新北师大版反比例函数的图像与性质第二课时ppt
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九年级数学北师大版(上册)《6.2反比例函数的图象》(共15张PPT)
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反比例函数的图象和性质
1.形状 反比例函数的图象是由两支曲线组成的, 因此称反比例函数的图象为双曲线.
2.位置 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内; 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内.
归纳:反比例函数的图象和性质: 图象性质见下表:
y= k
K>0
K<0
x
图 象
6.2反比例函数的图象与性质
y
O
x
1.什么是反比例函数? k
一般地,形如 y = —x( k是常数, k ≠0 ) 的函数叫做反比例函数.
2.反比例函数的定义中需要注意什么?
(1)k 是非零常数.
(2)xy = k.
3.还记得一次函数的图像与性质吗?
函数 正比例函数 反比例函数
解析式
y=kx(k是常数,k≠0) y =
【典例解析】
-4 1.画出函数y = — 的图x 象
【解析】1.列表:
x
… -8 -4 -3 -2 -1 1 … 1 1 2 3 4 8
2
2
y 4 … 1 1
x
2
4 3
2
4 8 … -8 -4 -2 4 -1 1
3
2
2.描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标 系内描出相应的点.
3.连线:用光滑的曲线顺次连接各点,就可得到图象.
函数图象画法 描点法
列 表
描 点
连 线
提问:反比例函数的图像与性质又如何呢? 这节课开始我们来一起探究吧。
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?
1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点, 尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一 些点,这样既可以方便连线,又可以使图象精确. 2.描点时要严格按照表中所列的对应值描点,绝对不能把 点的位置描错. 3.连线时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连 线时必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接. 4.图象是延伸的,注意不要画的有明确端点. 5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.
北师大版中学数学九年级上册 反比例函数的图象与性质(第2课时) 课件PPT
.
∵ 点(, )在反比例函数的图象上,
∴=
= .
∴ 的坐标为(,).
知识讲解
∵一次函数的图象经过点,,将这两个点的坐标代入 = + ,得
− = − + ,
ቊ
= + ,
= ,
解得ቊ
= −.
∴所求一次函数的解析式为 = − .
x
知识讲解
总结
过双曲线 = 上任意一点 分别作 轴、 轴的垂
线 , ,连接 .
矩形 = ∙ = • = ∙ .
∵ =
,∴
∙ = .
∴ 矩形 = , △ = △ =
2
.
知识讲解
例3
∴ = × − + = .
∵ 点 , 在反比例函数 = 的图象上,∴ = .
∴ 反比例函数的解析式 =
.
19
课堂小结
反比例函数的图象和性质
• 形状 反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此称
反比例函数的图象为双曲线;
• 位置 当 > 0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;
2.反比例函数比例系数的几何意义
y
探究交流
4
1.在反比例函数 y
的图
x
5
4
3
2
1
象上分别取点,向x轴、y
轴作垂线,围成面积分别为
1
-5 -4 -3 -2 -1
O 1
-1
•
2
2
3
•
4
5
北师大版九年级数学上册反比例函数的图象和性质教学课件
x
(1) 经过点 (-1,12) 和点 (10,-1.2); (2) 在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小; (3) 双曲线位于二、四象限. 其中正确的是___________(填序号).
18
15
(2)S△AOB
y C
A
O
18
B
D
x
16
9. 如图,反比例函数 y 8 与一次函数 y =-x + 2 x
3.如图,点P是反比例函数 图象上的一点,过点P分别
y
pN M ox
向x轴、y轴作垂线,若阴影
部分面积为1,则这个反比 y 1
例函数的关系式是 .
x
北师大版九年级数学上册反比例函数 的图象 和性质 教学课 件
18
11
4.如图所示,P1、P2、P3是双曲线上的三 个点,过这三点分别作y轴的垂线,得三
x
坐标轴的垂线(或平行线),与坐标轴所围成
的矩形的面积S矩形= |k|1.8
18
数y 2
x
上,且y1<y2<0,(1)则x1___x2
(2)画出函数的大致图像,根据图像得,
若y>1, 则x的取值范围_______
若2<x< 4,则y的取值范围________
若-2<y< 4,则x的取值范围__________
北师大版九年级数学上册反比例函数 的图象 和性质 教学课 件
18
8
北师大版九年级数学上册反比例函数 的图象 和性质 教学课 件
A.S=1 B.1S2 C.S=2 D.S2
18
13
6. 若点 P 是反比例函数图象上的一点,过点 P
分别向x 轴、y 轴作垂线,垂足分别为点 M,
(1) 经过点 (-1,12) 和点 (10,-1.2); (2) 在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小; (3) 双曲线位于二、四象限. 其中正确的是___________(填序号).
