高三指对幂函数卓东勇

精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：高三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：卓东勇授课类型T（指对数运算和函数图象与性质）C（含指对幂的复合函数）T（指对幂函数中的数形结合）授课日期及时段教学过程指对数运算和函数图象与性质一、同步知识梳理（实际上课使用时可以采用思维导图的方式讲解梳理）指数函数1．根式(1)根式的概念如果一个数的n次方等于a(n＞1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做__________，其中n＞1且n∈N*.式子na叫做__________，这里n叫做__________，a叫做____________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写为________(a＞0)．③( n a)n＝______.④当n为奇数时，n a n＝______；当n为偶数时，n a n＝|a|＝______________.⑤负数没有偶次方根．2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝n a a a •••L 14243个(n ∈N *)． ②零指数幂：a 0＝______(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝________(a ≠0，p ∈N *)．④正分数指数幂：m na ＝______(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)． ⑤负分数指数幂：-mn a＝__________＝________ (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂____________． (2)有理数指数幂的性质①a r a s ＝__________(a >0，r 、s ∈Q )； ②(a r )s ＝________(a >0，r 、s ∈Q )； ③(ab )r ＝__________(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y ＝a x a >10<a <1图象定义域 (1)____ 值域(2)________ 性质(3)过定点________(4)当x >0时，______；x <0时，________(5)当x >0时，________；x <0时，_______ (6)在(－∞，＋∞)上是______(7)在(－∞，＋∞)上是_____[难点正本 疑点清源]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2．指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论． 对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作____________，其中______叫做对数的底数，______叫做真数． (2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数 底数为a (a >0且a ≠1)常用对数 底数为____ 自然对数底数为____2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝______________；②log a MN ＝______________；③log a M n ＝__________ (n ∈R )； ④log am M n ＝______________. (2)对数的性质①a log a N ＝______；②log a a N ＝______(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：____________ (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝__________.3．对数函数的图象与性质图 像a >1 0<a <1性质(1)定义域：________ (2)值域：____(3)过点________，即x ＝____时，y ＝____(4)当x >1时，______ 当0<x <1时，______ (5)当x >1时，______ 当0<x <1时，______ (6)在(0，＋∞)上是______(7)在(0，＋∞)上是______4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数__________互为反函数，它们的图象关于直线________对称． [难点正本 疑点清源] 1．关于对数的底数和真数从对数的实质看：如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，即b ＝log a N .它是知道底数和幂求指数的过程．底数a 从定义中已知其大于0且不等于1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的．2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．3．关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较．幂函数1．幂函数的概念一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象与性质由幂函数y＝x、y＝12x、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在________上都有定义；(2)幂函数的图象都过点__________；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点________与________，且在(0，＋∞)上是__________；(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是__________．3．五种幂函数的比较(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域值域奇偶性单调性[难点正本疑点清源]1．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．二、同步题型分析题型1：指数幂、对数的运算例1：（1）23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1-2(0.002)－10(5－2)－1＋(2－3)0＋322[(2)]-； （2）15＋2－(3－1)0－9－45； 解：(1)原式＝21322718500--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭－105－2＋1＋322(2) ＝21328+50027⎛⎫- ⎪⎝⎭－10(5＋2)＋1＋8 ＝49＋105－105－20＋1＋8＝959-. (2)原式＝5－2－1－(5－2)2 ＝(5－2)－1－(5－2)＝－1.