两点间距离公式的五种应用

两点间距离公式的五种应用

一、求函数的值域

有些带根式的函数，在求其值域时，联想到两点间的距离公式，利用函数的几何意义可以很容易地求出函数的值域来。

例1、求函数

解：∵y

，

∴函数y可以看作是动点P（x，0）到两个定点A（-1，1）、B（1，1）的距离之和，由三角形的三边关系可知 | PA | ＋ | PB | ≥ | AB |，当P点在线段AB上时，取得等号。

而易求得| AB | ＝y ≥

即所求函数的值域是{ y | y ≥}。

二、证明不等式

有些不等式的证明难以下手，但是若与两点间的距离公式联系起来，进行恰当的变形后就可以找到证明的思路。

例2、已知x1＞0，x2＞0≥

证明：当x1＞0，x2＞0≥

≥

至此，我们令A（x1，1），B（-x2，-1），

则 | OA | | OB | | AB | ，

根据三角形三边间的关系可得| OA | ＋| OB | ≥| AB |，即

≥

三、判断三点共线

对于三点共线问题，有若干种证法，当然也可以用两点间的距离公式来进行证明。三点确定三条线段，若其中两条线段的长度之和等于第三条线段的长，则此三点必共线。

例3、求证：A（1，5）、B（0，2）、C（2，8）三点共线。

证明：由两点间的距离公式得

| AB |

=

| BC |

==

| AC |

∴有 | AB | ＋ | AC | ＝| BC |，从而A、B、C三点共线。

四、证明平面几何问题

有些平面几何问题借助于两点间的距离公式会很容易的得证。

例4、已知AO是△ABC中BC边上的中线。

证明：| AB |2＋ | AC |2＝2（| AO |2＋ | OC |2）。

分析：取BC边所在的直线为x轴，边BC的中点为原点，

建立如图所示的直角坐标系。

设B（-a，0），O（0，0），C（a，0），A（m，n），其中a＞0.

则由两点间的距离公式得

| AB |2＋ | AC |2＝( m + a )2 + n2 + ( m - a )2 + n2＝ 2( m2 + n2 + a2 )，

| AO |2＋ | OC |2＝m2 + n2 + a2，

∴证得| AB |2＋ | AC |2＝2（| AO |2＋ | OC |2）。

五、求曲线的轨迹方程

在求曲线方程的时候，好多的题目都涉及到两点间的距离公式，及公式的变形、化简。

例6、已知动点P到定点A（0，-1）的距离与到定直线y = -9的距离的比为1

3

，求动

点P的轨迹方程。

解：设P（x，y）

1

3

=，化简整理得9x2 + 8y2– 72 = 0.

∴动点P的轨迹方程是9x2 + 8y2– 72 = 0.

）