18
15
(2)S△AOB
y C
A
O
18
B
D
x
16
9. 如图,反比例函数 y 8 与一次函数 y =-x + 2 x
3.如图,点P是反比例函数 图象上的一点,过点P分别
y
pN M ox
向x轴、y轴作垂线,若阴影
部分面积为1,则这个反比 y 1
例函数的关系式是 .
x
北师大版九年级数学上册反比例函数 的图象 和性质 教学课 件
18
11
4.如图所示,P1、P2、P3是双曲线上的三 个点,过这三点分别作y轴的垂线,得三
x
坐标轴的垂线(或平行线),与坐标轴所围成
的矩形的面积S矩形= |k|1.8
18
数y 2
x
上,且y1<y2<0,(1)则x1___x2
(2)画出函数的大致图像,根据图像得,
若y>1, 则x的取值范围_______
若2<x< 4,则y的取值范围________
若-2<y< 4,则x的取值范围__________
北师大版九年级数学上册反比例函数 的图象 和性质 教学课 件
18
8
北师大版九年级数学上册反比例函数 的图象 和性质 教学课 件
A.S=1 B.1S2 C.S=2 D.S2
18
13
6. 若点 P 是反比例函数图象上的一点,过点 P
分别向x 轴、y 轴作垂线,垂足分别为点 M,
新北师大版反比例函数的图像与性质第二课时ppt
p (x, y)
N
P
M ox
o D
x
跟踪训练
1.如图,点P是反比例函数图象上的一
点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴
影部分面积为3,则这个反比例函数的
3 y x . 关系式是
y
p M
N
o x
跟踪训练
2.如图,已知点A在反比例函数图象上, AM⊥x轴于点M,且△AOM的面积为1,则反 2 y x。 比例函数的解析式为
联系拓广
2. 已知函数 y a 1 x ,在每一个象限 内y随x的增大而减小,求a的值和表达式.
当函数为反比例函数时 解:依题意得 :
a2 a 7
当函数为正比例函数时…… a 1 0(1) 2 a a 7 1(2) 由(1)得:a 1
由(2)得:a 2, a 3 1(舍去) 1 a的值为2,反比例函数为y= x
在每一个象限内,y随x的增大而减小
2 4 6 如果k=-2, -4,-6,那么 y , y , y x x x
的图象有又什么共同特征?
自主探究、领悟规律
k<0
(1)函数图象分别位于哪个象限内?
x>0时,图象在第四象限;x<0 时,图象在第二象限
(2)在每个象限内,随着x值的增大,y的值怎样变化?
反比例函数的图象和性质
第二课时 y y
o
x
o
x
反比例 函数
k y= x
图 象
y 0 x
图象的 位置
位于第一、 三象限内
图象的 对称性
两个分支 关于坐标 原点成中 心对称, 且关于直 线y= x 和 y=-x成 轴对称
北师大版数学九年级上册课件6.2反比例函数的图象和性质23张PPT
在一个反比例函数图象上任取一点P与x、y轴作垂线分别交点A、B,则矩形AOBP的面积为|k|.
∴点 B 的坐标为(-4,-2). 在每个象限内,随着x的值得增大,y增大
(1)函数图象分别位于哪几个象限内?
∵一次函数 y=kx+b 的图象经过 A,B 两点, 在每一个象限内,y 随 x 的增大而增大.
比例函数 y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的大致图象,其中 较准确的是( )
B
A
B
C
D
6.如图,已知菱形 ABCD 的对称中心是坐标原点 O,四
个顶点都在坐标轴上,反比例函数 y=k(k≠0)的图象与 AD 边
在每一个象限内,y 随 x 的增大而增大.
x
当k>0时,y随x的增大而增大
1 当k>0时,y随x的增大而增大 -4, 设点A的坐标是(x1,y1),故 交于 E 2 ,F(m,2)两点. (2)在每个象限内,随着x的值得增大,y的值是怎样变化的?能说明这是为什么?
A.3 B.-3 C.32 D.-3
2
2.(永州中考)如图,反比例函数 y=k(k 为常数,k≠0) x
的图象经过点 A,过 A 点作 AB⊥x 轴,垂足为 B.若△AOB
的面积为 1,则 k=__-____2___.
3.(随州中考)如图,在平面直角坐标系中,将坐标原 点 O 沿 x 轴向左平移 2 个单位长度得到点 A,过点 A 作 y 轴的平行线交反比例函数 y=kx的图象于点 B,AB=32.
∴点 A 的坐标为(2,4). y1> y2 > y3
B.
在第一,三象限内,y随x的增大而减小
当k>0时,y随x的增大而增大
8 当k>0时,在每一象限内y随x的增大而减小, 在反比例函数 y= 中,令 y=-2,得 x=-4. S1,S2之间有什么关系?为什么
专题6_2 反比例函数的图象和性质(第2课时)-九年级数学上册教材配套教学课件(北师大版)
归纳:
k
对于反比例函数 y ,
x
点 Q 是其图象上的任意一
点,作 QA 垂直于 y 轴,作
QB 垂直于x 轴,矩形AOBQ
的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ= |k| .
y
A
•Q
O B
x
推理:△QAO与△QBO的
面积和 k 的关系是
k
S△QAO=S△QBO=
.
