2021版新高考数学一轮课件第2讲排列与组合

[引申]本例中7人排一排，(1)甲站中间的站法有___7_2_0__种；(2)甲、乙相邻且丙 不站排头和排尾的站法有 ___9_6_0__种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有 ___9_6_0__种．
[解析] (1)A36A33＝720； (2)A22A14A55＝960； (3)A22A44A25＝960．
题组二 走进教材
2．(P27A组T716)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数
为
(D)
A．144
B．120
C．72
D．24
[解析] “插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何 两人不相邻的坐法种数为 A34＝4×3×2＝24．
题组三 考题再现
3．(2019·安庆模拟)某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙
备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接
待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有 ( D )
A．15种
B．18种
C．20种
D．22种
[解析] (1)∵丙没有入选，∴可把丙去掉，总人数变为 9 个．∵甲、乙至少有 1 人入选，∴可分为两类：一类是甲、乙两人只选一人的选法有 C12·C27＝42(种)，另一 类是甲、乙都入选的选法有 C22·C17＝7(种)，根据分类加法计数原理知共有 42＋7＝ 49(种)．
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内 部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在 前面元素排列的空当中
定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排 除法处理 列
且 m，n∈N＋．
对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组 合数．
题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论正确的是( BD ) A．所有元素完全相同的两个排列为相同排列 B．两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 C．若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立 D．kCkn＝nCkn－－11
[解析] (1)从 7 个人中选 5 个人来排，是排列， 有 A75 ＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． (2)分两步完成，先选 3 人排在前排，有 A37种方法，余下 4 人排在后排，有 A44种 方法，故共有 A73·A44＝5 040(种)．事实上，本小题即为 7 人排成一排的全排列，无任 何限制条件． (3)优先法：解法一：(元素分析法)甲为特殊元素．先排甲，有 5 种方法；其余 6 人有 A66种方法，故共有 5×A66＝3 600 种． 解法二：(位置分析法)排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的 6 个人中选 2 个排列，有 A62种方法，中间 5 个位置由余下 5 人和甲进行全排列，有 A55种方法， 共有 A62×A55＝3 600 种．
[解析] (1)①当甲在首位，丙、丁捆绑，自由排列，共有 A44×A22＝48 种；②当 甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有 3×A33×A22＝36 种；③当甲在第三位，前两位 分为是丙、丁和不是丙、丁两种情况，共 A22×A23＋A23×A22×A22＝36 种，因此共 48 ＋36＋36＝120 种．
间接法 正难则反、等价转化的方法
考点二 组合问题——师生共研
例 2 (1)(2019·广东中山模拟)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，
则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为
(B)
A．85
B．49
C．56
D．28
(2)(2020·福建宁德联考)福建省第十六届运动会于2018年在宁德召开，组委会预
[引申]本例(1)中，①甲、乙恰有1人入选的选法有___5_6__种；②甲、乙都不入选 的选法有__5_6___种．
[解析] ①C12C27＝56 ②C38＝56
组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取 出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选 取． (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至 少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以 求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有___1_2_0__种． (2)(2019·湖南师范大学附属中学模拟)某班上午有五节课，分别安排语文、数
学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数
学课不排第一节，则不同排课方案的种数是
A．16
B．24
(A)
C．8
D．12
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第二讲 排列与组合
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
知识点一 排列与排列数 (1) 排 列 的 定 义 ： 从 n 个 ___不__同___ 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 ， 按 照 一 定 的 __顺__序____排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的___所__有__不__同__排__列___的 个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号___A_nm___表示．
(6)把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有 A22种方法； 第二步从余下 5 人中选 3 人排在甲、乙中间，有 A53种；第三步把这个整体与余下 2 人进行全排列，有 A33种方法．故共有 A22·A53·A33＝720 种．
