导数的运算公式和法则

x)'cos x sin cos2 x
x(cos
x)'
cos2 x sin2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
正切函数的导数公式 余切函数的导数公式 正割函数的导数公式 余割函数的导数公式
(tan x)' sec2 x (cot x)' csc2 x (sec x)' sec x tan x (csc x)' csc x cot x
x)
v(x) 0
上式右端特点：分式 ,
分子分母依次轮流求导, 再相减
分母2
推论
1 v( x)
v( x) v2(x)
？
1 v( x)
例1 求函数y 3x4 4 2x 5cos x ln3的导数
解 y (3x4 ) (4 2x ) (5cos x) (ln3)
12x3 4 2x ln 2 5sin x
导数公式 (1)C 0 (3) (a x )' a x ln a (e x )' e x (5) (sin x)' cos x (7)(tan x)' sec2 x (9) (sec x)' sec x tan x
(2) ( x )' x1
(4) (loga
x )'
1 x ln a
(ln x)' 1 x
解 反函数为x tan y
y
(arctan x)
1 (tan y)
1 sec2
y
1
1 tan2
y
Hale Waihona Puke Baidu
1 1 x2
反正切函数的导数公式 (arctan x) 1 , x (,) 1 x2
反余切函数的导数公式 (arccot x) 1 , x (,) 1 x2
3. 基本导数公式 (其中c、、a为常数，且a 0,a 1)
答案： 2x3 ln x ln x x3 1
( x3 1)2
acnx n1 (b cxn )2
（ 3x
1
x2 )
x
2x 2
sin x x cos x 2x
3x2 ln xcos x x2 cos x x3 ln xsin x
2 . 反函数求导法则
设y f x, 单调, 连续,可导,反函数记为x f 1( y),可导
(6) (cos x)' sin x
(8) (cot x)' csc2 x
(10)(csc x)' csc x cot x
练习 求下列函数的导数
作业：p.136−137 12、14、16
y
x ln x x3 1
y
b
a cxn
y x3
x
y x sin x y x3 ln x cos x
(a为常数)
[a1u1( x) anun( x)] a1u1 ( x) anun ( x) (a1， ,an为常数)
[uvw] u(vw) u(vw) uvw uvw uvw
轮流求导, 再相加
分子 分母
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( x)v( v2(x)
解 反函数为 x sin y y
2
2
y
(arcsin
x)
1 (sin y)
1 cos
y
1 1 sin2 y
1 1 x2
反正弦函数的导数公式为 反余弦函数的导数公式为
(arcsin x) 1 , x 1 1 x2
(arccos x) 1 , x 1 1 x2
例7 求y arctan x的导数
y f x单调,连续,当x 0时,y 0且x 0时,y 0
y
f
x
lim y
x0 x
lim x0
1 x y
lim y0
1 x y
1 lim x y0 y
1 x
[f
1 1( y)]
原函数y f ( x)的导数 反函数x f 1( y)的导数的倒数
例6 求y arcsin x的导数 | x | 1
x) u( x)v( x) v2(x)
v(x) 0
[u( x) v( x)] u( x) v( x) 证明 设y u( x) v( x),当自变量在x处取得改变量x时，
y [u( x x) v( x x)] [u( x) v( x)] [u( x x) u( x)] [v( x x) v( x)] u v
例4 求函数y x3e x ln x的导数 解 y' ( x3e x ln x)'
3 x2e x ln x x3e x ln x x3e x 1 2x
1 x2e x (3ln x x ln x 1) 2
例5 求y tan x的导数
解
y'
(tan
x)'
( sin cos
x x
)'
(sin
(1)C 0 (3) (a x )' a x ln a
(e x )' e x
(5) (sin x)' cos x
(2) ( x )' x1
(4) (loga
x )'
1 x ln a
(ln x)' 1
(6) (cos x)'x sin x
(7)(tan x)' sec2 x
(8) (cot x)' csc2 x
y lim y lim (u v ) lim u lim v x0 x x0 x x x0 x x0 x u( x) v( x)
[u( x) v( x)] u( x) v( x) [u( x)v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x)
推论
[au( x)] au( x)
§3.3 导数的基本公式 和运算法则
1.和、差、积、商的导数
设函数u( x)和v( x)在点x处可导,则它们的和差积商 在点x处也可导,并且有
[u( x) v( x)] u( x) v( x)
[u( x)v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x)
[u( x)] v( x)
u( x)v(
(9) (sec x)' sec x tan x 1
(11)(arcsin x)' 1 x2
(13) (arctan x)' 1 1 x2
例2 求函数y x sin x sin 的导数
2
解
y
x
sin
x
sin
2
1 sin x x cos x 2x
例3 求函数y sin 2x的导数 cos 2x ? 解 y' (2sin x cos x)'
2[(sin x)'cos x sin x(cos x)']
2(cos2 x sin2 x) 2cos2x