2
反比例函数的
面积不变性
练一练
3
A. 2
ABC
1
,则 k 的值是(
B.3
5
C. 2
)
D.2
k
k
【详解】解: 如图,反比例函数 y= x (k≠0,x>0)与反比例函数 y=− x (k≠0,x<0)的
图象关于 y 轴对称,延长 GF 交 x 轴于 M,设 AB 交 y 轴于 N.
1
3
5
∴ AN BN 2 AB 2 ,NH=OM= 2 ,
k
∵点 A、C 在反比例函数 y= x 的图象上,
3 2k
5 2k
∴A ( 2 , 3 ) ,C ( 2 , 5 ) ,
又∵ S
ABC
1
,
∴ 2 AB•CH=1,
1
∵AB=3,
∴CH= 3 ,
2
∵点 A、C 纵坐标的差是 CH,
2k
2k
即35
2
3
,
5
解得 k= 2 ,
故选 C.
k
5.如图,P 是反比例函数 y = x 图象上一点,过 P 作 x 轴的垂线 PA,若 S
直角坐标系中是怎样一种情况呢?可以试着动手画一画.
北师大版数学九年级上册反比例函数的图象与性质课件
x
同特征?
y y 2
x
y y 4 x
y y 6 x
O
x
O
x
O
x
概念归纳
反比例函数 y k 的图象,当k>0时,在每一象限内,y随x的增大
x
而减小;当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
典例精析
例1:已知反比例函数 y k 的图象过点(-2,-3),函数图象上 x
有两点A( 2 7, y1),B(5,y2) ,C(-8,y3) ,则y1与y2、y3的大小关系为
(C )
A.y1> y2 > y3 C.y2 > y1 >y3
B.y1< y2 < y3 D.不能确定
解析:已知反比例函数过点(-2,-3),所以可知k > 0 ,可判断 y1>0, y2 > 0, y3 < 0. 由概念可知,当k >0时,在每个象限内,y随 x的增大而减小,所以y2>y1>0>y3.
为: y 8 . x
(3)根据反比例函数图象的中心对称性可补画 出另一支,图象略.
课堂小结
反比例函数的性质
性质
当k>0时,在每一象限内,y的值随x 的增大而减小.
当k<0时,在每一象限内,y的值随x 的增大而增大.
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
y
B
A
A. y 1
2x
O
B. y 1
x
x
C. y 2
x
D. y 1
4x
2.下列关于反比例函数 y 12 的三个结论: x
(1)它的图象经过点(-1,12)和点(10,-1.4);
(2)它的图象在每一个象限内,y随x的增大而减小;
同特征?
y y 2
x
y y 4 x
y y 6 x
O
x
O
x
O
x
概念归纳
反比例函数 y k 的图象,当k>0时,在每一象限内,y随x的增大
x
而减小;当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
典例精析
例1:已知反比例函数 y k 的图象过点(-2,-3),函数图象上 x
有两点A( 2 7, y1),B(5,y2) ,C(-8,y3) ,则y1与y2、y3的大小关系为
(C )
A.y1> y2 > y3 C.y2 > y1 >y3
B.y1< y2 < y3 D.不能确定
解析:已知反比例函数过点(-2,-3),所以可知k > 0 ,可判断 y1>0, y2 > 0, y3 < 0. 由概念可知,当k >0时,在每个象限内,y随 x的增大而减小,所以y2>y1>0>y3.
为: y 8 . x
(3)根据反比例函数图象的中心对称性可补画 出另一支,图象略.
课堂小结
反比例函数的性质
性质
当k>0时,在每一象限内,y的值随x 的增大而减小.
当k<0时,在每一象限内,y的值随x 的增大而增大.
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
y
B
A
A. y 1
2x
O
B. y 1
x
x
C. y 2
x
D. y 1
4x
2.下列关于反比例函数 y 12 的三个结论: x
(1)它的图象经过点(-1,12)和点(10,-1.4);
(2)它的图象在每一个象限内,y随x的增大而减小;
新北师大版反比例函数的图像与性质2ppt课件
k x
(k > 0)
y=
பைடு நூலகம்
k x
(k < 0)
y
在第一、 三象限内
两个分 支关于
0x
原点成
中心对
称,并
y
且关于
在第二、 直线
0 x 四象限内 y= ±x
对称
当k>0时, 在每一象 限内,函 数值y随x 的增大而 减小。
当k<0时,
在每一 象限内,
函数值y随 x的增大而 增大。
面积 不变性
y
pN Mox
5
反比例
函数
y
=
k x
(k > 0)
图 象 图象的
位置
y
在第一、 0 x 三象限内
增减性
当k>0时,在每一象 限内,函数值y随 自变量x的增大而 减小。
y=
k x
(k < 0)
yy
当k<0时,在每
0
x 在第二、 一象限内,函
四象限内 数值y随自变量x
的增大而增大。
6
随堂练习
“试金石”
1.下列函数中,其图象位于第一、三象限的有 _(__1_)_(__2)__(_3_)_;
在其所在的象限内,y随x的增大而增大的有 _____(4_)_____.
