正弦定理和余弦定理详细讲解

正弦定理.余弦定理农其应用
【高考风向】1.考查正弦定理、余弦定理的推导；
2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；
3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考 查.
【学习要领】1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转 换，和三角函数性质相结合.
基础知识梳理
sin A sin B 启=2R ，其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以
变形：(1)a : b : c = sin_A : sin_B : sin_C ； (2)a = 2Rsin_A , b = 2Rsin_B , c = 2Rsin_C ；
［难点正本疑点清源］
1. 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大,
即在△ ABC 中，A>B? a>b? sin A>sin B ； tanA+tanB+tanC=tanA tanB t a nC ;在锐角三角 形中，cosA<sinB,cosA<sinC
-
2. 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.
例1.已知在 ABC 中，c 10, A 45o , C 30o ，解三角形 1. 正弦定理:
3.
4. (3)sin A = 2：，sin B = ?；, sin C =
等形式，解决不同的三角形问题.
余弦定理：a 2= b 2 + c 2 — 2bccos_A , b 2= a 2 + c 2 — 2accos_B , c 2=旦2 + b 2 — 2abcos_C •余
亠宀 、 b 2 + c 2— a 2 a 2+ c 2— b 2
弦疋理可以变形： cos A = ---------- , cos B = ----- u --- , cos C = a 2 + b 2- c 2 2ab 2bc G ABC = gabsin C = ^bcsin A = *acsin B =繁=*(a + b + c) r(r 是三角形内切圆的半径 )，并 可由此计
算R 、r.
在厶ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下: A 为锐角
A 为钝角或直角
图形 关系式
a = bsin A bsin A<a<
b a>b 解的个数
一解
两解
一解
一解
思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上（如图） ，可以确定先用正弦定理求出边
然后用三角形内角和求出角
B ，最后用正弦定理求出边 b .
解析:
sin A
c
sin C
csin A 10 sin 45° sin
C
sin 30o
10 2 ,
B 180° (A C) 105°,
总结升华：
1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题;
2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从 而恰当地选择解答方式.
举一反三:
【变式1】在 ABC 中，已知A 32.00，B 81.8°，a 42.9cm ，解三角形。

C 180° (A B) 180° (32.0° 81.8°) 66.2° ；
【答案】根据正弦定理
a
—— ―—，得a:b:c sin A:sinB:sinC 1: 2:3 .
sin A sin B sin C
例2.在 ABC 中，b 3,B 60°, c 1,求：a 和 A , C .
思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上 （如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ,
然后用三角形内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .
解析：由正弦定理得：
b
c
,
sin B sin C
A
.小
csin B 1
°
sin 60
1
.sinC
b
迨
2
（方法一）••• 0°
C
180°, .C 30° 或 C 150°,
当 C 150° 时，B C 210°
180°，（舍去）；
sin B
c
sin C
, csin B b ----------- sin C
10 sin 105° o sin 30
20sin 75°
20
6
'2 4
5.6 5 ；2 •
【答案】根据三角形内角和定理,
根据正弦定理, 根据正弦定理, ,asinB 42.9sin81.8° “，、 b °
--------------------- 80.1(cm); si nA si n32.0°
asi nC 42.9si n66.2° c
si nA
sin 32.0°
74.1(cm).
【变式2】在 ABC 中, 已知 B 75°
，C 60°， c 5，求 a 、A .
【答案】A 180°
(B C) 180°
(75° 60°)
45°，
根据正弦定理
a sin 45°
【变式3】在 ABC 中, 已知 sin A:sin B:sin C 1: 2:3，求 a: b: c
当 C 30° 时，A 90°,.・.a , b 2 c 2 2.
(方法二)••• be , B 60°,
••• C B ,
••• C 60°即 C 为锐角， •- C 30°, A 90°
• a <D C 2 2 . 总结升华：
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角 C 时，因为sinC sin(180° C)，所以要依据题意准确确定 角C 的范
围，再求出角 C .
3. 一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍
类型二：余弦定理的应用：
例3.已知 ABC 中，AB 3、BC 「37、AC 4，求 ABC 中的最大角。

