青岛大学数学分析2009-2017年考研初试真题

1. (本题满分30分) 求下列极限：
(1) lim tann ( 1 ) ;
n
4n
(2)
lim(
n
n
1 2
1

2 n2
1

n n2
1);
2
n
(3)
lim
x0
a tan x b(1 cos x) a1 ln(1 x) b1(1 ex2 )
,
其中
a2
a12
且
lim
n
xn

a
,
其中
a inf{xn} .
4. (本题满分15分)
设方程 2x tan(x y)
x y 0
sec2
tdt,
x

y
确定了
y
是
x
的函数,求
d2y dx2
.
1
5. (本题满分15分)
设函数 f (x) 和 g(x) 均在有限区间[a,b] 上连续,且 g(x) 不变号.证明:至少存
青岛大学 2017 年硕士研究生入学考试试题
科目代码：657 科目名称：数学分析 (共 2 页) 请考生写明题号， 将答案全部答在试题纸上，答在试卷上无效。
一、计算下列各极限：（每题 5 分， 共 10 分）
(1)
lim
n→∞
(
1 1∙2
+
1 2∙3
+
⋯
+
1 n∙(n+1)
);
(2)
lim
x→0
3
1+x− 1+x− 3
1−x 1−x
.
二、（20 分）证明：f x = x 在[0, +∞) 上一致连续。
三、（20 分）设函数 f(x) 在点 x0 处存在左右导数，试用ε − δ 定义 证明：f(x) 在 x0 处连续。
四、（20 分）设函数 f(x) 在[a,b] 上可导，证明：存在 ξ∈(a,b), 使得
2ξ f b − f a = b2 − a2 f'(ξ)
1
7. (本题满分 30 分) 证明:
(1) (1)n1 sin 1 收敛;
n3
n
(2)

(1)n1 sin
1 n
n3 (ln n)x
在[0, ) 一致收敛;
(3)
lim
x0
n3
(1)n1 sin (ln n)x
1 n

Baidu Nhomakorabea
(1)n1 sin

0.
2. (本题满分10分) 解下列各题:
(1) 试画出一导函数 f (x) 的图形(非常数),并据此导函数的图形简单画出函数
f (x) 的图形;
(2) 试用某一物理意义解释拉格朗日微分中值定理.
3. (本题满分10分) 利用确界原理证明:
若单调递减实数列 {xn } 有下界,则数列 {xn } 收敛,
5. (本题满分 10 分) 设函数 f (x) 0 ，在有限区间[a,b] 上连续，证明:
b
b
f (x)dx
1
dx (b a)2 .
a
a f (x)
6. (本题满分 10 分) 设函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域内 n 阶可导，若 f ( x ) 被 n 阶多项式 Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 逼近，相差是 (x x0 )n 的高阶无穷小，证明 n 阶多项式 Pn ( x ) 是唯一的.
在一点 [a,b], 使得
b f (x)g(x)dx f ( )
b
g(x)dx .
a
a
6. (本题满分15分) 证明:广义积分 cos x dx 收敛,而 | cos x | dx 发散.
1x
1
x
7. (本题满分15分)
(x 1)n
讨论并指出级数
绝对收敛、条件收敛、发散的范围.
n 3
1 n
.
8. (本题满分 15 分) 构造一个二元函数, 使得它在原点的两个一阶偏导数 都存在, 但该函数在原点不可微，并说明理由.
9. (本题满分 15 分) 计算曲面积分 x2dydz y2dzdx z2dxdy , 其中 S 是 S
球面 (x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2 ( R 0 )的外侧.
在[
π 2
,
3π 2
]
上是一致收敛的。
八、（25 分）计算曲面积分：
I = xdydz + ydzdx + zdxdyh
S
其中 S:x2 + y2 = z2, 0
青岛大学2009年硕士研究生入学考试试题
科目代码： 615 科目名称：数学分析 （共 2 页） 请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效

1 2
( xn

3 xn
)
,
n 1, 2,3,
;
并求极限
lim
n
xn
.
3. (本题满分 10 分) 是否存在正实数 a 使得恰好比其立方少 1 ?为什么?
4. (本题满分 10 分) 设函数 f ( x ) 在区间 (a, ) 可导，且 f ( x ) 在区间
(a, ) 上有界，证明函数 f ( x ) 在区间 (a, ) 上一致连续.
n0 (n 1)4n
8. (本题满分10分)
讨论函数 z | xy | 在原点的连续性、两个一阶偏导数的存在性以及在原 点的可微性. 9. (本题满分15分) 在变换公式 x r cos , y r sin 之下, 求出方程
2 z 2 z 0 的变换形式. x2 y2
10. (本题满分15分) 计算曲面积分 A (x 1)dydz 2 cos ydzdx 3dxdy , 其中
S
S 是曲面 z x2 y2 与 z 3 所构成的封闭曲面取外侧.
2
青岛大学 2010 年硕士研究生入学考试试题
科目代码： 615 科目名称： 数学分析 （共 2 页） 请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
1. (本题满分 30 分) 求下列极限：
(1) lim( n a n b )n , 其中 a 0,b 0, a 1,b 1 ；
n
2
(2) lim sin( n2 1) ； n
nn
(3)
lim
n
3n
n!
.
2.
(本题满分
20
分)证明数列
{xn}
收敛,其中
x1

3
,
xn1
五、（每题 5 分， 共 15 分）计算下列各积分：
(1)
e3x+ex e4x−e2x+1
dx
;
(2) 1 x+2dx ;
x x−2
(3)
1 0
xexdx
六、（20 分）求下列函数
fx =
π
− 4 , − π ≤ x 0h
0,
x = 0h
π
4, 0
的傅里叶展开式。
七、（20 分）证明函数项级数
∞ cos nx n=1 n