E F +->,即22(2)4(22)0m m m --->整理得220m m -<,解得02m <<．若命题为真命题,则25(1,4)5me +=∈,解得015m << 因为命题p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,所以p q 、中一真一假,若p 真假,则m ∈∅ ; 若p 假真,则215m ≤<,所以实数m 的取值范围为215m ≤<．三、与全称命题、特称命题真假有关的参数问题全称命题和特称命题从逻辑结构而言,是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化,达到解题的目的．【例3】若命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题,则实数m 的取值范围是（）（A ）[10,6]- （B ）(6,2]- （C ）[2,10]- （D ）(2,10)-【分析】命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”的否定是真命题,故将本题转化为恒成立问题求解．【解析】由命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题,则命题“x R ∀∈使得22+50x mx m ++≥”为真命题．所以24(25)0,210m m m =-+≤∴-≤≤ ．故选（C ）．【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为恒成立问题处理．【小试牛刀】【2017山东潍坊2017届高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-，,2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，,()212log 11x mx -+<-成立,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【答案】12m <或32m =．【解析】若p 为真：对[]1 1x ∀∈-，,224822m m x x -≤--恒成立,设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--,∴()f x 在[]1 1-，上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,解得1322m ≤≤,∴p 为真时：1322m ≤≤；若为真：[]1 2x ∃≤，,212x mx -+>成立,∴21x m x -<成立.设()211x g x x x x-==-,易知()g x 在[]1 2，上是增函数,∴()g x 的最大值为()322g =,∴32m <,∴为真时,32m <, ∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时132232m m ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩,∴32m =,当p 假真时132232m m m ⎧<>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或,∴12m <,综上所述,m 的取值范围是12m <或32m =.四、与全称量词、特称量词有关的参数问题全称量词“∀”表示对于任意一个,指的是在指定范围内的恒成立问题,而特称量词“”表示存在一个,指的是在指定范围内的有解问题,上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围．【例3】已知命题p ：“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”,命题：“022,2=-++∈∃a ax x R x ”．若命题“p 且”是真命题,则实数的取值范围为（） A ．2-≤a 或1=a B ．2-≤a 或21≤≤a C ．1≥a D ．12≤≤-a【分析】若命题“p 且”是真命题,则命题,p q 都是真命题,首先将命题,p q 对应的参数范围求出来,求交集即可．【点评】命题p 是恒成立问题,命题是有解问题．【小试牛刀】已知2:(0,),1p x x mx ∀∈+∞+≥-恒成立,:q 方程222128x y m m +=+表示焦点在轴上的椭圆,若命题“p 且”为假,求实数m 的取值范围．【答案】(,4]-∞．【解析】由题意：若p 为真,则有1()m x x ≥-+对(0,)x ∈+∞恒成立．12(1x x x+≥= 取“＝”)2m ∴≥-若为真,则有2280m m >+>,即42m -<<-或4m >,由p 且为假,则p 、中至少一个为假．若p 、均为真,则4m >,∴p 且为假,实数m 的取值范围是(,4]-∞【迁移运用】1．【2017四川双流中学高三模拟】已知命题p ⌝：存在()2,1∈x 使得0>-a e x,若p 是真命题,则实数a 的取值范围为（）A ．()e ,∞-B ．(]e ,∞-C ．()+∞,2e D ．[)+∞,2e 【答案】D【解析】若存在)2,1(∈x ,使得0>-a e x ,则2max ()x a e e <=,若p 为真命题,则p ⌝为假命题,实数a 的取值范围为),[2+∞e .故本题正确答案为D ． 2．【2017河南南阳一中高三上学期月考】已知“x k >”是“,则的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．(2,)+∞D ．(,1]-∞- 【答案】A 可得1x <-或2x >,因为“x k >”是“条件,所以“x k >”是“1x <-或2x >”的真子集,所以2k ≥,故选A.3．【2017使得0122<+-x x λ成立”是假命题,则实数λ的取值范围为（）A ．3=λ【答案】A4．函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A ．2≥aB ．6=aC ．3≥aD ．0≥a 【答案】D ．【解析】函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数则2≥a ；选项A 是充要条件；选项B 、C 是充分不必要条件；故选D ．5．命题“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（）A ．4a ≥B ．4a ≤C ．3a ≥D ．