河北省石家庄市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

河北省石家庄市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B=（）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1，2} C．{0，1} D．{1，2}
2．（5分）下列各组中的两个函数是同一函数的是（）
A．f（x）=和f（x）=x+1
B．f（r）=πr2（r≥0）和g（x）=πx2（x≥0）
C．f（x）=log a a x（a＞0且a≠1）和g（x）=（a＞0且a≠1）
D．f（x）=x和g（t）和g（t）=
3．（5分）函数f（x）=是（）
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
4．（5分）函数f（x）的定义域为B．（﹣，1]C．（0，]D．（﹣
，0]
5．（5分）设a=log20.4，b=0.42，c=20.4，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
6．（5分）若O是△ABC所在平面内一点，且满足（）•（﹣）=0，则△ABC
一定是（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．斜三角形
7．（5分）要得到y=cos2x的图象，可由函数y=cos（2x﹣）的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
8．（5分）已知f（α）=，则f（﹣）的值为（）
A．﹣B．﹣C．D．
9．（5分）已知向量，若A、B、D三点共线，则
实数m、n应该满足的条件是（）
A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．m n=1 D．mn=﹣1
10．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足，则等于（）
A．B．C．D．
11．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b图象的一部分如图所示，则f（x）的解析式为（）
A．y=sin2x﹣2 B．y=2cos3x﹣1 C．y=sin（2x﹣）+1 D．y=1﹣sin（2x﹣
）
12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的根，
则实数k的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．，n∈Z，则n的值为．
15．（5分）已知f（x）=sin2（x﹣），则f（lg5）+f（1g）=．
16．（5分）若，是两个非零向量，且||=||，|+|=||，则与﹣的夹角是．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设全集为Z，A={x|x2+2x﹣15=0}，B={x|ax﹣1=0}．
（1）若a=，求A∩（∁Z B）；
（2）若B⊆A，求实数a的取值组成的集合C．
18．（12分）已知向量=（cosα﹣5，﹣sinα），=（sinα﹣5，cosα），∥，且α∈（0，π），求tan2α的值．
19．（12分）证明函数f（x）=log a（a＞1）在时，求f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
河北省石家庄市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B=（）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1，2} C．{0，1} D．{1，2}
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
解答：解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|20=1≤2x＜4=22}={x|0≤x＜2}，
∴A∩B={0，1}，
故选：C．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）下列各组中的两个函数是同一函数的是（）
A．f（x）=和f（x）=x+1
B．f（r）=πr2（r≥0）和g（x）=πx2（x≥0）
C．f（x）=log a a x（a＞0且a≠1）和g（x）=（a＞0且a≠1）
D．f（x）=x和g（t）和g（t）=
考点：判断两个函数是否为同一函数．
专题：函数的性质及应用．
分析：判断两个函数的定义域值域以及对应法则是否相同，即可得到结果
解答：解：对于A，f（x）=和定义域是{x|x∈R且x≠1}，y=x+1的定义域是R，两个
函数的定义域不相同不是相同函数；
对于B，f（r）=πr2（r≥0）和g（x）=πx2（x≥0）两个函数的定义域相同，对应法则相同，是相同的函数；
对于C，f（x）=log a a x（a＞0且a≠1）义域是{x|x∈R}，和g（x）=（a＞0且a≠1）定义域是{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同不是相同函数；
对于D，f（x）=x和g（t）和g（t）=；定义域是R，两个函数值域不相同，不是相同的
函数；
所以B正确．
故选：B．
点评：本题考查两个函数是否相同的判定，注意两个函数相同条件：定义域与对应法则相同．基本知识的考查，属于基础题．
3．（5分）函数f（x）=是（）
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
考点：函数奇偶性的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数的奇偶性的定义进行判断即可．
解答：解：函数的定义域为{x|x≠﹣1}，定义域关于原点不对称，
∴函数f（x）为非奇非偶函数，
故选：D．
点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键，但要注意定义域必须关于原点对称，否则为非奇非偶函数．
4．（5分）函数f（x）的定义域为B．（﹣，1]C．（0，]D．（﹣
，0]
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题目给出的f（x）的定义域为．
故选：C．
点评：本题考查与抽象函数有关的复合函数的定义域的求法，关键是对解题方法的理解与记忆，是中档题．
5．（5分）设a=log20.4，b=0.42，c=20.4，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
考点：对数值大小的比较．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
