三角形内角和

学习目标 1．能够灵活应用三角形的隐含条件①三角形的内角和为180︒②三角形的外角和③内角和外角互为邻补角。2．能够利用解方程的思想来计算三角形的角度。 重点：能够灵活应用三角形的隐含条件①三角形的内角和为180︒②三角形的外角和③内角和外角互为邻补角。难点：能够利用解方程的思想来计算三角形的角度。 学习过程 一：课前复习

二、知识点、概念总结

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

(1)

C

B

A

2.三角形的分类

3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

5.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

6.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

7.高线、中线、角平分线的意义和做法

8.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

9. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°

推论1 直角三角形的两个锐角互余；

推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；

推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；

三角形的内角和是外角和的一半。

10. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。

11.三角形外角的性质

（1）顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；

（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；

（4）三角形的外角和是360°。

12.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

13.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

14.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 15.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

16.多边形的分类：分为凸多边形及凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形。多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。 17.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

18.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 19.公式与性质

多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180° 20.多边形外角和定理：

(1)n 边形外角和等于n ·180°－(n －2)·180°=360°

(2)多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n 边形内角和加外角和等于n ·180° 21.多边形对角线的条数：

（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。 （2）n 边形共有

2

3)

-n(n 条对角线。 5、练习

1、求下列各图中∠1的度数；

2、给你一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

课前预习

（1）三角形的外角和为

1 75︒

60︒ 35︒ 1 58︒ 55︒ 35︒ 1 60︒

38︒

20︒ 45

︒

30︒ 1 90︒

D C B A

（2）四边形的内角和等于多少度？ 。四边形形的外角和为 （3）你能求出五边形的外角和吗？ （4）猜想：n 边形的外角和等于多少度？

归纳：归纳：任意多边形的外角和等于 °。 尝试练习

（1）六边形的内角和是 ，外角和是 ．

（2）一个多边形的内角和与外角和都是360°，这个多边形是 边形． （3）一个十边形所有内角都相等，它的每一个外角等于 度．

（4）多边形边数增加一条，则它的内角和增加 度，外角和 ． （5）一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为 ．

（6）一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角，这种多边形是几边形？能确定它的每一个外角的度数吗？

例题讲解

例1、如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，∠B=∠BAD ，∠ADC=80°，∠BAC=70°.

求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数. 例2．已知：如图△ABC 的∠B 和∠C 平分线相交于点O ，

①若∠ABC+∠ACB=100°，求∠BOC 的度数.

②∠A=80°，求∠BOC 的度数. ③试说明∠A 和∠BOC 的关系

例3. 如图，BE 、CE 分别平分∠ABC 与∠ACD ， 求∠A 与∠E 的关系

例4 如图，BF 、CF 分别平分∠DBC 与∠BCE ， 求∠A 与∠F 的关系

A B C

O A B

C

A B E

E

D C B A

（三）课堂练习 1．已知∠A 、∠B 、∠C 是△ABC 的三个内角 （1）如果∠A ＝90︒，∠C ＝40°，那么∠B ＝

（2）如果∠A ＝90°，∠B ＝2∠C ，则∠B ＝

（3）如果∠C ＝3∠A ，∠A ＋∠B ＝120°那 么∠A ＝ ，∠B ＝ ，∠C ＝ 2.如图△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于I ，若∠A ＝80°则∠BIC ＝ ，当∠A ＝ 时∠BIC ＝135° 3．如图在△ABC 中，∠C ＝90︒，∠CAB 、∠CBA 的平分线相交于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，求∠ADE

4.如图，AD ，CE 是△ABC 的高， 已知AD ＝10，CE ＝9，AB ＝12，求BC 的长

课后练习 1．任意多边形的外角和等于 ．

2．（1）一个多边形，它的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是 （ ）．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

（2）一个多边形， 它的每个内角都等于相邻外角的5倍， 则这个多边形是( ) A ． 正五边形 B ． 正十边形 C ．正十二边形 D ．不存在．

3．一个n 边形的每一个外角都等于72°，则n = ，它的内角和是 。 4．（1）n 边形的内角和等于 ，多边形的外角和都等于 ．

（2）一个多边形的内角和等于它的外角和，那么这个多边形是 边形．

（3）一个多边形的每个外角都是300

， 则这个多边形是 边形． （4）一个十边形所有内角都相等，它的每一个外角等于 度．

（5）一个五边形五个外角的比是2：3：4：5：6，则这个五边形五个外角的度数分别是 ． （6）多边形边数增加一条，则它的内角和增加 度，外角和 ．

5．一个多边形的外角和是内角和的1

5

，它是几边形？

D

E A B C

A B C

I