例2：（1）3322111143342a b ab a b a b-()(a >0，b >0)（2）121121333225(3)(4).6a b a b a b ----⋅⋅-÷⋅解：（1）原式＝1213233211233a b a b ab a b-()＝3111111-2-26333ab +-++＝ab －1.（2）原式=-)(45)4(25233136121332361------÷-=⋅÷b a b a b a b a.4514545232321ab abab b a -=⋅-=⋅-=--例3：计算下列各式．(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；(2)(lg 3)2－lg 9＋1·(lg 27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．解 (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. (2)原式＝(lg 3)2－2lg 3＋1·⎝⎛⎭⎫32lg 3＋3lg 2－32(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)＝(1－lg 3)·32(lg 3＋2lg 2－1)(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)＝－32.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.题型2：指数函数、幂函数图象与性质例1：(1)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)图象的大致形状是( )(2)若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a 、b 的取值范围是__________．解(1)D (2)0<a <1、b <0例2：求下列函数的单调递增区间：（1）y=(226)21x x -+;(2)y=262--x x .解 （1）函数的定义域为R .令u=6+x-2x 2,则y=(u )21. ∵二次函数u=6+x-2x 2的对称轴为x=41,在区间［41，+∞）上，u=6+x-2x 2是减函数，又函数y=()21u是减函数，∴函数y=(2621)2x x +-在［41，+∞）上是增函数.故y=(226)21x x -+的单调递增区间为［41，+∞）. （2）令u=x 2-x-6,则y=2u,∵二次函数u=x 2-x-6的对称轴是x=21,在区间［21，+∞）上u=x 2-x-6是增函数. 又函数y=2u为增函数， ∴函数y=262--x x 在区间［21，+∞）上是增函数. 故函数y=262--x x 的单调递增区间是［21，+∞）.例3：已知实数a 、b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不．可能．．成立的关系式有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解：作y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，如图当x <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，则有a <b <0；当x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，则有0<b <a ；当x ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，则有a ＝b ＝0.故不可能成立的是③④.故选B例4：幂函数y=x -1及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①、②、③、④、⑤、 ⑥、⑦、⑧（如图所示），那么幂函数y=x 21的图象经过的“卦限”是 . 解：幂函数y=x pq 在第一象限内的图象（如图所示）有如下特点： （1）图象必过（1，1）点； （2）当pq＞1时，函数的图象过（0，0）点，且在第一象限是增函数，图象过②⑥“卦限”并向y 轴方向延伸； （3）当pq=1时，函数的图象是直线y=x;（4）当0＜pq＜1时，函数在第一象限是增函数，图象过①⑤“卦限”并向x 轴方向延伸；（5）当pq＜0时，函数在第一象限是减函数，图象过③⑦或④⑧“卦限”与x 轴、y 轴无限接近，但永不相交. 由于0＜21＜1,故图象过①⑤“卦限”.题型3：对数函数图象与性质例1：作出函数y ＝log 2|x ＋1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数y ＝log 2x 的图象经过怎样的变换而得到．解：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到 函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得 到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)． 例2：（1）(2010·全国卷Ⅰ理)设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝125-，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a（2）若log 2a 1＋a 21＋a <0，则a 的取值范围是____________．解：（1）C [解析] a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln2＝1log 2e ，而log 23>log 2e >1，所以a <b ， c ＝5－12＝15，而5>2＝log 24>log 23，所以c <a ， 综上c <a <b . （2）⎝⎛⎭⎫12，1例3：已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围. 解 当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立.只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0,∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+∞）上为减函数， ∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|=-f(x)≥-log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立， 只要-log a 3≥1成立即可， ∴log a 3≤-1=log a a1,即a 1≤3,∴31≤a ＜1.综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）. 三、课堂达标检测 1．函数y ＝2x的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．