(1) y 1 ;(2) y 0.3 ;(3) y 10 ;(4) y 7
2x
x
x
100x
7
2.若关于x,y的函数
y
k+1 x
图象位于第一、三象限,
则k的取值范围是____k__>_-__1______。
3.甲乙两地相距100km,一辆汽车从甲地开往乙地, 把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均
反比例函数的图像和性质2ppt
K
1.如图,点P是反比例函数 y 图 象2 上的一 x
点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 .
1
S△POD
=1
2
OD·PD
y
= 1 mn
2
o
= 1k
2
P (m,n)
D
x
y k
k
x
2
拓展:
反比例函数
上一点P(x0,y0),
过点P作PA⊥y轴,PB⊥X轴,垂足分别为
A、B,则四边形AOBP的面积
为
;且S△AOP
S△BOP
。
=
2.如图,点P是反比例函数图象上的一点, 过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分 面积为3,则这个反比例函数的
关系式是
y
.
3 x
y
p
N
M ox
3.如图:A、C是函数 y 1 x
的图象上任意两点,过A,
B两点分别作X轴和Y轴的垂线,垂足分别为B,D,连接
OA和OC,得Rt△OAB和Rt△OCD,设Rt△OAB和Rt
y
S1
A
S2 S3
B C
o A1 B1 C1
x
2、如图,已知反比例函数 y 1 2 的图象与一次函数 x
y= kx+4的图象相交于P、Q两点,且P点的纵坐标
是6。
(1)求这个一次函数的解析式
y
(2)求△POQ的面积
D
P
C
o
x
Q
3.如图,在平面直角坐标系,正方形OABC的顶点
O与坐标原点重合,点C的坐标为(0,3),点A在X
x
(2,-1),则k的值为-2
;
2、反比例函数y k 的图象经过点
《反比例函数的图象与性质》PPT 北师版课件
∴∠CAF=30°.∴CF= 1 t. 2
将它转化为易求图形面积的和或差来进行计算.如本例就 是将阴影部分面积转化为两个与比例系数相关的特殊三角 形的面积的差来求,要注意转化思想和作差法的运用.
课堂小结
反比例函数
反比例函数的图象由两条曲线组成,它是双曲线.一般地,反 比例函数 y k 的图象是双曲线,它具有以下性质: (1) 当k>0时,x双曲线的两支分别位于第一、第三象限,
作业 提升
课时导入
旧知回顾 (1)如何画反比例函数的图象呢? (2)其步骤是怎样的呢?
感悟新知
知识点 1 反比例函数的性质
知1-导
1.
根据反比例函数
y 6 x
与 y 6 x
的表达式及图
像,探究下列问题:
感悟新知
表达式
图象的位置
y随x的变化情况 知1-导
y 6 x
y 6限内 值随x的值增大而
这三个步骤.
的限制,一般地,实际问题的图
象是反比例函数图象在第一象限
内的一支或其中一部分.
感悟新知
知1-讲
(1)双曲线的两端是无限延伸的,画的时候要“出头”; (2)画双曲线时,取的点越密集,描出的图象就越准确,
但计算量会越大,故一般在原点的两侧各取3~5个点 即可; (3)连线时,要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用 平滑的曲线连接.注意:两个分支不连接.
P∵N,y kx所,得∴的矩xy形=kP,M∴ONS的=|k面|,积即S 过= P双M曲·线P上N任= |意y 一| ·点| x作| =x
|xy|. 轴、y
轴的垂线, 所得的矩形面积为| k |.
2. 三角形的面积:
过双曲线上的任意一点E 作EF 垂直于y 轴,垂足为F,连接
将它转化为易求图形面积的和或差来进行计算.如本例就 是将阴影部分面积转化为两个与比例系数相关的特殊三角 形的面积的差来求,要注意转化思想和作差法的运用.
课堂小结
反比例函数
反比例函数的图象由两条曲线组成,它是双曲线.一般地,反 比例函数 y k 的图象是双曲线,它具有以下性质: (1) 当k>0时,x双曲线的两支分别位于第一、第三象限,
作业 提升
课时导入
旧知回顾 (1)如何画反比例函数的图象呢? (2)其步骤是怎样的呢?
感悟新知
知识点 1 反比例函数的性质
知1-导
1.
根据反比例函数
y 6 x
与 y 6 x
的表达式及图
像,探究下列问题:
感悟新知
表达式
图象的位置
y随x的变化情况 知1-导
y 6 x
y 6限内 值随x的值增大而
这三个步骤.
的限制,一般地,实际问题的图
象是反比例函数图象在第一象限
内的一支或其中一部分.
感悟新知
知1-讲
(1)双曲线的两端是无限延伸的,画的时候要“出头”; (2)画双曲线时,取的点越密集,描出的图象就越准确,
但计算量会越大,故一般在原点的两侧各取3~5个点 即可; (3)连线时,要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用 平滑的曲线连接.注意:两个分支不连接.
P∵N,y kx所,得∴的矩xy形=kP,M∴ONS的=|k面|,积即S 过= P双M曲·线P上N任= |意y 一| ·点| x作| =x
|xy|. 轴、y
轴的垂线, 所得的矩形面积为| k |.