解答：解：∵a=log20.4＜0，0＜b=0.42＜1，c=20.4＞1，
∴c＞b＞a．
故选：C．
点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
6．（5分）若O是△ABC所在平面内一点，且满足（）•（﹣）=0，则△ABC
一定是（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．斜三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：解三角形；平面向量及应用．
分析：利用向量垂直与数量积的关系即可判断出．
解答：解：∵（）•（﹣）=0，
∴=0，
∴C=90°．
∴△ABC一定是直角三角形．
故选：C．
点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、三角形形状的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）要得到y=cos2x的图象，可由函数y=cos（2x﹣）的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
解答：解：由函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移个长度单位，可得函数y=cos=cos2x
的图象，
故选：C．
点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
8．（5分）已知f（α）=，则f（﹣）的值为（）
A．﹣B．﹣C．D．
考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：f（α）解析式利用诱导公式化简，整理得到结果，把α=﹣π代入计算即可求出f （﹣）的值．
解答：解：f（α）=﹣=﹣=﹣cosα，
则f（﹣π）=﹣cos（﹣π）=﹣cosπ=﹣cos（10π+）=﹣cos=﹣．
故选：A．
点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（5分）已知向量，若A、B、D三点共线，则
实数m、n应该满足的条件是（）
A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．m n=1 D．mn=﹣1
考点：向量的共线定理．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意可得，再根据两个向量共线的性质可得，由此可得结论．
解答：解：由题意可得，∴，故有，
∴mn=1，
故选C．
点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．10．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足，则等于（）
A．B．C．D．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：如图所示，由AM=1，点P在AM上且满足，可得．由M是BC的中点，利用向量的平行四边形法则可得．进而即可得出
．
解答：解：如图所示，
∵AM=1，点P在AM上且满足，∴．
∵M是BC的中点，∴．
∴==﹣4=﹣4×=﹣．
故选D．
点评：熟练掌握向量的平行四边形法则、数量积运算是解题的关键．
11．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b图象的一部分如图所示，则f（x）的解析式为（）
A．y=sin2x﹣2 B．y=2cos3x﹣1 C．y=sin（2x﹣）+1 D．y=1﹣sin（2x﹣
）
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象，易求出函数的最大值，最小值，周期及函数图象经过的特殊点，易根据函数系数及函数性质有关系，得到各系数的值，进而得到答案．
解答：解：由函数图象观察可知函数f（x）的最大值是2，最小值是0，
则：b==1，A=×（2﹣0）=1，=，可解得：T=π=，ω=2，
故有：f（x）=sin（2x+φ）+1，
由点（，1）在函数图象上，可得：sin（2×+φ）+1=1，解得：φ=k，k∈Z，
当k=0时，有φ=﹣，
则f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x﹣）+1．
故选：C．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定A，ω，φ，b是关键，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的根，
则实数k的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．
f（x）=1+是减函数，且1＜f（x）≤2；
②当x＜4时，
f（x）=log2x在（0，4）上是增函数，
且f（x）＜f（4）=2；
且关于x的方程f（x）=k有两个不同的根可化为函数f（x）与y=k有两个不同的交点；
故实数k的取值范围是（1，2）；
故选：D．
点评：本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用及数形结合的图象应用，属于中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，8），则f（x）=x3．
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：设幂函数f（x）=xα，把点（2，8）代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数的解析式．
解答：解：设幂函数f（x）=xα，把点（2，8）代入函数的解析式可得2α=8，
解得α=3，故函数的解析式为f（x）=x3，
故答案为x3．
点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，属于基础题．
14．（5分）函数f（x）=﹣x3﹣3x+5的零点所在的区间为，n∈Z，则n的值为1．
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意知，函数f（x）是单调函数，根据f（1）＞0，f（2）＜0知，函数f（x）的零点必在区间（1，2）上．
解答：解：∵函数f（x）=﹣x3﹣3x+5是单调递减函数，
又∵f（1）=﹣13﹣3×1+5=1＞0，f（2）=﹣23﹣3×2+5=﹣9＜0，
∴函数f（x）的零点必在区间（1，2）上，
故答案为：1．
点评：本题考查函数的零点存在的条件：单调的连续函数若在一个区间的端点的函数值异号，则函数在此区间上一定存在零点．
15．（5分）已知f（x）=sin2（x﹣），则f（lg5）+f（1g）=1．
