高中数学任意角的三角函数-

《任意角的三角函数》教案一、教材分析“任意角的三角函数”是人民教育出版社（A 版）普通高中标准实验教科书数学必修4第一章第二节的内容，是第一章“任意角和弧度制”的后继内容。

1、主要教学内容：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=•+=•+=•+符号；域和函数值在各象限的、三种三角函数的定义、公式一义弦、余弦、正切）的定、任意角三角函数（正知识结构图：利用单位圆理解任意角的三角函数3tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(:2;1)(απααπααπαk k k 2、教材的地位与作用：“任意角的三角函数”是高中数学十分重要的内容，本节是三角函数第一章第二节第一课时，主要学习任意三角函数的定义，它是这一章也是整个三角函数部分的重要基础知识，在教材内容结构上起到一个承上启下的作用，对三角函数的整体学习也至关重要。

同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。

最后对任意角的三角函数的探究过程中，使学生经历了观察、归纳、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，提高了他们探究问题、分析问题、解决问题的能力，帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，为以后的学习奠定了扎实的基础。

所以这个内容要认真探讨教材，精心设计过程。

二、学情分析1、知识基础：在初中时，学生已经学了“锐角三角函数”为本节理解三角函数的几何意义有帮助，以及在本章第一节“任意角与弧度制”的内容中学生用坐标不仅找出来任意角与象限角，而且还了解了它们的含义与性质，对角的范围和表示方法有所了解，学习了弧度制，学生能够把以前所学过的角度都在弧度制下表示出来。

2、能力基础：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，相对于初中学生来说已经相对成熟，能在教师的引导下独立的解决问题。

3、习惯情况：班级学生基础知识较扎实、思维较活跃，能较好的应用数形结合解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。

三、教学重难点1、重点：①任意角三角函数的定义及分别在各个象限的符号判断法；②终边相同角的诱导公式（一）；2、难点：从函数角度理解以实数为自变量的任意角的三角函数，以及单位圆、有向线段的应用。

四、教学目标1、知识与技能目标：借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义：①能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数；②能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示任意角的三角函数；③知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2、渗透数学的思想方法：①学生的积极参与，亲身经历，通过观察，利用几何画板让同同学们进一步理解任意角在坐标系中的几何样貌，体验坐标的优越性，数形结合思想的运用；②老师引导学生回忆初中锐角三角函数的知识内容，提出猜想，运用几何画板，验证任意角的几何性质，提出单位圆的思想，感受计算机科技工具的快捷方便性，培养学生利用多媒体解决问题的方法；③推导任意角的三角函数的过程类似于数学建模的过程，它贯穿了解析几何的始终，通过适当的建立坐标系与构造单位圆的方法，回忆以往三角函数的性质带入坐标系中，让学生有一种回忆旧知的习惯。

总结规律，掌握方法，为后面三角函数的诱导公式等学习提供示范。

3、情感态度与价值观：①通过培养学生主动探究、合作交流的过程，加强了学生团队协作意识，感受探索的乐趣和成功的喜悦；②养成实事求是的科学态度和锲而不舍的精神；③激发学生的学习兴趣、增强数学应用和创新意识，体会数学的美感，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；④应用多媒体、几何画板等教学，提高学生的活跃性，让知识具有科学依据。

五、教学教法1、教法：数学是集抽象与实践为一体的重要学科，因此在教学过程中，不仅要使学生“知其然”还要使学生“知其所以然”。

考虑到学生的现状，主要采取“温故知新，逐步拓展”的形式让学生真正参与到教学，在学习中，得到体验。

通过复习锐角三角函数的定义结合前面角的概念的推广提出问题：如何修正三角函数的定义？进一步扩展所学内容，发展新知识，从而激起学生探求新知的欲望，调动学生参与学习的积极性。

教学中运用多媒体工具提高直观性增强趣味性，并注意用新课程理念处理传统教材，使学生在学习活动自主探索、动手实践、合作交流，教师发挥引导者、合作者的作用，引导学生主动参与、揭示本质、经历过程、收获成果。

主要以“教师主导、学生主体”的原则，采用“启发、引导发现式”教学方法组织教学。

2、学法：在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，让学生从机械的“学答”向“学问”转变，从“学会”向“会学”转变，成为真正的学习的主人。