2. 三角形的面积:
过双曲线上的任意一点E 作EF 垂直于y 轴,垂足为F,连接
北师大版数学九年级上课件:2 反比例函数图象与性质 第2课时 反比例函数的性质(共21张PPT)
北师版
第六章 反比例函数
2 反比例函数图象与性质
第2课时 反比例函数的性质
反比例函数的性质:
知识点一:反比例函数的性质
【典例导引】
【例1】
如果反比例函数y=
k x
(k≠0),当x>0时,y随x的增大而增大,则反
比例函数的图象经过( B )
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、四象限 D.第二、三象限
A4A5,过点A1,A2,A3,A4,A5分别作x轴的垂线与反比例函数的y=
2 x
(x≠0)
的图象相交于点P1,P2,P3,P4,P5,得直角三角形OP1A1,A1P2A2,A2P3A3,
A3P4A4,A4P5A5并设其面积分别为S1,S2,S3,S4,S5,则S5的值为
1
1
__5__,以此类推Sn=__n__(n≥1的整数).
3 2
,∴
1 2
×OC×BC=
1 2
×(b+1)×1=
3 2
,
解得b=2.∴B(1,3),∴一次函数的表达式为y=x+2.又∵y=
k x
过点B,∴k=
3.∴反比例函数的表达式为y=3x
9.
(天津中考)若点A(-5,y1),B(-3,y2),C(2,y3)在反比例函数y=
3 x
的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( D )
【变式训练】
1. 对于函数y=-51x,当x<0时,下列说法正确的是( B ) A.C.y<0且y随x的增大而减小 D.y<0且y随x的增大而增大
【例2】 已知反比例函数y=1x0,当1<x<2时,则y的取值范围是( C )
A.0<y<5
第六章 反比例函数
2 反比例函数图象与性质
第2课时 反比例函数的性质
反比例函数的性质:
知识点一:反比例函数的性质
【典例导引】
【例1】
如果反比例函数y=
k x
(k≠0),当x>0时,y随x的增大而增大,则反
比例函数的图象经过( B )
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、四象限 D.第二、三象限
A4A5,过点A1,A2,A3,A4,A5分别作x轴的垂线与反比例函数的y=
2 x
(x≠0)
的图象相交于点P1,P2,P3,P4,P5,得直角三角形OP1A1,A1P2A2,A2P3A3,
A3P4A4,A4P5A5并设其面积分别为S1,S2,S3,S4,S5,则S5的值为
1
1
__5__,以此类推Sn=__n__(n≥1的整数).
3 2
,∴
1 2
×OC×BC=
1 2
×(b+1)×1=
3 2
,
解得b=2.∴B(1,3),∴一次函数的表达式为y=x+2.又∵y=
k x
过点B,∴k=
3.∴反比例函数的表达式为y=3x
9.
(天津中考)若点A(-5,y1),B(-3,y2),C(2,y3)在反比例函数y=
3 x
的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( D )
【变式训练】
1. 对于函数y=-51x,当x<0时,下列说法正确的是( B ) A.C.y<0且y随x的增大而减小 D.y<0且y随x的增大而增大
【例2】 已知反比例函数y=1x0,当1<x<2时,则y的取值范围是( C )
A.0<y<5
北师大版九年级数学上6.2反比例函数的图象和性质 (共23张PPT)
〔不相交,x≠0 ,y≠0〕
画函数图象的三个步骤 是什么?
1、列表 2、描点 3、连线
例1.画出函数 y = —4 的图象。 x
例1.画出函数 y = —4x 的图象。
解:
1.列表:
x
… -8
-4
-3
-2
-1
1 -2
…
1 2
1
2
3
4
8
Y=
4 x
…
1 -2
4
-1 - 3
-2
-4 -8 …
8
2
4 3
3.点A〔-2,y1〕,B〔-1,y2〕,C〔3,y3〕
都在反比例函数 y = 4 的图象上, x
比较y1,y2 与y3的大小;
函数名称
正比例函数
函数解 析式和 自变量 取值范 围
y=kx(k≠0) x取一切实数
K>0
K<0
图
y
y
像
ox o x
反比例函数
y k (k 0) x取不为0的
x
所有实数
11
2
2
3
4
8
…
-4
y= x
…
1 2
1
4 3
2
4
8…
-8 -4
-2
-4 3
-1
-1 2
…
.
y
-4
6
y= x
5
.4
3
.
. ..
2 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2
-3 -4 -5 -6
1 2 .3 4. 5 6 x . .
.
.
“行家”看门道
画函数图象的三个步骤 是什么?