考点：二倍角的余弦；对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．
分析：根据余弦函数的二倍角公式将函数f（x）进行化简，结合对数的基本运算性质即可得到结论．
解答：解：f（x）=sin2（x﹣）=，
则f（lg5）+f（1g）=﹣sin（2lg5）+﹣sin2（1g）
=1﹣sin（2lg5）﹣sin（﹣21g5）
=1﹣sin（2lg5）+sin（21g5）=1，
故答案为：1．
点评：本题主要考查函数值的计算，根据余弦函数的二倍角公式以及正弦函数的奇偶性和对数的运算性质是解决本题的关键．
16．（5分）若，是两个非零向量，且||=||，|+|=||，则与﹣的夹角是．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据，对两边平方即可求出，然后根据向量夹角的余弦公式求出cos，这样即可得到所求夹角．
解答：解：根据已知条件得：
；
∴；
∴；
∴=；
∴的夹角为．
故答案为：．
点评：考查数量积的运算，两向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设全集为Z，A={x|x2+2x﹣15=0}，B={x|ax﹣1=0}．
（1）若a=，求A∩（∁Z B）；
（2）若B⊆A，求实数a的取值组成的集合C．
考点：子集与真子集；交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：（1）若a=，求出集合A，B，即可求A∩（∁Z B）；
（2）若B⊆A，讨论集合B，即可得到结论．
解答：解：（1）A={x|x2+2x﹣15=0}={﹣5，3}，
当a=，则B={x|ax﹣1=0}={5}，
则A∩（∁Z B）={﹣5，3}；
（2）当B=∅时，a=0，此时满足B⊆A，
当B≠∅时，B={}，此时若满足B⊆A，
则=﹣5或=3，解得a=或，
综上C={，，0}．
点评：本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，注意要进行分类讨论．
18．（12分）已知向量=（cosα﹣5，﹣sinα），=（sinα﹣5，cosα），∥，且α∈（0，π），求tan2α的值．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：三角函数的求值；平面向量及应用．
分析：根据向量平行的坐标公式建立方程关系求出sinα，cosα，tanα的值，利用正切函数的倍角公式进行求解即可．
解答：解：∵∥，
∴（cosα﹣5）cosα+sinα（sinα﹣5）=0，
即cos2α+sin2α﹣5（sinα+cosα）=0，
即5（sinα+cosα）=1，
即sinα+cosα=，
平方得2sinαcosα=＜0，
∴α∈（，π），
∵sin2α+cos2α=1，
∴解得sinα=，cosα=，
则tanα=，tan2α==．
点评：本题主要考查向量和三角函数的综合，利用斜率平行以及三角函数的倍角公式是解决本题的关键．
19．（12分）证明函数f（x）=log a（a＞1）在
（1）试用表示；
（2）若||=3，||=2，且∠AOB=，求的值．
考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）根据已知条件及图形即可得到，所以，求出
即可；
（2）带入上面求得的，换上进行数量积的运算即可．
解答：解：（1）如图可知，；
∴；
∴；
（2）==﹣1﹣
3+=．
点评：考查共线向量基本定理，数乘的几何意义，向量减法的几何意义，以及数量积的计算公式．
21．（12分）销售甲，乙两种商品所得到利润与投入资金x（万元）的关系分别为f（x）=m，g（x）=bx（其中m，a，b∈R），函数f（x），g（x）对应的曲线C1，C2，如图所示．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）若该商场一共投资4万元经销甲，乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
考点：函数解析式的求解及常用方法．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）分别将点（0，0）、（8，）代入f（x），（8，）代入g（x）计算即可；
（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4﹣x）万元，代入（1）中各式，再令=t，问题转化为关于t的二次函数，通过配方法即得最大值．
解答：解：（1）根据题意，得，
解得，，
所以f（x）=（x≥0），
又由题意知，即，
所以g（x）=（x≥0）；
（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4﹣x）万元，
由（1）得y=+（0≤x≤4），
令=t，则，
故=（），
当t=2即x=3时，y取最大值1，
答：该商场所获利润的最大值为1万元．
点评：本题考查数形结合、还原法、配方法，将图象中的点代入解析式是解题的关键，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为常数，且t＞﹣2）
（1）当x∈时，求f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
考点：复合函数的单调性．
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：（1）令g（x）=x2+tx+1，对称轴方程为x=﹣，利用对称轴x=﹣与区间的位置关系进行分类讨论能求出f（x）的最小值．
（2）假设存在．由题设条件得，由此能求出实数t的取值范围．
解答：解：（1）令g（x）=x2+tx+1，对称轴方程为x=﹣，
∵x∈，∴由对称轴x=﹣与区间的位置关系进行分类讨论：
①当﹣≤0，即t≥0时，g（x）min=g（0）=1，∴f（x）min=0．
②当0＜﹣＜2，即﹣4＜t＜0时，g（x）min=g（﹣）=1﹣，
考虑到g（x）＞0，所以﹣2＜t＜0，f（x）min=f（﹣）=lg（1﹣）；
③当﹣≥2，即t≤﹣4时，g（x）min=g（2）=5+2t，
考虑到g（x）＞0，∴f（x）没有最小值．
综上所述：当t≤﹣2时f（x）没有最小值；
当t＞﹣2时，f（x）min=．
（2）假设存在．
由题设条件，得，
等价于x2+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，
令h（x）=x2+（t﹣1）x+1在（0，2）上有两个不同的零点
∴，即，
解得﹣＜t＜﹣1．
故实数t的取值范围是（﹣，﹣1）．
点评：本题主要考查对数函数定义域的求解，复合函数单调性的应用及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意考虑对称轴与区间位置关系的讨论，二次方程的实根分布问题的应用．。