3a ≤ 【答案】C【解析】即由“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”可推出选项,但由选项推不出“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”．因为x [1,2]∈,所以2[1,4]x ∈,20x a -≤恒成立,即2x a ≤, 因此4a ≥；反之亦然．故选C ．6．已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是（） A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥ B ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≤． C ．0,0,()0a x f x ∀>∀>≥ D ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≥ 【答案】C ．7.【2017广东郴州高三第二次教学质量监测】若命题:p “020223x x R a a ∃∈-≤-，”是假命题,则实数的取值范围是________. 【答案】[1,2]【解析】“020223x x R a a ∃∈-≤-，”是假命题等价于2223x x R a a ∀∈->-，,即223a a -≥-,解之得12a ≤≤,即实数的取值范围是[1,2].8．已知关于的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ,集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,则实数的取值范围是__________．．【答案】－2,0]．【解析】由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,可知A B,因此a≥－2且a ＋2≤2 解得a∈－2,0]9．已知命题:p R x ∈∃,0122≤++ax ax ．若命题⌝p 是真命题,则实数的取值范围是．【答案】)1,0[【解析】若命题⌝p 是假命题,即对于012,2>++∈∀ax ax R x ,当0=a 时,显然成立,当0≠a 时,则100<<⇒⎩⎨⎧<∆>a a ,综上)1,0[∈a ．10．由命题“x∈R,x 2＋2x ＋m≤0”是假命题,求得实数m 的取值范围是（a,＋∞）,则实数a ＝．【答案】1．【解析】由题意得命题“∀x∈ R,x 2＋2x ＋m>0”是真命题,所以Δ＝4－4m<0,即m>1,故实数m 的取值范围是（1,＋∞）,从而实数a 的值为1．11．【2015学年江苏省涟水中学高三12月月考数学试卷】已知命题：“2(1,4),0x x ax a ∃∈-+<”为真命题,则实数的取值范围是．【答案】a>4．【解析】2(1,4),0x x ax a ∃∈-+<⇔当(1,4)x ∈时,20x ax a -+<有解⇔(1,4)x ∃∈,使得21x a x >-,设2(x)1x f x =-,则222(x 1)(x)0(1)x x f x --'==-解得x=0,2,当(1,2)x ∈(x)0,(x)f f '<单调递减,当(2,4)x ∈(x)0,(x)f f '>单调递赠,所以2(x)1x f x =-的最小值为(2)4f =,所以a>4．12．【2015届江苏省如东高中高三上学期第8周周练理科数学试卷】若不等式102x m x m-+<-成立的一个充分非必要条件是1132x <<,则实数m 的取值范围是．【答案】3441≤≤m ．【解析】因为不等式的102x m x m -+<-成立的充分非必要条件是1132x <<,所以111||0322x m x x x x m -+⎧⎫⎧⎫<<⊂<⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭,当12m m -<即1m >-时,不等式的102x m x m -+<-解集为{|12}x m x m -<<, 由11|{|12}32x x x m x m ⎧⎫<<⊂-<<⎨⎬⎩⎭得：1131221m m m ⎧-≤⎪⎪⎪≥⎨⎪>-⎪⎪⎩,解之得：3441≤≤m ,当12m m -=即1m =-时,不等式102x m x m-+<-解集为∅；当12m m ->即1m <-时,不等式102x m x m-+<-解集为{|21}x m x m <<-由11|{|21}}32x x x m x m ⎧⎫<<⊂<<-⎨⎬⎩⎭得：1231121m m m ⎧≤⎪⎪⎪-≥⎨⎪<-⎪⎪⎩,此时m 无解,所以m 的取值范围为3441≤≤m ． 13．设命题p ：实数满足22430x ax a -+<,其中0a >；命题：实数满足2560x x -+≤．（1）若1a =,且p q ∧为真,求实数的取值范围；（2）若p 是成立的必要不充分条件,求实数的取值范围．【答案】（1） [)2,3（2）()1,214.已知命题P :在R 上定义运算⊗：.)1(y x y x -=⊗不等式1)1(<-⊗x a x 对任意实数恒成立；命题Q ：若不等式2162≥+++x ax x 对任意的*N x ∈恒成立．若P Q ∧为假命题,P Q ∨为真命题,求实数的取值范围．【答案】123>-<<-∴a a 或．【解析】由题意知,x a x x a x )1)(1()1(--=-⊗若命题P 为真,01)1()1(2>+---x a x a 对任意实数恒成立,∴①当01=-a 即1=a 时,01>恒成立,1=∴a ；②当01≠-a 时,⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(4)1(012a a a ,13<<-∴a , 综合①②得,13≤<-a若命题Q 为真,0>x ,01>+∴x ,则有)1(2)6(2+≥++x ax x 对任意的*N x ∈恒成立 , 即2)4(++-≥x x a 对任意的*N x ∈恒成立,令2)4()(++-=xx x f ,只需max )(x f a ≥, 224242)(-=+-=+⋅-≤xx x f ,当且仅当)(4*N x x x ∈=即2=x 时取“=”,2-≥∴aP Q ∧为假命题,P Q ∨为真命题,Q P ,∴中必有一个真命题,一个假命题,（1）若P 为真Q 为假,则⎩⎨⎧-<≤<-213a a ,23-<<-a ,（2）若P 为假Q 为真,则⎩⎨⎧-≥>-≤213a a a 或,1>∴a ,综上：123>-<<-∴a a 或．15．