经济数学基础 微积分 第三章习题解答

(2) y 1 ,求y x
( xn ) nxn1
解 ： y 1 1 x
x x x x( x x)
y lim y lim 1 x0 x x0 x( x x)
1 x2
3.设函数f ( x)在x0处可导，求
(1) lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
解： 令 x h，则
尖点, 无切线, 不可导
无定义, 不可导
0
x
无确定切线, 不可导
0
x
尖点, 无切线, 不可导
8.讨论下列函数在x 0处的连续性与可导性；若可导，
求出f (0)：
1 x
(1) f ( x) 1 x
x0 x0
解 lim f ( x) 1 lim f ( x) 1
x0
x0
所以函数在x 0连续.
关系为S 5t 1 gt 2 .求 2
(1)物体在1秒到1 t秒这段时间内的平均速度.
(2)物体在1秒时的瞬时速度.
解 ： （1）
v S
5(1 t) 1 g(1 t)2 5 1 g
2
2
t
t
5 g 1 gt 2
S (2)v(1) lim 5 g
t0 t
2.利用导数的定义求导数：
即 2x 3x2
解得 x 0, x 2 3
7.试作下列函数图形，根据图形直观判断所给函数
在给定点x 0处是否可导？
(1) f ( x) 3 x2 x2 , x 0
(3) f ( x) 3x , x 0
(2) f ( x) 1 x
(4) f ( x) sin x
y
y
y
y
0
x
0
x
u
y 5( x3 x)4 ( x3 x) 5( x3 x)4 (3 x2 1)
t3 (2) y (1 t)2
y
(t 3 )(1
t )2 t 3[(1 (1 t )4
t )2 ]
3t 2 (1 t )2 t 3 2(1 t )(1)
(1 t )4
3t 2 t 3 (1 t )3
(9)(secx) secx tan x
(11)(arcsin x) 1 1 x2
(13)(arctan x )
1
1 x2
(10)(cscx) csc x cot x
(12)(arccos x) 1
1 x2
(14)(arc
cot
x)
1
1 x2
习题三
1.将一物体垂直上抛，物体上升高度S与时间t的
y 10( x )9 ( x ) 1 x 1 x
10(
1
x
x
)9
1 x x (1 x)2
10x9 (1 x)11
(6) y ln ln ln x 设y ln u,u ln v,v ln x
y (lnu) (lnv) (ln x) 1 1 1 uv x
1 1 1
1
lnln x ln x x x ln x ln ln x
5.求抛物线y x2上点(3,9)处切线方程.
解： y 2x 6
(3,9)
(3,9)
y 9 6( x 3)
切线方程为 y 6x 9
6.当x取何值时，曲线y x2与y x3的切线平行。
解： 两曲线的切线斜率分别为：
k1 ( x 2 ) 2x k2 ( x 3 ) 3x2 若两曲线切线平行，则 k1 k2
)
a2 x2
则过( x0 , y0 )的切线方程为
y
y0
a2 x02
(x
x0 )
S
1 a2 [
2 x0
y0 ]2
x02 a2
1 (a2 x0 y0 )2
2
x02
x02 a2
1 (a2 2
a2 )2 x02
x02 a2
2a2
18.利用复合函数求导法求下列函数的导数
(1) y ( x3 x)5
第三章 小结
一、导数
定
f ( x0 )
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
义
f
( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
充要条件 f ( x0 ) A f( x0 ) f( x0 ) A
( x0 , y0 )
y y0 f ( x0 )( x x0 )
lim
x0
x
f [x (x)] f ( x)
lim
x0
x
f ( x)
所以f ( x)为偶函数。
15.求下列函数的导数
(1) y 3x2 x 5
y 6x 1
(2) y (ex)ab
y eab ( xab ) eab (a b) xab1
(3) y 2 x 1 4 3 x
1
sin t
csc t cot t 1 cos t
y
cos t(1
cos t) sin t( sin t) (1 cos t )2
cos t 1 (cos t 1)2
1 cos t
1
(21) y
2 x3 1
y
2
(
(x x3
3 1) 1)2
6x2 ( x 3 1)2
(22) y 1 (1 2x3 ) sin
y
y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
切线方程 法线方程
求导法则 u u( x), v v( x)
(u v) u v
(cu) cu
(u v) uv uv (u v w) uvw uvw uvw
( u) v
uv uv v2
(v
0)
(
1 v
)
v v2
(v
0)
反函数求导法
f (x)与( y)互为反函数
(3) y f ( x)[ln f ( x)]
隐函数求导法 ( x, y) 0
高阶导数
x
(
x,
y)
0
解出y
y
d2y dx 2
逐次求导即可
可微 可导 连续
二、微分
y Ax x y dy
dy f (x)dx （微分的计算公式）
六、基本导数公式 (其中c、、a为常数，且a 0，a 1)
3
y 1 (0 6x2 ) 6 x2
16.求下列函数的导数
(1) y
ex ex
ex ex
(e x ) e x ( x) e x
y
(e x
ex
)(e x
ex (e x
) (e x ex )2
e x )(e x
ex
)
(e x e x )2 (e x e x )2
(e x ex )2
解：由于可导必连续，则f ( x)在(,)上连续. 显然，f ( x)在(,1) (1,)上连续.