1、列表 2、描点 3、连线
例1.画出函数 y = —4 的图象。 x
例1.画出函数 y = —4x 的图象。
解:
1.列表:
x
… -8
-4
-3
-2
-1
1 -2
…
1 2
1
2
3
4
8
Y=
4 x
…
1 -2
4
-1 - 3
-2
-4 -8 …
8
2
4 3
3.点A〔-2,y1〕,B〔-1,y2〕,C〔3,y3〕
都在反比例函数 y = 4 的图象上, x
比较y1,y2 与y3的大小;
函数名称
正比例函数
函数解 析式和 自变量 取值范 围
y=kx(k≠0) x取一切实数
K>0
K<0
图
y
y
像
ox o x
反比例函数
y k (k 0) x取不为0的
x
所有实数
11
2
2
3
4
8
…
-4
y= x
…
1 2
1
4 3
2
4
8…
-8 -4
-2
-4 3
-1
-1 2
…
.
y
-4
6
y= x
5
.4
3
.
. ..
2 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2
-3 -4 -5 -6
1 2 .3 4. 5 6 x . .
.
.
“行家”看门道
反比例函数的图象与性质(第2课时)PPT课件(北师大版)
4.若函数
y m2 x
的图象在其象限内y
的值随值的增大而增大,则m的取值
范围是( B )
A.m>-2 C.m>2
B.m<-2 D.m<2
小结
反比例函数的图象是双曲线
反比例函数的图象的位置与k有怎样关系? 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限 内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小; 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象 限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而 增大.
A.y<-1 B.y≤-1 C.y≤-1或y>0 D.y<-1或y≥0
3.(2013•河北)反比例函数 y m 的图象如图所
示,以下结论:
x
①常数m<-1;②在每个象限内,y随x的增 大而增大;③若A(-1,h),B(2,k)在 图象上,则h<k;④若P(x,y)在图象上, 则P′(-x,-y)也在图象上.其中正确的是
(C )
A.①② B.①③
C.③④ D.①④
4.已知反比例函数
y
k x
,其图象所在的每
个象限内y随着x的增大而增大,请写出一个符
合条件的反比例函数关系式:
y2 x
.
5.老师给出了一个函数,甲、乙、丙三位同
学分别指出了这个函数的一个性质,甲:第
一象限内有它的图象;乙:第三象限内有它
的图象;丙:在每个象限内,y随x的增大而
yk x
•P
S1
•Q
S2
R • S3
S1、S2有什么关系?为什么? S1=S S1、S2 、 S3有什么关系?为什么2? S1=S2= S3
巩固 训练
1.对于反比例函数
y
2 x
,下列说法正
确的是( D )
北师大版九年级数学上册课件:6.2反比例函数的图象和性质(共25张PPT)
概制定了以下几条工作计划: 一、工作方面:
1、努力配合各个班委做好学校和学院 交给的 各项任 务,开 学阶段 主要是 做好班 级 、个人绩效考核工作。然后就是到学 校进行 党课培 训时,积 极组织 班上同 学参加, 进
一步向党组织靠拢; 2、其他辅助类工作。比如协助宣传委 员组织 人员进 行宣传 活动等 等。 二、活动方面:多举行文艺、体育方面 的班级 活动,丰 富同学 们的课 余生活 ,不仅 能 使同学们较充分地利用课余时间,减少 虚度光 阴的情 况,还能 促进同 学之间 的友情 ,
2、反比例函数的图象与性质
反比例 函数
k的符 号
K>0
K<0
y
图象
Ox
y Ox
性质
(1)x的取值范围是x≠0,y的取 值范围是y≠0。 (2)函数图象的两个分支分别位 于第一、三象限,并且在每一象 限内,y的值随x值的增大而减少
(1)x的取值范围是x≠0,y的取 值范围是y≠0。 (2)函数图象的两个分支分别位 于第二、四象限,并且在每一象 限内,y的值随x值的增大而增大
第六章 反比例函数
2 反比例函数的图象与性质
学习目标
知识点一 反比例函数图象的画法
描点法
步骤
方法
自变量的取值应以0(x≠0)为中心,向两边取三对(或三对以上) 列表 绝对值相等而符号相反 以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点
增强班级的凝聚力。 1、在其中组织全班进行一次活动,放 松同学 们心情 的同时 进一步 促进班 级团结 。
具体活动地点、方案在班会上同 学一起表态,再根据大多同学的意见去 组织、 策划;
2、如果在同学学习之余,
图6-1
图6-2
1、努力配合各个班委做好学校和学院 交给的 各项任 务,开 学阶段 主要是 做好班 级 、个人绩效考核工作。然后就是到学 校进行 党课培 训时,积 极组织 班上同 学参加, 进
一步向党组织靠拢; 2、其他辅助类工作。比如协助宣传委 员组织 人员进 行宣传 活动等 等。 二、活动方面:多举行文艺、体育方面 的班级 活动,丰 富同学 们的课 余生活 ,不仅 能 使同学们较充分地利用课余时间,减少 虚度光 阴的情 况,还能 促进同 学之间 的友情 ,
2、反比例函数的图象与性质
反比例 函数
k的符 号
K>0
K<0
y
图象
Ox
y Ox
性质
(1)x的取值范围是x≠0,y的取 值范围是y≠0。 (2)函数图象的两个分支分别位 于第一、三象限,并且在每一象 限内,y的值随x值的增大而减少
(1)x的取值范围是x≠0,y的取 值范围是y≠0。 (2)函数图象的两个分支分别位 于第二、四象限,并且在每一象 限内,y的值随x值的增大而增大
第六章 反比例函数
2 反比例函数的图象与性质
学习目标
知识点一 反比例函数图象的画法
描点法
步骤
方法
自变量的取值应以0(x≠0)为中心,向两边取三对(或三对以上) 列表 绝对值相等而符号相反 以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点
增强班级的凝聚力。 1、在其中组织全班进行一次活动,放 松同学 们心情 的同时 进一步 促进班 级团结 。
具体活动地点、方案在班会上同 学一起表态,再根据大多同学的意见去 组织、 策划;
2、如果在同学学习之余,
图6-1
图6-2
6.2+反比例函数的图象与性质+第2课时+课件+++2023-2024学年北师大版九年级上册数学
;②S1
S2(填“>”、
“<”“=”);
(2)当S1+S2=2时,求k的值及点D、E的坐标.