设命题p :实数满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题:实数满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩．（1）若1,a =且p q ∧为真,求实数的取值范围; （2）若p ⌝是⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围．【答案】（1） (2,3) （2） (]1,2【解析】（1）当1a =时,{}:13p x x <<,{}:23q x x <≤, 又p q ∧为真,所以p 真且真, 由1323x x <<⎧⎨<≤⎩,得23x <<所以实数的取值范围为(2,3)（2）因为p ⌝是⌝的充分不必要条件, 所以是p 的充分不必要条件, 又{}:3p x a x a <<,{}:23q x x <≤,所以0233a a a >⎧⎪≤⎨⎪>⎩,解得12a <≤所以实数的取值范围为(]1,216.【2016湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】设:p 实数满足：03422<+-a ax x （0>a ）,:q 实数满足：121-⎪⎭⎫⎝⎛=m x ,()2,1∈m()I 若41=a ,且q p ∧为真,求实数的取值范围； ()II 是p 的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x；（Ⅱ）11[,]32．()II 是p 的充分不必要条件,记⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=121x x A ,{}0,3><<=a a x a x B则A 是B 的真子集 ⎪⎩⎪⎨⎧>=∴1321a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥<1321a a … 得2131≤≤a ,即的取值范围为1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，… 17. 【2017河北省冀州中学上学期第二次阶段考试】设命题:p 实数满足22430x ax a -+<,0a ≠；命题:q 实数满足302x x-≥-. （Ⅰ）若1a =,p q ∧为真命题,求的取值范围；（Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围.18．已知命题p ：“方程230x ax a -++=有解”,q：“11042x xa +->∞在[1,+)上恒成立”,若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求实数的取值范围．【答案】206a a -<≤≥或【解析】:26p a a ≤-≥或．令21,2xt t t a =+> 02t <≤ ,:0q a ∴≤．∵pq 一真一假,∴260a a a ≤-≥⎧⎨>⎩或或260a a -<<⎧⎨≤⎩ 得：206a a -<≤≥或19．命题p 实数满足03422<+a ax -x （其中0a >）,命题实数满足⎪⎩⎪⎨⎧>+≤02321x-x x- （1）若1a =,且p q ∧为真,求实数的取值范围；（2）若p ⌝是⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围．【答案】（1）()2,3.；（2）(1,2]．【解析】由：03422<+a ax -x （其中0a >）,解得3a x a <<, 记(,3)A a a = 由⎪⎩⎪⎨⎧>+≤02321x-x x-,得132,3或x x x -≤≤⎧⎨><-⎩,即23x <≤,记(]2,3B =．（1）若1a =,且p q ∧为真,则(1,3)A =,(]2,3B =,又p q ∧为真,则1323x x <<⎧⎨<≤⎩,所以23x <<,因此实数的取值范围是()2,3.（2）∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,∴p 是的必要不充分条件,即B A ≠⊂,(]2,3(,3)a a ≠⊂,则只需3302a a >⎧⎨<≤⎩,解得12a <≤,故实数a 的取值范围是(1,2]．20．【2017届山东潍坊市高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-，,2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，,,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【解析】若p 为真：对[]1 1x ∀∈-，,224822m m x x -≤--恒成立, 设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--, ∴()f x 在[]1 1-，上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,∴p 为真时：若为真：[]1 2x ∃≤，,212x mx -+>成立,易知()g x 在[]1 2，上是增函数,∴()g x 的最大值为∴为真时∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时当p 假真时综上所述,m 的取值范围是21．【2017届山东潍坊市高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-，,2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，,,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【解析】若p 为真：对[]1 1x ∀∈-，,224822m m x x -≤--恒成立, 设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--, ∴()f x 在[]1 1-，上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,∴p 为真时：若为真：[]1 2x ∃≤，,212x mx -+>成立,易知()g x 在[]1 2，上是增函数,∴()g x 的最大值为∴为真时∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时当p 假真时综上所述,m 的取值范围是。