x 1处 f (1 0) lim x2 1 f (1) 1 x1
f (1 0) lim(ax b x ) a b x1
要想x 1处连续，则f (1 0) f (1 0) f (1) 1
(7) y ln tan x
u
y 1 sec2 x 2
tan x
sin 2x
(9) y 1 ln2 x
y
1
(1
ln2
1
x) 2 (1
ln2
x)
1
(1
ln2
1
x) 2 2ln
x
1
2
2
x
(12) y 5tan x tan
5
8
ln
x
(1
ln2
1
x) 2
x
y 5(tan x ) (tan ) 5sec2 x ( x ) 0
2cos x e x
x (6) y 4x
y
x4 x
x(4x ) 42x
4x
x4x 42 x
ln 4
1 x ln4 4x
17.证明双曲线xy a2 上任意一点的切线与两 坐 标轴 形成 的三 角 形的面 积等 于常 数2a 2
解： 设( x0 , y0 )为双曲线上任一点
y
a2 (
x
已知f ( x0 )
原式 lim f ( x0 h) f ( x0 )
h0
h
lim h0
f
( x0
h) h
f ( x0 )
f
( x0 )
4.设函数f ( x)在x 0处可导，且f (0) 0,求(1)lim f ( x) x0 x
解：
已知f (0)存在，且f (0) 0
原式 lim f ( x) f (0) f (0) x0 x 0
1 ( 1 x2 )2 2 1 x2
x
x 1 x2
(29)
y
tan 1
ex
sin
1
x
y
tan 1
(e x
) sin
1
tan 1
e x (sin
1 )
x
x
tan 1
ex
sec2
1 x
(
1 x2
) sin
1 x
tan 1
ex
cos
1 x
(
1 x2
)
1 x2
e
tan
1 x
(sec2
1 x
y 1 x 1 2x 3 x2 2 x( x 3) x( x 1)(x 3)
5
8
55Байду номын сангаас
sec2 x 5
sin2 x (17) y sin x2
y
2 sin
x
cos
x sin x2 sin2 sin2 x2
x
cos
x2
2x
sin 2 x sin x2 2 x sin2 x cos x2
sin2 x2
(24) y arcsin 1 x2
y
1
1 (2x)
a b 1 ①
f
( x)
a
2
b x
x1
2x x 1
由题可知，原函数的导数连续.则其导数必在x 1处连续
f (1 0) lim 2x 2 f (1) 2 x1
f (1 0) lim(a b ) a b
x1
2x
2
f (1 0) f (1 0) f (1) 2 a b 2 ② 2
(1)(C ) 0
(3)(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(5)(sin x) cos x
(2)( x ) x 1
(4)(loga
x )
1 x lna
(ln x ) 1
x
(6)(cos x) sin x
(7)(tan x) sec2 x
(8)(cot x) csc2 x
sin
1 x
cos
1 )
x
19.利用对数函数求导法求下列函数的导数
(1) y x 1 x( x 3)
解 等式两边取对数得
ln y 1 (ln x 1 ln x ln x 3 ) 2
上式两边对 x求导得
y 1 ( x 1) 1 ( x 3)
[
]
y 2 x1 x x3
y 1 y( 1 1 1 ) 1 y 2x 3 x2 2 x 1 x x 3 2 x( x 1)( x 3)
由① ②可知 a 3，b 2
11.设f ( x)是可导的奇函数，试证f ( x)为偶函数。
证：因为f ( x)为可导的奇函数，所以 f ( x) f ( x)
f ( x) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
lim f [( x x)] f ( x)
x0
x
f ( x x) f ( x)
y
2
2
1 x
(1)
1 x2
11 x x2
(4) y
1 2
x2
1 x2
x
x
x
x7
y4
x
2 x3
7 4
3
x4
(7) y 1 1 1 1 x 1 x
x 1 1 x
x
2 1 x
y
(1
2 x)2
(8) y (1 axb )(1 bxa ) 1 bxa axb abxab
y abxa1 abxb1 ab(a b)xab1
(10) y 1 sin t 1 cos t
y
( cos t )(1
cos t) (1 (1 cos t )2
sin t)( sin
t)
sin t cos t 1 (1 cos t )2
(11) y x ln x y x ln x x(ln x) ln x 1
(17) y
(e2x 2 e2x ) (e2x 2 e2x )
(e x ex )2
4 (e x ex )2
(3) y (cos x sin x)e x
y (cos x sin x)e x (cos x sin x)(e x )
( sin x cos x)e x (cos x sin x)e x
f (0) 1
f
(0)
lim x0
f ( x) f (0) x0
(1 x) 1
lim
1
x0
x
f
(0)
lim
x0
f ( x) f (0) x0
(1 x) 1
lim
1
x0
x
即 f(0) f(0), 故在 x 0处不可导.
9.确定常数a, b.使函数
f
(
x)
ax
b x2
x
x 1 有连续的导数 x1
f ( x) 1
( y)
复合函数求导法
设y f (u)，u ( x), 则复合函数y f [( x)]的导数
{ f [(x)]} f (u) (x).
即 dy dy du 或
dx du dx
yx yu ux
对数求导法 y f (x)
(1) ln y ln f ( x)
(2) 1 y [ln f ( x)] y
(3) y
1 1 x2
(1
x2
1
)2
y
1
(1
x2
)
3 2
(1
x
2
)
2
x(1
x
2
)
3 2
1
(1
x2
3
)2
(2 x )
2
(4) y (1 x2 )3 1 x
u
y
3(1 x2 )2 1 x
(1 x2 ) 1 x
3(1
x2 )2 ( x2 (1 x)4
2x
1)
(5) y ( x )10 1 x