思路点拨：首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解 解析：•••三边中BC 37最大，• BC 其所对角A 最大，
2 2 2 2 2 2
AB AC BC 3 4 (、37)
1
根据余弦疋理： cos A --------------------------- --- ---- - --- - ---- -- -,
ABgAC 2 3 4
•/ 0° A 180°,
• A 120°
故 ABC 中的最大角是 A 120°. 总结升华： 1.
ABC 中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理;
2. 用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系 举一反三：
【变式1】已知 ABC 中a 3, b 5, c 7,求角C .
2 b
2
2 _2 3
2 72
【答案】根据余弦定理：c°sC
a b C 5
3
2ab
235
•/ 0° C 180°, • C 120°
【变式2】在 ABC 中，角 代B,C 所对的三边长分别为 a,b,c ，若
a: b:c 6:2:( 3 1),求 ABC 的各角的大小.
• C 180°
A B 75°
类型三：正、余弦定理的综合应用
例 4.在 ABC 中，已知 a 2、3 , c ；6、2 , B 450, 思路点拨：画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定
理求边
⑴由余弦定理得:
2accosB
(.6 2)2 2 2 3 C 6 . 2)c°s450
=12 ( '一 6 2)2 4 3( -3 1)
=8 • b 2 2.
⑵求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理: （法一：余弦定理）
,2 2 2
b c a ••• c°sA
bc
2 2 2 ( 6 2)
• A 60°. （法二：正弦定理）
【答案】设a ,6k , b
2k , c .'3 1
根据余弦定理得：c°s B
2、3 1 .6
45°;
同理可得A 60°; 【变式3】在
ABC 中，若 a 2 b 2
2
c bc ，求角
A .
【答案】•- b 2 c 2 a 2
bc , • cos
A
b 2
c 2
a 2
2bc
•/ 0° A 180°,
• A 120°
余弦定理或正弦定理求角 解析：
A .
求b 及A .
b ，然后继续用
=(2 3)2 (2 • 2)2 C6、2 )2 (2 - 3)2
••• a v c ，即 00 v A v 90°, ••• A 60°.
总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、 更好.
举一反三：
【变式1】在 ABC 中，已知b 3 , c 4, A 135°.求B 和C . 【答案】由余弦定理得：a 2 32 42 2 3 4cos135o 25 1^2 ,
• a , 25 12 2 6.48
• C 1800 (A B) 25053/.
【变式2】在 ABC 中，已知角A, B,C 所对的三边长分别为 a,b,c ，若a 2 ,b 2 2 ,
c . 6 、2，求角 A 和 sin C
其他应用题详解
-、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
T si nA aS "B
窮 E 0
又••• 6 2 2.4 1.4 3.8, 2 3 2 1.8 3.6
由正弦定理得：sinB 竺必
3sin135
°
0.327 ,
因为A 1350为钝角，则B 为锐角，
• B 1907/.
【答案】 根据余弦定理可得:
cosA
2bc
8 8 4 3 4
2 2.2
.6 x2
•/ 0o A 180o , •••由正弦定理得：
si nC
A 30o ； csin A 6
' 2
sin 30
a
2
B. 3a km D . 2a km
AB 2 = AC 2 + BC 2-2AC BCcos120 =2a 2-2a 2X —1 = 3a 2，
•°AB = , 3a. 答案 B
2•张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶， 在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电 视塔在电动车的北偏东
A.
2 2 km
C .
3 3 km
灯塔B 的距离为（）
A . a km C.返a km
解析 利用余弦定理解厶ABC.易知Z ACB = 120°，在△ACB 中，由余弦定理得
BS AB
ZABS= 180 - 75 = 105 ,所以/ASB= 45 °•由正弦定理知石^45，所以
75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（
）
解析如图，由条件知/BAS= 30°, AB = 6,
有 CE = 25X 2= 50, CF = 15X 2= 30,且Z ECF = 120 ；
EF = CE 2 + CF 2- 2CE CFcos120
= 502+ 302- 2X 50X 30cos120 =70.
答案 D
4. （2014济南调研）为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼 的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°测得塔基B 的俯角为45°那么塔AB 的高 度是（
B.
20 1+ 23 m
解析 如图所示，由已知可知，四边形 CBMD 为正方形，CB = 20 m ,所以 BM = 20 m .又在Rt 小MD 中,
DM = 20 m ,Z ADM = 30° ••AM = DMtan30 . ••AB = AM + MB = 20 3 + 20 =20 1+弘).
AB 0 , BS = sin45s "30 = 3 2
答案 B
3.轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港 120°轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船 下午2时两船之间的距离是（
）
A . 35海里 C ,两艘轮船航行方向的夹角为
B 的航行速度是15海里/小时, B . 35 ：2海
里 C . 35.'3海里
D .
解析设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是 E , F ，则依题意
)
20 1+ 3 m 20(1 + 3) m
C .
答案 A
5. （2013 天津卷）在厶ABC 中，/ ABC = $ AB^2，BC = 3，贝U sin /BAC 二（）
A 迈
A.
10
C3.10 C.
10
解析 由余弦定理 AC 2= AB 2 + BC 2— 2AB BCcosZABC = （ ：2）2+ 32 — 2X 〔；2
迈 厂
sinZABC 3X 2
x 3X 2 = 5，所以 AC = *；5，再由正弦定理：sin/BAC =—AC BC =— 5—=
10 . 答案 C
6. （2014滁州调研）线段AB 外有一点C ，/ ABC = 60° AB = 200 km ,汽车 以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以 则运动开始多少h 后，两车的距离最小（）
A 69
A.43
C 70
C.
43
解析 如图所示，设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ,则 AD = 80t ，BE = 50t.因为AB = 200,所以BD = 200— 80t ,问题就是求 DE 最小时 t 的值.
由余弦定理，得
2 2 2 DE 2
= BD 2+ BE 2— 2BD BEcos60
2 2 =(200— 80t)2
+ 2 500t 2
— (200— 80t) 50t
B 姮
B.
5
n 5
D.5
50 km/h 的速度由B 向C 行驶,
B . D
.
=12 900t2—42 000t+ 40 000.
当t =70时,
DE 最小.
答案 C
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7. 已知A , B 两地的距离为10 km , B , C 两地的距离为20 km ，现测得/ ABC = 120°贝U A 、C 两地的距离为 _________ km.
100+ 400-2X 10X 20X cos120 =700,
••AC = 10 7(km).
答案 10 7
8. _______________________________________________ 如下图，一艘船上午9: 30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之 后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10: 00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它 的北偏东75°处，且与它相距8(2n mile.此船的航速是 _____________________________________ n mile/h.
北
解析 设航速为v n mile/h
•'v= 32(n mile/h). 答案 32
AC 2= 在△KBS 中，AB = ；v , BS = 8 '2,ZBSA = 45 °
由正弦定理得：s 8
30 1 _
2v J sin45
解析如右图所示,
BC _ CDsi n45
sin30 °
_ 2^/3.
的正东方向上，测得点A 的仰角为60°再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位 置D ，测得/ BDC = 45°则塔AB 的高是 ___________ .
解析 在ABCD 中，CD = 10,/BDC = 45° /BCD = 15°+ 90°= 105° /
—CDsin45 ° 厂“ BC _気厂_1^/2（米）.
_ 10 ；6（米）.
答案 10.6
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
10. （2014台州模拟）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰 角分别为60。