解:(1)①(4,2);②=.
合作探究
(2)当S1+S2=2时,∵S1=S2,
∴S1=S2=1= k,∴k=2.
∵S1= AD·AO= AD×2=1,∴AD=1.
∵S2= CO·EC= ×4·EC=1,∴EC= ,
大小关系为
变式训练
y1<y2 .
若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都是反比例
函数y=- 的图象上的点,且x1<0<x2<x3,则y1,y2,y3由小
到大的顺序是
y2<y3<y1 .
合作探究
方法归纳交流 解决此类问题,可以利用反比例函数的增
减性,也可以在反比例函数的图象上找到相应的点,从而更直
S矩形OAPB=OA·AP=∣m∣·∣n∣=k.
这时矩形的面积与k有关,说明k是有几何意义的,这就是今
天我们要研究的主要内容.
预习导学
反比例函数图象的增减性
阅读教材本课时“想一想”之前的内容,回答以下问题.
反比例函数y= (k≠0)的图象是
>0时,双曲线分别位于第
双曲线 ,当k
一、三 象限内,同时在每一
第六章 反比例函数
2 反比例函数的图象与性质
第2课时
素养目标
1.掌握反比例函数图象在每一象限内的变化情况.
2.通过数形结合探索反比例函数中系数k的几何意义,并能
应用其解决实际问题.
◎重点:知道反比例函数的增减性及系数k的几何意义.
《反比例函数的图像和性质》PPT教学课件(第2课时)
∵-3<-1,∴y1>y2.
反比例函数中比例系数的几何意义
如图所示,点A在反比例函数 y
3
x
(x >0)的图像上,AB⊥x轴于
B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形OBAC的面积吗?
回答问题:
(1)矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系?
(2)点A在反比例函数图像上,它的横、纵坐标与比例系数之间
反比例函数的图像和性质
第2课时
学习目标
1 通过对反比例函数图像进行比较和归纳,得到反比
例函数的性质,并能灵活运用函数的图象和性质解
决问题. (重点)
2 理解反比例函数的比例系数的几何意义,并会
应用其解决问题. (难点)
知识讲解
6
6
y
y
观察上节课我们画出的反比例函数
与
的
x
x
图像及表达式,探究下列问题:
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.
例1
反比例函数 y
k
x
的图像如图所示.
(1)判断k为正数还是负数.
(2)如果A(-3,y1)和B(-1, y2)为这个函
数图像上的两点,那么y1与y2的大小
关系是怎样的?
解:(1)∵反比例函数
限,∴k>0.
y
k
的图像在第一、三象
x
(2)由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小.
是否有等量关系?
(3)你能求出矩形OBAC的面积吗?
(4)求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系?
解:设点A的坐标为(x,y),则x y=3.
∴S矩形OBAC= x y=3.
拓展思考:
反比例函数中比例系数的几何意义
如图所示,点A在反比例函数 y
3
x
(x >0)的图像上,AB⊥x轴于
B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形OBAC的面积吗?
回答问题:
(1)矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系?
(2)点A在反比例函数图像上,它的横、纵坐标与比例系数之间
反比例函数的图像和性质
第2课时
学习目标
1 通过对反比例函数图像进行比较和归纳,得到反比
例函数的性质,并能灵活运用函数的图象和性质解
决问题. (重点)
2 理解反比例函数的比例系数的几何意义,并会
应用其解决问题. (难点)
知识讲解
6
6
y
y
观察上节课我们画出的反比例函数
与
的
x
x
图像及表达式,探究下列问题:
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.
例1
反比例函数 y
k
x
的图像如图所示.
(1)判断k为正数还是负数.
(2)如果A(-3,y1)和B(-1, y2)为这个函
数图像上的两点,那么y1与y2的大小
关系是怎样的?
解:(1)∵反比例函数
限,∴k>0.
y
k
的图像在第一、三象
x
(2)由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小.
是否有等量关系?
(3)你能求出矩形OBAC的面积吗?
(4)求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系?
解:设点A的坐标为(x,y),则x y=3.