[2，＋∞)2．函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <03．(2011·天津)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b4．(2010·天津)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log (－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)5．函数f (x )＝12log (x 2－2x －3)的单调递增区间是__________．6．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则a ＋b 的值是________．7、(1)计算：20.52113--0.2532234[35+(0.008)(0.02)(0.32)]0.062 589-⎛⎫⎛⎫-÷⨯÷ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)化简：412323333225333382·42a a bb a a aa a ab ab a -⎛⎫-⋅÷-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭++(式中字母都是正数)．8、计算下列各题：(1)lg2＋lg5－lg8lg50－lg40； (2)log 34273log 5[124log 210－(33)23－7log 72]．解：1、(1)原式＝[23827⎛⎫⎪⎝⎭－12499⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2310008⎛⎫⎪⎝⎭÷50×4210]÷1462510000⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12＝⎝⎛⎭⎫－179＋2×2＝29.(2)原式＝111333331111223333[2]·22a a ba ab b()-()()+()+()÷11332a ba-×2132111352··a aa a()()＝111333(-2a a b)×11332aa b-×5616aa＝13a×a×23a＝a2.2、(1)原式＝lg2×58lg5040＝lg54lg54＝1.(2)原式＝log33343·log5[2log210－(332)23－7log72]＝⎝⎛⎭⎪⎫34log33－log33·log5(10－3－2)＝⎝⎛⎭⎪⎫34－1·log55＝－14.含指对幂的复合函数一、专题精讲含指对幂函数的复合函数例1：已知函数y=log2[（p﹣1）x2+2px+3p﹣2]（1）若函数的定义域为R，求实数p的取值范围，（2）若函数的值域为R，求实数p的取值范围．解：（1）∵函数的定义域为R∴（p﹣1）x2+2px+3p﹣2＞0①p=1时，f（x）=log2（2x+1）不合题意，舍去（2分）②．（5分）③若p ＜1，不合题意，舍去（6分）综上：p 的取值范围是（2，+∞）（7分）（2）①p=1时，f （x ）=log 2（2x+1）∈R 符合题意（9分）②．（12分）③若p ＜1，不合题意，舍去（13分）综上：p 的取值范围是[1，2]（14分）例2：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围. 解 令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a , 由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a 对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1,在区间（-∞,1-3］上是减函数，所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即 解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.例3：要使函数y=1+2x +4x a 在x ∈（-∞，1］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围.解 由题意得1+2x +4x a ＞0在x ∈（-∞,1］上恒成立，即a ＞-x x 421+在x ∈（-∞，1］上恒成立. 又∵-x x 421+=-(,4121)21()21()2122+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-x x x ∵x (],1,-∞∈∴(⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,21)21x .令t=(.,21,41)21()(,)212⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈++-=t t t f x 则 则f(t)在［21,+∞）上为减函数，f(t)≤f()21=-(,4341)21212-=++ 即f(t)∈⎥⎦⎤⎝⎛-∞-43,. ∵a ＞f(t),∴a ∈（-43，+∞）.二、专题过关1、若函数y =4x -3·2x+3的定义域为集合A ，值域为［1，7］，集合B =（-∞，0］∪［1，2］，则集合A 与集合B 的关系为 .2、函数f (x )(x ∈R )的图象如下图所示，则函数g (x )=f (log a x ) (0＜a ＜1)的单调减区间是 .3、已知函数f (x )＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a 的值．4、（1）若函数y=log 2（ax 2+2x+1）的定义域为R ，求a 的范围；（2）若函数y=log 2（ax 2+2x+1）的值域为R ，求a 的范围．【解析】1、A =B2、［a ,1］3、解：f (x )＝a 2x ＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，∵x ∈[－1,1]，(1)当0<a <1时，a ≤a x ≤1a， ∴当a x ＝1a时，f (x )取得最大值． ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，∵0<a <1，∴a ＝13. (2)当a >1时，1a≤a x ≤a ， ∴当a x＝a 时，f (x )取得最大值．∴(a ＋1)2－2＝14，∴a ＝3.综上可知，实数a 的值为13或3. 4、[解析]解：（1）若函数y=log 2（ax 2+2x+1）的定义域为R ，∴ax 2+2x+1＞0恒成立，故有 a ＞0，且△=4﹣4a ＜0，解得 a ＞1，故所求的a 的范围为（1，+∞）．（2）若函数y=log 2（ax 2+2x+1）的值域为R ，故函数y=ax 2+2x+1能取遍所有的正数．当a=0时，函数y=log 2（ax 2+2x+1）=log 2（2x+1），满足它的值域为R ．当a ＞0时，应有△=4﹣4a≥0，解得 0＜a≤1．综上可得，故所求的a 的范围为[0，1]．三、学法提炼1、专题特点：以指对幂函数作为内函数或外函数。