和30°，第一排和最后一排的距离为10；6米（如图所示），旗杆底部 与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为 50秒，升旗手应以多大的速度匀速
升旗？
DBC = 30° BC _ CD sin45 ° sin30
在 Rt A ABC 中，tan60 0AB 'BC
， AB _ BCta n60 9•如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C ,使C 在塔底B 解 在△BCD 中，/BDC _45° ZCBD _30° CD _ 1为6,由正弦定理，得
在RtAKBC 中，AB= BCsin60 =20^亨=30（米）,所以升旗速度v=AB=
30 …
50= 0.6（米/ 秒）•
11.
如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3 + 3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45° B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 .3海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
解由题意，知AB= 5(3+(3)海里，/DBA= 90°—60°= 30° ZDAB= 90°
—45 = 45 °
•••zADB= 180 —(45 + 30 )= 105 °
在△DAB中，由正弦定理，得
DB = AB
si n/DAB = sin ZADB，
AB sin /DAB 5 3+ ；'3 sin45
于是DB
sinZADB = sin105°
5 3+ .3 sin45 °
=10 3(海里).
=
300+ 1 200- 2X 10 '3X 20 .'3X 舟=900.
得 CD = 30(海里),
30
故需要的时间t =器二1(小时),
即救援船到达D 点需要1小时.
12.
(2013江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至C 处有两种路 径•一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在 甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min ,山路AC 长为1 260 m,经测量，
_ 3 。

卓二石，cos C =5.
(1) 求索道AB 的长；
(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控 制在什么范围内？
12 3
解 (1)在△ABC 中，因为 cosA = 13，cosC = 5,
5 4
所以 sinA = 13, sinC = 5.
从而 sinB = sin[ —n A + C)] = sin(A + C)
5 3 12 4 63 =sinAcosC + cosAsi nC =—X + X = . 13 5 13 5 65
AC .D X sinC = si nB 1 260 4
63 X 5= 1 040(m)-
65
所以索道AB 的长为1 040 m. 12
由正弦定理sAC 二sAB ，得
AB =
(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d,此时，甲行走了(100+ 50t)m, 乙距离A处130t m,所以由余弦定理得
d2= (100+ 50t)2+ (130t)2—2X 130t X (100 + 50t)X 200(37t2+ 70t + 50),
1 040 35
因0W t w〒丽，即0W t w 8,故当t=37(min)时，甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理SiBCT丽B，得BC=SAB X sinA=飞厂乂七二500(m)-乙从B
65
出发时，甲已走了50X (2 + 8+ 1) = 550(m),还需走710 m才能到达C.
500算3，解得器0设乙步行的速度为v m/min，由题意得一3< v
625
w v W 14，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的
rz(y aw
A Q
速度应控制在［T43-，刁41(单位：m/min)范围内.
sin45 cos60 + cos45 sin60 5 .3「3+ 1
；3+ 1
2
又ZDBC = ZDBA +ZABC= 30 °+ （90 —60 ）= 60 ° BC = 2贰（海里），在△DBC中，由余弦定理，得
CD* 2= BD2+ BC2—2BD BC cos/DBC。