高中数学(一轮复习)最基础考点系列考点2 根据集合间的关系求参数含解析

专题2 根据集合间的关系求参数根据参数的取值讨论集合间的包含关系★★★○○○○表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA B或B A 相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合AA⊆B且B⊆A⇔A＝B空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅集合间的常见包含关系为子集、真子集和相等。

在集合中含有参数时要讨论参数的取值来确定集合间的关系。

（1）认清元素的属性,解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. （2）注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性"而导致解题错误.(3）防范空集。

在解决有关A∩B＝∅,A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.若集合A={x|2a+1≤x≤3a−5},B={x|3≤x≤22},则能使A⊆B成立的所有a的集合是（）A。

{a|1≤a≤9} B. {a|6≤a≤9} C. {a|a≤9}D。

ϕ【答案】C1．【广西省钦州市钦州港经济技术开发区中学2018届高三理科数学开学考试试卷】设集合A=｛x|1＜x＜2}，B=｛x｜x＜a}，若A∩B=A,则a 的取值范围是（）A. {a ｜a≤2}B. {a|a≤1}C. ｛a|a≥1｝ D 。

{a|a≥2} 【答案】D【解析】∵设A =｛x |1〈x 〈2}，B =｛x |x 〈a ｝,A∩B=A 得A ⊆B ，∴结合数轴,可得2⩽a ，即a ⩾2 故选：D2．【河北省衡水中学2018届高三上学期一轮复习周测数学(文）试题】若集合{}{}2|60,|10P x xx T x mx =+-==+=，且T P ⊆，则实数m 的可能值组成的集合是__________．【答案】11,,023⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】由题意得：{}2,3P =-，由T P ⊆易知,当T =∅时， 0m =；当{}2T =-时， 12m =-；当{}3T =时， 13m =，则实数m 的可能值组成的集合是11,,023⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,故答案为11,,023⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.3．【浙江省诸暨市牌头中学高中数学人教A 版必修1巩固练习：1。