这节课在指导学生的学习方法和培养学生的学习能力方面主要采取以下方法：分析归纳法、自主探究法、总结反思法。

同时学生具备一定的自学能力，教学中通过学生对已掌握的知识进行拓展,既培养学生从现有知识探索新知识的能力,又提高了学生解决问题的数学思想与数学意识。

六、教学准备1、常规媒体（黑板）；3、“几何画板”、ppt 课件制作。

（为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维。

）七、教学程序1、设立情景、引入课题A 、提问形式：上节课已经学习了角的推广，我们推广到了任意角，那么任意角给你留下印象最深的是什么？（预测答案：1、一个角可以表示出无数个角[补充：这些角就是在直角坐标系中与它终边相同的角，也就是相差360度整数倍是吧]；2、角度可以是正角、负角、零角；3、能够用角度表示它对应的弧长[补充：那么这个就是用弧度制来度量是吧，这样一个角就可以弧度数来表示它]4、如果把角放在直角坐标系中，当它终边一圈一圈转时，可以看见一种周而复始的现象[演示几何画板：以原点为顶点，x 轴非负半轴为始点，绕着顶点转动，角周而复始的现象，补充：其实最关键的是这个角是由旋转生成的]）任意角的三角函数多媒体展示图片让学生举出实例函数？圆周运动引入：任意角转动⇒⎭⎬⎫↵−→−−−→−)()( （圆周运动时生活一个非常重要的运动，函数是数学当中用来刻画客观世界变化规律的一个数学模型，那就产生了这样一个问题：任意角的这种圆周运动应该用什么样的函数来刻画它呢？）2、启发诱导，探索新知A 、 【启发诱导】：在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

上节课老师给大家布置了一个课后作业就是去复习锐角三角函数的定义，初中学的三角函数是在什么图形中定义的？（直角三角形），那么现在我们的角放在直角坐标系里面，我们要定义三角函数是不是同样需要一个直角三角形？B 、 【学生探索】：现在同学们结合所学的知识在纸上用直角坐标系来表示出锐角三角函数，老师等一下要抽同学来展示自己的成果。

（抽同学将成果贴在黑板上，并讲解自己的思路。

）（总结补充：设锐角α的顶点与原点O 重合，始边以x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P(x,y),它与原点的距离022>+==y x r OP ，根据初中学过的三角函数我们有：xy r x r y ===αααtan ,cos ,sin 。

） （1）锐角三角函数定义：A 、【老师启发】： 【问题1】这个就是锐角三角函数，它反映的是直角三角形中边角的关系，那么锐角三角函数它是不是真的函数呢？从高中函数定义这个角度你能不能解释一下呢？（预测回答1：ry =αsin 是函数，因为每一个y 都有唯一的x 与之对应（那这就涉及到一个问题了：这里自变量是（α）谁是函数值呢（y ））（预测学生纠正：函数值应该是ry ） 【问题2】那么按照高中函数的定义你怎么来解释它就是函数？（预测答案2：y 取一个值时都有唯一的α与之对应）（预测学生纠正：应该是取定一个α值，有唯一的ry 与它对应的） B 、【老师总结】：唯一确定的定任取ry −→−α（那么只要满足这样一个关系就是一个函数是吧，于是x y r x ==ααtan ,cos 同理） 22y x r +=(2)、单位圆思想：A 、【老师启发】：（任取α，ry 这个比值是唯一确定，那这个比值是不是和P 点的位置有关呢（是的）这个比值是随着P 点的变化而变化吗？那我角给定的情况下会不会改变它的比值呢？（不会），为什么（因为角给定了，sin(α)是定的所有比值是不变的））（几何画板播放）当角α给定时，P 在终边上运动，坐标变化，但是比值不变，这是为什么呢？依据是什么（相似），所以有了相似的比可以保证我们的ry 这个比值并不是随着终边上点的位置变化而变化的，只要角给定了这个比值也是给定了的。

既然 r y 这个比值与点在终边上的位置无关，那这个点可以在终边上位置随意取吧（可以），那么一般我们取什么地方比较好呢（r=1），那r=1时有什么好处？是不是直接可以写出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===−→−⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====x y x y x y r x r y r ααααααtan cos sin tan cos sin 1 那么此时x 、y 对应的几何含义是什么？如果把x 、y 看成一个点P(x,y)这个点是一个怎样的点？B 、【老师总结】：P(x,y)是单位圆与角α终边的交点。

当角α是锐角时，就可以得到一个结论 xy x y ===αααtan ,cos ,sin ,找到了这个边和角的关系。

（3）、利用单位圆与锐角三角函数的定义，定义任意角的三角函数：A 、【老师引导】：而且我们发现当α是锐角的时候，ry =αsin 就是一个函数，是以角为自变量，y 为函数值得一个函数，那我们能不能用它来刻画整个圆周运动呢？刚才呢角是锐角的时候，我们找到了这些量之间的关系，那如果这个角是钝角呢？这个关系还有没有呢？（几何画板）我把它变为钝角，大家发现钝角现在不好放在直角三角形中了，但是给你一个角是不是依然有一个x 、y 与它对应啊？（是），那如果我把它变成第三象限角，是不是仍然有个x 、y 与它对应啊？（是），也就是无论角怎么改变，那么就有一个结论，任给一个角都有一唯一的x 、y 与它对应是吧（是），利用之前锐角三角函数的定义，那同样我们也可以说明，就把这个y 叫做α的正弦，x 就叫它的余弦：;tan tan )3(;cos ,cos )2(;sin ,sin )1(),,(xy x y x x y y y x P ===αααααααααα，即的正切，记做叫做即的余弦，记做叫做即的正弦，记做叫做那么：边与单位圆交于点是一个任意角，它的终设任意角三角函数定义：那么这三个以角为自变量，以坐标或者坐标的比值为函数值的函数，我们就把它称作是任意角的三角函数。