∴S矩形OBAC= x y=3.
拓展思考:
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跟踪训练
• 3.如图,点A是反比例函数图象上一点,过 A点作AB⊥y轴于点B,点C在x轴上,当 S△ABC=2时,则这个反比例函数解析式为 ______.
作业
P157第2、3、4题.
驶向胜利 的彼岸
( k > 0)
k y= x ( k < 0)
y
0
x
位于第二、 四象限内
观察联想、探究新知
观察反比例函数 y , y , y 及其图象,你能发 x x x 现它们的共同特征吗?
2
4
6
k>0
(1)函数图象分别位于哪几个象限内?第一、三象限内
(2)当x取什么值时,图象在第一象限?当x取什么值时, x>0时,图象在第一象限;x<0 时,图象在第三象限。 图象在第三象限? (3)在每个象限内,随着x值的增大,y的值怎样变化?
在每一个象限内,y随x的增大而增大
解疑释疑 探求新知
y
当k>0时,在每 一象限内,y随 x的增大而减 小
8 7 6 5 4 3 2 1
X=1时,y=4 X=2时, y=2 X=4时, y=1 4 y x
1 2 3 4 5 6 7 8
-8 –7–6–5–4 –3 -2-1O
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
S1
P
k y x
Q
S2
S3
S1、S2有什么关系?为什么? S1、S2 、 S3有什么关系?为什么?
S1=S2 S1=S2= S3面Βιβλιοθήκη 不变性k 反比例函数 y x
任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k 矩形面积 面积 S矩= ︳xy︱ =︳K︱
y
三角形的
S AOP
y
(x, y)
k 2
k2 x
(k2 0)的函数值都随x的增大而增大,
那么它们在同一直角坐标系内的大致图
D . 象是 ____
y
x
y
y O
x
y
O O
A x
x
o
B
C
D
想一想
在反比例函数 图象 上任取三点P、Q、R,过点 P、Q、R分别作x轴、y轴的 平行线,与坐标轴围成的矩 形面积为S1、S2 、S3。
R
y
k x
课堂小结
联系拓广
6 (4) 已知点(x1,y1),(x2,y2)都在反比例函数 y x 的图象上,且x1>x2 ,比较y1与y2的大小。
1.(1) 已知点(-6 , y 1)(-4 , y 2) 在反比例函数 y 6 =- 的图象上, 试比较 y1 与 y2 的大小.你是怎么做 x 的? 6 (2) 已知点(4,y3)(6,y4)在反比例函数 y =- 的 x 图象上,试比较 y3 和 y4 的大小. 6 (3) 已知点(-4,y5)(6,y6)在反比例函数y =- 的 x 图象上,试比较 y5 和 y6的大小.
在每一个象限内,y随x的增大而减小
2 4 6 如果k=-2, -4,-6,那么 y , y , y x x x
的图象有又什么共同特征?
自主探究、领悟规律
k<0
(1)函数图象分别位于哪个象限内?
x>0时,图象在第四象限;x<0 时,图象在第二象限
(2)在每个象限内,随着x值的增大,y的值怎样变化?
联系拓广
2. 已知函数 y a 1 x ,在每一个象限 内y随x的增大而减小,求a的值和表达式.
当函数为反比例函数时 解:依题意得 :
a2 a 7
当函数为正比例函数时…… a 1 0(1) 2 a a 7 1(2) 由(1)得:a 1
由(2)得:a 2, a 3 1(舍去) 1 a的值为2,反比例函数为y= x
p (x, y)
N
P
M ox
o D
x
跟踪训练
1.如图,点P是反比例函数图象上的一
点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴
影部分面积为3,则这个反比例函数的
3 y x . 关系式是
y
p M
N
o x
跟踪训练
2.如图,已知点A在反比例函数图象上, AM⊥x轴于点M,且△AOM的面积为1,则反 2 y x。 比例函数的解析式为
随堂练习
1.下列函数中,其图象位于第一、三象限的有 (1)(2)(3) ____________; 在其所在的象限内,y随x的增大而增大的有 (4) ___________.
1 0.3 10 7 (1) y ;(2) y ;(3) y ;(4) y 2x x x 100 x
2.若正比例函数y k1 x(k1 0)与反比例函数 y
x 第一象限内的y 值大于第三象限 内的y值
小结:
反比例函数的图象是双曲线
反比例函数的图象的位置与k有怎样关系?
当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内, 在每一象限内,y的值随x值的增大而减小; 并且第一象限内的y值大于第三象限内的y值;
当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内, 在每一象限内,y的值随x值的增大而增大. 并且第二象限内的y值大于第四象限内的y值.
反比例函数的图象和性质
第二课时 y y
o
x
o
x
反比例 函数
k y= x
图 象
y 0 x
图象的 位置
位于第一、 三象限内
图象的 对称性
两个分支 关于坐标 原点成中 心对称, 且关于直 线y= x 和 y=-x成 轴对称
图象的 延伸性 图象延伸 部分无限 接近于x 轴和y轴, 但永远不 与x轴和 y轴相交。