专题1 集合中的含参问题-高一数学必修一专题复习训练含答案

专题1 集合中的含参问题-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题 1．若集合,则实数的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】2．已知集合{}0,5,10A =，集合{}22,1B a a =++，且{}5A B ⋂=，则满足条件的实数a 的个数有（）A . 0个B . 1 个C . 2 个D . 3 个【答案】B【解析】{}22,1B a a =++，且{}5A B ⋂=，则有25a +=或215a +=. 32a =，或-2. 当3a =时， {}5,10B =，此时{}510A B ⋂=，，不满足题意；当2a =时， {}54B =，，满足题意；当2a =-时， {}0,5B =，此时{}50A B ⋂=，，不满足题意，所以满足条件的实数a 只有1个. 故选B . 3．已知点）在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围在数轴上可表示为（阴影部分）( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为在第二象限，所以，所以，故选C.4．已知m ，，集合，集合，若，则A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8 【答案】A 【解析】5．已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0}，B ={x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（）A . （-1，+∞）B . [-1，+∞）C . （3，+∞）D . [3，+∞）【答案】C【解析】[]13A =-，， (),B a =-∞；∵A B ⊆；∴3a >；∴a 的取值范围为3+∞（，），故选C ．点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍，熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 6．已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】7．已知集合A ={-1，0，a }，B ={ x |0<x <1}，若A ∩B ≠Ø，则实数a 的取值范围是A . {1}B . (0，1)C . (1，+∞)D . (-∞，0)【答案】B 【解析】1,0,B B -∉∉ 若A B φ⋂≠ ，则a B ∈ ，则01a << ，选B .8．已知集合2{|280}P x x x =--≤， {|}Q x x a =≥， ()C P Q ⋃=R R ，则a 的取值范围是A . ()2,∞-+B . ()4,∞+C . (],2∞--D . (],4∞-【答案】C【解析】因为{|24}P x x =-≤≤， {|}Q x x a =≥，则{|24}C P x x x =-R 或,又因为()C P Q ⋃=R R ，所以2a ≤- 本题选择C 选项. 9．集合，,若，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，可得，，要使，则，故选B.二、填空题 10.已知集合，.若，则实数__________.【答案】0 【解析】11．设全集，，，则的值为____________.【答案】2或8 【解析】由题意，可知，依据补集可得，则有，即，解得或，即实数的值为或．12．集合{}{}1,|A x x B x x a ==<，若R A C B ⊆，则实数a 的取值范围_________ 【答案】1a ≤【解析】∵集合{}{}1,|,{|},1R R A x x B x x a C B x x a A C B a ==<∴=⊆∴，，厔∴实数a 的取值范围是 1.a ≤ 13．已知，若，则的取值范围是___________.【答案】【解析】14．已知集合，且有4个子集，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】由题意得．所以．因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以，所以，解得且．故实数a的取值范围是．故答案为．三、解答题15．已知,若,求实数的取值范围.【答案】【解析】①当时,即,有;②当,则,解得: ;综合①②,得的取值范围为.16．设全集，集合，集合,且,求的取值范围. 【答案】【解析】17．已知集合{}121A x a x a =-<<+， {}01B x x =<< （1）若12a =，求A B ⋂；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}01x x <<；（2）12a ≤-或2a ≥. 【解析】试题分析：（1）把a 的值代入A 求出解集，找出A 与B 的交集，求出A 与B 补集的并集即可；（2）根据A 与B 的交集为空集，确定出a 的范围即可．试题解析：（1）当12a ={}12,012A x x B x x ⎧⎫=-<<=<<⎨⎬⎩⎭，∴A B ⋂= {}12012x x x x ⎧⎫-<<⋂<<⎨⎬⎩⎭{}01x x =<<（2）因为A B ⋂=∅，当A =∅时，则121a a ->+，即2a <- 当A ≠∅时，则11a -≥或210a +≤，解得： 12a ≤-或2a ≥. 综上： 12a ≤-或2a ≥. 18．设全集为R ，，，（1）求及（2）若集合，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】19．已知的定义域为集合A，集合B=（1）求集合A；（2）若A B,求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）由已知得即∴（2）∵∴解得∴20.