(7)消序法：2A！77 ＝2 520. (8)间接法：A77－2A76＋A55＝3 720. 位置分析法：分甲在右端与不在右端两类． 甲在右端的排法有 A66(种)排法， 甲不在右端的排法有 5×5A55(种)排法， ∴共有 A66＋25A55＝3 720(种)．
一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五
门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有C( )
A．8种
B．12种
C．16种
D．20种
[解析] (1)问题等价于将这 3 盏关着的灯插入 4 盏亮着的灯形成的 5 个空档中，
所以关灯方案共有 C35＝10 种． (2)若一名学生只选物理和历史中的一门，则有 C21C42＝12 种组合；若一名学生物
(2)先从两个不同的地点选出一地点分配 A，B 两人，有 C12＝2(种)情况，再将剩 余 4 人分入两地有三种情况，
4 人都去 A，B 外的另一地点，有 1 种情况； 有 3 人去 A，B 外的另一地点，有 C34＝4(种)情况； 有 2 人去 A，B 外的另一地点，有 C24＝6(种)情况． 综上，共有 2×(1＋4＋6)＝22(种)，故选 D．
[解析] 解法一：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，且至少有 1 位女生入选的情 况有以下 2 种：①2 女 1 男：有 C22C14＝4 种选法；②1 女 2 男：有 C12C24＝12 种选法， 故至少有 1 位女生入选的选法有 4＋12＝16 种．
解法二：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人有 C36＝20 种选法，其中选出的 3 人都 是男生的选法有 C34＝4 种，所以至少有 1 位女生入选的选法有 20－4＝16 种．
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全排列，有 A44种方法， 再将 4 名女生进行全排列，也有 A44种方法，故共有 A44×A44＝576 种．
(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有 A44种方法，再 在女生之间及首尾空出 5 个空位中任选 3 个空位排男生，有 A53种方法，故共有 A44×A53 ＝1 440 种．
考点突破 • 互动探究
考点一 排列问题——自主练透
例 1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分 别为：
(1)选其中5人排成一排；__2__5_2_0__ (2)排成前后两排，前排3人，后排4人；__5__0_4_0__ (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；__3_6_0_0___ (4)全体排成一排，女生必须站在一起；___5_7_6___ (5)全体排成一排，男生互不相邻；__1__4_4_0__ (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；___7_2_0___ (7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；__2__5_2_0__ (8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__3_7_2_0___
两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有
A．84种
B．98种
(D)
C．112种
D．140种
[解析] 由题意分析பைடு நூலகம்同的邀请方法有： C12C58＋C68＝112＋28＝140(种)．
4．(2019·晋中模拟)高三某班6名任课老师站在一排照相，要求甲与乙相邻，丙
与丁不相邻，则不同的站法有多少种
(A)
A．144
B．72
C．288
D．154
[解析] 甲与乙相邻，则将甲乙“捆绑”，作为一个整体，并与另外的两个人排 列，有 A22·A33种方法；丙与丁不相邻，采用插空法，有 A24种方法，根据分步计数原理， 共有 A22·A33·A24＝144 种方法．
5．(2018·新课标Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位 女生入选，则不同的选法共有___1_6__种．(用数字填写答案)
Amn ＝
n－n！m！，这里规定 0！＝___1__．
知识点二 组合与组合数 (1) 组 合 的 定 义 ： 一 般 地 ， 从 n 个 ___不__同___ 元 素 中 取 出 m(m ＜ n) 个 元 素 __合__成__一__组____，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的___所__有__不__同__组__合___ 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号___C_nm___表示．
理和历史都选，则有 C14＝4 种组合；因此共有 12＋4＝16 种组合．故选 C．
考点三 排列、组合的综合应用——多维探究
角度1 相邻、相间问题
例 3 (1)(2020·河北省衡水中学调研)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整 体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须
(3)组合数的计算公式：Cmn ＝AAmmnm＝m！nn！ －m！＝nn－1n－m2！…n－m＋1，这
里规定 C0n＝__1___． (4)组合数的性质：①Cmn ＝__C__nn－_m__；②Cnm＋1＝___C_nm___＋__C__mn_－_1_． 注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意 Anm、Cmn 中的隐含条件 m≤n，
〔变式训练1〕
(1)(2020·海南省联考)楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的
灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为( A )
A．10
B．15
C．20
D．24
(2)(2019·辽宁沈阳东北育才学校模拟)某地区高考改革，实行“3＋2＋1”模
式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目“1”指在物理、历史两门科目中必选
(3)排列数公式：Amn ＝___n_(_n_－__1_)(_n_－__2_)_…__(n_－__m__＋__1_)___．
(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，
A
n n
＝n×(n－
1)×(n－
2)×…×2×1
＝___n_！___.排
列
数公
式
写成
阶乘的
形式
为