面积问题

二次函数应用——最大面积问题

一、温故而知新

已知抛物线y=-2x 2+3x+4请回答以下问题：

（1）化成顶点式：____________________

（2） 它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；

（3）图象与x 轴的交点为 ，与y 轴的交点为 。

（4）当X=_____时Y 有最_____值，是___________

二、自主探究

例题1．如图，有长为24m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a ＝10m)．

(1)如果所围成的花圃的面积为45m 2，试求宽AB 的长；

(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m 2更大的花圃吗?

如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说

明理由

练习：如图， 东梅中学要在教学楼后面（墙壁最大长度20米）的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园， 矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆． 这个生物园的最大面积是多少？

例2．如图，在ABC ∆中，90B ∠=o ，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过几秒，四边形APQC 的面积最小，最小值为多少？

教学楼

练习：正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R 在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm2，解答下列问题：

(1)当t=3s时，求S的值；(2)当t=3s时，求S的值；

(3)当5s≤t≤8s时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值。

课后习题：

1、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?

2、-块三角形废料如26—3—9所示，∠A=300，∠C=900， AB=12，用

这块废料剪出一个长方形CDEF，其中点D、E、F分别在AC、AB、AC

上，要使剪出的长方形CDEF面积最大。点E应选在何处?

3、小华的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美

化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为l米的通道及在左右花圃各放一个l米宽的门(如图26—3—6所示)．花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?

9. （2011贵州贵阳，25，12分）

用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图○1○2○3中的一种）．设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）（1）在图○1中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？（4分）

（2）在图○2中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？（4分）

（3）在图○3中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x 为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

○1○2○3

（第25题图）

【答案】解：

（1）当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC=12-3x

3

=4-x，

∴x（4-x）=3．解得，x=1或3．

（2）当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC=12-4x

3

，矩形框架

ABCD的面积S=x·12-4x

3

=-

4

3

x2+4x．

当x=-

4

2×（-4

3

）

=

3

2

时，S=3．

∴当x=3

2

时时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米．

（3）当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC=a-nx

3

，矩形框架

ABCD的面积

S=x·a-nx

3

=-

n

3

x2+

a

3

x．

当x=-

a

3

2×（-

n

3

）

=

a

2n

时，S=

a2

12n

∴当x=a

2n

时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为

a2

12n

平方米