已知集合A={x|x＜-3或x≥2}，B={x|x≤a-3}．（1）当a=2时，求（∁R A）∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【答案】（1）{}|31x x -≤≤-；（2）0a <.21.已知集合{}2|2940 A x x x =-+>，集合{}2|2, R B y y x x x C A ==-+∈，集合{}|12 1 C x m x m =+<≤-.（1）求集合B ；（2）若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[]8,1-；（2）2m ≤或3m ≥.【解析】试题分析：（1）解出一元二次不等式得到集合A ，故而可求出R C A ，对一元二次函数通过配方法求出其在给定区间内的范围即可；（2）A C A ⋃=等价于C A ⊆，分为C =∅和C ≠∅两种情形，借助于数轴可得m 的取值范围.试题解析：（1）22940x x -+> ， 12x ∴<或4x >，∴()1,4,2A ⎛⎫=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭， 1,42R A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ð. 于是， ()221211,,42y x x x x ⎡⎤=-+=--+∈⎢⎥⎣⎦，解得[]8,1y ∈-， []8,1B ∴=-. （2）∵A C A ⋃=，∴C A ⊆．若C =∅,则211m m -≤+，即2m ≤，若C ≠∅,则2{1212m m >-<或2{14m m >+≥,解得3m ≥，综上，实数m 的取值范围是2m ≤或3m ≥.22．设集合()()222{|320},{|2150}A x x x B x x a x a =-+==+-+-=（1）若{}2A B ⋂=，求实数a 的值（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围【答案】（1）5,1a a =-=.综上所述： 5,1a a =-=23.已知集合A ＝{x |x ＜－2或3＜x ≤4}，B ＝{x |x 2－2x －15≤0}． (1) 求A ∩B ；(2) 若C ＝{x |x ≥a }，且B ∩C ＝B ，求实数a 的取值范围．【答案】(1) A ∩B ＝{x |－3≤x ＜－2或3＜x ≤4}．(2) a ≤－3.【解析】试题分析：（1）对于集合的交并补运算，我们常画数轴来解决.（2）由B ∩C ＝B 得B C ⊆，也可以画数轴解决.试题解析：(1) B ＝{x |－3≤x ≤5}，A ∩B ＝{x |－3≤x ＜－2或3＜x ≤4}． (2) ∵ B ∩C ＝B ，∴ B ⊆C ，∴ a ≤－3. 24. 已知集合．(1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)2；(2).【解析】25．已知集合{}2|3 2 0A x R x x =∈-+=， {}|1 1 2B x Z x =∈-≤-≤， {}21,1,1C a a =++，其中a R ∈.（1）求A B ⋂， A B ⋃；（2）若A B A C ⋂=⋂，求C .【答案】(1) A ⋂ B ={1,2}， A ⋃ B ={0,1,2,3}；(2) C ={0,1,2}.。

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简单含参集合的应用
一、单选题(共10道，每道10分)
1.已知集合，若，则x的值是( )
A.0
B.-4
C.0或-4
D.0或±4
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：集合中元素的确定性、互异性、无序性
2.已知集合，若，则实数a的取值个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：集合性质的综合应用
3.集合，若A=B，则实数x的取值集合是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：集合的相等
4.已知，若集合，则的值是( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：集合的相等
5.已知集合，，若，则实数x，y的值为( )
A.，或
B.
C.或
D.或
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：集合性质的综合应用
6.已知，且，集合，
，若，则的值是( )
A.5
B.4
C.25
D.10
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：集合的相等
7.已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是( )
A.3，6，9
B.6，9，12
C.9，12，15
D.6，12，15
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：集合中元素的确定性、互异性、无序性
8.设全集，集合，，若
，则( )
A.-4
B.8
C.6
D.6或8
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含参数的集合（有限集）
9.已知集合，．若，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：集合性质的综合应用
10.集合，．若，，则的值为( )
A.5
B.-5
C.-2
D.2
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：集合性质的综合应用。